Calculus for Motion & Max–Min Problemsแคลคูลัสกับการเคลื่อนที่และโจทย์ค่าสูงสุด–ต่ำสุด

IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upวอร์มอัพ

You can already differentiateเราหาอนุพันธ์เป็นแล้ว

Today the letter is $t$, for time. The rule is the same.วันนี้ตัวแปรคือ $t$ แทนเวลา · กฎเหมือนเดิม

1. Differentiate $s=3t^2-4t$ with respect to $t$.หาอนุพันธ์ของ $s=3t^2-4t$ เทียบกับ $t$
   Answer:เฉลย: $\dfrac{ds}{dt}=6t-4$Power down, then one less: $\dfrac{ds}{dt}=2\times3t^{1}-1\times4t^{0}$   $=6t-4$ดึงเลขชี้กำลังลงมา แล้วลดหนึ่ง: $\dfrac{ds}{dt}=2\times3t^{1}-1\times4t^{0}$   $=6t-4$
2. $s=t^3-6t^2+9t$. Which is $\dfrac{ds}{dt}$?$s=t^3-6t^2+9t$ · อันไหนคือ $\dfrac{ds}{dt}$?
   Answer:เฉลย: $\dfrac{ds}{dt}=3t^2-12t+9$Term by term: $\dfrac{d}{dt}(t^3)=3t^2$   $\dfrac{d}{dt}(-6t^2)=-12t$   $\dfrac{d}{dt}(9t)=9$ทีละพจน์: $\dfrac{d}{dt}(t^3)=3t^2$   $\dfrac{d}{dt}(-6t^2)=-12t$   $\dfrac{d}{dt}(9t)=9$

2. Displacement to velocityจากระยะกระจัดสู่ความเร็ว

$v=\dfrac{ds}{dt}$: differentiate displacement to get velocity.$v=\dfrac{ds}{dt}$: ดิฟระยะกระจัด ได้ความเร็ว

A particle's position, as a formula in $t$ตำแหน่งของอนุภาค เขียนเป็นสูตรของ $t$

Velocity is the gradient of the $s$–$t$ graph: $v=\dfrac{ds}{dt}$.ความเร็วคือความชันของกราฟ $s$–$t$: $v=\dfrac{ds}{dt}$

1. A particle has $s=2t^3+5t^2-4t$. Find $v$ in terms of $t$.อนุภาคหนึ่งมี $s=2t^3+5t^2-4t$ · หา $v$ ในรูปของ $t$
   Answer:เฉลย: $v=6t^2+10t-4$$v$ is $s$ differentiated: $v=\dfrac{ds}{dt}$   $=6t^2+10t-4$$v$ คือ $s$ ที่ดิฟแล้ว: $v=\dfrac{ds}{dt}$   $=6t^2+10t-4$
2. Back to $s=24t+3t^2-t^3$, so $v=24+6t-3t^2$. Find the initial velocity.กลับมาที่ $s=24t+3t^2-t^3$ ซึ่งได้ $v=24+6t-3t^2$ · หาความเร็วต้น
   Answer:เฉลย: $v=24+6(0)-3(0)^2=24$ m/sInitial means $t=0$: $v=24+6(0)-3(0)^2$   $=24$ Velocity is in m/s, also written m s$^{-1}$.ตอนเริ่มต้นคือ $t=0$: $v=24+6(0)-3(0)^2$   $=24$ ความเร็วมีหน่วย m/s หรือเขียนว่า m s$^{-1}$
3. Same particle, $v=24+6t-3t^2$. Find the velocity when $t=3$.อนุภาคเดิม $v=24+6t-3t^2$ · หาความเร็วเมื่อ $t=3$
   Answer:เฉลย: $v=24+18-27=15$ m/sSubstitute into $v$, not $s$: $v=24+6(3)-3(3)^2$   $=24+18-27$   $=15$แทนใน $v$ ไม่ใช่ $s$: $v=24+6(3)-3(3)^2$   $=24+18-27$   $=15$
4. At $t=5$ the same particle has $v=-21$ m/s. What does the minus sign tell you?ที่ $t=5$ อนุภาคเดิมมี $v=-21$ m/s · เครื่องหมายลบบอกอะไร?
   Answer:เฉลย: It is moving back towards $O$.มันกำลังเคลื่อนที่กลับไปทาง $O$The sign of $v$ is direction: $v(5)=24+30-75$   $=-21$   $s(5)=120+75-125$   $=70$ $s$ says where the particle is; $v$ says which way it is going.เครื่องหมายของ $v$ คือทิศ: $v(5)=24+30-75$   $=-21$   $s(5)=120+75-125$   $=70$ $s$ บอกว่าอยู่ที่ไหน · $v$ บอกว่ากำลังไปทางไหน

3. Velocity to accelerationจากความเร็วสู่ความเร่ง

$a=\dfrac{dv}{dt}$: differentiate once more.$a=\dfrac{dv}{dt}$: ดิฟอีกหนึ่งครั้ง

Acceleration is the gradient of the $v$–$t$ graphความเร่งคือความชันของกราฟ $v$–$t$

Each step down the chain is one more differentiation.ลงไปหนึ่งขั้น ก็ดิฟเพิ่มหนึ่งครั้ง

1. A particle has $s=t^3-4t^2+5t$. Find its acceleration when $t=2$.อนุภาคหนึ่งมี $s=t^3-4t^2+5t$ · หาความเร่งเมื่อ $t=2$
   Answer:เฉลย: $v=3t^2-8t+5$, $a=6t-8=4$ m/s$^2$Twice, then substitute: $v=3t^2-8t+5$   $a=6t-8$   $a=6(2)-8$   $=4$ดิฟสองครั้ง แล้วแทนค่า: $v=3t^2-8t+5$   $a=6t-8$   $a=6(2)-8$   $=4$
2. Our particle at $t=3$: $v=15$ and $a=-12$. What is it doing?อนุภาคของเราที่ $t=3$: $v=15$ และ $a=-12$ · กำลังทำอะไรอยู่?
   Answer:เฉลย: Moving forwards and slowing downเคลื่อนที่ไปข้างหน้า และช้าลงOpposite signs: slowing down: $v(3)=15\gt0$   $a(3)=-12\lt0$ Same signs: speeding up. Opposite signs: slowing down.เครื่องหมายตรงข้าม: ช้าลง: $v(3)=15\gt0$   $a(3)=-12\lt0$ เครื่องหมายเหมือนกัน: เร็วขึ้น · ตรงข้ามกัน: ช้าลง
3. This time the velocity is given: $v=2t^3-9t^2+12$. Find the acceleration when $t=4$.ข้อนี้โจทย์ให้ความเร็วมา: $v=2t^3-9t^2+12$ · หาความเร่งเมื่อ $t=4$
   Answer:เฉลย: $a=6t^2-18t=96-72=24$ m/s$^2$Given $v$: differentiate once: $a=\dfrac{dv}{dt}=6t^2-18t$   $a=6(4)^2-18(4)$   $=96-72$   $=24$ให้ $v$ มา: ดิฟครั้งเดียว: $a=\dfrac{dv}{dt}=6t^2-18t$   $a=6(4)^2-18(4)$   $=96-72$   $=24$

4. At restหยุดนิ่ง

At rest means $v=0$. Solve, then keep only $t\ge0$.หยุดนิ่งแปลว่า $v=0$ · แก้สมการ แล้วเก็บเฉพาะ $t\ge0$

The particle stops when $v=0$อนุภาคหยุดเมื่อ $v=0$

At rest: $v=0$. Greatest or least velocity: $a=0$.หยุดนิ่ง: $v=0$ · ความเร็วมากสุดหรือน้อยสุด: $a=0$

1. $v=24+6t-3t^2$. Find the time when the particle is at rest.$v=24+6t-3t^2$ · หาเวลาที่อนุภาคหยุดนิ่ง
   Answer:เฉลย: $t=4$ s  ($t=-2$ rejected)$t=4$ s  (ตัด $t=-2$ ทิ้ง)Set $v=0$, reject $t\lt0$: $24+6t-3t^2=0$   $t^2-2t-8=0$   $(t-4)(t+2)=0$   $t=4\ \text{or}\ t=-2$   $t=4\ \ (t\ge0)$ Write the reason beside the rejected root: time cannot be negative.ตั้ง $v=0$ ตัด $t\lt0$ ทิ้ง: $24+6t-3t^2=0$   $t^2-2t-8=0$   $(t-4)(t+2)=0$   $t=4\ \text{or}\ t=-2$   $t=4\ \ (t\ge0)$ เขียนเหตุผลข้างรากที่ตัดทิ้ง: เวลาติดลบไม่ได้
2. How far is the particle from $O$ when it is at rest? ($s=24t+3t^2-t^3$)ตอนหยุดนิ่ง อนุภาคอยู่ห่างจาก $O$ เท่าไร? ($s=24t+3t^2-t^3$)
   Answer:เฉลย: $s(4)=96+48-64=80$ mPut $t=4$ into $s$: $s=24(4)+3(4)^2-(4)^3$   $=96+48-64$   $=80$แทน $t=4$ ใน $s$: $s=24(4)+3(4)^2-(4)^3$   $=96+48-64$   $=80$
3. Find the acceleration when the particle is at rest. ($a=6-6t$)หาความเร่งตอนที่อนุภาคหยุดนิ่ง ($a=6-6t$)
   Answer:เฉลย: $a=6-6(4)=-18$ m/s$^2$Stopped, but still accelerating: $a=6-6(4)$   $=-18$ $v=0$ only for an instant; $a=-18$ turns the particle back towards $O$.หยุดแล้ว แต่ยังมีความเร่ง: $a=6-6(4)$   $=-18$ $v=0$ แค่ชั่วขณะ · $a=-18$ ทำให้อนุภาคเลี้ยวกลับไปทาง $O$
4. Find the greatest velocity of the particle. ($v=24+6t-3t^2$)หาความเร็วมากที่สุดของอนุภาค ($v=24+6t-3t^2$)
   Answer:เฉลย: $a=0$ at $t=1$, so $v=24+6-3=27$ m/s$a=0$ ที่ $t=1$ ดังนั้น $v=24+6-3=27$ m/sGreatest $v$ where $a=0$: $6-6t=0$   $6=6t$   $1=t$   $v=24+6(1)-3(1)^2$   $=27$$v$ มากสุดเมื่อ $a=0$: $6-6t=0$   $6=6t$   $1=t$   $v=24+6(1)-3(1)^2$   $=27$
5. A different particle: $s=t^3-9t^2+24t$. Find the times when it is at rest.อนุภาคอีกตัว: $s=t^3-9t^2+24t$ · หาเวลาที่มันหยุดนิ่ง
   Answer:เฉลย: $t=2$ and $t=4$$t=2$ และ $t=4$Two positive roots: keep both: $v=3t^2-18t+24$   $3t^2-18t+24=0$   $t^2-6t+8=0$   $(t-2)(t-4)=0$   $t=2\ \text{or}\ t=4$ Reject a root only for a reason: negative time, or a shape that cannot exist.รากบวกสองตัว: เก็บทั้งคู่: $v=3t^2-18t+24$   $3t^2-18t+24=0$   $t^2-6t+8=0$   $(t-2)(t-4)=0$   $t=2\ \text{or}\ t=4$ ตัดรากทิ้งเมื่อมีเหตุผลเท่านั้น: เวลาติดลบ หรือรูปทรงที่มีไม่ได้

5. Max and min in a shapeค่าสูงสุด–ต่ำสุดในรูปทรง

Same move: derivative $=0$. Reject the root with no box, then test.ท่าเดิม: อนุพันธ์ $=0$ · ตัดรากที่ไม่มีกล่อง แล้วเช็ก

Cut four squares from a $30$ cm sheet and fold. How big can the box be?ตัดจัตุรัสสี่มุมจากแผ่น $30$ cm แล้วพับ · กล่องใหญ่ได้สุดเท่าไร?

Largest volume where $\dfrac{dV}{dx}=0$ — the same move as $v=0$.ปริมาตรมากสุดที่ $\dfrac{dV}{dx}=0$ · ท่าเดียวกับ $v=0$

Find the largest volume of the box from a $30$ cm sheetหาปริมาตรมากที่สุดของกล่องจากแผ่น $30$ cm

1. $\text{side of base}=30-2x$A square of side $x$ comes off both ends of every side.ตัดจัตุรัสด้าน $x$ ออกทั้งสองปลายของทุกด้าน
2. $V=x(30-2x)^2$Fold up: height $x$, base $(30-2x)$ by $(30-2x)$.พับขึ้น: สูง $x$ · ฐาน $(30-2x)$ คูณ $(30-2x)$
3. $=x(900-120x+4x^2)$Square the bracket first.ยกกำลังสองวงเล็บก่อน
4. $=4x^3-120x^2+900x$Multiply by $x$. Every term is now a power of $x$.คูณ $x$ เข้าไป · ทุกพจน์เป็นกำลังของ $x$ แล้ว
5. $\dfrac{dV}{dx}=12x^2-240x+900$Differentiate term by term.ดิฟทีละพจน์
6. $12x^2-240x+900=0$Largest volume: gradient $0$. Divide both sides by $12$.ปริมาตรมากสุด: ความชันเป็น $0$ · หาร $12$ ทั้งสองข้าง
7. $x^2-20x+75=0$Two numbers: product $75$, sum $-20$.หาสองจำนวน คูณได้ $75$ บวกได้ $-20$
8. $(x-5)(x-15)=0$Factorise.แยกตัวประกอบ
9. $x=5\ \text{or}\ x=15$Two stationary points. Only one of them can be a box.ได้จุดคงที่สองจุด · เป็นกล่องได้แค่จุดเดียว
10. $30-2(15)=0$$x=15$ leaves a base of $0$ — no box. Reject it.$x=15$ ฐานเหลือ $0$ · ไม่มีกล่อง · ตัดทิ้ง
11. $\dfrac{d^2V}{dx^2}=24x-240$Differentiate again to test $x=5$.ดิฟอีกครั้ง เพื่อเช็ก $x=5$
12. $\dfrac{d^2V}{dx^2}=24(5)-240$At $x=5$:ที่ $x=5$:
13. $=-120$Negative, so $x=5$ gives a maximum.ติดลบ ดังนั้น $x=5$ ให้ค่าสูงสุด
14. $V=5(30-10)^2$Put $x=5$ back into $V$: the box is $5$ by $20$ by $20$.แทน $x=5$ กลับใน $V$ · กล่องขนาด $5\times20\times20$
15. $=2000$The largest volume is $2000$ cm$^3$.ปริมาตรมากที่สุดคือ $2000$ cm$^3$

1. Which is the volume $V$ of the box, in cm$^3$?ปริมาตร $V$ ของกล่อง หน่วย cm$^3$ คืออันไหน?
   Answer:เฉลย: $V=x(30-2x)^2$Length × width × height: $V=(30-2x)(30-2x)(x)$   $=x(30-2x)^2$กว้าง × ยาว × สูง: $V=(30-2x)(30-2x)(x)$   $=x(30-2x)^2$
2. In the walk, $x=15$ also gave $\dfrac{dV}{dx}=0$. Why was it rejected?ในตัวอย่าง $x=15$ ก็ให้ $\dfrac{dV}{dx}=0$ · ทำไมถึงตัดทิ้ง?
   Answer:เฉลย: $x=15$ leaves no base$x=15$ ไม่เหลือฐานReject for a reason: $30-2(15)=0$   $V(15)=15\times0^2$   $=0$ตัดทิ้งต้องมีเหตุผล: $30-2(15)=0$   $V(15)=15\times0^2$   $=0$
3. A $24$ cm square sheet this time: $V=4x^3-96x^2+576x$. Find the value of $x$ that gives the largest volume.คราวนี้แผ่นจัตุรัส $24$ cm: $V=4x^3-96x^2+576x$ · หาค่า $x$ ที่ให้ปริมาตรมากที่สุด
   Answer:เฉลย: $x=4$ cm  ($x=12$ rejected)$x=4$ cm  (ตัด $x=12$ ทิ้ง)Two roots, one real box: $\dfrac{dV}{dx}=12x^2-192x+576$   $12x^2-192x+576=0$   $x^2-16x+48=0$   $(x-4)(x-12)=0$   $x=4\ \text{or}\ x=12$   $24-2(12)=0$   $x=4$สองราก กล่องจริงมีใบเดียว: $\dfrac{dV}{dx}=12x^2-192x+576$   $12x^2-192x+576=0$   $x^2-16x+48=0$   $(x-4)(x-12)=0$   $x=4\ \text{or}\ x=12$   $24-2(12)=0$   $x=4$
4. Show that $x=4$ gives a maximum. $\dfrac{d^2V}{dx^2}=24x-192$. Which line does it?แสดงว่า $x=4$ ให้ค่าสูงสุด · $\dfrac{d^2V}{dx^2}=24x-192$ · บรรทัดไหนแสดงได้ถูก?
   Answer:เฉลย: $24(4)-192=-96\lt0$, so a maximum$24(4)-192=-96\lt0$ จึงเป็นค่าสูงสุดNegative means maximum: $\dfrac{d^2V}{dx^2}=24(4)-192$   $=-96$ Sign-table check: $\dfrac{dV}{dx}=108$ at $x=3$ and $-84$ at $x=5$.ติดลบคือค่าสูงสุด: $\dfrac{d^2V}{dx^2}=24(4)-192$   $=-96$ เช็กด้วยตารางเครื่องหมาย: $\dfrac{dV}{dx}=108$ ที่ $x=3$ และ $-84$ ที่ $x=5$
5. Find the largest volume of the box from the $24$ cm sheet.หาปริมาตรมากที่สุดของกล่องจากแผ่น $24$ cm
   Answer:เฉลย: $V=4(16)^2=1024$ cm$^3$Put $x$ back into $V$: $V=4(24-2\times4)^2$   $=4(16)^2$   $=1024$ Both sheets: best cut $=$ side $\div6$. $30\div6=5$ and $24\div6=4$.แทน $x$ กลับใน $V$: $V=4(24-2\times4)^2$   $=4(16)^2$   $=1024$ ทั้งสองแผ่น: มุมที่ตัดดีที่สุด $=$ ด้าน $\div6$ · $30\div6=5$ และ $24\div6=4$

6. Write the formula yourselfสร้างสูตรเอง

Two letters and a fixed total: use the total to remove one letter.มีสองตัวแปรกับค่ารวมคงที่ · ใช้ค่ารวมกำจัดตัวแปรหนึ่งตัว

$60$ m of fence for three sides; a wall makes the fourthรั้วยาว $60$ m ล้อมสามด้าน · ด้านที่สี่คือกำแพง

One letter first, then differentiate: $\dfrac{dA}{dx}=0$.ให้เหลือตัวแปรเดียวก่อน แล้วค่อยดิฟ: $\dfrac{dA}{dx}=0$

1. The fence gives $2x+y=60$. Write $y$ in terms of $x$.รั้วให้ $2x+y=60$ · เขียน $y$ ในรูปของ $x$
   Answer:เฉลย: $y=60-2x$The fence fixes $y$: $2x+y=60$   $y=60-2x$รั้วกำหนด $y$: $2x+y=60$   $y=60-2x$
2. So the area $A$ of the pen, in m$^2$, is…ดังนั้นพื้นที่ $A$ ของคอก หน่วย m$^2$ คือ…
   Answer:เฉลย: $A=x(60-2x)=60x-2x^2$One letter left: $A=xy$   $=x(60-2x)$   $=60x-2x^2$เหลือตัวแปรเดียว: $A=xy$   $=x(60-2x)$   $=60x-2x^2$
3. Find the value of $x$ that gives the largest area. ($A=60x-2x^2$)หาค่า $x$ ที่ให้พื้นที่มากที่สุด ($A=60x-2x^2$)
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dA}{dx}=60-4x=0$, so $x=15$ m$\dfrac{dA}{dx}=60-4x=0$ ดังนั้น $x=15$ mGradient zero at the top: $\dfrac{dA}{dx}=60-4x$   $60-4x=0$   $60=4x$   $15=x$ความชันเป็นศูนย์ที่ยอด: $\dfrac{dA}{dx}=60-4x$   $60-4x=0$   $60=4x$   $15=x$
4. Find the largest area of the pen.หาพื้นที่มากที่สุดของคอก
   Answer:เฉลย: $y=60-30=30$, $A=15\times30=450$ m$^2$Find $y$, then $A$: $y=60-2(15)$   $=30$   $A=15\times30$   $=450$หา $y$ แล้วหา $A$: $y=60-2(15)$   $=30$   $A=15\times30$   $=450$
5. Which line proves that $x=15$ gives a maximum?บรรทัดไหนพิสูจน์ว่า $x=15$ ให้ค่าสูงสุด?
   Answer:เฉลย: $\dfrac{d^2A}{dx^2}=-4\lt0$, so a maximum$\dfrac{d^2A}{dx^2}=-4\lt0$ จึงเป็นค่าสูงสุดNegative second derivative: $\dfrac{dA}{dx}=60-4x$   $\dfrac{d^2A}{dx^2}=-4$ The shape also proves it: $-2x^2$ makes a $\cap$ parabola. Edexcel wants the shape; CAIE accepts either.อนุพันธ์อันดับสองติดลบ: $\dfrac{dA}{dx}=60-4x$   $\dfrac{d^2A}{dx^2}=-4$ ใช้รูปกราฟก็พิสูจน์ได้: $-2x^2$ ทำให้เป็นพาราโบลารูป $\cap$ · Edexcel ต้องการรูปกราฟ · CAIE ใช้วิธีไหนก็ได้
6. A rectangular pen has area $36$ m$^2$ and width $x$ m, so its length is $\dfrac{36}{x}$ m and its perimeter is $P=2x+\dfrac{72}{x}$ ($x\gt0$). Find the value of $x$ that gives the least perimeter.คอกสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่ $36$ m$^2$ กว้าง $x$ m · ยาวจึงเป็น $\dfrac{36}{x}$ m และเส้นรอบรูปคือ $P=2x+\dfrac{72}{x}$ ($x\gt0$) · หาค่า $x$ ที่ทำให้เส้นรอบรูปน้อยที่สุด
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dP}{dx}=2-\dfrac{72}{x^2}=0$, so $x=6$  ($x=-6$ rejected); least $P=24$ m$\dfrac{dP}{dx}=2-\dfrac{72}{x^2}=0$ ดังนั้น $x=6$  (ตัด $x=-6$ ทิ้ง) · $P$ น้อยที่สุด $=24$ mNegative power: same rule: $P=2x+72x^{-1}$   $\dfrac{dP}{dx}=2-72x^{-2}$   $2-72x^{-2}=0$   $2=72x^{-2}$   $2x^2=72$   $x^2=36$   $x=6\ \ (x\gt0)$   $P=2(6)+\dfrac{72}{6}$   $=24$ $72x^{-1}$ gives $-1\times72x^{-2}$: the power comes down and drops by one, as always.เลขชี้กำลังติดลบ: กฎเดิม: $P=2x+72x^{-1}$   $\dfrac{dP}{dx}=2-72x^{-2}$   $2-72x^{-2}=0$   $2=72x^{-2}$   $2x^2=72$   $x^2=36$   $x=6\ \ (x\gt0)$   $P=2(6)+\dfrac{72}{6}$   $=24$ $72x^{-1}$ ได้ $-1\times72x^{-2}$ · เลขชี้กำลังลงมาคูณแล้วลดหนึ่ง เหมือนเดิม

7. Exam formฟอร์มข้อสอบ

Real wording, real marks: one motion question, two practical ones.ภาษาข้อสอบจริง คะแนนจริง · โจทย์การเคลื่อนที่หนึ่งข้อ โจทย์ประยุกต์สองข้อ

Differentiate, set to $0$, solve, answer — a mark for eachดิฟ ตั้งเท่ากับ $0$ แก้ ตอบ · ได้คะแนนทีละขั้น

"Use calculus" means the derivative must be written. Trial and improvement scores $0$."ใช้แคลคูลัส" แปลว่าต้องเขียนอนุพันธ์ · ลองแทนค่าเดาได้ $0$ คะแนน

1. Exam: A particle $P$ moves along a straight line. At time $t$ seconds its displacement from a fixed point $O$ is $s$ metres, where $s=2t^3-9t^2-24t+5$.  (6 marks)ข้อสอบ: อนุภาค $P$ เคลื่อนที่บนเส้นตรง · ที่เวลา $t$ วินาที ระยะกระจัดจากจุด $O$ คือ $s$ เมตร โดย $s=2t^3-9t^2-24t+5$  (6 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $a=30$ m/s$^2$6 marks: $\text{M1}\quad \text{two of } 6t^2,\ -18t,\ -24 \text{ correct}$   $\text{A1}\quad v=6t^2-18t-24$   $\text{M1}\quad 6(t-4)(t+1)=0$   $\text{A1}\quad t=4\ \ (t=-1\text{ rejected})$   $\text{M1}\quad a=12t-18$   $\text{A1}\quad a=12(4)-18=30$ In (b), leaving $t=-1$ beside $t=4$ loses the A1.6 คะแนน: $\text{M1}\quad \text{two of } 6t^2,\ -18t,\ -24 \text{ correct}$   $\text{A1}\quad v=6t^2-18t-24$   $\text{M1}\quad 6(t-4)(t+1)=0$   $\text{A1}\quad t=4\ \ (t=-1\text{ rejected})$   $\text{M1}\quad a=12t-18$   $\text{A1}\quad a=12(4)-18=30$ ข้อ (ข) ถ้าเหลือ $t=-1$ ไว้คู่กับ $t=4$ จะเสีย A1
2. Exam: A cuboid has a square base of side $x$ cm and height $h$ cm. The total length of its $12$ edges is $60$ cm. The volume, $V$ cm$^3$, is given by $V=15x^2-2x^3$. Use calculus to find the maximum value of $V$. Show your working clearly.  (4 marks)ข้อสอบ: ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมีฐานเป็นจัตุรัสด้าน $x$ cm สูง $h$ cm · ขอบทั้ง $12$ เส้นยาวรวมกัน $60$ cm · ปริมาตร $V$ cm$^3$ คือ $V=15x^2-2x^3$ · ใช้แคลคูลัสหาค่าสูงสุดของ $V$ แสดงวิธีทำให้ชัดเจน  (4 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $x=5$, so $V=15(25)-2(125)=125$ cm$^3$$x=5$ ดังนั้น $V=15(25)-2(125)=125$ cm$^3$4 marks: $\text{M1}\quad \dfrac{dV}{dx}=30x-6x^2$   $\text{M1}\quad 30x-6x^2=0$   $\text{A1}\quad x=5$   $\text{A1}\quad V=15(5)^2-2(5)^3=125$ $125$ with no derivative shown scores $0$: the question says “use calculus”.4 คะแนน: $\text{M1}\quad \dfrac{dV}{dx}=30x-6x^2$   $\text{M1}\quad 30x-6x^2=0$   $\text{A1}\quad x=5$   $\text{A1}\quad V=15(5)^2-2(5)^3=125$ $125$ ที่ไม่มีอนุพันธ์ได้ $0$ · โจทย์บอกให้ “ใช้แคลคูลัส”
3. Exam: The cost, $C$ baht per kilometre, of driving a van at a steady speed of $v$ km/h is $C=0.005v^2-0.6v+30$. Find the speed that gives the least cost, and show that it is a minimum.  (3 marks)ข้อสอบ: ค่าใช้จ่าย $C$ บาทต่อกิโลเมตร ของการขับรถตู้ด้วยอัตราเร็วคงที่ $v$ km/h คือ $C=0.005v^2-0.6v+30$ · หาอัตราเร็วที่ทำให้ค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด และแสดงว่าเป็นค่าต่ำสุด  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dC}{dv}=0.01v-0.6=0$, so $v=60$ km/h; $0.005\gt0$ gives a $\cup$ shape (or $\dfrac{d^2C}{dv^2}=0.01\gt0$): a minimum$\dfrac{dC}{dv}=0.01v-0.6=0$ ดังนั้น $v=60$ km/h · $0.005\gt0$ กราฟเป็นรูป $\cup$ (หรือ $\dfrac{d^2C}{dv^2}=0.01\gt0$) จึงเป็นค่าต่ำสุด3 marks: $\text{M1}\quad \dfrac{dC}{dv}=0.01v-0.6=0$   $\text{A1}\quad v=60$   $\text{B1}\quad \text{shape } \cup\ (0.005\gt0)\ \text{or}\ \tfrac{d^2C}{dv^2}=0.01\gt0\ \Rightarrow\ \text{min}$ Edexcel wants the shape; CAIE accepts either. “It is a minimum” with no reason scores $0$.3 คะแนน: $\text{M1}\quad \dfrac{dC}{dv}=0.01v-0.6=0$   $\text{A1}\quad v=60$   $\text{B1}\quad \text{shape } \cup\ (0.005\gt0)\ \text{or}\ \tfrac{d^2C}{dv^2}=0.01\gt0\ \Rightarrow\ \text{min}$ Edexcel ต้องการเหตุผลจากรูปกราฟ · CAIE ใช้วิธีไหนก็ได้ · เขียนแค่ “เป็นค่าต่ำสุด” ได้ $0$

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน · แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. $s=t^3-12t+4$.  Find $v$, the time when the particle is at rest, and its acceleration at that time.The whole routine once: $v$, then $v=0$, reject $t\lt0$, then $a$.ทำครบทุกขั้นหนึ่งรอบ: $v$ แล้ว $v=0$ ตัด $t\lt0$ แล้วหา $a$
2. $s=2t^3-7.5t^2+6t$.  Find the times when the particle is at rest, and the acceleration at each.A decimal and a leading $6t^2$. Both roots are positive, so both stay.มีทศนิยม และพจน์นำเป็น $6t^2$ · รากบวกทั้งคู่ จึงเก็บทั้งสอง
3. A ball is thrown straight up. Its height after $t$ seconds is $h=20t-5t^2$ metres.  Find its greatest height.Greatest height is where the vertical velocity is $0$ — the same move as at rest.จุดสูงสุดคือตอนความเร็วแนวดิ่งเป็น $0$ · ท่าเดียวกับหยุดนิ่ง
4. $s=t^3-3t^2-6t$.  Find the time when the particle is at rest, correct to $3$ significant figures.The quadratic will not factorise: use the formula, then reject the negative root.สมการกำลังสองแยกตัวประกอบไม่ได้ · ใช้สูตร แล้วตัดรากลบทิ้ง
5. Squares of side $x$ cm are cut from the corners of a square sheet of side $k$ cm to make an open box. The volume is largest when $x=7$.  Find $k$.The box run backwards: $\dfrac{dV}{dx}=(2x-k)(6x-k)$, so the best $x$ is $\dfrac{k}{6}$.โจทย์กล่องแบบย้อนกลับ: $\dfrac{dV}{dx}=(2x-k)(6x-k)$ · $x$ ที่ดีที่สุดคือ $\dfrac{k}{6}$
6. A particle moves so that $s=t^3-6t^2+9t+2$.  (a) Find the velocity when $t=2$.  (b) Find the values of $t$ when the particle is at rest.  (c) Find the displacement when the acceleration is zero.Three parts, three different equations: substitute, set $v=0$, set $a=0$.สามข้อย่อย สามสมการ: แทนค่า ตั้ง $v=0$ ตั้ง $a=0$

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี