Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Sets & Venn Diagramsเซตและแผนภาพเวนน์

IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upวอร์มอัพ

  1. $A=\{2,4,6,8\}$. How many elements — that is, $n(A)$ = ?$A=\{2,4,6,8\}$ · มีสมาชิกกี่ตัว — ก็คือ $n(A)$ = ?
    Answer:เฉลย: $n(A)=4$A set is a bag of things; $n(\;)$ counts the bag. Most set notation is this friendly.เซตคือถุงใส่ของ $n(\;)$ คือการนับของในถุง · สัญลักษณ์เซตส่วนใหญ่เป็นมิตรแบบนี้แหละ
  2. $A=\{2,4,6,8\}$. Is $5\in A$? Type yes or no.$A=\{2,4,6,8\}$ · $5\in A$ ไหม? พิมพ์ yes หรือ no
    Answer:เฉลย: no — $5\notin A$ไม่ — $5\notin A$$\in$ asks about membership: $A=\{2,4,6,8\}$   $4\in A$   $5\notin A$$\in$ ถามว่าอยู่ในเซตไหม: $A=\{2,4,6,8\}$   $4\in A$   $5\notin A$

2. The two circlesวงกลมสองวง

$\cap$ is the middle. $\cup$ is everything in either circle.$\cap$ คือตรงกลาง · $\cup$ คือทุกตัวในวงใดวงหนึ่ง

Two circles cut the box into fourวงกลมสองวงแบ่งกล่องเป็นสี่ส่วน

Every set question asks about one of these four regions.โจทย์เซตทุกข้อ ถามถึงหนึ่งในสี่ส่วนนี้

  1. $A=\{1,2,3,4\}$ and $B=\{3,4,5\}$ are drawn below. Which numbers sit in the middle, inside both circles?$A=\{1,2,3,4\}$ กับ $B=\{3,4,5\}$ วาดไว้ข้างล่าง · เลขตัวไหนอยู่ตรงกลาง คืออยู่ในทั้งสองวง?
    Answer:เฉลย: $3$ and $4$$3$ กับ $4$In both lists, drawn once: $A=\{1,2,3,4\}$   $B=\{3,4,5\}$   $\text{middle}=\{3,4\}$อยู่ทั้งสองชุด เขียนครั้งเดียวตรงกลาง: $A=\{1,2,3,4\}$   $B=\{3,4,5\}$   $\text{middle}=\{3,4\}$
  2. ξABWhich region is shaded?ξABส่วนที่แรเงาคือ?
    Answer:เฉลย: $A\cap B$$\cap$ = and = the overlap: $A\cap B=\text{in }A\ \text{and in }B$   $A\cap B=\{3,4\}$$\cap$ = และ = ส่วนที่ซ้อนกัน: $A\cap B=\text{in }A\ \text{and in }B$   $A\cap B=\{3,4\}$
  3. ξABAnd now?ξABแล้วอันนี้ล่ะ?
    Answer:เฉลย: $A\cup B$$\cup$ = or = either circle: $A\cup B=\text{in }A\ \text{or in }B$   $\text{cup holds more, cap holds less}$$\cup$ = หรือ = อย่างน้อยหนึ่งวง: $A\cup B=\text{in }A\ \text{or in }B$   $\text{cup holds more, cap holds less}$
  4. $A=\{1,2,3,4\}$, $B=\{3,4,5\}$. List the elements of $A\cap B$.$A=\{1,2,3,4\}$, $B=\{3,4,5\}$ · เขียนสมาชิกของ $A\cap B$
    Answer:เฉลย: $\{3,4\}$With actual lists, $\cap$ is a matching game and $\cup$ is merging without duplicates ($n(A\cup B)=5$ here, not $7$).พอเป็นลิสต์จริง $\cap$ คือเกมจับคู่ ส่วน $\cup$ คือรวมแบบไม่นับซ้ำ ($n(A\cup B)=5$ ไม่ใช่ $7$)
  5. Same two sets. List the elements of $A\cup B$.เซตเดิมสองเซต · เขียนสมาชิกของ $A\cup B$
    Answer:เฉลย: $\{1,2,3,4,5\}$Merge without repeats: $A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$   $n(A\cup B)=5$   $4+3=7\ \ \text{counts }3,4\ \text{twice}$   $7-2=5$ That subtraction is exactly what the exam formula does.รวมกัน ไม่นับซ้ำ: $A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$   $n(A\cup B)=5$   $4+3=7\ \ \text{counts }3,4\ \text{twice}$   $7-2=5$ การลบนี้แหละ คือสิ่งที่สูตรในข้อสอบทำ

3. Complement: the outsideคอมพลีเมนต์: ข้างนอก

$A'$ is everything in $\xi$ that is not in $A$.$A'$ คือทุกอย่างใน $\xi$ ที่ไม่อยู่ใน $A$

  1. $\xi=\{1,2,\ldots,10\}$, $A=\{2,4,6,8,10\}$ (evens). List $A'$.$\xi=\{1,2,\ldots,10\}$, $A=\{2,4,6,8,10\}$ (เลขคู่) · เขียน $A'$
    Answer:เฉลย: $A'=\{1,3,5,7,9\}$The complement needs a universe: $\xi=\{1,2,\ldots,10\}$   $A=\{2,4,6,8,10\}$   $A'=\{1,3,5,7,9\}$ 'Not even' only means 'odd' because $\xi$ stops at $10$.คอมพลีเมนต์ต้องมีเอกภพสัมพัทธ์ก่อน: $\xi=\{1,2,\ldots,10\}$   $A=\{2,4,6,8,10\}$   $A'=\{1,3,5,7,9\}$ 'ไม่คู่' แปลว่า 'คี่' ก็เพราะ $\xi$ หยุดที่ $10$
  2. ξABWhich expression is shaded (in $A$ but outside $B$)?ξABส่วนแรเงา (อยู่ใน $A$ แต่นอก $B$) เขียนว่ายังไง?
    Answer:เฉลย: $A\cap B'$Build the region out of and/not: $\text{“}A\text{ only”}=\text{in }A\ \text{and not in }B$   $=A\cap B'$สร้างพื้นที่จาก และ + ไม่: $\text{“}A\text{ only”}=\text{in }A\ \text{and not in }B$   $=A\cap B'$

4. Exam form: counting the regionsฟอร์มข้อสอบ: นับรายส่วน

Numbers in regions + notation = the standard exam question.ตัวเลขรายส่วน + สัญลักษณ์ = โจทย์ข้อสอบมาตรฐาน

$n(\xi)=30$, $n(A)=18$, $n(B)=15$, $n(A\cap B)=8$$n(\xi)=30$, $n(A)=18$, $n(B)=15$, $n(A\cap B)=8$

  1. $n(A\cap B)=8$Always fill the middle first. Every other region is measured from it.เติมตรงกลางก่อนเสมอ · ช่องอื่นวัดจากตรงนี้ทั้งหมด
  2. $n(A\ \text{only})=18-8=10$The $18$ already includes the middle, so take the middle out.เลข $18$ รวมตรงกลางไว้แล้ว ก็หักตรงกลางออก
  3. $n(B\ \text{only})=15-8=7$Same move on the other circle.ท่าเดิมกับวงอีกวง
  4. $n(A\cup B)=10+8+7=25$Everything inside the two circles.ทุกอย่างที่อยู่ในวงกลมสองวง
  5. $n\big((A\cup B)'\big)=30-25=5$The outside. Check the four regions add to $30$ ✓ส่วนนอกวง · ตรวจว่าสี่ช่องบวกกันได้ $30$ ✓
  1. Exam: In a class of $28$: $n(A)=15$ study Art, $n(B)=12$ study Biology, and $n(A\cap B)=6$. How many study neither? (3 marks)ข้อสอบ: ห้อง $28$ คน: เรียนศิลปะ $n(A)=15$, ชีววิทยา $n(B)=12$, ทั้งคู่ $n(A\cap B)=6$ · ไม่เรียนสักอย่างกี่คน? (3 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $n(A\cup B)=15+12-6=21$;  $28-21=7$Two routes, same subtraction: $n(A\cup B)=15+12-6=21$   $\text{regions}:\ 9+6+6=21$   $\text{neither}=28-21=7$สองวิธี ลบเหมือนกัน: $n(A\cup B)=15+12-6=21$   $\text{regions}:\ 9+6+6=21$   $\text{neither}=28-21=7$
  2. Same class. Write down $n(A\cap B')$ — Art but not Biology.ห้องเดิม · หา $n(A\cap B')$ — ศิลปะแต่ไม่ชีวะ
    Answer:เฉลย: $15-6=9$Once the four regions are filled, every notation question is a one-second read-off — fill first, answer second.พอเติมครบสี่ส่วน คำถามสัญลักษณ์ทุกแบบใช้เวลาอ่านวินาทีเดียว — เติมก่อน ตอบทีหลัง
  3. Exam: $\xi$ is a group of $50$ students. $A$ = studies Art, $B$ = studies Biology. On the Venn diagram: $2x$ are in Art only, $x$ are in both, $x+6$ are in Biology only, and $8$ are in neither.  (5 marks)ข้อสอบ: $\xi$ คือนักเรียน $50$ คน · $A$ = เรียน Art, $B$ = เรียน Biology · ในแผนภาพเวนน์: Art อย่างเดียว $2x$ คน, เรียนทั้งสองวิชา $x$ คน, Biology อย่างเดียว $x+6$ คน, ไม่เรียนสักวิชา $8$ คน  (5 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $4x+14=50\Rightarrow x=9$;  $n(A\cup B')=18+9+8=35$5 marks: $\text{M1}\ \ 2x+x+(x+6)+8=50$   $\text{M2}\ \ 4x+14=50$   $\text{M3}\ \ x=9\ \Rightarrow\ 18,\ 9,\ 15,\ 8$   $\text{M4}\ \ A\cup B'=18+9+8$   $\text{A1}\ \ n(A\cup B')=35$ $A\cup B'$ is everything except Biology only.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ 2x+x+(x+6)+8=50$   $\text{M2}\ \ 4x+14=50$   $\text{M3}\ \ x=9\ \Rightarrow\ 18,\ 9,\ 15,\ 8$   $\text{M4}\ \ A\cup B'=18+9+8$   $\text{A1}\ \ n(A\cup B')=35$ $A\cup B'$ คือทุกส่วน ยกเว้นชีวะอย่างเดียว
  4. In a group of $35$ students, $21$ play football, $16$ play tennis and $5$ play neither. How many play football but not tennis?นักเรียน $35$ คน · เล่นฟุตบอล $21$ คน · เล่นเทนนิส $16$ คน · ไม่เล่นสักอย่าง $5$ คน · เล่นฟุตบอลแต่ไม่เล่นเทนนิสกี่คน
    Answer:เฉลย: $n(F\cup T)=35-5=30$,  $21+16-n(F\cap T)=30\Rightarrow n(F\cap T)=7$,  $21-7=14$'Not tennis' needs the overlap first: $n(F\cup T)=35-5=30$   $21+16-n(F\cap T)=30$   $n(F\cap T)=7$   $n(F\cap T')=21-7=14$ 'Neither' is outside both; 'football not tennis' is one region inside $F$.'ไม่เล่นเทนนิส' ต้องหาส่วนซ้อนก่อน: $n(F\cup T)=35-5=30$   $21+16-n(F\cap T)=30$   $n(F\cap T)=7$   $n(F\cap T')=21-7=14$ 'ไม่เล่นทั้งสอง' อยู่นอกวง · 'บอลแต่ไม่เทนนิส' อยู่ในวง $F$

5. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. $P=\{1,3,5,7\}$, $Q=\{5,7,9\}$. List $P\cap Q$ and $P\cup Q$.Matching and merging with fresh lists.จับคู่และรวม ด้วยลิสต์ชุดใหม่
  2. $\xi=\{1,\ldots,12\}$, $M=\{$multiples of $3\}$, $F=\{$factors of $12\}$. List $M\cap F$.The sets must be built before they can be intersected — two skills stacked.ต้องสร้างเซตก่อนถึงจะจับซ้อนได้ — สองสกิลวางซ้อนกัน
  3. Describe the region $A'\cap B'$ in words, and say which single region of the Venn it is.Reading notation into words — and meeting De Morgan without the name.แปลสัญลักษณ์เป็นคำพูด — แถมได้เจอกฎเดอมอร์แกนแบบไม่ต้องรู้จักชื่อ
  4. From the class question ($9,6,6,7$ regions, $28$ total): a student is picked at random. Find $P(\text{neither})$.Sets feed straight into probability — same regions, one extra division.เซตป้อนตรงเข้าความน่าจะเป็น — ส่วนเดิมเป๊ะ เพิ่มการหารครั้งเดียว
  5. $n(\xi)=30$, $n(A)=17$, $n(B)=14$, and $n(\text{neither})=5$. Find $n(A\cap B)$.Given the outside, recover the middle — the formula run backwards.รู้ข้างนอก ย้อนหาตรงกลาง — สูตรเดินถอยหลัง
  6. Shade $A\cup B'$ on a Venn diagram and describe it. (2 marks)The trickiest standard shading: build it as 'A, or anything not in B'.โจทย์แรเงามาตรฐานที่หลอกสุด: ประกอบว่า 'A หรืออะไรก็ได้ที่ไม่อยู่ B'
  7. A student writes $n(A\cup B)=n(A)+n(B)$ 'because union means add'. When is this actually true, and what is the general rule?This names the double-count mistake. It is the same mistake that the Venn diagram removes in probability.ข้อนี้ตั้งชื่อให้จุดผิดแบบนับซ้ำ · เป็นจุดผิดเดียวกับที่ภาพเวนน์กำจัดในบทความน่าจะเป็น

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี