Powers, Roots & Exponential Growthกำลัง ราก และการเติบโตแบบเลขชี้กำลัง

IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upวอร์มอัพ

A square number is literally a squareเลขยกกำลังสอง คือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจริงๆ

Squaring builds a square. A square root asks for the side back.การยกกำลังสองคือสร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัส · ส่วนรากที่สองคือถามหาความยาวด้านกลับคืนมา

1. $6^{2}$ means $6\times6$. What is it?$6^{2}$ แปลว่า $6\times6$ · เท่ากับเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $6^{2}=36$The little number counts copies: $6^{2}=6\times 6=36$   $6\times 2=12\ \ \times$ Almost every mistake in this topic starts by reading $6^{2}$ as $6\times2$.เลขตัวเล็ก นับจำนวนสำเนา: $6^{2}=6\times 6=36$   $6\times 2=12\ \ \times$ ความพลาดเกือบทุกอย่างในบทนี้ เริ่มจากอ่าน $6^{2}$ เป็น $6\times2$
2. Which one equals $2\times2\times2$?อันไหนเท่ากับ $2\times2\times2$?
   Answer:เฉลย: $2\times2\times2=8$A base, and how many copies: $2\times2\times2=8$   $=2^{3}\qquad\text{“two cubed”}$ฐาน กับ จำนวนสำเนา: $2\times2\times2=8$   $=2^{3}\qquad\text{“two cubed”}$

2. A square and its rootกำลังสองกับราก

Squaring goes forward. $\sqrt{\;}$ walks back to the side.ยกกำลังสองคือเดินไป · $\sqrt{\;}$ คือเดินกลับมาหาความยาวด้าน

Fifteen squares, and you are set for the paperจำกำลังสอง 15 ตัว ก็พอสำหรับข้อสอบ

Not memorising for fun. Every estimating question later is solved by spotting the two squares a number sits between.ไม่ได้ให้ท่องเล่นๆ · โจทย์ประมาณค่ารากทุกข้อ แก้ได้ด้วยการมองออกว่าเลขนั้นอยู่ระหว่างกำลังสองสองตัวไหน

1. $\sqrt{81}=\;?$$\sqrt{81}=\;?$
   Answer:เฉลย: $\sqrt{81}=9$Square it back to check: $\sqrt{81}=9$   $9\times 9=81\ \ \checkmark$   $81\div 2=40.5\ \ \times$ยกกำลังสองกลับ เพื่อเช็ค: $\sqrt{81}=9$   $9\times 9=81\ \ \checkmark$   $81\div 2=40.5\ \ \times$
2. Without working out $17^{2}$: what is $\sqrt{17^{2}}$?ไม่ต้องคิด $17^{2}$ · แล้ว $\sqrt{17^{2}}$ เท่ากับเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $\sqrt{17^{2}}=17$Root undoes square: $\sqrt{17^{2}}=17$   $\sqrt{47^{2}}=47\qquad\text{(no calculator)}$ You never compute the middle number. That is what an inverse is for.รากล้างกำลังสอง: $\sqrt{17^{2}}=17$   $\sqrt{47^{2}}=47\qquad\text{(no calculator)}$ ไม่ต้องคิดเลขตัวกลางเลย · นั่นแหละหน้าที่ของตัวผกผัน
3. Solve $x^{2}=36$.แก้สมการ $x^{2}=36$
   Answer:เฉลย: $x=\pm6$An equation wants both roots: $6\times 6=36$   $(-6)\times(-6)=36$   $x=\pm 6$ Losing the negative root is the most common lost mark in quadratic work.สมการ ต้องการรากทั้งสองตัว: $6\times 6=36$   $(-6)\times(-6)=36$   $x=\pm 6$ ลืมรากติดลบ คือคะแนนที่เสียบ่อยที่สุดในเรื่องสมการกำลังสอง

3. Cubes and cube rootsกำลังสามกับรากที่สาม

Three copies instead of two — and the minus sign survives.สามตัวแทนที่จะเป็นสองตัว · และเครื่องหมายลบรอดมาได้

A cube number is literally a cubeเลขยกกำลังสาม คือลูกบาศก์จริงๆ

Cubes grow fast. Seven of them ($1$ to $6$, and $1000$) cover almost every exam question.เลขกำลังสามโตเร็วมาก · จำแค่เจ็ดตัว ($1$ ถึง $6$ กับ $1000$) ก็ครอบคลุมข้อสอบเกือบทุกข้อ

1. $5^{3}=\;?$$5^{3}=\;?$
   Answer:เฉลย: $5^{3}=125$Cube it in two steps: $5^{2}=25$   $25\times 5=125$ยกกำลังสาม ทำสองสเต็ป: $5^{2}=25$   $25\times 5=125$
2. $\sqrt[3]{27}=\;?$$\sqrt[3]{27}=\;?$
   Answer:เฉลย: $\sqrt[3]{27}=3$Multiply your answer back out: $3\times3\times3=27\ \ \checkmark$   $27\div 3=9\ \ \times$เอาคำตอบคูณกลับออกมา: $3\times3\times3=27\ \ \checkmark$   $27\div 3=9\ \ \times$
3. $(-3)^{3}=\;?$$(-3)^{3}=\;?$
   Answer:เฉลย: $(-3)^{3}=-27$Count the minus signs: $(-3)(-3)=+9$   $(+9)(-3)=-27$   $\text{odd number of minuses}\ \Rightarrow\ \text{negative}$นับเครื่องหมายลบ: $(-3)(-3)=+9$   $(+9)(-3)=-27$   $\text{odd number of minuses}\ \Rightarrow\ \text{negative}$
4. $\sqrt[3]{-8}=\;?$$\sqrt[3]{-8}=\;?$
   Answer:เฉลย: $\sqrt[3]{-8}=-2$Cube roots accept negatives: $(-2)^{3}=-8\ \Rightarrow\ \sqrt[3]{-8}=-2$   $\sqrt{-8}\ \ \text{does not exist}$ Three negatives build a negative; two never can. Examiners like this difference.รากที่สาม รับค่าติดลบได้: $(-2)^{3}=-8\ \Rightarrow\ \sqrt[3]{-8}=-2$   $\sqrt{-8}\ \ \text{does not exist}$ ลบสามตัวสร้างค่าลบได้ · ลบสองตัวไม่ได้ · ข้อสอบชอบออกจุดต่างนี้

4. Any root at allรากอะไรก็ได้

The little number in the notch says how many copies.เลขเล็กในซอกรากบอกว่าใช้กี่ตัว

$\sqrt[n]{\;}$ undoes "to the power $n$"$\sqrt[n]{\;}$ คือการย้อนกลับของ "ยกกำลัง $n$"

Every row is the same sentence read backwards. There is nothing new to learn after $n=3$.ทุกแถวคือประโยคเดียวกันอ่านย้อนกลับ · หลังจาก $n=3$ ไปแล้วไม่มีอะไรใหม่ให้เรียนอีก

1. $\sqrt[4]{81}=\;?$$\sqrt[4]{81}=\;?$
   Answer:เฉลย: $\sqrt[4]{81}=3$Two square roots in a row: $\sqrt{81}=9$   $\sqrt{9}=3$   $\Rightarrow\ \sqrt[4]{81}=3$รากที่สอง สองรอบติดกัน: $\sqrt{81}=9$   $\sqrt{9}=3$   $\Rightarrow\ \sqrt[4]{81}=3$
2. $\sqrt[3]{a}$ can also be written as:$\sqrt[3]{a}$ เขียนอีกแบบได้เป็น:
   Answer:เฉลย: $\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}$Two notations, one idea: $a^{1/3}\times a^{1/3}\times a^{1/3}=a$   $\Rightarrow\ a^{1/3}=\sqrt[3]{a}$ The exam swaps between the two forms without warning.สองสัญลักษณ์ ไอเดียเดียว: $a^{1/3}\times a^{1/3}\times a^{1/3}=a$   $\Rightarrow\ a^{1/3}=\sqrt[3]{a}$ ข้อสอบสลับสองรูปนี้ไปมา โดยไม่บอกล่วงหน้า
3. $\sqrt[5]{32}=\;?$$\sqrt[5]{32}=\;?$
   Answer:เฉลย: $\sqrt[5]{32}=2$Walk up the small powers: $2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64$   $3,\ 9,\ 27,\ 81$   $32=2^{5}\ \Rightarrow\ \sqrt[5]{32}=2$ไล่กำลังของเลขน้อยๆ ขึ้นไป: $2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64$   $3,\ 9,\ 27,\ 81$   $32=2^{5}\ \Rightarrow\ \sqrt[5]{32}=2$

5. Trapping a root between two whole numbersขังรากไว้ระหว่างจำนวนเต็มสองตัว

No calculator? Sandwich the number between the two you know.ไม่มีเครื่องคิดเลข? ก็ขังเลขนั้นไว้ระหว่างสองตัวที่รู้อยู่แล้ว

$\sqrt{60}$ is not whole — but you can still pin it down$\sqrt{60}$ ไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่ก็ยังบอกได้ว่าอยู่ตรงไหน

Find the two squares either side. Their roots are your two integers.หากำลังสองสองตัวที่ขนาบอยู่ · รากของสองตัวนั้นคือจำนวนเต็มที่ต้องการ

1. $\sqrt{50}$ lies between two consecutive whole numbers. Which two?$\sqrt{50}$ อยู่ระหว่างจำนวนเต็มที่ติดกันสองตัว · สองตัวไหน?
   Answer:เฉลย: $7<\sqrt{50}<8$Give the roots, not the squares: $49<50<64$   $7<\sqrt{50}<8$ตอบเป็นราก ไม่ใช่กำลังสอง: $49<50<64$   $7<\sqrt{50}<8$
2. Is $\sqrt{50}$ closer to $7$ or to $8$?$\sqrt{50}$ ใกล้ $7$ หรือใกล้ $8$ มากกว่า?
   Answer:เฉลย: closer to $7$  ($\sqrt{50}\approx7.07$)ใกล้ $7$ มากกว่า  ($\sqrt{50}\approx7.07$)Compare the two gaps: $50-49=1$   $64-50=14$   $1<14\ \Rightarrow\ \text{closer to }7$เทียบระยะห่างสองฝั่ง: $50-49=1$   $64-50=14$   $1<14\ \Rightarrow\ \text{closer to }7$
3. $\sqrt[3]{100}$ lies between two consecutive whole numbers. Which two?$\sqrt[3]{100}$ อยู่ระหว่างจำนวนเต็มที่ติดกันสองตัว · สองตัวไหน?
   Answer:เฉลย: $4<\sqrt[3]{100}<5$Same method, cubes instead: $4^{3}=64<100<125=5^{3}$   $4<\sqrt[3]{100}<5$ Cube roots creep up slowly: $\sqrt[3]{100}<5$, while $\sqrt{100}=10$.วิธีเดิม เปลี่ยนเป็นกำลังสาม: $4^{3}=64<100<125=5^{3}$   $4<\sqrt[3]{100}<5$ รากที่สามโตช้ากว่ามาก · $\sqrt[3]{100}<5$ ขณะที่ $\sqrt{100}=10$
4. $n$ is a whole number and $n\lt \sqrt{200}\lt n+1$. Find $n$.$n$ เป็นจำนวนเต็ม และ $n\lt \sqrt{200}\lt n+1$ · หา $n$
   Answer:เฉลย: $n=14$  since $14^{2}=196$ and $15^{2}=225$เพราะ $14^{2}=196$ และ $15^{2}=225$$n$ is the lower one: $14^{2}=196<200$   $15^{2}=225>200$   $n=14$ One number was asked for. Writing $14$ and $15$ loses the mark.$n$ คือตัวล่าง: $14^{2}=196<200$   $15^{2}=225>200$   $n=14$ โจทย์ขอเลขตัวเดียว · เขียน $14$ กับ $15$ คือเสียคะแนน

6. Growth is repeated multiplicationการเติบโตคือการคูณซ้ำ

One multiplier per step, so $r^{n}$ after $n$ steps.หนึ่งก้าวคูณหนึ่งครั้ง · $n$ ก้าวก็เป็น $r^{n}$

The same multiplier, over and overตัวคูณเดิม ซ้ำไปเรื่อยๆ

Growth adds a fixed percentage of what is there now, so it multiplies rather than adding a fixed amount.การเติบโตแบบนี้เพิ่มเป็นเปอร์เซ็นต์คงที่ของจำนวนที่มีอยู่ตอนนั้น · มันจึงคูณ ไม่ใช่บวกจำนวนคงที่

$500$ bacteria, up $20\%$ each hour, after $6$ hoursแบคทีเรีย $500$ ตัว โตชั่วโมงละ $20\%$ · ผ่านไป $6$ ชั่วโมง

1. $A_0=500$Write the picture down first. The starting amount is $500$ — that is $A_0$, the value before any hour has passed.จดสิ่งที่โจทย์ให้ก่อน · จำนวนตั้งต้นคือ $500$ ก็คือ $A_0$ ค่าก่อนที่ชั่วโมงแรกจะผ่านไป
2. $r=100\%+20\%$One hour later you still have all of what you had, plus another $20\%$ of it. That is $120\%$ of the colony.ผ่านไปหนึ่งชั่วโมง ของเดิมยังอยู่ครบ บวกอีก $20\%$ ของมัน · รวมเป็น $120\%$ ของอาณานิคมเดิม
3. $r=1.2$$120\%$ as a decimal: divide by $100$. This is the number you multiply by, once per hour.เปลี่ยน $120\%$ เป็นทศนิยม คือหารด้วย $100$ · นี่คือตัวที่เอาไปคูณ ชั่วโมงละหนึ่งครั้ง
4. $n=6$Six hours means six multiplications. Count the steps, and be careful — "after 6 hours" is $6$, but "in the 6th hour" would be $5$.หกชั่วโมง คือคูณหกครั้ง · นับจำนวนก้าว และระวัง "ผ่านไป 6 ชั่วโมง" คือ $6$ แต่ "ในชั่วโมงที่ 6" จะเป็น $5$
5. $A=A_0r^{n}$Quote the formula before you put numbers in. On a $3$-mark question this line alone often earns the method mark.เขียนสูตรก่อนแทนตัวเลข · ข้อ $3$ คะแนน บรรทัดนี้บรรทัดเดียวมักได้คะแนนวิธีทำแล้ว
6. $A=500\times1.2^{6}$Substitute. Note the power sits on the $1.2$ only — the $500$ is not raised to anything.แทนค่า · สังเกตว่าเลขชี้กำลังอยู่บน $1.2$ ตัวเดียว · $500$ ไม่ได้ถูกยกกำลัง
7. $A=500\times2.985984$Do the power first. If your calculator gives $1.2^{6}$ as something near $3$, that is the right size — six $20\%$ rises roughly triples a quantity.คิดเลขยกกำลังก่อน · ถ้าเครื่องคิดเลขให้ $1.2^{6}$ ได้ประมาณ $3$ แสดงว่าขนาดถูก · ขึ้น $20\%$ หกครั้ง ทำให้เพิ่มราวสามเท่า
8. $A=1492.992$Now the multiplication. Never round in the middle — rounding $2.985984$ to $3$ here would cost you $7$ bacteria and the accuracy mark.ทีนี้คูณ · ห้ามปัดเศษกลางทาง · ถ้าปัด $2.985984$ เป็น $3$ ตรงนี้ จะพลาดไป $7$ ตัว และเสียคะแนนความแม่นยำ
9. $A=1493$Bacteria come whole, so round at the very end. Always finish by asking what the number is of — that is what tells you how to round.แบคทีเรียนับเป็นตัวเต็ม จึงปัดเศษตอนท้ายสุด · จบด้วยการถามเสมอว่าเลขนี้เป็นจำนวนของอะไร · คำตอบนั้นบอกว่าต้องปัดยังไง

Four things to find — $A_0$, $r$, $n$ — then one substitution.หาสามอย่างให้ครบ $A_0$, $r$, $n$ แล้วแทนค่าครั้งเดียว

1. A colony of $200$ bacteria doubles every hour. How many after $3$ hours?แบคทีเรีย $200$ ตัว เพิ่มเป็นสองเท่าทุกชั่วโมง · ผ่านไป $3$ ชั่วโมงมีกี่ตัว?
   Answer:เฉลย: $200\times2\times2\times2=1600$Three doublings is $\times 2^{3}$: $200\times2\times2\times2=1600$   $=200\times 2^{3}=200\times 8$   $200\times 6=1200\ \ \times$สองเท่าสามครั้ง คือ $\times 2^{3}$: $200\times2\times2\times2=1600$   $=200\times 2^{3}=200\times 8$   $200\times 6=1200\ \ \times$
2. A town grows by $4\%$ a year. What is $r$?เมืองหนึ่งมีประชากรเพิ่มปีละ $4\%$ · $r$ เท่ากับเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $r=1.04$$100\%+4\%=104\%$: $4\%=\tfrac{4}{100}=0.04$   $r=1+0.04=1.04$   $1.4\ \text{would be }40\%\ \ \times$ Single-digit percentages are where the zero gets dropped.$100\%+4\%=104\%$: $4\%=\tfrac{4}{100}=0.04$   $r=1+0.04=1.04$   $1.4\ \text{would be }40\%\ \ \times$ เปอร์เซ็นต์หลักเดียว คือจุดที่เลขศูนย์หายบ่อย
3. A colony of $500$ bacteria grows by $20\%$ per hour. How many after $4$ hours? Give your answer to the nearest whole number.แบคทีเรีย $500$ ตัว โตชั่วโมงละ $20\%$ · ผ่านไป $4$ ชั่วโมงมีกี่ตัว? ตอบเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด
   Answer:เฉลย: $500\times1.2^{4}=1036.8\approx1037$Check it against doubling: $500\times 1.2^{4}=1036.8\approx 1037$   $1.2^{4}\approx 2.07\ \Rightarrow\ \text{roughly double}$เช็คโดยเทียบกับสองเท่า: $500\times 1.2^{4}=1036.8\approx 1037$   $1.2^{4}\approx 2.07\ \Rightarrow\ \text{roughly double}$

7. Decay: the multiplier drops below 1การลดลง: ตัวคูณต่ำกว่า 1

Losing $15\%$ a year means $\times0.85$ a year. Same formula, smaller $r$.เสีย $15\%$ ต่อปี ก็คือ $\times0.85$ ต่อปี · สูตรเดิม แค่ $r$ เล็กลง

What is left, not what is lostคิดจากส่วนที่เหลือ ไม่ใช่ส่วนที่หายไป

$r=1-\dfrac{p}{100}$ for a fall. Anything under $1$ shrinks; anything over $1$ grows.ถ้าลดลงใช้ $r=1-\dfrac{p}{100}$ · ต่ำกว่า $1$ คือหด · สูงกว่า $1$ คือโต

1. A phone loses $12\%$ of its value each year. What is $r$?โทรศัพท์เสียมูลค่าปีละ $12\%$ · $r$ เท่ากับเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $r=1-0.12=0.88$Ask what is left: $100\%-12\%=88\%$   $r=0.88$ถามว่าเหลือเท่าไร: $100\%-12\%=88\%$   $r=0.88$
2. A car costs $400\,000$ baht new and loses $15\%$ of its value each year. What is it worth after $3$ years? Give your answer to the nearest baht.รถใหม่ราคา $400\,000$ บาท เสียมูลค่าปีละ $15\%$ · ผ่านไป $3$ ปีมีมูลค่าเท่าไร? ตอบเป็นบาทเต็ม
   Answer:เฉลย: $400000\times0.85^{3}=245650$Subtracting is the trap: $\text{repeated subtraction}:\ 220\,000\ \ \times$   $400\,000\times 0.85^{3}=245\,650\ \ \checkmark$ A gap of over $25\,000$ baht, from one wrong instinct.กับดักคือการเอาไปลบ: $\text{repeated subtraction}:\ 220\,000\ \ \times$   $400\,000\times 0.85^{3}=245\,650\ \ \checkmark$ ต่างกันกว่า $25\,000$ บาท จากสัญชาตญาณผิดอย่างเดียว
3. A radioactive sample has mass $80$ g and halves every day. What is its mass after $4$ days?สารกัมมันตรังสีมวล $80$ กรัม ลดลงครึ่งหนึ่งทุกวัน · ผ่านไป $4$ วันเหลือมวลเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $80\times0.5^{4}=5$ gDay zero is not a step: $r=0.5\qquad(\text{halving})$   $80\times 0.5^{4}=5\ \text{g}$วันที่ศูนย์ ไม่นับเป็นก้าว: $r=0.5\qquad(\text{halving})$   $80\times 0.5^{4}=5\ \text{g}$
4. A quantity is multiplied by $0.92$ each year. What is happening to it?ปริมาณหนึ่งถูกคูณด้วย $0.92$ ทุกปี · เกิดอะไรขึ้นกับมัน?
   Answer:เฉลย: a $8\%$ decrease each yearลดลงปีละ $8\%$Distance from $1$ is the percentage: $0.92=1-0.08\ \Rightarrow\ 8\%\ \text{down}$   $1.06=1+0.06\ \Rightarrow\ 6\%\ \text{up}$ระยะห่างจาก $1$ คือเปอร์เซ็นต์: $0.92=1-0.08\ \Rightarrow\ 8\%\ \text{down}$   $1.06=1+0.06\ \Rightarrow\ 6\%\ \text{up}$

8. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Same three quantities, exam wording, marks attached.ปริมาณสามตัวเดิม เปลี่ยนเป็นภาษาข้อสอบ และมีคะแนนกำกับ

Three lines, three marksสามบรรทัด สามคะแนน

An unrounded answer usually still scores. A wrong $r$ scores nothing after line 1, so spend your care there.คำตอบที่ยังไม่ปัดเศษส่วนใหญ่ยังได้คะแนน · แต่ $r$ ผิดแล้วคะแนนหลังบรรทัดแรกหายหมด · ให้ทุ่มความระวังไว้ตรงนั้น

1. Exam: The population of a town is $24\,000$. The population increases by $4\%$ each year. Work out the population after $5$ years. Give your answer to the nearest hundred.  (3 marks)ข้อสอบ: เมืองหนึ่งมีประชากร $24\,000$ คน เพิ่มขึ้นปีละ $4\%$ · หาประชากรเมื่อผ่านไป $5$ ปี ตอบโดยปัดเป็นหลักร้อย  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $24000\times1.04^{5}=29199.67\ldots=29200$3 marks: $\text{M1}\ \ 1.04^{5}\ \text{seen}$   $\text{M1}\ \ \times\,24\,000$   $\text{A1}\ \ 29\,200$ The A1 is on the rounded figure. Stopping at $29\,199.67$ throws it away.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ 1.04^{5}\ \text{seen}$   $\text{M1}\ \ \times\,24\,000$   $\text{A1}\ \ 29\,200$ คะแนน A1 อยู่ที่เลขที่ปัดแล้ว · หยุดที่ $29\,199.67$ คือทิ้งคะแนนนั้น
2. Exam: $n$ is an integer such that $n\lt \sqrt[3]{500}\lt n+1$. Find the value of $n$.  (2 marks)ข้อสอบ: $n$ เป็นจำนวนเต็มที่ $n\lt \sqrt[3]{500}\lt n+1$ · หาค่า $n$  (2 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $n=7$  since $7^{3}=343$ and $8^{3}=512$เพราะ $7^{3}=343$ และ $8^{3}=512$2 marks: $\text{M1}\ \ 7^{3}=343\ \text{or}\ 8^{3}=512\ \text{seen}$   $\text{A1}\ \ n=7$ The two cubes are worth a mark on their own, so write them down.2 คะแนน: $\text{M1}\ \ 7^{3}=343\ \text{or}\ 8^{3}=512\ \text{seen}$   $\text{A1}\ \ n=7$ แค่เขียนกำลังสามสองตัว ก็ได้คะแนนแล้ว · เขียนออกมาด้วย
3. Exam: A machine is bought for $60\,000$ baht. Its value falls by $20\%$ each year. After how many whole years is the machine first worth less than $25\,000$ baht?  (3 marks)ข้อสอบ: ซื้อเครื่องจักรมา $60\,000$ บาท มูลค่าลดลงปีละ $20\%$ · ผ่านไปกี่ปีเต็ม มูลค่าจึงต่ำกว่า $25\,000$ บาทเป็นครั้งแรก?  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $4$ years  ($0.8^{3}$: $30\,720$  ·  $0.8^{4}$: $24\,576$)$4$ ปี  ($0.8^{3}$: $30\,720$  ·  $0.8^{4}$: $24\,576$)3 marks: $\text{M1}\ \ 60\,000\times 0.8^{3}=30\,720$   $\text{M1}\ \ 60\,000\times 0.8^{4}=24\,576$   $\text{A1}\ \ 4\ \text{years}$ Show both years. Writing only $4$ leaves the examiner unable to see that $3$ failed.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ 60\,000\times 0.8^{3}=30\,720$   $\text{M1}\ \ 60\,000\times 0.8^{4}=24\,576$   $\text{A1}\ \ 4\ \text{years}$ ต้องโชว์สองปี · เขียนแค่ $4$ กรรมการไม่เห็นว่า $3$ ไม่ผ่าน
4. Exam: Work out the value of $\sqrt{169}-\sqrt[3]{125}$.  (2 marks)ข้อสอบ: หาค่าของ $\sqrt{169}-\sqrt[3]{125}$  (2 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $13-5=8$2 marks: $\text{M1}\ \ \sqrt{169}=13\ \text{and}\ \sqrt[3]{125}=5$   $\text{A1}\ \ 13-5=8$   $\sqrt{169-125}\ne\sqrt{169}-\sqrt{125}$ A root sign is a bracket over the number underneath. Finish it before the minus.2 คะแนน: $\text{M1}\ \ \sqrt{169}=13\ \text{and}\ \sqrt[3]{125}=5$   $\text{A1}\ \ 13-5=8$   $\sqrt{169-125}\ne\sqrt{169}-\sqrt{125}$ เครื่องหมายรากทำหน้าที่เหมือนวงเล็บคลุมเลขข้างใน · ทำให้เสร็จก่อนถึงเครื่องหมายลบ

9. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. A colony of $300$ bacteria grows by $10\%$ each hour. How many bacteria after $5$ hours? Give your answer to the nearest whole number.The walk with three numbers changed. If finding $r=1.1$ took any thought, that step is not automatic yet — and every later question begins with it.ตัวอย่างในบทเรียน เปลี่ยนตัวเลขสามตัว · ถ้าต้องคิดนานกว่าจะได้ $r=1.1$ แปลว่าขั้นนั้นยังไม่อัตโนมัติ · และทุกข้อถัดไปเริ่มจากขั้นนั้น
2. A town has $46\,500$ people and grows by $2.4\%$ each year. Work out the population after $7$ years, to the nearest hundred.A decimal percentage, so $r=1.024$ — three decimal places, and the $0$ after the point is the one that gets dropped. Nothing about the method changed.เปอร์เซ็นต์เป็นทศนิยม $r$ จึงเป็น $1.024$ · ทศนิยมสามตำแหน่ง และเลข $0$ หลังจุดคือตัวที่คนลืม · วิธีทำไม่เปลี่ยนเลย
3. $n$ is a whole number and $n\lt \sqrt[3]{700}\lt n+1$. Write down the value of $n$.No growth, no percentages — but the same reading of a power table, one row at a time. Tests whether you can still trap a root when it appears without a picture.ไม่มีการเติบโต ไม่มีเปอร์เซ็นต์ · แต่ยังคืออ่านตารางกำลังทีละแถวเหมือนเดิม · ข้อนี้วัดว่าน้องยังขังรากได้ไหมตอนที่ไม่มีรูปช่วย
4. Write $\sqrt[3]{x^{9}}$ as a single power of $x$.The root notation from this lesson meets the power-of-a-power law from the Indices lesson. Rewriting $\sqrt[3]{\;}$ as $(\;)^{1/3}$ is the move that unlocks it — recognising when to swap notation is the real skill being tested.สัญลักษณ์รากจากบทนี้ มาเจอกฎกำลังซ้อนกำลังจากบทเลขยกกำลัง · ท่าที่ปลดล็อกคือเขียน $\sqrt[3]{\;}$ ใหม่เป็น $(\;)^{1/3}$ · สิ่งที่ข้อนี้วัดจริงๆ คือรู้ว่าเมื่อไรควรสลับสัญลักษณ์
5. A car loses $10\%$ of its value each year. After $2$ years it is worth $180\,000$ baht. What did it cost when new?The finish is given and the start is missing, so the multiplier is divided out instead of applied. A student who only ever multiplies will add $10\%$ twice and get $217\,800$, which is close enough to look right and is wrong.โจทย์ให้ปลายทางมา แต่จุดเริ่มหายไป · ตัวคูณจึงต้องหารออก ไม่ใช่คูณเข้า · คนที่คูณอย่างเดียวจะบวก $10\%$ กลับสองครั้งได้ $217\,800$ ซึ่งใกล้พอที่จะดูเหมือนถูก แต่ผิด
6. There are $12\,000$ fish in a lake. The number of fish decreases by $8\%$ each year.
   (a) Work out the number of fish after $3$ years, to the nearest whole fish.
   (b) Show that after $9$ years fewer than half the original fish remain.  (4 marks)Part (b) is a "show that" — the mark is for the comparison, not the number. Working out $0.92^{9}=0.472$ and writing "$<0.5$" earns it; writing $5666$ fish with no comparison does not.ข้อ (b) เป็นแบบ "จงแสดงว่า" · คะแนนอยู่ที่การเปรียบเทียบ ไม่ใช่ตัวเลข · คิด $0.92^{9}=0.472$ แล้วเขียน "$<0.5$" ได้คะแนน · แต่เขียนว่าเหลือปลา $5666$ ตัวเฉยๆ โดยไม่เทียบ ไม่ได้
7. A student writes $\sqrt{50}=25$. Explain what they have done wrong, and state the two consecutive integers $\sqrt{50}$ lies between.Halving is the single most common substitute for a square root, and it survives all the way to the exam because $\sqrt{\;}$ and $\div2$ agree at exactly one place: $\sqrt{4}=2$. Squaring your answer back catches it every time.การหารครึ่งคือสิ่งที่คนเอามาแทนการถอดรากบ่อยที่สุด และมันติดตัวไปจนถึงห้องสอบ เพราะ $\sqrt{\;}$ กับ $\div2$ ตรงกันที่เดียวคือ $\sqrt{4}=2$ · เอาคำตอบยกกำลังสองกลับ จับได้ทุกครั้ง

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี