Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Recurring Decimalsทศนิยมซ้ำ

IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upวอร์มอัพ

A fraction is a divisionเศษส่วนก็คือการหาร

When a remainder comes back, the digits come back with it.เศษจากการหารวนกลับมา ตัวเลขก็วนตามมาด้วย

  1. Write $\dfrac{3}{5}$ as a decimal.เขียน $\dfrac{3}{5}$ เป็นทศนิยม
    Answer:เฉลย: $\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{10}=0.6$Make the bottom 10: $\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{10}$   $=0.6$ทำตัวส่วนให้เป็น 10: $\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{10}$   $=0.6$
  2. Work out $2\div3$. What does the decimal do?หา $2\div3$ · ทศนิยมที่ได้เป็นแบบไหน?
    Answer:เฉลย: $2\div3=0.666\ldots$Same remainder, same digit: $2\div3=0\ \text{r}\ 2$   $20\div3=6\ \text{r}\ 2$   $20\div3=6\ \text{r}\ 2$เศษเดิม ได้เลขเดิม: $2\div3=0\ \text{r}\ 2$   $20\div3=6\ \text{r}\ 2$   $20\div3=6\ \text{r}\ 2$

2. Stop or repeat?จบหรือซ้ำ?

Simplify, then look at the bottom: only $2$s and $5$s means it stops.ทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำก่อน แล้วดูตัวส่วน · มีแค่ $2$ กับ $5$ แปลว่าจบ

The bottom decidesตัวส่วนเป็นตัวตัดสิน

$10=2\times5$, so tenths, hundredths and thousandths are built from $2$s and $5$s only.$10=2\times5$ · ส่วนสิบ ส่วนร้อย ส่วนพัน จึงสร้างจาก $2$ กับ $5$ เท่านั้น

  1. Which fraction gives a terminating decimal?เศษส่วนใดเป็นทศนิยมรู้จบ?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{7}{20}=0.35$Only 2s and 5s below: $20=2\times2\times5$   $\dfrac{7}{20}=\dfrac{35}{100}$   $=0.35$ตัวส่วนมีแค่ 2 กับ 5: $20=2\times2\times5$   $\dfrac{7}{20}=\dfrac{35}{100}$   $=0.35$
  2. Write $\dfrac{7}{8}$ as a decimal.เขียน $\dfrac{7}{8}$ เป็นทศนิยม
    Answer:เฉลย: $\dfrac{7}{8}=\dfrac{875}{1000}=0.875$Scale the bottom to 1000: $8\times125=1000$   $\dfrac{7}{8}=\dfrac{875}{1000}$   $=0.875$ทำตัวส่วนเป็น 1000: $8\times125=1000$   $\dfrac{7}{8}=\dfrac{875}{1000}$   $=0.875$
  3. Does $\dfrac{21}{60}$ give a terminating decimal?$\dfrac{21}{60}$ เป็นทศนิยมรู้จบไหม?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{21}{60}=\dfrac{7}{20}=0.35$Simplify before you judge: $\dfrac{21}{60}=\dfrac{7}{20}$   $20=2^2\times5$   $\dfrac{7}{20}=0.35$ Judge the bottom only after cancelling.ทำอย่างต่ำก่อนตัดสิน: $\dfrac{21}{60}=\dfrac{7}{20}$   $20=2^2\times5$   $\dfrac{7}{20}=0.35$ ดูตัวส่วนหลังตัดทอนแล้วเท่านั้น

3. Dot notationสัญลักษณ์จุด

A dot over the first and the last digit of the block that repeats.ใส่จุดบนตัวแรกและตัวสุดท้ายของชุดที่ซ้ำ

Dots mark the block that repeatsจุดบอกว่าชุดไหนซ้ำ

A digit before the first dot happens once only.ตัวเลขที่อยู่ก่อนจุดแรก มีครั้งเดียว ไม่ซ้ำ

  1. Which is $0.\dot{4}\dot{5}$ written out?$0.\dot{4}\dot{5}$ เขียนเต็มได้แบบไหน?
    Answer:เฉลย: $0.\dot{4}\dot{5}=0.454545\ldots$The block 45 repeats: $0.\dot{4}\dot{5}=0.45\,45\,45\ldots$ชุด 45 ซ้ำ: $0.\dot{4}\dot{5}=0.45\,45\,45\ldots$
  2. Write $0.183183183\ldots$ in dot notation.เขียน $0.183183183\ldots$ ด้วยสัญลักษณ์จุด
    Answer:เฉลย: $0.183183\ldots=0.\dot{1}8\dot{3}$Block of three: 183: $0.183\,183\,183\ldots=0.\dot{1}8\dot{3}$ชุดสามตัว: 183: $0.183\,183\,183\ldots=0.\dot{1}8\dot{3}$
  3. Work out $\dfrac{4}{11}$ as a decimal. Which block of digits repeats?หา $\dfrac{4}{11}$ เป็นทศนิยม · ชุดตัวเลขใดที่ซ้ำ?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{4}{11}=0.3636\ldots=0.\dot{3}\dot{6}$Remainder 4 comes back: $40\div11=3\ \text{r}\ 7$   $70\div11=6\ \text{r}\ 4$   $40\div11=3\ \text{r}\ 7$เศษ 4 วนกลับมา: $40\div11=3\ \text{r}\ 7$   $70\div11=6\ \text{r}\ 4$   $40\div11=3\ \text{r}\ 7$
  4. What is the $10$th digit after the point in $0.\dot{2}\dot{7}$?เลขตำแหน่งที่ $10$ หลังจุดทศนิยมของ $0.\dot{2}\dot{7}$ คือเลขอะไร?
    Answer:เฉลย: $0.27\,27\,27\,27\,27\ldots$: the $10$th digit is $7$$0.27\,27\,27\,27\,27\ldots$ · ตัวที่ $10$ คือ $7$Ten digits = five blocks: $0.\dot{2}\dot{7}=0.27\,27\,27\,27\,27\ldots$   $10=2\times5$ The $10$th digit ends the $5$th block, so it is the block's last digit: $7$.สิบตัว = ห้าชุด: $0.\dot{2}\dot{7}=0.27\,27\,27\,27\,27\ldots$   $10=2\times5$ ตัวที่ $10$ ปิดชุดที่ $5$ พอดี · เลยเป็นตัวสุดท้ายของชุด: $7$

4. One digit repeatsซ้ำตัวเดียว

Multiply by $10$, subtract, and the tail disappears.คูณ $10$ แล้วลบ · หางหายไป

Shift one place and subtractเลื่อนหนึ่งตำแหน่ง แล้วลบ

$9x=3$, so $x=\frac39=\frac13$.$9x=3$ ดังนั้น $x=\frac39=\frac13$

  1. $x=0.\dot{5}$. Work out the value of $10x-x$.$x=0.\dot{5}$ · หาค่าของ $10x-x$
    Answer:เฉลย: $10x-x=5.555\ldots-0.555\ldots=5$The tails cancel: $x=0.555\ldots$   $10x=5.555\ldots$   $9x=5$หางหักล้างกัน: $x=0.555\ldots$   $10x=5.555\ldots$   $9x=5$
  2. Write $0.\dot{5}$ as a fraction.เขียน $0.\dot{5}$ เป็นเศษส่วน
    Answer:เฉลย: $9x=5$, so $0.\dot{5}=\dfrac{5}{9}$$9x=5$ ดังนั้น $0.\dot{5}=\dfrac{5}{9}$Divide by 9: $9x=5$   $x=\dfrac{5}{9}$หารด้วย 9: $9x=5$   $x=\dfrac{5}{9}$
  3. Use the same method on $0.\dot{9}$. Which number is it?ใช้วิธีเดิมกับ $0.\dot{9}$ · ได้จำนวนอะไร?
    Answer:เฉลย: $0.\dot{9}=1$Same routine, whole answer: $x=0.999\ldots$   $10x=9.999\ldots$   $9x=9$   $x=1$ Also: $\frac13=0.\dot3$, and three of them give $0.\dot9=1$.วิธีเดิม ได้จำนวนเต็ม: $x=0.999\ldots$   $10x=9.999\ldots$   $9x=9$   $x=1$ อีกทาง: $\frac13=0.\dot3$ · สามเท่าของมันได้ $0.\dot9=1$

5. A block of twoชุดซ้ำสองตัว

Two digits repeat, so multiply by $100$.ซ้ำสองตัว · คูณ $100$

Shift by the length of the blockเลื่อนเท่าความยาวของชุด

Block of $2$: use $100x-x=99x$. Block of $3$: use $1000x-x=999x$.ชุด $2$ ตัว ใช้ $100x-x=99x$ · ชุด $3$ ตัว ใช้ $1000x-x=999x$

  1. $x=0.\dot{3}\dot{6}$. Which subtraction removes the tail?$x=0.\dot{3}\dot{6}$ · ลบแบบไหนแล้วหางหาย?
    Answer:เฉลย: $100x-x=99x$Shift one whole block: $x=0.3636\ldots$   $100x=36.3636\ldots$   $99x=36$เลื่อนทั้งชุด: $x=0.3636\ldots$   $100x=36.3636\ldots$   $99x=36$
  2. $x=0.\dot{3}\dot{6}$. Work out the value of $99x$.$x=0.\dot{3}\dot{6}$ · หาค่าของ $99x$
    Answer:เฉลย: $99x=100x-x=36.3636\ldots-0.3636\ldots=36$$100x-x=99x$: $100x=36.3636\ldots$   $x=0.3636\ldots$   $99x=36$$100x-x=99x$: $100x=36.3636\ldots$   $x=0.3636\ldots$   $99x=36$
  3. Write $0.\dot{3}\dot{6}$ as a fraction in its simplest form.เขียน $0.\dot{3}\dot{6}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
    Answer:เฉลย: $\dfrac{36}{99}=\dfrac{4}{11}$Cancel by 9: $99x=36$   $x=\dfrac{36}{99}$   $=\dfrac{4}{11}$ตัดทอนด้วย 9: $99x=36$   $x=\dfrac{36}{99}$   $=\dfrac{4}{11}$
  4. A block of three: write $0.\dot{1}2\dot{3}$ as a fraction.ชุดสามตัว: เขียน $0.\dot{1}2\dot{3}$ เป็นเศษส่วน
    Answer:เฉลย: $999x=123$, so $x=\dfrac{123}{999}=\dfrac{41}{333}$$999x=123$ ดังนั้น $x=\dfrac{123}{999}=\dfrac{41}{333}$Block of 3: use 1000x: $x=0.123123\ldots$   $1000x=123.123123\ldots$   $999x=123$   $x=\dfrac{123}{999}$   $=\dfrac{41}{333}$ The bottom has as many $9$s as the block has digits.ชุด 3 ตัว ใช้ 1000x: $x=0.123123\ldots$   $1000x=123.123123\ldots$   $999x=123$   $x=\dfrac{123}{999}$   $=\dfrac{41}{333}$ ตัวส่วนมีเลข $9$ เท่ากับจำนวนตัวในชุด

6. A digit before the repeatมีเลขนำหน้าส่วนที่ซ้ำ

Shift twice: once past the lone digit, once more by a block.เลื่อนสองครั้ง · ครั้งแรกให้พ้นเลขที่ไม่ซ้ำ · อีกครั้งเท่าหนึ่งชุด

$0.1\dot{6}$: the $1$ gets in the way$0.1\dot{6}$: เลข $1$ ขวางอยู่

Shift both copies past the $1$ first: $100x-10x$. Both tails are then all $6$s.เลื่อนทั้งสองตัวให้พ้นเลข $1$ ก่อน: $100x-10x$ · หางทั้งคู่เป็น $6$ ล้วน

Write $0.2\dot{7}$ as a fractionเขียน $0.2\dot{7}$ เป็นเศษส่วน

  1. $x=0.2777\ldots$The $2$ happens once. Only the $7$ repeats.เลข $2$ มีครั้งเดียว · ซ้ำแค่ $7$
  2. $100x=27.777\ldots$Shift two places: the $2$ and one $7$ jump past the point.เลื่อนสองตำแหน่ง · $2$ กับ $7$ ตัวแรกข้ามจุดไป
  3. $10x=2.777\ldots$Shift one place: only the $2$ jumps. The tail is all $7$s, like ①.เลื่อนหนึ่งตำแหน่ง · ข้ามแค่ $2$ · หางเป็น $7$ ล้วน เหมือน ①
  4. $90x=25$$27.777\ldots-2.777\ldots=25$: the tails cancel. Divide both sides by $90$.$27.777\ldots-2.777\ldots=25$ · หางหักล้างกัน · หาร $90$ ทั้งสองข้าง
  5. $x=\dfrac{25}{90}$The value is right, but $25$ and $90$ still share a factor $5$.ค่าถูกแล้ว แต่ $25$ กับ $90$ ยังมีตัวประกอบ $5$ ร่วมกัน
  6. $=\dfrac{5}{18}$Divide top and bottom by $5$. Check: $5\div18=0.2777\ldots$ ✓หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย $5$ · เช็ก: $5\div18=0.2777\ldots$ ✓
  1. $x=0.1\dot{6}$. Work out the value of $100x-10x$.$x=0.1\dot{6}$ · หาค่าของ $100x-10x$
    Answer:เฉลย: $100x-10x=16.666\ldots-1.666\ldots=15$Both tails are all 6s: $100x=16.666\ldots$   $10x=1.666\ldots$   $90x=15$หางเป็น 6 ล้วนทั้งคู่: $100x=16.666\ldots$   $10x=1.666\ldots$   $90x=15$
  2. Write $0.1\dot{6}$ as a fraction.เขียน $0.1\dot{6}$ เป็นเศษส่วน
    Answer:เฉลย: $90x=15$, so $x=\dfrac{15}{90}=\dfrac16$$90x=15$ ดังนั้น $x=\dfrac{15}{90}=\dfrac16$Divide by 90, then simplify: $90x=15$   $x=\dfrac{15}{90}$   $=\dfrac{1}{6}$หาร 90 แล้วทำอย่างต่ำ: $90x=15$   $x=\dfrac{15}{90}$   $=\dfrac{1}{6}$
  3. $x=0.4\dot{3}\dot{6}$. Which subtraction removes the tail?$x=0.4\dot{3}\dot{6}$ · ลบแบบไหนแล้วหางหาย?
    Answer:เฉลย: $1000x-10x=990x$Past the 4, then one block: $1000x=436.3636\ldots$   $10x=4.3636\ldots$   $990x=432$ $1$ place past the $4$, then $2$ more for the block: $10x$ and $1000x$.พ้นเลข 4 แล้วอีกหนึ่งชุด: $1000x=436.3636\ldots$   $10x=4.3636\ldots$   $990x=432$ เลื่อน $1$ ตำแหน่งให้พ้น $4$ · อีก $2$ ตำแหน่งสำหรับชุด · ได้ $10x$ กับ $1000x$
  4. Write $0.3\dot{8}$ as a fraction.เขียน $0.3\dot{8}$ เป็นเศษส่วน
    Answer:เฉลย: $90x=35$, so $x=\dfrac{35}{90}=\dfrac{7}{18}$$90x=35$ ดังนั้น $x=\dfrac{35}{90}=\dfrac{7}{18}$100x − 10x, then divide: $100x=38.888\ldots$   $10x=3.888\ldots$   $90x=35$   $x=\dfrac{35}{90}$   $=\dfrac{7}{18}$100x − 10x แล้วหาร: $100x=38.888\ldots$   $10x=3.888\ldots$   $90x=35$   $x=\dfrac{35}{90}$   $=\dfrac{7}{18}$

7. Rational or irrationalตรรกยะหรืออตรรกยะ

Every recurring decimal is a fraction. $\sqrt2$ and $\pi$ are not.ทศนิยมซ้ำทุกตัวเขียนเป็นเศษส่วนได้ · $\sqrt2$ และ $\pi$ เขียนไม่ได้

Can it be written as a fraction?เขียนเป็นเศษส่วนได้ไหม?

For a whole number $n$, $\sqrt{n}$ is rational only when $n$ is square: $\sqrt{16}=4$.ถ้า $n$ เป็นจำนวนเต็ม · $\sqrt{n}$ เป็นตรรกยะเฉพาะตอน $n$ เป็นจำนวนกำลังสอง: $\sqrt{16}=4$

  1. Which number is irrational?จำนวนใดเป็นจำนวนอตรรกยะ?
    Answer:เฉลย: $\sqrt{7}=2.6457\ldots$7 is not a square number: $2^2=4$   $3^2=9$   $4\lt7\lt9$ $\sqrt7=2.6457\ldots$ never stops and never repeats.7 ไม่ใช่จำนวนกำลังสอง: $2^2=4$   $3^2=9$   $4\lt7\lt9$ $\sqrt7=2.6457\ldots$ ไม่จบและไม่ซ้ำ
  2. Which of these is rational?ข้อใดเป็นจำนวนตรรกยะ?
    Answer:เฉลย: $\sqrt2\times\sqrt8=\sqrt{16}=4$Multiply under one root: $\sqrt2\times\sqrt8=\sqrt{16}$   $=4$ Two irrational numbers can multiply to a rational one.คูณรวมใต้รากเดียว: $\sqrt2\times\sqrt8=\sqrt{16}$   $=4$ อตรรกยะสองตัวคูณกัน ได้ตรรกยะก็ได้
  3. Show that $\sqrt{0.\dot{4}}$ is rational: write it as a fraction.แสดงว่า $\sqrt{0.\dot{4}}$ เป็นจำนวนตรรกยะ: เขียนเป็นเศษส่วน
    Answer:เฉลย: $0.\dot4=\dfrac49$, so $\sqrt{0.\dot4}=\dfrac23$$0.\dot4=\dfrac49$ ดังนั้น $\sqrt{0.\dot4}=\dfrac23$Fraction first, then root: $0.\dot{4}=\dfrac{4}{9}$   $\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}$เป็นเศษส่วนก่อน แล้วถอดราก: $0.\dot{4}=\dfrac{4}{9}$   $\sqrt{\dfrac{4}{9}}=\dfrac{2}{3}$

8. Exam formฟอร์มข้อสอบ

Real wording, real marks — the lines are what score.ภาษาข้อสอบจริง คะแนนจริง · คะแนนอยู่ที่บรรทัดวิธีทำ

Write both lines, then subtractเขียนสองบรรทัด แล้วค่อยลบ

In a "show that", the answer is printed. The marks are for the lines.ข้อ "จงแสดงว่า" โจทย์ให้คำตอบมาแล้ว · คะแนนอยู่ที่บรรทัดวิธีทำ

  1. Exam: Show that $0.\dot{4}\dot{5}=\dfrac{5}{11}$. (2 marks)ข้อสอบ: จงแสดงว่า $0.\dot{4}\dot{5}=\dfrac{5}{11}$ (2 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $99x=45$, $x=\dfrac{45}{99}=\dfrac{5}{11}$2 marks: $\text{M1}\quad 100x=45.4545\ldots,\ x=0.4545\ldots$   $\text{A1}\quad 99x=45\ \Rightarrow\ x=\tfrac{45}{99}=\tfrac{5}{11}$ Writing $\frac{45}{99}$ with no lines scores nothing: the answer was given.2 คะแนน: $\text{M1}\quad 100x=45.4545\ldots,\ x=0.4545\ldots$   $\text{A1}\quad 99x=45\ \Rightarrow\ x=\tfrac{45}{99}=\tfrac{5}{11}$ เขียนแค่ $\frac{45}{99}$ ไม่มีบรรทัดวิธีทำ ไม่ได้คะแนน · เพราะโจทย์ให้คำตอบมาแล้ว
  2. Exam: Express the recurring decimal $0.3\dot{1}\dot{8}$ as a fraction in its simplest form. (3 marks)ข้อสอบ: เขียนทศนิยมซ้ำ $0.3\dot{1}\dot{8}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ (3 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $990x=315$, $x=\dfrac{315}{990}=\dfrac{7}{22}$3 marks: $\text{M1}\quad 1000x=318.1818\ldots,\ 10x=3.1818\ldots$   $\text{M1}\quad 990x=315$   $\text{A1}\quad x=\tfrac{315}{990}=\tfrac{7}{22}$ Stopping at $\frac{315}{990}$ loses the A1: simplest form was asked.3 คะแนน: $\text{M1}\quad 1000x=318.1818\ldots,\ 10x=3.1818\ldots$   $\text{M1}\quad 990x=315$   $\text{A1}\quad x=\tfrac{315}{990}=\tfrac{7}{22}$ ตอบค้างที่ $\frac{315}{990}$ เสีย A1 · เพราะโจทย์สั่งเศษส่วนอย่างต่ำ
  3. Exam: (a) Write $0.\dot{2}\dot{7}$ as a fraction in its simplest form. (b) Hence write $1.\dot{2}\dot{7}$ as an improper fraction. (3 marks)ข้อสอบ: (ก) เขียน $0.\dot{2}\dot{7}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ (ข) จากข้อ (ก) เขียน $1.\dot{2}\dot{7}$ เป็นเศษเกิน (3 คะแนน)
    Answer:เฉลย: (a) $\dfrac{3}{11}$   (b) $\dfrac{14}{11}$(ก) $\dfrac{3}{11}$   (ข) $\dfrac{14}{11}$3 marks: $\text{M1}\quad 100x-x=27$   $\text{A1}\quad x=\tfrac{27}{99}=\tfrac{3}{11}$   $\text{B1}\quad 1+\tfrac{3}{11}=\tfrac{14}{11}$ "Hence" means use part (a): add $1$, do not start again.3 คะแนน: $\text{M1}\quad 100x-x=27$   $\text{A1}\quad x=\tfrac{27}{99}=\tfrac{3}{11}$   $\text{B1}\quad 1+\tfrac{3}{11}=\tfrac{14}{11}$ คำว่า "Hence" ในข้อสอบ แปลว่าให้ใช้ผลข้อ (ก) · บวก $1$ ไม่ต้องเริ่มใหม่

9. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน · แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. Write $0.\dot{7}$ and $0.\dot{2}\dot{1}$ as fractions in their simplest form.One repeating digit: $9$ below. Two repeating digits: $99$ below.ซ้ำตัวเดียว ตัวส่วน $9$ · ซ้ำสองตัว ตัวส่วน $99$
  2. Write $0.5\dot{1}\dot{2}$ as a fraction in its simplest form.A lone digit and a two-digit block: $1000x-10x=990x$.เลขนำหนึ่งตัวกับชุดสองตัว: $1000x-10x=990x$
  3. A calculator shows $0.2727272727$. The digits $27$ repeat for ever. Write the number as a fraction in its simplest form.A calculator stops at $10$ digits. Spot the block, then convert.เครื่องคิดเลขแสดงได้แค่ $10$ หลัก · หาชุดที่ซ้ำ แล้วแปลง
  4. Work out $0.\dot{4}+0.1\dot{6}$. Give your answer as a fraction in its simplest form.Convert each decimal, then add with the common denominator $18$.แปลงทีละตัว แล้วบวกโดยใช้ตัวส่วนร่วม $18$
  5. Write $\dfrac{5}{12}$ as a recurring decimal in dot notation.Divide: the remainder $8$ keeps returning, so only the $6$ repeats.หารยาว: เศษ $8$ วนกลับมาเรื่อยๆ · ซ้ำแค่ $6$
  6. Prove algebraically that $0.4\dot{0}\dot{9}=\dfrac{9}{22}$.Name $x$, write two lines with matching tails, subtract, simplify.ตั้ง $x$ · เขียนสองบรรทัดที่หางตรงกัน · ลบ · ทำอย่างต่ำ

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี