Trigonometryตรีโกณมิติขั้นสูง

A-Level Pure 3 · CAIE 9709/3 & Edexcel IAL WMA13 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

An exact value, and the identity that hands you the partnerค่าที่แน่นอน กับเอกลักษณ์ที่ให้ค่าคู่กันมา

Everything today is that identity plus two more built from it.ทั้งบทวันนี้คือเอกลักษณ์นั้น บวกอีกสองอันที่สร้างจากมัน

1. Exact value, no calculator: $\sin 60^{\circ}=\;?$ค่า exact ห้ามใช้เครื่องคิดเลข: $\sin 60^{\circ}=\;?$
   Answer:เฉลย: $\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$Exact values, no calculator: $\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ค่าตรงตัว ไม่ใช้เครื่องคิดเลข: $\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
2. $\theta$ is acute and $\sin\theta=\dfrac{3}{5}$. Find $\cos\theta$.$\theta$ เป็นมุมแหลม และ $\sin\theta=\dfrac{3}{5}$ · หา $\cos\theta$
   Answer:เฉลย: $\cos\theta=\dfrac{4}{5}$$\sin^{2}+\cos^{2}=1$: $\cos^{2}\theta=1-\tfrac{9}{25}=\tfrac{16}{25}$   $\cos\theta=\tfrac{4}{5}\quad(\text{acute}\Rightarrow\text{positive})$$\sin^{2}+\cos^{2}=1$: $\cos^{2}\theta=1-\tfrac{9}{25}=\tfrac{16}{25}$   $\cos\theta=\tfrac{4}{5}\quad(\text{acute}\Rightarrow\text{positive})$
3. For $0\le\theta\lt2\pi$, how many solutions does $\sin\theta=\dfrac12$ have?ในช่วง $0\le\theta\lt2\pi$ สมการ $\sin\theta=\dfrac12$ มีคำตอบกี่ตัว?
   Answer:เฉลย: $2$  ($\theta=\frac{\pi}{6}$ and $\frac{5\pi}{6}$)$2$  ($\theta=\frac{\pi}{6}$ และ $\frac{5\pi}{6}$)Two roots per turn for $\sin$: $\sin\theta=\tfrac12\ \Rightarrow\ \theta=\tfrac{\pi}{6},\ \tfrac{5\pi}{6}$   $\sin,\ \cos:\ 2\ \text{roots per turn}$   $\tan:\ 1\ \text{root per turn}$ The calculator gives one; the question asks for all of them.$\sin$ ให้สองรากต่อรอบ: $\sin\theta=\tfrac12\ \Rightarrow\ \theta=\tfrac{\pi}{6},\ \tfrac{5\pi}{6}$   $\sin,\ \cos:\ 2\ \text{roots per turn}$   $\tan:\ 1\ \text{root per turn}$ เครื่องคิดเลขให้มาอันเดียว · โจทย์ถามทั้งหมด

2. Three new names, no new mathsชื่อใหม่สามตัว ไม่มีคณิตใหม่

$\sec$, $\csc$ and $\cot$ are $1$ divided by the three functions you already own.$\sec$, $\csc$, $\cot$ คือ $1$ หารด้วยสามฟังก์ชันที่มีอยู่แล้ว

You can already write down every value on this lineค่าทุกตัวในบรรทัดนี้ เขียนได้อยู่แล้ว

1. No new rule needed — just work it out: $\dfrac{1}{\cos 60^{\circ}}=\;?$ไม่ต้องใช้กฎใหม่ คิดเลขตรงๆ: $\dfrac{1}{\cos 60^{\circ}}=\;?$
   Answer:เฉลย: $\dfrac{1}{\cos 60^{\circ}}=\dfrac{1}{1/2}=2$Ordinary fraction work: $\dfrac{1}{\cos 60^{\circ}}=\dfrac{1}{1/2}=2$หารเศษส่วนธรรมดา: $\dfrac{1}{\cos 60^{\circ}}=\dfrac{1}{1/2}=2$
2. Which expression is $\csc\theta$?นิพจน์ไหนคือ $\csc\theta$?
   Answer:เฉลย: $\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}$Change back to $\sin,\cos,\tan$ first: $\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}$   $\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}$   $\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}$ The third letter names the partner: cosec with sin, sec with cos.เปลี่ยนกลับเป็น $\sin,\cos,\tan$ ก่อน: $\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}$   $\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}$   $\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}$ ตัวอักษรที่สามบอกคู่: cosec คู่กับ sin · sec คู่กับ cos

3. Divide the identity you ownหารเอกลักษณ์ที่มีอยู่แล้ว

$1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta$ and $1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta$ are one old line, divided.$1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta$ กับ $1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta$ คือบรรทัดเก่าบรรทัดเดียว ที่ถูกหาร

Divide $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ by $\cos^{2}\theta$เอา $\cos^{2}\theta$ ไปหาร $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$

1. Finish that division. Which line comes out?หารให้จบ · ได้บรรทัดไหนออกมา?
   Answer:เฉลย: $1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta$Divide the Pure 1 identity through: $\dfrac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}+\dfrac{\cos^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}$   $1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta$   $\text{divide by }\sin^{2}\theta\ \Rightarrow\ \cot^{2}\theta+1=\csc^{2}\theta$หารเอกลักษณ์ Pure 1 ทั้งบรรทัด: $\dfrac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}+\dfrac{\cos^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}$   $1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta$   $\text{divide by }\sin^{2}\theta\ \Rightarrow\ \cot^{2}\theta+1=\csc^{2}\theta$
2. $\theta$ is acute and $\tan\theta=\dfrac{3}{4}$. Find $\sec\theta$.$\theta$ เป็นมุมแหลม และ $\tan\theta=\dfrac{3}{4}$ · หา $\sec\theta$
   Answer:เฉลย: $\sec\theta=\dfrac{5}{4}$Change function, never find $\theta$: $\sec^{2}\theta=1+\tan^{2}\theta=1+\tfrac{9}{16}=\tfrac{25}{16}$   $\sec\theta=\tfrac{5}{4}$เปลี่ยนฟังก์ชัน ไม่ต้องหา $\theta$: $\sec^{2}\theta=1+\tan^{2}\theta=1+\tfrac{9}{16}=\tfrac{25}{16}$   $\sec\theta=\tfrac{5}{4}$
3. No calculator: what is the value of $\csc^{2}40^{\circ}-\cot^{2}40^{\circ}$?ห้ามใช้เครื่องคิดเลข: $\csc^{2}40^{\circ}-\cot^{2}40^{\circ}$ มีค่าเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $\csc^{2}40^{\circ}-\cot^{2}40^{\circ}=1$An identity holds for every $\theta$: $1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta$   $\csc^{2}\theta-\cot^{2}\theta=1$   $\Rightarrow\ \text{the }40^{\circ}\text{ never mattered}$เอกลักษณ์เป็นจริงทุกค่าของ $\theta$: $1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta$   $\csc^{2}\theta-\cot^{2}\theta=1$   $\Rightarrow\ \text{the }40^{\circ}\text{ never mattered}$

4. Compound anglesมุมประกอบ (A ± B)

$\sin(A+B)$ is not $\sin A+\sin B$ — here is what it actually is.$\sin(A+B)$ ไม่ใช่ $\sin A+\sin B$ — ของจริงหน้าตาแบบนี้

Is $\sin(A+B)=\sin A+\sin B$?$\sin(A+B)=\sin A+\sin B$ จริงไหม?

$\sin$ mixes the functions and keeps the sign · $\cos$ keeps like with like and flips the sign$\sin$ สลับฟังก์ชันไขว้กัน และคงเครื่องหมาย · $\cos$ จับพวกเดียวกัน และกลับเครื่องหมาย

1. Expand $\cos(A-B)$.กระจาย $\cos(A-B)$
   Answer:เฉลย: $\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$$\cos$: like with like, sign flips: $\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$   $\sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm\cos A\sin B$   $\text{check }A=B:\ \cos 0=\cos^{2}A+\sin^{2}A=1\ \checkmark$ Set $B=0$ or $A=B$ to test any formula you doubt.$\cos$: จับพวกเดียวกัน เครื่องหมายกลับ: $\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$   $\sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm\cos A\sin B$   $\text{check }A=B:\ \cos 0=\cos^{2}A+\sin^{2}A=1\ \checkmark$ ไม่แน่ใจสูตรไหน ลองแทน $B=0$ หรือ $A=B$ เช็คดู
2. $A$ and $B$ are both acute, $\sin A=\dfrac{3}{5}$ and $\sin B=\dfrac{5}{13}$. Find $\sin(A+B)$ as an exact fraction.$A$ กับ $B$ เป็นมุมแหลมทั้งคู่ · $\sin A=\dfrac{3}{5}$ และ $\sin B=\dfrac{5}{13}$ · หา $\sin(A+B)$ เป็นเศษส่วนแบบ exact
   Answer:เฉลย: $\sin(A+B)=\dfrac{56}{65}$The formula runs on four values: $\cos A=\tfrac{4}{5},\qquad \cos B=\tfrac{12}{13}$   $\sin(A+B)=\tfrac{3}{5}\cdot\tfrac{12}{13}+\tfrac{4}{5}\cdot\tfrac{5}{13}$   $=\tfrac{36}{65}+\tfrac{20}{65}=\tfrac{56}{65}$สูตรใช้แค่ค่าทั้งสี่นี้: $\cos A=\tfrac{4}{5},\qquad \cos B=\tfrac{12}{13}$   $\sin(A+B)=\tfrac{3}{5}\cdot\tfrac{12}{13}+\tfrac{4}{5}\cdot\tfrac{5}{13}$   $=\tfrac{36}{65}+\tfrac{20}{65}=\tfrac{56}{65}$

5. Double anglesมุมสองเท่า

Set $B=A$ and three new lines fall out — including three faces of $\cos 2\theta$.แทน $B=A$ แล้วสามบรรทัดใหม่ร่วงออกมา — รวมสามหน้าของ $\cos 2\theta$

Put $B=A$ into the formulas you just usedแทน $B=A$ ลงในสูตรที่เพิ่งใช้ไป

$\cos 2A=\cos^{2}A-\sin^{2}A=2\cos^{2}A-1=1-2\sin^{2}A$ — three faces, one value$\cos 2A=\cos^{2}A-\sin^{2}A=2\cos^{2}A-1=1-2\sin^{2}A$ — สามหน้า ค่าเดียวกัน

1. Start from $\cos 2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$ and replace $\sin^{2}\theta$ by $1-\cos^{2}\theta$. What comes out?เริ่มจาก $\cos 2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$ แล้วแทน $\sin^{2}\theta$ ด้วย $1-\cos^{2}\theta$ · ได้อะไรออกมา?
   Answer:เฉลย: $\cos 2\theta=2\cos^{2}\theta-1$Pick the face by what to remove: $\cos 2\theta=\cos^{2}\theta-(1-\cos^{2}\theta)=2\cos^{2}\theta-1$   $\cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta\ \Rightarrow\ \cos 2\theta=1-2\sin^{2}\theta$   $\text{all }\cos\ \Rightarrow\ 2\cos^{2}\theta-1$   $\text{all }\sin\ \Rightarrow\ 1-2\sin^{2}\theta$ Choosing the right face is most of the work.เลือกหน้าจากตัวที่อยากกำจัด: $\cos 2\theta=\cos^{2}\theta-(1-\cos^{2}\theta)=2\cos^{2}\theta-1$   $\cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta\ \Rightarrow\ \cos 2\theta=1-2\sin^{2}\theta$   $\text{all }\cos\ \Rightarrow\ 2\cos^{2}\theta-1$   $\text{all }\sin\ \Rightarrow\ 1-2\sin^{2}\theta$ เลือกหน้าให้ถูก คือเนื้องานเกือบทั้งหมด
2. $\theta$ is acute and $\cos\theta=\dfrac{4}{5}$. Find $\cos 2\theta$.$\theta$ เป็นมุมแหลม และ $\cos\theta=\dfrac{4}{5}$ · หา $\cos 2\theta$
   Answer:เฉลย: $\cos 2\theta=\dfrac{7}{25}$The data picks the face: $\cos 2\theta=2\cos^{2}\theta-1$   $=2\left(\tfrac{16}{25}\right)-1=\tfrac{32}{25}-\tfrac{25}{25}=\tfrac{7}{25}$ข้อมูลที่ให้มา เลือกหน้าให้แล้ว: $\cos 2\theta=2\cos^{2}\theta-1$   $=2\left(\tfrac{16}{25}\right)-1=\tfrac{32}{25}-\tfrac{25}{25}=\tfrac{7}{25}$

6. One wave instead of twoรวมสองคลื่นเป็นคลื่นเดียว (R-form)

$a\sin\theta+b\cos\theta=R\sin(\theta+\alpha)$ — the P3 question carrying the most marks.$a\sin\theta+b\cos\theta=R\sin(\theta+\alpha)$ — ข้อที่กินคะแนนมากที่สุดของ P3

$3\sin\theta+4\cos\theta=2$ — you cannot solve this yet$3\sin\theta+4\cos\theta=2$ — ตอนนี้ยังแก้ไม่ได้

$3\sin\theta+4\cos\theta$ as one waveเขียน $3\sin\theta+4\cos\theta$ เป็นคลื่นเดียว

1. $3\sin\theta+4\cos\theta=R\sin(\theta+\alpha)$Two waves in, one wave out. $R$ and $\alpha$ are what you are hunting.คลื่นสองตัวเข้า คลื่นเดียวออก · ที่ต้องหาคือ $R$ กับ $\alpha$
2. $=R\sin\theta\cos\alpha+R\cos\theta\sin\alpha$Expand the right with the compound-angle formula from the last rung.กระจายข้างขวาด้วยสูตรมุมประกอบจากขั้นที่แล้ว
3. $R\cos\alpha=3$Ring this ① — "equation one". The next line is ②.วงเลข ① ไว้ อ่านว่า "สมการหนึ่ง" บรรทัดถัดไปคือ ②
4. $R\sin\alpha=4$Two equations. Name them ① and ② before combining.สองสมการ ตั้งชื่อ ① ② ก่อนเอามารวมกัน
5. $R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$Square and add: $\cos^{2}+\sin^{2}=1$ wipes $\alpha$ out.ยกกำลังสองแล้วบวก: $\cos^{2}+\sin^{2}=1$ ทำให้ $\alpha$ หายไป
6. $\tan\alpha=\tfrac{4}{3}$Divide instead: $R$ cancels and $\tan\alpha$ is left.คราวนี้หารแทน: $R$ ตัดกัน เหลือ $\tan\alpha$
7. $\alpha=53.1^{\circ}$Then $\tan^{-1}$ on its own line.แล้วค่อย $\tan^{-1}$ คนละบรรทัด
8. $5\sin(\theta+53.1^{\circ})$Check at $\theta=0$: left $=4$, right $=5\sin53.1^{\circ}=4$ ✓ตรวจที่ $\theta=0$: ซ้าย $=4$ ขวา $=5\sin53.1^{\circ}=4$ ✓

1. Label the inputs. For $3\sin\theta+4\cos\theta=R\sin(\theta+\alpha)$, which pair of equations is right?ติดป้ายให้ถูกก่อน · สำหรับ $3\sin\theta+4\cos\theta=R\sin(\theta+\alpha)$ คู่สมการไหนถูก?
   Answer:เฉลย: $a=3$ (with $\sin\theta$), $b=4$ (with $\cos\theta$): $R\cos\alpha=3$, $R\sin\alpha=4$$a=3$ (คู่กับ $\sin\theta$), $b=4$ (คู่กับ $\cos\theta$): $R\cos\alpha=3$, $R\sin\alpha=4$Label before you calculate: $a=3\ (\text{with }\sin\theta),\qquad b=4\ (\text{with }\cos\theta)$   $R\cos\alpha=a=3$   $R\sin\alpha=b=4$ Most lost marks here come from labelling wrongly at the start.ติดป้ายก่อน แล้วค่อยคิดเลข: $a=3\ (\text{with }\sin\theta),\qquad b=4\ (\text{with }\cos\theta)$   $R\cos\alpha=a=3$   $R\sin\alpha=b=4$ คะแนนที่หายในโจทย์แบบนี้ ส่วนใหญ่มาจากติดป้ายผิดตั้งแต่ต้น
2. Substitute — numbers in, nothing worked out. With $a=3$, $b=4$, which line is the correct substitution?แทนค่า — ใส่ตัวเลข ยังไม่ต้องคิด · เมื่อ $a=3$, $b=4$ บรรทัดไหนแทนค่าถูก?
   Answer:เฉลย: $R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}$,   $\tan\alpha=\dfrac{4}{3}$Square and add, then divide: $R^{2}\cos^{2}\alpha+R^{2}\sin^{2}\alpha=a^{2}+b^{2}\ \Rightarrow\ R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}$   $\dfrac{R\sin\alpha}{R\cos\alpha}=\dfrac{b}{a}\ \Rightarrow\ \tan\alpha=\dfrac{4}{3}$ยกกำลังสองแล้วบวก แล้วค่อยหาร: $R^{2}\cos^{2}\alpha+R^{2}\sin^{2}\alpha=a^{2}+b^{2}\ \Rightarrow\ R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}$   $\dfrac{R\sin\alpha}{R\cos\alpha}=\dfrac{b}{a}\ \Rightarrow\ \tan\alpha=\dfrac{4}{3}$
3. Evaluate. $R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\;?$คิดเลข · $R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\;?$
   Answer:เฉลย: $R=\sqrt{25}=5$$R$ is the maximum value: $R=\sqrt{25}=5$   $-R\le R\sin(\theta+\alpha)\le R$   $\max\left(3\sin\theta+4\cos\theta\right)=5$$R$ คือค่าสูงสุด: $R=\sqrt{25}=5$   $-R\le R\sin(\theta+\alpha)\le R$   $\max\left(3\sin\theta+4\cos\theta\right)=5$
4. Finish it: express $3\sin\theta+4\cos\theta$ as $R\sin(\theta+\alpha)$ with $R\gt 0$ and $0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}$. Find $\alpha$ in radians, to 3 significant figures.  (3 marks)ทำให้จบ: เขียน $3\sin\theta+4\cos\theta$ เป็น $R\sin(\theta+\alpha)$ โดย $R\gt 0$ และ $0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}$ · หา $\alpha$ เป็นเรเดียน ทศนิยม 3 เลขนัยสำคัญ  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $3\sin\theta+4\cos\theta=5\sin(\theta+0.927)$3 marks: $\text{M1}\quad a=3,\ b=4$   $\text{M2}\quad R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5,\qquad \tan\alpha=\tfrac{4}{3}$   $\text{A1}\quad 3\sin\theta+4\cos\theta=5\sin(\theta+0.927)$3 คะแนน: $\text{M1}\quad a=3,\ b=4$   $\text{M2}\quad R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5,\qquad \tan\alpha=\tfrac{4}{3}$   $\text{A1}\quad 3\sin\theta+4\cos\theta=5\sin(\theta+0.927)$
5. $3\sin\theta+4\cos\theta=5\sin(\theta+0.927)$, so its maximum value is $5$. Find the value of $\theta$ in $0\lt\theta\lt 2\pi$ where that maximum happens, in radians to 3 significant figures.$3\sin\theta+4\cos\theta=5\sin(\theta+0.927)$ ค่ามากที่สุดจึงเป็น $5$ · หาค่า $\theta$ ในช่วง $0\lt\theta\lt 2\pi$ ที่ทำให้เกิดค่ามากสุดนั้น ตอบเป็นเรเดียน 3 เลขนัยสำคัญ
   Answer:เฉลย: $\theta+0.927=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow\theta=0.644$Maximum where the $\sin$ is $1$: $\theta+0.927=\dfrac{\pi}{2}=1.5708$   $\theta=1.5708-0.927=0.644$   $\max=R,\qquad \min=-R$สูงสุดตรงที่ $\sin$ เป็น $1$: $\theta+0.927=\dfrac{\pi}{2}=1.5708$   $\theta=1.5708-0.927=0.644$   $\max=R,\qquad \min=-R$

7. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Solve over the given interval, in radians, and come back with every root.แก้สมการในช่วงที่โจทย์ให้ ตอบเป็นเรเดียน และเก็บรากให้ครบทุกตัว

"Solve for $0\le\theta\lt 2\pi$, giving your answers in radians""Solve for $0\le\theta\lt 2\pi$, giving your answers in radians"

Never divide an equation by $\sin\theta$ or $\cos\theta$ — that deletes every root where it is zero. Factorise instead.ห้ามหารสมการด้วย $\sin\theta$ หรือ $\cos\theta$ — มันลบรากทุกตัวที่ตัวหารเป็นศูนย์ทิ้ง · ให้แยกตัวประกอบแทน

1. You are about to solve $\sin 2\theta=\dfrac12$ for $0\le\theta\lt 2\pi$. What interval must $2\theta$ be allowed to run over?กำลังจะแก้ $\sin 2\theta=\dfrac12$ ในช่วง $0\le\theta\lt 2\pi$ · แล้ว $2\theta$ ต้องวิ่งในช่วงไหน?
   Answer:เฉลย: $0\le 2\theta\lt 4\pi$Double the angle, double the interval: $0\le\theta<2\pi\ \Rightarrow\ 0\le 2\theta<4\pi$   $4\pi=2\ \text{turns}\ \Rightarrow\ 4\ \text{roots}$   $\theta=\tfrac{\pi}{12},\ \tfrac{5\pi}{12},\ \tfrac{13\pi}{12},\ \tfrac{17\pi}{12}$ Solving over $2\pi$ only loses half the marks.มุมคูณสอง ช่วงก็คูณสอง: $0\le\theta<2\pi\ \Rightarrow\ 0\le 2\theta<4\pi$   $4\pi=2\ \text{turns}\ \Rightarrow\ 4\ \text{roots}$   $\theta=\tfrac{\pi}{12},\ \tfrac{5\pi}{12},\ \tfrac{13\pi}{12},\ \tfrac{17\pi}{12}$ ถ้าแก้แค่ช่วง $2\pi$ เสียคะแนนไปครึ่งหนึ่ง
2. Solve $\sin 2\theta=\dfrac12$ for $0\le\theta\le\pi$. Give the exact roots in radians, separated by a comma.แก้ $\sin 2\theta=\dfrac12$ ในช่วง $0\le\theta\le\pi$ · ตอบรากแบบ exact เป็นเรเดียน คั่นด้วยจุลภาค
   Answer:เฉลย: $\theta=\dfrac{\pi}{12},\;\dfrac{5\pi}{12}$Halve the angle last: $0\le\theta\le\pi\ \Rightarrow\ 0\le 2\theta\le 2\pi$   $2\theta=\tfrac{\pi}{6},\ \tfrac{5\pi}{6}$   $\theta=\tfrac{\pi}{12},\ \tfrac{5\pi}{12}$หารสองที่มุม เป็นขั้นสุดท้าย: $0\le\theta\le\pi\ \Rightarrow\ 0\le 2\theta\le 2\pi$   $2\theta=\tfrac{\pi}{6},\ \tfrac{5\pi}{6}$   $\theta=\tfrac{\pi}{12},\ \tfrac{5\pi}{12}$
3. Exam: $5\sin\theta-12\cos\theta$.  (5 marks)ข้อสอบ: $5\sin\theta-12\cos\theta$  (5 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $13\sin(\theta-1.176)=13\Rightarrow\theta-1.176=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow\theta=2.75$5 marks: $\text{M1}\quad R=\sqrt{5^{2}+12^{2}},\qquad \tan\alpha=\tfrac{12}{5}$   $\text{A1}\quad 13\sin(\theta-1.176)$   $\text{M1}\quad \sin(\theta-1.176)=1$   $\text{A1}\quad \theta-1.176=\tfrac{\pi}{2}$   $\text{A1}\quad \theta=2.75$ The right-hand side equals $R$, so there is only one root.5 คะแนน: $\text{M1}\quad R=\sqrt{5^{2}+12^{2}},\qquad \tan\alpha=\tfrac{12}{5}$   $\text{A1}\quad 13\sin(\theta-1.176)$   $\text{M1}\quad \sin(\theta-1.176)=1$   $\text{A1}\quad \theta-1.176=\tfrac{\pi}{2}$   $\text{A1}\quad \theta=2.75$ ฝั่งขวาเท่ากับ $R$ พอดี · มีรากเดียว
4. Exam: $15\sin 2x+8\cos 2x$.  (7 marks)ข้อสอบ: $15\sin 2x+8\cos 2x$  (7 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $17\sin(2x+0.4900)$;  $\sin(2x+0.4900)=\dfrac{12}{17}$ gives $x=0.147$ or $x=0.934$7 marks: $\text{M1}\quad R=\sqrt{15^{2}+8^{2}}=17$   $\text{M2}\quad \tan\alpha=\tfrac{8}{15}\ \Rightarrow\ \alpha=0.4900$   $\text{A1}\quad 17\sin(2x+0.4900)$   $\text{M1}\quad \sin(2x+0.4900)=\tfrac{12}{17}\ \Rightarrow\ 0.7835$   $\text{M2}\quad 2x+0.4900\in[0.4900,\ 2\pi+0.4900)\ \Rightarrow\ 0.7835,\ \pi-0.7835=2.3581$   $\text{A1}\quad x=\dfrac{0.7835-0.4900}{2}=0.147$   $\text{A1}\quad x=\dfrac{2.3581-0.4900}{2}=0.934$ Shift the interval by $\alpha$ before hunting roots, or the second one is lost.7 คะแนน: $\text{M1}\quad R=\sqrt{15^{2}+8^{2}}=17$   $\text{M2}\quad \tan\alpha=\tfrac{8}{15}\ \Rightarrow\ \alpha=0.4900$   $\text{A1}\quad 17\sin(2x+0.4900)$   $\text{M1}\quad \sin(2x+0.4900)=\tfrac{12}{17}\ \Rightarrow\ 0.7835$   $\text{M2}\quad 2x+0.4900\in[0.4900,\ 2\pi+0.4900)\ \Rightarrow\ 0.7835,\ \pi-0.7835=2.3581$   $\text{A1}\quad x=\dfrac{0.7835-0.4900}{2}=0.147$   $\text{A1}\quad x=\dfrac{2.3581-0.4900}{2}=0.934$ เลื่อนช่วงด้วย $\alpha$ ก่อนหาราก ไม่งั้นรากที่สองหาย
5. Solve $3\cos 2\theta+\cos\theta+2=0$ for $0\le\theta\le\pi$, giving your answers in radians to 2 decimal places.แก้ $3\cos 2\theta+\cos\theta+2=0$ สำหรับ $0\le\theta\le\pi$ ตอบเป็น radian ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
   Answer:เฉลย: $6\cos^{2}\theta+\cos\theta-1=0\Rightarrow\cos\theta=\tfrac13$ or $-\tfrac12$:  $\theta=1.23$ or $\theta=2.09$The other term picks the face: $\cos\theta\ \text{elsewhere}\ \Rightarrow\ \cos 2\theta=2\cos^{2}\theta-1$   $3(2c^{2}-1)+c+2=0$   $6c^{2}+c-1=(3c-1)(2c+1)=0$   $c=\tfrac13\ \Rightarrow\ \theta=1.23$   $c=-\tfrac12\ \Rightarrow\ \theta=\tfrac{2\pi}{3}=2.09$ A $\sin\theta$ elsewhere would need the $\sin$ face instead.พจน์ที่เหลือ เลือกหน้าให้: $\cos\theta\ \text{elsewhere}\ \Rightarrow\ \cos 2\theta=2\cos^{2}\theta-1$   $3(2c^{2}-1)+c+2=0$   $6c^{2}+c-1=(3c-1)(2c+1)=0$   $c=\tfrac13\ \Rightarrow\ \theta=1.23$   $c=-\tfrac12\ \Rightarrow\ \theta=\tfrac{2\pi}{3}=2.09$ ถ้าพจน์ที่เหลือเป็น $\sin\theta$ ต้องใช้หน้า $\sin$ แทน

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. Express $7\sin\theta+24\cos\theta$ in the form $R\sin(\theta+\alpha)$, where $R\gt 0$ and $0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}$, giving $\alpha$ in radians to 3 significant figures.Identical to the level 4 worked example, numbers changed — and another Pythagorean triple, so $R$ stays an integer. If the labelling landed, this is one clean minute.เหมือนตัวอย่างในขั้นที่ 4 เป๊ะ เปลี่ยนแค่ตัวเลข — และเป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสอีกชุด $R$ จึงยังเป็นจำนวนเต็ม · ถ้าเรื่องติดป้ายแน่นจริง ข้อนี้จบในหนึ่งนาที
2. Express $2\sin\theta-3\cos\theta$ in the form $R\sin(\theta-\alpha)$, where $R\gt 0$ and $0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}$.Same method, but $R$ is now a surd and must stay one — $3.61$ costs the accuracy mark. The minus sign is already handled by the form $R\sin(\theta-\alpha)$, so $b=3$ stays positive.วิธีเดิม แต่ $R$ กลายเป็นรูทและต้องคงรูปไว้ — ตอบ $3.61$ เสียคะแนนความแม่นยำ · เครื่องหมายลบถูกจัดการโดยรูป $R\sin(\theta-\alpha)$ อยู่แล้ว $b=3$ จึงยังเป็นบวก
3. Express $5\cos\theta+12\sin\theta$ in the form $R\cos(\theta-\alpha)$, where $R\gt 0$ and $0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}$.The target form changed to $\cos$ and the terms are written the other way round. Anyone who memorised "first number over second number" fails here; anyone who compares with the expansion just reads it off.รูปเป้าหมายเปลี่ยนเป็น $\cos$ และพจน์เขียนสลับข้าง · ใครท่องว่า "เลขตัวแรกหารเลขตัวหลัง" จะพังตรงนี้ · ใครเทียบกับตัวกระจายจะอ่านออกมาได้ตรงๆ
4. Prove that $\csc\theta-\cot\theta\cos\theta \equiv \sin\theta$.Reciprocals from level 1 plus the warm-up identity, in one chain. The move that starts every proof of this kind: write everything in $\sin$ and $\cos$ first, then tidy.ส่วนกลับจากขั้นที่ 1 บวกเอกลักษณ์จากตอนวอร์มอัพ ต่อกันเป็นสายเดียว · ท่าเปิดของการพิสูจน์แบบนี้ทุกข้อ: เขียนทุกอย่างให้เป็น $\sin$ กับ $\cos$ ก่อน แล้วค่อยจัดรูป
5. A student's final line reads $13\sin(\theta+0.395)$. What expression in the form $a\sin\theta+b\cos\theta$ did they start from?The answer is given and the setup is the question. It only works if you know which of $R\cos\alpha$ and $R\sin\alpha$ belongs to which term — the exact thing the labelling slide drilled.ให้คำตอบมา แล้วถามหาโจทย์ · ทำได้ก็ต่อเมื่อรู้ว่า $R\cos\alpha$ กับ $R\sin\alpha$ ตัวไหนเป็นของพจน์ไหน — ตรงกับที่สไลด์ติดป้ายฝึกไว้เป๊ะ
6. (a) Express $3\cos\theta+4\sin\theta$ in the form $R\cos(\theta-\alpha)$, where $R\gt 0$ and $0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}$. (3 marks)  (b) Hence solve $3\cos\theta+4\sin\theta=2$ for $0\le\theta\le 2\pi$, giving your answers in radians correct to 3 significant figures. (4 marks)Full CAIE wording with the marks split up. In part (b) the important step is the $\pm$ that comes from $\cos$. The negative branch gives $\theta=-0.232$. Add $2\pi$ to bring it inside the interval.ภาษาข้อสอบ CAIE เต็มรูปแบบ พร้อมแบ่งคะแนน · จุดสำคัญของข้อ (b) คือ $\pm$ ที่มาจาก $\cos$ · กิ่งลบให้ $\theta=-0.232$ · ต้องบวก $2\pi$ เพื่อให้เข้ามาอยู่ในช่วง
7. A student solves $\sin 2\theta=\sin\theta$ for $0\le\theta\lt 2\pi$ by dividing both sides by $\sin\theta$, reaching $2\cos\theta=1$ and $\theta=\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$. Find the error and give all the roots.Two roots were lost because of a division that looked harmless. This is the same mistake that level 5 was built around. If you can find it in someone else's work, you will not make it yourself.รากสองตัวหายไปเพราะการหารที่ดูไม่มีอันตราย · เป็นข้อผิดพลาดเดียวกับที่ขั้นที่ 5 สร้างขึ้นมาเพื่อป้องกัน · ถ้าตรวจเจอในงานของคนอื่นได้ เราก็จะไม่ทำผิดแบบนี้เอง

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี