Functionsฟังก์ชัน

IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upวอร์มอัพ

A function is a machineฟังก์ชันคือเครื่องจักร

Same input, same output — every time.ใส่เลขเดิม ได้ผลเดิม ทุกครั้ง

1. A machine does $\times3$, then $-1$. Put in $5$. What comes out?เครื่องหนึ่ง $\times3$ แล้ว $-1$ · ใส่ $5$ เข้าไป ได้อะไรออกมา?
   Answer:เฉลย: $5\times3-1=14$Boxes run in order: $5\times3=15$   $15-1=14$กล่องทำงานตามลำดับ: $5\times3=15$   $15-1=14$
2. Same machine: $\times3$, then $-1$. What comes out when $x$ goes in?เครื่องเดิม: $\times3$ แล้ว $-1$ · ถ้าใส่ $x$ เข้าไป จะได้อะไรออกมา?
   Answer:เฉลย: $3x-1$Letter in, expression out: $x\times3=3x$   $3x-1$   $3(5)-1=14$ The expression is the whole machine, written on one line.ใส่ตัวแปร ได้นิพจน์ออกมา: $x\times3=3x$   $3x-1$   $3(5)-1=14$ นิพจน์นี้คือเครื่องทั้งเครื่อง เขียนไว้ในบรรทัดเดียว

2. Same machine, new nameเครื่องเดิม ชื่อใหม่

$f(x)$ is what comes out when $x$ goes in.$f(x)$ คือสิ่งที่ออกมา เมื่อใส่ $x$ เข้าไป

$f(x)=2x+3$ is a machine called $f$$f(x)=2x+3$ คือเครื่องที่ชื่อ $f$

$f(4)$ means: put $4$ in. Every $x$ becomes $4$.$f(4)$ แปลว่า ใส่ $4$ เข้าไป · $x$ ทุกตัวกลายเป็น $4$

1. $f(x)=2x+3$. Find $f(5)$.$f(x)=2x+3$ · หา $f(5)$
   Answer:เฉลย: $f(5)=2(5)+3=13$Swap $x$ for $5$: $f(5)=2(5)+3$   $=13$เปลี่ยน $x$ เป็น $5$: $f(5)=2(5)+3$   $=13$
2. $f(x)=4x-5$. Find $f(-3)$.$f(x)=4x-5$ · หา $f(-3)$
   Answer:เฉลย: $f(-3)=4(-3)-5=-17$Bracket every negative input: $f(-3)=4(-3)-5$   $=-12-5$   $=-17$เลขลบที่ใส่ ต้องมีวงเล็บ: $f(-3)=4(-3)-5$   $=-12-5$   $=-17$
3. $g(x)=x^2+1$. Find $g(-3)$.$g(x)=x^2+1$ · หา $g(-3)$
   Answer:เฉลย: $g(-3)=(-3)^2+1=10$Square the bracket, sign and all: $g(-3)=(-3)^2+1$   $=9+1$   $=10$ Typing $-3^2$ on a calculator without brackets gives $-9$.ยกกำลังทั้งวงเล็บ รวมเครื่องหมาย: $g(-3)=(-3)^2+1$   $=9+1$   $=10$ กดเครื่องคิดเลข $-3^2$ แบบไม่มีวงเล็บ จะได้ $-9$

3. Run it backwardsเดินย้อนกลับ

Given the output, find the input — that is an equation.รู้ผลที่ออกมา แล้วหาสิ่งที่ใส่ · ก็คือแก้สมการ

$f(a)=17$: what went in?$f(a)=17$: ใส่อะไรเข้าไป?

$f(a)=17$ is the equation $2a+3=17$.$f(a)=17$ ก็คือสมการ $2a+3=17$

1. $f(x)=2x+3$ and $f(a)=17$. Find $a$.$f(x)=2x+3$ และ $f(a)=17$ · หา $a$
   Answer:เฉลย: $2a+3=17$, so $a=7$Set the output, then solve: $2a+3=17$   $2a=14$   $a=7$ตั้งเท่ากับผลที่ออกมา แล้วแก้: $2a+3=17$   $2a=14$   $a=7$
2. $f(x)=5x-4$. Solve $f(x)=-19$.$f(x)=5x-4$ · แก้สมการ $f(x)=-19$
   Answer:เฉลย: $5x-4=-19$, so $x=-3$Same move, negative output: $5x-4=-19$   $5x=-15$   $x=-3$ท่าเดิม ผลออกมาติดลบ: $5x-4=-19$   $5x=-15$   $x=-3$
3. $f(x)=x^2-5$. Find the positive value of $x$ for which $f(x)=4$.$f(x)=x^2-5$ · หาค่า $x$ ที่เป็นบวก ที่ทำให้ $f(x)=4$
   Answer:เฉลย: $x^2=9$, so $x=3$Undo $-5$, then square root: $x^2-5=4$   $x^2=9$   $x=3$ย้อน $-5$ แล้วถอดราก: $x^2-5=4$   $x^2=9$   $x=3$

4. Two machines in a rowเครื่องสองเครื่องต่อกัน

$fg(x)$: $g$ works first, then $f$.$fg(x)$: $g$ ทำก่อน แล้วค่อย $f$

$fg(3)$: into $g$ first, then into $f$$fg(3)$: เข้า $g$ ก่อน แล้วค่อยเข้า $f$

Read from the right: the letter next to $x$ works first.อ่านจากขวา: ตัวที่ติดกับ $x$ ทำก่อน

1. $f(x)=2x+1$ and $g(x)=x^2$. Find $fg(4)$.$f(x)=2x+1$ และ $g(x)=x^2$ · หา $fg(4)$
   Answer:เฉลย: $g(4)=16$, then $f(16)=33$Inside first, outside second: $g(4)=16$   $fg(4)=f(16)$   $=2(16)+1$   $=33$ข้างในก่อน ข้างนอกทีหลัง: $g(4)=16$   $fg(4)=f(16)$   $=2(16)+1$   $=33$
2. Same $f(x)=2x+1$ and $g(x)=x^2$. Find $gf(4)$.$f(x)=2x+1$ และ $g(x)=x^2$ ชุดเดิม · หา $gf(4)$
   Answer:เฉลย: $f(4)=9$, then $g(9)=81$Swap the letters, swap the order: $f(4)=9$   $gf(4)=g(9)$   $=9^2$   $=81$ $fg(4)=33$ but $gf(4)=81$ — the order changes the answer.สลับตัว สลับลำดับ: $f(4)=9$   $gf(4)=g(9)$   $=9^2$   $=81$ $fg(4)=33$ แต่ $gf(4)=81$ · ลำดับเปลี่ยน คำตอบเปลี่ยน
3. $f(x)=3x+2$ and $g(x)=x-4$. Find $fg(x)$. Simplify your answer.$f(x)=3x+2$ และ $g(x)=x-4$ · หา $fg(x)$ แล้วจัดรูปให้ง่ายที่สุด
   Answer:เฉลย: $fg(x)=3(x-4)+2=3x-10$The whole bracket replaces $x$: $fg(x)=f(x-4)$   $=3(x-4)+2$   $=3x-12+2$   $=3x-10$วงเล็บทั้งก้อนแทน $x$: $fg(x)=f(x-4)$   $=3(x-4)+2$   $=3x-12+2$   $=3x-10$
4. $f(x)=x^2$ and $g(x)=x+5$. Which is $gf(x)$?$f(x)=x^2$ และ $g(x)=x+5$ · อันไหนคือ $gf(x)$?
   Answer:เฉลย: $gf(x)=x^2+5$$f$ first, then $+5$: $gf(x)=g(x^2)$   $=x^2+5$$f$ ก่อน แล้วค่อย $+5$: $gf(x)=g(x^2)$   $=x^2+5$
5. $f(x)=2x+3$. Find $ff(x)$. Simplify your answer.$f(x)=2x+3$ · หา $ff(x)$ แล้วจัดรูปให้ง่ายที่สุด
   Answer:เฉลย: $ff(x)=2(2x+3)+3=4x+9$Same machine, twice: $ff(x)=f(2x+3)$   $=2(2x+3)+3$   $=4x+6+3$   $=4x+9$เครื่องเดิม สองรอบ: $ff(x)=f(2x+3)$   $=2(2x+3)+3$   $=4x+6+3$   $=4x+9$

5. Undo the machineย้อนเครื่อง

$f^{-1}$ undoes every box, the last box first.$f^{-1}$ ย้อนทุกกล่อง เริ่มจากกล่องสุดท้าย

$f^{-1}$ runs the machine backwards$f^{-1}$ คือเดินเครื่องย้อนกลับ

$f(x)=2x+3$ gives $f^{-1}(x)=\dfrac{x-3}{2}$.$f(x)=2x+3$ ได้ $f^{-1}(x)=\dfrac{x-3}{2}$

Three moves, every timeสามจังหวะ ทุกครั้ง

Rearranging undoes the boxes in the right order for you.การย้ายข้างคือการย้อนกล่อง ตามลำดับที่ถูกให้เอง

Find $f^{-1}(x)$ when $f(x)=\dfrac{2x+5}{3}$หา $f^{-1}(x)$ เมื่อ $f(x)=\dfrac{2x+5}{3}$

1. $f(x)=\dfrac{2x+5}{3}$Three boxes: $\times2$, $+5$, $\div3$. They are on the picture.สามกล่อง: $\times2$, $+5$, $\div3$ · ดูในรูป
2. $y=\dfrac{2x+5}{3}$Call the output $y$. $\div3$ was last, so undo it first: $\times3$ both sides.เรียกผลที่ออกมาว่า $y$ · $\div3$ ทำทีหลังสุด ย้อนก่อน: $\times3$ ทั้งสองข้าง
3. $3y=2x+5$$+5$ crosses: write $-5$ under both sides, strike the pair.$+5$ ย้ายข้าง: เขียน $-5$ ใต้ทั้งสองข้าง แล้วขีดฆ่าคู่
4. $3y-5=2x$The last box to undo is $\times2$. Divide both sides by $2$.กล่องสุดท้ายที่ต้องย้อนคือ $\times2$ · หาร $2$ ทั้งสองข้าง
5. $\dfrac{3y-5}{2}=x$$x$ is on its own.$x$ อยู่ตัวเดียวแล้ว
6. $f^{-1}(x)=\dfrac{3x-5}{2}$Rename $y$ as $x$. Check: $f(2)=3$ and $f^{-1}(3)=2$ ✓เปลี่ยน $y$ เป็น $x$ · เช็ก: $f(2)=3$ และ $f^{-1}(3)=2$ ✓

1. $f(x)=2x+3$, so $f(1)=5$. What is $f^{-1}(5)$?$f(x)=2x+3$ ดังนั้น $f(1)=5$ · $f^{-1}(5)$ เท่ากับเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $f^{-1}(5)=1$The inverse swaps in and out: $f(1)=5$   $f^{-1}(5)=1$ The graphs of $f$ and $f^{-1}$ are reflections in $y=x$.ตัวผกผัน สลับเข้ากับออก: $f(1)=5$   $f^{-1}(5)=1$ กราฟของ $f$ กับ $f^{-1}$ สะท้อนกันในเส้น $y=x$
2. $f(x)=2x+3$. Which is $f^{-1}(x)$?$f(x)=2x+3$ · อันไหนคือ $f^{-1}(x)$?
   Answer:เฉลย: $f^{-1}(x)=\dfrac{x-3}{2}$Check it with $5$: $f^{-1}(5)=\dfrac{5-3}{2}$   $=1$ Test any inverse: put $f$'s output in, get $f$'s input back.เช็กด้วย $5$: $f^{-1}(5)=\dfrac{5-3}{2}$   $=1$ เช็กตัวผกผันได้เสมอ: ใส่ผลของ $f$ ต้องได้สิ่งที่ใส่ให้ $f$ คืน
3. $f(x)=4x-5$. Find $f^{-1}(x)$.$f(x)=4x-5$ · หา $f^{-1}(x)$
   Answer:เฉลย: $f^{-1}(x)=\dfrac{x+5}{4}$$y=$, rearrange, rename: $y=4x-5$   $y+5=4x$   $\dfrac{y+5}{4}=x$   $f^{-1}(x)=\dfrac{x+5}{4}$ตั้ง $y=$ ย้ายข้าง เปลี่ยนชื่อ: $y=4x-5$   $y+5=4x$   $\dfrac{y+5}{4}=x$   $f^{-1}(x)=\dfrac{x+5}{4}$
4. $g(x)=\dfrac{x-2}{5}$. Find $g^{-1}(x)$.$g(x)=\dfrac{x-2}{5}$ · หา $g^{-1}(x)$
   Answer:เฉลย: $g^{-1}(x)=5x+2$Undo the last box first: $y=\dfrac{x-2}{5}$   $5y=x-2$   $5y+2=x$   $g^{-1}(x)=5x+2$ย้อนกล่องสุดท้ายก่อน: $y=\dfrac{x-2}{5}$   $5y=x-2$   $5y+2=x$   $g^{-1}(x)=5x+2$
5. $f(x)=7x-2$. Without finding $f^{-1}(x)$, what is $f^{-1}\big(f(8)\big)$?$f(x)=7x-2$ · ไม่ต้องหา $f^{-1}(x)$ · $f^{-1}\big(f(8)\big)$ เท่ากับเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $f^{-1}\big(f(8)\big)=8$Do, then undo: $f(8)=54$   $f^{-1}(54)=8$ทำ แล้วย้อน: $f(8)=54$   $f^{-1}(54)=8$

6. Inputs a function refusesเลขที่ฟังก์ชันไม่รับ

Never divide by $0$. Never square-root a negative.ห้ามหารด้วย $0$ · ห้ามถอดรากที่สองของเลขลบ

$f(x)=\dfrac{6}{x-2}$ has no value at $x=2$$f(x)=\dfrac{6}{x-2}$ ไม่มีค่าที่ $x=2$

Set the bottom equal to $0$. That $x$ is excluded.ตั้งตัวส่วนเท่ากับ $0$ · ค่า $x$ ที่ได้ต้องตัดออก

1. $f(x)=\dfrac{5}{x+3}$. Which value of $x$ must be excluded from the domain?$f(x)=\dfrac{5}{x+3}$ · ค่า $x$ ใดต้องตัดออกจากโดเมน?
   Answer:เฉลย: $x=-3$A zero bottom is banned: $x+3=0$   $x=-3$ตัวส่วนเป็น $0$ ไม่ได้: $x+3=0$   $x=-3$
2. $g(x)=\sqrt{x-4}$. What is the domain of $g$?$g(x)=\sqrt{x-4}$ · โดเมนของ $g$ คืออะไร?
   Answer:เฉลย: $x\ge4$Inside the root $\ge0$: $x-4\ge0$   $x\ge4$ในรากต้อง $\ge0$: $x-4\ge0$   $x\ge4$
3. $h(x)=\dfrac{1}{2x+7}$. Which value of $x$ must be excluded from the domain?$h(x)=\dfrac{1}{2x+7}$ · ค่า $x$ ใดต้องตัดออกจากโดเมน?
   Answer:เฉลย: $x=-3.5$Solve bottom $=0$: $2x+7=0$   $2x=-7$   $x=-3.5$แก้ ตัวส่วน $=0$: $2x+7=0$   $2x=-7$   $x=-3.5$
4. $f(x)=2x+1$ with domain $0\le x\le5$. What is the range of $f$?$f(x)=2x+1$ โดเมน $0\le x\le5$ · เรนจ์ของ $f$ คืออะไร?
   Answer:เฉลย: $1\le f(x)\le11$Put both ends through $f$: $f(0)=1$   $f(5)=11$   $1\le f(x)\le11$ Write the range with $f(x)$, not $x$ — $x$ belongs to the domain.เอาปลายทั้งสองเข้า $f$: $f(0)=1$   $f(5)=11$   $1\le f(x)\le11$ เขียนเรนจ์ด้วย $f(x)$ ไม่ใช่ $x$ · $x$ เป็นของโดเมน

7. Exam formฟอร์มข้อสอบ

Real wording, real marks — several parts on one pair of functions.ภาษาข้อสอบจริง คะแนนจริง · หลายข้อย่อยจากฟังก์ชันคู่เดียว

Write the line before you simplifyเขียนบรรทัดนั้นก่อนจัดรูป

$fg(x)$ written out before simplifying already earns the method mark.เขียน $fg(x)$ ออกมาก่อนจัดรูป ก็ได้คะแนนวิธีแล้ว

1. Exam: $f(x)=3x-2$ and $g(x)=\dfrac{12}{x+1}$.  (5 marks)ข้อสอบ: $f(x)=3x-2$ และ $g(x)=\dfrac{12}{x+1}$  (5 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $f^{-1}(x)=\dfrac{x+2}{3}$5 marks: $\text{B1}\quad x=-1$   $\text{M1}\quad g(3)=\tfrac{12}{4}=3$   $\text{A1}\quad fg(3)=f(3)=7$   $\text{M1}\quad y=3x-2\ \Rightarrow\ x=\tfrac{y+2}{3}$   $\text{A1}\quad f^{-1}(x)=\tfrac{x+2}{3}$ Part (a) is one mark for one number — no working needed.5 คะแนน: $\text{B1}\quad x=-1$   $\text{M1}\quad g(3)=\tfrac{12}{4}=3$   $\text{A1}\quad fg(3)=f(3)=7$   $\text{M1}\quad y=3x-2\ \Rightarrow\ x=\tfrac{y+2}{3}$   $\text{A1}\quad f^{-1}(x)=\tfrac{x+2}{3}$ ข้อ (ก) หนึ่งคะแนน ตอบเลขเดียว ไม่ต้องแสดงวิธี
2. Exam: $f(x)=\dfrac{3x+4}{5}$. Express the inverse function $f^{-1}$ in the form $f^{-1}(x)=\dots$ (3 marks)ข้อสอบ: $f(x)=\dfrac{3x+4}{5}$ · เขียนฟังก์ชันผกผัน $f^{-1}$ ในรูป $f^{-1}(x)=\dots$ (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $f^{-1}(x)=\dfrac{5x-4}{3}$3 marks: $\text{M1}\quad 5y=3x+4$   $\text{M1}\quad 5y-4=3x$   $\text{A1}\quad f^{-1}(x)=\dfrac{5x-4}{3}$ Give the answer in terms of $x$ — left in $y$, it can lose the last mark.3 คะแนน: $\text{M1}\quad 5y=3x+4$   $\text{M1}\quad 5y-4=3x$   $\text{A1}\quad f^{-1}(x)=\dfrac{5x-4}{3}$ ตอบในรูป $x$ · ถ้าค้างไว้เป็น $y$ อาจเสียคะแนนสุดท้าย
3. Exam: $f(x)=x^2-3$ and $g(x)=x+2$. Solve $fg(x)=13$. (4 marks)ข้อสอบ: $f(x)=x^2-3$ และ $g(x)=x+2$ · แก้สมการ $fg(x)=13$ (4 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $(x+2)^2-3=13$, so $(x+2)^2=16$, $x+2=\pm4$: $x=2$ or $x=-6$4 marks: $\text{M1}\quad fg(x)=(x+2)^2-3$   $\text{M1}\quad (x+2)^2=16$   $\text{M1}\quad x+2=\pm4$   $\text{A1}\quad x=2,\ x=-6$ Expanding to $x^2+4x-12=0$ and factorising earns the same marks.4 คะแนน: $\text{M1}\quad fg(x)=(x+2)^2-3$   $\text{M1}\quad (x+2)^2=16$   $\text{M1}\quad x+2=\pm4$   $\text{A1}\quad x=2,\ x=-6$ กระจายเป็น $x^2+4x-12=0$ แล้วแยกตัวประกอบ ก็ได้คะแนนเท่ากัน

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน · แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. $f(x)=5x-2$.  Find $f(3)$ and $f^{-1}(x)$.Substitute, then undo: $+2$ first, then $\div5$.แทนค่า แล้วย้อน: $+2$ ก่อน แล้วค่อย $\div5$
2. $f(x)=\dfrac{7-3x}{4}$.  Find $f(-5)$ and $f^{-1}(x)$.The $x$ term is negative. Move it across so it becomes positive.พจน์ $x$ ติดลบ · ย้ายข้างให้เป็นบวกก่อน
3. A taxi fare in baht is $F(d)=35+6.5d$ for a ride of $d$ km.  Find $F(12)$. What does $F^{-1}(191)$ mean? Find it.The same machine inside a story. $F^{-1}$ turns a fare back into a distance.เครื่องเดิมในรูปเรื่องเล่า · $F^{-1}$ แปลงค่าโดยสารกลับเป็นระยะทาง
4. $f(x)=x^2$ and $g(x)=x-3$.  Solve $fg(x)=g(x)$.Composite, then a quadratic: $(x-3)^2=x-3$. Dividing by $x-3$ loses $x=3$.สร้างฟังก์ชันประกอบ แล้วแก้สมการกำลังสอง · ถ้าหารด้วย $x-3$ คำตอบ $x=3$ หาย
5. $f(x)=ax+b$.  $f(2)=11$ and $f^{-1}(5)=0$.  Find $a$ and $b$.$f^{-1}(5)=0$ read backwards is $f(0)=5$.$f^{-1}(5)=0$ อ่านย้อนได้ว่า $f(0)=5$
6. $f(x)=2x-5$ and $g(x)=\dfrac{x}{x+3}$, $x\ne-3$.  (a) Find $gf(4)$.  (b) Find $f^{-1}(x)$.  (c) Solve $gf(x)=\tfrac12$.Part (c) is part (a) run backwards — (a) already gave the answer.ข้อ (c) คือข้อ (a) แบบย้อนกลับ · ข้อ (a) บอกคำตอบไว้แล้ว

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี