Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Sequencesลำดับ
IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม
The times table, forwards and backwardsสูตรคูณ ทั้งไปหน้าและย้อนกลับ
Written as $T(n)=5n$. Every nth-term question is one of these two.เขียนเป็น $T(n)=5n$ · โจทย์พจน์ที่ $n$ ทุกข้อคือสองแบบนี้
$5,\;10,\;15,\;20,\;\dots$ What is the 7th number in the 5 times table?$5,\;10,\;15,\;20,\;\dots$ ตัวที่ 7 ของแม่ 5 คือเลขอะไร? Answer:เฉลย: $35$Jump there, never count: $5\times 7=35$ $\text{position }n\ \to\ 5n$กระโดดไปเลย ไม่ต้องนับ: $5\times 7=35$ $\text{position }n\ \to\ 5n$
Backwards now: $85$ is in the 5 times table. Which multiple is it: 1st, 2nd, 3rd, ...?ทีนี้ย้อนกลับ: $85$ อยู่ในแม่ 5 · มันคือตัวที่เท่าไรของแม่ 5? Answer:เฉลย: the $17$th ($5\times17=85$)You ran the times table backwards: from the value $85$ to the position $17$.เมื่อกี้เราเดินแม่สูตรคูณย้อนกลับ: จากค่า $85$ ไปหาตำแหน่งที่ $17$
2. Same list, new namesลิสต์เดิม ชื่อใหม่
A sequence is a times table with labels.ลำดับก็แค่แม่สูตรคูณที่ติดป้ายชื่อ
You have said this list a thousand timesลิสต์นี้ท่องมาเป็นพันรอบแล้ว
Each number is a term. Its place in the line is its position $n$.เลขแต่ละตัวคือพจน์ (term) · ที่ที่มันยืนคือตำแหน่ง $n$
$T(n)=5n$. Find $T(7)$.$T(n)=5n$ หา $T(7)$ Answer:เฉลย: $T(7)=35$This is the same question as the warm-up: 'the 7th multiple of 5'. Only the way it is written changed.คำถามเดียวกับตอนวอร์มอัพ: 'ตัวที่ 7 ของแม่ 5' เปลี่ยนแค่วิธีเขียน
$T(4)=20$. In this line, what is the $4$?$T(4)=20$ ในบรรทัดนี้ เลข $4$ คืออะไร? Answer:เฉลย:$4$ = the position, $20$ = the value$4$ = ตำแหน่ง, $20$ = ค่าPosition in, value out. Keep these two apart: questions try to swap them.ใส่ตำแหน่งเข้าไป ได้ค่าออกมา · แยกสองอย่างนี้ให้ขาด เดี๋ยวโจทย์จะสลับมาหลอก
3. New rule, same moveกฎใหม่ ท่าเดิม
Any formula works the same way: drop $n$ in.สูตรไหนก็ท่าเดียวกัน: หย่อน $n$ ลงไป
The rule doesn't have to be a times tableกฎไม่จำเป็นต้องเป็นแม่สูตรคูณเพียวๆ
Two steps: $\times3$, then $+2$. Position in, value out.สองขั้น: $\times3$ แล้ว $+2$ · ใส่ตำแหน่ง ได้ค่าออกมา
$T(n)=3n+2$. Find $T(10)$.$T(n)=3n+2$ หา $T(10)$ Answer:เฉลย: $T(10)=3\times10+2=32$Both steps happen every time. Forgetting the $+2$ is the most common lost mark in this question type.ทั้งสองขั้นต้องทำทุกครั้ง การลืม $+2$ คือคะแนนที่เสียบ่อยที่สุดของโจทย์แบบนี้
Same rule $T(n)=3n+2$. Find $T(50)$ without writing out 49 terms.กฎเดิม $T(n)=3n+2$ หา $T(50)$ · ห้ามไล่เขียน 49 พจน์ Answer:เฉลย: $T(50)=3\times50+2=152$Counting to the 50th term takes minutes, and one slip ruins it. The formula gets you there in one line.นับไปถึงพจน์ที่ 50 ใช้เวลาหลายนาที พลาดนิดเดียวก็พังหมด · สูตรพาไปถึงในบรรทัดเดียว
4. Build the formula yourselfสร้างสูตรเอง
Gap gives the $dn$ part; compare gives the shift.ช่องว่างให้ส่วน $dn$ · เทียบกับลำดับจริงได้ตัวบวก
$7,\;10,\;13,\;16,\;\dots$: what is the rule?$7,\;10,\;13,\;16,\;\dots$ · กฎคืออะไร?
Gap $+3$ gives $3n$. Every term is $4$ more than $3n$, so $T(n)=3n+4$.ช่องว่าง $+3$ ได้ $3n$ · ทุกพจน์มากกว่า $3n$ อยู่ $4$ · จึงได้ $T(n)=3n+4$
Two lines, every timeสองบรรทัด ใช้ได้ทุกครั้ง
The gap is the common difference $d$. Constant gap: an arithmetic sequence.ช่องว่างคือผลต่างร่วม $d$ (common difference) · ช่องว่างคงที่: ลำดับเลขคณิต
$7,\;10,\;13,\;16,\;\dots$ The nth term is:$7,\;10,\;13,\;16,\;\dots$ พจน์ที่ $n$ คือ: Answer:เฉลย: $T(n)=3n+4$Test two positions, not one: $3n+4\ \to\ 7,\;10,\;13$ $4n+3\ \to\ 7,\;11,\;15$ $\text{sequence}\ \to\ 7,\;10,\;13$ Two different rules can share the same first term.ทดสอบสองตำแหน่ง ไม่ใช่ตำแหน่งเดียว: $3n+4\ \to\ 7,\;10,\;13$ $4n+3\ \to\ 7,\;11,\;15$ $\text{sequence}\ \to\ 7,\;10,\;13$ กฎคนละอัน มีพจน์แรกเท่ากันได้
$T(n)=3n+4$ for the sequence $7,10,13,\dots$ Which number is the first term?$T(n)=3n+4$ ของลำดับ $7,10,13,\dots$ ตัวไหนคือพจน์แรก? Answer:เฉลย:first term $=T(1)=7$พจน์แรก $=T(1)=7$Three numbers, three jobs: $3=\text{the gap}$ $4=\text{the shift}$ $T(1)=3+4=7=\text{first term}$ The $+4$ is not a term of the sequence.สามตัวเลข สามหน้าที่: $3=\text{the gap}$ $4=\text{the shift}$ $T(1)=3+4=7=\text{first term}$ $+4$ ไม่ใช่พจน์ในลำดับ
5. Run it backwardsเดินย้อนกลับ
Find the position from a value. Check that it is a whole number.จากค่า ย้อนหาตำแหน่ง · แล้วตรวจว่าเป็นจำนวนเต็ม
Back to the warm-upกลับไปที่วอร์มอัพ
$5n = 85$Write the move under both sides: divide by $5$.เขียนสิ่งที่ทำใต้ทั้งสองข้าง: หารด้วย $5$
$n = \frac{85}{5}$Divide both sides by 5.หารทั้งสองข้างด้วย 5
$n = 17$The 17th term.ตัวที่ 17
Three lines, every timeสามบรรทัด ใช้ได้ทุกครั้ง
Step 3 earns the mark. Skip the whole-number check and you answer a different question.คะแนนอยู่ที่ขั้นที่ 3 · ลืมตรวจจำนวนเต็ม เท่ากับตอบคนละคำถาม
Someone says: '$87$ is a term of the sequence $T(n)=3n+4$.' What does this mean?มีคนบอกว่า '$87$ เป็นพจน์หนึ่งของลำดับ $T(n)=3n+4$' · ประโยคนี้แปลว่าอะไร? Answer:เฉลย:a whole-number $n$ with $3n+4=87$มี $n$ จำนวนเต็มที่ $3n+4=87$'Is it a term?' asks about a value, and you answer it by looking for a whole-number position.'เป็นพจน์ไหม?' เป็นคำถามเรื่องค่า แต่ตอบด้วยการหาตำแหน่งที่เป็นจำนวนเต็ม
$T(n)=3n+4$. Which term equals $61$?$T(n)=3n+4$ $61$ คือพจน์ที่เท่าไร? Answer:เฉลย: $3n+4=61 \Rightarrow 3n=57 \Rightarrow n=19$Undo $+4$, then $\times 3$: $3n+4=61$ $3n=57$ $n=19$ถอน $+4$ ก่อน แล้วค่อย $\times 3$: $3n+4=61$ $3n=57$ $n=19$
Now the claim itself: is $87$ a term of $T(n)=3n+4$?กลับมาที่คำถาม: $87$ เป็นพจน์ของ $T(n)=3n+4$ ไหม? Answer:เฉลย:No — $n=\frac{83}{3}$ is not wholeไม่เป็น — $n=\frac{83}{3}$ ไม่ใช่จำนวนเต็มSolve, then check it is whole: $3n+4=87$ $3n=83$ $n=\tfrac{83}{3}=27.6\dots$ $T(27)=85,\ \ T(28)=88$ A decimal $n$ means the value is skipped over.แก้หา $n$ แล้วตรวจว่าเป็นจำนวนเต็ม: $3n+4=87$ $3n=83$ $n=\tfrac{83}{3}=27.6\dots$ $T(27)=85,\ \ T(28)=88$ $n$ เป็นทศนิยม แปลว่าค่านั้นถูกข้ามไป
6. When the gap itself changesเมื่อช่องว่างก็เปลี่ยนด้วย
Second difference constant → the $n^{2}$ family.ผลต่างชั้นที่สองคงที่ → ตระกูล $n^{2}$
Compare with $n^{2}$ instead of $dn$เทียบกับ $n^{2}$ แทนที่จะเทียบกับ $dn$
Second difference $2$: start from $n^{2}$. Ours is always $1$ more.ผลต่างชั้นสองเป็น $2$ · ตั้งต้นจาก $n^{2}$ · ของเรามากกว่าอยู่ $1$ ตลอด
$2,\;5,\;10,\;17$ with gaps $3,\;5,\;7$. What is constant here?$2,\;5,\;10,\;17$ ช่องว่างคือ $3,\;5,\;7$ แล้วอะไรที่คงที่? Answer:เฉลย:the second difference $=2$ผลต่างชั้นที่สอง $=2$Two layers, so power $2$: $5-2=3,\ \ 10-5=5,\ \ 17-10=7$ $5-3=2,\ \ 7-5=2$ $\text{1 layer}\ \to\ dn+c$ $\text{2 layers}\ \to\ n^{2}$ That bottom row is the second difference.ลบสองชั้น กำลังจึงเป็น $2$: $5-2=3,\ \ 10-5=5,\ \ 17-10=7$ $5-3=2,\ \ 7-5=2$ $\text{1 layer}\ \to\ dn+c$ $\text{2 layers}\ \to\ n^{2}$ แถวล่างสุดเรียกว่าผลต่างชั้นที่สอง
$3,\;6,\;11,\;18,\;\dots$ Find the nth term.$3,\;6,\;11,\;18,\;\dots$ หาพจน์ที่ $n$ Answer:เฉลย: $T(n)=n^{2}+2$Same two-line recipe as arithmetic: pick the base family from the differences, then compare for the shift. Test: $T(4)=16+2=18$ ✓.สูตรสองบรรทัดเดิมของลำดับเลขคณิตเลย: เลือกตระกูลจากผลต่าง แล้วเทียบหาตัวบวก · ตรวจ: $T(4)=16+2=18$ ✓
7. Exam formรูปแบบข้อสอบ
Same ideas, exam wording, marks split.ความคิดเดิม ภาษาข้อสอบ แบ่งคะแนนชัด
One sequence, two questionsลำดับเดียว สองคำถาม
Both boards pair these two questions.ทั้งสองบอร์ดชอบจับคู่สองคำถามนี้
Exam: The first four terms of a sequence are $5,\;8,\;11,\;14$. (a) Find an expression for the nth term. (2 marks)ข้อสอบ: สี่พจน์แรกของลำดับคือ $5,\;8,\;11,\;14$ (a) หานิพจน์ของพจน์ที่ $n$ (2 คะแนน) Answer:เฉลย: $T(n)=3n+2$2 marks: $\text{M1}\ \ d=3\ \Rightarrow\ 3n$ $\text{A1}\ \ T(n)=3n+2,\ \ T(1)=3+2=5$ Writing the $3n$ part alone still earns the first mark.2 คะแนน: $\text{M1}\ \ d=3\ \Rightarrow\ 3n$ $\text{A1}\ \ T(n)=3n+2,\ \ T(1)=3+2=5$ เขียนแค่ส่วน $3n$ ก็ยังได้คะแนนแรก
Exam: (b) Explain why $271$ is not a term of this sequence. (2 marks) Which answer earns both marks?ข้อสอบ: (b) จงอธิบายว่าทำไม $271$ ไม่เป็นพจน์ของลำดับนี้ (2 คะแนน) คำตอบไหนได้เต็มสองคะแนน? Answer:เฉลย:solve $3n+2=271$, show $n$ is not wholeแก้ $3n+2=271$ แล้วแสดงว่า $n$ ไม่ใช่จำนวนเต็ม2 marks: $\text{M1}\ \ 3n+2=271\ \Rightarrow\ n=\tfrac{269}{3}$ $\text{A1}\ \ \text{state: }n\text{ is not a whole number}$ The sentence is the second mark; working alone scores one.2 คะแนน: $\text{M1}\ \ 3n+2=271\ \Rightarrow\ n=\tfrac{269}{3}$ $\text{A1}\ \ \text{state: }n\text{ is not a whole number}$ ประโยคสรุปคือคะแนนที่สอง เขียนแต่วิธีทำได้แค่หนึ่ง
Exam: The first four terms of a sequence are $8,\;11,\;16,\;23$. (5 marks)ข้อสอบ: ลำดับหนึ่ง สี่พจน์แรกคือ $8,\;11,\;16,\;23$ (5 คะแนน) Answer:เฉลย: $T(n)=n^{2}+7$, $n^{2}+7=232\Rightarrow n^{2}=225\Rightarrow n=15$5 marks: $\text{M1}\ \ \text{2nd difference}=2\ \Rightarrow\ n^{2}$ $\text{M2}\ \ 8,11,16,23\ \text{vs}\ 1,4,9,16\ \Rightarrow\ T(n)=n^{2}+7$ $\text{M3}\ \ n^{2}+7=232$ $\text{M4}\ \ n^{2}=225$ $\text{A1}\ \ n=15$ Stopping at $n^{2}=225$ loses the last mark.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{2nd difference}=2\ \Rightarrow\ n^{2}$ $\text{M2}\ \ 8,11,16,23\ \text{vs}\ 1,4,9,16\ \Rightarrow\ T(n)=n^{2}+7$ $\text{M3}\ \ n^{2}+7=232$ $\text{M4}\ \ n^{2}=225$ $\text{A1}\ \ n=15$ หยุดที่ $n^{2}=225$ เสียคะแนนสุดท้าย
A sequence begins $10,\;13,\;18,\;25,\;\dots$ Find the 30th term.ลำดับหนึ่งเริ่มด้วย $10,\;13,\;18,\;25,\;\dots$ หาพจน์ที่ 30 Answer:เฉลย: $T(n)=n^{2}+9$, $T(30)=900+9=909$Read the gaps before choosing: $\text{gaps}:\ 3,\;5,\;7\ \Rightarrow\ \text{not equal}$ $\text{equal gaps}\ \to\ dn+b$ $\text{2nd difference }2\ \to\ n^{2}$ $T(1)=1+c=10\ \Rightarrow\ c=9$ $T(30)=900+9=909$ Unequal gaps rule out a linear formula on sight.ดูช่องว่างก่อนเลือกวิธี: $\text{gaps}:\ 3,\;5,\;7\ \Rightarrow\ \text{not equal}$ $\text{equal gaps}\ \to\ dn+b$ $\text{2nd difference }2\ \to\ n^{2}$ $T(1)=1+c=10\ \Rightarrow\ c=9$ $T(30)=900+9=909$ ช่องว่างไม่เท่ากัน ตัดสูตรเชิงเส้นทิ้งได้ทันที
8. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
$6,\;10,\;14,\;18,\;\dots$ Find the nth term. Answer:เฉลย: $4n+2$The same method as the lesson, with new numbers. Find the gap, then find the shift.วิธีเดียวกับที่สอน แค่เปลี่ยนตัวเลข หาช่องว่างก่อน แล้วหาตัวบวก
$20,\;17,\;14,\;11,\;\dots$ Find the nth term. Answer:เฉลย: $23-3n$Same method, $d=-3$. A negative gap is easy to slip on. The shift comes out bigger than every term.วิธีเดิม แต่ $d=-3$ · ช่องว่างติดลบพลาดง่าย · ตัวบวกที่ได้ใหญ่กว่าทุกพจน์ในลำดับ
Pattern 1 of a tile design has $5$ tiles; each new pattern adds $4$ tiles. How many tiles are in pattern $n$? In pattern $25$? Answer:เฉลย: $4n+1$; $101$ tilesNo list is written out. You must see that 'adds 4 each time' is the common difference.ไม่มีลิสต์ตัวเลขให้ · ต้องมองเองว่า 'เพิ่มทีละ 4' ก็คือผลต่างร่วม
$9,\;14,\;19,\;\dots$ Find the nth term, and hence find which term equals $249$. Answer:เฉลย: $T(n)=5n+4$; $n=49$Build the formula, then solve an equation with it. Two known moves are chained: forwards, then backwards.สร้างสูตรก่อน แล้วใช้มันแก้สมการ · ต่อสองท่าที่รู้แล้ว ไปหน้าแล้วย้อนกลับ ในข้อเดียว
A sequence has nth term $T(n)=6n+c$. Its 10th term is $57$. Find $c$ and the first term. Answer:เฉลย: $c=-3$; first term $=3$Given a term, find the formula: the opposite direction. It works if you read $T(10)=57$ as an equation.ให้พจน์มา แล้วย้อนหาสูตร · กลับทิศกับข้อข้างบน · ทำได้ถ้ามอง $T(10)=57$ เป็นสมการหนึ่งสมการ
The first four terms of a sequence are $2,\;9,\;16,\;23$. (2 marks)(a)(ก) Find the nth term. (2 marks)(b)(ข) Determine whether $700$ is a term of the sequence. Justify your answer. Answer:เฉลย: (a) $7n-5$ (b) $7n-5=700\Rightarrow n=\frac{705}{7}=100.71\dots$, not whole → not a termThe full (a)/(b) exam pairing with marks stated. Build forwards, then justify backwards, as in level 6.คู่ (a)/(b) แบบข้อสอบเต็มรูป มีคะแนนกำกับ · สร้างไปข้างหน้า แล้วอธิบายย้อนกลับ ตามที่ซ้อมในขั้นสุดท้าย
For the sequence $4,\;9,\;14,\;19$, a student writes: 'nth term $=4n+5$, because it starts at $4$ and goes up in... $5$s.' Mark their work: find the error and the correct answer. Answer:เฉลย: They used the first term $4$ as the multiplier ($4n+5$ gives $9,13,17$ — fails at $n=1$). Correct: $5n-1$.Find the mistake in someone else's work: the first term used as the multiplier.หาข้อผิดในงานของคนอื่น: เอาพจน์แรกมาเป็นตัวคูณ