Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Surds & Rationalisingกรณฑ์และการทำส่วนให้เป็นจำนวนตรรกยะ

IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upวอร์มอัพ

The square numbers are the ones that come outเลขกำลังสองคือพวกที่ถอดรากออกพอดี

$\sqrt{49}=7$ because $7\times7=49$. If the number is not in that row, the root will not come out.$\sqrt{49}=7$ เพราะ $7\times7=49$ · ถ้าเลขไม่อยู่ในแถวนั้น รากจะถอดไม่ลงตัว

  1. Work out $\sqrt{36}$.หาค่า $\sqrt{36}$
    Answer:เฉลย: $\sqrt{36}=6$A square number comes out: $6\times 6=36$   $\Rightarrow\ \sqrt{36}=6$เลขกำลังสอง ถอดออกมาได้: $6\times 6=36$   $\Rightarrow\ \sqrt{36}=6$
  2. One of these does not give a whole number. Which one?มีหนึ่งข้อที่ไม่ได้จำนวนเต็ม · ข้อไหน?
    Answer:เฉลย: $\sqrt{40}$$40$ sits between two squares: $6\times6=36\qquad 7\times7=49$   $36<40<49$   $\Rightarrow\ 6<\sqrt{40}<7$ Roots that land in a gap like this get a name: surds.$40$ อยู่ระหว่างเลขกำลังสองสองตัว: $6\times6=36\qquad 7\times7=49$   $36<40<49$   $\Rightarrow\ 6<\sqrt{40}<7$ รากที่ตกอยู่ในช่องว่างแบบนี้ มีชื่อเรียกว่า surd

2. What makes it a surdอะไรทำให้มันเป็น surd

A root that never comes out exactly is a surd. Left as a root, it is the exact answer.รากที่ถอดไม่ลงตัวเรียกว่า surd (กรณฑ์) · ถ้าปล่อยไว้เป็นรากคือคำตอบแบบตรงเป๊ะ

$\sqrt{2}$ has no last digit$\sqrt{2}$ ไม่มีหลักสุดท้าย

$\sqrt{n}$ is a surd exactly when $n$ is not a square number.$\sqrt{n}$ เป็น surd ก็ต่อเมื่อ $n$ ไม่ใช่เลขกำลังสอง

  1. Which one of these is a surd?ข้อไหนเป็น surd?
    Answer:เฉลย: $\sqrt{20}$Not a square, so it stays: $\sqrt{16}=4\qquad \sqrt{81}=9\qquad \sqrt{144}=12$   $20\ \text{is not a square}\ \Rightarrow\ \sqrt{20}\ \text{is a surd}$ $20$ still contains the square $4$, and the next step uses that.ไม่ใช่กำลังสอง ก็ต้องอยู่ใต้รากต่อ: $\sqrt{16}=4\qquad \sqrt{81}=9\qquad \sqrt{144}=12$   $20\ \text{is not a square}\ \Rightarrow\ \sqrt{20}\ \text{is a surd}$ $20$ ยังมี $4$ ซ่อนอยู่ · ช่วงถัดไปจะใช้ตรงนี้
  2. A triangle side works out to $\sqrt{13}$ cm. The question says "give your answer in exact form". What do you write?ด้านของสามเหลี่ยมคำนวณได้ $\sqrt{13}$ ซม. · โจทย์สั่งว่า "ตอบในรูปตรงเป๊ะ" · น้องเขียนอะไร?
    Answer:เฉลย: $\sqrt{13}\text{ cm}$“Exact” means keep the root: $\sqrt{13}=3.605551\ldots\ \text{(never ends)}$   $\text{exact form}\ \Rightarrow\ \sqrt{13}\ \text{cm}$ A decimal is only wanted when the question says “to 3 significant figures”.“exact” แปลว่า เก็บรากไว้: $\sqrt{13}=3.605551\ldots\ \text{(never ends)}$   $\text{exact form}\ \Rightarrow\ \sqrt{13}\ \text{cm}$ จะตอบเป็นทศนิยม ก็ต่อเมื่อโจทย์บอก “ทศนิยม 3 ตำแหน่ง”
  3. How many of these five are surds?
    $\sqrt{9}$,  $\sqrt{10}$,  $\sqrt{11}$,  $\sqrt{12}$,  $\sqrt{25}$    ห้าตัวนี้เป็น surd กี่ตัว?
    $\sqrt{9}$,  $\sqrt{10}$,  $\sqrt{11}$,  $\sqrt{12}$,  $\sqrt{25}$
    Answer:เฉลย: $3$  —  $\sqrt{10}$, $\sqrt{11}$, $\sqrt{12}$Square factor is not square: $\sqrt{9}=3\qquad \sqrt{25}=5$   $\sqrt{10},\ \sqrt{11},\ \sqrt{12}\ \text{stay}\ \Rightarrow\ 3$   $12=4\times3\ \text{, but}\ 12\ \text{is not a square}$มีตัวประกอบกำลังสอง ไม่ใช่เป็นกำลังสอง: $\sqrt{9}=3\qquad \sqrt{25}=5$   $\sqrt{10},\ \sqrt{11},\ \sqrt{12}\ \text{stay}\ \Rightarrow\ 3$   $12=4\times3\ \text{, but}\ 12\ \text{is not a square}$

3. Pull the square outดึงกำลังสองออกมา

$\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}$ — split off the largest square factor and take its root outside.$\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}$ — แยกตัวประกอบกำลังสองที่ใหญ่ที่สุดออก แล้วถอดรากมันออกมาไว้ข้างนอก

A root of a product splitsรากของผลคูณแยกออกจากกันได้

$5\sqrt{2}$ means $5\times\sqrt{2}$. It is the simplest form of $\sqrt{50}$ — same value, smaller number under the root.$5\sqrt{2}$ หมายถึง $5\times\sqrt{2}$ · เป็นรูปอย่างง่ายที่สุดของ $\sqrt{50}$ — ค่าเท่าเดิม แต่เลขใต้รากเล็กลง

  1. To simplify $\sqrt{50}$ you need a factor of $50$ that is a square number. Which one is it?จะทำให้ $\sqrt{50}$ ง่ายลง ต้องหาตัวประกอบของ $50$ ที่เป็นเลขกำลังสอง · ตัวไหน?
    Answer:เฉลย: $25$,  because $50=25\times2$Find a square that divides: $50=25\times2$   $25\ \text{is a square}\ \Rightarrow\ \sqrt{25}=5\ \text{comes out}$   $5,\ 10,\ 2\ \text{are not squares}$หาตัวประกอบที่เป็นกำลังสอง: $50=25\times2$   $25\ \text{is a square}\ \Rightarrow\ \sqrt{25}=5\ \text{comes out}$   $5,\ 10,\ 2\ \text{are not squares}$
  2. Now finish it: simplify $\sqrt{50}$.ทำต่อให้จบ: ทำ $\sqrt{50}$ ให้ง่ายที่สุด
    Answer:เฉลย: $\sqrt{50}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}$Outside is the root of it: $\sqrt{50}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}$   $\text{check}:\ (5\sqrt2)^{2}=25\times2=50\ \checkmark$ตัวที่ออกมาข้างนอก คือรากของมัน: $\sqrt{50}=\sqrt{25}\times\sqrt{2}=5\sqrt{2}$   $\text{check}:\ (5\sqrt2)^{2}=25\times2=50\ \checkmark$
  3. Simplify $\sqrt{72}$ fully.ทำ $\sqrt{72}$ ให้ง่ายที่สุด
    Answer:เฉลย: $\sqrt{72}=\sqrt{36}\times\sqrt{2}=6\sqrt{2}$Largest square finishes in one move: $72=36\times2\ \Rightarrow\ \sqrt{72}=6\sqrt2$   $72=4\times18\ \Rightarrow\ 2\sqrt{18}=2\times3\sqrt2=6\sqrt2$ $2\sqrt{18}$ is right in value but not simplest form, so it drops the mark.ใช้กำลังสองตัวใหญ่สุด จบในครั้งเดียว: $72=36\times2\ \Rightarrow\ \sqrt{72}=6\sqrt2$   $72=4\times18\ \Rightarrow\ 2\sqrt{18}=2\times3\sqrt2=6\sqrt2$ $2\sqrt{18}$ ค่าถูก แต่ยังไม่ใช่รูปอย่างง่าย · เสียคะแนน
  4. Simplify $\sqrt{200}$ fully.ทำ $\sqrt{200}$ ให้ง่ายที่สุด
    Answer:เฉลย: $\sqrt{200}=\sqrt{100}\times\sqrt{2}=10\sqrt{2}$Ends in $00$: try $100$: $200=100\times2$   $\sqrt{200}=\sqrt{100}\times\sqrt2=10\sqrt2$ลงท้าย $00$ · ลอง $100$ ก่อน: $200=100\times2$   $\sqrt{200}=\sqrt{100}\times\sqrt2=10\sqrt2$

4. Adding like surdsบวกลบ surd ที่เหมือนกัน

$\sqrt{5}$ behaves like a letter: $3\sqrt5+4\sqrt5=7\sqrt5$, but $\sqrt5+\sqrt3$ will not join.$\sqrt{5}$ ทำตัวเหมือนตัวอักษร: $3\sqrt5+4\sqrt5=7\sqrt5$ แต่ $\sqrt5+\sqrt3$ รวมกันไม่ได้

Treat $\sqrt{5}$ exactly like $x$มอง $\sqrt{5}$ เป็น $x$ ไปเลย

Only surds with the identical number under the root can be added or subtracted.บวกลบกันได้เฉพาะ surd ที่เลขใต้รากเหมือนกันเป๊ะ

  1. Simplify $3\sqrt{5}+4\sqrt{5}$.ทำให้ง่ายที่สุด $3\sqrt{5}+4\sqrt{5}$
    Answer:เฉลย: $7\sqrt{5}$Count the tiles, not the insides: $3\sqrt5+4\sqrt5=(3+4)\sqrt5=7\sqrt5$   $7\sqrt{10}\ \times\ \text{came from}\ 5+5$นับจำนวนตัว ไม่ใช่บวกเลขใต้ราก: $3\sqrt5+4\sqrt5=(3+4)\sqrt5=7\sqrt5$   $7\sqrt{10}\ \times\ \text{came from}\ 5+5$
  2. Which of these can not be written as a single term?ข้อไหนเขียนเป็นพจน์เดียวไม่ได้?
    Answer:เฉลย: $4\sqrt{2}+3\sqrt{5}$  —  the roots differDifferent roots never merge: $4\sqrt2+3\sqrt5\ \text{stays}\qquad \text{like}\ 3x+4y$   $2\sqrt3+5\sqrt3=7\sqrt3$   $6\sqrt5-\sqrt5=5\sqrt5\qquad \sqrt7+\sqrt7=2\sqrt7$ $4\sqrt2+3\sqrt5$ is a finished answer, not an unfinished one.รากต่างกัน รวมกันไม่ได้: $4\sqrt2+3\sqrt5\ \text{stays}\qquad \text{like}\ 3x+4y$   $2\sqrt3+5\sqrt3=7\sqrt3$   $6\sqrt5-\sqrt5=5\sqrt5\qquad \sqrt7+\sqrt7=2\sqrt7$ $4\sqrt2+3\sqrt5$ คือคำตอบที่จบแล้ว ไม่ใช่ทำค้างไว้
  3. Simplify $\sqrt{8}+\sqrt{18}$.ทำให้ง่ายที่สุด $\sqrt{8}+\sqrt{18}$
    Answer:เฉลย: $\sqrt8+\sqrt{18}=2\sqrt2+3\sqrt2=5\sqrt2$Simplify first, then decide: $\sqrt8=2\sqrt2\qquad \sqrt{18}=3\sqrt2$   $2\sqrt2+3\sqrt2=5\sqrt2$ Two surds can be secretly alike, so never rule them out before simplifying.ทำอย่างง่ายก่อน ค่อยตัดสิน: $\sqrt8=2\sqrt2\qquad \sqrt{18}=3\sqrt2$   $2\sqrt2+3\sqrt2=5\sqrt2$ สอง surd อาจเป็นพวกเดียวกันแบบซ่อนอยู่ · อย่าเพิ่งฟันธงก่อนทำอย่างง่าย
  4. Simplify $5\sqrt{12}-\sqrt{3}$.ทำให้ง่ายที่สุด $5\sqrt{12}-\sqrt{3}$
    Answer:เฉลย: $5\sqrt{12}-\sqrt3=10\sqrt3-\sqrt3=9\sqrt3$The outside number multiplies: $\sqrt{12}=2\sqrt3$   $5\sqrt{12}=5\times2\sqrt3=10\sqrt3$   $10\sqrt3-1\sqrt3=9\sqrt3$ Dropping that outside $5$ is the most common slip here.เลขข้างนอกต้องคูณเข้าไปด้วย: $\sqrt{12}=2\sqrt3$   $5\sqrt{12}=5\times2\sqrt3=10\sqrt3$   $10\sqrt3-1\sqrt3=9\sqrt3$ ลืมคูณ $5$ ข้างนอก คือพลาดที่เจอบ่อยสุด

5. Multiplying and expandingคูณ surd และกระจายวงเล็บ

$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$, and $\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a$ — the root cancels itself.$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ และ $\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a$ — รากคูณตัวเองแล้วหายไป

Roots multiply straight throughรากคูณกันตรงๆ ได้เลย

$\sqrt7\times\sqrt7=7$. Squaring a surd removes it — the tool that clears roots off a denominator later.$\sqrt7\times\sqrt7=7$ · ยกกำลังสองแล้ว surd หายไป · เครื่องมือที่ใช้ล้างรากออกจากตัวส่วนทีหลัง

  1. Work out $\sqrt{3}\times\sqrt{12}$. The answer is a whole number.หาค่า $\sqrt{3}\times\sqrt{12}$ · คำตอบเป็นจำนวนเต็ม
    Answer:เฉลย: $\sqrt3\times\sqrt{12}=\sqrt{36}=6$Join first, then look: $\sqrt3\times\sqrt{12}=\sqrt{36}=6$   $\text{or}\ \sqrt{12}=2\sqrt3\ \Rightarrow\ \sqrt3\times2\sqrt3=2\times3=6$รวมเข้าด้วยกันก่อน ค่อยดู: $\sqrt3\times\sqrt{12}=\sqrt{36}=6$   $\text{or}\ \sqrt{12}=2\sqrt3\ \Rightarrow\ \sqrt3\times2\sqrt3=2\times3=6$
  2. Work out $2\sqrt{3}\times5\sqrt{2}$.หาค่า $2\sqrt{3}\times5\sqrt{2}$
    Answer:เฉลย: $2\sqrt3\times5\sqrt2=10\sqrt6$Two piles: numbers and roots: $(2\times5)\times(\sqrt3\times\sqrt2)=10\sqrt6$   $6=2\times3\ \Rightarrow\ \text{no square factor}$ Always check the final root for a hidden square.แยกสองกอง เลขกับราก: $(2\times5)\times(\sqrt3\times\sqrt2)=10\sqrt6$   $6=2\times3\ \Rightarrow\ \text{no square factor}$ เช็ครากตัวสุดท้ายเสมอ ว่ามีกำลังสองซ่อนอยู่ไหม
  3. Expand and simplify $\sqrt{2}\left(3+\sqrt{2}\right)$.กระจายวงเล็บและทำให้ง่ายที่สุด $\sqrt{2}\left(3+\sqrt{2}\right)$
    Answer:เฉลย: $3\sqrt2+2$$\sqrt2\times\sqrt2$ collapses to $2$: $\sqrt2\times3=3\sqrt2$   $\sqrt2\times\sqrt2=2$   $\Rightarrow\ 3\sqrt2+2$ A surd term plus a whole number cannot be shortened any further.$\sqrt2\times\sqrt2$ ยุบเหลือ $2$: $\sqrt2\times3=3\sqrt2$   $\sqrt2\times\sqrt2=2$   $\Rightarrow\ 3\sqrt2+2$ พจน์ surd บวกจำนวนเต็ม · ย่อต่อไม่ได้แล้ว
  4. Expand and simplify $\left(2+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)$.กระจายและทำให้ง่ายที่สุด $\left(2+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)$
    Answer:เฉลย: $2+2\sqrt3+\sqrt3+3=5+3\sqrt3$Four products, two of each kind: $2\times1=2\qquad 2\times\sqrt3=2\sqrt3$   $\sqrt3\times1=\sqrt3\qquad \sqrt3\times\sqrt3=3$   $2+3+2\sqrt3+\sqrt3=5+3\sqrt3$ Flip one sign and the middle pair cancels instead — that is rationalising.สี่ผลคูณ · เป็นเลขสองตัว เป็นรากสองตัว: $2\times1=2\qquad 2\times\sqrt3=2\sqrt3$   $\sqrt3\times1=\sqrt3\qquad \sqrt3\times\sqrt3=3$   $2+3+2\sqrt3+\sqrt3=5+3\sqrt3$ สลับเครื่องหมายอันเดียว พจน์กลางจะหักล้างกัน · นั่นแหละคือ rationalising

6. No root on the bottomห้ามมีรากอยู่ข้างล่าง

Multiply top and bottom by the same root. The bottom becomes a whole number and the value never changes.คูณทั้งเศษและส่วนด้วยรากตัวเดียวกัน · ส่วนกลายเป็นจำนวนเต็ม และค่าไม่เปลี่ยน

A final answer never keeps a root underneathคำตอบสุดท้ายไม่เก็บรากไว้ข้างล่าง

"Rationalise the denominator" = make the bottom a rational (non-surd) number."ทำส่วนให้เป็นจำนวนตรรกยะ" = ทำให้ตัวส่วนเป็นจำนวนตรรกยะ ไม่มีราก

One multiplication clears the rootคูณครั้งเดียว รากหายจากข้างล่าง

  1. $\dfrac{6}{\sqrt{3}}$The problem: a root sits on the bottom.ปัญหา: มีรากอยู่ข้างล่าง
  2. $=\dfrac{6}{\sqrt{3}}\times\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$Multiply by $\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}$. Top and bottom get the same factor, so this is multiplying by $1$ — the value is safe.คูณด้วย $\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}$ · ทั้งบนและล่างได้ตัวคูณเดียวกัน ก็คือคูณด้วย $1$ — ค่าไม่เปลี่ยน
  3. $=\dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}$Tops multiply together, bottoms multiply together. Nothing has been simplified yet.เศษคูณเศษ ส่วนคูณส่วน · ยังไม่ได้ย่ออะไรเลย
  4. $=\dfrac{6\sqrt{3}}{3}$$\sqrt3\times\sqrt3=3$. This is the whole point: the bottom is now a plain number.$\sqrt3\times\sqrt3=3$ · นี่คือใจความทั้งหมด: ข้างล่างกลายเป็นเลขธรรมดาแล้ว
  5. $=2\sqrt{3}$Last step, always: can the fraction cancel? $6\div3=2$. Answers are marked in simplest form.ขั้นสุดท้าย ทำทุกครั้ง: ตัดทอนได้ไหม? $6\div3=2$ · คำตอบต้องอยู่ในรูปอย่างง่ายที่สุด
  1. To rationalise $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$, what do you multiply the top and bottom by?จะทำส่วนของ $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ ให้เป็นจำนวนตรรกยะ ต้องคูณทั้งเศษและส่วนด้วยอะไร?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{\sqrt5}{\sqrt5}$  —  that is, $\sqrt5$ top and bottomMultiply by $1$ in disguise: $\frac{\sqrt5}{\sqrt5}=1$   $\sqrt5\times\sqrt5=5\ \Rightarrow\ \text{bottom is whole}$ Any other factor changes the number, not just how it looks.คูณด้วย $1$ ที่ปลอมตัวมา: $\frac{\sqrt5}{\sqrt5}=1$   $\sqrt5\times\sqrt5=5\ \Rightarrow\ \text{bottom is whole}$ ถ้าคูณตัวอื่น ค่าจะเปลี่ยน ไม่ใช่แค่หน้าตา
  2. Now do it: write $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ with a whole number on the bottom.ทำเลย: เขียน $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ ให้ข้างล่างเป็นจำนวนเต็ม
    Answer:เฉลย: $\dfrac{1}{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{5}$The root changes floor: $\frac{1}{\sqrt5}\times\frac{\sqrt5}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}$ $\sqrt5$ and $5$ share no factor to divide out, so this is finished.รากย้ายชั้น จากล่างขึ้นบน: $\frac{1}{\sqrt5}\times\frac{\sqrt5}{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}$ $\sqrt5$ กับ $5$ ไม่มีตัวหารร่วม · จบแค่นี้
  3. Rationalise the denominator of $\dfrac{10}{\sqrt{2}}$. Give your answer in simplest form.ทำส่วนของ $\dfrac{10}{\sqrt{2}}$ ให้เป็นจำนวนตรรกยะ · ตอบในรูปอย่างง่ายที่สุด
    Answer:เฉลย: $\dfrac{10}{\sqrt2}=\dfrac{10\sqrt2}{2}=5\sqrt2$Cancel at the end: $\frac{10}{\sqrt2}\times\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{10\sqrt2}{2}$   $=5\sqrt2$ “Simplest form” makes that last cancel the difference between three marks and one.ตอนจบต้องตัดทอนด้วย: $\frac{10}{\sqrt2}\times\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{10\sqrt2}{2}$   $=5\sqrt2$ “รูปอย่างง่าย” ทำให้การตัดทอนบรรทัดสุดท้าย ต่างกันระหว่าง 3 คะแนนกับ 1
  4. Rationalise the denominator of $\dfrac{12}{\sqrt{8}}$. Give your answer in simplest form.ทำส่วนของ $\dfrac{12}{\sqrt{8}}$ ให้เป็นจำนวนตรรกยะ · ตอบในรูปอย่างง่ายที่สุด
    Answer:เฉลย: $\dfrac{12}{\sqrt8}=\dfrac{12}{2\sqrt2}=\dfrac{6}{\sqrt2}=\dfrac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2$Simplify the bottom first: $\sqrt8=2\sqrt2\ \Rightarrow\ \frac{12}{2\sqrt2}=\frac{6}{\sqrt2}$   $\frac{6}{\sqrt2}\times\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2$   $\text{other order}:\ \frac{12\sqrt8}{8}\ \text{(bigger numbers)}$ทำตัวส่วนให้ง่ายก่อน: $\sqrt8=2\sqrt2\ \Rightarrow\ \frac{12}{2\sqrt2}=\frac{6}{\sqrt2}$   $\frac{6}{\sqrt2}\times\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2$   $\text{other order}:\ \frac{12\sqrt8}{8}\ \text{(bigger numbers)}$

7. Two terms on the bottomข้างล่างมีสองพจน์

For $a+\sqrt b$, multiply by $a-\sqrt b$ — the conjugate. The middle terms cancel and the root dies.ถ้าข้างล่างเป็น $a+\sqrt b$ ให้คูณด้วย $a-\sqrt b$ — เรียกว่า คอนจูเกต · พจน์กลางหักล้างกัน รากตายไป

$\dfrac{4}{3+\sqrt5}$: multiplying by $\sqrt5$ does not help$\dfrac{4}{3+\sqrt5}$ · คูณด้วย $\sqrt5$ ไม่ช่วยอะไร

$\left(a+\sqrt b\right)\left(a-\sqrt b\right)=a^{2}-b$ — no root left, and no expanding needed once you trust it.$\left(a+\sqrt b\right)\left(a-\sqrt b\right)=a^{2}-b$ — ไม่เหลือราก และพอเชื่อสูตรแล้วก็ไม่ต้องกระจายเลย

  1. Work out $\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)$.หาค่า $\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)$
    Answer:เฉลย: $9-5=4$Middle pair is equal and opposite: $9-3\sqrt5+3\sqrt5-5$   $-3\sqrt5+3\sqrt5=0$   $=9-5=4$ Difference of two squares, with $(\sqrt5)^{2}=5$.พจน์กลางเท่ากัน แต่เครื่องหมายตรงข้าม: $9-3\sqrt5+3\sqrt5-5$   $-3\sqrt5+3\sqrt5=0$   $=9-5=4$ ผลต่างกำลังสอง โดย $(\sqrt5)^{2}=5$
  2. To rationalise $\dfrac{4}{3+\sqrt{5}}$, what do you multiply the top and bottom by?จะทำส่วนของ $\dfrac{4}{3+\sqrt{5}}$ ให้เป็นจำนวนตรรกยะ ต้องคูณเศษและส่วนด้วยอะไร?
    Answer:เฉลย: $3-\sqrt5$,  the conjugateOnly the conjugate cancels: $(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)=9-5=4\ \checkmark$   $(3+\sqrt5)(3+\sqrt5)=14+6\sqrt5\ \times$มีแต่คอนจูเกตที่หักล้างได้: $(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)=9-5=4\ \checkmark$   $(3+\sqrt5)(3+\sqrt5)=14+6\sqrt5\ \times$
  3. Write $\dfrac{4}{3+\sqrt{5}}$ with a whole number on the bottom, in simplest form.เขียน $\dfrac{4}{3+\sqrt{5}}$ ให้ข้างล่างเป็นจำนวนเต็ม ในรูปอย่างง่ายที่สุด
    Answer:เฉลย: $\dfrac{4\left(3-\sqrt5\right)}{4}=3-\sqrt5$Keep the top as a bracket: $\frac{4}{3+\sqrt5}\times\frac{3-\sqrt5}{3-\sqrt5}=\frac{4(3-\sqrt5)}{4}$   $=3-\sqrt5$   $\text{expanded}:\ \frac{12-4\sqrt5}{4}=3-\sqrt5$ A common factor must leave every term, not just the first.เก็บตัวเศษไว้เป็นวงเล็บ: $\frac{4}{3+\sqrt5}\times\frac{3-\sqrt5}{3-\sqrt5}=\frac{4(3-\sqrt5)}{4}$   $=3-\sqrt5$   $\text{expanded}:\ \frac{12-4\sqrt5}{4}=3-\sqrt5$ ตัวประกอบร่วมต้องหารทุกพจน์ ไม่ใช่แค่พจน์แรก
  4. Rationalise the denominator of $\dfrac{6}{\sqrt{7}-2}$. Give your answer in simplest form.ทำส่วนของ $\dfrac{6}{\sqrt{7}-2}$ ให้เป็นจำนวนตรรกยะ · ตอบในรูปอย่างง่ายที่สุด
    Answer:เฉลย: $\dfrac{6\left(\sqrt7+2\right)}{7-4}=\dfrac{6\left(\sqrt7+2\right)}{3}=2\sqrt7+4$Works with the root first too: $(\sqrt7-2)(\sqrt7+2)=7-4=3$   $\frac{6(\sqrt7+2)}{3}=2(\sqrt7+2)=2\sqrt7+4$ Answers here land in the shape $p+q\sqrt r$.รากขึ้นก่อนก็ใช้ได้เหมือนกัน: $(\sqrt7-2)(\sqrt7+2)=7-4=3$   $\frac{6(\sqrt7+2)}{3}=2(\sqrt7+2)=2\sqrt7+4$ คำตอบช่วงนี้จะออกมาในรูป $p+q\sqrt r$

8. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Three marks, three visible lines. The last mark is nearly always the tidying.สามคะแนน สามบรรทัดที่ต้องเห็น · คะแนนสุดท้ายมักอยู่ที่การจัดรูปให้เรียบร้อย

Write the multiplying line downเขียนบรรทัดที่คูณออกมาให้เห็น

Check every final answer twice: is the root simplified, and does the fraction cancel?ตรวจคำตอบสุดท้ายสองรอบเสมอ: รากย่อสุดแล้วยัง และเศษส่วนตัดทอนได้อีกไหม

  1. Exam: Simplify $\sqrt{18}+\sqrt{50}$, giving your answer in the form $a\sqrt{2}$ where $a$ is an integer.  (3 marks)ข้อสอบ: ทำ $\sqrt{18}+\sqrt{50}$ ให้ง่ายที่สุด ตอบในรูป $a\sqrt{2}$ เมื่อ $a$ เป็นจำนวนเต็ม  (3 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $3\sqrt2+5\sqrt2=8\sqrt2$3 marks: $\text{B1}\quad \sqrt{18}=3\sqrt2$   $\text{B1}\quad \sqrt{50}=5\sqrt2$   $\text{B1}\quad 3\sqrt2+5\sqrt2=8\sqrt2$ Each simplification scores on its own, so write both lines down.3 คะแนน: $\text{B1}\quad \sqrt{18}=3\sqrt2$   $\text{B1}\quad \sqrt{50}=5\sqrt2$   $\text{B1}\quad 3\sqrt2+5\sqrt2=8\sqrt2$ แต่ละบรรทัดที่ทำอย่างง่ายมีคะแนนของตัวเอง · เขียนทั้งสองบรรทัด
  2. Exam: Expand and simplify $\left(2+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)$, giving your answer in the form $a+b\sqrt{5}$ where $a$ and $b$ are integers.  (3 marks)ข้อสอบ: กระจายและทำให้ง่ายที่สุด $\left(2+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)$ ตอบในรูป $a+b\sqrt{5}$ เมื่อ $a$ กับ $b$ เป็นจำนวนเต็ม  (3 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $6-2\sqrt5+3\sqrt5-5=1+\sqrt5$3 marks: $\text{M1}\quad 6-2\sqrt5+3\sqrt5-5$   $\text{A1}\quad 6-5=1$   $\text{A1}\quad -2\sqrt5+3\sqrt5=+\sqrt5$ Opposite signs only cancel for conjugates, and $2$ and $3$ differ.3 คะแนน: $\text{M1}\quad 6-2\sqrt5+3\sqrt5-5$   $\text{A1}\quad 6-5=1$   $\text{A1}\quad -2\sqrt5+3\sqrt5=+\sqrt5$ เครื่องหมายตรงข้ามจะหักล้างเฉพาะคอนจูเกต · ที่นี่ $2$ กับ $3$ ไม่เท่ากัน
  3. Exam: Express $\dfrac{8}{3-\sqrt{7}}$ in the form $a+b\sqrt{7}$, where $a$ and $b$ are integers.  (4 marks)ข้อสอบ: เขียน $\dfrac{8}{3-\sqrt{7}}$ ในรูป $a+b\sqrt{7}$ เมื่อ $a$ กับ $b$ เป็นจำนวนเต็ม  (4 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\dfrac{8\left(3+\sqrt7\right)}{9-7}=\dfrac{8\left(3+\sqrt7\right)}{2}=12+4\sqrt7$4 marks: $\text{M1}\quad \times\frac{3+\sqrt7}{3+\sqrt7}$   $\text{M1}\quad 9-7=2$   $\text{A1}\quad \frac{8\times3}{2}=12$   $\text{A1}\quad \frac{8\sqrt7}{2}=4\sqrt7$ A denominator of $2$ is where half-finished answers appear and cost two marks.4 คะแนน: $\text{M1}\quad \times\frac{3+\sqrt7}{3+\sqrt7}$   $\text{M1}\quad 9-7=2$   $\text{A1}\quad \frac{8\times3}{2}=12$   $\text{A1}\quad \frac{8\sqrt7}{2}=4\sqrt7$ ตัวส่วนเป็น $2$ คือจุดที่คนตอบค้าง · เสียสองคะแนน

9. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. Simplify fully: (a) $\sqrt{32}$   (b) $\sqrt{27}$   (c) $2\sqrt{7}+5\sqrt{7}$The two halves of the basic routine side by side: pull the square out, then count like tiles.สองครึ่งของวิธีพื้นฐานวางคู่กัน: ดึงกำลังสองออก แล้วนับชิ้นที่เหมือนกัน
  2. Simplify $\sqrt{147}+\sqrt{75}$, giving your answer in the form $a\sqrt{3}$.Same method, but the square factors ($49$ and $25$) are ones you have to hunt for. The form $a\sqrt3$ tells you in advance that both must reduce to $\sqrt3$.วิธีเดิม แต่ตัวประกอบกำลังสอง ($49$ กับ $25$) ต้องไล่หาเอง · รูป $a\sqrt3$ บอกล่วงหน้าแล้วว่าทั้งคู่ต้องย่อลงมาเหลือ $\sqrt3$
  3. A square has area $45$ cm$^2$. Find the exact length of one side.No surd is mentioned in the question — the word 'exact' is what forbids $6.7$ cm. This is how surds actually appear on a paper: inside geometry.โจทย์ไม่ได้พูดถึง surd เลย — คำว่า 'exact' คือสิ่งที่ห้ามตอบ $6.7$ ซม. · นี่คือหน้าตาจริงของ surd ในข้อสอบ: ซ่อนอยู่ในเรขาคณิต
  4. A rectangle has sides $\left(3+\sqrt2\right)$ cm and $\left(3-\sqrt2\right)$ cm. Find its area.Area needs a double bracket, and the two sides happen to be conjugates — so an irrational-looking rectangle has a whole-number area. Spot the conjugate and you save three lines.หาพื้นที่ต้องคูณวงเล็บสองอัน และบังเอิญสองด้านเป็นคอนจูเกตกัน — สี่เหลี่ยมที่ดูเป็นอตรรกยะกลับมีพื้นที่เป็นจำนวนเต็ม · ถ้ามองออกว่าเป็นคอนจูเกต จะประหยัดได้สามบรรทัด
  5. $\sqrt{k}=6\sqrt{2}$. Find the value of $k$.Simplifying run in reverse: put the outside number back under the root by squaring it. This is also the check you should run on every simplification you do forwards.ทำย้อนกลับจากการย่อ: เอาเลขข้างนอกยกกำลังสองแล้วใส่กลับเข้าไปใต้ราก · อันนี้ก็คือวิธีตรวจงานทุกครั้งที่ย่อไปข้างหน้าด้วย
  6. Express $\dfrac{12}{\sqrt5+1}$ in the form $a+b\sqrt5$, where $a$ and $b$ are integers. (4 marks)The full four-mark routine, with the root written first so the conjugate is $\sqrt5-1$. Note the answer is $-3+3\sqrt5$: $a$ is allowed to be negative, and writing it as $3\sqrt5-3$ is the same thing.วิธีเต็มแบบสี่คะแนน โดยมีรากอยู่หน้า คอนจูเกตจึงเป็น $\sqrt5-1$ · สังเกตว่าคำตอบคือ $-3+3\sqrt5$: $a$ ติดลบได้ และเขียนเป็น $3\sqrt5-3$ ก็อันเดียวกัน

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี