Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Trigonometryตรีโกณมิติขั้นสูง
A-Level Pure 3 · CAIE 9709/3 & Edexcel IAL WMA13 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม
An exact value, and the identity that gives the partnerค่าที่แน่นอน กับเอกลักษณ์ที่ให้ค่าคู่กันมา
Everything today is $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ plus two identities built from it.ทั้งบทวันนี้คือ $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ บวกอีกสองเอกลักษณ์ที่สร้างจากมัน
- Exact value, no calculator: $\sin 60^{\circ}=\;?$ค่า exact ห้ามใช้เครื่องคิดเลข: $\sin 60^{\circ}=\;?$
Answer:เฉลย: $\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$Exact values, no calculator: $\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ค่าตรงตัว ไม่ใช้เครื่องคิดเลข: $\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
- $\theta$ is acute and $\sin\theta=\dfrac{3}{5}$. Find $\cos\theta$.$\theta$ เป็นมุมแหลม และ $\sin\theta=\dfrac{3}{5}$ · หา $\cos\theta$
Answer:เฉลย: $\cos\theta=\dfrac{4}{5}$$\sin^{2}+\cos^{2}=1$: $\cos^{2}\theta=1-\tfrac{9}{25}=\tfrac{16}{25}$ $\cos\theta=\tfrac{4}{5}\quad(\text{acute}\Rightarrow\text{positive})$$\sin^{2}+\cos^{2}=1$: $\cos^{2}\theta=1-\tfrac{9}{25}=\tfrac{16}{25}$ $\cos\theta=\tfrac{4}{5}\quad(\text{acute}\Rightarrow\text{positive})$
2. Three new names, no new mathsชื่อใหม่สามตัว ไม่มีคณิตใหม่
$\sec$, $\csc$ and $\cot$ are $1$ divided by the three functions you already own.$\sec$, $\csc$, $\cot$ คือ $1$ หารด้วยสามฟังก์ชันที่มีอยู่แล้ว
You can already write down every value on this lineค่าทุกตัวในบรรทัดนี้ เขียนได้อยู่แล้ว
Nothing new today: divide $1$ by each value and name the result.วันนี้ไม่มีนิยามใหม่ · เอา $1$ หารค่าแต่ละตัว แล้วตั้งชื่อให้ผลลัพธ์
$\theta$ acute, $\cos\theta=\tfrac45$$\theta$ มุมแหลม $\cos\theta=\tfrac45$
- $\cos\theta=\tfrac45$LABEL. Read the sides off the triangle.ติดป้าย · อ่านด้านจากรูป
- $\sin\theta=\tfrac35$
- $\sec\theta=\dfrac{1}{4/5}=\dfrac54$SUBSTITUTE, EVALUATE.แทนค่า · คิด
- $\csc\theta=\dfrac{1}{3/5}=\dfrac53$
- $\cot\theta=\dfrac{1}{3/4}=\dfrac43$
- No new rule is needed. Work it out: $\dfrac{1}{\cos 60^{\circ}}=\;?$ไม่ต้องใช้กฎใหม่ คิดเลขตรงๆ: $\dfrac{1}{\cos 60^{\circ}}=\;?$
Answer:เฉลย: $\dfrac{1}{\cos 60^{\circ}}=\dfrac{1}{1/2}=2$Ordinary fraction work: $\dfrac{1}{\cos 60^{\circ}}=\dfrac{1}{1/2}=2$หารเศษส่วนธรรมดา: $\dfrac{1}{\cos 60^{\circ}}=\dfrac{1}{1/2}=2$
- Which expression is $\csc\theta$?นิพจน์ไหนคือ $\csc\theta$?
Answer:เฉลย: $\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}$Change back to $\sin,\cos,\tan$ first: $\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}$ $\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}$ $\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}$ The third letter names the partner: cosec with sin, sec with cos.เปลี่ยนกลับเป็น $\sin,\cos,\tan$ ก่อน: $\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}$ $\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}$ $\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}$ ตัวอักษรที่สามบอกคู่: cosec คู่กับ sin · sec คู่กับ cos
3. Divide the identity you ownหารเอกลักษณ์ที่มีอยู่แล้ว
$1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta$ and $1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta$ are one old line, divided.$1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta$ กับ $1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta$ คือบรรทัดเก่าบรรทัดเดียว ที่ถูกหาร
Divide $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ by $\cos^{2}\theta$เอา $\cos^{2}\theta$ ไปหาร $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$
Name each piece, left to right: $\tan^{2}\theta$ · $1$ · $\sec^{2}\theta$ตั้งชื่อทีละก้อน จากซ้ายไปขวา: $\tan^{2}\theta$ · $1$ · $\sec^{2}\theta$
$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$, divided by $\sin^{2}\theta$เอา $\sin^{2}\theta$ หาร $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$
- $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$Same identity, divided by $\sin^{2}\theta$ this time.เอกลักษณ์เดิม หารด้วย $\sin^{2}\theta$ รอบนี้
- $\dfrac{\sin^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}+\dfrac{\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}=\dfrac{1}{\sin^{2}\theta}$
- $1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta$Name each piece: $1$ · $\cot^{2}\theta$ · $\csc^{2}\theta$.ตั้งชื่อทีละก้อน: $1$ · $\cot^{2}\theta$ · $\csc^{2}\theta$
- Finish that division. Which line comes out?หารให้จบ · ได้บรรทัดไหนออกมา?
Answer:เฉลย: $1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta$Divide the Pure 1 identity through: $\dfrac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}+\dfrac{\cos^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}$ $1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta$ $\text{divide by }\sin^{2}\theta\ \Rightarrow\ \cot^{2}\theta+1=\csc^{2}\theta$หารเอกลักษณ์ Pure 1 ทั้งบรรทัด: $\dfrac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}+\dfrac{\cos^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}=\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}$ $1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta$ $\text{divide by }\sin^{2}\theta\ \Rightarrow\ \cot^{2}\theta+1=\csc^{2}\theta$
- $\theta$ is acute and $\tan\theta=\dfrac{3}{4}$. Find $\sec\theta$.$\theta$ เป็นมุมแหลม และ $\tan\theta=\dfrac{3}{4}$ · หา $\sec\theta$
Answer:เฉลย: $\sec\theta=\dfrac{5}{4}$Change function, never find $\theta$: $\sec^{2}\theta=1+\tan^{2}\theta=1+\tfrac{9}{16}=\tfrac{25}{16}$ $\sec\theta=\tfrac{5}{4}$เปลี่ยนฟังก์ชัน ไม่ต้องหา $\theta$: $\sec^{2}\theta=1+\tan^{2}\theta=1+\tfrac{9}{16}=\tfrac{25}{16}$ $\sec\theta=\tfrac{5}{4}$
- No calculator: what is the value of $\csc^{2}40^{\circ}-\cot^{2}40^{\circ}$?ห้ามใช้เครื่องคิดเลข: $\csc^{2}40^{\circ}-\cot^{2}40^{\circ}$ มีค่าเท่าไร?
Answer:เฉลย: $\csc^{2}40^{\circ}-\cot^{2}40^{\circ}=1$An identity holds for every $\theta$: $1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta$ $\csc^{2}\theta-\cot^{2}\theta=1$ $\Rightarrow\ \text{the }40^{\circ}\text{ never mattered}$เอกลักษณ์เป็นจริงทุกค่าของ $\theta$: $1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta$ $\csc^{2}\theta-\cot^{2}\theta=1$ $\Rightarrow\ \text{the }40^{\circ}\text{ never mattered}$
4. Compound anglesมุมประกอบ (A ± B)
$\sin(A+B)$ is not $\sin A+\sin B$. Here is the correct form.$\sin(A+B)$ ไม่ใช่ $\sin A+\sin B$ · ของจริงหน้าตาแบบนี้
Is $\sin(A+B)=\sin A+\sin B$?$\sin(A+B)=\sin A+\sin B$ จริงไหม?
These three are given in the formula booklet, not derived.สามสูตรนี้ให้มาในหนังสือสูตร ไม่ต้องพิสูจน์
$\cos15^{\circ}=\cos(45^{\circ}-30^{\circ})$$\cos15^{\circ}=\cos(45^{\circ}-30^{\circ})$
- $\cos(45^{\circ}-30^{\circ})$LABEL. Split into angles you know.ติดป้าย · แยกเป็นมุมที่รู้ค่า
- $=\cos45^{\circ}\cos30^{\circ}+\sin45^{\circ}\sin30^{\circ}$SUBSTITUTE. Copy the formula, numbers in.แทนค่า · ลอกสูตรใส่ตัวเลข
- $=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12$
- $=\dfrac{\sqrt6}{4}+\dfrac{\sqrt2}{4}$EVALUATE.คิด
- $=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$
- Expand $\cos(A-B)$.กระจาย $\cos(A-B)$
Answer:เฉลย: $\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$$\cos$ pairs like, sign flips: $\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$ $\sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm\cos A\sin B$ $\text{check }A=B:\ \cos 0=\cos^{2}A+\sin^{2}A=1\ \checkmark$ Set $B=0$ or $A=B$ to test any formula you doubt.$\cos$: จับพวกเดียวกัน เครื่องหมายกลับ: $\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$ $\sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm\cos A\sin B$ $\text{check }A=B:\ \cos 0=\cos^{2}A+\sin^{2}A=1\ \checkmark$ ไม่แน่ใจสูตรไหน ลองแทน $B=0$ หรือ $A=B$ ตรวจดู
- $A$ and $B$ are both acute, $\sin A=\dfrac{3}{5}$ and $\sin B=\dfrac{5}{13}$. Find $\sin(A+B)$ as an exact fraction.$A$ กับ $B$ เป็นมุมแหลมทั้งคู่ · $\sin A=\dfrac{3}{5}$ และ $\sin B=\dfrac{5}{13}$ · หา $\sin(A+B)$ เป็นเศษส่วนแบบ exact
Answer:เฉลย: $\sin(A+B)=\dfrac{56}{65}$The formula runs on four values: $\cos A=\tfrac{4}{5},\qquad \cos B=\tfrac{12}{13}$ $\sin(A+B)=\tfrac{3}{5}\cdot\tfrac{12}{13}+\tfrac{4}{5}\cdot\tfrac{5}{13}$ $=\tfrac{36}{65}+\tfrac{20}{65}=\tfrac{56}{65}$สูตรใช้แค่ค่าทั้งสี่นี้: $\cos A=\tfrac{4}{5},\qquad \cos B=\tfrac{12}{13}$ $\sin(A+B)=\tfrac{3}{5}\cdot\tfrac{12}{13}+\tfrac{4}{5}\cdot\tfrac{5}{13}$ $=\tfrac{36}{65}+\tfrac{20}{65}=\tfrac{56}{65}$
5. Double anglesมุมสองเท่า
Set $B=A$. Three new lines follow, including three faces of $\cos 2\theta$.แทน $B=A$ แล้วได้สามบรรทัดใหม่ · รวมสามหน้าของ $\cos 2\theta$
Put $B=A$ into the formulas you used beforeแทน $B=A$ ลงในสูตรที่ใช้มาก่อนหน้า
Picking the right $\cos$ face is most of the work.เลือกหน้า $\cos$ ให้ถูก คือเนื้องานส่วนใหญ่
$\theta$ acute, $\sin\theta=\tfrac35$: find $\sin2\theta$$\theta$ มุมแหลม $\sin\theta=\tfrac35$: หา $\sin2\theta$
- $\sin\theta=\tfrac35$LABEL. Same triangle as the warm-up.ติดป้าย · สามเหลี่ยมเดิมจากวอร์มอัพ
- $\cos\theta=\tfrac45$
- $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$SUBSTITUTE.แทนค่า
- $=2\times\tfrac35\times\tfrac45$
- $=\tfrac{24}{25}$EVALUATE.คิด
- Start from $\cos 2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$ and replace $\sin^{2}\theta$ by $1-\cos^{2}\theta$. What comes out?เริ่มจาก $\cos 2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$ แล้วแทน $\sin^{2}\theta$ ด้วย $1-\cos^{2}\theta$ · ได้อะไรออกมา?
Answer:เฉลย: $\cos 2\theta=2\cos^{2}\theta-1$Pick the matching face: $\cos 2\theta=\cos^{2}\theta-(1-\cos^{2}\theta)=2\cos^{2}\theta-1$ $\cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta\ \Rightarrow\ \cos 2\theta=1-2\sin^{2}\theta$ $\text{all }\cos\ \Rightarrow\ 2\cos^{2}\theta-1$ $\text{all }\sin\ \Rightarrow\ 1-2\sin^{2}\theta$ Choosing the right face is most of the work.เลือกหน้าจากตัวที่อยากเก็บไว้: $\cos 2\theta=\cos^{2}\theta-(1-\cos^{2}\theta)=2\cos^{2}\theta-1$ $\cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta\ \Rightarrow\ \cos 2\theta=1-2\sin^{2}\theta$ $\text{all }\cos\ \Rightarrow\ 2\cos^{2}\theta-1$ $\text{all }\sin\ \Rightarrow\ 1-2\sin^{2}\theta$ เลือกหน้าให้ถูก คือเนื้องานเกือบทั้งหมด
- $\theta$ is acute and $\cos\theta=\dfrac{4}{5}$. Find $\cos 2\theta$.$\theta$ เป็นมุมแหลม และ $\cos\theta=\dfrac{4}{5}$ · หา $\cos 2\theta$
Answer:เฉลย: $\cos 2\theta=\dfrac{7}{25}$The data picks the face: $\cos 2\theta=2\cos^{2}\theta-1$ $=2\left(\tfrac{16}{25}\right)-1=\tfrac{32}{25}-\tfrac{25}{25}=\tfrac{7}{25}$ข้อมูลที่ให้มา เลือกหน้าให้แล้ว: $\cos 2\theta=2\cos^{2}\theta-1$ $=2\left(\tfrac{16}{25}\right)-1=\tfrac{32}{25}-\tfrac{25}{25}=\tfrac{7}{25}$
6. One wave instead of twoรวมสองคลื่นเป็นคลื่นเดียว (R-form)
$a\sin\theta+b\cos\theta=R\sin(\theta+\alpha)$. This P3 question carries the most marks.$a\sin\theta+b\cos\theta=R\sin(\theta+\alpha)$ · ข้อที่กินคะแนนมากที่สุดของ P3
$3\sin\theta+4\cos\theta=2$: you cannot solve this yet$3\sin\theta+4\cos\theta=2$ — ตอนนี้ยังแก้ไม่ได้
No inverse undoes two functions. Read this backwards and match the numbers.ฟังก์ชันผกผันแก้สองฟังก์ชันพร้อมกันไม่ได้ · อ่านสูตรนี้ย้อนกลับ แล้วจับคู่ตัวเลข
$3\sin\theta+4\cos\theta$ as one waveเขียน $3\sin\theta+4\cos\theta$ เป็นคลื่นเดียว
- $3\sin\theta+4\cos\theta=R\sin(\theta+\alpha)$Find $R$ and $\alpha$.สิ่งที่ต้องหาคือ $R$ กับ $\alpha$
- $=R\sin\theta\cos\alpha+R\cos\theta\sin\alpha$Expand the right with the compound-angle formula.กระจายข้างขวาด้วยสูตรมุมประกอบ
- $R\cos\alpha=3$Ring this ①. It is "equation one". The next line is ②.วงเลข ① ไว้ อ่านว่า "สมการหนึ่ง" บรรทัดถัดไปคือ ②
- $R\sin\alpha=4$Two equations. Name them ① and ② before combining.สองสมการ ตั้งชื่อ ① ② ก่อนเอามารวมกัน
- $R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$Square and add: $\cos^{2}+\sin^{2}=1$ wipes $\alpha$ out.ยกกำลังสองแล้วบวก: $\cos^{2}+\sin^{2}=1$ ทำให้ $\alpha$ หายไป
- $\tan\alpha=\tfrac{4}{3}$Divide instead: $R$ cancels and $\tan\alpha$ is left.คราวนี้หารแทน: $R$ ตัดกัน เหลือ $\tan\alpha$
- $\alpha=53.1^{\circ}$Then $\tan^{-1}$ on its own line.แล้วค่อย $\tan^{-1}$ คนละบรรทัด
- $5\sin(\theta+53.1^{\circ})$Check at $\theta=0$: left $=4$, right $=5\sin53.1^{\circ}\approx4$ ✓ตรวจที่ $\theta=0$: ซ้าย $=4$ ขวา $=5\sin53.1^{\circ}\approx4$ ✓
- Label the inputs. For $3\sin\theta+4\cos\theta=R\sin(\theta+\alpha)$, which pair of equations is right?ติดป้ายให้ถูกก่อน · สำหรับ $3\sin\theta+4\cos\theta=R\sin(\theta+\alpha)$ คู่สมการไหนถูก?
Answer:เฉลย: $a=3$ (with $\sin\theta$), $b=4$ (with $\cos\theta$): $R\cos\alpha=3$, $R\sin\alpha=4$$a=3$ (คู่กับ $\sin\theta$), $b=4$ (คู่กับ $\cos\theta$): $R\cos\alpha=3$, $R\sin\alpha=4$Label before you calculate: $a=3\ (\text{with }\sin\theta),\qquad b=4\ (\text{with }\cos\theta)$ $R\cos\alpha=a=3$ $R\sin\alpha=b=4$ Most lost marks here come from labelling wrongly at the start.ติดป้ายก่อน แล้วค่อยคิดเลข: $a=3\ (\text{with }\sin\theta),\qquad b=4\ (\text{with }\cos\theta)$ $R\cos\alpha=a=3$ $R\sin\alpha=b=4$ คะแนนที่หายในโจทย์แบบนี้ ส่วนใหญ่มาจากติดป้ายผิดตั้งแต่ต้น
- Substitute the numbers. Work out nothing yet. With $a=3$, $b=4$, which line is the correct substitution?แทนค่า: ใส่ตัวเลข ยังไม่ต้องคิด · เมื่อ $a=3$, $b=4$ บรรทัดไหนแทนค่าถูก?
Answer:เฉลย: $R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}$, $\tan\alpha=\dfrac{4}{3}$Square and add, then divide: $R^{2}\cos^{2}\alpha+R^{2}\sin^{2}\alpha=a^{2}+b^{2}\ \Rightarrow\ R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}$ $\dfrac{R\sin\alpha}{R\cos\alpha}=\dfrac{b}{a}\ \Rightarrow\ \tan\alpha=\dfrac{4}{3}$ยกกำลังสองแล้วบวก แล้วค่อยหาร: $R^{2}\cos^{2}\alpha+R^{2}\sin^{2}\alpha=a^{2}+b^{2}\ \Rightarrow\ R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}$ $\dfrac{R\sin\alpha}{R\cos\alpha}=\dfrac{b}{a}\ \Rightarrow\ \tan\alpha=\dfrac{4}{3}$
- Evaluate. $R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\;?$คิดเลข · $R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\;?$
Answer:เฉลย: $R=\sqrt{25}=5$$R$ is the maximum value: $R=\sqrt{25}=5$ $-R\le R\sin(\theta+\alpha)\le R$ $\max\left(3\sin\theta+4\cos\theta\right)=5$$R$ คือค่าสูงสุด: $R=\sqrt{25}=5$ $-R\le R\sin(\theta+\alpha)\le R$ $\max\left(3\sin\theta+4\cos\theta\right)=5$
- Finish it: express $3\sin\theta+4\cos\theta$ as $R\sin(\theta+\alpha)$ with $R\gt 0$ and $0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}$. Find $\alpha$ in radians, to 3 significant figures. (3 marks)ทำให้จบ: เขียน $3\sin\theta+4\cos\theta$ เป็น $R\sin(\theta+\alpha)$ โดย $R\gt 0$ และ $0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}$ · หา $\alpha$ เป็นเรเดียน ทศนิยม 3 เลขนัยสำคัญ (3 คะแนน)
Answer:เฉลย: $3\sin\theta+4\cos\theta=5\sin(\theta+0.927)$3 marks: $\text{M1}\quad a=3,\ b=4$ $\text{M2}\quad R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5,\qquad \tan\alpha=\tfrac{4}{3}$ $\text{A1}\quad 3\sin\theta+4\cos\theta=5\sin(\theta+0.927)$3 คะแนน: $\text{M1}\quad a=3,\ b=4$ $\text{M2}\quad R=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5,\qquad \tan\alpha=\tfrac{4}{3}$ $\text{A1}\quad 3\sin\theta+4\cos\theta=5\sin(\theta+0.927)$
- $3\sin\theta+4\cos\theta=5\sin(\theta+0.927)$. Find the value of $\theta$ in $0\lt\theta\lt 2\pi$ where the maximum happens, in radians to 3 significant figures.$3\sin\theta+4\cos\theta=5\sin(\theta+0.927)$ · หาค่า $\theta$ ในช่วง $0\lt\theta\lt 2\pi$ ที่ทำให้เกิดค่ามากสุดนั้น ตอบเป็นเรเดียน 3 เลขนัยสำคัญ
Answer:เฉลย: $\theta+0.927=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow\theta=0.644$Maximum where the $\sin$ is $1$: $\theta+0.927=\dfrac{\pi}{2}=1.5708$ $\theta=1.5708-0.927=0.644$ $\max=R,\qquad \min=-R$สูงสุดตรงที่ $\sin$ เป็น $1$: $\theta+0.927=\dfrac{\pi}{2}=1.5708$ $\theta=1.5708-0.927=0.644$ $\max=R,\qquad \min=-R$
7. Exam formรูปแบบข้อสอบ
Solve over the given interval, in radians, and come back with every root.แก้สมการในช่วงที่โจทย์ให้ ตอบเป็นเรเดียน และเก็บรากให้ครบทุกตัว
"Solve for $0\le\theta\lt 2\pi$, giving your answers in radians""Solve for $0\le\theta\lt 2\pi$, giving your answers in radians"
Never divide by $\sin\theta$ or $\cos\theta$: it deletes roots. Factorise instead.ห้ามหารด้วย $\sin\theta$ หรือ $\cos\theta$ · รากจะหาย · แยกตัวประกอบแทน
- You are about to solve $\sin 2\theta=\dfrac12$ for $0\le\theta\lt 2\pi$. What interval must $2\theta$ be allowed to run over?กำลังจะแก้ $\sin 2\theta=\dfrac12$ ในช่วง $0\le\theta\lt 2\pi$ · แล้ว $2\theta$ ต้องวิ่งในช่วงไหน?
Answer:เฉลย: $0\le 2\theta\lt 4\pi$Double the angle, double the interval: $0\le\theta<2\pi\ \Rightarrow\ 0\le 2\theta<4\pi$ $4\pi=2\ \text{turns}\ \Rightarrow\ 4\ \text{roots}$ $\theta=\tfrac{\pi}{12},\ \tfrac{5\pi}{12},\ \tfrac{13\pi}{12},\ \tfrac{17\pi}{12}$ Solving over $2\pi$ only loses half the marks.มุมคูณสอง ช่วงก็คูณสอง: $0\le\theta<2\pi\ \Rightarrow\ 0\le 2\theta<4\pi$ $4\pi=2\ \text{turns}\ \Rightarrow\ 4\ \text{roots}$ $\theta=\tfrac{\pi}{12},\ \tfrac{5\pi}{12},\ \tfrac{13\pi}{12},\ \tfrac{17\pi}{12}$ ถ้าแก้แค่ช่วง $2\pi$ เสียคะแนนไปครึ่งหนึ่ง
- Solve $\sin 2\theta=\dfrac12$ for $0\le\theta\le\pi$. Give the exact roots in radians, separated by a comma.แก้ $\sin 2\theta=\dfrac12$ ในช่วง $0\le\theta\le\pi$ · ตอบรากแบบ exact เป็นเรเดียน คั่นด้วยจุลภาค
Answer:เฉลย: $\theta=\dfrac{\pi}{12},\;\dfrac{5\pi}{12}$Halve the angle last: $0\le\theta\le\pi\ \Rightarrow\ 0\le 2\theta\le 2\pi$ $2\theta=\tfrac{\pi}{6},\ \tfrac{5\pi}{6}$ $\theta=\tfrac{\pi}{12},\ \tfrac{5\pi}{12}$หารสองที่มุม เป็นขั้นสุดท้าย: $0\le\theta\le\pi\ \Rightarrow\ 0\le 2\theta\le 2\pi$ $2\theta=\tfrac{\pi}{6},\ \tfrac{5\pi}{6}$ $\theta=\tfrac{\pi}{12},\ \tfrac{5\pi}{12}$
- Exam: $5\sin\theta-12\cos\theta$. (5 marks)ข้อสอบ: $5\sin\theta-12\cos\theta$ (5 คะแนน)
Answer:เฉลย: $13\sin(\theta-1.176)=13\Rightarrow\theta-1.176=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow\theta=2.75$5 marks: $\text{M1}\quad R=\sqrt{5^{2}+12^{2}},\qquad \tan\alpha=\tfrac{12}{5}$ $\text{A1}\quad 13\sin(\theta-1.176)$ $\text{M1}\quad \sin(\theta-1.176)=1$ $\text{A1}\quad \theta-1.176=\tfrac{\pi}{2}$ $\text{A1}\quad \theta=2.75$ The right-hand side equals $R$, so there is only one root.5 คะแนน: $\text{M1}\quad R=\sqrt{5^{2}+12^{2}},\qquad \tan\alpha=\tfrac{12}{5}$ $\text{A1}\quad 13\sin(\theta-1.176)$ $\text{M1}\quad \sin(\theta-1.176)=1$ $\text{A1}\quad \theta-1.176=\tfrac{\pi}{2}$ $\text{A1}\quad \theta=2.75$ ฝั่งขวาเท่ากับ $R$ พอดี · มีรากเดียว
- Exam: $15\sin 2x+8\cos 2x$. (7 marks)ข้อสอบ: $15\sin 2x+8\cos 2x$ (7 คะแนน)
Answer:เฉลย: $17\sin(2x+0.4900)$; $\sin(2x+0.4900)=\dfrac{12}{17}$ gives $x=0.147$ or $x=0.934$7 marks: $\text{M1}\quad R=\sqrt{15^{2}+8^{2}}=17$ $\text{M2}\quad \tan\alpha=\tfrac{8}{15}\ \Rightarrow\ \alpha=0.4900$ $\text{A1}\quad 17\sin(2x+0.4900)$ $\text{M1}\quad \sin(2x+0.4900)=\tfrac{12}{17}\ \Rightarrow\ 0.7835$ $\text{M2}\quad 2x+0.4900\in[0.4900,\ 2\pi+0.4900)\ \Rightarrow\ 0.7835,\ \pi-0.7835=2.3581$ $\text{A1}\quad x=\dfrac{0.7835-0.4900}{2}=0.147$ $\text{A1}\quad x=\dfrac{2.3581-0.4900}{2}=0.934$ Shift the interval by $\alpha$ before hunting roots, or the second one is lost.7 คะแนน: $\text{M1}\quad R=\sqrt{15^{2}+8^{2}}=17$ $\text{M2}\quad \tan\alpha=\tfrac{8}{15}\ \Rightarrow\ \alpha=0.4900$ $\text{A1}\quad 17\sin(2x+0.4900)$ $\text{M1}\quad \sin(2x+0.4900)=\tfrac{12}{17}\ \Rightarrow\ 0.7835$ $\text{M2}\quad 2x+0.4900\in[0.4900,\ 2\pi+0.4900)\ \Rightarrow\ 0.7835,\ \pi-0.7835=2.3581$ $\text{A1}\quad x=\dfrac{0.7835-0.4900}{2}=0.147$ $\text{A1}\quad x=\dfrac{2.3581-0.4900}{2}=0.934$ เลื่อนช่วงด้วย $\alpha$ ก่อนหาราก ไม่งั้นรากที่สองหาย
- Solve $3\cos 2\theta+\cos\theta+2=0$ for $0\le\theta\le\pi$, giving your answers in radians to 2 decimal places.แก้ $3\cos 2\theta+\cos\theta+2=0$ สำหรับ $0\le\theta\le\pi$ ตอบเป็น radian ทศนิยม 2 ตำแหน่ง
Answer:เฉลย: $6\cos^{2}\theta+\cos\theta-1=0\Rightarrow\cos\theta=\tfrac13$ or $-\tfrac12$: $\theta=1.23$ or $\theta=2.09$The other term picks the face: $\cos\theta\ \text{elsewhere}\ \Rightarrow\ \cos 2\theta=2\cos^{2}\theta-1$ $3(2c^{2}-1)+c+2=0$ $6c^{2}+c-1=(3c-1)(2c+1)=0$ $c=\tfrac13\ \Rightarrow\ \theta=1.23$ $c=-\tfrac12\ \Rightarrow\ \theta=\tfrac{2\pi}{3}=2.09$ A $\sin\theta$ elsewhere would need the $\sin$ face instead.พจน์ที่เหลือ เลือกหน้าให้: $\cos\theta\ \text{elsewhere}\ \Rightarrow\ \cos 2\theta=2\cos^{2}\theta-1$ $3(2c^{2}-1)+c+2=0$ $6c^{2}+c-1=(3c-1)(2c+1)=0$ $c=\tfrac13\ \Rightarrow\ \theta=1.23$ $c=-\tfrac12\ \Rightarrow\ \theta=\tfrac{2\pi}{3}=2.09$ ถ้าพจน์ที่เหลือเป็น $\sin\theta$ ต้องใช้หน้า $\sin$ แทน
8. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
- Express $7\sin\theta+24\cos\theta$ in the form $R\sin(\theta+\alpha)$, where $R\gt 0$ and $0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}$, giving $\alpha$ in radians to 3 significant figures.
Answer:เฉลย: $R=\sqrt{7^{2}+24^{2}}=25$, $\tan\alpha=\frac{24}{7}$, $\alpha=1.287$: $25\sin(\theta+1.287)$Identical to the level 4 example, numbers changed: another Pythagorean triple, so $R$ stays an integer.เหมือนตัวอย่างขั้นที่ 4 เปลี่ยนแค่ตัวเลข: เป็นสามพีทาโกรัสอีกชุด $R$ จึงเป็นจำนวนเต็ม
- Express $2\sin\theta-3\cos\theta$ in the form $R\sin(\theta-\alpha)$, where $R\gt 0$ and $0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}$.
Answer:เฉลย: $R=\sqrt{13}$, $\tan\alpha=\frac{3}{2}$, $\alpha=0.983$: $\sqrt{13}\sin(\theta-0.983)$Same method, but $R$ is a surd here: keep it exact, $3.61$ costs the accuracy mark.วิธีเดิม แต่ $R$ เป็นรูท: ต้องคงรูปไว้ ตอบ $3.61$ เสียคะแนนความแม่นยำ
- Express $5\cos\theta+12\sin\theta$ in the form $R\cos(\theta-\alpha)$, where $R\gt 0$ and $0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}$.
Answer:เฉลย: $R\cos\alpha=5$, $R\sin\alpha=12$, so $R=13$, $\tan\alpha=\frac{12}{5}$, $\alpha=1.176$: $13\cos(\theta-1.176)$Target form is $\cos$ now, terms reversed. Memorising a shortcut fails; comparing with the expansion works.รูปเป้าหมายเปลี่ยนเป็น $\cos$ พจน์เขียนสลับข้าง · ท่องลัดจะพัง เทียบกับตัวกระจายจะรอด
- Prove that $\csc\theta-\cot\theta\cos\theta \equiv \sin\theta$.
Answer:เฉลย: $\frac{1}{\sin\theta}-\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\cdot\cos\theta=\frac{1-\cos^{2}\theta}{\sin\theta}=\frac{\sin^{2}\theta}{\sin\theta}=\sin\theta$Reciprocals from level 1, plus the warm-up identity. Opens every proof: write everything in $\sin,\cos$ first.ส่วนกลับจากขั้นที่ 1 บวกเอกลักษณ์จากวอร์มอัพ · เปิดทุกการพิสูจน์แบบนี้: เขียนเป็น $\sin,\cos$ ก่อน
- A student's final line reads $13\sin(\theta+0.395)$. What expression in the form $a\sin\theta+b\cos\theta$ did they start from?
Answer:เฉลย: $a=R\cos\alpha=13\cos 0.395=12$, $b=R\sin\alpha=13\sin 0.395=5$, so the start was $12\sin\theta+5\cos\theta$The answer is given, the setup is the question: needs knowing which of $R\cos\alpha$, $R\sin\alpha$ is which.ให้คำตอบมา ถามหาโจทย์ · ต้องรู้ว่า $R\cos\alpha$ กับ $R\sin\alpha$ ตัวไหนเป็นของพจน์ไหน
- (4 marks) (a)(ก) Express $3\cos\theta+4\sin\theta$ in the form $R\cos(\theta-\alpha)$, where $R\gt 0$ and $0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}$. (3 marks) (b)(ข) Hence solve $3\cos\theta+4\sin\theta=2$ for $0\le\theta\le 2\pi$, giving your answers in radians correct to 3 significant figures.
Answer:เฉลย: (a) $5\cos(\theta-0.927)$ (b) $\cos(\theta-0.927)=0.4$, $\theta-0.927=\pm1.159$, so $\theta=2.09$ or $\theta=6.05$Full CAIE wording, marks split: $\theta-0.927=-1.159$ $\theta=-0.232$ Add $2\pi$ to bring it inside the interval.ภาษาข้อสอบ CAIE เต็ม แบ่งคะแนน: $\theta-0.927=-1.159$ $\theta=-0.232$ บวก $2\pi$ เพื่อให้เข้ามาอยู่ในช่วง
All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี