Three Brackets, Identities & Proofกระจายสามวงเล็บ เอกลักษณ์ และการพิสูจน์

IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upวอร์มอัพ

Two brackets: every term times every termสองวงเล็บ: ทุกพจน์คูณกับทุกพจน์

$2\times2=4$ cells. The two $x$ cells collect: $2x+3x=5x$.$2\times2=4$ ช่อง · สองช่องที่เป็น $x$ รวมกัน: $2x+3x=5x$

1. Expand and simplify $(x+4)(x+5)$.กระจายและจัดรูป $(x+4)(x+5)$
   Answer:เฉลย: $x^2+9x+20$Four cells, then collect: $(x+4)(x+5)$   $=x^2+5x+4x+20$   $=x^2+9x+20$สี่ช่อง แล้วรวมพจน์: $(x+4)(x+5)$   $=x^2+5x+4x+20$   $=x^2+9x+20$
2. Which is $(x-3)(x+5)$ expanded?ข้อใดคือ $(x-3)(x+5)$ ที่กระจายแล้ว?
   Answer:เฉลย: $x^2+2x-15$Signs stay with their terms: $(x-3)(x+5)$   $=x^2+5x-3x-15$   $=x^2+2x-15$ Write each header with its sign: $-3$, not $3$.เครื่องหมายติดไปกับพจน์: $(x-3)(x+5)$   $=x^2+5x-3x-15$   $=x^2+2x-15$ เขียนหัวตารางพร้อมเครื่องหมาย: $-3$ ไม่ใช่ $3$

2. Two brackets, then one moreสองวงเล็บก่อน แล้วอีกวง

Three brackets: expand two of them, then multiply by the third.สามวงเล็บ: กระจายสองวงก่อน แล้วคูณกับวงที่สาม

$(x+1)(x+2)(x+3)$ in two steps$(x+1)(x+2)(x+3)$ ทำสองขั้น

Same colour, same power: $3x^2+3x^2=6x^2$ and $9x+2x=11x$.สีเดียวกัน = กำลังเดียวกัน: $3x^2+3x^2=6x^2$ และ $9x+2x=11x$

1. To expand $(x+2)(x+1)(x+4)$, first multiply $(x+2)(x+1)$. What do you get?จะกระจาย $(x+2)(x+1)(x+4)$ ให้คูณ $(x+2)(x+1)$ ก่อน · ได้อะไร?
   Answer:เฉลย: $x^2+3x+2$Two brackets first: $(x+2)(x+1)$   $=x^2+x+2x+2$   $=x^2+3x+2$สองวงเล็บก่อน: $(x+2)(x+1)$   $=x^2+x+2x+2$   $=x^2+3x+2$
2. Now finish it: expand and simplify $(x+2)(x+1)(x+4)$.ทำต่อให้จบ: กระจายและจัดรูป $(x+2)(x+1)(x+4)$
   Answer:เฉลย: $x^3+7x^2+14x+8$Six cells, then collect: $(x+2)(x+1)(x+4)$   $=(x^2+3x+2)(x+4)$   $=x^3+4x^2+3x^2+12x+2x+8$   $=x^3+7x^2+14x+8$หกช่อง แล้วรวมพจน์: $(x+2)(x+1)(x+4)$   $=(x^2+3x+2)(x+4)$   $=x^3+4x^2+3x^2+12x+2x+8$   $=x^3+7x^2+14x+8$
3. Expand and simplify $(x-1)(x+2)(x+3)$.กระจายและจัดรูป $(x-1)(x+2)(x+3)$
   Answer:เฉลย: $x^3+4x^2+x-6$Carry every minus sign: $(x-1)(x+2)(x+3)$   $=(x^2+x-2)(x+3)$   $=x^3+3x^2+x^2+3x-2x-6$   $=x^3+4x^2+x-6$ Check with $x=1$: $0\times3\times4=0$ and $1+4+1-6=0$.พกเครื่องหมายลบไปทุกช่อง: $(x-1)(x+2)(x+3)$   $=(x^2+x-2)(x+3)$   $=x^3+3x^2+x^2+3x-2x-6$   $=x^3+4x^2+x-6$ เช็กด้วย $x=1$: $0\times3\times4=0$ และ $1+4+1-6=0$
4. Pim expands $(x+1)(x+2)(x+3)$ by multiplying $(x+1)(x+3)$ first, then by $(x+2)$. What does she get?พิมกระจาย $(x+1)(x+2)(x+3)$ โดยคูณ $(x+1)(x+3)$ ก่อน แล้วค่อยคูณ $(x+2)$ · เธอได้อะไร?
   Answer:เฉลย: $x^3+6x^2+11x+6$Any two brackets first: $(x+1)(x+3)(x+2)$   $=(x^2+4x+3)(x+2)$   $=x^3+2x^2+4x^2+8x+3x+6$   $=x^3+6x^2+11x+6$สองวงไหนก่อนก็ได้: $(x+1)(x+3)(x+2)$   $=(x^2+4x+3)(x+2)$   $=x^3+2x^2+4x^2+8x+3x+6$   $=x^3+6x^2+11x+6$

3. Cubes and bigger numbersกำลังสามและตัวเลขที่ใหญ่ขึ้น

The same two steps — with a repeated bracket, or a number in front of $x$.สองขั้นเดิม · แต่วงเล็บซ้ำกัน หรือมีตัวเลขหน้า $x$

$(x+2)^3$ is three brackets$(x+2)^3$ คือสามวงเล็บ

$(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8$ — not $x^3+8$.$(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8$ · ไม่ใช่ $x^3+8$

1. Which is $(x+3)^3$ expanded?ข้อใดคือ $(x+3)^3$ ที่กระจายแล้ว?
   Answer:เฉลย: $x^3+9x^2+27x+27$Square it, then once more: $(x+3)^3$   $=(x^2+6x+9)(x+3)$   $=x^3+3x^2+6x^2+18x+9x+27$   $=x^3+9x^2+27x+27$ยกกำลังสอง แล้วคูณอีกรอบ: $(x+3)^3$   $=(x^2+6x+9)(x+3)$   $=x^3+3x^2+6x^2+18x+9x+27$   $=x^3+9x^2+27x+27$
2. Expand and simplify $(x-1)^3$.กระจายและจัดรูป $(x-1)^3$
   Answer:เฉลย: $x^3-3x^2+3x-1$Signs alternate: $(x-1)^3$   $=(x^2-2x+1)(x-1)$   $=x^3-x^2-2x^2+2x+x-1$   $=x^3-3x^2+3x-1$เครื่องหมายสลับกัน: $(x-1)^3$   $=(x^2-2x+1)(x-1)$   $=x^3-x^2-2x^2+2x+x-1$   $=x^3-3x^2+3x-1$
3. Expand and simplify $(2x-1)(x+3)(x-2)$.กระจายและจัดรูป $(2x-1)(x+3)(x-2)$
   Answer:เฉลย: $2x^3+x^2-13x+6$The number in front multiplies too: $(2x-1)(x+3)(x-2)$   $=(2x^2+5x-3)(x-2)$   $=2x^3-4x^2+5x^2-10x-3x+6$   $=2x^3+x^2-13x+6$ตัวเลขหน้า $x$ ก็คูณด้วย: $(2x-1)(x+3)(x-2)$   $=(2x^2+5x-3)(x-2)$   $=2x^3-4x^2+5x^2-10x-3x+6$   $=2x^3+x^2-13x+6$
4. Find the coefficient of $x^2$ in the expansion of $(x+4)(x-1)(2x+3)$.หาสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ ในการกระจาย $(x+4)(x-1)(2x+3)$
   Answer:เฉลย: $9$Only the $x^2$ cells: $(x+4)(x-1)=x^2+3x-4$   $x^2\times3=3x^2$   $3x\times2x=6x^2$   $3x^2+6x^2=9x^2$ Coefficient means the number in front: $9$, not $9x^2$.เฉพาะช่องที่เป็น $x^2$: $(x+4)(x-1)=x^2+3x-4$   $x^2\times3=3x^2$   $3x\times2x=6x^2$   $3x^2+6x^2=9x^2$ สัมประสิทธิ์คือตัวเลขข้างหน้า: $9$ ไม่ใช่ $9x^2$

4. Identitiesเอกลักษณ์

An identity is true for every $x$, so the coefficients on both sides must match.เอกลักษณ์จริงทุกค่า $x$ · สัมประสิทธิ์สองฝั่งจึงต้องตรงกัน

$(x+3)^2$ and $x^2+6x+9$ agree for every $x$$(x+3)^2$ กับ $x^2+6x+9$ เท่ากันทุกค่า $x$

Equal for every $x$: an identity, written $(x+3)^2\equiv x^2+6x+9$.เท่ากันทุกค่า $x$: เป็นเอกลักษณ์ เขียนว่า $(x+3)^2\equiv x^2+6x+9$

1. Which of these is an identity?ข้อใดเป็นเอกลักษณ์?
   Answer:เฉลย: $2(x+5)\equiv2x+10$Expanding gives an identity: $2(x+5)$   $=2x+10$   $2(7+5)=24$   $2(7)+10=24$ Every correct expansion is an identity: true for every $x$.การกระจายให้เอกลักษณ์: $2(x+5)$   $=2x+10$   $2(7+5)=24$   $2(7)+10=24$ การกระจายที่ถูกต้องทุกครั้งคือเอกลักษณ์: จริงทุกค่า $x$
2. $(x+a)^2+b\equiv x^2+6x+11$. Compare the $x$ terms. Find $a$.$(x+a)^2+b\equiv x^2+6x+11$ · เทียบพจน์ $x$ · หา $a$
   Answer:เฉลย: $a=3$Match the $x$ terms: $(x+a)^2+b=x^2+2ax+a^2+b$   $2a=6$   $a=3$จับคู่พจน์ $x$: $(x+a)^2+b=x^2+2ax+a^2+b$   $2a=6$   $a=3$
3. Same identity, and $a=3$. Now compare the number terms. Find $b$.เอกลักษณ์เดิม และ $a=3$ · ทีนี้เทียบพจน์ตัวเลข · หา $b$
   Answer:เฉลย: $b=2$Match the number terms: $b+9=11$   $b=2$จับคู่พจน์ตัวเลข: $b+9=11$   $b=2$
4. $(x+p)(x+2)\equiv x^2+qx+10$. Find $p$ and $q$.$(x+p)(x+2)\equiv x^2+qx+10$ · หา $p$ และ $q$
   Answer:เฉลย: $p=5,\ q=7$Number terms first, then $x$ terms: $(x+p)(x+2)=x^2+(p+2)x+2p$   $2p=10$   $p=5$   $q=p+2$   $=7$เทียบตัวเลขก่อน แล้วค่อยพจน์ $x$: $(x+p)(x+2)=x^2+(p+2)x+2p$   $2p=10$   $p=5$   $q=p+2$   $=7$

5. Numbers written in algebraเขียนจำนวนเป็นพีชคณิต

Even, odd, consecutive: each has an algebra form that covers every case.จำนวนคู่ จำนวนคี่ จำนวนเรียงติดกัน · แต่ละแบบมีรูปพีชคณิตที่ครอบคลุมทุกกรณี

One letter stands for every integerตัวอักษรตัวเดียว แทนจำนวนเต็มได้ทุกตัว

$n$ is any integer, so one line of algebra checks every case at once.$n$ เป็นจำนวนเต็มใดก็ได้ · พีชคณิตบรรทัดเดียวจึงเช็กทุกกรณีพร้อมกัน

1. $n$ is an integer. Which expression is always odd?$n$ เป็นจำนวนเต็ม · นิพจน์ใดเป็นจำนวนคี่เสมอ?
   Answer:เฉลย: $2n+1$$2n$ even, so $2n+1$ odd: $2(2)+1=5$   $2(3)+1=7$   $2(10)+1=21$$2n$ เป็นคู่ $2n+1$ จึงเป็นคี่: $2(2)+1=5$   $2(3)+1=7$   $2(10)+1=21$
2. $n$ is an integer. Which are three consecutive integers?$n$ เป็นจำนวนเต็ม · ข้อใดเป็นจำนวนเต็มสามจำนวนที่เรียงติดกัน?
   Answer:เฉลย: $n,\ n+1,\ n+2$$+1$ each time: $n=4$   $n+1=5$   $n+2=6$บวก $1$ ทุกครั้ง: $n=4$   $n+1=5$   $n+2=6$
3. Simplify $n+(n+1)+(n+2)$.จัดรูป $n+(n+1)+(n+2)$
   Answer:เฉลย: $3n+3$Collect $n$s, then numbers: $n+(n+1)+(n+2)$   $=n+n+n+1+2$   $=3n+3$รวม $n$ แล้วรวมตัวเลข: $n+(n+1)+(n+2)$   $=n+n+n+1+2$   $=3n+3$
4. $n+(n+1)+(n+2)=3n+3$. Which line shows the sum is a multiple of $3$?$n+(n+1)+(n+2)=3n+3$ · บรรทัดใดแสดงว่าผลบวกเป็นพหุคูณของ $3$?
   Answer:เฉลย: $3n+3=3(n+1)$Factor out the $3$: $3n+3$   $=3(n+1)$ $n+1$ is an integer, so $3(n+1)$ is a multiple of $3$. Say this in words.ดึง $3$ ออกมา: $3n+3$   $=3(n+1)$ $n+1$ เป็นจำนวนเต็ม · $3(n+1)$ จึงเป็นพหุคูณของ $3$ · ต้องเขียนประโยคนี้ด้วย

6. Prove itพิสูจน์

Expand, simplify, factor out, then say what it shows in one sentence.กระจาย จัดรูป ดึงตัวร่วม แล้วสรุปเป็นประโยคเดียว

Examples check. Algebra proves.ตัวอย่างแค่เช็ก · พีชคณิตคือการพิสูจน์

$3^2-1^2=8$ and $5^2-3^2=16$ check two cases. The algebra covers all of them.$3^2-1^2=8$ และ $5^2-3^2=16$ เช็กได้แค่สองกรณี · พีชคณิตครอบคลุมทุกกรณี

Prove that the difference between the squares of two consecutive odd numbers is a multiple of $8$พิสูจน์ว่าผลต่างของกำลังสองของจำนวนคี่สองจำนวนที่เรียงติดกัน เป็นพหุคูณของ $8$

1. $a=2n+1$$n$ is an integer. Consecutive odd numbers are $2$ apart; call the larger one $a$.ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็ม · จำนวนคี่ที่เรียงติดกันห่างกัน $2$ · ให้ตัวที่มากกว่าเป็น $a$
2. $b=2n-1$$b$ is $2$ less than $a$. Both grids use these brackets.$b$ น้อยกว่า $a$ อยู่ $2$ · ตารางทั้งสองใช้วงเล็บนี้
3. $a^2=4n^2+4n+1$Top grid: $4n^2$, $2n$, $2n$, $1$. The two $2n$ cells make $4n$.ตารางบน: $4n^2$, $2n$, $2n$, $1$ · สองช่อง $2n$ รวมเป็น $4n$
4. $b^2=4n^2-4n+1$Bottom grid: two $-2n$ cells, and the corner is $(-1)\times(-1)=+1$.ตารางล่าง: สองช่อง $-2n$ · ช่องมุมคือ $(-1)\times(-1)=+1$
5. $a^2-b^2=8n$Subtract: $4n^2-4n^2=0$, $4n-(-4n)=8n$, $1-1=0$.ลบกัน: $4n^2-4n^2=0$, $4n-(-4n)=8n$, $1-1=0$
6. $=8\times n$$n$ is an integer, so $8n$ is a multiple of $8$. That sentence earns a mark.$n$ เป็นจำนวนเต็ม · $8n$ จึงเป็นพหุคูณของ $8$ · ประโยคนี้มีคะแนน

1. Simplify $(n+1)^2-(n-1)^2$.จัดรูป $(n+1)^2-(n-1)^2$
   Answer:เฉลย: $4n$Bracket the second square: $(n+1)^2-(n-1)^2$   $=(n^2+2n+1)-(n^2-2n+1)$   $=n^2+2n+1-n^2+2n-1$   $=4n$ใส่วงเล็บตัวที่สอง: $(n+1)^2-(n-1)^2$   $=(n^2+2n+1)-(n^2-2n+1)$   $=n^2+2n+1-n^2+2n-1$   $=4n$
2. Prove that the product of two odd numbers is odd. After $(2n+1)(2m+1)=4nm+2n+2m+1$, which line comes next?พิสูจน์ว่าผลคูณของจำนวนคี่สองจำนวนเป็นจำนวนคี่ · หลังจาก $(2n+1)(2m+1)=4nm+2n+2m+1$ บรรทัดถัดไปคืออะไร?
   Answer:เฉลย: $2(2nm+n+m)+1$Even, plus one, is odd: $(2n+1)(2m+1)$   $=4nm+2n+2m+1$   $=2(2nm+n+m)+1$ $2nm+n+m$ is an integer, so $2(2nm+n+m)$ is even and adding $1$ makes it odd.จำนวนคู่ บวกหนึ่ง เป็นจำนวนคี่: $(2n+1)(2m+1)$   $=4nm+2n+2m+1$   $=2(2nm+n+m)+1$ $2nm+n+m$ เป็นจำนวนเต็ม · $2(2nm+n+m)$ จึงเป็นคู่ · บวก $1$ จึงเป็นคี่
3. Simplify $(n+5)^2-(n+1)^2$.จัดรูป $(n+5)^2-(n+1)^2$
   Answer:เฉลย: $8n+24$Expand, then subtract: $(n+5)^2-(n+1)^2$   $=(n^2+10n+25)-(n^2+2n+1)$   $=n^2+10n+25-n^2-2n-1$   $=8n+24$กระจาย แล้วลบกัน: $(n+5)^2-(n+1)^2$   $=(n^2+10n+25)-(n^2+2n+1)$   $=n^2+10n+25-n^2-2n-1$   $=8n+24$
4. So $(n+5)^2-(n+1)^2=8n+24$. Which line proves it is a multiple of $8$?ดังนั้น $(n+5)^2-(n+1)^2=8n+24$ · บรรทัดใดพิสูจน์ว่าเป็นพหุคูณของ $8$?
   Answer:เฉลย: $8n+24=8(n+3)$Factor out the $8$: $8n+24$   $=8(n+3)$ $n+3$ is an integer, so $8(n+3)$ is a multiple of $8$.ดึง $8$ ออกมา: $8n+24$   $=8(n+3)$ $n+3$ เป็นจำนวนเต็ม · $8(n+3)$ จึงเป็นพหุคูณของ $8$

7. Always positiveเป็นบวกเสมอ

Write it as (bracket)$^2$ + number. A square is never negative.เขียนให้เป็น (วงเล็บ)$^2$ + ตัวเลข · กำลังสองไม่มีวันติดลบ

Show that $x^2-6x+11$ is always positiveแสดงว่า $x^2-6x+11$ เป็นบวกเสมอ

$(x-3)^2\ge0$, so $(x-3)^2+2\ge2$. The value is never below $2$.$(x-3)^2\ge0$ ดังนั้น $(x-3)^2+2\ge2$ · ค่าไม่เคยต่ำกว่า $2$

1. $x^2-6x+11\equiv(x-3)^2+b$. Find $b$.$x^2-6x+11\equiv(x-3)^2+b$ · หา $b$
   Answer:เฉลย: $b=2$Match the number terms: $(x-3)^2+b=x^2-6x+9+b$   $b+9=11$   $b=2$จับคู่พจน์ตัวเลข: $(x-3)^2+b=x^2-6x+9+b$   $b+9=11$   $b=2$
2. So $x^2-6x+11\equiv(x-3)^2+2$. Which line finishes the proof that it is always positive?ดังนั้น $x^2-6x+11\equiv(x-3)^2+2$ · บรรทัดใดปิดการพิสูจน์ว่าเป็นบวกเสมอ?
   Answer:เฉลย: $(x-3)^2+2\ge2\gt0$A square is never negative: $(x-3)^2\ge0$   $(x-3)^2+2\ge2$ Write the $\ge0$ line. The last mark is given for it.กำลังสองไม่ติดลบ: $(x-3)^2\ge0$   $(x-3)^2+2\ge2$ เขียนบรรทัด $\ge0$ ด้วย · คะแนนสุดท้ายให้ตรงนี้
3. Write $x^2+4x+9$ as $(x+2)^2+b$. What is the smallest value of $x^2+4x+9$?เขียน $x^2+4x+9$ ในรูป $(x+2)^2+b$ · ค่าที่น้อยที่สุดของ $x^2+4x+9$ คือเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $5$Least when the square is $0$: $x^2+4x+9=(x+2)^2+5$   $(x+2)^2\ge0$   $(x+2)^2+5\ge5$น้อยสุดเมื่อกำลังสองเป็น $0$: $x^2+4x+9=(x+2)^2+5$   $(x+2)^2\ge0$   $(x+2)^2+5\ge5$

8. Exam formฟอร์มข้อสอบ

Real wording, real marks: an expansion and two short proofs.ภาษาข้อสอบจริง คะแนนจริง · กระจายหนึ่งข้อ พิสูจน์สั้นสองข้อ

Write the working line, and the final sentenceเขียนบรรทัดวิธีทำ และประโยคสรุป

$8n+24$ is not yet a proof. $8(n+3)$ plus the sentence is.$8n+24$ ยังไม่ใช่การพิสูจน์ · $8(n+3)$ พร้อมประโยคสรุปถึงจะใช่

1. Exam: Expand and simplify $(x+3)(x-2)(2x+1)$.  (3 marks)ข้อสอบ: กระจายและจัดรูป $(x+3)(x-2)(2x+1)$  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $2x^3+3x^2-11x-6$3 marks: $\text{M1}\quad (x+3)(x-2)=x^2+x-6$   $\text{M1}\quad 2x^3+x^2+2x^2+x-12x-6$   $\text{A1}\quad 2x^3+3x^2-11x-6$ The mark is usually lost on one sign. Check at $x=1$: both sides give $-12$.3 คะแนน: $\text{M1}\quad (x+3)(x-2)=x^2+x-6$   $\text{M1}\quad 2x^3+x^2+2x^2+x-12x-6$   $\text{A1}\quad 2x^3+3x^2-11x-6$ คะแนนมักหายเพราะเครื่องหมายตัวเดียว · เช็กที่ $x=1$: ทั้งสองฝั่งได้ $-12$
2. Exam: Prove that the sum of the squares of any two consecutive integers is always odd.  (3 marks)ข้อสอบ: พิสูจน์ว่าผลบวกของกำลังสองของจำนวนเต็มสองจำนวนที่เรียงติดกัน เป็นจำนวนคี่เสมอ  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $n^2+(n+1)^2=2(n^2+n)+1$3 marks: $\text{M1}\quad n^2+(n+1)^2=n^2+n^2+2n+1$   $\text{M1}\quad 2n^2+2n+1=2(n^2+n)+1$   $\text{A1}\quad 2(n^2+n)+1$ A1 needs the sentence: $n^2+n$ is an integer, so $2(n^2+n)+1$ is odd.3 คะแนน: $\text{M1}\quad n^2+(n+1)^2=n^2+n^2+2n+1$   $\text{M1}\quad 2n^2+2n+1=2(n^2+n)+1$   $\text{A1}\quad 2(n^2+n)+1$ A1 ต้องมีประโยค: $n^2+n$ เป็นจำนวนเต็ม · $2(n^2+n)+1$ จึงเป็นจำนวนคี่
3. Exam: (a) Write $x^2+8x+20$ in the form $(x+a)^2+b$. (b) Hence show that $x^2+8x+20\gt0$ for all values of $x$.  (3 marks)ข้อสอบ: (ก) เขียน $x^2+8x+20$ ในรูป $(x+a)^2+b$ (ข) จากนั้นแสดงว่า $x^2+8x+20\gt0$ สำหรับทุกค่าของ $x$  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $(x+4)^2+4\ge4\gt0$3 marks: $\text{M1}\quad (x+4)^2$   $\text{A1}\quad (x+4)^2+4$   $\text{B1}\quad (x+4)^2\ge0\ \Rightarrow\ (x+4)^2+4\ge4\gt0$ Part (b) needs the reason $(x+4)^2\ge0$. The number $4$ alone does not score.3 คะแนน: $\text{M1}\quad (x+4)^2$   $\text{A1}\quad (x+4)^2+4$   $\text{B1}\quad (x+4)^2\ge0\ \Rightarrow\ (x+4)^2+4\ge4\gt0$ ข้อ (ข) ต้องมีเหตุผล $(x+4)^2\ge0$ · ตอบแค่เลข $4$ ไม่ได้คะแนน

9. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน · แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. Expand and simplify $(x+2)(x+4)(x+5)$.Two brackets, then the third — six cells, collect.สองวงก่อน แล้ววงที่สาม · หกช่อง แล้วรวมพจน์
2. Expand and simplify $(3x-2)(2x+5)(x-4)$.Numbers in front of $x$ and two minus signs. Check with $x=1$: $-21$.มีตัวเลขหน้า $x$ และมีลบสองตัว · เช็กด้วย $x=1$: $-21$
3. A box is $(x+1)$ cm by $(x+2)$ cm by $(x+5)$ cm.  Show that its volume is $(x^3+8x^2+17x+10)$ cm$^3$.Volume $=$ length $\times$ width $\times$ height: multiply the three brackets.ปริมาตร $=$ กว้าง $\times$ ยาว $\times$ สูง · คูณสามวงเล็บ
4. $a(x+4)+b(x-1)\equiv5x+10$.  Find $a$ and $b$.Compare coefficients to get $a+b=5$ and $4a-b=10$, then solve simultaneously.เทียบสัมประสิทธิ์ได้ $a+b=5$ และ $4a-b=10$ แล้วแก้ระบบสมการ
5. $(x+k)^3\equiv x^3+12x^2+48x+64$.  Find $k$.Backwards: $(x+k)^3$ has $3kx^2$, so $3k=12$. Check $k^3=64$.ย้อนกลับ: $(x+k)^3$ มี $3kx^2$ ดังนั้น $3k=12$ · เช็ก $k^3=64$
6. Prove algebraically that the sum of any three consecutive even numbers is a multiple of $6$.Consecutive even numbers go up in $2$s. Factor out $6$, then write the sentence.จำนวนคู่ที่เรียงกันเพิ่มทีละ $2$ · ดึง $6$ ออก แล้วเขียนประโยคสรุป

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี