Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Curved Graphsกราฟเส้นโค้ง
IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upวอร์มอัพ
Old friend first. On $y=2x+1$: when $x=3$, $y$ = ?ทักเพื่อนเก่าก่อน · บน $y=2x+1$: ถ้า $x=3$ แล้ว $y$ = ? Answer:เฉลย: $y=2\times3+1=7$A line's steps are equal: $y=2x+1,\ \ x=3\ \Rightarrow\ y=2\times3+1=7$ $+1\ \text{in }x\ \Rightarrow\ +2\ \text{in }y,\ \text{every time}$ A curve is what happens when those steps stop being equal.เส้นตรงก้าวเท่ากันทุกก้าว: $y=2x+1,\ \ x=3\ \Rightarrow\ y=2\times3+1=7$ $+1\ \text{in }x\ \Rightarrow\ +2\ \text{in }y,\ \text{every time}$ พอก้าวไม่เท่ากันเมื่อไหร่ ก็กลายเป็นเส้นโค้ง
New engine. $y=x^{2}$: when $x=-3$, $y$ = ?เครื่องยนต์ใหม่ · $y=x^{2}$: ถ้า $x=-3$ แล้ว $y$ = ? Answer:เฉลย: $(-3)^{2}=9$Both signs give the same $y$: $(-3)^{2}=9$ $(+3)^{2}=9$ $\Rightarrow\ \text{the graph folds into a symmetric U}$บวกกับลบ ให้ $y$ ค่าเดียวกัน: $(-3)^{2}=9$ $(+3)^{2}=9$ $\Rightarrow\ \text{the graph folds into a symmetric U}$
2. The line bendsเส้นตรงเริ่มโค้ง
$y=x^{2}$: growing jumps must curve.$y=x^{2}$: ก้าวที่โตขึ้นเรื่อยๆ ต้องโค้ง
Why $x^{2}$ cannot be straightทำไม $x^{2}$ เป็นเส้นตรงไม่ได้
Which one is $y=x^{2}$?อันไหนคือ $y=x^{2}$? Answer:เฉลย: Graph BMirror arms make a parabola: $3^{2}=9,\qquad (-3)^{2}=9$ $\Rightarrow\ \text{mirror about the }y\text{-axis}$ $\text{this U shape}=\text{a parabola}$แขนสองข้างสะท้อนกัน กลายเป็นพาราโบลา: $3^{2}=9,\qquad (-3)^{2}=9$ $\Rightarrow\ \text{mirror about the }y\text{-axis}$ $\text{this U shape}=\text{a parabola}$
Plotting needs points. $y=x^{2}-2x$: when $x=3$, $y$ = ?จะวาดกราฟต้องมีจุด · $y=x^{2}-2x$: ถ้า $x=3$ แล้ว $y$ = ? Answer:เฉลย: $9-6=3$The table is the graph: $x=3:\ \ y=3^{2}-2\times3=9-6=3$ $(x,y)\ \to\ \text{plot}\ \to\ \text{join}$ Join with a smooth curve — never a ruler.ตารางค่า ก็คือกราฟ: $x=3:\ \ y=3^{2}-2\times3=9-6=3$ $(x,y)\ \to\ \text{plot}\ \to\ \text{join}$ ลากเส้นโค้งเรียบๆ ห้ามใช้ไม้บรรทัด
3. Solve it from the pictureแก้สมการจากรูป
One frozen curve answers many equations.เส้นโค้งเส้นเดียว ตอบได้หลายสมการ
The graph of $y=x^{2}-4x+3$. Where on the graph do you find the solutions of $x^{2}-4x+3=0$?กราฟ $y=x^{2}-4x+3$ · หาคำตอบของ $x^{2}-4x+3=0$ ได้จากตรงไหนของกราฟ? Answer:เฉลย: $x=1$ andและ $x=3$Roots are where the curve crosses: $x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3)$ $\Rightarrow\ x=1,\ \ x=3$ $\text{the same two crossings on the }x\text{-axis}$รากคือจุดที่กราฟตัดแกน $x$: $x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3)$ $\Rightarrow\ x=1,\ \ x=3$ $\text{the same two crossings on the }x\text{-axis}$
Same frozen graph. To solve $x^{2}-4x+3=2$ with it, what do you draw?กราฟเส้นเดิมนิ่งๆ · ถ้าจะใช้มันแก้ $x^{2}-4x+3=2$ ต้องขีดอะไรเพิ่ม? Answer:เฉลย: $y=2$Same graph, new line: $=0\ \Rightarrow\ \text{read where the curve meets the }x\text{-axis}$ $=2\ \Rightarrow\ \text{draw }y=2,\ \text{read the crossings}$กราฟเดิม เพิ่มเส้นใหม่: $=0\ \Rightarrow\ \text{read where the curve meets the }x\text{-axis}$ $=2\ \Rightarrow\ \text{draw }y=2,\ \text{read the crossings}$
4. The bottom of the Uจุดต่ำสุดของ U
Vertex form $(x+p)^{2}+q$ shows the turning point.รูป $(x+p)^{2}+q$ แสดงจุดวกกลับให้เห็นเลย
Where is the bottom of $y=x^{2}+6x+5$?จุดต่ำสุดของ $y=x^{2}+6x+5$ อยู่ตรงไหน
$y=x^{2}+6x+5$You cannot read the turning point off this form.รูปนี้อ่านจุดต่ำสุดไม่ออก
$y=(x+3)^{2}-9+5$Half of $6$ is $3$. But $(x+3)^{2}$ brings an extra $9$, so take it straight back off.ครึ่งของ $6$ คือ $3$ · แต่ $(x+3)^{2}$ แถม $9$ มาด้วย ก็ลบคืนไปเลย
$y=(x+3)^{2}-4$$-9+5=-4$. This is vertex form.$-9+5=-4$ · นี่คือรูปจุดยอด
$(-3,\,-4)$A square is never negative, so the smallest $y$ is $-4$, and it happens at $x=-3$.กำลังสองติดลบไม่ได้ · $y$ ต่ำสุดคือ $-4$ เกิดตอน $x=-3$
$y=(x-2)^{2}+1$. Write down its minimum point (as $x,y$).$y=(x-2)^{2}+1$ · บอกจุดต่ำสุด (ตอบเป็น $x,y$) Answer:เฉลย: $(2,\;1)$At $x=2$ the square contributes nothing, so $y=1$ — and everywhere else it adds. Minimum $(2,1)$, no calculus needed.ที่ $x=2$ กำลังสองไม่เพิ่มอะไรเลย $y$ เหลือ $1$ — ที่อื่นมีแต่บวกเพิ่ม · จุดต่ำสุด $(2,1)$ โดยไม่ต้องใช้แคลคูลัส
$y=x^{2}-6x+2$. Complete the square, then give the minimum point (as $x,y$).$y=x^{2}-6x+2$ · เติมกำลังสองสมบูรณ์ แล้วบอกจุดต่ำสุด (ตอบเป็น $x,y$) Answer:เฉลย: $y=(x-3)^{2}-7\;\to\;(3,\,-7)$Vertex form shows the minimum: $y=x^{2}-6x+2=(x-3)^{2}-9+2$ $=(x-3)^{2}-7$ $\Rightarrow\ \text{minimum }(3,-7)$ Vertex form does for curves what $y=mx+c$ does for lines.รูปจุดยอด บอกจุดต่ำสุดทันที: $y=x^{2}-6x+2=(x-3)^{2}-9+2$ $=(x-3)^{2}-7$ $\Rightarrow\ \text{minimum }(3,-7)$ รูปจุดยอดทำกับเส้นโค้ง เหมือนที่ $y=mx+c$ ทำกับเส้นตรง
5. The family albumอัลบั้มครอบครัวกราฟ
$\tfrac{k}{x}$, $x^{3}$, $\sqrt{x}$ — recognise each shape on sight.$\tfrac{k}{x}$, $x^{3}$, $\sqrt{x}$ — เห็นปุ๊บต้องจำหน้าได้
Two separate branches, and a break at $x=0$. Which equation?สองกิ่งแยกกัน แล้วขาดตรง $x=0$ · สมการไหน? Answer:เฉลย: $y=\dfrac{6}{x}$Never divide by zero: $y=\dfrac{6}{x},\qquad x\neq 0$ $\Rightarrow\ \text{two branches, never touching the axes}$ $\text{the axes are the asymptotes}$หารด้วยศูนย์ไม่ได้ กราฟเลยขาด: $y=\dfrac{6}{x},\qquad x\neq 0$ $\Rightarrow\ \text{two branches, never touching the axes}$ $\text{the axes are the asymptotes}$
One connected S through the origin — negative on the left, positive on the right. Which?ตัว S ต่อเนื่องผ่านจุดกำเนิด — ซ้ายติดลบ ขวาเป็นบวก · อันไหน? Answer:เฉลย: $y=x^{3}$Cubing keeps the sign: $2^{3}=8,\qquad (-2)^{3}=-8$ $\Rightarrow\ \text{bottom-left and top-right}$ $\text{one smooth S through the origin}$ยกกำลังสาม เครื่องหมายไม่เปลี่ยน: $2^{3}=8,\qquad (-2)^{3}=-8$ $\Rightarrow\ \text{bottom-left and top-right}$ $\text{one smooth S through the origin}$
$y=\sqrt{x}$: starts at the origin, only lives on the right. Why is there nothing for negative $x$?$y=\sqrt{x}$: เริ่มที่จุดกำเนิด อยู่แค่ฝั่งขวา · ทำไมฝั่ง $x$ ติดลบถึงว่างเปล่า? Answer:เฉลย:No real square root of a negativeจำนวนลบไม่มีรากที่สองจริงNothing squares to a negative: $(+)\times(+)=+$ $(-)\times(-)=+$ $\Rightarrow\ \sqrt{-4}\ \text{has no real value}$ $y=\sqrt{x}\ \text{exists only for}\ x\ge 0$ไม่มีเลขไหนยกกำลังสองแล้วติดลบ: $(+)\times(+)=+$ $(-)\times(-)=+$ $\Rightarrow\ \sqrt{-4}\ \text{has no real value}$ $y=\sqrt{x}\ \text{exists only for}\ x\ge 0$
6. Growth: the exponentialโตแบบทวีคูณ: เอกซ์โพเนนเชียล
$y=2^{x}$: each step right multiplies.$y=2^{x}$: ทุกก้าวไปขวาคือคูณ
$y=2^{x}$. Step one to the right — what happens to $y$?$y=2^{x}$ · ขยับขวาหนึ่งก้าว — $y$ เป็นยังไง? Answer:เฉลย: $\times2$ each stepทุกก้าวEach step multiplies, not adds: $2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \dots\qquad \times 2\ \text{each step}$ $\text{left of the axis}:\ \times\tfrac12\ \text{each step}$ $\Rightarrow\ \text{nears the }x\text{-axis, never touches it}$ทุกก้าวคือคูณ ไม่ใช่บวก: $2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \dots\qquad \times 2\ \text{each step}$ $\text{left of the axis}:\ \times\tfrac12\ \text{each step}$ $\Rightarrow\ \text{nears the }x\text{-axis, never touches it}$
$y=2^{x}$. Give $y$ at $x=5$, then at $x=0$.$y=2^{x}$ · หา $y$ ที่ $x=5$ แล้วก็ที่ $x=0$ Answer:เฉลย: $2^{5}=32$, $2^{0}=1$Every $y=a^{x}$ passes $(0,1)$: $2^{5}=32$ $2^{0}=1$ Compound interest is this curve — $(0,1)$ is before anything has happened.กราฟ $y=a^{x}$ ผ่าน $(0,1)$ ทุกเส้น: $2^{5}=32$ $2^{0}=1$ ดอกเบี้ยทบต้นคือกราฟเส้นนี้ · $(0,1)$ คือตอนที่ยังไม่มีอะไรเกิดขึ้น
7. Steepness of a curveความชันของเส้นโค้ง
No single gradient — so measure it at a point, with a tangent.ไม่มีความชันตัวเดียว — เลยต้องวัดทีละจุด ด้วยเส้นสัมผัส
A line has one gradient. A curve does not. How do you measure steepness at a point $P$?เส้นตรงมีความชันค่าเดียว แต่เส้นโค้งไม่ใช่ · จะวัดความชันตรงจุด $P$ ยังไง? Answer:เฉลย:Tangent atเส้นสัมผัสที่ $P$Gradient at a point: the tangent: $\text{tangent touches at }P\ \text{and matches its direction}$ $\text{gradient}=\dfrac{\text{rise}}{\text{run}}$ความชันที่จุดหนึ่ง = เส้นสัมผัส: $\text{tangent touches at }P\ \text{and matches its direction}$ $\text{gradient}=\dfrac{\text{rise}}{\text{run}}$
The tangent at $P$ passes through $(1,2)$ and $(3,10)$. Its gradient = ?เส้นสัมผัสที่ $P$ ผ่านจุด $(1,2)$ กับ $(3,10)$ · ความชัน = ? Answer:เฉลย: $\dfrac{10-2}{3-1}=\dfrac{8}{2}=4$Rise over run, from the tangent: $\dfrac{10-2}{3-1}=\dfrac{8}{2}=4$ A tangent drawn by eye is an estimate — examiners accept a range.ชัน = ระยะขึ้น หารด้วย ระยะออก: $\dfrac{10-2}{3-1}=\dfrac{8}{2}=4$ ลากเส้นสัมผัสด้วยตา เป็นค่าประมาณ · กรรมการรับเป็นช่วง
8. Exam formฟอร์มข้อสอบ
The graph is given — the marks are for reading it.เขาให้กราฟมา — คะแนนอยู่ที่การอ่าน
Graph questions pay for reading, not calculatingข้อกราฟจ่ายคะแนนให้การอ่าน ไม่ใช่การคำนวณ
Exam: The graph shows $y=x^{2}-2x-3$. Use it to solve $x^{2}-2x-3=0$. (2 marks)ข้อสอบ: กราฟคือ $y=x^{2}-2x-3$ · ใช้มันแก้ $x^{2}-2x-3=0$ (2 คะแนน) Answer:เฉลย: $x=-1$ andและ $x=3$2 marks: $\text{M1}\ \ \text{read where the curve meets the }x\text{-axis}$ $\text{A1}\ \ x=-1\ \text{and}\ x=3$ $\text{check}\ \ (x+1)(x-3)=x^{2}-2x-3$2 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{read where the curve meets the }x\text{-axis}$ $\text{A1}\ \ x=-1\ \text{and}\ x=3$ $\text{check}\ \ (x+1)(x-3)=x^{2}-2x-3$
Same graph. Write down the minimum point. (1 mark)กราฟเดิม · บอกจุดต่ำสุด (1 คะแนน) Answer:เฉลย: $(1,\,-4)$Symmetry gives $x=1$, and the height on the graph is $-4$. Completing the square agrees: $(x-1)^{2}-4$.สมมาตรให้ $x=1$ และความสูงบนกราฟคือ $-4$ เติมกำลังสองก็ได้ตรงกัน: $(x-1)^{2}-4$
Exam: The curve $y=x^{2}+ax+b$ has minimum point $(3,-5)$, and its graph is already drawn. By drawing one straight line on that graph you can solve $x^{2}-4x-1=0$. Give the equation of that line in the form $y=mx+c$. (5 marks)ข้อสอบ: กราฟ $y=x^{2}+ax+b$ มีจุดต่ำสุดที่ $(3,-5)$ · กราฟนี้วาดไว้ให้แล้ว · ถ้าลากเส้นตรง เส้นเดียว ทับลงไป จะแก้สมการ $x^{2}-4x-1=0$ ได้ · หาสมการเส้นตรงนั้นในรูป $y=mx+c$ (5 คะแนน) Answer:เฉลย: $y=-2x+5$5 marks: $\text{M1}\ \ \text{min }(3,-5)\ \Rightarrow\ y=(x-3)^{2}-5$ $\text{M2}\ \ y=x^{2}-6x+4$ $\text{M3}\ \ \text{line}=\text{curve}-\text{equation to solve}$ $\text{M4}\ \ (x^{2}-6x+4)-(x^{2}-4x-1)=-2x+5$ $\text{A1}\ \ y=-2x+5$ Subtract the equation you want to solve from the curve, never the other way.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{min }(3,-5)\ \Rightarrow\ y=(x-3)^{2}-5$ $\text{M2}\ \ y=x^{2}-6x+4$ $\text{M3}\ \ \text{line}=\text{curve}-\text{equation to solve}$ $\text{M4}\ \ (x^{2}-6x+4)-(x^{2}-4x-1)=-2x+5$ $\text{A1}\ \ y=-2x+5$ เอาสมการที่จะแก้ ไปลบออกจากกราฟ · ห้ามสลับข้าง
The graph of $y=x^{2}-3x-2$ is drawn. Which single straight line would you draw on it to solve $2x^{2}-6x-5=0$?มีกราฟ $y=x^{2}-3x-2$ วาดไว้ · ถ้าจะแก้สมการ $2x^{2}-6x-5=0$ ต้องลากเส้นตรงเส้นไหนทับลงไป Answer:เฉลย: $y=0.5$Compare the $x$-terms first: $2x^{2}-6x-5=0\ \ \div 2\ \Rightarrow\ x^{2}-3x-2.5=0$ $\text{curve}:\ x^{2}-3x-2\qquad\text{same }-3x$ $x^{2}-3x-2=0.5$ $\Rightarrow\ \text{draw}\ y=0.5$ Same $x$-term gives a horizontal line; a different one gives a sloping line.เทียบพจน์ $x$ ก่อนเสมอ: $2x^{2}-6x-5=0\ \ \div 2\ \Rightarrow\ x^{2}-3x-2.5=0$ $\text{curve}:\ x^{2}-3x-2\qquad\text{same }-3x$ $x^{2}-3x-2=0.5$ $\Rightarrow\ \text{draw}\ y=0.5$ พจน์ $x$ เท่ากัน = เส้นแนวนอน · ไม่เท่ากัน = เส้นเอียง
9. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
$y=x^{2}-3$: find $y$ when $x=4$.Identical to the worked slides, numbers changed — the table-of-values move.เหมือนในสไลด์เป๊ะ เปลี่ยนแค่ตัวเลข — ท่าตารางค่า
$y=x^{2}-2x$: find $y$ when $x=-2$.The negative $x$ forces both classic sign moves in one question.$x$ ติดลบบังคับใช้ท่าเครื่องหมายคลาสสิกทั้งสองท่าในข้อเดียว
Which family is $y=\dfrac{5}{x}$, and what happens at $x=0$?Recognition question — no numbers to crunch, just the family portrait.ข้อจำหน้า — ไม่มีเลขให้คิด มีแต่ภาพประจำครอบครัว
Find where $y=x^{2}-6x+8$ crosses the $x$-axis (factorise).The Quadratic Equations lesson chained straight into graphs: roots = crossings.บทสมการกำลังสองต่อท่อเข้ากราฟตรงๆ: ราก = จุดตัด
A U-shaped graph has its minimum at $(2,-9)$. Write its equation in the form $y=(x+p)^{2}+q$.Picture to formula instead of formula to picture — the single best check of vertex form.จากรูปย้อนกลับไปหาสูตร แทนที่จะไปข้างหน้า — ข้อเช็ครูปจุดยอดที่ดีที่สุด
By drawing a tangent, estimate the gradient of $y=x^{2}$ at $x=1$.'Estimate' + 'tangent' is the exam's exact wording for level 7's skill — a range is expected, not one number.'ประมาณ' + 'เส้นสัมผัส' คือภาษาข้อสอบของขั้นที่ 7เป๊ะ — เขาคาดหวังคำตอบเป็นช่วง ไม่ใช่เลขเดียว
A student says $y=2^{x}$ passes through $(0,0)$. Correct them.Marking someone else's error is harder than avoiding your own — and $(0,1)$ is the most-forgotten point in the chapter.ตรวจข้อผิดของคนอื่นยากกว่าไม่ผิดเอง — และ $(0,1)$ คือจุดที่คนลืมบ่อยสุดของบทนี้