Transforming Graphsการแปลงกราฟ

IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upวอร์มอัพ

A point on a graph is an input and its outputจุดบนกราฟ คือค่าที่ใส่ กับค่าที่ได้

Every point on $y=f(x)$ is $(x,\ f(x))$: input across, output up.ทุกจุดบน $y=f(x)$ คือ $(x,\ f(x))$ · ค่าที่ใส่อยู่แนวนอน ค่าที่ได้อยู่แนวตั้ง

1. $f(x)=x^2$. The point with $x=3$ lies on $y=f(x)$. What is its $y$-coordinate?$f(x)=x^2$ · จุดบนกราฟ $y=f(x)$ ที่มี $x=3$ · พิกัด $y$ เท่ากับเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $f(3)=3^2=9$The output is the height: $y=f(3)$   $=3^2$   $=9$ค่าที่ได้คือความสูง: $y=f(3)$   $=3^2$   $=9$
2. Which point lies on the curve $y=x^2$?จุดใดอยู่บนเส้นโค้ง $y=x^2$?
   Answer:เฉลย: $(-3,\ 9)$Square $x$, compare with $y$: $f(-3)=(-3)^2$   $=9$ The $x$ is always written first in a coordinate pair.ยกกำลังสอง $x$ แล้วเทียบกับ $y$: $f(-3)=(-3)^2$   $=9$ ในคู่อันดับ เขียน $x$ ก่อนเสมอ

2. Up and downขึ้นและลง

$y=f(x)+a$ adds $a$ to every $y$.$y=f(x)+a$ บวก $a$ ให้ทุกค่า $y$

$y=x^2+3$ is $y=x^2$ moved up $3$$y=x^2+3$ คือ $y=x^2$ เลื่อนขึ้น $3$

$+a$ outside the bracket: every point moves up $a$. The $x$ does not change.$+a$ นอกวงเล็บ: ทุกจุดเลื่อนขึ้น $a$ · ค่า $x$ ไม่เปลี่ยน

1. $(1,5)$ is on the curve $y=f(x)$. Find the image of this point on $y=f(x)-4$.จุด $(1,5)$ อยู่บนเส้นโค้ง $y=f(x)$ · หาภาพของจุดนี้บน $y=f(x)-4$
   Answer:เฉลย: $(1,\ 1)$Outside changes $y$ only: $x=1$   $y=5-4$   $=1$นอกวงเล็บเปลี่ยนแค่ $y$: $x=1$   $y=5-4$   $=1$
2. Which describes the move from $y=x^2$ to $y=x^2-2$?ข้อใดบอกการย้ายจาก $y=x^2$ ไป $y=x^2-2$?
   Answer:เฉลย: translation $2$ units downเลื่อนขนานลง $2$ หน่วยVertex $(0,0)$ to $(0,-2)$: $0^2-2=-2$ Name the move: translation, then its direction and distance.จุดยอด $(0,0)$ ไป $(0,-2)$: $0^2-2=-2$ บอกชื่อการแปลง: การเลื่อนขนาน แล้วบอกทิศและระยะ
3. The curve $y=f(x)$ has a turning point at $(-1,3)$. Write down the coordinates of the turning point of $y=f(x)+5$.เส้นโค้ง $y=f(x)$ มีจุดวกกลับที่ $(-1,3)$ · เขียนพิกัดจุดวกกลับของ $y=f(x)+5$
   Answer:เฉลย: $(-1,\ 8)$Turning point moves up $5$: $x=-1$   $y=3+5$   $=8$จุดวกกลับเลื่อนขึ้น $5$: $x=-1$   $y=3+5$   $=8$

3. Left and rightซ้ายและขวา

$y=f(x+a)$ moves the graph $a$ to the left.$y=f(x+a)$ เลื่อนกราฟไปทางซ้าย $a$

$y=(x+3)^2$ is $y=x^2$ moved left $3$$y=(x+3)^2$ คือ $y=x^2$ เลื่อนไปซ้าย $3$

Ask: which $x$ now gives the old output? Solve $x+3=1$: $x=-2$.ถามว่า: ตอนนี้ $x$ ไหนให้ค่าเดิม? แก้ $x+3=1$ ได้ $x=-2$

1. $(2,4)$ is on $y=f(x)$. Find the image of this point on $y=f(x-5)$.จุด $(2,4)$ อยู่บน $y=f(x)$ · หาภาพของจุดนี้บน $y=f(x-5)$
   Answer:เฉลย: $(7,\ 4)$Inside: solve for the new $x$: $x-5=2$   $x=7$   $y=4$ในวงเล็บ: แก้หา $x$ ใหม่: $x-5=2$   $x=7$   $y=4$
2. Which describes the move from $y=x^2$ to $y=(x-4)^2$?ข้อใดบอกการย้ายจาก $y=x^2$ ไป $y=(x-4)^2$?
   Answer:เฉลย: translation $4$ units rightเลื่อนขนานไปขวา $4$ หน่วยVertex where the bracket is $0$: $x-4=0$   $x=4$จุดยอดอยู่ที่วงเล็บเป็น $0$: $x-4=0$   $x=4$
3. The curve $y=f(x)$ has a turning point at $(1,-2)$. Write down the coordinates of the turning point of $y=f(x+3)$.เส้นโค้ง $y=f(x)$ มีจุดวกกลับที่ $(1,-2)$ · เขียนพิกัดจุดวกกลับของ $y=f(x+3)$
   Answer:เฉลย: $(-2,\ -2)$$x+3$ must equal $1$: $x+3=1$   $x=-2$   $y=-2$$x+3$ ต้องเท่ากับ $1$: $x+3=1$   $x=-2$   $y=-2$
4. The graph of $y=x^2$ is translated $6$ units to the left. Write down the equation of the new graph.กราฟ $y=x^2$ ถูกเลื่อนขนานไปทางซ้าย $6$ หน่วย · เขียนสมการของกราฟใหม่
   Answer:เฉลย: $y=(x+6)^2$Left $6$: $x$ becomes $x+6$: $f(x)=x^2$   $f(x+6)=(x+6)^2$ Check: the new vertex is where $x+6=0$, at $x=-6$.ซ้าย $6$: $x$ กลายเป็น $x+6$: $f(x)=x^2$   $f(x+6)=(x+6)^2$ เช็ก: จุดยอดใหม่อยู่ที่ $x+6=0$ คือ $x=-6$

4. Both at onceสองทิศพร้อมกัน

$y=f(x-p)+q$ is a translation by the vector $\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$.$y=f(x-p)+q$ คือการเลื่อนขนานตามเวกเตอร์ $\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$

$y=(x-2)^2-3$: right $2$, down $3$$y=(x-2)^2-3$: ขวา $2$ ลง $3$

Read the vertex straight off: $y=(x-p)^2+q$ has its vertex at $(p,q)$.อ่านจุดยอดได้ทันที: $y=(x-p)^2+q$ มีจุดยอดที่ $(p,q)$

1. Which vector translates $y=x^2$ onto $y=(x+5)^2-2$?เวกเตอร์ใดเลื่อนขนาน $y=x^2$ ไปทับ $y=(x+5)^2-2$?
   Answer:เฉลย: $\begin{pmatrix}-5\\-2\end{pmatrix}$Vertex $(0,0)$ moves to $(-5,-2)$: $x+5=0$   $x=-5$   $y=-2$จุดยอด $(0,0)$ ย้ายไป $(-5,-2)$: $x+5=0$   $x=-5$   $y=-2$
2. The graph of $y=x^2$ is translated by the vector $\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$. Write down the equation of the new graph.กราฟ $y=x^2$ ถูกเลื่อนขนานตามเวกเตอร์ $\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ · เขียนสมการของกราฟใหม่
   Answer:เฉลย: $y=(x-3)^2+1$Across inside, up outside: $f(x)=x^2$   $f(x-3)+1=(x-3)^2+1$แนวนอนในวงเล็บ แนวตั้งนอกวงเล็บ: $f(x)=x^2$   $f(x-3)+1=(x-3)^2+1$
3. $(4,1)$ is on $y=f(x)$. Find the image of this point on $y=f(x+2)-5$.จุด $(4,1)$ อยู่บน $y=f(x)$ · หาภาพของจุดนี้บน $y=f(x+2)-5$
   Answer:เฉลย: $(2,\ -4)$Bracket $x$, outside $y$: $x+2=4$   $x=2$   $y=1-5$   $=-4$วงเล็บให้ $x$ นอกวงเล็บให้ $y$: $x+2=4$   $x=2$   $y=1-5$   $=-4$

5. Stretch and flip verticallyยืดและพลิกแนวตั้ง

$y=af(x)$ multiplies every $y$ by $a$.$y=af(x)$ คูณทุกค่า $y$ ด้วย $a$

$y=2f(x)$ stretches the graph up and down$y=2f(x)$ ยืดกราฟในแนวตั้ง

$x$ stays; $y$ is multiplied by $a$. $2\times0=0$, so points on the $x$-axis stay.$x$ เท่าเดิม · $y$ คูณ $a$ · $2\times0=0$ จุดบนแกน $x$ จึงอยู่ที่เดิม

$y=f(x)$ has a turning point at $(3,-2)$. Find its image on $y=2f(x-1)+4$.$y=f(x)$ มีจุดวกกลับที่ $(3,-2)$ · หาภาพของจุดนี้บน $y=2f(x-1)+4$

1. $y=2f(x-1)+4$Split it: the bracket acts on $x$; the $\times2$ and $+4$ act on $y$.แยกก่อน: วงเล็บทำกับ $x$ · $\times2$ กับ $+4$ ทำกับ $y$
2. $x-1=3$The bracket must receive the old $x$, which is $3$.ในวงเล็บต้องได้ $x$ เดิม คือ $3$
3. $x=4$So the point moves right $1$: $x$ goes from $3$ to $4$.จุดจึงเลื่อนขวา $1$: $x$ จาก $3$ เป็น $4$
4. $y=2f(3)+4$At $x=4$ the bracket is $3$, and $f(3)=-2$ is the old $y$.ที่ $x=4$ ในวงเล็บเป็น $3$ · และ $f(3)=-2$ คือ $y$ เดิม
5. $=2(-2)+4$Stretch first: $2\times(-2)=-4$.ยืดก่อน: $2\times(-2)=-4$
6. $=0$Then up $4$: $-4+4=0$.แล้วขึ้น $4$: $-4+4=0$
7. $(x,\ y)=(4,\ 0)$Right $1$, stretch $\times2$, up $4$ — each move is on the picture.ขวา $1$ ยืด $\times2$ ขึ้น $4$ · แต่ละท่าอยู่ในรูป

1. $(3,5)$ is on $y=f(x)$. Find the image of this point on $y=4f(x)$.จุด $(3,5)$ อยู่บน $y=f(x)$ · หาภาพของจุดนี้บน $y=4f(x)$
   Answer:เฉลย: $(3,\ 20)$Outside $\times4$: $y$ only: $x=3$   $y=4\times5$   $=20$นอกวงเล็บ $\times4$: แค่ $y$: $x=3$   $y=4\times5$   $=20$
2. $(2,-6)$ is on $y=f(x)$. Find the image of this point on $y=-f(x)$.จุด $(2,-6)$ อยู่บน $y=f(x)$ · หาภาพของจุดนี้บน $y=-f(x)$
   Answer:เฉลย: $(2,\ 6)$Reflect in the $x$-axis: $x=2$   $y=-1\times(-6)$   $=6$สะท้อนข้ามแกน $x$: $x=2$   $y=-1\times(-6)$   $=6$
3. $y=f(x)$ has a turning point at $(1,4)$. Find the coordinates of the turning point of $y=3f(x+2)-1$.$y=f(x)$ มีจุดวกกลับที่ $(1,4)$ · หาพิกัดจุดวกกลับของ $y=3f(x+2)-1$
   Answer:เฉลย: $(-1,\ 11)$Bracket gives $x$, rest $y$: $x+2=1$   $x=-1$   $y=3f(1)-1$   $=3(4)-1$   $=11$วงเล็บให้ $x$ ที่เหลือให้ $y$: $x+2=1$   $x=-1$   $y=3f(1)-1$   $=3(4)-1$   $=11$
4. Describe fully the single transformation that maps $y=x^2$ onto $y=3x^2$.อธิบายให้ครบ: การแปลงเดียวที่ส่ง $y=x^2$ ไปเป็น $y=3x^2$
   Answer:เฉลย: stretch, parallel to the $y$-axis, scale factor $3$ยืดขนานกับแกน $y$ ตัวคูณสเกล $3$Every $y$ times $3$: $3x^2=3f(x)$   $f(1)=1$   $3f(1)=3$ "Describe fully" needs the type, the direction and the scale factor.ทุก $y$ คูณ $3$: $3x^2=3f(x)$   $f(1)=1$   $3f(1)=3$ "อธิบายให้ครบ" ต้องบอกชนิด ทิศทาง และตัวคูณสเกล

6. Squeeze and flip sidewaysบีบและพลิกแนวนอน

$y=f(ax)$ divides every $x$ by $a$.$y=f(ax)$ หารทุกค่า $x$ ด้วย $a$

$y=f(2x)$ squeezes the graph towards the $y$-axis$y=f(2x)$ บีบกราฟเข้าหาแกน $y$

Same question as rung 2: the bracket must receive the old $x$. Solve $2x=4$, so $x=2$.คำถามเดิมแบบขั้นที่ 2: ในวงเล็บต้องได้ $x$ เดิม · แก้ $2x=4$ ได้ $x=2$

1. $(6,1)$ is on $y=f(x)$. Find the image of this point on $y=f(3x)$.จุด $(6,1)$ อยู่บน $y=f(x)$ · หาภาพของจุดนี้บน $y=f(3x)$
   Answer:เฉลย: $(2,\ 1)$Solve $3x=6$: $3x=6$   $x=2$   $y=1$แก้ $3x=6$: $3x=6$   $x=2$   $y=1$
2. Describe fully the single transformation that maps $y=f(x)$ onto $y=f(\tfrac12x)$.อธิบายให้ครบ: การแปลงเดียวที่ส่ง $y=f(x)$ ไปเป็น $y=f(\tfrac12x)$
   Answer:เฉลย: stretch, parallel to the $x$-axis, scale factor $2$ยืดขนานกับแกน $x$ ตัวคูณสเกล $2$Factor is $1\div\tfrac12=2$: $\tfrac12x=4$   $x=8$ตัวคูณคือ $1\div\tfrac12=2$: $\tfrac12x=4$   $x=8$
3. $(-3,5)$ is on $y=f(x)$. Find the image of this point on $y=f(-x)$.จุด $(-3,5)$ อยู่บน $y=f(x)$ · หาภาพของจุดนี้บน $y=f(-x)$
   Answer:เฉลย: $(3,\ 5)$Reflect in the $y$-axis: $-x=-3$   $x=3$   $y=5$สะท้อนข้ามแกน $y$: $-x=-3$   $x=3$   $y=5$
4. One point, four rules. $(4,-2)$ is on $y=f(x)$. Find its image on each curve.จุดเดียว สี่กฎ · $(4,-2)$ อยู่บน $y=f(x)$ · หาภาพของมันบนแต่ละเส้นโค้ง
   Answer:เฉลย: $(4,1)$, $(1,-2)$, $(4,-6)$, $(2,-2)$Inside moves $x$, outside $y$: $f(x)+3:\ (4,\ -2+3)=(4,\ 1)$   $f(x+3):\ (4-3,\ -2)=(1,\ -2)$   $3f(x):\ (4,\ 3\times(-2))=(4,\ -6)$   $f(2x):\ (4\div2,\ -2)=(2,\ -2)$ Each rule changes only $x$ or only $y$, never both.ในวงเล็บย้าย $x$ นอกวงเล็บย้าย $y$: $f(x)+3:\ (4,\ -2+3)=(4,\ 1)$   $f(x+3):\ (4-3,\ -2)=(1,\ -2)$   $3f(x):\ (4,\ 3\times(-2))=(4,\ -6)$   $f(2x):\ (4\div2,\ -2)=(2,\ -2)$ แต่ละกฎเปลี่ยนแค่ $x$ หรือแค่ $y$ · ไม่เปลี่ยนทั้งคู่

7. The same moves on sineท่าเดิมบนกราฟไซน์

Move the key points of $y=\sin x$ with the same four rules.ย้ายจุดสำคัญของ $y=\sin x$ ด้วยสี่กฎเดิม

Same rules on $y=\sin x$, for $0^\circ\le x\le360^\circ$กฎเดิมบน $y=\sin x$ · ช่วง $0^\circ\le x\le360^\circ$

$\sin(x+90^\circ)$ is exactly $\cos x$: the sine curve moved $90^\circ$ left.$\sin(x+90^\circ)$ ก็คือ $\cos x$ พอดี · กราฟไซน์เลื่อนไปซ้าย $90^\circ$

1. Find the coordinates of the maximum point of $y=\sin x+3$ for $0^\circ\le x\le360^\circ$.หาพิกัดจุดสูงสุดของ $y=\sin x+3$ ในช่วง $0^\circ\le x\le360^\circ$
   Answer:เฉลย: $(90^\circ,\ 4)$Max moves up $3$: $x=90^\circ$   $y=1+3$   $=4$จุดสูงสุดขึ้น $3$: $x=90^\circ$   $y=1+3$   $=4$
2. Find the coordinates of the minimum point of $y=3\sin x$ for $0^\circ\le x\le360^\circ$.หาพิกัดจุดต่ำสุดของ $y=3\sin x$ ในช่วง $0^\circ\le x\le360^\circ$
   Answer:เฉลย: $(270^\circ,\ -3)$Min $y$ times $3$: $x=270^\circ$   $y=3\times(-1)$   $=-3$จุดต่ำสุด $y$ คูณ $3$: $x=270^\circ$   $y=3\times(-1)$   $=-3$
3. Which graph is the same as $y=\sin(x+90^\circ)$?กราฟใดเหมือนกับ $y=\sin(x+90^\circ)$?
   Answer:เฉลย: $y=\cos x$Left $90^\circ$ lands on $\cos x$: $\sin(0^\circ+90^\circ)=1$   $\cos0^\circ=1$   $\sin(90^\circ+90^\circ)=0$   $\cos90^\circ=0$ซ้าย $90^\circ$ ทับ $\cos x$ พอดี: $\sin(0^\circ+90^\circ)=1$   $\cos0^\circ=1$   $\sin(90^\circ+90^\circ)=0$   $\cos90^\circ=0$
4. For $0^\circ\le x\le360^\circ$, at what value of $x$ does $y=\sin2x$ first reach its maximum?ในช่วง $0^\circ\le x\le360^\circ$ · $y=\sin2x$ ถึงค่าสูงสุดครั้งแรกที่ $x$ เท่าไร?
   Answer:เฉลย: $x=45^\circ$Solve $2x=90^\circ$: $2x=90^\circ$   $x=45^\circ$แก้ $2x=90^\circ$: $2x=90^\circ$   $x=45^\circ$
5. The graph of $y=\cos x$ is stretched parallel to the $y$-axis with scale factor $4$. Write down the equation of the new graph.กราฟ $y=\cos x$ ถูกยืดขนานกับแกน $y$ ด้วยตัวคูณสเกล $4$ · เขียนสมการของกราฟใหม่
   Answer:เฉลย: $y=4\cos x$Outside $\times4$ stretches $y$: $f(x)=\cos x$   $4f(x)=4\cos x$ Check: the maximum moves from $(0^\circ,1)$ to $(0^\circ,4)$.นอกวงเล็บ $\times4$ ยืด $y$: $f(x)=\cos x$   $4f(x)=4\cos x$ เช็ก: จุดสูงสุดย้ายจาก $(0^\circ,1)$ ไป $(0^\circ,4)$

8. Exam formฟอร์มข้อสอบ

Real wording, real marks: points, pictures and equations.ภาษาข้อสอบจริง คะแนนจริง: จุด รูป และสมการ

Each image point is a mark on its ownจุดภาพแต่ละจุดได้คะแนนแยกกัน

For a translation, write the word translation and the column vector. Each earns a mark.การเลื่อนขนาน ต้องเขียนคำว่า เลื่อนขนาน และเวกเตอร์หลัก · ได้คะแนนแยกกัน

1. Exam: The curve with equation $y=f(x)$ has a turning point at $(-2,5)$. Write down the coordinates of the turning point of the curve with equation  (4 marks)ข้อสอบ: เส้นโค้ง $y=f(x)$ มีจุดวกกลับที่ $(-2,5)$ · เขียนพิกัดจุดวกกลับของเส้นโค้งที่มีสมการ  (4 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $(-2,8)$, $(2,5)$, $(-2,-5)$, $(-4,5)$4 marks: $\text{B1}\quad (-2,\ 8)$   $\text{B1}\quad (2,\ 5)$   $\text{B1}\quad (-2,\ -5)$   $\text{B1}\quad (-4,\ 5)$ Part (d) is lost most often: $\tfrac12x=-2$ gives $x=-4$, not $-1$.4 คะแนน: $\text{B1}\quad (-2,\ 8)$   $\text{B1}\quad (2,\ 5)$   $\text{B1}\quad (-2,\ -5)$   $\text{B1}\quad (-4,\ 5)$ ข้อ (ง) พลาดบ่อยที่สุด: $\tfrac12x=-2$ ได้ $x=-4$ ไม่ใช่ $-1$
2. Exam: The diagram shows the graph of $y=f(x)$ and the curve $C$. $C$ is the image of $y=f(x)$ under a single transformation. (3 marks)ข้อสอบ: รูปแสดงกราฟ $y=f(x)$ และเส้นโค้ง $C$ · $C$ เป็นภาพของ $y=f(x)$ ภายใต้การแปลงเดียว (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: translation by $\begin{pmatrix}-3\\0\end{pmatrix}$; $y=f(x+3)$เลื่อนขนานตาม $\begin{pmatrix}-3\\0\end{pmatrix}$ · $y=f(x+3)$3 marks: $\text{B2}\quad \text{translation by }\begin{pmatrix}-3\\0\end{pmatrix}$   $\text{B1}\quad y=f(x+3)$ "Moved $3$ left" without the word translation usually scores only one of the two marks.3 คะแนน: $\text{B2}\quad \text{translation by }\begin{pmatrix}-3\\0\end{pmatrix}$   $\text{B1}\quad y=f(x+3)$ "เลื่อนซ้าย $3$" โดยไม่เขียนคำว่าเลื่อนขนาน มักได้แค่หนึ่งในสองคะแนน
3. Exam: The diagram shows the graph of $y=a\sin bx$ for $0^\circ\le x\le360^\circ$, where $a$ and $b$ are positive integers. The graph has a maximum point at $(45^\circ,3)$. (3 marks)ข้อสอบ: รูปแสดงกราฟ $y=a\sin bx$ ในช่วง $0^\circ\le x\le360^\circ$ โดย $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก · กราฟมีจุดสูงสุดที่ $(45^\circ,3)$ (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $a=3$, $b=2$, $y=3\sin2x+1$3 marks: $\text{B1}\quad a=3$   $\text{B1}\quad b=2$   $\text{B1}\quad y=3\sin2x+1$ Find $b$ from the period: $360^\circ\div180^\circ=2$.3 คะแนน: $\text{B1}\quad a=3$   $\text{B1}\quad b=2$   $\text{B1}\quad y=3\sin2x+1$ หา $b$ จากคาบ: $360^\circ\div180^\circ=2$

9. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน · แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. $(5,-2)$ is on $y=f(x)$.  Find its image on $y=f(x)+7$ and on $y=f(x-3)$.Outside changes $y$; inside changes $x$, the opposite way to its sign.นอกวงเล็บเปลี่ยน $y$ · ในวงเล็บเปลี่ยน $x$ ทิศตรงข้ามกับเครื่องหมาย
2. The curve $y=f(x)$ has a turning point at $(-3.5,\ 2.4)$.  Find the turning point of $y=f(x+1.5)-0.8$.Same two moves with decimals: $x+1.5=-3.5$ and $2.4-0.8$.สองท่าเดิมกับทศนิยม: $x+1.5=-3.5$ และ $2.4-0.8$
3. For $0^\circ\le x\le360^\circ$, find the coordinates of the minimum point of $y=2\cos x+1$.A cosine graph instead of a parabola: $\cos x$ has its minimum at $(180^\circ,-1)$.กราฟโคไซน์แทนพาราโบลา · $\cos x$ ต่ำสุดที่ $(180^\circ,-1)$
4. Write $y=x^2-6x+11$ in the form $y=(x-p)^2+q$.  Hence describe the transformation that maps $y=x^2$ onto $y=x^2-6x+11$.Completing the square turns the equation into a translation you can read off.การทำกำลังสองสมบูรณ์ เปลี่ยนสมการเป็นการเลื่อนขนานที่อ่านได้ทันที
5. Under $y=f(x+2)-1$, the image of a point $P$ is $(5,\ 3)$.  Find the coordinates of $P$.Run each move backwards: at $x=5$ the bracket holds $7$; $3+1=4$.ย้อนทีละท่า: ที่ $x=5$ ในวงเล็บเป็น $7$ · $3+1=4$
6. The curve $y=f(x)$ passes through $A(0,\ 6)$ and has a minimum point at $B(2,\ -2)$.  (a) Find the image of $B$ on $y=f(x)+5$.  (b) Find the image of $A$ on $y=f(-x)$.  (c) The curve $y=f(x+k)$ has its minimum point on the $y$-axis. Find $k$.Part (b): $A$ is on the $y$-axis, so reflecting in that axis leaves it where it is.ข้อ (ข): $A$ อยู่บนแกน $y$ สะท้อนข้ามแกนนั้นจึงอยู่ที่เดิม

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี