Chords, Tangents & Intersecting Chordsคอร์ด เส้นสัมผัส และคอร์ดตัดกัน

IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upวอร์มอัพ

Pythagoras: square, add, square rootพีทาโกรัส: ยกกำลังสอง บวก แล้วถอดราก

The hypotenuse $c$ is opposite the right angle. It is always the longest side.ด้านตรงข้ามมุมฉาก $c$ ยาวที่สุดเสมอ

1. The two shorter sides of a right triangle are $5$ cm and $12$ cm. Find the hypotenuse.สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านสั้นสองด้านยาว $5$ ซม. และ $12$ ซม. · หาด้านตรงข้ามมุมฉาก
   Answer:เฉลย: $\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$Square, add, square root: $c^2=5^2+12^2$   $=25+144$   $=169$   $c=13$ยกกำลังสอง บวก ถอดราก: $c^2=5^2+12^2$   $=25+144$   $=169$   $c=13$
2. The hypotenuse of a right triangle is $10$ cm and one other side is $6$ cm. Find the third side.สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $10$ ซม. อีกด้านยาว $6$ ซม. · หาด้านที่สาม
   Answer:เฉลย: $\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$Missing short side: subtract: $b^2+36=100$   $b^2=64$   $b=8$ Hypotenuse unknown: add the squares. Shorter side unknown: subtract.หาด้านสั้น: ลบ: $b^2+36=100$   $b^2=64$   $b=8$ ไม่รู้ด้านตรงข้ามมุมฉาก: บวกกำลังสอง · ไม่รู้ด้านสั้น: ลบ

2. Perpendicular from the centreเส้นตั้งฉากจากจุดศูนย์กลาง

A line from the centre at right angles to a chord cuts the chord in half.เส้นจากจุดศูนย์กลางที่ตั้งฉากกับคอร์ด จะแบ่งคอร์ดครึ่งพอดี

The perpendicular from $O$ bisects the chordเส้นตั้งฉากจาก $O$ แบ่งครึ่งคอร์ด

$OM\perp AB$ gives $AM=MB$. The perpendicular bisector of any chord passes through $O$.$OM\perp AB$ ทำให้ $AM=MB$ · เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของคอร์ดใดๆ ผ่าน $O$ เสมอ

1. $O$ is the centre. Chord $AB=18$ cm, and $M$ is the point on $AB$ with $OM\perp AB$. Find $AM$.$O$ คือจุดศูนย์กลาง · คอร์ด $AB=18$ ซม. · $M$ อยู่บน $AB$ และ $OM\perp AB$ · หา $AM$
   Answer:เฉลย: $AM=18\div2=9$Perpendicular from $O$ halves it: $AM=\tfrac12\times18$   $=9$เส้นตั้งฉากจาก $O$ แบ่งครึ่ง: $AM=\tfrac12\times18$   $=9$
2. The centre of this circle is not marked. How do the chords $AB$ and $CD$ find it?วงกลมนี้ไม่ได้บอกจุดศูนย์กลาง · ใช้คอร์ด $AB$ และ $CD$ หาจุดศูนย์กลางได้อย่างไร?
   Answer:เฉลย: the perpendicular bisectors of the two chords meet at $O$เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของคอร์ดทั้งสองตัดกันที่ $O$Each perpendicular bisector passes through $O$: $OA=OB=r$   $OC=OD=r$ Points equally far from $A$ and $B$ lie on the perpendicular bisector of $AB$.เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากทุกเส้นผ่าน $O$: $OA=OB=r$   $OC=OD=r$ จุดที่ห่างจาก $A$ และ $B$ เท่ากัน อยู่บนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของ $AB$
3. $O$ is the centre and $OM\perp AB$. $AM=7.5$ cm. Find the length of the chord $AB$.$O$ คือจุดศูนย์กลาง และ $OM\perp AB$ · $AM=7.5$ ซม. · หาความยาวคอร์ด $AB$
   Answer:เฉลย: $AB=2\times7.5=15$Half back to whole: $AB=2\times AM$   $=2\times7.5$   $=15$จากครึ่งกลับเป็นเต็ม: $AB=2\times AM$   $=2\times7.5$   $=15$

3. Radius as hypotenuseรัศมีคือด้านตรงข้ามมุมฉาก

Triangle $OMA$: the radius is the hypotenuse; $OM$ and $AM$ are the other two sides.สามเหลี่ยม $OMA$: รัศมีคือด้านตรงข้ามมุมฉาก · $OM$ กับ $AM$ คืออีกสองด้าน

Join $O$ to $A$: a right triangle appearsลาก $O$ ไป $A$: ได้สามเหลี่ยมมุมฉาก

The radius $OA$ is the hypotenuse. Find $AM$, then double it for the chord.รัศมี $OA$ คือด้านตรงข้ามมุมฉาก · หา $AM$ แล้วคูณสองได้คอร์ด

1. A circle has radius $13$ cm. Chord $AB$ is $5$ cm from the centre. Find the length of $AB$.วงกลมรัศมี $13$ ซม. · คอร์ด $AB$ ห่างจากจุดศูนย์กลาง $5$ ซม. · หาความยาว $AB$
   Answer:เฉลย: $AM=\sqrt{169-25}=12$, so $AB=24$Subtract squares, then double: $AM^2+5^2=13^2$   $AM^2+25=169$   $AM^2=144$   $AM=12$   $AB=2\times12$   $=24$ลบกำลังสอง แล้วคูณสอง: $AM^2+5^2=13^2$   $AM^2+25=169$   $AM^2=144$   $AM=12$   $AB=2\times12$   $=24$
2. A circle has radius $10$ cm. Chord $AB$ is $16$ cm long. How far is $AB$ from the centre $O$?วงกลมรัศมี $10$ ซม. · คอร์ด $AB$ ยาว $16$ ซม. · $AB$ ห่างจากจุดศูนย์กลาง $O$ เท่าไร?
   Answer:เฉลย: $AM=8$, $OM=\sqrt{100-64}=6$Halve first, then Pythagoras: $AM=16\div2$   $=8$   $OM^2+64=100$   $OM^2=36$   $OM=6$ "Distance from the centre" always means the perpendicular distance.แบ่งครึ่งก่อน แล้วพีทาโกรัส: $AM=16\div2$   $=8$   $OM^2+64=100$   $OM^2=36$   $OM=6$ "ระยะห่างจากจุดศูนย์กลาง" หมายถึงระยะที่วัดตั้งฉากเสมอ
3. A circle has radius $6$ cm. Chord $AB$ is $8$ cm long. Find the distance from $O$ to $AB$. Give your answer as a surd.วงกลมรัศมี $6$ ซม. · คอร์ด $AB$ ยาว $8$ ซม. · หาระยะห่างจาก $O$ ถึง $AB$ · ตอบในรูปกรณฑ์
   Answer:เฉลย: $OM=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt5$Radius² minus half-chord²: $AM=4$   $OM^2+16=36$   $OM^2=20$   $OM=\sqrt{20}$   $=2\sqrt5$ $\sqrt{20}=\sqrt4\times\sqrt5=2\sqrt5$ is the simplest form.รัศมีกำลังสอง ลบครึ่งคอร์ดกำลังสอง: $AM=4$   $OM^2+16=36$   $OM^2=20$   $OM=\sqrt{20}$   $=2\sqrt5$ $\sqrt{20}=\sqrt4\times\sqrt5=2\sqrt5$ คือรูปอย่างง่าย
4. A chord of length $30$ cm is $8$ cm from the centre of a circle. Find the radius.คอร์ดยาว $30$ ซม. อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางวงกลม $8$ ซม. · หารัศมี
   Answer:เฉลย: $OA=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{289}=17$Unknown radius: add squares: $AM=30\div2$   $=15$   $OA^2=15^2+8^2$   $=225+64$   $=289$   $OA=17$ไม่รู้รัศมี: บวกกำลังสอง: $AM=30\div2$   $=15$   $OA^2=15^2+8^2$   $=225+64$   $=289$   $OA=17$

4. Equal chordsคอร์ดยาวเท่ากัน

Chords of the same length are the same distance from the centre — and the other way round.คอร์ดยาวเท่ากัน อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน · กลับกันก็จริง

Equal chords are the same distance from $O$คอร์ดยาวเท่ากัน อยู่ห่างจาก $O$ เท่ากัน

Same radius and same half-chord give the same Pythagoras, so the same distance.รัศมีเท่ากัน ครึ่งคอร์ดเท่ากัน พีทาโกรัสก็เหมือนกัน · ระยะห่างจึงเท่ากัน

1. $AB$ and $CD$ are chords of the same circle, both $10$ cm long. $OM\perp AB$ with $OM=4$ cm, and $ON\perp CD$. Find $ON$.$AB$ และ $CD$ เป็นคอร์ดของวงกลมเดียวกัน ยาว $10$ ซม. ทั้งคู่ · $OM\perp AB$ โดย $OM=4$ ซม. และ $ON\perp CD$ · หา $ON$
   Answer:เฉลย: $ON=OM=4$Equal chords, equal distances: $AB=CD=10$   $ON=OM=4$ Reason for the mark: equal chords are equidistant from the centre.คอร์ดยาวเท่ากัน ห่างเท่ากัน: $AB=CD=10$   $ON=OM=4$ เหตุผลที่ได้คะแนน: คอร์ดยาวเท่ากันอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน
2. $OM\perp AB$, $ON\perp CD$ and $OM=ON=6$ cm. $AB=16$ cm. How long is $CD$?$OM\perp AB$, $ON\perp CD$ และ $OM=ON=6$ ซม. · $AB=16$ ซม. · $CD$ ยาวเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $CD=AB=16$ cmEqual distances, equal chords: $OM=ON=6$   $CD=AB=16$ห่างเท่ากัน คอร์ดยาวเท่ากัน: $OM=ON=6$   $CD=AB=16$
3. In a circle of radius $6$ cm, chord $AB$ is $3$ cm from $O$ and chord $CD$ is $5$ cm from $O$. Which chord is longer?วงกลมรัศมี $6$ ซม. · คอร์ด $AB$ ห่างจาก $O$ $3$ ซม. · คอร์ด $CD$ ห่างจาก $O$ $5$ ซม. · คอร์ดไหนยาวกว่า?
   Answer:เฉลย: $AB=2\sqrt{27}\approx10.4$ cm, $CD=2\sqrt{11}\approx6.6$ cmCloser to $O$, longer chord: $AM^2=36-9$   $=27$   $CN^2=36-25$   $=11$   $AB\gt CD$ A diameter, at distance $0$, is the longest chord of all.ใกล้ $O$ มากกว่า คอร์ดยาวกว่า: $AM^2=36-9$   $=27$   $CN^2=36-25$   $=11$   $AB\gt CD$ เส้นผ่านศูนย์กลาง ห่าง $0$ คือคอร์ดที่ยาวที่สุด

5. Tangents from a pointเส้นสัมผัสจากจุดภายนอก

A tangent meets the radius at $90^\circ$. Two tangents from one point are equal.เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส · เส้นสัมผัสสองเส้นจากจุดเดียวกันยาวเท่ากัน

A tangent is perpendicular to the radiusเส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมี

Now $OP$ is the hypotenuse, not the radius. The two tangents from $P$ are equal.ตอนนี้ $OP$ คือด้านตรงข้ามมุมฉาก ไม่ใช่รัศมี · เส้นสัมผัสสองเส้นจาก $P$ ยาวเท่ากัน

1. $PA$ is a tangent to the circle at $A$. $OA=8$ cm and $OP=17$ cm. Find $PA$.$PA$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่ $A$ · $OA=8$ ซม. และ $OP=17$ ซม. · หา $PA$
   Answer:เฉลย: $PA=\sqrt{289-64}=15$$OP$ is the hypotenuse: $PA^2+8^2=17^2$   $PA^2+64=289$   $PA^2=225$   $PA=15$ Reason for the mark: a tangent is perpendicular to the radius.$OP$ คือด้านตรงข้ามมุมฉาก: $PA^2+8^2=17^2$   $PA^2+64=289$   $PA^2=225$   $PA=15$ เหตุผลที่ได้คะแนน: เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมี
2. Tangents from $P$ touch the circle at $A$ and $B$. The radius is $6$ cm and the perimeter of $OAPB$ is $28$ cm. Find $PA$.เส้นสัมผัสจาก $P$ แตะวงกลมที่ $A$ และ $B$ · รัศมี $6$ ซม. · เส้นรอบรูปของ $OAPB$ ยาว $28$ ซม. · หา $PA$
   Answer:เฉลย: $6+6+2PA=28$, so $PA=8$Two radii, two equal tangents: $OA+OB+PA+PB=28$   $2PA+12=28$   $2PA=16$   $PA=8$ Reason: tangents from an external point are equal in length.รัศมีสองเส้น เส้นสัมผัสเท่ากันสองเส้น: $OA+OB+PA+PB=28$   $2PA+12=28$   $2PA=16$   $PA=8$ เหตุผล: เส้นสัมผัสจากจุดภายนอกจุดเดียวกัน ยาวเท่ากัน
3. A circle has centre $O$ and radius $4$ cm. $P$ is $9$ cm from $O$, and $PT$ is a tangent. Find $PT$. Give your answer as a surd.วงกลมจุดศูนย์กลาง $O$ รัศมี $4$ ซม. · $P$ ห่างจาก $O$ $9$ ซม. · $PT$ เป็นเส้นสัมผัส · หา $PT$ ตอบในรูปกรณฑ์
   Answer:เฉลย: $PT=\sqrt{81-16}=\sqrt{65}$Hypotenuse² minus radius²: $PT^2=9^2-4^2$   $=81-16$   $=65$   $PT=\sqrt{65}$ $65=5\times13$ has no square factor, so $\sqrt{65}$ does not simplify.ด้านตรงข้ามมุมฉากกำลังสอง ลบรัศมีกำลังสอง: $PT^2=9^2-4^2$   $=81-16$   $=65$   $PT=\sqrt{65}$ $65=5\times13$ ไม่มีตัวประกอบกำลังสอง · $\sqrt{65}$ จัดรูปต่อไม่ได้
4. The tangent from $P$ to a circle is $24$ cm long, and $P$ is $25$ cm from the centre. Find the radius.เส้นสัมผัสจาก $P$ ถึงวงกลมยาว $24$ ซม. · $P$ ห่างจากจุดศูนย์กลาง $25$ ซม. · หารัศมี
   Answer:เฉลย: $r=\sqrt{625-576}=7$Same triangle, radius unknown: $r^2+24^2=25^2$   $r^2+576=625$   $r^2=49$   $r=7$สามเหลี่ยมเดิม ไม่รู้รัศมี: $r^2+24^2=25^2$   $r^2+576=625$   $r^2=49$   $r=7$

6. Chords that crossคอร์ดตัดกันในวงกลม

Two chords cross at $P$: the two pieces of each chord have the same product.คอร์ดสองเส้นตัดกันที่ $P$ · ผลคูณสองท่อนของแต่ละคอร์ดเท่ากัน

Crossing chords: the products matchคอร์ดตัดกัน: ผลคูณเท่ากัน

Chords $AB$ and $CD$ meet at $P$: $AP\times PB=CP\times PD$.คอร์ด $AB$ กับ $CD$ ตัดกันที่ $P$: $AP\times PB=CP\times PD$

Chords cross at $P$. $AP=x$, $PB=x+5$, $CP=4$, $PD=9$. Find $x$.คอร์ดตัดกันที่ $P$ · $AP=x$, $PB=x+5$, $CP=4$, $PD=9$ · หา $x$

1. $AP\times PB=CP\times PD$Intersecting chords theorem: the two pieces of each chord have the same product.ทฤษฎีบทคอร์ดตัดกัน: ผลคูณสองท่อนของแต่ละคอร์ดเท่ากัน
2. $x(x+5)=4\times9$Put in the four lengths from the picture.แทนความยาวทั้งสี่จากรูป
3. $x^2+5x=36$Expand: $x\times x=x^2$, $x\times5=5x$. Then $36$ crosses: $-36$ under both sides.กระจาย: $x\times x=x^2$, $x\times5=5x$ · แล้วย้าย $36$: เขียน $-36$ ใต้ทั้งสองข้าง
4. $x^2+5x-36=0$A quadratic. Two numbers with product $-36$ and sum $5$: $9$ and $-4$.สมการกำลังสอง · สองจำนวนที่คูณได้ $-36$ บวกได้ $5$: $9$ กับ $-4$
5. $(x+9)(x-4)=0$One bracket must be $0$: $x=-9$ or $x=4$.วงเล็บใดวงเล็บหนึ่งต้องเป็น $0$: $x=-9$ หรือ $x=4$
6. $x=4$Reject $x=-9$: a length cannot be negative. Check: $4\times9=36$ ✓ตัด $x=-9$ ทิ้ง: ความยาวติดลบไม่ได้ · เช็ก: $4\times9=36$ ✓

1. Chords $AB$ and $CD$ meet at $P$. $AP=5$ cm, $PB=6$ cm and $CP=3$ cm. Find $PD$.คอร์ด $AB$ และ $CD$ ตัดกันที่ $P$ · $AP=5$ ซม. $PB=6$ ซม. และ $CP=3$ ซม. · หา $PD$
   Answer:เฉลย: $5\times6=3\times PD$, so $PD=10$Pieces of one chord multiply: $AP\times PB=CP\times PD$   $5\times6=3\times PD$   $3\times PD=30$   $PD=10$ท่อนของคอร์ดเดียวกันคูณกัน: $AP\times PB=CP\times PD$   $5\times6=3\times PD$   $3\times PD=30$   $PD=10$
2. Chords $AB$ and $CD$ meet at $P$. $AP=x$ cm, $PB=(x+2)$ cm, $CP=3$ cm and $PD=8$ cm. Find $x$.คอร์ด $AB$ และ $CD$ ตัดกันที่ $P$ · $AP=x$ ซม. $PB=(x+2)$ ซม. $CP=3$ ซม. และ $PD=8$ ซม. · หา $x$
   Answer:เฉลย: $x(x+2)=24$, $(x+6)(x-4)=0$, so $x=4$Product, expand, factorise, reject: $x(x+2)=3\times8$   $x^2+2x=24$   $x^2+2x-24=0$   $(x+6)(x-4)=0$   $x=4$ Reject $x=-6$ in words: a length cannot be negative.คูณ กระจาย แยกตัวประกอบ ตัดทิ้ง: $x(x+2)=3\times8$   $x^2+2x=24$   $x^2+2x-24=0$   $(x+6)(x-4)=0$   $x=4$ ตัด $x=-6$ พร้อมเขียนเหตุผล: ความยาวติดลบไม่ได้
3. Chords $AB$ and $CD$ cross at $P$. $AP=6$, $PB=4$ and $CP=8$. Which equation gives $PD$?คอร์ด $AB$ และ $CD$ ตัดกันที่ $P$ · $AP=6$, $PB=4$ และ $CP=8$ · สมการไหนใช้หา $PD$?
   Answer:เฉลย: $8\times PD=24$, so $PD=3$One chord on each side: $AP\times PB=CP\times PD$   $6\times4=8\times PD$   $PD=3$ข้างละหนึ่งคอร์ด: $AP\times PB=CP\times PD$   $6\times4=8\times PD$   $PD=3$
4. Chords $AB$ and $CD$ meet at $P$. $AP=4$ cm and $PB=9$ cm. $P$ is the midpoint of $CD$. Find the length of $CD$.คอร์ด $AB$ และ $CD$ ตัดกันที่ $P$ · $AP=4$ ซม. และ $PB=9$ ซม. · $P$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $CD$ · หาความยาว $CD$
   Answer:เฉลย: $CP^2=36$, $CP=6$, $CD=12$Equal pieces make a square: $CP\times PD=4\times9$   $CP^2=36$   $CP=6$   $CD=6+6$   $=12$ท่อนเท่ากัน กลายเป็นกำลังสอง: $CP\times PD=4\times9$   $CP^2=36$   $CP=6$   $CD=6+6$   $=12$

7. Crossing outsideตัดกันนอกวงกลม

$P$ moves outside: the same product rule, with every length measured from $P$.$P$ ย้ายไปอยู่นอกวงกลม: กฎผลคูณเดิม แต่วัดทุกความยาวจาก $P$

Outside the circle: measure every length from $P$นอกวงกลม: วัดทุกความยาวจาก $P$

$PA\times PB=PC\times PD$, where $PB$ and $PD$ run from $P$ to the far point.$PA\times PB=PC\times PD$ · $PB$ กับ $PD$ วัดจาก $P$ ไปถึงจุดไกล

1. From $P$, one line cuts the circle at $A$ and $B$, another at $C$ and $D$. $PA=5$, $AB=7$ and $PC=4$. Find $PD$.จาก $P$ เส้นหนึ่งตัดวงกลมที่ $A$ และ $B$ อีกเส้นตัดที่ $C$ และ $D$ · $PA=5$, $AB=7$ และ $PC=4$ · หา $PD$
   Answer:เฉลย: $5\times12=4\times PD$, so $PD=15$Whole lines from $P$: $PB=5+7$   $=12$   $PA\times PB=PC\times PD$   $5\times12=4\times PD$   $4\times PD=60$   $PD=15$วัดเส้นเต็มจาก $P$: $PB=5+7$   $=12$   $PA\times PB=PC\times PD$   $5\times12=4\times PD$   $4\times PD=60$   $PD=15$
2. $PT$ is a tangent at $T$. A line from $P$ meets the circle at $A$ and $B$, with $PA=4$ cm and $AB=5$ cm. Find $PT$.$PT$ เป็นเส้นสัมผัสที่ $T$ · เส้นจาก $P$ ตัดวงกลมที่ $A$ และ $B$ โดย $PA=4$ ซม. และ $AB=5$ ซม. · หา $PT$
   Answer:เฉลย: $PT^2=4\times9=36$, so $PT=6$Tangent² = outside × whole: $PB=4+5$   $=9$   $PT^2=4\times9$   $=36$   $PT=6$เส้นสัมผัส² = ท่อนนอก × เส้นเต็ม: $PB=4+5$   $=9$   $PT^2=4\times9$   $=36$   $PT=6$
3. $PT$ is a tangent. A line from $P$ meets the circle at $A$ and $B$, with $PA=2$ and $AB=6$. Find $PT$.$PT$ เป็นเส้นสัมผัส · เส้นจาก $P$ ตัดวงกลมที่ $A$ และ $B$ โดย $PA=2$ และ $AB=6$ · หา $PT$
   Answer:เฉลย: $PT^2=2\times8=16$, so $PT=4$Outside piece × whole secant: $PT^2=2\times8$   $=16$   $PT=4$ท่อนนอก × เส้นตัดเต็ม: $PT^2=2\times8$   $=16$   $PT=4$
4. $PT$ is a tangent with $PT=6$ cm. A line from $P$ meets the circle at $A$ and $B$, with $PA=x$ cm and $AB=9$ cm. Find $x$.$PT$ เป็นเส้นสัมผัส $PT=6$ ซม. · เส้นจาก $P$ ตัดวงกลมที่ $A$ และ $B$ โดย $PA=x$ ซม. และ $AB=9$ ซม. · หา $x$
   Answer:เฉลย: $x(x+9)=36$, $(x+12)(x-3)=0$, so $x=3$Whole secant is $x+9$: $PA\times PB=PT^2$   $x(x+9)=36$   $x^2+9x=36$   $x^2+9x-36=0$   $(x+12)(x-3)=0$   $x=3$เส้นตัดเต็มคือ $x+9$: $PA\times PB=PT^2$   $x(x+9)=36$   $x^2+9x=36$   $x^2+9x-36=0$   $(x+12)(x-3)=0$   $x=3$

8. Exam formฟอร์มข้อสอบ

Real wording, real marks — and the reason is a mark of its own.ภาษาข้อสอบจริง คะแนนจริง · และเหตุผลก็มีคะแนนของมันเอง

The reason is worth a markเหตุผลก็มีคะแนน

When a question says "give a reason", name the circle fact in words.ถ้าโจทย์บอก "ให้เหตุผล" ต้องเขียนชื่อสมบัติวงกลมเป็นคำ

1. Exam: The diagram shows a circle, centre $O$. $AB$ is a chord of length $16$ cm. $M$ is the midpoint of $AB$ and $OM=6$ cm.  (6 marks)ข้อสอบ: รูปแสดงวงกลมจุดศูนย์กลาง $O$ · $AB$ เป็นคอร์ดยาว $16$ ซม. · $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AB$ และ $OM=6$ ซม.  (6 คะแนน)
   Answer:เฉลย: (a) $10$ cm   (b) $6$ cm   (c) $7.5$ cm6 marks: $\text{M1}\quad OA^2=6^2+8^2$   $\text{A1}\quad OA=10\text{ cm}$   $\text{B1}\quad 6\text{ cm}$   $\text{B1}\quad \text{equal chords are equidistant from the centre}$   $\text{M1}\quad PT^2=12.5^2-10^2$   $\text{A1}\quad PT=7.5\text{ cm}$ In (b) the $6$ scores one mark; the written reason scores the other.6 คะแนน: $\text{M1}\quad OA^2=6^2+8^2$   $\text{A1}\quad OA=10\text{ cm}$   $\text{B1}\quad 6\text{ cm}$   $\text{B1}\quad \text{equal chords are equidistant from the centre}$   $\text{M1}\quad PT^2=12.5^2-10^2$   $\text{A1}\quad PT=7.5\text{ cm}$ ข้อ (ข) ตอบ $6$ ได้หนึ่งคะแนน · เขียนเหตุผลได้อีกหนึ่งคะแนน
2. Exam: $A$, $B$, $C$ and $D$ are points on a circle. The chords $AB$ and $CD$ intersect at $E$. $AE=x$ cm, $EB=(x+7)$ cm, $CE=6$ cm and $ED=5$ cm. Work out the value of $x$. (4 marks)ข้อสอบ: $A$, $B$, $C$ และ $D$ อยู่บนวงกลม · คอร์ด $AB$ และ $CD$ ตัดกันที่ $E$ · $AE=x$ ซม. $EB=(x+7)$ ซม. $CE=6$ ซม. และ $ED=5$ ซม. · หาค่า $x$ (4 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $x(x+7)=30$, $(x+10)(x-3)=0$, so $x=3$4 marks: $\text{M1}\quad x(x+7)=6\times5$   $\text{M1}\quad x^2+7x-30=0$   $\text{M1}\quad (x+10)(x-3)=0$   $\text{A1}\quad x=3$ Leaving both $3$ and $-10$ as the answer loses the A1.4 คะแนน: $\text{M1}\quad x(x+7)=6\times5$   $\text{M1}\quad x^2+7x-30=0$   $\text{M1}\quad (x+10)(x-3)=0$   $\text{A1}\quad x=3$ ถ้าตอบทั้ง $3$ และ $-10$ จะเสีย A1
3. Exam: $P$ is a point outside a circle. $PT$ is a tangent to the circle at $T$. $PAB$ is a straight line that cuts the circle at $A$ and $B$. $PT=12$ cm and $PA=8$ cm. Calculate the length of $AB$. (3 marks)ข้อสอบ: $P$ อยู่นอกวงกลม · $PT$ เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่ $T$ · $PAB$ เป็นเส้นตรงที่ตัดวงกลมที่ $A$ และ $B$ · $PT=12$ ซม. และ $PA=8$ ซม. · คำนวณความยาว $AB$ (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $144=8\times PB$, $PB=18$, $AB=18-8=10$ cm3 marks: $\text{M1}\quad 12^2=8\times PB$   $\text{M1}\quad PB=144\div8=18$   $\text{A1}\quad AB=18-8=10\text{ cm}$ The most common loss: stopping at $PB=18$.3 คะแนน: $\text{M1}\quad 12^2=8\times PB$   $\text{M1}\quad PB=144\div8=18$   $\text{A1}\quad AB=18-8=10\text{ cm}$ เสียคะแนนบ่อยที่สุด: หยุดที่ $PB=18$

9. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน · แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. A circle has radius $15$ cm. Chord $AB$ is $9$ cm from the centre.  Find the length of $AB$.Radius as hypotenuse: $AM=\sqrt{225-81}=12$, then double.รัศมีเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก: $AM=\sqrt{225-81}=12$ แล้วคูณสอง
2. Chords $AB$ and $CD$ meet at $P$. $AP=3.6$ cm, $PB=5$ cm and $CP=4.5$ cm.  Find $PD$.Same product rule with decimals: $3.6\times5=18$ and $18\div4.5=4$.กฎผลคูณเดิมกับทศนิยม: $3.6\times5=18$ และ $18\div4.5=4$
3. A round window has radius $50$ cm. A straight bar goes across it, $14$ cm from the centre.  How long is the bar?The bar is a chord and $14$ cm is $OM$: $2\sqrt{2500-196}$.ราวคือคอร์ด และ $14$ ซม. คือ $OM$: $2\sqrt{2500-196}$
4. Tangents from $P$ touch a circle, centre $O$, radius $5$ cm, at $A$ and $B$. $OP=13$ cm.  Find the area of the kite $OAPB$.Tangent length $12$, then two right triangles of area $\tfrac12\times5\times12$.เส้นสัมผัสยาว $12$ · แล้วสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป รูปละ $\tfrac12\times5\times12$
5. Chords $AB$ and $CD$ meet at $P$. $AP=2$ cm, $PB=18$ cm and $CD=15$ cm, with $CP\lt PD$.  Find $CP$.Let $CP=y$: $y(15-y)=36$ gives $y=3$ or $12$, and $CP\lt PD$.ให้ $CP=y$: $y(15-y)=36$ ได้ $y=3$ หรือ $12$ และ $CP\lt PD$
6. $PT$ is a tangent to a circle, centre $O$, at $T$. $PAB$ is a straight line with $PA=5$ cm and $AB=15$ cm.  (a) Find $PT$.  (b) The radius is $8$ cm. Find $OP$, giving a reason.(a) tangent–secant; (b) tangent $\perp$ radius, then Pythagoras in $OTP$.(ก) เส้นสัมผัสกับเส้นตัด · (ข) เส้นสัมผัส $\perp$ รัศมี แล้วพีทาโกรัสใน $OTP$

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี