Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Others topics← หัวข้อ Others ทั้งหมดNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Non-linear Relationsความสัมพันธ์ไม่เชิงเส้น

Year 11 Advanced · NSW Stage 6 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

Two things you already knowสองอย่างที่ทำเป็นอยู่แล้ว

  1. Factorise $x^2-5x+6$.แยกตัวประกอบ $x^2-5x+6$
    Answer:เฉลย: $(x-2)(x-3)$Those two numbers are the x-intercepts of the curve. Factorising is how you find where a parabola crosses the axis.สองจำนวนนั้นคือจุดตัดแกน x ของกราฟ การแยกตัวประกอบคือวิธีหาว่าพาราโบลาตัดแกนที่ไหน
  2. Does the point $(2,1)$ lie on $y=x^2-3$?จุด $(2,1)$ อยู่บนกราฟ $y=x^2-3$ หรือไม่?
    Answer:เฉลย: Yes — $4-3=1$This is the only test there is. Every question today reduces to it.นี่คือวิธีตรวจวิธีเดียวที่มี ทุกข้อวันนี้ย่อลงมาเหลือแค่นี้

2. Which way it opens, how wideคว่ำหรือหงาย และแคบแค่ไหน

The number in front of $x^2$ controls both.ตัวเลขหน้า $x^2$ คุมทั้งสองอย่าง

Every parabola comes from $y=x^2$พาราโบลาทุกเส้นมาจาก $y=x^2$

  1. $y=x^2$ is reflected in the x-axis. What is the new equation?สะท้อน $y=x^2$ ข้ามแกน x สมการใหม่คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $y=-x^2$$-x^2$ and $(-x)^2$ look almost the same and mean opposite things. Read where the minus sits, every time.$-x^2$ กับ $(-x)^2$ หน้าตาเกือบเหมือนกันแต่ความหมายตรงข้าม ให้ดูทุกครั้งว่าลบอยู่ตรงไหน
  2. Compared with $y=x^2$, the curve $y=3x^2$ is:เทียบกับ $y=x^2$ แล้วกราฟ $y=3x^2$ เป็นอย่างไร?
    Answer:เฉลย: narrowerBigger $a$ means narrower, not wider. Students get this backwards more often than any other fact in the topic.$a$ ใหญ่ = แคบลง ไม่ใช่กว้างขึ้น เรื่องนี้คนจำสลับกันบ่อยที่สุดในบทนี้
  3. $y=ax^2$ passes through $(2,-12)$. Find $a$.$y=ax^2$ ผ่านจุด $(2,-12)$ จงหา $a$
    Answer:เฉลย: $a=-3$The negative answer is the check: the point is below the axis, so the curve must open downward.คำตอบที่ติดลบคือตัวตรวจ: จุดอยู่ใต้แกน กราฟจึงต้องคว่ำลง

3. Slide it without expandingเลื่อนกราฟโดยไม่ต้องกระจาย

Read the vertex straight off the brackets.อ่านจุดยอดจากวงเล็บได้เลย

  1. What is the vertex of $y=(x-3)^2+2$?จุดยอดของ $y=(x-3)^2+2$ คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $(3,2)$Read the bracket for $h$, the tail for $k$. That order never changes.อ่าน $h$ จากวงเล็บ อ่าน $k$ จากท้าย ลำดับนี้ไม่เคยเปลี่ยน
  2. What is the vertex of $y=(x+4)^2-1$?จุดยอดของ $y=(x+4)^2-1$ คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $(-4,-1)$This is the sign trap. The bracket is subtraction by definition, so a plus inside means a negative $h$.นี่คือกับดักเครื่องหมาย วงเล็บเป็นการลบตามนิยาม บวกข้างในจึงแปลว่า $h$ ติดลบ
  3. $y=x^2$ is moved 2 right and 5 down. Its equation is:เลื่อน $y=x^2$ ไปขวา 2 และลง 5 สมการคือ:
    Answer:เฉลย: $y=(x-2)^2-5$Horizontal shifts hide their sign, vertical shifts show it. That asymmetry is the whole difficulty.การเลื่อนแนวนอนซ่อนเครื่องหมายไว้ ส่วนแนวตั้งโชว์ตรง ๆ ความยากทั้งหมดอยู่ตรงความไม่สมมาตรนี้

4. Roots without drawingหารากโดยไม่ต้องวาด

One number tells you how many x-intercepts there are.เลขตัวเดียวบอกจำนวนจุดตัดแกน x

From $y=ax^2+bx+c$จาก $y=ax^2+bx+c$

Does $y=x^{2}-4x+5$ cross the $x$-axis?$y=x^{2}-4x+5$ ตัดแกน $x$ ไหม

  1. $y=x^{2}-4x+5$You do not need to draw it, and you do not need to solve it.ไม่ต้องวาด และไม่ต้องแก้สมการ
  2. $b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4(1)(5)$$a=1$, $b=-4$, $c=5$. Bracket the negative.$a=1$, $b=-4$, $c=5$ · ใส่วงเล็บให้ตัวลบ
  3. $=16-20=-4$$(-4)^{2}$ is $+16$, not $-16$.$(-4)^{2}$ ได้ $+16$ ไม่ใช่ $-16$
  4. $b^{2}-4ac=-4$The discriminant on its own line.ดิสคริมิแนนต์อยู่บรรทัดของมันเอง
  5. $-4<0$Negative means the U floats clear of the axis. $a>0$, so it floats above it.ค่าลบแปลว่าตัว U ลอยพ้นแกน · $a>0$ ก็ลอยอยู่เหนือแกน
  6. $\text{no }x\text{-intercepts}$Negative, so the curve never reaches the $x$-axis.ติดลบ แปลว่ากราฟไม่แตะแกน $x$
  1. Find the x-intercepts of $y=x^2-5x+6$.จงหาจุดตัดแกน x ของ $y=x^2-5x+6$
    Answer:เฉลย: $x=2,\;x=3$Same factorising as five minutes ago — only the question changed, not the work.แยกตัวประกอบแบบเดิมกับเมื่อห้านาทีก่อน เปลี่ยนแค่คำถาม ไม่ได้เปลี่ยนวิธี
  2. For $y=x^2+4x+4$, find $\Delta$ and say how many x-intercepts.สำหรับ $y=x^2+4x+4$ จงหา $\Delta$ และจำนวนจุดตัดแกน x
    Answer:เฉลย: $\Delta=0$ — one x-intercept$\Delta=0$ means the curve just kisses the axis at its vertex — here $(-2,0)$.$\Delta=0$ แปลว่ากราฟแตะแกนพอดีที่จุดยอด ในที่นี้คือ $(-2,0)$
  3. How many x-intercepts has $y=x^2+x+3$?$y=x^2+x+3$ มีจุดตัดแกน x กี่จุด?
    Answer:เฉลย: None — $\Delta=1-12=-11$Checking $\Delta$ first saves you from trying to factorise something that will not factorise.เช็ค $\Delta$ ก่อน จะได้ไม่เสียเวลานั่งแยกตัวประกอบสิ่งที่แยกไม่ได้

5. Circlesวงกลม

Read the centre and the radius off the equation.อ่านจุดศูนย์กลางและรัศมีจากสมการ

  1. State the centre and radius of $x^2+y^2=25$.จงบอกจุดศูนย์กลางและรัศมีของ $x^2+y^2=25$
    Answer:เฉลย: centre $(0,0)$, $r=5$Right-hand side is $r^{2}$: $x^{2}+y^{2}=25$   $r^{2}=25\ \Rightarrow\ r=5$ฝั่งขวาคือ $r^{2}$: $x^{2}+y^{2}=25$   $r^{2}=25\ \Rightarrow\ r=5$
  2. What is the radius of $(x-2)^2+(y+3)^2=16$?รัศมีของ $(x-2)^2+(y+3)^2=16$ เท่ากับเท่าใด?
    Answer:เฉลย: $r=4$Centre and radius, one mark each: $(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=16$   $\text{centre }(2,-3)$   $r^{2}=16\ \Rightarrow\ r=4$ Never give the radius as the printed number.จุดศูนย์กลางกับรัศมี อย่างละคะแนน: $(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=16$   $\text{centre }(2,-3)$   $r^{2}=16\ \Rightarrow\ r=4$ อย่าตอบรัศมีเป็นเลขที่พิมพ์อยู่บนกระดาษ
  3. What is the centre of $(x+1)^2+(y-4)^2=36$?จุดศูนย์กลางของ $(x+1)^2+(y-4)^2=36$ คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $(-1,4)$Same sign flip as the vertex: $(x+1)^{2}=\big(x-(-1)\big)^{2}\ \Rightarrow\ h=-1$   $(y-4)^{2}\ \Rightarrow\ k=4$   $\text{centre }(-1,4)$พลิกเครื่องหมาย เหมือนรูปจุดยอด: $(x+1)^{2}=\big(x-(-1)\big)^{2}\ \Rightarrow\ h=-1$   $(y-4)^{2}\ \Rightarrow\ k=4$   $\text{centre }(-1,4)$

6. Three more curves to recogniseอีกสามเส้นที่ต้องดูออก

Know the shape before you plot a single point.รู้รูปทรงก่อนลงจุดสักจุด

Hyperbola, exponential, cubicไฮเพอร์โบลา เอกซ์โพเนนเชียล ลูกบาศก์

  1. What are the asymptotes of $y=\frac{6}{x}$?เส้นกำกับของ $y=\frac{6}{x}$ คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $x=0$ and $y=0$Asymptotes are lines the curve approaches forever without touching. Drawing the curve touching the axis is an instant mark lost.เส้นกำกับคือเส้นที่กราฟเข้าใกล้ไปเรื่อย ๆ แต่ไม่แตะ ถ้าวาดให้แตะแกนคือเสียคะแนนทันที
  2. What is the y-intercept of $y=2^x$?จุดตัดแกน y ของ $y=2^x$ คืออะไร?
    Answer:เฉลย: $(0,1)$Anything to the power $0$ is $1$, so every curve $y=a^x$ passes through $(0,1)$. Free mark, every time.อะไรยกกำลัง $0$ ก็ได้ $1$ ดังนั้นกราฟ $y=a^x$ ทุกเส้น ผ่าน $(0,1)$ · เป็นคะแนนฟรีทุกครั้ง
  3. $y=\frac{k}{x}$ passes through $(2,10)$. Find $k$.$y=\frac{k}{x}$ ผ่านจุด $(2,10)$ จงหา $k$
    Answer:เฉลย: $k=20$This is inverse variation: double $x$ and $y$ halves. The product $xy$ stays at $20$ everywhere on the curve.นี่คือการแปรผกผัน: $x$ เพิ่มเท่าตัว $y$ ลดครึ่งหนึ่ง ผลคูณ $xy$ เท่ากับ $20$ ตลอดทั้งเส้น

7. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Put the whole sketch together.ประกอบร่างเป็นการสเก็ตช์เต็ม

Four labels, every timeสี่ป้าย ทุกครั้ง

  1. Find the vertex of $y=x^2-4x+1$.จงหาจุดยอดของ $y=x^2-4x+1$
    Answer:เฉลย: $(2,-3)$Find $x$, then find $y$: $x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{4}{2}=2$   $y=4-8+1=-3$   $(2,-3)$ The second step is where the marks go missing.หา $x$ แล้วย้อนไปหา $y$: $x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{4}{2}=2$   $y=4-8+1=-3$   $(2,-3)$ คะแนนหลุดที่ขั้นที่สอง ตรงที่ลืมย้อนไปหา $y$
  2. For which value of $k$ does $y=x^2+6x+k$ touch the x-axis exactly once?ค่า $k$ ใดที่ทำให้ $y=x^2+6x+k$ แตะแกน x เพียงจุดเดียว?
    Answer:เฉลย: $k=9$  (from $\Delta=36-4k=0$)Three wordings, one condition: $\text{touches}=\text{is a tangent to}=\text{one root}$   $\Rightarrow\ \Delta=0$   $36-4k=0\ \Rightarrow\ k=9$สามสำนวน เงื่อนไขเดียว: $\text{touches}=\text{is a tangent to}=\text{one root}$   $\Rightarrow\ \Delta=0$   $36-4k=0\ \Rightarrow\ k=9$
  3. Exam: The line $y=2x+c$ is a tangent to the parabola $y=x^{2}-4x+7$.
    Find $c$, then give the coordinates of the point of contact.  (5 marks)    ข้อสอบ: เส้นตรง $y=2x+c$ สัมผัส (tangent) พาราโบลา $y=x^{2}-4x+7$
    หา $c$ ก่อน แล้วบอกพิกัดของจุดสัมผัส  (5 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $(3,4)$5 marks: $\text{M1}\quad x^{2}-4x+7=2x+c$   $\text{M2}\quad x^{2}-6x+(7-c)=0$   $\text{M3}\quad \Delta=36-4(7-c)=0$   $\text{M4}\quad 8+4c=0\ \Rightarrow\ c=-2$   $\text{A1}\quad x^{2}-6x+9=0\ \Rightarrow\ x=3,\ y=4$ Tangency compares two curves, so subtract the line first.5 คะแนน: $\text{M1}\quad x^{2}-4x+7=2x+c$   $\text{M2}\quad x^{2}-6x+(7-c)=0$   $\text{M3}\quad \Delta=36-4(7-c)=0$   $\text{M4}\quad 8+4c=0\ \Rightarrow\ c=-2$   $\text{A1}\quad x^{2}-6x+9=0\ \Rightarrow\ x=3,\ y=4$ แตะกันคือเทียบสองเส้น ต้องลบสมการเส้นตรงออกก่อน
  4. The parabola $y=x^{2}+kx+12$ cuts the $x$-axis at $x=3$.
    Find $k$.    พาราโบลา $y=x^{2}+kx+12$ ตัดแกน $x$ ที่ $x=3$
    หา $k$
    Answer:เฉลย: $k=-7$Which fact were you handed?: $\text{point given}\ \Rightarrow\ \text{substitute}$   $\text{number of roots given}\ \Rightarrow\ \Delta$   $x=3,\ y=0:\quad 9+3k+12=0$   $3k=-21\ \Rightarrow\ k=-7$ Using $\Delta=0$ here answers a question nobody asked.โจทย์ให้ข้อมูลแบบไหนมา: $\text{point given}\ \Rightarrow\ \text{substitute}$   $\text{number of roots given}\ \Rightarrow\ \Delta$   $x=3,\ y=0:\quad 9+3k+12=0$   $3k=-21\ \Rightarrow\ k=-7$ ใช้ $\Delta=0$ ตรงนี้ คือตอบคำถามที่ไม่มีใครถาม

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. Find the vertex and the x-intercepts of $y=x^2-6x+8$.The main routine with new numbers: axis of symmetry first, then factorise. Proves both halves transferred.ท่าหลักชุดเดิม แค่เปลี่ยนตัวเลข: หาแกนสมมาตรก่อน แล้วค่อยแยกตัวประกอบ พิสูจน์ว่าติดตัวไปทั้งสองส่วน
  2. Find the vertex of $y=2x^2+8x+5$.$a$ is no longer $1$, so $\frac{-b}{2a}=\frac{-8}{4}$. The method does not change, only the arithmetic.$a$ ไม่ใช่ $1$ แล้ว จึงได้ $\frac{-b}{2a}=\frac{-8}{4}$ · วิธีไม่เปลี่ยน เปลี่ยนแค่การคำนวณ
  3. State the centre and radius of $(x+5)^2+(y-2)^2=49$.Same bracket reading as the vertex form, applied to a circle. Different curve, identical skill.อ่านวงเล็บแบบเดียวกับ vertex form แต่เอาไปใช้กับวงกลม คนละเส้นโค้ง แต่ทักษะเดียวกัน
  4. Sketch $y=x^2-2x-8$, labelling both x-intercepts, the y-intercept and the vertex.Everything from today in one question. Label all four or the marks are not there.รวมทุกอย่างของวันนี้ไว้ในข้อเดียว ต้องเขียนป้ายให้ครบทั้งสี่ ไม่งั้นไม่ได้คะแนน
  5. A parabola has vertex $(-2,3)$ and passes through $(0,7)$. Find its equation.Start from $y=a(x+2)^2+3$ and substitute the point to get $a=1$. Reading the form backwards is a standard Year 11 move.เริ่มจาก $y=a(x+2)^2+3$ แล้วแทนจุดเพื่อหา $a=1$ · การอ่านรูปแบบย้อนกลับเป็นท่ามาตรฐานของ Year 11
  6. The curve $y=\frac{k}{x}$ passes through $(4,3)$. Find $k$, and hence find $y$ when $x=6$.\"Hence\" means use the $k$ you just found — do not start again. Inverse variation questions are almost always worded this way.\"hence\" แปลว่าให้ใช้ $k$ ที่เพิ่งหาได้ ไม่ต้องเริ่มใหม่ · โจทย์การแปรผกผันเขียนแบบนี้แทบทุกข้อ
  7. A student says $y=(x+3)^2-5$ has vertex $(3,-5)$. Explain the error and give the correct vertex.The single most common error in the whole topic, put in front of them on purpose. Being able to explain it is what stops them repeating it.ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดของทั้งบท ยกมาวางตรงหน้าโดยตั้งใจ การอธิบายมันได้คือสิ่งที่หยุดไม่ให้ทำผิดซ้ำ

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี