Powers, Roots & Exponential Growthกำลัง ราก และการเติบโตแบบเลขชี้กำลัง

IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upวอร์มอัพ

A square number is literally a squareเลขยกกำลังสอง คือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจริงๆ

Squaring builds a square. A square root asks for the side back.การยกกำลังสองคือสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัส · ส่วนรากที่สองคือถามหาความยาวด้านกลับคืนมา

1. $6^{2}$ means $6\times6$. What is it?$6^{2}$ แปลว่า $6\times6$ · เท่ากับเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $6^{2}=36$The little number counts copies: $6^{2}=6\times 6=36$   $6\times 2=12\ \ \times$ Almost every mistake in this topic starts by reading $6^{2}$ as $6\times2$.เลขตัวเล็ก นับจำนวนสำเนา: $6^{2}=6\times 6=36$   $6\times 2=12\ \ \times$ ความพลาดเกือบทุกอย่างในบทนี้ เริ่มจากอ่าน $6^{2}$ เป็น $6\times2$
2. Which one equals $2\times2\times2$?อันไหนเท่ากับ $2\times2\times2$?
   Answer:เฉลย: $2\times2\times2=8$A base, and how many copies: $2\times2\times2=8$   $=2^{3}\qquad\text{“two cubed”}$ฐาน กับ จำนวนสำเนา: $2\times2\times2=8$   $=2^{3}\qquad\text{“two cubed”}$

2. A square and its rootกำลังสองกับราก

Squaring goes forward. $\sqrt{\;}$ walks back to the side.ยกกำลังสองคือเดินไป · $\sqrt{\;}$ คือเดินกลับมาหาความยาวด้าน

Learn these sixteen squares for the paperจำกำลังสอง 16 ตัวนี้ไว้ใช้ในข้อสอบ

Read it both ways: $13^{2}=169$, so $\sqrt{169}=13$. Estimating roots later uses this list.อ่านได้สองทาง: $13^{2}=169$ ดังนั้น $\sqrt{169}=13$ · โจทย์ประมาณค่ารากใช้ลิสต์นี้

1. $\sqrt{81}=\;?$$\sqrt{81}=\;?$
   Answer:เฉลย: $\sqrt{81}=9$Square it back to check: $\sqrt{81}=9$   $9\times 9=81\ \ \checkmark$   $81\div 2=40.5\ \ \times$ยกกำลังสองกลับ เพื่อตรวจ: $\sqrt{81}=9$   $9\times 9=81\ \ \checkmark$   $81\div 2=40.5\ \ \times$
2. Without working out $17^{2}$: what is $\sqrt{17^{2}}$?ไม่ต้องคิด $17^{2}$ · แล้ว $\sqrt{17^{2}}$ เท่ากับเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $\sqrt{17^{2}}=17$Root undoes square: $\sqrt{17^{2}}=17$   $\sqrt{47^{2}}=47\qquad\text{(no calculator)}$ You never calculate the middle number. That is what an inverse is for.รากล้างกำลังสอง: $\sqrt{17^{2}}=17$   $\sqrt{47^{2}}=47\qquad\text{(no calculator)}$ ไม่ต้องคิดเลขตัวกลางเลย · นั่นแหละหน้าที่ของตัวผกผัน
3. Solve $x^{2}=36$.แก้สมการ $x^{2}=36$
   Answer:เฉลย: $x=\pm6$An equation wants both roots: $6\times 6=36$   $(-6)\times(-6)=36$   $x=\pm 6$ Losing the negative root is the most common lost mark in quadratic work.สมการ ต้องการรากทั้งสองตัว: $6\times 6=36$   $(-6)\times(-6)=36$   $x=\pm 6$ ลืมรากติดลบ คือคะแนนที่เสียบ่อยที่สุดในเรื่องสมการกำลังสอง

3. Cubes and cube rootsกำลังสามกับรากที่สาม

Three copies instead of two. The minus sign stays.สามตัวแทนสองตัว · เครื่องหมายลบยังอยู่

A cube number is literally a cubeเลขยกกำลังสาม คือลูกบาศก์จริงๆ

Cubes grow fast. Seven of them ($1$ to $6$, and $1000$) cover almost every exam question.เลขกำลังสามโตเร็วมาก · จำแค่เจ็ดตัว ($1$ ถึง $6$ กับ $1000$) ก็ครอบคลุมข้อสอบเกือบทุกข้อ

1. $5^{3}=\;?$$5^{3}=\;?$
   Answer:เฉลย: $5^{3}=125$Cube it in two steps: $5^{2}=25$   $25\times 5=125$ยกกำลังสาม ทำสองสเต็ป: $5^{2}=25$   $25\times 5=125$
2. $\sqrt[3]{27}=\;?$$\sqrt[3]{27}=\;?$
   Answer:เฉลย: $\sqrt[3]{27}=3$Multiply your answer back out: $3\times3\times3=27\ \ \checkmark$   $27\div 3=9\ \ \times$เอาคำตอบคูณกลับออกมา: $3\times3\times3=27\ \ \checkmark$   $27\div 3=9\ \ \times$
3. $(-3)^{3}=\;?$$(-3)^{3}=\;?$
   Answer:เฉลย: $(-3)^{3}=-27$Count the minus signs: $(-3)(-3)=+9$   $(+9)(-3)=-27$   $\text{odd number of minuses}\ \Rightarrow\ \text{negative}$นับเครื่องหมายลบ: $(-3)(-3)=+9$   $(+9)(-3)=-27$   $\text{odd number of minuses}\ \Rightarrow\ \text{negative}$
4. $\sqrt[3]{-8}=\;?$$\sqrt[3]{-8}=\;?$
   Answer:เฉลย: $\sqrt[3]{-8}=-2$Cube roots accept negatives: $(-2)^{3}=-8\ \Rightarrow\ \sqrt[3]{-8}=-2$   $\sqrt{-8}\ \ \text{does not exist}$ Three negatives build a negative; two never can. Examiners like this difference.รากที่สาม รับค่าติดลบได้: $(-2)^{3}=-8\ \Rightarrow\ \sqrt[3]{-8}=-2$   $\sqrt{-8}\ \ \text{does not exist}$ ลบสามตัวสร้างค่าลบได้ · ลบสองตัวไม่ได้ · ข้อสอบชอบออกจุดต่างนี้

4. Any root at allรากอะไรก็ได้

The little number in the notch says how many copies.เลขเล็กในซอกรากบอกว่าใช้กี่ตัว

$\sqrt[n]{\;}$ undoes "to the power $n$"$\sqrt[n]{\;}$ คือการย้อนกลับของ "ยกกำลัง $n$"

$\sqrt{\;}$ hides a $2$. Put any $n$ there: each row is one fact read both ways.$\sqrt{\;}$ ซ่อนเลข $2$ ไว้ · ใส่ $n$ อะไรก็ได้ · แต่ละแถวคือความจริงเดียวกัน อ่านได้สองทาง

1. $\sqrt[4]{81}=\;?$$\sqrt[4]{81}=\;?$
   Answer:เฉลย: $\sqrt[4]{81}=3$Two square roots in a row: $\sqrt{81}=9$   $\sqrt{9}=3$   $\Rightarrow\ \sqrt[4]{81}=3$รากที่สอง สองรอบติดกัน: $\sqrt{81}=9$   $\sqrt{9}=3$   $\Rightarrow\ \sqrt[4]{81}=3$
2. $\sqrt[3]{a}$ can also be written as:$\sqrt[3]{a}$ เขียนอีกแบบได้เป็น:
   Answer:เฉลย: $\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}$Two notations, one idea: $a^{1/3}\times a^{1/3}\times a^{1/3}=a$   $\Rightarrow\ a^{1/3}=\sqrt[3]{a}$ The exam swaps between the two forms without warning.สองสัญลักษณ์ ไอเดียเดียว: $a^{1/3}\times a^{1/3}\times a^{1/3}=a$   $\Rightarrow\ a^{1/3}=\sqrt[3]{a}$ ข้อสอบสลับสองรูปนี้ไปมา โดยไม่บอกล่วงหน้า
3. $\sqrt[5]{32}=\;?$$\sqrt[5]{32}=\;?$
   Answer:เฉลย: $\sqrt[5]{32}=2$Walk up the small powers: $2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64$   $3,\ 9,\ 27,\ 81$   $32=2^{5}\ \Rightarrow\ \sqrt[5]{32}=2$ไล่กำลังของเลขน้อยๆ ขึ้นไป: $2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64$   $3,\ 9,\ 27,\ 81$   $32=2^{5}\ \Rightarrow\ \sqrt[5]{32}=2$

5. Trapping a root between two whole numbersขังรากไว้ระหว่างจำนวนเต็มสองตัว

No calculator? Sandwich the number between the two you know.ไม่มีเครื่องคิดเลข? ก็ขังเลขนั้นไว้ระหว่างสองตัวที่รู้อยู่แล้ว

$\sqrt{60}$ is not whole. Find where it sits$\sqrt{60}$ ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่ก็ยังบอกได้ว่าอยู่ตรงไหน

Find the two squares either side. Their roots are your two integers.หากำลังสองสองตัวที่ขนาบอยู่ · รากของสองตัวนั้นคือจำนวนเต็มที่ต้องการ

1. $\sqrt{50}$ lies between two consecutive whole numbers. Which two?$\sqrt{50}$ อยู่ระหว่างจำนวนเต็มที่ติดกันสองตัว · สองตัวไหน?
   Answer:เฉลย: $7<\sqrt{50}<8$Give the roots, not the squares: $49<50<64$   $7<\sqrt{50}<8$ตอบเป็นราก ไม่ใช่กำลังสอง: $49<50<64$   $7<\sqrt{50}<8$
2. Is $\sqrt{50}$ closer to $7$ or to $8$?$\sqrt{50}$ ใกล้ $7$ หรือใกล้ $8$ มากกว่า?
   Answer:เฉลย: closer to $7$  ($\sqrt{50}\approx7.07$)ใกล้ $7$ มากกว่า  ($\sqrt{50}\approx7.07$)Compare the two gaps: $50-49=1$   $64-50=14$   $1<14\ \Rightarrow\ \text{closer to }7$เทียบระยะห่างสองฝั่ง: $50-49=1$   $64-50=14$   $1<14\ \Rightarrow\ \text{closer to }7$
3. $\sqrt[3]{100}$ lies between two consecutive whole numbers. Which two?$\sqrt[3]{100}$ อยู่ระหว่างจำนวนเต็มที่ติดกันสองตัว · สองตัวไหน?
   Answer:เฉลย: $4<\sqrt[3]{100}<5$Same method, cubes instead: $4^{3}=64<100<125=5^{3}$   $4<\sqrt[3]{100}<5$ Cube roots creep up slowly: $\sqrt[3]{100}<5$, while $\sqrt{100}=10$.วิธีเดิม เปลี่ยนเป็นกำลังสาม: $4^{3}=64<100<125=5^{3}$   $4<\sqrt[3]{100}<5$ รากที่สามโตช้ากว่ามาก · $\sqrt[3]{100}<5$ ขณะที่ $\sqrt{100}=10$
4. $n$ is a whole number and $n\lt \sqrt{200}\lt n+1$. Find $n$.$n$ เป็นจำนวนเต็ม และ $n\lt \sqrt{200}\lt n+1$ · หา $n$
   Answer:เฉลย: $n=14$  since $14^{2}=196$ and $15^{2}=225$เพราะ $14^{2}=196$ และ $15^{2}=225$$n$ is the lower one: $14^{2}=196<200$   $15^{2}=225>200$   $n=14$ One number was asked for. Writing $14$ and $15$ loses the mark.$n$ คือตัวล่าง: $14^{2}=196<200$   $15^{2}=225>200$   $n=14$ โจทย์ขอเลขตัวเดียว · เขียน $14$ กับ $15$ คือเสียคะแนน

6. Growth is repeated multiplicationการเติบโตคือการคูณซ้ำ

One multiplier per step, so $r^{n}$ after $n$ steps.หนึ่งก้าวคูณหนึ่งครั้ง · $n$ ก้าวก็เป็น $r^{n}$

The same multiplier, over and overตัวคูณเดิม ซ้ำไปเรื่อยๆ

The jumps grow: $+100$ first, $+173$ last. Same percentage of a bigger amount, so it multiplies.ก้าวโตขึ้น: ก้าวแรก $+100$ ก้าวสุดท้าย $+173$ · เปอร์เซ็นต์เท่าเดิมของจำนวนที่ใหญ่ขึ้น จึงเป็นการคูณ

$500$ bacteria, up $20\%$ each hour, after $6$ hoursแบคทีเรีย $500$ ตัว โตชั่วโมงละ $20\%$ · ผ่านไป $6$ ชั่วโมง

1. $A_0=500$The start, before any hour passes: $A_0$.ค่าตั้งต้น ก่อนผ่านไปชั่วโมงแรก: $A_0$
2. $r=100\%+20\%$Each hour keeps all of it, plus $20\%$ more.ทุกชั่วโมง ของเดิมอยู่ครบ บวกเพิ่มอีก $20\%$
3. $r=1.2$$120\div100=1.2$: multiply by this once per hour.$120\div100=1.2$ · คูณด้วยตัวนี้ ชั่วโมงละครั้ง
4. $n=6$Count steps: after $6$ hours, $n=6$. In the $6$th hour, $n=5$.นับจำนวนก้าว: ผ่านไป $6$ ชั่วโมง $n=6$ · ในชั่วโมงที่ $6$ ได้ $n=5$
5. $A=A_0r^{n}$Formula first: often the method mark.เขียนสูตรก่อน · มักได้คะแนนวิธีทำ
6. $A=500\times1.2^{6}$The power is on $1.2$ only, not on $500$.เลขชี้กำลังอยู่บน $1.2$ ตัวเดียว ไม่ใช่ $500$
7. $A=500\times2.985984$Power first. About $3$ is the right size.คิดเลขยกกำลังก่อน · ได้ราว $3$ แปลว่าขนาดถูก
8. $A=1492.992$Do not round here: using $3$ gives $1500$, $7$ too many.ห้ามปัดตรงนี้ · ถ้าใช้ $3$ จะได้ $1500$ เกินไป $7$ ตัว
9. $A=1493$Bacteria are whole, so round once, at the end.แบคทีเรียนับเป็นตัว · ปัดครั้งเดียวตอนท้าย

Three things to find: $A_0$, $r$, $n$. Then one substitution.หาสามอย่างให้ครบ $A_0$, $r$, $n$ แล้วแทนค่าครั้งเดียว

1. A colony of $200$ bacteria doubles every hour. How many after $3$ hours?แบคทีเรีย $200$ ตัว เพิ่มเป็นสองเท่าทุกชั่วโมง · ผ่านไป $3$ ชั่วโมงมีกี่ตัว?
   Answer:เฉลย: $200\times2\times2\times2=1600$Three doublings is $\times 2^{3}$: $200\times2\times2\times2=1600$   $=200\times 2^{3}=200\times 8$   $200\times 6=1200\ \ \times$สองเท่าสามครั้ง คือ $\times 2^{3}$: $200\times2\times2\times2=1600$   $=200\times 2^{3}=200\times 8$   $200\times 6=1200\ \ \times$
2. A town grows by $4\%$ a year. What is $r$?เมืองหนึ่งมีประชากรเพิ่มปีละ $4\%$ · $r$ เท่ากับเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $r=1.04$$100\%+4\%=104\%$: $4\%=\tfrac{4}{100}=0.04$   $r=1+0.04=1.04$   $1.4\ \text{would be }40\%\ \ \times$ Single-digit percentages are where the zero gets dropped.$100\%+4\%=104\%$: $4\%=\tfrac{4}{100}=0.04$   $r=1+0.04=1.04$   $1.4\ \text{would be }40\%\ \ \times$ เปอร์เซ็นต์หลักเดียว คือจุดที่เลขศูนย์หายบ่อย
3. A colony of $500$ bacteria grows by $20\%$ per hour. How many after $4$ hours? Give your answer to the nearest whole number.แบคทีเรีย $500$ ตัว โตชั่วโมงละ $20\%$ · ผ่านไป $4$ ชั่วโมงมีกี่ตัว? ตอบเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด
   Answer:เฉลย: $500\times1.2^{4}=1036.8\approx1037$Check it against doubling: $500\times 1.2^{4}=1036.8\approx 1037$   $1.2^{4}\approx 2.07\ \Rightarrow\ \text{roughly double}$ตรวจโดยเทียบกับสองเท่า: $500\times 1.2^{4}=1036.8\approx 1037$   $1.2^{4}\approx 2.07\ \Rightarrow\ \text{roughly double}$

7. Decay: the multiplier drops below 1การลดลง: ตัวคูณต่ำกว่า 1

Losing $15\%$ a year means $\times0.85$ a year. Same formula, smaller $r$.เสีย $15\%$ ต่อปี ก็คือ $\times0.85$ ต่อปี · สูตรเดิม แค่ $r$ เล็กลง

What is left, not what is lostคิดจากส่วนที่เหลือ ไม่ใช่ส่วนที่หายไป

$r=1-\dfrac{p}{100}$ for a fall. Anything under $1$ shrinks; anything over $1$ grows.ถ้าลดลงใช้ $r=1-\dfrac{p}{100}$ · ต่ำกว่า $1$ คือหด · สูงกว่า $1$ คือโต

1. A phone loses $12\%$ of its value each year. What is $r$?โทรศัพท์เสียมูลค่าปีละ $12\%$ · $r$ เท่ากับเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $r=1-0.12=0.88$Ask what is left: $100\%-12\%=88\%$   $r=0.88$ถามว่าเหลือเท่าไร: $100\%-12\%=88\%$   $r=0.88$
2. A car costs $400\,000$ baht new and loses $15\%$ of its value each year. What is it worth after $3$ years? Give your answer to the nearest baht.รถใหม่ราคา $400\,000$ บาท เสียมูลค่าปีละ $15\%$ · ผ่านไป $3$ ปีมีมูลค่าเท่าไร? ตอบเป็นบาทเต็ม
   Answer:เฉลย: $400000\times0.85^{3}=245650$Subtracting is the trap: $\text{repeated subtraction}:\ 220\,000\ \ \times$   $400\,000\times 0.85^{3}=245\,650\ \ \checkmark$ A gap of over $25\,000$ baht, from one wrong instinct.กับดักคือการเอาไปลบ: $\text{repeated subtraction}:\ 220\,000\ \ \times$   $400\,000\times 0.85^{3}=245\,650\ \ \checkmark$ ต่างกันกว่า $25\,000$ บาท จากสัญชาตญาณผิดอย่างเดียว
3. A radioactive sample has mass $80$ g and halves every day. What is its mass after $4$ days?สารกัมมันตรังสีมวล $80$ กรัม ลดลงครึ่งหนึ่งทุกวัน · ผ่านไป $4$ วันเหลือมวลเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $80\times0.5^{4}=5$ gDay zero is not a step: $r=0.5\qquad(\text{halving})$   $80\times 0.5^{4}=5\ \text{g}$วันที่ศูนย์ ไม่นับเป็นก้าว: $r=0.5\qquad(\text{halving})$   $80\times 0.5^{4}=5\ \text{g}$
4. A quantity is multiplied by $0.92$ each year. What is happening to it?ปริมาณหนึ่งถูกคูณด้วย $0.92$ ทุกปี · เกิดอะไรขึ้นกับมัน?
   Answer:เฉลย: a $8\%$ decrease each yearลดลงปีละ $8\%$Distance from $1$ is the percentage: $0.92=1-0.08\ \Rightarrow\ 8\%\ \text{down}$   $1.06=1+0.06\ \Rightarrow\ 6\%\ \text{up}$ระยะห่างจาก $1$ คือเปอร์เซ็นต์: $0.92=1-0.08\ \Rightarrow\ 8\%\ \text{down}$   $1.06=1+0.06\ \Rightarrow\ 6\%\ \text{up}$

8. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Same three quantities, exam wording, marks attached.ปริมาณสามตัวเดิม เปลี่ยนเป็นภาษาข้อสอบ และมีคะแนนกำกับ

Three lines, three marksสามบรรทัด สามคะแนน

A wrong $r$ loses every mark after line 1. Read the last sentence twice: it says how to round.$r$ ผิด คะแนนหลังบรรทัดแรกหายหมด · อ่านประโยคสุดท้ายสองรอบ มันบอกว่าต้องปัดยังไง

1. Exam: The population of a town is $24\,000$. The population increases by $4\%$ each year. Work out the population after $5$ years. Give your answer to the nearest hundred.  (3 marks)ข้อสอบ: เมืองหนึ่งมีประชากร $24\,000$ คน เพิ่มขึ้นปีละ $4\%$ · หาประชากรเมื่อผ่านไป $5$ ปี ตอบโดยปัดเป็นหลักร้อย  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $24000\times1.04^{5}=29199.67\ldots=29200$3 marks: $\text{M1}\ \ 1.04^{5}\ \text{seen}$   $\text{M1}\ \ \times\,24\,000$   $\text{A1}\ \ 29\,200$ The A1 is on the rounded figure. Stopping at $29\,199.67$ throws it away.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ 1.04^{5}\ \text{seen}$   $\text{M1}\ \ \times\,24\,000$   $\text{A1}\ \ 29\,200$ คะแนน A1 อยู่ที่เลขที่ปัดแล้ว · หยุดที่ $29\,199.67$ คือทิ้งคะแนนนั้น
2. Exam: $n$ is an integer such that $n\lt \sqrt[3]{500}\lt n+1$. Find the value of $n$.  (2 marks)ข้อสอบ: $n$ เป็นจำนวนเต็มที่ $n\lt \sqrt[3]{500}\lt n+1$ · หาค่า $n$  (2 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $n=7$  since $7^{3}=343$ and $8^{3}=512$เพราะ $7^{3}=343$ และ $8^{3}=512$2 marks: $\text{M1}\ \ 7^{3}=343\ \text{or}\ 8^{3}=512\ \text{seen}$   $\text{A1}\ \ n=7$ The two cubes are worth a mark on their own, so write them down.2 คะแนน: $\text{M1}\ \ 7^{3}=343\ \text{or}\ 8^{3}=512\ \text{seen}$   $\text{A1}\ \ n=7$ แค่เขียนกำลังสามสองตัว ก็ได้คะแนนแล้ว · เขียนออกมาด้วย
3. Exam: A machine is bought for $60\,000$ baht. Its value falls by $20\%$ each year. After how many whole years is the machine first worth less than $25\,000$ baht?  (3 marks)ข้อสอบ: ซื้อเครื่องจักรมา $60\,000$ บาท มูลค่าลดลงปีละ $20\%$ · ผ่านไปกี่ปีเต็ม มูลค่าจึงต่ำกว่า $25\,000$ บาทเป็นครั้งแรก?  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $4$ years  ($0.8^{3}$: $30\,720$  ·  $0.8^{4}$: $24\,576$)$4$ ปี  ($0.8^{3}$: $30\,720$  ·  $0.8^{4}$: $24\,576$)3 marks: $\text{M1}\ \ 60\,000\times 0.8^{3}=30\,720$   $\text{M1}\ \ 60\,000\times 0.8^{4}=24\,576$   $\text{A1}\ \ 4\ \text{years}$ Show both years. Writing only $4$ leaves the examiner unable to see that $3$ failed.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ 60\,000\times 0.8^{3}=30\,720$   $\text{M1}\ \ 60\,000\times 0.8^{4}=24\,576$   $\text{A1}\ \ 4\ \text{years}$ ต้องโชว์สองปี · เขียนแค่ $4$ กรรมการไม่เห็นว่า $3$ ไม่ผ่าน
4. Exam: Work out the value of $\sqrt{169}-\sqrt[3]{125}$.  (2 marks)ข้อสอบ: หาค่าของ $\sqrt{169}-\sqrt[3]{125}$  (2 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $13-5=8$2 marks: $\text{M1}\ \ \sqrt{169}=13\ \text{and}\ \sqrt[3]{125}=5$   $\text{A1}\ \ 13-5=8$   $\sqrt{169-125}\ne\sqrt{169}-\sqrt{125}$ A root sign is a bracket over the number underneath. Finish it before the minus.2 คะแนน: $\text{M1}\ \ \sqrt{169}=13\ \text{and}\ \sqrt[3]{125}=5$   $\text{A1}\ \ 13-5=8$   $\sqrt{169-125}\ne\sqrt{169}-\sqrt{125}$ เครื่องหมายรากทำหน้าที่เหมือนวงเล็บคลุมเลขข้างใน · ทำให้เสร็จก่อนถึงเครื่องหมายลบ

9. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. A colony of $300$ bacteria grows by $10\%$ each hour. How many bacteria after $5$ hours? Give your answer to the nearest whole number.
   Answer:เฉลย: $300\times1.1^{5}=483.15\ldots=483$The numbers changed, but the walk is the same. If finding $r=1.1$ took thought, practise that step first.ตัวเลขเปลี่ยน แต่วิธีทำเหมือนเดิม · ถ้าหา $r=1.1$ ต้องคิดนาน ให้ฝึกขั้นนี้ก่อน
2. A town has $46\,500$ people and grows by $2.4\%$ each year. Work out the population after $7$ years, to the nearest hundred.
   Answer:เฉลย: $46500\times1.024^{7}=54897.5\ldots=54\,900$A decimal percent, so $r=1.024$. People drop the $0$ right after the point. The method is the same.เปอร์เซ็นต์เป็นทศนิยม $r=1.024$ · คนมักลืมเลข $0$ หลังจุด · วิธีทำเหมือนเดิม
3. $n$ is a whole number and $n\lt \sqrt[3]{700}\lt n+1$. Write down the value of $n$.
   Answer:เฉลย: $n=8$  (since $8^{3}=512$ and $9^{3}=729$)No growth, no percent, but the same power-table reading, one row at a time. Trap the root with no picture.ไม่มีการเติบโต ไม่มีเปอร์เซ็นต์ แต่ยังอ่านตารางกำลังทีละแถวเหมือนเดิม · จับรากให้ได้แม้ไม่มีรูป
4. Write $\sqrt[3]{x^{9}}$ as a single power of $x$.
   Answer:เฉลย: $x^{3}$  — since $\sqrt[3]{x^{9}}=\left(x^{9}\right)^{\frac{1}{3}}=x^{9\times\frac13}=x^{3}$Root notation meets the power law from the Indices lesson. Rewrite $\sqrt[3]{\;}$ as $()^{1/3}$ to unlock it.สัญลักษณ์รากมาเจอกฎกำลังจากบทเลขยกกำลัง · เขียน $\sqrt[3]{\;}$ ใหม่เป็น $()^{1/3}$ เพื่อปลดล็อก
5. A car loses $10\%$ of its value each year. After $2$ years it is worth $180\,000$ baht. What did it cost when new?
   Answer:เฉลย: $\dfrac{180000}{0.9^{2}}=\dfrac{180000}{0.81}=222\,222.22$ bahtEnd value given, start missing: divide, do not multiply. Adding $10\%$ twice goes the wrong way.ปลายทางรู้ จุดเริ่มหาย: ต้องหาร ไม่ใช่คูณ · บวก $10\%$ สองครั้งคือผิดทาง
6. There are $12\,000$ fish in a lake. The number of fish decreases by $8\%$ each year.
    (4 marks) (a)(ก) Work out the number of fish after $3$ years, to the nearest whole fish.
   (b)(ข) Show that after $9$ years fewer than half the original fish remain.
   Answer:เฉลย: (a) $12000\times0.92^{3}=9344.25\ldots=9344$ fish
   (b) $0.92^{9}=0.4722\ldots<0.5$, so fewer than half remainPart (b), 'show that': the mark is for the comparison, not the number. Write $0.92^{9}=0.472$, then $0.472\lt0.5$.ข้อ (b) 'จงแสดงว่า': คะแนนอยู่ที่การเปรียบเทียบ ไม่ใช่ตัวเลข · เขียน $0.92^{9}=0.472$ แล้ว $0.472\lt0.5$
7. A student writes $\sqrt{50}=25$. Explain what they have done wrong, and state the two consecutive integers $\sqrt{50}$ lies between.
   Answer:เฉลย: They halved instead of rooting ($25^{2}=625$, not $50$). Since $49<50<64$,  $7<\sqrt{50}<8$.Halving is the common substitute for a root. They agree only at $\sqrt{4}=2$. Squaring back catches it.หารครึ่งคือสิ่งที่คนเอามาแทนรากที่สองบ่อยที่สุด · ตรงกันแค่ที่ $\sqrt{4}=2$ · ยกกำลังสองย้อนกลับ ตรวจได้ทันที

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี