Trig for Any Angleตรีโกณทุกมุม

IGCSE · Edexcel 4MA1 & CAIE 0580 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upวอร์มอัพ

SOHCAHTOA on a right-angled triangleSOHCAHTOA ในสามเหลี่ยมมุมฉาก

Each ratio is a number that depends only on the angle.แต่ละอัตราส่วนเป็นตัวเลข ที่ขึ้นกับมุมอย่างเดียว

1. The triangle has opposite $3$, adjacent $4$, hypotenuse $5$. Find $\sin\theta$.สามเหลี่ยมมีด้านตรงข้าม $3$ · ด้านประชิด $4$ · ด้านตรงข้ามมุมฉาก $5$ · หา $\sin\theta$
   Answer:เฉลย: $\sin\theta=\dfrac35=0.6$Opposite over hypotenuse: $\sin\theta=\dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}$   $=\dfrac35$   $=0.6$ด้านตรงข้าม ส่วน ด้านตรงข้ามมุมฉาก: $\sin\theta=\dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}$   $=\dfrac35$   $=0.6$
2. Same triangle. Which is $\tan\theta$?สามเหลี่ยมเดิม · อันไหนคือ $\tan\theta$?
   Answer:เฉลย: $\tan\theta=\dfrac34$Opposite over adjacent: $\tan\theta=\dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}$   $=\dfrac34$   $=0.75$ Also $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{0.6}{0.8}=0.75$ — true for every angle.ด้านตรงข้าม ส่วน ด้านประชิด: $\tan\theta=\dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}$   $=\dfrac34$   $=0.75$ $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{0.6}{0.8}=0.75$ ด้วย · จริงทุกมุม

2. Half a square: $45^\circ$ครึ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัส: $45^\circ$

Exact values for $45^\circ$ from a square cut along its diagonal.ค่าแม่นตรงของ $45^\circ$ จากสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ตัดตามเส้นทแยงมุม

Cut a $1$ by $1$ square along its diagonalตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านยาว $1$ ตามเส้นทแยงมุม

The hypotenuse is $\sqrt2$. Keep the root — that is what exact means.ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $\sqrt2$ · เก็บรากไว้ · นั่นคือค่าแม่นตรง

1. Find the exact value of $\cos45^\circ$.หาค่าแม่นตรงของ $\cos45^\circ$
   Answer:เฉลย: $\cos45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$Equal legs, same as sin: $\cos45^\circ=\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}$   $=\dfrac{1}{\sqrt2}$   $=\dfrac{\sqrt2}{2}$ $\sin45^\circ=\cos45^\circ$ because the two legs are both $1$.ขาเท่ากัน ค่าเท่ากับไซน์: $\cos45^\circ=\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}$   $=\dfrac{1}{\sqrt2}$   $=\dfrac{\sqrt2}{2}$ $\sin45^\circ=\cos45^\circ$ เพราะขาทั้งสองยาว $1$ เท่ากัน
2. Find the exact value of $\tan45^\circ$.หาค่าแม่นตรงของ $\tan45^\circ$
   Answer:เฉลย: $\tan45^\circ=1$Equal legs, ratio $1$: $\tan45^\circ=\dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}$   $=\dfrac11$   $=1$ขาเท่ากัน อัตราส่วนเป็น $1$: $\tan45^\circ=\dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}$   $=\dfrac11$   $=1$
3. Find the exact value of $\sin45^\circ\times\cos45^\circ$.หาค่าแม่นตรงของ $\sin45^\circ\times\cos45^\circ$
   Answer:เฉลย: $\dfrac{\sqrt2}{2}\times\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac24=\dfrac12$$\sqrt2\times\sqrt2=2$: $\sin45^\circ\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\times\dfrac{\sqrt2}{2}$   $=\dfrac{2}{4}$   $=\dfrac12$$\sqrt2\times\sqrt2=2$: $\sin45^\circ\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\times\dfrac{\sqrt2}{2}$   $=\dfrac{2}{4}$   $=\dfrac12$

3. Half an equilateral: $30^\circ$, $60^\circ$ครึ่งสามเหลี่ยมด้านเท่า: $30^\circ$, $60^\circ$

Halve an equilateral triangle of side $2$: sides $1$, $\sqrt3$, $2$.ผ่าสามเหลี่ยมด้านเท่ายาว $2$ ครึ่งหนึ่ง: ได้ด้าน $1$, $\sqrt3$, $2$

Every angle is $60^\circ$ — then cut it down the middleทุกมุมเป็น $60^\circ$ · แล้วผ่าตรงกลาง

The shortest side, $1$, faces $30^\circ$. The longest, $2$, is the hypotenuse.ด้านสั้นสุด $1$ อยู่ตรงข้ามมุม $30^\circ$ · ด้านยาวสุด $2$ คือด้านตรงข้ามมุมฉาก

1. Find the exact value of $\sin60^\circ$.หาค่าแม่นตรงของ $\sin60^\circ$
   Answer:เฉลย: $\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$Opposite $\sqrt3$ over $2$: $\sin60^\circ=\dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}$   $=\dfrac{\sqrt3}{2}$ตรงข้าม $\sqrt3$ ส่วน $2$: $\sin60^\circ=\dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}$   $=\dfrac{\sqrt3}{2}$
2. Find the exact value of $\cos60^\circ$.หาค่าแม่นตรงของ $\cos60^\circ$
   Answer:เฉลย: $\cos60^\circ=\dfrac12$Half-base over $2$: $\cos60^\circ=\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}$   $=\dfrac12$ $\cos60^\circ=\sin30^\circ$: the side next to $60^\circ$ is the side facing $30^\circ$.ครึ่งฐาน ส่วน $2$: $\cos60^\circ=\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}$   $=\dfrac12$ $\cos60^\circ=\sin30^\circ$ · ด้านที่ติดมุม $60^\circ$ คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม $30^\circ$
3. Find the exact value of $\tan30^\circ$.หาค่าแม่นตรงของ $\tan30^\circ$
   Answer:เฉลย: $\tan30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}$Opposite $1$, adjacent $\sqrt3$: $\tan30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt3}$   $=\dfrac{1\times\sqrt3}{\sqrt3\times\sqrt3}$   $=\dfrac{\sqrt3}{3}$ $\dfrac{1}{\sqrt3}$ and $\dfrac{\sqrt3}{3}$ are the same exact value; papers print either.ตรงข้าม $1$ · ประชิด $\sqrt3$: $\tan30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt3}$   $=\dfrac{1\times\sqrt3}{\sqrt3\times\sqrt3}$   $=\dfrac{\sqrt3}{3}$ $\dfrac{1}{\sqrt3}$ กับ $\dfrac{\sqrt3}{3}$ คือค่าเดียวกัน · ข้อสอบใช้ได้ทั้งสองแบบ

4. The unit circle: any angleวงกลมหนึ่งหน่วย: มุมเท่าไรก็ได้

Make the hypotenuse $1$ and let it turn: the point is $(\cos\theta,\sin\theta)$.ให้ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $1$ แล้วหมุน · จุดปลายคือ $(\cos\theta,\sin\theta)$

A radius of length $1$, turning from the $x$-axisรัศมียาว $1$ หมุนออกจากแกน $x$

For every angle: $\cos\theta$ is the $x$-coordinate and $\sin\theta$ is the $y$-coordinate.ทุกมุม: $\cos\theta$ คือพิกัด $x$ · $\sin\theta$ คือพิกัด $y$

Every exact value you needค่าแม่นตรงทุกค่าที่ต้องรู้

Sine climbs $0\to1$ while cosine falls $1\to0$ — the same five numbers, reversed.ไซน์ขึ้นจาก $0$ ถึง $1$ ขณะที่คอสลงจาก $1$ ถึง $0$ · ตัวเลขห้าตัวเดิม เรียงกลับ

1. The radius turns $180^\circ$. Find $\cos180^\circ$.รัศมีหมุนไป $180^\circ$ · หา $\cos180^\circ$
   Answer:เฉลย: $P=(-1,0)$, so $\cos180^\circ=-1$$P=(-1,0)$ ดังนั้น $\cos180^\circ=-1$Half a turn lands on $(-1,0)$: $P=(-1,\ 0)$   $\cos180^\circ=-1$   $\sin180^\circ=0$ครึ่งรอบ ไปอยู่ที่ $(-1,0)$: $P=(-1,\ 0)$   $\cos180^\circ=-1$   $\sin180^\circ=0$
2. The radius turns $120^\circ$. Which statement is true?รัศมีหมุนไป $120^\circ$ · ข้อไหนถูก?
   Answer:เฉลย: $\cos120^\circ\lt0$, $\sin120^\circ\gt0$Left and up: $(-,+)$: $\cos120^\circ=-0.5$   $\sin120^\circ\approx0.866$ Between $90^\circ$ and $180^\circ$, sine is positive and cosine is negative.ซ้ายและบน: $(-,+)$: $\cos120^\circ=-0.5$   $\sin120^\circ\approx0.866$ ระหว่าง $90^\circ$ ถึง $180^\circ$ ไซน์เป็นบวก คอสติดลบ
3. Use $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ to find $\tan180^\circ$.ใช้ $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ หา $\tan180^\circ$
   Answer:เฉลย: $\tan180^\circ=\dfrac{0}{-1}=0$$0$ on top gives $0$: $\tan180^\circ=\dfrac{\sin180^\circ}{\cos180^\circ}$   $=\dfrac{0}{-1}$   $=0$เศษเป็น $0$ ได้ $0$: $\tan180^\circ=\dfrac{\sin180^\circ}{\cos180^\circ}$   $=\dfrac{0}{-1}$   $=0$

5. Unroll it: the graphsคลี่ออกมา: กราฟ

Plot the height $\sin x$ against the angle $x$, from $0^\circ$ to $360^\circ$.พล็อตความสูง $\sin x$ เทียบกับมุม $x$ จาก $0^\circ$ ถึง $360^\circ$

The point's height, drawn for every angleความสูงของจุด วาดทุกมุม

$y=\sin x$ starts at $0$, peaks at $(90^\circ,1)$, bottoms at $(270^\circ,-1)$, ends at $0$.$y=\sin x$ เริ่มที่ $0$ · สูงสุดที่ $(90^\circ,1)$ · ต่ำสุดที่ $(270^\circ,-1)$ · จบที่ $0$

1. For which value of $x$ between $0^\circ$ and $360^\circ$ is $\sin x$ largest?ค่า $x$ ใดระหว่าง $0^\circ$ ถึง $360^\circ$ ที่ทำให้ $\sin x$ มีค่ามากที่สุด?
   Answer:เฉลย: $x=90^\circ$, where $\sin90^\circ=1$$x=90^\circ$ ซึ่ง $\sin90^\circ=1$Top of the circle: $\sin90^\circ=1$   $-1\le\sin x\le1$จุดบนสุดของวงกลม: $\sin90^\circ=1$   $-1\le\sin x\le1$
2. The graph is $y=\cos x$. Write down the coordinates of its minimum point for $0^\circ\le x\le360^\circ$.นี่คือกราฟ $y=\cos x$ · เขียนพิกัดของจุดต่ำสุด สำหรับ $0^\circ\le x\le360^\circ$
   Answer:เฉลย: $(180^\circ,\ -1)$Furthest left at $180^\circ$: $\cos180^\circ=-1$   $-1\le\cos x\le1$ The cos graph is the sin graph moved $90^\circ$ left.ซ้ายสุดที่ $180^\circ$: $\cos180^\circ=-1$   $-1\le\cos x\le1$ กราฟคอสคือกราฟไซน์ที่เลื่อนไปทางซ้าย $90^\circ$
3. The graph is $y=\tan x$. Why does it break at $x=90^\circ$ and $x=270^\circ$?นี่คือกราฟ $y=\tan x$ · ทำไมกราฟขาดที่ $x=90^\circ$ และ $x=270^\circ$?
   Answer:เฉลย: $\cos90^\circ=\cos270^\circ=0$Cos is $0$ there: $\tan90^\circ=\dfrac{\sin90^\circ}{\cos90^\circ}$   $=\dfrac{1}{0}$ The dashed lines are called asymptotes.ตรงนั้นคอสเป็น $0$: $\tan90^\circ=\dfrac{\sin90^\circ}{\cos90^\circ}$   $=\dfrac{1}{0}$ เส้นประเรียกว่า เส้นกำกับ (asymptote)
4. $\tan45^\circ=1$. Picture the graph of $y=\tan x$: which other angle between $0^\circ$ and $360^\circ$ has $\tan x=1$?$\tan45^\circ=1$ · นึกภาพกราฟ $y=\tan x$: มุมอื่นระหว่าง $0^\circ$ ถึง $360^\circ$ ที่ $\tan x=1$ คือมุมใด?
   Answer:เฉลย: $x=45^\circ+180^\circ=225^\circ$Tan repeats every $180^\circ$: $x=45^\circ+180^\circ$   $=225^\circ$   $\tan225^\circ=1$ Sine and cosine repeat every $360^\circ$; tangent every $180^\circ$.แทนซ้ำทุก $180^\circ$: $x=45^\circ+180^\circ$   $=225^\circ$   $\tan225^\circ=1$ ไซน์กับคอสซ้ำทุก $360^\circ$ · แทนซ้ำทุก $180^\circ$

6. Obtuse angles: the mirrorมุมป้าน: ภาพสะท้อน

$\sin(180^\circ-x)=\sin x$ and $\cos(180^\circ-x)=-\cos x$.$\sin(180^\circ-x)=\sin x$ และ $\cos(180^\circ-x)=-\cos x$

$30^\circ$ and $150^\circ$ are mirror images in the $y$-axis$30^\circ$ กับ $150^\circ$ เป็นภาพสะท้อนกันในแกน $y$

$\sin150^\circ=\sin30^\circ=\dfrac12$ and $\cos150^\circ=-\cos30^\circ=-\dfrac{\sqrt3}{2}$.$\sin150^\circ=\sin30^\circ=\dfrac12$ และ $\cos150^\circ=-\cos30^\circ=-\dfrac{\sqrt3}{2}$

1. Find the exact value of $\sin120^\circ$.หาค่าแม่นตรงของ $\sin120^\circ$
   Answer:เฉลย: $\sin120^\circ=\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$Mirror to $60^\circ$: $\sin120^\circ=\sin(180^\circ-120^\circ)$   $=\sin60^\circ$   $=\dfrac{\sqrt3}{2}$สะท้อนไป $60^\circ$: $\sin120^\circ=\sin(180^\circ-120^\circ)$   $=\sin60^\circ$   $=\dfrac{\sqrt3}{2}$
2. Find the exact value of $\cos135^\circ$.หาค่าแม่นตรงของ $\cos135^\circ$
   Answer:เฉลย: $\cos135^\circ=-\cos45^\circ=-\dfrac{\sqrt2}{2}$Mirror to $45^\circ$, sign flips: $\cos135^\circ=-\cos(180^\circ-135^\circ)$   $=-\cos45^\circ$   $=-\dfrac{\sqrt2}{2}$สะท้อนไป $45^\circ$ เครื่องหมายกลับ: $\cos135^\circ=-\cos(180^\circ-135^\circ)$   $=-\cos45^\circ$   $=-\dfrac{\sqrt2}{2}$
3. $\sin40^\circ=0.643$ (3 s.f.). Find the other angle between $0^\circ$ and $180^\circ$ with the same sine.$\sin40^\circ=0.643$ (3 ตำแหน่งนัยสำคัญ) · หามุมอีกมุมระหว่าง $0^\circ$ ถึง $180^\circ$ ที่มีไซน์เท่ากัน
   Answer:เฉลย: $180^\circ-40^\circ=140^\circ$Mirror: $180^\circ-40^\circ$: $x=180^\circ-40^\circ$   $=140^\circ$   $\sin140^\circ=0.643$สะท้อน: $180^\circ-40^\circ$: $x=180^\circ-40^\circ$   $=140^\circ$   $\sin140^\circ=0.643$
4. Find the exact value of $\tan150^\circ$.หาค่าแม่นตรงของ $\tan150^\circ$
   Answer:เฉลย: $\tan150^\circ=-\tan30^\circ=-\dfrac{\sqrt3}{3}$Mirror to $30^\circ$, sign flips: $\tan150^\circ=-\tan(180^\circ-150^\circ)$   $=-\tan30^\circ$   $=-\dfrac{\sqrt3}{3}$ Check: $\dfrac{\sin150^\circ}{\cos150^\circ}$ is positive over negative.สะท้อนไป $30^\circ$ เครื่องหมายกลับ: $\tan150^\circ=-\tan(180^\circ-150^\circ)$   $=-\tan30^\circ$   $=-\dfrac{\sqrt3}{3}$ เช็ก: $\dfrac{\sin150^\circ}{\cos150^\circ}$ คือ บวกหารลบ

7. Solving: one value, two anglesแก้สมการ: ค่าเดียว สองมุม

The calculator gives one angle. The graph's symmetry gives the second.เครื่องคิดเลขให้มุมเดียว · ความสมมาตรของกราฟให้มุมที่สอง

Solve $\sin x=0.5$ for $0^\circ\le x\le360^\circ$แก้สมการ $\sin x=0.5$ สำหรับ $0^\circ\le x\le360^\circ$

$\sin^{-1}(0.5)=30^\circ$. The second answer is $180^\circ-30^\circ=150^\circ$.$\sin^{-1}(0.5)=30^\circ$ · คำตอบที่สองคือ $180^\circ-30^\circ=150^\circ$

Solve $2\sin x+1=0$ for $0^\circ\le x\le360^\circ$แก้สมการ $2\sin x+1=0$ สำหรับ $0^\circ\le x\le360^\circ$

1. $2\sin x+1=0$The picture: $y=\sin x$ from $0^\circ$ to $360^\circ$. Get $\sin x$ alone: $-1$ under both sides.รูป: $y=\sin x$ จาก $0^\circ$ ถึง $360^\circ$ · ทำให้ $\sin x$ อยู่ตัวเดียว: เขียน $-1$ ใต้ทั้งสองข้าง
2. $2\sin x=-1$Divide both sides by $2$.หาร $2$ ทั้งสองข้าง
3. $\sin x=-0.5$Draw $y=-0.5$. It cuts the curve twice, both between $180^\circ$ and $360^\circ$.ลากเส้น $y=-0.5$ · ตัดกราฟสองจุด ทั้งคู่อยู่ระหว่าง $180^\circ$ ถึง $360^\circ$
4. $\sin^{-1}(-0.5)=-30^\circ$The calculator gives $-30^\circ$: outside the range. Keep the $30^\circ$.เครื่องคิดเลขให้ $-30^\circ$ · อยู่นอกช่วง · เก็บตัวเลข $30^\circ$ ไว้ใช้
5. $x=180^\circ+30^\circ$First crossing: $30^\circ$ past $180^\circ$.จุดตัดแรก: เลย $180^\circ$ ไป $30^\circ$
6. $=210^\circ$Check: $\sin210^\circ=-0.5$ ✓เช็ก: $\sin210^\circ=-0.5$ ✓
7. $x=360^\circ-30^\circ$Second crossing: $30^\circ$ before $360^\circ$.จุดตัดที่สอง: ก่อนถึง $360^\circ$ อยู่ $30^\circ$
8. $=330^\circ$Check: $\sin330^\circ=-0.5$ ✓เช็ก: $\sin330^\circ=-0.5$ ✓
9. $x=210^\circ,\ 330^\circ$Both answers are $60^\circ$ from the lowest point, $270^\circ$.คำตอบทั้งสองห่างจากจุดต่ำสุด $270^\circ$ อยู่ $60^\circ$ เท่ากัน

1. Solve $\sin x=0.8$ for $0^\circ\le x\le360^\circ$. Give your answers to 1 decimal place.แก้สมการ $\sin x=0.8$ สำหรับ $0^\circ\le x\le360^\circ$ · ตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง
   Answer:เฉลย: $x=53.1^\circ,\ 126.9^\circ$Calculator, then $180^\circ-$: $\sin^{-1}(0.8)=53.1^\circ$   $x=180^\circ-53.1^\circ$   $=126.9^\circ$เครื่องคิดเลข แล้ว $180^\circ-$: $\sin^{-1}(0.8)=53.1^\circ$   $x=180^\circ-53.1^\circ$   $=126.9^\circ$
2. Solve $\cos x=-0.5$ for $0^\circ\le x\le360^\circ$.แก้สมการ $\cos x=-0.5$ สำหรับ $0^\circ\le x\le360^\circ$
   Answer:เฉลย: $x=120^\circ,\ 240^\circ$Cos mirrors about $180^\circ$: $\cos^{-1}(-0.5)=120^\circ$   $x=360^\circ-120^\circ$   $=240^\circ$ For cos, the second answer is always $360^\circ$ minus the first.คอสสะท้อนรอบ $180^\circ$: $\cos^{-1}(-0.5)=120^\circ$   $x=360^\circ-120^\circ$   $=240^\circ$ สำหรับคอส คำตอบที่สองคือ $360^\circ$ ลบคำตอบแรกเสมอ
3. Solve $\tan x=1$ for $0^\circ\le x\le360^\circ$.แก้สมการ $\tan x=1$ สำหรับ $0^\circ\le x\le360^\circ$
   Answer:เฉลย: $x=45^\circ,\ 225^\circ$Add $180^\circ$ for tan: $\tan^{-1}(1)=45^\circ$   $x=45^\circ+180^\circ$   $=225^\circ$แทน: บวก $180^\circ$: $\tan^{-1}(1)=45^\circ$   $x=45^\circ+180^\circ$   $=225^\circ$
4. Solve $3\tan x+3=0$ for $0^\circ\le x\le360^\circ$.แก้สมการ $3\tan x+3=0$ สำหรับ $0^\circ\le x\le360^\circ$
   Answer:เฉลย: $\tan x=-1$, so $x=135^\circ,\ 315^\circ$$\tan x=-1$ ดังนั้น $x=135^\circ,\ 315^\circ$Rearrange, then $+180^\circ$: $3\tan x+3=0$   $3\tan x=-3$   $\tan x=-1$   $\tan^{-1}(-1)=-45^\circ$   $x=-45^\circ+180^\circ$   $=135^\circ$   $x=135^\circ+180^\circ$   $=315^\circ$ Tan: keep adding $180^\circ$ to the calculator angle until you leave the range.ย้ายข้าง แล้ว $+180^\circ$: $3\tan x+3=0$   $3\tan x=-3$   $\tan x=-1$   $\tan^{-1}(-1)=-45^\circ$   $x=-45^\circ+180^\circ$   $=135^\circ$   $x=135^\circ+180^\circ$   $=315^\circ$ แทน: บวก $180^\circ$ กับมุมจากเครื่องคิดเลขไปเรื่อยๆ จนหลุดช่วง

8. Exam formฟอร์มข้อสอบ

Real wording, real marks: a range, a rearrangement, exact values.ภาษาข้อสอบจริง คะแนนจริง: ช่วงของมุม การย้ายข้าง ค่าแม่นตรง

Write the calculator angle before you use itเขียนมุมจากเครื่องคิดเลขก่อนนำไปใช้

An answer outside $0^\circ\le x\le360^\circ$, like $-23.6^\circ$, scores no accuracy mark.คำตอบนอกช่วง $0^\circ\le x\le360^\circ$ เช่น $-23.6^\circ$ ไม่ได้คะแนนคำตอบ

1. Exam: One solution of $\cos x=0.3$ is $x=72.5^\circ$, correct to 1 decimal place.  (3 marks)ข้อสอบ: คำตอบหนึ่งของ $\cos x=0.3$ คือ $x=72.5^\circ$ (ทศนิยม 1 ตำแหน่ง)  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $107.5^\circ,\ 252.5^\circ$3 marks: $\text{B1}\quad 360^\circ-72.5^\circ=287.5^\circ$   $\text{B1}\quad 180^\circ-72.5^\circ=107.5^\circ$   $\text{B1}\quad 180^\circ+72.5^\circ=252.5^\circ$ (a) is usually lost to $180^\circ-72.5^\circ=107.5^\circ$ — that mirror is the sine rule.3 คะแนน: $\text{B1}\quad 360^\circ-72.5^\circ=287.5^\circ$   $\text{B1}\quad 180^\circ-72.5^\circ=107.5^\circ$   $\text{B1}\quad 180^\circ+72.5^\circ=252.5^\circ$ ข้อ (ก) มักเสียคะแนนเพราะตอบ $180^\circ-72.5^\circ=107.5^\circ$ · สะท้อนแบบนั้นเป็นกฎของไซน์
2. Exam: Solve $7\sin x+4=2\sin x+2$ for $0^\circ\le x\le360^\circ$. Give your answers correct to 1 decimal place. (4 marks)ข้อสอบ: แก้สมการ $7\sin x+4=2\sin x+2$ สำหรับ $0^\circ\le x\le360^\circ$ · ตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง (4 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\sin x=-0.4$: $x=203.6^\circ,\ 336.4^\circ$4 marks: $\text{M1}\quad 5\sin x=-2$   $\text{M1}\quad \sin x=-0.4,\ \ \sin^{-1}(-0.4)=-23.58^\circ$   $\text{A1}\quad x=180^\circ+23.58^\circ=203.6^\circ$   $\text{A1}\quad x=360^\circ-23.58^\circ=336.4^\circ$ Marks are lost for giving $-23.6^\circ$ as an answer, or for stopping after one solution.4 คะแนน: $\text{M1}\quad 5\sin x=-2$   $\text{M1}\quad \sin x=-0.4,\ \ \sin^{-1}(-0.4)=-23.58^\circ$   $\text{A1}\quad x=180^\circ+23.58^\circ=203.6^\circ$   $\text{A1}\quad x=360^\circ-23.58^\circ=336.4^\circ$ คะแนนมักหายเพราะตอบ $-23.6^\circ$ หรือหยุดแค่คำตอบเดียว
3. Exam: Without using a calculator, find the exact value of $\cos30^\circ\tan60^\circ+\sin135^\circ\cos45^\circ$. Show your working. (3 marks)ข้อสอบ: ไม่ใช้เครื่องคิดเลข หาค่าแม่นตรงของ $\cos30^\circ\tan60^\circ+\sin135^\circ\cos45^\circ$ · แสดงวิธีทำ (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\dfrac32+\dfrac12=2$3 marks: $\text{M1}\quad \tfrac{\sqrt3}{2}\times\sqrt3=\tfrac32$   $\text{M1}\quad \sin135^\circ=\sin45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}$   $\text{A1}\quad \tfrac32+\tfrac{\sqrt2}{2}\times\tfrac{\sqrt2}{2}=\tfrac32+\tfrac12=2$ The mark is usually lost on the sign of $\sin135^\circ$ — it is positive.3 คะแนน: $\text{M1}\quad \tfrac{\sqrt3}{2}\times\sqrt3=\tfrac32$   $\text{M1}\quad \sin135^\circ=\sin45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}$   $\text{A1}\quad \tfrac32+\tfrac{\sqrt2}{2}\times\tfrac{\sqrt2}{2}=\tfrac32+\tfrac12=2$ คะแนนมักหายที่เครื่องหมายของ $\sin135^\circ$ · มันเป็นบวก

9. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน · แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. Solve $2\cos x-1=0$ for $0^\circ\le x\le360^\circ$.The walk's routine with cos: the second answer is $360^\circ-60^\circ$.ขั้นตอนเดียวกับตัวอย่าง แต่เป็นคอส · คำตอบที่สองคือ $360^\circ-60^\circ$
2. Solve $7\sin x+3=1$ for $0^\circ\le x\le360^\circ$. Give your answers to 1 decimal place.A fraction for $\sin x$ and a negative calculator angle, $-16.6^\circ$.ได้ $\sin x$ เป็นเศษส่วน และมุมจากเครื่องคิดเลขติดลบ $-16.6^\circ$
3. A seat on a big wheel is at height $h=12-10\cos x$ metres after the wheel turns through $x^\circ$. For which $x$, $0\le x\le360$, is the seat $17$ m high?A story around the same equation: $12-10\cos x=17$ gives $\cos x=-0.5$.เรื่องเล่ารอบสมการเดิม: $12-10\cos x=17$ ได้ $\cos x=-0.5$
4. Solve $2\sin^2x=\sin x$ for $0^\circ\le x\le360^\circ$.Factorise. Dividing by $\sin x$ throws away $0^\circ$, $180^\circ$ and $360^\circ$.แยกตัวประกอบ · ถ้าหารด้วย $\sin x$ จะทิ้ง $0^\circ$, $180^\circ$, $360^\circ$
5. The line $y=k$ meets $y=\cos x$ at $x=240^\circ$. Find the exact value of $k$, and the other meeting point for $0^\circ\le x\le360^\circ$.Answer given, equation wanted: evaluate $\cos240^\circ$, then mirror in $180^\circ$.ให้คำตอบมา หาสมการ: หา $\cos240^\circ$ แล้วสะท้อนรอบ $180^\circ$
6. (a) Show that $\sin120^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$.  (b) Hence solve $4\sin x-\sqrt{12}=0$ for $0^\circ\le x\le360^\circ$."Hence" means part (a) is used: $\sqrt{12}=2\sqrt3$."Hence" แปลว่าใช้ข้อ (a) · $\sqrt{12}=2\sqrt3$

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี