Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Similarityความคล้าย
IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upวอร์มอัพ
A photo $4$ cm wide is enlarged to $12$ cm wide. What is the scale factor?รูปถ่ายกว้าง $4$ cm ขยายเป็น $12$ cm · สเกลแฟกเตอร์เท่าไร? Answer:เฉลย: $12\div4=3$One number carries the whole enlargement. Everything in this lesson is that number, used three ways.เลขตัวเดียวแบกการขยายทั้งหมดไว้ · ทั้งบทนี้คือเลขตัวนี้ ใช้สามแบบ
Same photo: its height was $3$ cm. What is the new height?รูปเดิม: สูง $3$ cm · สูงใหม่เท่าไร? Answer:เฉลย: $3\times3=9$ cmMultiply, never add: $3\times 3=9\ \checkmark$ $3+8=11\ \times$ $\text{the gap changes, the ratio does not}$คูณ ไม่ใช่บวก: $3\times 3=9\ \checkmark$ $3+8=11\ \times$ $\text{the gap changes, the ratio does not}$
2. Same shape, new sizeรูปเดิม ขนาดใหม่
Similar = every length multiplied by the same $k$.คล้าย = ทุกความยาวคูณด้วย $k$ ตัวเดียวกัน
Congruent vs similarเท่ากันทุกประการ vs คล้าย
The triangles are similar. Small base $4$, big base $10$. What is $k$ (small $\to$ big)?สามเหลี่ยมคล้ายกัน · ฐานเล็ก $4$ ฐานใหญ่ $10$ · $k$ (เล็ก $\to$ ใหญ่) คือเท่าไร? Answer:เฉลย: $k=2.5$One division unlocks the figure: $k=\frac{\text{new}}{\text{old}}=\frac{10}{4}=2.5$ $\text{every small length}\ \times 2.5\ \to\ \text{its partner}$หารครั้งเดียว ปลดล็อกทั้งรูป: $k=\frac{\text{new}}{\text{old}}=\frac{10}{4}=2.5$ $\text{every small length}\ \times 2.5\ \to\ \text{its partner}$
Same triangles ($k=2.5$). A small side is $6$. Find its partner on the big triangle.สามเหลี่ยมเดิม ($k=2.5$) · ด้านเล็กยาว $6$ · หาคู่ของมันบนรูปใหญ่ Answer:เฉลย: $6\times2.5=15$Every length on the shape obeys the same $k$ — sides, heights, even the perimeter.ทุกความยาวบนรูปเชื่อฟัง $k$ ตัวเดียวกัน — ด้าน ความสูง กระทั่งเส้นรอบรูป
3. Backwards and acrossย้อนกลับและสลับฝั่ง
Divide to go down; only corresponding sides pair up.ขาลงคือหาร และจับคู่ได้เฉพาะด้านที่ตรงกัน
Two similar triangles: small side $6$ matches big side $9$. The big triangle also has a side of $12$. Find its small partner $x$.สามเหลี่ยมคล้าย: ด้านเล็ก $6$ คู่กับด้านใหญ่ $9$ · รูปใหญ่มีอีกด้านยาว $12$ · หาคู่ฝั่งเล็ก $x$ Answer:เฉลย: $k=9\div6=1.5$, $x=12\div1.5=8$Two moves, every time: $k=9\div 6=1.5$ $x\ \text{on the small shape}\ \Rightarrow\ \div k$ $x=12\div 1.5=8$สองจังหวะเสมอ: $k=9\div 6=1.5$ $x\ \text{on the small shape}\ \Rightarrow\ \div k$ $x=12\div 1.5=8$
Two triangles are similar. What is the minimum you need to find a missing side?สามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน · ต้องรู้อย่างน้อยแค่ไหนถึงหาด้านที่หายได้? Answer:เฉลย:One matched pairคู่ด้านที่ตรงกันหนึ่งคู่$k$ needs one matched pair: $\text{1 pair}\ \to\ k\ \to\ \text{every other side}$ Matching sides sit opposite equal angles, even in a turned or flipped figure.$k$ ต้องการคู่ด้านที่ตรงกันหนึ่งคู่: $\text{1 pair}\ \to\ k\ \to\ \text{every other side}$ ด้านที่คู่กัน อยู่ตรงข้ามมุมที่เท่ากัน แม้รูปจะหมุนหรือพลิก
4. Area: the factor squaresพื้นที่: แฟกเตอร์ยกกำลังสอง
Every length is multiplied by $3$. What happens to the area?ทุกความยาวคูณ $3$ · พื้นที่เป็นยังไง? Answer:เฉลย: $\times k^{2}=\times9$A $1\times1$ square becomes $3\times3$ — nine of the old squares fit inside. That picture is the $k^{2}$ rule.จัตุรัส $1\times1$ กลายเป็น $3\times3$ — จุจัตุรัสเดิมได้เก้าอัน · ภาพนี้แหละคือกฎ $k^{2}$
Similar shapes, $k=3$. The small one's area is $5$ cm$^2$. Find the big one's area.รูปคล้าย $k=3$ · รูปเล็กพื้นที่ $5$ cm$^2$ · หาพื้นที่รูปใหญ่ Answer:เฉลย: $5\times3^{2}=45$ cm$^2$Write the table first: $\text{length}\ \times 3$ $\text{area}\ \times 3^{2}=9$ $\text{volume}\ \times 3^{3}=27$ $5\times 9=45\text{ cm}^2$เขียนตารางก่อนจับเลข: $\text{length}\ \times 3$ $\text{area}\ \times 3^{2}=9$ $\text{volume}\ \times 3^{3}=27$ $5\times 9=45\text{ cm}^2$
5. Volume: the factor cubesปริมาตร: แฟกเตอร์ยกกำลังสาม
Three dimensions $\Rightarrow$ volume $\times k^{3}$.สามมิติ $\Rightarrow$ ปริมาตร $\times k^{3}$
Similar solids, $k=2$. Small volume $10$ cm$^3$. Find the big volume.ทรงคล้าย $k=2$ · ปริมาตรเล็ก $10$ cm$^3$ · หาปริมาตรใหญ่ Answer:เฉลย: $10\times2^{3}=80$ cm$^3$Doubling a box doubles it three ways — $2\times2\times2=8$ little boxes fill the big one.ขยายกล่องสองเท่าคือขยายสามทิศ — กล่องเล็ก $2\times2\times2=8$ ใบเติมกล่องใหญ่พอดี
Two similar solids have volumes in the ratio $1:125$. What is $k$ for their lengths?ทรงคล้ายสองอันปริมาตรเป็นอัตราส่วน $1:125$ · $k$ ของความยาวคือเท่าไร? Answer:เฉลย: $k=\sqrt[3]{125}=5$Going backwards down the table: length$\to$volume cubes, so volume$\to$length cube-roots. The table works in both directions.เดินย้อนตาราง: ยาว$\to$ปริมาตรคือยกกำลังสาม ปริมาตร$\to$ยาวก็ถอดรากที่สาม · ตารางใช้ได้สองทิศ
$k=\frac{15}{10}=1.5$Scale factor $=$ new length $\div$ old length.สเกลแฟกเตอร์ $=$ ความยาวใหม่ $\div$ ความยาวเดิม
$k^{2}=1.5^{2}=2.25$Areas use $k^{2}$.พื้นที่ใช้ $k^{2}$
$k^{3}=1.5^{3}=3.375$Volumes use $k^{3}$. Write all three at the top of your working and you cannot pick the wrong row.ปริมาตรใช้ $k^{3}$ · เขียนทั้งสามบรรทัดไว้หัวกระดาษ แล้วจะไม่หยิบผิดแถว
Exam: Two similar bottles are $10$ cm and $15$ cm tall. The small one holds $400$ ml. How much does the big one hold? (3 marks)ข้อสอบ: ขวดคล้ายกันสูง $10$ cm กับ $15$ cm · ขวดเล็กจุ $400$ ml · ขวดใหญ่จุเท่าไร? (3 คะแนน) Answer:เฉลย: $k=1.5$, $400\times1.5^{3}=400\times3.375=1350$ ml3 marks: $\text{M1}\ \ k=15\div 10=1.5$ $\text{M1}\ \ \text{capacity}\ \Rightarrow\ k^{3}$ $\text{A1}\ \ 400\times 3.375=1350\text{ ml}$ Almost every lost mark here is the wrong row, not the arithmetic.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ k=15\div 10=1.5$ $\text{M1}\ \ \text{capacity}\ \Rightarrow\ k^{3}$ $\text{A1}\ \ 400\times 3.375=1350\text{ ml}$ คะแนนที่หายส่วนใหญ่ มาจากเลือกแถวผิด ไม่ใช่คิดเลขผิด
Same bottles. The small label has area $24$ cm$^2$. Find the big label's area. (2 marks)ขวดเดิม · ฉลากเล็กพื้นที่ $24$ cm$^2$ · หาพื้นที่ฉลากใหญ่ (2 คะแนน) Answer:เฉลย: $24\times1.5^{2}=24\times2.25=54$ cm$^2$One $k$ (from the heights) served both questions — you only ever compute $k$ once per figure, then pick rows.$k$ ตัวเดียว (จากความสูง) ใช้ได้ทั้งสองข้อ — หา $k$ แค่ครั้งเดียวต่อรูป แล้วเลือกแถวเอา
Exam: Two solid cones are mathematically similar. Their volumes are $128$ cm$^3$ and $250$ cm$^3$. The curved surface area of the larger cone is $75$ cm$^2$. Find the curved surface area of the smaller cone, in cm$^2$. (5 marks)ข้อสอบ: กรวยตันสองอันคล้ายกัน · ปริมาตร $128$ cm$^3$ กับ $250$ cm$^3$ · พื้นที่ผิวข้างของกรวยใหญ่ คือ $75$ cm$^2$ หาพื้นที่ผิวข้างของกรวยเล็ก เป็น cm$^2$ (5 คะแนน) Answer:เฉลย: $k^{3}=\dfrac{250}{128}$, so $k=\dfrac{5}{4}$; $75\div\left(\dfrac{5}{4}\right)^{2}=75\times\dfrac{16}{25}=48$ cm$^2$5 marks: $\text{M1}\ \ k^{3}=\frac{250}{128}=\frac{125}{64}$ $\text{M1}\ \ k=\frac{5}{4}$ $\text{M1}\ \ k^{2}=\frac{25}{16}$ $\text{M1}\ \ \text{large}\to\text{small}:\ 75\div\frac{25}{16}$ $\text{A1}\ \ =75\times\frac{16}{25}=48\text{ cm}^2$ Going down in size means divide — the answer must be smaller than $75$.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ k^{3}=\frac{250}{128}=\frac{125}{64}$ $\text{M1}\ \ k=\frac{5}{4}$ $\text{M1}\ \ k^{2}=\frac{25}{16}$ $\text{M1}\ \ \text{large}\to\text{small}:\ 75\div\frac{25}{16}$ $\text{A1}\ \ =75\times\frac{16}{25}=48\text{ cm}^2$ ไปทางเล็กลง = หาร · คำตอบต้องน้อยกว่า $75$
Two boxes are mathematically similar. The smaller box has surface area $20$ cm$^2$ and volume $40$ cm$^3$. The larger box has surface area $45$ cm$^2$. Find the volume of the larger box, in cm$^3$.กล่องสองใบคล้ายกัน · กล่องเล็กมีพื้นที่ผิว $20$ cm$^2$ ปริมาตร $40$ cm$^3$ · กล่องใหญ่มีพื้นที่ผิว $45$ cm$^2$ หาปริมาตรของกล่องใหญ่ เป็น cm$^3$ Answer:เฉลย: $k^{2}=\dfrac{45}{20}=\dfrac{9}{4}$, so $k=\dfrac{3}{2}$; $40\times\left(\dfrac{3}{2}\right)^{3}=40\times\dfrac{27}{8}=135$ cm$^3$Read the units, both ends: $\text{given cm}^2\ \Rightarrow\ \text{that ratio is }k^{2}$ $k^{2}=\frac{45}{20}=\frac{9}{4}\ \Rightarrow\ k=\frac{3}{2}$ $\text{asked cm}^3\ \Rightarrow\ k^{3}=\frac{27}{8}$ $40\times\frac{27}{8}=135\text{ cm}^3$ Only a ratio of lengths is $k$ itself; cm$^2$ or cm$^3$ costs a root first.ดูหน่วยทั้งสองฝั่ง: $\text{given cm}^2\ \Rightarrow\ \text{that ratio is }k^{2}$ $k^{2}=\frac{45}{20}=\frac{9}{4}\ \Rightarrow\ k=\frac{3}{2}$ $\text{asked cm}^3\ \Rightarrow\ k^{3}=\frac{27}{8}$ $40\times\frac{27}{8}=135\text{ cm}^3$ มีแต่อัตราส่วนความยาวที่เป็น $k$ ตรง ๆ · ถ้าเป็น cm$^2$ หรือ cm$^3$ ต้องถอดรากก่อน
7. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
Similar triangles: a side of $7$ with $k=2$ becomes ?The basic multiply-by-$k$ move with fresh numbers.ท่าคูณ $k$ พื้นฐาน เปลี่ยนแค่ตัวเลข
Sides $7.5$ and $12$ correspond. Find $k$ (small $\to$ big).Decimal ratio — the systematic new$\div$old survives ugly numbers.อัตราส่วนทศนิยม — สูตรใหม่$\div$เก่ารอดแม้เลขไม่สวย
A model car is built at scale $1:20$. The real car is $4$ m long. How long is the model, in cm?Map/model scales are similarity wearing different clothes — same $k$ machinery.สเกลแผนที่/โมเดลคือความคล้ายเปลี่ยนชุด — เครื่อง $k$ ตัวเดิม
Two similar rectangles: $k=3$, small one is $2$ cm $\times5$ cm. Find the big one's area two ways.The two routes agreeing is the proof that the $k^{2}$ rule is real, not a trick.สองเส้นทางได้เท่ากันคือหลักฐานว่ากฎ $k^{2}$ ของจริง ไม่ใช่มายากล
Two similar solids have volumes $16$ cm$^3$ and $54$ cm$^3$. Find the ratio of their heights.Volume back to length is the cube root — simplify the ratio first ($16:54=8:27$).จากปริมาตรย้อนไปความยาวคือรากที่สาม — ย่ออัตราส่วนก่อน ($16:54=8:27$)
Two similar jugs are $12$ cm and $18$ cm tall. The large holds $810$ ml. Find the small jug's capacity. (3 marks)The bottle question backwards — dividing by $k^{3}$ going down is the mark most often dropped.โจทย์ขวดแบบย้อนทาง — ขาลงหาร $k^{3}$ คือคะแนนที่หล่นบ่อยสุด
A student enlarges a triangle by 'adding $5$ to every side'. Explain why the new triangle is not similar to the old one.The additive trap, dissected — ratios must match on every pair, and adding breaks them all differently.ชำแหละกับดักบวกเพิ่ม — อัตราส่วนต้องเท่ากันทุกคู่ แต่การบวกทำมันพังไม่เท่ากันสักคู่