Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Arithmetic Series & Geometric Sequencesอนุกรมเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต
IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upวอร์มอัพ
You can already find the $n$th termหาพจน์ที่ $n$ เป็นอยู่แล้ว
Today: write the same rule from the first term, then add the terms up.วันนี้: เขียนกฎเดิมโดยเริ่มจากพจน์แรก แล้วหาผลบวกของพจน์
- Find the $n$th term of $4, 9, 14, 19, \dots$หาพจน์ที่ $n$ ของ $4, 9, 14, 19, \dots$
Answer:เฉลย: $5n-1$Difference $5$, then adjust: $9-4=5$ $5(1)=5$ $4-5=-1$ $n\text{th term}=5n-1$ผลต่าง $5$ แล้วปรับ: $9-4=5$ $5(1)=5$ $4-5=-1$ $n\text{th term}=5n-1$
- The $n$th term of a sequence is $3n+2$. Find the $50$th term.พจน์ที่ $n$ ของลำดับคือ $3n+2$ · หาพจน์ที่ $50$
Answer:เฉลย: $3(50)+2=152$Put $n=50$ in: $3(50)+2=152$แทน $n=50$: $3(50)+2=152$
2. Start from the first termเริ่มจากพจน์แรก
$n$th term $=a+(n-1)d$: the first term plus $n-1$ steps of $d$.พจน์ที่ $n$ $=a+(n-1)d$: พจน์แรก บวก $n-1$ ก้าว ก้าวละ $d$
Term $4$ is $3$ steps after term $1$พจน์ที่ $4$ อยู่ถัดจากพจน์แรก $3$ ก้าว
$5+(n-1)\times3=3n+2$ — the same rule as before.$5+(n-1)\times3=3n+2$ · กฎเดิมเป๊ะ
Term $3$ is $11$ and term $8$ is $26$พจน์ที่ $3$ คือ $11$ และพจน์ที่ $8$ คือ $26$
Term $3$: $a+2d=11$. Term $8$: $a+7d=26$. Subtract: $5d=15$.พจน์ที่ $3$: $a+2d=11$ · พจน์ที่ $8$: $a+7d=26$ · ลบกัน: $5d=15$
- An arithmetic sequence has $a=7$ and $d=4$. Find the $10$th term.ลำดับเลขคณิตมี $a=7$ และ $d=4$ · หาพจน์ที่ $10$
Answer:เฉลย: $7+9\times4=43$Nine steps of $4$: $7+(10-1)\times4$ $=7+36$ $=43$เก้าก้าว ก้าวละ $4$: $7+(10-1)\times4$ $=7+36$ $=43$
- $20, 17, 14, 11, \dots$ Which is the $n$th term?$20, 17, 14, 11, \dots$ · อันไหนคือพจน์ที่ $n$?
Answer:เฉลย: $20+(n-1)(-3)=23-3n$$d$ is negative here: $20+(n-1)(-3)$ $=20-3n+3$ $=23-3n$ Check with $n=1$: $23-3(1)=20$ ✓ข้อนี้ $d$ ติดลบ: $20+(n-1)(-3)$ $=20-3n+3$ $=23-3n$ เช็กด้วย $n=1$: $23-3(1)=20$ ✓
- The $6$th term of an arithmetic sequence is $40$. Which equation is true?พจน์ที่ $6$ ของลำดับเลขคณิตคือ $40$ · สมการไหนถูก?
Answer:เฉลย: $a+5d=40$$n=6$ gives $5d$: $a+(6-1)d=40$ $a+5d=40$$n=6$ ได้ $5d$: $a+(6-1)d=40$ $a+5d=40$
- The $5$th term of an arithmetic sequence is $23$ and the $12$th term is $51$. Find the common difference $d$.พจน์ที่ $5$ ของลำดับเลขคณิตคือ $23$ และพจน์ที่ $12$ คือ $51$ · หาผลต่างร่วม $d$
Answer:เฉลย: $7d=28\ \Rightarrow\ d=4$Subtract to lose $a$: $a+4d=23$ $a+11d=51$ $7d=28$ $d=4$ลบกันให้ $a$ หายไป: $a+4d=23$ $a+11d=51$ $7d=28$ $d=4$
- Same sequence: $5$th term $23$, $12$th term $51$, $d=4$. Find the first term $a$.ลำดับเดิม: พจน์ที่ $5$ คือ $23$ · พจน์ที่ $12$ คือ $51$ · $d=4$ · หาพจน์แรก $a$
Answer:เฉลย: $a+4(4)=23\ \Rightarrow\ a=7$Put $d=4$ back in: $a+4(4)=23$ $a+16=23$ $a=7$ Check with the other term: $7+11(4)=51$ ✓แทน $d=4$ กลับเข้าไป: $a+4(4)=23$ $a+16=23$ $a=7$ เช็กกับอีกพจน์: $7+11(4)=51$ ✓
3. Add them in pairsจับคู่บวก
Write the sum forwards and backwards. Every pair adds to first $+$ last.เขียนผลบวกเรียงไปข้างหน้าและย้อนหลัง · ทุกคู่รวมได้ พจน์แรก $+$ พจน์สุดท้าย
$7+11+15+19+23$ in one move$7+11+15+19+23$ ในท่าเดียว
The sum is half the rectangle: $150\div2=75$.ผลบวกคือครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยม: $150\div2=75$
Find $S_{20}$ for $7+11+15+\dots$หา $S_{20}$ ของ $7+11+15+\dots$
- $l=7+(20-1)\times4$$a=7$ and $d=4$. The last of $20$ terms is $19$ steps after $7$.$a=7$ และ $d=4$ · พจน์สุดท้ายของ $20$ พจน์ อยู่ถัดจาก $7$ ไป $19$ ก้าว
- $=83$The longest blue bar is $83$.แท่งสีน้ำเงินที่ยาวที่สุดคือ $83$
- $S_{20}=7+\dots+83$Forwards: $7+11+15+\dots+83$, the blue bars.เรียงไปข้างหน้า: $7+11+15+\dots+83$ คือแท่งสีน้ำเงิน
- $S_{20}=83+\dots+7$Backwards: $83+79+75+\dots+7$, the orange bars laid alongside.เรียงย้อนหลัง: $83+79+75+\dots+7$ คือแท่งสีส้มที่วางต่อข้างกัน
- $2S_{20}=90+90+\dots+90$Add the two lines column by column: $7+83=90$, $11+79=90$, every time.บวกสองบรรทัดทีละคอลัมน์: $7+83=90$, $11+79=90$ ทุกคู่
- $2S_{20}=20\times90$Twenty rows of $90$ is twice the sum. Halve both sides.ยี่สิบแถว แถวละ $90$ คือผลบวกสองเท่า · หารสองทั้งสองข้าง
- $S_{20}=900$Half the rectangle. In letters: $S_n=\dfrac{n}{2}(a+l)$.ครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยม · เขียนเป็นตัวแปร: $S_n=\dfrac{n}{2}(a+l)$
- Find $1+2+3+\dots+100$.หาค่า $1+2+3+\dots+100$
Answer:เฉลย: $\dfrac{100}{2}(1+100)=5050$$100$ rows of $101$, halved: $S_{100}=\dfrac{100}{2}(1+100)$ $=50\times101$ $=5050$$100$ แถว แถวละ $101$ แล้วหารครึ่ง: $S_{100}=\dfrac{100}{2}(1+100)$ $=50\times101$ $=5050$
- $5+9+13+\dots+81$. How many terms are added?$5+9+13+\dots+81$ · มีทั้งหมดกี่พจน์?
Answer:เฉลย: $n=20$Count steps, then add one: $5+(n-1)4=81$ $(n-1)4=76$ $n-1=19$ $n=20$นับก้าว แล้วบวกหนึ่ง: $5+(n-1)4=81$ $(n-1)4=76$ $n-1=19$ $n=20$
- Find the sum $5+9+13+\dots+81$.หาผลบวก $5+9+13+\dots+81$
Answer:เฉลย: $\dfrac{20}{2}(5+81)=860$Half of $20$ rows of $86$: $S_{20}=\dfrac{20}{2}(5+81)$ $=10\times86$ $=860$ครึ่งหนึ่งของ $20$ แถว แถวละ $86$: $S_{20}=\dfrac{20}{2}(5+81)$ $=10\times86$ $=860$
4. No last term givenไม่บอกพจน์สุดท้าย
$S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$ — the last term is already inside.$S_n=\dfrac{n}{2}\big(2a+(n-1)d\big)$ · มีพจน์สุดท้ายซ่อนอยู่ข้างในแล้ว
Replace $l$ by $a+(n-1)d$แทน $l$ ด้วย $a+(n-1)d$
The $2a$ form is the one printed on the Edexcel formula sheet.สูตรแบบ $2a$ คือสูตรที่พิมพ์อยู่ในแผ่นสูตรของ Edexcel
- Find the sum of the first $20$ terms of $3+8+13+\dots$หาผลบวก $20$ พจน์แรกของ $3+8+13+\dots$
Answer:เฉลย: $\dfrac{20}{2}\big(2(3)+19(5)\big)=1010$Straight into the formula: $S_{20}=\dfrac{20}{2}\big(2(3)+19(5)\big)$ $=10(6+95)$ $=1010$แทนลงสูตรตรง ๆ: $S_{20}=\dfrac{20}{2}\big(2(3)+19(5)\big)$ $=10(6+95)$ $=1010$
- Which is $S_n$ for $3+8+13+\dots$, simplified?อันไหนคือ $S_n$ ของ $3+8+13+\dots$ ที่จัดรูปแล้ว?
Answer:เฉลย: $S_n=\dfrac{n}{2}(5n+1)$Expand, then collect: $S_n=\dfrac{n}{2}\big(6+5(n-1)\big)$ $=\dfrac{n}{2}(6+5n-5)$ $=\dfrac{n}{2}(5n+1)$ Test $n=2$: $\tfrac{2}{2}(11)=11=3+8$ ✓กระจาย แล้วรวมพจน์: $S_n=\dfrac{n}{2}\big(6+5(n-1)\big)$ $=\dfrac{n}{2}(6+5n-5)$ $=\dfrac{n}{2}(5n+1)$ ลอง $n=2$: $\tfrac{2}{2}(11)=11=3+8$ ✓
- Find the sum of the first $15$ terms of $40+37+34+\dots$หาผลบวก $15$ พจน์แรกของ $40+37+34+\dots$
Answer:เฉลย: $\dfrac{15}{2}\big(80+14(-3)\big)=285$Negative $d$, same formula: $S_{15}=\dfrac{15}{2}\big(2(40)+14(-3)\big)$ $=\dfrac{15}{2}(80-42)$ $=\dfrac{15}{2}\times38$ $=285$$d$ ติดลบ สูตรเดิม: $S_{15}=\dfrac{15}{2}\big(2(40)+14(-3)\big)$ $=\dfrac{15}{2}(80-42)$ $=\dfrac{15}{2}\times38$ $=285$
5. Sum given: find nรู้ผลบวก หา n
$S_n=$ a number gives a quadratic in $n$. Keep the positive whole root.$S_n=$ ตัวเลข จะได้สมการกำลังสองใน $n$ · เก็บรากที่เป็นจำนวนเต็มบวก
$3+5+7+\dots$: how many terms make $120$?$3+5+7+\dots$: ต้องบวกกี่พจน์ถึงได้ $120$?
$n^2+2n=120$ gives $n=10$ or $n=-12$. Reject $-12$: you cannot add $-12$ terms.$n^2+2n=120$ ได้ $n=10$ หรือ $n=-12$ · ตัด $-12$ ทิ้ง: บวก $-12$ พจน์ไม่ได้
- For $3+5+7+\dots$, which is $S_n$?สำหรับ $3+5+7+\dots$ อันไหนคือ $S_n$?
Answer:เฉลย: $S_n=n^2+2n$Build $S_n$, then simplify: $S_n=\dfrac{n}{2}\big(6+2(n-1)\big)$ $=\dfrac{n}{2}(2n+4)$ $=n^2+2n$สร้าง $S_n$ แล้วจัดรูป: $S_n=\dfrac{n}{2}\big(6+2(n-1)\big)$ $=\dfrac{n}{2}(2n+4)$ $=n^2+2n$
- Solve $n^2+2n=120$ to find how many terms of $3+5+7+\dots$ add up to $120$.แก้ $n^2+2n=120$ เพื่อหาว่าต้องบวก $3+5+7+\dots$ กี่พจน์ถึงได้ $120$
Answer:เฉลย: $(n+12)(n-10)=0\ \Rightarrow\ n=10\ \ (n\gt0)$Quadratic, then reject the negative: $n^2+2n=120$ $n^2+2n-120=0$ $(n+12)(n-10)=0$ $n=10\ \ (n\gt0)$ Check: $S_{10}=10^2+2(10)=120$ ✓สมการกำลังสอง แล้วตัดค่าติดลบ: $n^2+2n=120$ $n^2+2n-120=0$ $(n+12)(n-10)=0$ $n=10\ \ (n\gt0)$ เช็ก: $S_{10}=10^2+2(10)=120$ ✓
- The sum of the first $n$ terms of $7+11+15+\dots$ is $250$. Find $n$.ผลบวก $n$ พจน์แรกของ $7+11+15+\dots$ คือ $250$ · หา $n$
Answer:เฉลย: $(2n+25)(n-10)=0\ \Rightarrow\ n=10\ \ (n\gt0)$Same routine, messier quadratic: $S_n=\dfrac{n}{2}\big(14+4(n-1)\big)$ $=\dfrac{n}{2}(4n+10)$ $=2n^2+5n$ $2n^2+5n=250$ $2n^2+5n-250=0$ $(2n+25)(n-10)=0$ $n=10\ \ (n\gt0)$ท่าเดิม สมการกำลังสองยุ่งขึ้น: $S_n=\dfrac{n}{2}\big(14+4(n-1)\big)$ $=\dfrac{n}{2}(4n+10)$ $=2n^2+5n$ $2n^2+5n=250$ $2n^2+5n-250=0$ $(2n+25)(n-10)=0$ $n=10\ \ (n\gt0)$
6. Real storiesโจทย์เรื่องจริง
Find $a$, $d$ and $n$ in the words. Is it asking for a term or a sum?หา $a$, $d$ และ $n$ จากโจทย์ · ถามพจน์ หรือถามผลบวก?
Row $1$ has $20$ seats. Each row has $2$ more.แถว $1$ มี $20$ ที่นั่ง · แถวถัดไปเพิ่มแถวละ $2$
One row is a term. The whole hall is a sum.แถวเดียวคือพจน์ · ทั้งหอประชุมคือผลบวก
- The hall has $25$ rows. How many seats are in row $25$?หอประชุมมี $25$ แถว · แถวที่ $25$ มีกี่ที่นั่ง?
Answer:เฉลย: $20+24\times2=68$One row is one term: $20+(25-1)\times2$ $=20+48$ $=68$แถวเดียว คือพจน์เดียว: $20+(25-1)\times2$ $=20+48$ $=68$
- How many seats are there in the whole hall of $25$ rows?ทั้งหอประชุม $25$ แถว มีกี่ที่นั่ง?
Answer:เฉลย: $\dfrac{25}{2}(20+68)=1100$The whole hall is a sum: $S_{25}=\dfrac{25}{2}(20+68)$ $=\dfrac{25}{2}\times88$ $=1100$ทั้งหอประชุมคือผลบวก: $S_{25}=\dfrac{25}{2}(20+68)$ $=\dfrac{25}{2}\times88$ $=1100$
- Nida saves $50$ baht in month $1$. Each month she saves $10$ baht more than the month before. How much has she saved in total after $12$ months?นิดาเก็บเงิน $50$ บาทในเดือนที่ $1$ · แต่ละเดือนเก็บมากกว่าเดือนก่อน $10$ บาท · ครบ $12$ เดือน เก็บได้ทั้งหมดกี่บาท?
Answer:เฉลย: $\dfrac{12}{2}\big(2(50)+11(10)\big)=1260$"In total" means a sum: $S_{12}=\dfrac{12}{2}\big(2(50)+11(10)\big)$ $=6(100+110)$ $=1260$"ทั้งหมด" แปลว่าผลบวก: $S_{12}=\dfrac{12}{2}\big(2(50)+11(10)\big)$ $=6(100+110)$ $=1260$
- In which month does Nida first save more than $200$ baht in that one month?เดือนไหนที่นิดาเก็บเงินได้เกิน $200$ บาทภายในเดือนเดียวเป็นครั้งแรก?
Answer:เฉลย: $50+16\times10=210\gt200$One month is one term: $50+(n-1)10\gt200$ $(n-1)10\gt150$ $n-1\gt15$ $n\gt16$ $n=17$เดือนเดียว คือพจน์เดียว: $50+(n-1)10\gt200$ $(n-1)10\gt150$ $n-1\gt15$ $n\gt16$ $n=17$
7. Multiply each timeคูณทุกครั้ง
Geometric: each term is the one before $\times r$. $n$th term $=ar^{n-1}$.ลำดับเรขาคณิต: แต่ละพจน์คือพจน์ก่อนหน้า $\times r$ · พจน์ที่ $n$ $=ar^{n-1}$
$3, 6, 12, 24, \dots$ — the gaps grow$3, 6, 12, 24, \dots$ · ช่องห่างโตขึ้นเรื่อย ๆ
Arithmetic: same difference $d$. Geometric: same ratio $r$ — divide, do not subtract.เลขคณิต: ผลต่าง $d$ เท่ากัน · เรขาคณิต: อัตราส่วน $r$ เท่ากัน · ใช้หาร ไม่ใช่ลบ
- Which sequence is geometric?ลำดับไหนเป็นลำดับเรขาคณิต?
Answer:เฉลย: $2, 6, 18, 54, \dots\ \ (r=3)$Same ratio every time: $\dfrac{6}{2}=\dfrac{18}{6}=\dfrac{54}{18}=3$อัตราส่วนเท่ากันทุกคู่: $\dfrac{6}{2}=\dfrac{18}{6}=\dfrac{54}{18}=3$
- $5, 15, 45, 135, \dots$ is geometric. Find the $6$th term.$5, 15, 45, 135, \dots$ เป็นลำดับเรขาคณิต · หาพจน์ที่ $6$
Answer:เฉลย: $5\times3^{5}=1215$Five multiplications by $3$: $5\times3^{5}$ $=5\times243$ $=1215$คูณ $3$ ห้าครั้ง: $5\times3^{5}$ $=5\times243$ $=1215$
- Find an expression for the $n$th term of $5, 15, 45, 135, \dots$หานิพจน์ของพจน์ที่ $n$ ของ $5, 15, 45, 135, \dots$
Answer:เฉลย: $5\times3^{n-1}$$a=5$, $r=3$ into $ar^{n-1}$: $r=\dfrac{15}{5}=3$ $n\text{th term}=5\times3^{n-1}$ $5\times3^{3}=135$ Check a known term: $n=4$ gives $135$ ✓แทน $a=5$, $r=3$ ใน $ar^{n-1}$: $r=\dfrac{15}{5}=3$ $n\text{th term}=5\times3^{n-1}$ $5\times3^{3}=135$ เช็กกับพจน์ที่รู้: $n=4$ ได้ $135$ ✓
- A geometric sequence has first term $2$ and $4$th term $54$. Find the common ratio $r$.ลำดับเรขาคณิตมีพจน์แรก $2$ และพจน์ที่ $4$ คือ $54$ · หาอัตราส่วนร่วม $r$
Answer:เฉลย: $r=3$Term $4$ is $ar^3$: $2r^3=54$ $r^3=27$ $r=3$พจน์ที่ $4$ คือ $ar^3$: $2r^3=54$ $r^3=27$ $r=3$
8. Exam formฟอร์มข้อสอบ
Real wording, real marks — find $a$ and $d$, sum, show that, and find $n$.ภาษาข้อสอบจริง คะแนนจริง · หา $a$ กับ $d$ หาผลบวก แสดงว่า และหา $n$
Write the formula with the numbers inเขียนสูตรโดยแทนตัวเลขลงไปให้เห็น
The substituted formula earns M1 even if the arithmetic slips afterwards.เขียนสูตรที่แทนค่าแล้ว ได้ M1 แม้คิดเลขพลาดทีหลัง
- Exam: The $3$rd term of an arithmetic series is $17$. The $10$th term is $52$. Find the sum of the first $20$ terms of the series. (4 marks)ข้อสอบ: พจน์ที่ $3$ ของอนุกรมเลขคณิตคือ $17$ · พจน์ที่ $10$ คือ $52$ · จงหาผลบวกของ $20$ พจน์แรกของอนุกรมนี้ (4 คะแนน)
Answer:เฉลย: $d=5$, $a=7$, $S_{20}=\dfrac{20}{2}\big(2(7)+19(5)\big)=1090$4 marks: $\text{M1}\quad 7d=35$ $\text{A1}\quad d=5,\ a=7$ $\text{M1}\quad S_{20}=\tfrac{20}{2}\big(2(7)+19(5)\big)$ $\text{A1}\quad 1090$ Marks usually go at the start: term $3$ is $a+2d$, not $a+3d$.4 คะแนน: $\text{M1}\quad 7d=35$ $\text{A1}\quad d=5,\ a=7$ $\text{M1}\quad S_{20}=\tfrac{20}{2}\big(2(7)+19(5)\big)$ $\text{A1}\quad 1090$ คะแนนมักหายตั้งแต่ต้น: พจน์ที่ $3$ คือ $a+2d$ ไม่ใช่ $a+3d$
- Exam: The sum of the first $n$ terms of $2+7+12+\dots$ is $S_n$. Show that $S_n=\dfrac{n}{2}(5n-1)$. (2 marks)
Which first line earns the method mark?ข้อสอบ: ผลบวก $n$ พจน์แรกของ $2+7+12+\dots$ คือ $S_n$ · จงแสดงว่า $S_n=\dfrac{n}{2}(5n-1)$ (2 คะแนน)
บรรทัดแรกแบบไหนได้คะแนนวิธีทำ?
Answer:เฉลย: $\dfrac{n}{2}\big(2(2)+5(n-1)\big)=\dfrac{n}{2}(5n-1)$2 marks: $\text{M1}\quad \tfrac{n}{2}\big(2(2)+5(n-1)\big)$ $\text{A1}\quad \tfrac{n}{2}(4+5n-5)=\tfrac{n}{2}(5n-1)$ Skip the middle line $\tfrac n2(4+5n-5)$ and the A1 can go.2 คะแนน: $\text{M1}\quad \tfrac{n}{2}\big(2(2)+5(n-1)\big)$ $\text{A1}\quad \tfrac{n}{2}(4+5n-5)=\tfrac{n}{2}(5n-1)$ ข้ามบรรทัดกลาง $\tfrac n2(4+5n-5)$ อาจเสีย A1
- Exam: For the same series, $S_n=\dfrac{n}{2}(5n-1)$. Given that $S_n=245$, find the value of $n$. (3 marks)ข้อสอบ: อนุกรมเดิม $S_n=\dfrac{n}{2}(5n-1)$ · กำหนดให้ $S_n=245$ จงหาค่า $n$ (3 คะแนน)
Answer:เฉลย: $(5n+49)(n-10)=0\ \Rightarrow\ n=10\ \ (n\gt0)$3 marks: $\text{M1}\quad 5n^2-n-490=0$ $\text{M1}\quad (5n+49)(n-10)=0$ $\text{A1}\quad n=10$ Leaving $n=-9.8$ in the answer, not rejected, can lose the A1.3 คะแนน: $\text{M1}\quad 5n^2-n-490=0$ $\text{M1}\quad (5n+49)(n-10)=0$ $\text{A1}\quad n=10$ ปล่อย $n=-9.8$ ไว้ในคำตอบโดยไม่ตัดทิ้ง อาจเสีย A1
9. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน · แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
- $4+10+16+\dots$ Find the sum of the first $30$ terms.Straight into $\tfrac n2\big(2a+(n-1)d\big)$ with $a=4$, $d=6$, $n=30$.แทนลง $\tfrac n2\big(2a+(n-1)d\big)$ ตรง ๆ โดย $a=4$, $d=6$, $n=30$
- $2.5+3.25+4+\dots$ Find the sum of the first $40$ terms.A decimal $d=0.75$. Same formula; keep the bracket whole until the end.$d=0.75$ เป็นทศนิยม · สูตรเดิม · คิดในวงเล็บให้เสร็จก่อน
- Each row of a stand has $4$ more seats than the row in front. Row $1$ has $30$ seats and the back row has $118$. How many rows are there, and how many seats in total?Find $n$ from the last term first, then use $\tfrac n2(a+l)$.หา $n$ จากพจน์สุดท้ายก่อน แล้วใช้ $\tfrac n2(a+l)$
- The $5$th term of an arithmetic series is $3$ times the $2$nd term, and $S_6=72$. Find $a$ and $d$.Simultaneous equations: $a+4d=3(a+d)$ gives $d=2a$, then $S_6=36a=72$.สมการสองตัวแปร: $a+4d=3(a+d)$ ได้ $d=2a$ แล้ว $S_6=36a=72$
- How many terms of $5+8+11+\dots$ are needed for a sum of $440$?Sum given: solve a quadratic in $n$ and reject the negative root.รู้ผลบวก: แก้สมการกำลังสองใน $n$ แล้วตัดรากที่ติดลบทิ้ง
- (a) Find an expression for the $n$th term of $4, 12, 36, 108, \dots$ (b) $x$, $2x+1$ and $4x-3$ are the first three terms of an arithmetic series. Find $x$ and the sum of the first $20$ terms.Equal gaps: $(2x+1)-x=(4x-3)-(2x+1)$. Then $a=5$, $d=6$.ช่องห่างเท่ากัน: $(2x+1)-x=(4x-3)-(2x+1)$ · แล้วได้ $a=5$, $d=6$
All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี