Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Conditional Probabilityความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upวอร์มอัพ

Probability: count what you want, divide by everythingความน่าจะเป็น: นับสิ่งที่ต้องการ หารด้วยทั้งหมด

The bottom is everything that could be picked. Every question here asks: what goes on the bottom?ตัวส่วนคือทุกอย่างที่มีโอกาสถูกหยิบ · ทุกข้อในบทนี้ถามว่า ตัวส่วนคืออะไร

  1. Same ten cards, numbered $1$ to $10$. Find the probability that the card is a multiple of $3$.ไพ่ $10$ ใบเดิม เลข $1$ ถึง $10$ · หาความน่าจะเป็นที่ได้ไพ่ที่เป็นพหุคูณของ $3$
    Answer:เฉลย: $\dfrac{3}{10}$Three cards out of ten: $\{3,\ 6,\ 9\}$   $P=\dfrac{3}{10}$สามใบจากสิบใบ: $\{3,\ 6,\ 9\}$   $P=\dfrac{3}{10}$
  2. Same cards. Find the probability that the card is even and a multiple of $3$.ไพ่ชุดเดิม · หาความน่าจะเป็นที่ได้เลขคู่ และ เป็นพหุคูณของ $3$
    Answer:เฉลย: $\dfrac{1}{10}$  $(\{6\})$Only card 6 is both: $\{2,4,6,8,10\}\cap\{3,6,9\}=\{6\}$   $P=\dfrac{1}{10}$มีแค่ใบ $6$ ที่เป็นทั้งสองอย่าง: $\{2,4,6,8,10\}\cap\{3,6,9\}=\{6\}$   $P=\dfrac{1}{10}$

2. Two-way tablesตารางสองทาง

Rows add across, columns add down. A gap comes from a total.แถวบวกไปทางขวา คอลัมน์บวกลงล่าง · ช่องที่หายไปหาได้จากผลรวม

$60$ students: how do they get to school?นักเรียน $60$ คน มาโรงเรียนยังไง?

Across: $12+9+7=28$. Down: $12+10=22$. Every total checks.บวกตามแถว: $12+9+7=28$ · บวกตามคอลัมน์: $12+10=22$ · ผลรวมตรวจได้ทุกช่อง

  1. The table shows the sport chosen by $55$ students. Find the missing number.ตารางแสดงกีฬาที่นักเรียน $55$ คนเลือก · หาตัวเลขที่หายไป
    Answer:เฉลย: $30-14-7=9$The row adds to its total: $14+t+7=30$   $21+t=30$   $t=9$ The Tennis column checks it: $9+5=14$ ✓แถวบวกได้ผลรวมของแถว: $14+t+7=30$   $21+t=30$   $t=9$ ตรวจด้วยคอลัมน์เทนนิส: $9+5=14$ ✓
  2. Only some cells are filled in. How many Year 11 students chose swimming?ตารางกรอกไว้แค่บางช่อง · นักเรียนปี 11 เลือกว่ายน้ำกี่คน?
    Answer:เฉลย: $14-9=5$,  $25-8-5=12$One gap, then the next: $14-9=5$   $25-8-5=12$ The Tennis column had only one gap, so it goes first.เติมช่องหนึ่ง แล้วต่อช่องถัดไป: $14-9=5$   $25-8-5=12$ คอลัมน์เทนนิสขาดแค่ช่องเดียว เลยทำก่อน
  3. A student is chosen at random from all $55$. Find the probability that the student is in Year 10 and plays tennis.สุ่มนักเรียนหนึ่งคนจากทั้ง $55$ คน · หาความน่าจะเป็นที่เป็นนักเรียนปี 10 และ เล่นเทนนิส
    Answer:เฉลย: $\dfrac{9}{55}$One cell over the grand total: $P(\text{Y10 and tennis})=\dfrac{9}{55}$ช่องเดียว หารด้วยผลรวมทั้งหมด: $P(\text{Y10 and tennis})=\dfrac{9}{55}$
  4. A student is chosen at random from all $55$. What is the probability that the student chose football?สุ่มนักเรียนหนึ่งคนจากทั้ง $55$ คน · ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนั้นเลือกฟุตบอลเป็นเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{22}{55}=\dfrac{2}{5}$Column total over grand total: $P(\text{football})=\dfrac{22}{55}$   $=\dfrac{2}{5}$ผลรวมคอลัมน์ หารด้วยผลรวมทั้งหมด: $P(\text{football})=\dfrac{22}{55}$   $=\dfrac{2}{5}$

3. Probability from an experimentความน่าจะเป็นจากการทดลอง

Relative frequency estimates $p$. Expected frequency is $n\times p$.ความถี่สัมพัทธ์ใช้ประมาณ $p$ · ความถี่ที่คาดหวังคือ $n\times p$

A spinner is spun $200$ timesหมุนวงล้อ $200$ ครั้ง

Red: $\dfrac{58}{200}=0.29$, so the estimate of $P(\text{red})$ is $0.29$.สีแดง: $\dfrac{58}{200}=0.29$ · จึงประมาณ $P(\text{red})$ ได้ $0.29$

  1. A drawing pin is dropped $250$ times. It lands point up $90$ times. Estimate the probability that it lands point up.ปล่อยหมุดลงพื้น $250$ ครั้ง · ปลายแหลมชี้ขึ้น $90$ ครั้ง · ประมาณความน่าจะเป็นที่ปลายแหลมชี้ขึ้น
    Answer:เฉลย: $\dfrac{90}{250}=0.36$Frequency over trials: $\dfrac{90}{250}=0.36$ความถี่ หารด้วยจำนวนครั้ง: $\dfrac{90}{250}=0.36$
  2. Use $0.36$. The pin is dropped $600$ more times. Work out an estimate for the number of times it lands point up.ใช้ $0.36$ · ปล่อยหมุดอีก $600$ ครั้ง · ประมาณว่าปลายแหลมจะชี้ขึ้นกี่ครั้ง
    Answer:เฉลย: $600\times0.36=216$Trials × probability: $E=n\times p$   $=600\times0.36$   $=216$ It is an estimate. The real count will be near $216$ and may differ.จำนวนครั้ง × ความน่าจะเป็น: $E=n\times p$   $=600\times0.36$   $=216$ นี่คือค่าประมาณ · ของจริงจะใกล้ $216$ และอาจต่างไปบ้าง
  3. In the travel table, $24$ of the $60$ students take the bus. The $60$ are a fair sample of a school of $900$. Estimate how many of the $900$ take the bus.ในตารางการเดินทาง นักเรียน $24$ จาก $60$ คนนั่งรถบัส · $60$ คนนี้เป็นตัวแทนที่ดีของโรงเรียนที่มี $900$ คน · ประมาณว่าใน $900$ คน มีกี่คนนั่งรถบัส
    Answer:เฉลย: $\dfrac{24}{60}\times900=360$Table gives $p$, then $n\times p$: $p=\dfrac{24}{60}=0.4$   $E=900\times0.4$   $=360$ตารางให้ค่า $p$ แล้วคูณ $n$: $p=\dfrac{24}{60}=0.4$   $E=900\times0.4$   $=360$
  4. Mia plots the relative frequency of red as she spins. Which is the best estimate of $P(\text{red})$?มีอาพล็อตความถี่สัมพัทธ์ของสีแดงระหว่างหมุน · ค่าใดประมาณ $P(\text{red})$ ได้ดีที่สุด?
    Answer:เฉลย: $0.31$Most trials, best estimate: $\dfrac{62}{200}=0.31$ If asked for a reason, write: it is based on more trials.ทดลองมากสุด ประมาณได้ดีสุด: $\dfrac{62}{200}=0.31$ ถ้าโจทย์ถามเหตุผล ให้ตอบว่า: มาจากการทดลองจำนวนครั้งที่มากกว่า

4. Given that: one row onlyเมื่อรู้ว่า: เหลือแถวเดียว

"Given that" shrinks the bottom to one row or one column."เมื่อรู้ว่า" ทำให้ตัวส่วนเหลือแค่แถวเดียว หรือคอลัมน์เดียว

We know the student is a girl. What is $P(\text{bus})$ now?รู้แล้วว่าเป็นนักเรียนหญิง · ตอนนี้ $P(\text{bus})$ เท่าไร?

The given row's total becomes the denominator.ผลรวมของแถวที่รู้แล้ว กลายเป็นตัวส่วน

  1. Back to the sports table. Given that the student is in Year 11, find the probability that they chose swimming.กลับมาที่ตารางกีฬา · เมื่อรู้ว่านักเรียนอยู่ปี 11 หาความน่าจะเป็นที่เลือกว่ายน้ำ
    Answer:เฉลย: $P(\text{swim}\mid\text{Y11})=\dfrac{12}{25}$Year 11 row: 25 students: $P(\text{swim}\mid\text{Y11})=\dfrac{12}{25}$แถวปี 11: $25$ คน: $P(\text{swim}\mid\text{Y11})=\dfrac{12}{25}$
  2. Given that the student chose swimming, find the probability that they are in Year 11.เมื่อรู้ว่านักเรียนเลือกว่ายน้ำ หาความน่าจะเป็นที่อยู่ปี 11
    Answer:เฉลย: $P(\text{Y11}\mid\text{swim})=\dfrac{12}{19}$Swim column: 19 students: $P(\text{Y11}\mid\text{swim})=\dfrac{12}{19}$ Same cell, $12$, both times. Only the bottom changed: $25$, then $19$.คอลัมน์ว่ายน้ำ: $19$ คน: $P(\text{Y11}\mid\text{swim})=\dfrac{12}{19}$ ช่อง $12$ เดิมทั้งสองข้อ · เปลี่ยนแค่ตัวส่วน: $25$ แล้ว $19$
  3. Travel table. One of the students who takes the bus is chosen at random. What is the probability that this student is a boy?ตารางการเดินทาง · สุ่มนักเรียนหนึ่งคนจากคนที่นั่งรถบัส · ความน่าจะเป็นที่เป็นนักเรียนชายเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{9}{24}=\dfrac{3}{8}$Bus users are the given: $P(\text{boy}\mid\text{bus})=\dfrac{9}{24}$   $=\dfrac{3}{8}$ Exams write "given that" or "one of the students who …". Both fix the denominator.คนนั่งรถบัสคือสิ่งที่รู้แล้ว: $P(\text{boy}\mid\text{bus})=\dfrac{9}{24}$   $=\dfrac{3}{8}$ ข้อสอบเขียน "given that" หรือ "one of the students who …" · ทั้งสองแบบกำหนดตัวส่วน
  4. At a café, $40$ people ordered a drink: $25$ coffee and $15$ tea. $18$ of the coffee drinkers and $6$ of the tea drinkers also ordered cake. Given that a person ordered cake, find the probability that they ordered coffee.ร้านกาแฟมีคนสั่งเครื่องดื่ม $40$ คน: กาแฟ $25$ ชา $15$ · คนดื่มกาแฟ $18$ คน และคนดื่มชา $6$ คน สั่งเค้กด้วย · เมื่อรู้ว่าคนนั้นสั่งเค้ก หาความน่าจะเป็นที่เขาสั่งกาแฟ
    Answer:เฉลย: $\dfrac{18}{18+6}=\dfrac{3}{4}$Cake column, then count: $n(\text{cake})=18+6=24$   $P(\text{coffee}\mid\text{cake})=\dfrac{18}{24}$   $=\dfrac{3}{4}$หาคอลัมน์เค้ก แล้วนับในนั้น: $n(\text{cake})=18+6=24$   $P(\text{coffee}\mid\text{cake})=\dfrac{18}{24}$   $=\dfrac{3}{4}$

5. Given that on a Venn diagramเมื่อรู้ว่า บนแผนภาพเวนน์

Given $B$: count only inside circle $B$.รู้ว่าอยู่ใน $B$: นับแค่ในวง $B$

$40$ students: music $M$, drama $D$นักเรียน $40$ คน: ดนตรี $M$ ละคร $D$

On top: the overlap. Underneath: the whole given circle.ตัวเศษ: ส่วนที่ซ้อนกัน · ตัวส่วน: ทั้งวงที่รู้แล้ว

  1. Same students. Given that the student studies music, find the probability that they also study drama.นักเรียนกลุ่มเดิม · เมื่อรู้ว่าเรียนดนตรี หาความน่าจะเป็นที่เรียนละครด้วย
    Answer:เฉลย: $P(D\mid M)=\dfrac{7}{18}$Overlap over circle $M$: $n(M)=11+7=18$   $P(D\mid M)=\dfrac{7}{18}$ส่วนที่ซ้อน หารด้วยวง $M$: $n(M)=11+7=18$   $P(D\mid M)=\dfrac{7}{18}$
  2. Given that the student does not study drama, find the probability that they study music.เมื่อรู้ว่านักเรียนไม่ได้เรียนละคร หาความน่าจะเป็นที่เรียนดนตรี
    Answer:เฉลย: $P(M\mid D')=\dfrac{11}{20}$Outside $D$: 11 and 9: $n(D')=11+9=20$   $P(M\mid D')=\dfrac{11}{20}$ $D'$ means everything not in $D$, including the $9$ outside both circles.นอกวง $D$: $11$ กับ $9$: $n(D')=11+9=20$   $P(M\mid D')=\dfrac{11}{20}$ $D'$ คือทุกอย่างที่ไม่อยู่ใน $D$ · รวม $9$ คนที่อยู่นอกทั้งสองวงด้วย
  3. This Venn diagram shows probabilities, not numbers of people. Find $P(A\mid B)$.แผนภาพเวนน์นี้แสดงความน่าจะเป็น ไม่ใช่จำนวนคน · หา $P(A\mid B)$
    Answer:เฉลย: $\dfrac{0.1}{0.4}=0.25$Same rule, with probabilities: $P(B)=0.1+0.3=0.4$   $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$   $=\dfrac{0.1}{0.4}$   $=0.25$กฎเดิม ใช้กับความน่าจะเป็น: $P(B)=0.1+0.3=0.4$   $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$   $=\dfrac{0.1}{0.4}$   $=0.25$

6. Given that on a treeเมื่อรู้ว่า บนแผนภาพต้นไม้

Without replacement, every second branch is already a "given the first" probability.แบบไม่ใส่คืน กิ่งชุดที่สองทุกกิ่งเป็น "เมื่อรู้ผลลูกแรก" อยู่แล้ว

$5$ red and $3$ blue counters. Two are taken, without replacement.ลูกแก้วแดง $5$ น้ำเงิน $3$ · หยิบสองลูกแบบไม่ใส่คืน

Read every second branch as "given the first": a conditional probability.อ่านกิ่งชุดที่สองทุกกิ่งว่า "เมื่อรู้ผลลูกแรก" · คือความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

  1. From the tree: given that the first counter is red, what is the probability that the second is blue?จากต้นไม้: เมื่อรู้ว่าลูกแรกเป็นสีแดง ความน่าจะเป็นที่ลูกที่สองเป็นสีน้ำเงินเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $P(\text{2nd B}\mid\text{1st R})=\dfrac{3}{7}$Read the branch, no multiplying: $8-1=7$   $P(\text{2nd B}\mid\text{1st R})=\dfrac{3}{7}$อ่านกิ่งตรงๆ ไม่ต้องคูณ: $8-1=7$   $P(\text{2nd B}\mid\text{1st R})=\dfrac{3}{7}$
  2. A box has $10$ bulbs, $4$ of them faulty. Two are taken at random without replacement. Given that the first bulb is faulty, find the probability that the second is faulty.กล่องมีหลอดไฟ $10$ หลอด เสีย $4$ หลอด · สุ่มหยิบสองหลอดแบบไม่ใส่คืน · เมื่อรู้ว่าหลอดแรกเสีย หาความน่าจะเป็นที่หลอดที่สองเสีย
    Answer:เฉลย: $\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$One faulty gone: 3 of 9: $4-1=3$   $10-1=9$   $P(\text{2nd F}\mid\text{1st F})=\dfrac{3}{9}$   $=\dfrac{1}{3}$หลอดเสียหายไปหนึ่ง: เหลือ $3$ จาก $9$: $4-1=3$   $10-1=9$   $P(\text{2nd F}\mid\text{1st F})=\dfrac{3}{9}$   $=\dfrac{1}{3}$
  3. Back to $5$ red and $3$ blue. Given that the second counter is red, find the probability that the first was red.กลับมาที่แดง $5$ น้ำเงิน $3$ · เมื่อรู้ว่าลูกที่สองเป็นสีแดง หาความน่าจะเป็นที่ลูกแรกเป็นสีแดง
    Answer:เฉลย: $\dfrac{20}{35}=\dfrac{4}{7}$Given column: 35 pairs: $5\times4=20$   $3\times5=15$   $P(\text{1st R}\mid\text{2nd R})=\dfrac{20}{20+15}$   $=\dfrac{4}{7}$ Turning the tree into a table makes a backwards "given" a one-column count.คอลัมน์ที่รู้: $35$ คู่: $5\times4=20$   $3\times5=15$   $P(\text{1st R}\mid\text{2nd R})=\dfrac{20}{20+15}$   $=\dfrac{4}{7}$ เปลี่ยนต้นไม้เป็นตาราง · "เมื่อรู้ว่า" แบบย้อนกลับเหลือแค่นับคอลัมน์เดียว

7. Three circlesสามวง

Fill from the centre out: all three, then pairs, then singles, then outside.เติมจากตรงกลางออกไป: ทั้งสามวง แล้วคู่ แล้ววงเดียว แล้วข้างนอก

Three circles make eight regionsวงกลมสามวงแบ่งกล่องเป็นแปดช่อง

Every total includes the regions inside it, so fill those first and subtract them.ผลรวมทุกตัวรวมช่องข้างในไว้แล้ว · เติมช่องข้างในก่อน แล้วค่อยหักออก

$50$ students: $n(F)=25,$ $n(G)=20,$ $n(S)=18$.  Pairs: $n(F\cap G)=8,$ $n(F\cap S)=7,$ $n(G\cap S)=6$.  All three: $3$.  Find $P(F\mid G)$.นักเรียน $50$ คน: $n(F)=25,$ $n(G)=20,$ $n(S)=18$ · คู่: $n(F\cap G)=8,$ $n(F\cap S)=7,$ $n(G\cap S)=6$ · ทั้งสามวง: $3$ · หา $P(F\mid G)$

  1. $n(F\cap G\cap S)=3$Centre first. It sits inside every other total.ตรงกลางก่อน · มันอยู่ในผลรวมอื่นทุกตัว
  2. $n(F\cap G\cap S')=8-3=5$The $8$ in $F\cap G$ includes the centre. Take the $3$ out.$8$ ของ $F\cap G$ รวมตรงกลางไว้ · หัก $3$ ออก
  3. $n(F\cap G'\cap S)=7-3=4$Same move for $F\cap S$.ท่าเดิมกับ $F\cap S$
  4. $n(F'\cap G\cap S)=6-3=3$And for $G\cap S$. All three pairs are done.และกับ $G\cap S$ · ครบสามคู่แล้ว
  5. $n(F\ \text{only})=25-3-5-4=13$Circle $F$ holds four regions. Take away the three already filled.วง $F$ มีสี่ช่อง · หักสามช่องที่เติมแล้ว
  6. $n(G\ \text{only})=20-3-5-3=9$Circle $G$: centre $3$, pairs $5$ and $3$.วง $G$: ตรงกลาง $3$ · คู่ $5$ กับ $3$
  7. $n(S\ \text{only})=18-3-4-3=8$Circle $S$: centre $3$, pairs $4$ and $3$.วง $S$: ตรงกลาง $3$ · คู่ $4$ กับ $3$
  8. $n(F\cup G\cup S)=13+9+8+5+4+3+3=45$Add the seven regions inside the circles.บวกเจ็ดช่องที่อยู่ในวง
  9. $n\big((F\cup G\cup S)'\big)=50-45=5$Outside last. Check: all eight regions add to $50$ ✓ข้างนอกทำสุดท้าย · ตรวจ: แปดช่องรวมกันได้ $50$ ✓
  10. $P(F\mid G)=\dfrac{n(F\cap G)}{n(G)}$Given German: circle $G$ is the bottom. It is shaded on the picture.รู้ว่าเรียนเยอรมัน: วง $G$ เป็นตัวส่วน · ระบายไว้ในรูป
  11. $=\dfrac{5+3}{20}$$F\cap G$ is the whole lens: pair region $5$ and centre $3$.$F\cap G$ คือทั้งเลนส์: ช่องคู่ $5$ และตรงกลาง $3$
  12. $=\dfrac{2}{5}$$\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}$. Using only the $5$ gives $\dfrac{5}{20}$, the usual lost mark.$\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}$ · ถ้าใช้แค่ $5$ จะได้ $\dfrac{5}{20}$ · จุดที่เสียคะแนนบ่อย
  1. $n(A\cap C)=10$. What number goes in the region marked $?$$n(A\cap C)=10$ · ช่องที่มี $?$ ใส่เลขอะไร?
    Answer:เฉลย: $n(A\cap B'\cap C)=10-4=6$Pair total minus centre: $n(A\cap B'\cap C)=10-4=6$ผลรวมคู่ ลบตรงกลาง: $n(A\cap B'\cap C)=10-4=6$
  2. $50$ students; $B$ = basketball, $C$ = cricket, $T$ = tennis. $n(B)=20,$ $n(B\cap C)=8,$ $n(B\cap T)=5,$ $n(B\cap C\cap T)=2$. How many play basketball only?นักเรียน $50$ คน · $B$ = บาสเกตบอล $C$ = คริกเก็ต $T$ = เทนนิส · $n(B)=20,$ $n(B\cap C)=8,$ $n(B\cap T)=5,$ $n(B\cap C\cap T)=2$ · มีกี่คนที่เล่นบาสเกตบอลอย่างเดียว?
    Answer:เฉลย: $20-2-6-3=9$Pairs first, then the single: $n(B\cap C\cap T')=8-2=6$   $n(B\cap C'\cap T)=5-2=3$   $n(B\ \text{only})=20-2-6-3=9$คู่ก่อน แล้วค่อยวงเดียว: $n(B\cap C\cap T')=8-2=6$   $n(B\cap C'\cap T)=5-2=3$   $n(B\ \text{only})=20-2-6-3=9$
  3. The completed diagram. How many students play exactly one of the three sports?แผนภาพที่เติมครบแล้ว · มีนักเรียนกี่คนที่เล่นกีฬาแค่หนึ่งอย่างจากสามอย่าง?
    Answer:เฉลย: $9+9+8=26$The three single regions: $9+9+8=26$สามช่องวงเดียว: $9+9+8=26$
  4. A student is chosen at random. Given that the student plays cricket, find the probability that they also play tennis.สุ่มนักเรียนหนึ่งคน · เมื่อรู้ว่าเล่นคริกเก็ต หาความน่าจะเป็นที่เล่นเทนนิสด้วย
    Answer:เฉลย: $P(T\mid C)=\dfrac{5+2}{22}=\dfrac{7}{22}$Lens $C\cap T$ over circle $C$: $n(C)=9+6+5+2=22$   $n(C\cap T)=5+2=7$   $P(T\mid C)=\dfrac{7}{22}$ The lens always takes the centre with it.เลนส์ $C\cap T$ หารด้วยวง $C$: $n(C)=9+6+5+2=22$   $n(C\cap T)=5+2=7$   $P(T\mid C)=\dfrac{7}{22}$ เลนส์ต้องรวมตรงกลางไปด้วยเสมอ

8. Exam formฟอร์มข้อสอบ

Real wording, real marks. A three-set Venn with $x$, and a two-way table.ภาษาข้อสอบจริง คะแนนจริง · เวนน์สามวงที่มี $x$ และตารางสองทาง

Write the fraction before you simplify itเขียนเศษส่วนออกมาก่อน แล้วค่อยทำให้อย่างต่ำ

$\dfrac{18}{60}$ unsimplified still scores. A wrong bottom scores nothing.$\dfrac{18}{60}$ ที่ยังไม่ทำเป็นอย่างต่ำก็ได้คะแนน · ตัวส่วนผิดไม่ได้คะแนนเลย

  1. Exam: $60$ members of a club were asked whether they play badminton $(B)$, chess $(C)$ or darts $(D)$. The Venn diagram shows the numbers of members.  (6 marks)ข้อสอบ: ถามสมาชิกชมรม $60$ คนว่าเล่นแบดมินตัน $(B)$ หมากรุก $(C)$ หรือปาเป้า $(D)$ · แผนภาพเวนน์แสดงจำนวนสมาชิก  (6 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\dfrac{12}{29}$6 marks: $\text{M1}\quad 7x+32=60$   $\text{A1}\quad x=4$   $\text{M1}\quad 8+5+5=18$   $\text{A1}\quad \tfrac{18}{60}=\tfrac{3}{10}$   $\text{M1}\quad n(C)=8+4+5+12=29$   $\text{A1}\quad \tfrac{12}{29}$ In (c) the marks are usually lost by using $8$ instead of $8+4$.6 คะแนน: $\text{M1}\quad 7x+32=60$   $\text{A1}\quad x=4$   $\text{M1}\quad 8+5+5=18$   $\text{A1}\quad \tfrac{18}{60}=\tfrac{3}{10}$   $\text{M1}\quad n(C)=8+4+5+12=29$   $\text{A1}\quad \tfrac{12}{29}$ ข้อ (ค) มักเสียคะแนนเพราะใช้ $8$ แทน $8+4$
  2. Exam: $100$ adults were asked which drink they prefer. The two-way table shows some of this information.  (6 marks)ข้อสอบ: ถามผู้ใหญ่ $100$ คนว่าชอบเครื่องดื่มอะไร · ตารางสองทางแสดงข้อมูลบางส่วน  (6 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $900$6 marks: $\text{M1}\quad 45-24=21$   $\text{A1}\quad 45-12-21=12$   $\text{M1}\quad 18-12=6$   $\text{A1}\quad \tfrac{6}{18}=\tfrac{1}{3}$   $\text{M1}\quad \tfrac{45}{100}\times2000$   $\text{A1}\quad 900$ In (b) the denominator is the juice total, $18$. Dividing by $100$ loses both marks.6 คะแนน: $\text{M1}\quad 45-24=21$   $\text{A1}\quad 45-12-21=12$   $\text{M1}\quad 18-12=6$   $\text{A1}\quad \tfrac{6}{18}=\tfrac{1}{3}$   $\text{M1}\quad \tfrac{45}{100}\times2000$   $\text{A1}\quad 900$ ข้อ (ข) ตัวส่วนคือผลรวมน้ำผลไม้ $18$ · หารด้วย $100$ เสียทั้งสองคะแนน

9. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน · แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. Of $50$ pupils, $20$ are boys. $6$ boys and $9$ girls wear glasses. A pupil who wears glasses is chosen at random. Find the probability that the pupil is a girl.
    Answer:เฉลย: $\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}$Glasses is the given: the bottom is $6+9=15$.รู้ว่าใส่แว่น: ตัวส่วนคือ $6+9=15$
  2. $n(\xi)=120,$ $n(A)=52,$ $n(B)=47,$ $n(C)=39,$ $n(A\cap B)=19,$ $n(A\cap C)=14,$ $n(B\cap C)=12,$ $n(A\cap B\cap C)=6$.  Find the number in none of the sets, and $P(A\mid C)$.
    Answer:เฉลย: $21$;  $P(A\mid C)=\dfrac{14}{39}$Same centre-out routine; the singles are $25,$ $22,$ $19$.เติมจากตรงกลางเหมือนเดิม · ช่องวงเดียวคือ $25,$ $22,$ $19$
  3. $P(A)=0.6,$ $P(B)=0.45,$ $P(A\cup B)=0.8$.  Find $P(A\mid B)$.
    Answer:เฉลย: $P(A\cap B)=0.25$, so $P(A\mid B)=\dfrac{0.25}{0.45}=\dfrac{5}{9}$No diagram: find the overlap first, $0.6+0.45-0.8$.ไม่มีรูป: หาส่วนที่ซ้อนก่อน $0.6+0.45-0.8$
  4. A bag has $6$ red and $4$ blue beads. Two are taken without replacement.  Find $P(\text{same colour})$. Given that they are the same colour, find $P(\text{both red})$.
    Answer:เฉลย: $\dfrac{7}{15}$;  $\dfrac{30}{42}=\dfrac{5}{7}$The old tree gives $\tfrac{30}{90}$ and $\tfrac{12}{90}$; "given same colour" keeps only those two.ต้นไม้แบบเดิมให้ $\tfrac{30}{90}$ กับ $\tfrac{12}{90}$ · "เมื่อรู้ว่าสีเดียวกัน" เหลือแค่สองกิ่งนี้
  5. $n(\xi)=50$. $30$ study French and $4$ study neither French nor Spanish. Given that a student studies French, the probability that they also study Spanish is $\tfrac{2}{5}$. A student who studies Spanish is chosen at random. Find the probability that this student also studies French.
    Answer:เฉลย: $\dfrac{12}{28}=\dfrac{3}{7}$Undo the conditional: $\tfrac25\times30=12$ study both. Then Spanish is given: $12+16=28$ underneath.ย้อนเงื่อนไข: $\tfrac25\times30=12$ คนเรียนทั้งสองวิชา · แล้วรู้ว่าเรียนสเปน: ตัวส่วนคือ $12+16=28$
  6. $70$ people were asked which of apples $(A)$, bananas $(B)$ and cherries $(C)$ they like. $x$ like all three; $2x$ like $A$ and $B$ only; $x$ like $A$ and $C$ only; $x+2$ like $B$ and $C$ only; $15$ like $A$ only, $12$ like $B$ only, $10$ like $C$ only and $6$ like none. (a)(ก) Find $x$. (b)(ข) Given that a person likes cherries, find the probability that they like apples.
    Answer:เฉลย: (a) $x=5$   (b) $\dfrac{10}{27}$An equation from the total, then a lens over a circle.ตั้งสมการจากผลรวม แล้วเลนส์หารด้วยวง

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี