Non-linear Relationsความสัมพันธ์ไม่เชิงเส้น

Year 11 Advanced · NSW Stage 6 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

Two things you already knowสองอย่างที่ทำเป็นอยู่แล้ว

1. Factorise $x^2-5x+6$.แยกตัวประกอบ $x^2-5x+6$
   Answer:เฉลย: $(x-2)(x-3)$Those two numbers are the x-intercepts of the curve. Factorising is how you find where a parabola crosses the axis.สองจำนวนนั้นคือจุดตัดแกน x ของกราฟ การแยกตัวประกอบคือวิธีหาว่าพาราโบลาตัดแกนที่ไหน
2. Does the point $(2,1)$ lie on $y=x^2-3$?จุด $(2,1)$ อยู่บนกราฟ $y=x^2-3$ หรือไม่?
   Answer:เฉลย: Yes — $4-3=1$This is the only test there is. Every question today reduces to it.นี่คือวิธีตรวจวิธีเดียวที่มี ทุกข้อวันนี้ย่อลงมาเหลือแค่นี้

2. Which way it opens, how wideคว่ำหรือหงาย และแคบแค่ไหน

The number in front of $x^2$ controls both.ตัวเลขหน้า $x^2$ คุมทั้งสองอย่าง

Every parabola comes from $y=x^2$พาราโบลาทุกเส้นมาจาก $y=x^2$

1. $y=x^2$ is reflected in the x-axis. What is the new equation?สะท้อน $y=x^2$ ข้ามแกน x สมการใหม่คืออะไร?
   Answer:เฉลย: $y=-x^2$$-x^2$ and $(-x)^2$ look almost the same and mean opposite things. Read where the minus sits, every time.$-x^2$ กับ $(-x)^2$ หน้าตาเกือบเหมือนกันแต่ความหมายตรงข้าม ให้ดูทุกครั้งว่าลบอยู่ตรงไหน
2. Compared with $y=x^2$, the curve $y=3x^2$ is:เทียบกับ $y=x^2$ แล้วกราฟ $y=3x^2$ เป็นอย่างไร?
   Answer:เฉลย: narrowerBigger $a$ means narrower, not wider. Students get this backwards more often than any other fact in the topic.$a$ ใหญ่ = แคบลง ไม่ใช่กว้างขึ้น เรื่องนี้คนจำสลับกันบ่อยที่สุดในบทนี้
3. $y=ax^2$ passes through $(2,-12)$. Find $a$.$y=ax^2$ ผ่านจุด $(2,-12)$ จงหา $a$
   Answer:เฉลย: $a=-3$The negative answer is the check: the point is below the axis, so the curve must open downward.คำตอบที่ติดลบคือตัวตรวจ: จุดอยู่ใต้แกน กราฟจึงต้องคว่ำลง

3. Slide it without expandingเลื่อนกราฟโดยไม่ต้องกระจาย

Read the vertex straight off the brackets.อ่านจุดยอดจากวงเล็บได้เลย

1. What is the vertex of $y=(x-3)^2+2$?จุดยอดของ $y=(x-3)^2+2$ คืออะไร?
   Answer:เฉลย: $(3,2)$Read the bracket for $h$, the tail for $k$. That order never changes.อ่าน $h$ จากวงเล็บ อ่าน $k$ จากท้าย ลำดับนี้ไม่เคยเปลี่ยน
2. What is the vertex of $y=(x+4)^2-1$?จุดยอดของ $y=(x+4)^2-1$ คืออะไร?
   Answer:เฉลย: $(-4,-1)$This is the sign trap. The bracket is subtraction by definition, so a plus inside means a negative $h$.นี่คือกับดักเครื่องหมาย วงเล็บเป็นการลบตามนิยาม บวกข้างในจึงแปลว่า $h$ ติดลบ
3. $y=x^2$ is moved 2 right and 5 down. Its equation is:เลื่อน $y=x^2$ ไปขวา 2 และลง 5 สมการคือ:
   Answer:เฉลย: $y=(x-2)^2-5$Horizontal shifts hide their sign, vertical shifts show it. That asymmetry is the whole difficulty.การเลื่อนแนวนอนซ่อนเครื่องหมายไว้ ส่วนแนวตั้งโชว์ตรง ๆ ความยากทั้งหมดอยู่ตรงความไม่สมมาตรนี้

4. Roots without drawingหารากโดยไม่ต้องวาด

One number tells you how many x-intercepts there are.เลขตัวเดียวบอกจำนวนจุดตัดแกน x

From $y=ax^2+bx+c$จาก $y=ax^2+bx+c$

The y-intercept is $c$. Put this $x$ back in to get the vertex.จุดตัดแกน y คือ $c$ · แทน $x$ นี้กลับเข้าไปก็ได้จุดยอด

Does $y=x^{2}-4x+5$ cross the $x$-axis?$y=x^{2}-4x+5$ ตัดแกน $x$ ไหม

1. $y=x^{2}-4x+5$No need to draw it or solve it.ไม่ต้องวาด และไม่ต้องแก้สมการ
2. $b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4(1)(5)$$a=1$, $b=-4$, $c=5$. Bracket the negative.$a=1$, $b=-4$, $c=5$ · ใส่วงเล็บให้ตัวลบ
3. $=16-20=-4$$(-4)^{2}$ is $+16$, not $-16$.$(-4)^{2}$ ได้ $+16$ ไม่ใช่ $-16$
4. $b^{2}-4ac=-4$The discriminant on its own line.ดิสคริมิแนนต์อยู่บรรทัดของมันเอง
5. $-4<0$Negative: the U misses the axis. $a\gt0$, so it sits above.ค่าลบ: ตัว U ไม่แตะแกน · $a\gt0$ จึงอยู่เหนือแกน
6. $\text{no }x\text{-intercepts}$Negative, so the curve never reaches the $x$-axis.ติดลบ แปลว่ากราฟไม่แตะแกน $x$

1. Find the x-intercepts of $y=x^2-5x+6$.จงหาจุดตัดแกน x ของ $y=x^2-5x+6$
   Answer:เฉลย: $x=2,\;x=3$Same factorising as five minutes ago. Only the question changed, not the work.แยกตัวประกอบแบบเดิมกับเมื่อห้านาทีก่อน เปลี่ยนแค่คำถาม ไม่ได้เปลี่ยนวิธี
2. For $y=x^2+4x+4$, find $\Delta$ and say how many x-intercepts.สำหรับ $y=x^2+4x+4$ จงหา $\Delta$ และจำนวนจุดตัดแกน x
   Answer:เฉลย: $\Delta=0$ — one x-interceptIf $\Delta=0$, the curve touches the axis at its vertex. Here the vertex is $(-2,0)$.$\Delta=0$ แปลว่ากราฟแตะแกนพอดีที่จุดยอด ในที่นี้คือ $(-2,0)$
3. How many x-intercepts has $y=x^2+x+3$?$y=x^2+x+3$ มีจุดตัดแกน x กี่จุด?
   Answer:เฉลย: None — $\Delta=1-12=-11$Checking $\Delta$ first saves you from trying to factorise something that will not factorise.ตรวจ $\Delta$ ก่อน จะได้ไม่เสียเวลานั่งแยกตัวประกอบสิ่งที่แยกไม่ได้

5. Circlesวงกลม

Read the centre and the radius off the equation.อ่านจุดศูนย์กลางและรัศมีจากสมการ

1. State the centre and radius of $x^2+y^2=25$.จงบอกจุดศูนย์กลางและรัศมีของ $x^2+y^2=25$
   Answer:เฉลย: centre $(0,0)$, $r=5$Right-hand side is $r^{2}$: $x^{2}+y^{2}=25$   $r^{2}=25\ \Rightarrow\ r=5$ฝั่งขวาคือ $r^{2}$: $x^{2}+y^{2}=25$   $r^{2}=25\ \Rightarrow\ r=5$
2. What is the radius of $(x-2)^2+(y+3)^2=16$?รัศมีของ $(x-2)^2+(y+3)^2=16$ เท่ากับเท่าใด?
   Answer:เฉลย: $r=4$Centre and radius, one mark each: $(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=16$   $\text{centre }(2,-3)$   $r^{2}=16\ \Rightarrow\ r=4$ Never give the radius as the printed number.จุดศูนย์กลางกับรัศมี อย่างละคะแนน: $(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=16$   $\text{centre }(2,-3)$   $r^{2}=16\ \Rightarrow\ r=4$ อย่าตอบรัศมีเป็นเลขที่พิมพ์อยู่บนกระดาษ
3. What is the centre of $(x+1)^2+(y-4)^2=36$?จุดศูนย์กลางของ $(x+1)^2+(y-4)^2=36$ คืออะไร?
   Answer:เฉลย: $(-1,4)$Same sign flip as the vertex: $(x+1)^{2}=\big(x-(-1)\big)^{2}\ \Rightarrow\ h=-1$   $(y-4)^{2}\ \Rightarrow\ k=4$   $\text{centre }(-1,4)$พลิกเครื่องหมาย เหมือนรูปจุดยอด: $(x+1)^{2}=\big(x-(-1)\big)^{2}\ \Rightarrow\ h=-1$   $(y-4)^{2}\ \Rightarrow\ k=4$   $\text{centre }(-1,4)$

6. Three more curves to recogniseอีกสามเส้นที่ต้องดูออก

Know the shape before you plot a single point.รู้รูปทรงก่อนลงจุดสักจุด

Hyperbola, exponential, cubicไฮเพอร์โบลา เอกซ์โพเนนเชียล ลูกบาศก์

1. What are the asymptotes of $y=\frac{6}{x}$?เส้นกำกับของ $y=\frac{6}{x}$ คืออะไร?
   Answer:เฉลย: $x=0$ and $y=0$Asymptotes are lines the curve approaches forever without touching. Drawing the curve touching the axis is an instant mark lost.เส้นกำกับคือเส้นที่กราฟเข้าใกล้ไปเรื่อย ๆ แต่ไม่แตะ ถ้าวาดให้แตะแกนคือเสียคะแนนทันที
2. What is the y-intercept of $y=2^x$?จุดตัดแกน y ของ $y=2^x$ คืออะไร?
   Answer:เฉลย: $(0,1)$Anything to the power $0$ is $1$, so every curve $y=a^x$ passes through $(0,1)$. Free mark, every time.อะไรยกกำลัง $0$ ก็ได้ $1$ ดังนั้นกราฟ $y=a^x$ ทุกเส้น ผ่าน $(0,1)$ · เป็นคะแนนฟรีทุกครั้ง
3. $y=\frac{k}{x}$ passes through $(2,10)$. Find $k$.$y=\frac{k}{x}$ ผ่านจุด $(2,10)$ จงหา $k$
   Answer:เฉลย: $k=20$This is inverse variation: double $x$ and $y$ halves. The product $xy$ stays at $20$ everywhere on the curve.นี่คือการแปรผกผัน: $x$ เพิ่มเท่าตัว $y$ ลดครึ่งหนึ่ง ผลคูณ $xy$ เท่ากับ $20$ ตลอดทั้งเส้น

7. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Put the whole sketch together.ประกอบร่างเป็นการสเก็ตช์เต็ม

Four labels, every timeสี่ป้าย ทุกครั้ง

1. Find the vertex of $y=x^2-4x+1$.จงหาจุดยอดของ $y=x^2-4x+1$
   Answer:เฉลย: $(2,-3)$Find $x$, then find $y$: $x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{4}{2}=2$   $y=4-8+1=-3$   $(2,-3)$ The second step is where the marks go missing.หา $x$ แล้วย้อนไปหา $y$: $x=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{4}{2}=2$   $y=4-8+1=-3$   $(2,-3)$ คะแนนหลุดที่ขั้นที่สอง ตรงที่ลืมย้อนไปหา $y$
2. For which value of $k$ does $y=x^2+6x+k$ touch the x-axis at only one point?ค่า $k$ ใดที่ทำให้ $y=x^2+6x+k$ แตะแกน x เพียงจุดเดียว?
   Answer:เฉลย: $k=9$  (from $\Delta=36-4k=0$)Three wordings, one condition: $\text{touches}=\text{is a tangent to}=\text{one root}$   $\Rightarrow\ \Delta=0$   $36-4k=0\ \Rightarrow\ k=9$สามสำนวน เงื่อนไขเดียว: $\text{touches}=\text{is a tangent to}=\text{one root}$   $\Rightarrow\ \Delta=0$   $36-4k=0\ \Rightarrow\ k=9$
3. Exam: The line $y=2x+c$ is a tangent to the parabola $y=x^{2}-4x+7$.
   Find $c$, then give the coordinates of the point of contact.  (5 marks)ข้อสอบ: เส้นตรง $y=2x+c$ สัมผัส (tangent) พาราโบลา $y=x^{2}-4x+7$
   หา $c$ ก่อน แล้วบอกพิกัดของจุดสัมผัส  (5 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $(3,4)$5 marks: $\text{M1}\quad x^{2}-4x+7=2x+c$   $\text{M2}\quad x^{2}-6x+(7-c)=0$   $\text{M3}\quad \Delta=36-4(7-c)=0$   $\text{M4}\quad 8+4c=0\ \Rightarrow\ c=-2$   $\text{A1}\quad x^{2}-6x+9=0\ \Rightarrow\ x=3,\ y=4$ Tangency compares two curves, so subtract the line first.5 คะแนน: $\text{M1}\quad x^{2}-4x+7=2x+c$   $\text{M2}\quad x^{2}-6x+(7-c)=0$   $\text{M3}\quad \Delta=36-4(7-c)=0$   $\text{M4}\quad 8+4c=0\ \Rightarrow\ c=-2$   $\text{A1}\quad x^{2}-6x+9=0\ \Rightarrow\ x=3,\ y=4$ แตะกันคือเทียบสองเส้น ต้องลบสมการเส้นตรงออกก่อน
4. The parabola $y=x^{2}+kx+12$ cuts the $x$-axis at $x=3$.
   Find $k$.พาราโบลา $y=x^{2}+kx+12$ ตัดแกน $x$ ที่ $x=3$
   หา $k$
   Answer:เฉลย: $k=-7$Which fact were you handed?: $\text{point given}\ \Rightarrow\ \text{substitute}$   $\text{number of roots given}\ \Rightarrow\ \Delta$   $x=3,\ y=0:\quad 9+3k+12=0$   $3k=-21\ \Rightarrow\ k=-7$ Using $\Delta=0$ here answers a question nobody asked.โจทย์ให้ข้อมูลแบบไหนมา: $\text{point given}\ \Rightarrow\ \text{substitute}$   $\text{number of roots given}\ \Rightarrow\ \Delta$   $x=3,\ y=0:\quad 9+3k+12=0$   $3k=-21\ \Rightarrow\ k=-7$ ใช้ $\Delta=0$ ตรงนี้ คือตอบคำถามที่ไม่มีใครถาม

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. Find the vertex and the x-intercepts of $y=x^2-6x+8$.
   Answer:เฉลย: vertex $(3,-1)$;   $x=2,\;4$The main routine with new numbers: axis of symmetry first, then factorise. Proves both halves transferred.ท่าหลักชุดเดิม แค่เปลี่ยนตัวเลข: หาแกนสมมาตรก่อน แล้วค่อยแยกตัวประกอบ พิสูจน์ว่าติดตัวไปทั้งสองส่วน
2. Find the vertex of $y=2x^2+8x+5$.
   Answer:เฉลย: $(-2,-3)$$a$ is no longer $1$, so $\frac{-b}{2a}=\frac{-8}{4}$. The method does not change, only the arithmetic.$a$ ไม่ใช่ $1$ แล้ว จึงได้ $\frac{-b}{2a}=\frac{-8}{4}$ · วิธีไม่เปลี่ยน เปลี่ยนแค่การคำนวณ
3. State the centre and radius of $(x+5)^2+(y-2)^2=49$.
   Answer:เฉลย: centre $(-5,2)$,   $r=7$Same bracket reading as the vertex form, applied to a circle. Different curve, identical skill.อ่านวงเล็บแบบเดียวกับ vertex form แต่เอาไปใช้กับวงกลม คนละเส้นโค้ง แต่ทักษะเดียวกัน
4. Sketch $y=x^2-2x-8$, labelling both x-intercepts, the y-intercept and the vertex.
   Answer:เฉลย: $x=4,\;-2$;   $(0,-8)$;   vertex $(1,-9)$Everything from today in one question. Label all four or the marks are not there.รวมทุกอย่างของวันนี้ไว้ในข้อเดียว ต้องเขียนป้ายให้ครบทั้งสี่ ไม่งั้นไม่ได้คะแนน
5. A parabola has vertex $(-2,3)$ and passes through $(0,7)$. Find its equation.
   Answer:เฉลย: $y=(x+2)^2+3$Start from $y=a(x+2)^2+3$ and substitute the point to get $a=1$: reading the form backwards.เริ่มจาก $y=a(x+2)^2+3$ แล้วแทนจุดเพื่อหา $a=1$ · การอ่านรูปแบบย้อนกลับ
6. The curve $y=\frac{k}{x}$ passes through $(4,3)$. Find $k$, and hence find $y$ when $x=6$.
   Answer:เฉลย: $k=12$;   $y=2$'Hence' means use the $k$ you already found: do not start again. Inverse variation is usually worded this way.'hence' แปลว่าให้ใช้ $k$ ที่เพิ่งหาได้ ไม่ต้องเริ่มใหม่ · โจทย์แปรผกผันเขียนแบบนี้แทบทุกข้อ
7. A student says $y=(x+3)^2-5$ has vertex $(3,-5)$. Explain the error and give the correct vertex.
   Answer:เฉลย: The form is $(x-h)^2$, so $x+3$ means $h=-3$.   Vertex $(-3,-5)$.The most common error in this topic, shown here on purpose. Explaining it stops it repeating.ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดของบทนี้ ยกมาวางตรงหน้าโดยตั้งใจ · อธิบายได้คือสิ่งที่หยุดไม่ให้ทำผิดซ้ำ

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี