Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Vectorsเวกเตอร์

A-Level Pure 3 · CAIE 9709/3 · Edexcel IAL WMA14 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

A length, and the vector between two pointsความยาว กับเวกเตอร์ระหว่างสองจุด

Add a third row to each column and both facts are unchanged.เติมแถวที่สามให้แต่ละคอลัมน์ สองข้อนี้ก็ยังใช้ได้เหมือนเดิม

  1. Find $\left|\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\right|$.หา $\left|\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\right|$
    Answer:เฉลย: $\left|\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\right|=\sqrt{9+16}=5$Magnitude is the hypotenuse: $|\mathbf{v}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$   $=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5$   $\text{3-D adds one more square}$ขนาด คือด้านตรงข้ามมุมฉาก: $|\mathbf{v}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$   $=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5$   $\text{3-D adds one more square}$
  2. $A$ is $(1,2)$ and $B$ is $(4,6)$. Which is $\overrightarrow{AB}$?$A$ คือ $(1,2)$ และ $B$ คือ $(4,6)$ · ข้อไหนคือ $\overrightarrow{AB}$?
    Answer:เฉลย: $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$End minus start, every time: $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$   $=\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ Subtracting the wrong way round is the most common lost mark here.ปลายลบต้น เสมอ: $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$   $=\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ ลบสลับข้าง คือจุดที่เสียคะแนนบ่อยที่สุดของบทนี้

2. Add one more rowเติมอีกแถวเดียว

2-D becomes 3-D by adding a $\mathbf{k}$ component — every formula grows by one term.2 มิติกลายเป็น 3 มิติ แค่เติมองค์ประกอบ $\mathbf{k}$ — ทุกสูตรยาวขึ้นแค่พจน์เดียว

The third component is the only new thingองค์ประกอบที่สามคือของใหม่ชิ้นเดียว

  1. Write $2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+6\mathbf{k}$ as a column vector.เขียน $2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+6\mathbf{k}$ ให้อยู่ในรูปเวกเตอร์คอลัมน์
    Answer:เฉลย: $2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+6\mathbf{k}=\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}$Same vector, two costumes: $2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+6\mathbf{k}=\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}$   $\text{order fixed: }\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\ \equiv\ x,y,z$ CAIE prints columns, Edexcel prints $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ — read both.เวกเตอร์เดียวกัน คนละชุด: $2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+6\mathbf{k}=\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}$   $\text{order fixed: }\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\ \equiv\ x,y,z$ CAIE ใช้คอลัมน์ Edexcel ใช้ $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ · ต้องอ่านได้ทั้งคู่
  2. Find $\left|2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+6\mathbf{k}\right|$.หา $\left|2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+6\mathbf{k}\right|$
    Answer:เฉลย: $\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+6^{2}}=\sqrt{49}=7$One more term than 2-D: $|\mathbf{v}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$   $=\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+6^{2}}$   $=\sqrt{49}=7$   $\text{squares}\ \Rightarrow\ |\mathbf{v}|\ge 0$เพิ่มจากสูตรสองมิติ หนึ่งพจน์: $|\mathbf{v}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$   $=\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+6^{2}}$   $=\sqrt{49}=7$   $\text{squares}\ \Rightarrow\ |\mathbf{v}|\ge 0$

3. The dot product, and the angleผลคูณเชิงสเกลาร์ และมุมระหว่างเวกเตอร์

Two vectors in, one number out — and that number carries the angle between them.ใส่เวกเตอร์สองตัว ได้ตัวเลขหนึ่งตัวออกมา — และตัวเลขนั้นพกมุมระหว่างเวกเตอร์มาด้วย

  1. $\mathbf{a}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}$, $\mathbf{b}=\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}$. Before calculating anything: which numbers pair up?$\mathbf{a}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}$, $\mathbf{b}=\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}$ · ก่อนคำนวณอะไรทั้งนั้น: เลขตัวไหนจับคู่กับตัวไหน?
    Answer:เฉลย: matching rows: $2$ with $4$, $3$ with $-1$, $-1$ with $2$จับคู่แถวตรงกัน: $2$ กับ $4$, $3$ กับ $-1$, $-1$ กับ $2$Label the pairs first: $2\ \leftrightarrow\ 4\quad\text{(top)}$   $3\ \leftrightarrow\ -1\quad\text{(middle)}$   $-1\ \leftrightarrow\ 2\quad\text{(bottom)}$จับคู่ก่อน แล้วค่อยคิด: $2\ \leftrightarrow\ 4\quad\text{(top)}$   $3\ \leftrightarrow\ -1\quad\text{(middle)}$   $-1\ \leftrightarrow\ 2\quad\text{(bottom)}$
  2. Now write the substitution — nothing worked out yet. Which line is $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$?ทีนี้เขียนการแทนค่า — ยังไม่ต้องคิดเลข · บรรทัดไหนคือ $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$?
    Answer:เฉลย: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=2(4)+3(-1)+(-1)(2)$Write the substitution line: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=2(4)+3(-1)+(-1)(2)$ Every dot-product slip in P3 is a sign that went missing.เขียนบรรทัดแทนค่าก่อน: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=2(4)+3(-1)+(-1)(2)$ ที่พลาดกันเรื่องดอตใน P3 คือเครื่องหมายหายไปทั้งนั้น
  3. Evaluate it: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=2(4)+3(-1)+(-1)(2)=\;?$คิดค่าออกมา: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=2(4)+3(-1)+(-1)(2)=\;?$
    Answer:เฉลย: $8-3-2=3$One number, no rows: $8-3-2=3$   $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=3\quad\text{(a number, not a vector)}$ได้เลขตัวเดียว ไม่ใช่แถว: $8-3-2=3$   $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=3\quad\text{(a number, not a vector)}$
  4. $\mathbf{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$, $\mathbf{b}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$, so $|\mathbf{a}|=3$ and $|\mathbf{b}|=5$. Which substitution is correct?$\mathbf{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$, $\mathbf{b}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$ ดังนั้น $|\mathbf{a}|=3$ และ $|\mathbf{b}|=5$ · การแทนค่าแบบไหนถูก?
    Answer:เฉลย: $\cos\theta=\dfrac{11}{15}$Dot on top, lengths underneath: $\cos\theta=\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}$   $=\dfrac{3+0+8}{3\times 5}=\dfrac{11}{15}$ The bottom is always positive, so the sign comes from the dot product alone.ดอตอยู่บน ความยาวอยู่ล่าง: $\cos\theta=\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}$   $=\dfrac{3+0+8}{3\times 5}=\dfrac{11}{15}$ ตัวล่างเป็นบวกเสมอ · เครื่องหมายจึงมาจากดอตอย่างเดียว
  5. Finish it: $\cos\theta=\dfrac{11}{15}$, so $\theta=\;?$  Give the angle in degrees to $1$ d.p.ปิดจ๊อบ: $\cos\theta=\dfrac{11}{15}$ แล้ว $\theta=\;?$  ตอบเป็นองศา ทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $\theta=\cos^{-1}\!\left(\tfrac{11}{15}\right)=42.8^{\circ}$Three lines beat a protractor: $\cos\theta=\tfrac{11}{15}=0.7333$   $\theta=\cos^{-1}(0.7333)=42.83\ldots$   $\theta=42.8^{\circ}\quad(1\text{ d.p.})$สามบรรทัด แทนไม้โปรฯ: $\cos\theta=\tfrac{11}{15}=0.7333$   $\theta=\cos^{-1}(0.7333)=42.83\ldots$   $\theta=42.8^{\circ}\quad(1\text{ d.p.})$

4. Zero means perpendicularศูนย์ แปลว่า ตั้งฉาก

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$ is a test you run, not a sentence you recite.$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$ คือการทดสอบที่ลงมือทำ ไม่ใช่ประโยคที่ท่องจำ

Put $\theta=90^{\circ}$ into the formula and watch what happensใส่ $\theta=90^{\circ}$ ลงในสูตร แล้วดูว่าเกิดอะไรขึ้น

Are $2\mathbf{i}-\mathbf{j}+3\mathbf{k}$ and $\mathbf{i}+5\mathbf{j}+\mathbf{k}$ perpendicular?$2\mathbf{i}-\mathbf{j}+3\mathbf{k}$ กับ $\mathbf{i}+5\mathbf{j}+\mathbf{k}$ ตั้งฉากกันไหม

  1. $\mathbf{a}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}+3\mathbf{k}$Ring it ① — "vector one". Naming them keeps the dot product straight.วง ① ไว้ อ่านว่า "เวกเตอร์หนึ่ง" ตั้งชื่อไว้จะได้ไม่สลับตอนทำ dot product
  2. $\mathbf{b}=\mathbf{i}+5\mathbf{j}+\mathbf{k}$Name them ① and ② — the dot product uses both.ตั้งชื่อ ① ② ไว้ เดี๋ยว dot product ใช้ทั้งคู่
  3. $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=(2)(1)+(-1)(5)+(3)(1)$Multiply matching components, then add. Keep the minus sign.คูณคอมโพเนนต์ที่ตรงกัน แล้วบวก · อย่าทำเครื่องหมายลบหาย
  4. $=2-5+3$Three numbers, one line.สามตัวเลข บรรทัดเดียว
  5. $=0$Zero. Not 'small' — exactly zero.ศูนย์ · ไม่ใช่ 'น้อย' แต่เป็นศูนย์เป๊ะ
  6. $\mathbf{a}\perp\mathbf{b}$$\cos\theta=\frac{0}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}=0$, so $\theta=90^{\circ}$. Write that sentence — it is the mark.$\cos\theta=\frac{0}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}=0$ ได้ $\theta=90^{\circ}$ · เขียนประโยคนี้ด้วย นี่แหละคะแนน
  1. Find the value of $\lambda$ for which $\begin{pmatrix}3\\\lambda\\2\end{pmatrix}$ and $\begin{pmatrix}2\\4\\-1\end{pmatrix}$ are perpendicular.หาค่า $\lambda$ ที่ทำให้ $\begin{pmatrix}3\\\lambda\\2\end{pmatrix}$ กับ $\begin{pmatrix}2\\4\\-1\end{pmatrix}$ ตั้งฉากกัน
    Answer:เฉลย: $6+4\lambda-2=0\Rightarrow\lambda=-1$Perpendicular becomes an equation: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$   $6+4\lambda-2=0$   $4\lambda=-4\ \Rightarrow\ \lambda=-1$ตั้งฉาก กลายเป็นสมการ: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$   $6+4\lambda-2=0$   $4\lambda=-4\ \Rightarrow\ \lambda=-1$
  2. $A(3,1,5)$, $B(1,2,3)$, $C(2,4,3)$. Find $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$.$A(3,1,5)$, $B(1,2,3)$, $C(2,4,3)$ · หา $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$
    Answer:เฉลย: $\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$, and $2-2+0=0$$\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$ และ $2-2+0=0$Both arrows leave the corner: $\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix},\quad\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$   $2-2+0=0$   $\Rightarrow\ \angle ABC=90^{\circ}$ลูกศรออกจากมุม ทั้งสองเส้น: $\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix},\quad\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$   $2-2+0=0$   $\Rightarrow\ \angle ABC=90^{\circ}$

5. The equation of a lineสมการของเส้นตรง

$\mathbf{r}=\mathbf{a}+t\mathbf{d}$: stand at a point, then walk in a direction.$\mathbf{r}=\mathbf{a}+t\mathbf{d}$: ยืนที่จุดหนึ่ง แล้วเดินไปตามทิศหนึ่ง

  1. A line passes through $A(1,2,3)$ and $B(4,0,5)$. Which vector is a valid direction $\mathbf{d}$?เส้นตรงเส้นหนึ่งผ่าน $A(1,2,3)$ และ $B(4,0,5)$ · เวกเตอร์ตัวไหนใช้เป็นทิศทาง $\mathbf{d}$ ได้?
    Answer:เฉลย: $\mathbf{d}=\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}=\begin{pmatrix}3\\-2\\2\end{pmatrix}$Direction, not position: $\mathbf{d}=\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}=\begin{pmatrix}3\\-2\\2\end{pmatrix}$   $\begin{pmatrix}6\\-4\\4\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}-3\\2\\-2\end{pmatrix}\ \text{also valid}$ Any multiple of $\overrightarrow{AB}$ works, because only the direction matters.ทิศทาง ไม่ใช่ตำแหน่ง: $\mathbf{d}=\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}=\begin{pmatrix}3\\-2\\2\end{pmatrix}$   $\begin{pmatrix}6\\-4\\4\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}-3\\2\\-2\end{pmatrix}\ \text{also valid}$ คูณกี่เท่าก็ใช้ได้ · สนใจแค่ทิศทาง
  2. Now the substitution into $\mathbf{r}=\mathbf{a}+t\mathbf{d}$ — nothing worked out. Which is the equation of the line through $A(1,2,3)$ and $B(4,0,5)$?ทีนี้แทนค่าลง $\mathbf{r}=\mathbf{a}+t\mathbf{d}$ — ยังไม่ต้องคิดเลข · ข้อไหนคือสมการของเส้นที่ผ่าน $A(1,2,3)$ กับ $B(4,0,5)$?
    Answer:เฉลย: $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\-2\\2\end{pmatrix}$Test the line with $t$: $t=0\ \Rightarrow\ (1,2,3)=A$   $t=1\ \Rightarrow\ (4,0,5)=B$   $\text{both given points lie on it}\ \checkmark$ตรวจเส้นด้วยการแทน $t$: $t=0\ \Rightarrow\ (1,2,3)=A$   $t=1\ \Rightarrow\ (4,0,5)=B$   $\text{both given points lie on it}\ \checkmark$
  3. On the line $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\-2\\2\end{pmatrix}$, take $t=2$. Give the $\mathbf{j}$ component of that point.บนเส้น $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\-2\\2\end{pmatrix}$ ให้ $t=2$ · บอกองค์ประกอบ $\mathbf{j}$ ของจุดนั้น
    Answer:เฉลย: $2+2(-2)=-2$  (the point is $(7,-2,7)$)$2+2(-2)=-2$  (จุดนั้นคือ $(7,-2,7)$)One row at a time: $\mathbf{j}:\ 2+2(-2)=-2$   $\text{full point}\ (7,-2,7)$   $\text{each }t\ \Rightarrow\ \text{one point}$คิดทีละแถว: $\mathbf{j}:\ 2+2(-2)=-2$   $\text{full point}\ (7,-2,7)$   $\text{each }t\ \Rightarrow\ \text{one point}$
  4. Your turn, fresh numbers. A line passes through $P(2,-1,4)$ and $Q(5,1,0)$. Using $P$ as $\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{PQ}$ as $\mathbf{d}$, give the $\mathbf{k}$ component of the point where $t=3$.ตาน้องบ้าง ตัวเลขชุดใหม่ · เส้นตรงผ่าน $P(2,-1,4)$ และ $Q(5,1,0)$ · ใช้ $P$ เป็น $\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{PQ}$ เป็น $\mathbf{d}$ · บอกองค์ประกอบ $\mathbf{k}$ ของจุดที่ $t=3$
    Answer:เฉลย: $\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}3\\2\\-4\end{pmatrix}$, so $4+3(-4)=-8$$\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}3\\2\\-4\end{pmatrix}$ ดังนั้น $4+3(-4)=-8$Subtract, substitute, one row: $\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}3\\2\\-4\end{pmatrix}$   $\mathbf{k}:\ 4+3(-4)=-8$ The rows are independent, so one coordinate never needs the other two.ลบ · แทนค่า · คิดแถวเดียว: $\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}3\\2\\-4\end{pmatrix}$   $\mathbf{k}:\ 4+3(-4)=-8$ แต่ละแถวไม่เกี่ยวกัน · หาแค่แถวเดียวก็พอ

6. Meet, parallel, or skewตัดกัน ขนาน หรือไขว้

Two lines in 3-D usually miss each other. Three equations, solve two, check the third.เส้นตรงสองเส้นในสามมิติส่วนใหญ่ไม่เจอกัน · สามสมการ แก้สอง แล้วตรวจสมการที่สาม

In 3-D, two lines have three possible fatesใน 3 มิติ เส้นตรงสองเส้นมีชะตากรรมได้สามแบบ

Skipping the third row is not a shortcut — it is the whole questionข้ามแถวที่สามไม่ใช่ทางลัด — แถวที่สามคือทั้งข้อ

  1. Two lines have directions $\mathbf{d}_{1}=\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}$ and $\mathbf{d}_{2}=\begin{pmatrix}-6\\3\\-12\end{pmatrix}$. They are parallel because $\mathbf{d}_{2}=k\,\mathbf{d}_{1}$. Find $k$.เส้นตรงสองเส้นมีทิศทาง $\mathbf{d}_{1}=\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}$ และ $\mathbf{d}_{2}=\begin{pmatrix}-6\\3\\-12\end{pmatrix}$ · ทั้งสองขนานกันเพราะ $\mathbf{d}_{2}=k\,\mathbf{d}_{1}$ · หา $k$
    Answer:เฉลย: $k=-3$  ($-6=-3(2)$, $3=-3(-1)$, $-12=-3(4)$)Parallel means one is a multiple: $-6=-3(2)$   $3=-3(-1)$   $-12=-3(4)$   $k=-3\quad\text{(negative is fine)}$ Check all three rows: two can agree by luck, three cannot.ขนาน คือเป็นจำนวนเท่าของกัน: $-6=-3(2)$   $3=-3(-1)$   $-12=-3(4)$   $k=-3\quad\text{(negative is fine)}$ ต้องตรวจครบสามแถว · สองแถวตรงกันโดยบังเอิญได้ สามแถวไม่ได้
  2. $l_{1}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$  and  $l_{2}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}5\\7\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2\\-3\\1\end{pmatrix}$. The rows give $1+t=5-2s$, $\;2t=7-3s$, $\;2+t=3+s$. Solve the first and third, check the second, then give the $x$ coordinate of the point where the lines meet.  (4 marks)$l_{1}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$  และ  $l_{2}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}5\\7\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2\\-3\\1\end{pmatrix}$ · แต่ละแถวให้ $1+t=5-2s$, $\;2t=7-3s$, $\;2+t=3+s$ · แก้สมการที่หนึ่งกับที่สาม ตรวจสมการที่สอง แล้วบอกพิกัด $x$ ของจุดที่สองเส้นตัดกัน  (4 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $t=2$, $s=1$; check row $2$: $2t=4=7-3$ ✓; the point is $(3,4,4)$, so $x=3$$t=2$, $s=1$ · ตรวจแถว $2$: $2t=4=7-3$ ✓ · จุดตัดคือ $(3,4,4)$ ดังนั้น $x=3$4 marks: $\text{M1}\ \ \text{three row equations}$   $\text{A1}\ \ t=2,\ s=1$   $\text{DM1}\ \ \text{row }2:\ 2t=4=7-3\ \checkmark$   $\text{A1}\ \ (3,4,4)\ \Rightarrow\ x=3$ Skip the check and the last two marks go, even with the right point.4 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{three row equations}$   $\text{A1}\ \ t=2,\ s=1$   $\text{DM1}\ \ \text{row }2:\ 2t=4=7-3\ \checkmark$   $\text{A1}\ \ (3,4,4)\ \Rightarrow\ x=3$ ไม่ตรวจแถวที่เหลือ เสียสองคะแนนท้าย ถึงจุดจะถูก
  3. $l_{3}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$  and  $l_{4}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$. Rows $1$ and $2$ give $t=0$, $s=1$. Row $3$ then reads $0=3+1$. What do you write?$l_{3}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$  และ  $l_{4}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ · แถว $1$ กับ $2$ ให้ $t=0$, $s=1$ · แถว $3$ กลายเป็น $0=3+1$ · จะเขียนว่าอะไร?
    Answer:เฉลย: skew — not parallel and no common pointไขว้กัน — ไม่ขนาน และไม่มีจุดร่วมSkew is a two-part verdict: $\text{rows }1,2:\ t=0,\ s=1$   $\text{row }3:\ 0=3+1\ \Rightarrow\ 0=4\ \text{✗}$   $\text{not parallel}\ +\ \text{no common point}\ \Rightarrow\ \text{skew}$ The contradiction is not an algebra slip, it is the answer.ไขว้กัน ต้องตอบสองส่วน: $\text{rows }1,2:\ t=0,\ s=1$   $\text{row }3:\ 0=3+1\ \Rightarrow\ 0=4\ \text{✗}$   $\text{not parallel}\ +\ \text{no common point}\ \Rightarrow\ \text{skew}$ สมการขัดกัน ไม่ใช่คิดผิด · นั่นแหละคือคำตอบ

7. The angle between two linesมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น

Only the directions matter — and the exam always wants the acute one.สนใจแค่ทิศทาง — และข้อสอบต้องการมุมแหลม เสมอ

The angle between two lines is the angle between their directionsมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น คือมุมระหว่างทิศทางของมัน

  1. $l_{1}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$  and  $l_{2}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}0\\1\\4\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$. Which two vectors go into the formula?$l_{1}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$  และ  $l_{2}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}0\\1\\4\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$ · เวกเตอร์คู่ไหนที่ต้องเอาเข้าสูตร?
    Answer:เฉลย: the direction vectors $\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ and $\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$เวกเตอร์บอกทิศทาง $\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ และ $\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$The vector after the parameter: $\mathbf{r}=\mathbf{a}+t\,\mathbf{d}\ \Rightarrow\ \text{use }\mathbf{d}$   $\mathbf{d}_{1}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix},\quad\mathbf{d}_{2}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$เวกเตอร์ที่อยู่หลังพารามิเตอร์: $\mathbf{r}=\mathbf{a}+t\,\mathbf{d}\ \Rightarrow\ \text{use }\mathbf{d}$   $\mathbf{d}_{1}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix},\quad\mathbf{d}_{2}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$
  2. Same two lines. Find the angle between $l_{1}$ and $l_{2}$, in degrees to $1$ d.p.เส้นสองเส้นเดิม · หามุมระหว่าง $l_{1}$ กับ $l_{2}$ เป็นองศา ทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $\cos\theta=\dfrac{6+0+8}{3\times5}=\dfrac{14}{15}$, $\;\theta=21.0^{\circ}$The positions were never used: $\cos\theta=\dfrac{6+0+8}{3\times 5}=\dfrac{14}{15}=0.9333$   $\theta=21.0^{\circ}$ตำแหน่งไม่ได้ใช้เลย: $\cos\theta=\dfrac{6+0+8}{3\times 5}=\dfrac{14}{15}=0.9333$   $\theta=21.0^{\circ}$
  3. Exam: The line $l_{1}$ passes through $A(1,1,1)$ and $B(3,4,7)$. The line $l_{2}$ has equation $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}0\\2\\5\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\-2\\-2\end{pmatrix}$. Find the acute angle between $l_{1}$ and $l_{2}$, giving your answer in degrees to $1$ decimal place.  (5 marks)ข้อสอบ: เส้น $l_{1}$ ผ่าน $A(1,1,1)$ และ $B(3,4,7)$ · เส้น $l_{2}$ มีสมการ $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}0\\2\\5\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\-2\\-2\end{pmatrix}$ · หามุมแหลมระหว่าง $l_{1}$ กับ $l_{2}$ ตอบเป็นองศา ทศนิยม $1$ ตำแหน่ง  (5 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\mathbf{d}_{1}=\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}$, $\cos\theta=\dfrac{-20}{7\times3}=-\dfrac{20}{21}$, $\theta=162.2^{\circ}$, so the acute angle is $17.8^{\circ}$$\mathbf{d}_{1}=\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}$, $\cos\theta=\dfrac{-20}{7\times3}=-\dfrac{20}{21}$, $\theta=162.2^{\circ}$ · มุมแหลมคือ $17.8^{\circ}$5 marks: $\text{M1}\ \ \mathbf{d}_{1}=\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}$   $\text{M1}\ \ -2-6-12=-20$   $\text{A1}\ \ |\mathbf{d}_{1}|=7,\ |\mathbf{d}_{2}|=3$   $\text{M1}\ \ \cos\theta=-\tfrac{20}{21}\ \Rightarrow\ 162.2^{\circ}$   $\text{A1}\ \ 180-162.2=17.8^{\circ}$ When a question says acute, take the modulus of the dot product.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ \mathbf{d}_{1}=\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}$   $\text{M1}\ \ -2-6-12=-20$   $\text{A1}\ \ |\mathbf{d}_{1}|=7,\ |\mathbf{d}_{2}|=3$   $\text{M1}\ \ \cos\theta=-\tfrac{20}{21}\ \Rightarrow\ 162.2^{\circ}$   $\text{A1}\ \ 180-162.2=17.8^{\circ}$ โจทย์บอกมุมแหลม ให้ใส่ค่าสัมบูรณ์ที่ดอต
  4. Exam: The line $l$ has equation $\mathbf{r}=(\mathbf{i}+3\mathbf{j}-2\mathbf{k})+t(2\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\mathbf{k})$, and $P$ is the point $(8,7,2)$. $N$ is the foot of the perpendicular from $P$ to $l$.  (7 marks)ข้อสอบ: เส้นตรง $l$ มีสมการ $\mathbf{r}=(\mathbf{i}+3\mathbf{j}-2\mathbf{k})+t(2\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\mathbf{k})$ และ $P$ คือจุด $(8,7,2)$ · $N$ คือจุดเท้าของเส้นตั้งฉากจาก $P$ ลงมาที่ $l$  (7 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $t=2$, so $N(5,1,2)$;  $\mathbf{q}=2\mathbf{n}-\mathbf{p}$ gives $Q(2,-5,2)$7 marks: $\text{M1}\ \ N=(1+2t,\ 3-t,\ -2+2t)$   $\text{M1}\ \ \overrightarrow{PN}=(2t-7,\ -t-4,\ 2t-4)$   $\text{M1}\ \ \overrightarrow{PN}\cdot\mathbf{d}=9t-18=0$   $\text{A1}\ \ t=2\ \Rightarrow\ N(5,1,2)$   $\text{M1}\ \ N\ \text{is the midpoint of }PQ$   $\text{M1}\ \ \mathbf{q}=2(5,1,2)-(8,7,2)$   $\text{A1}\ \ Q(2,-5,2)$ Part (b) is one line: $\mathbf{q}=2\mathbf{n}-\mathbf{p}$.7 คะแนน: $\text{M1}\ \ N=(1+2t,\ 3-t,\ -2+2t)$   $\text{M1}\ \ \overrightarrow{PN}=(2t-7,\ -t-4,\ 2t-4)$   $\text{M1}\ \ \overrightarrow{PN}\cdot\mathbf{d}=9t-18=0$   $\text{A1}\ \ t=2\ \Rightarrow\ N(5,1,2)$   $\text{M1}\ \ N\ \text{is the midpoint of }PQ$   $\text{M1}\ \ \mathbf{q}=2(5,1,2)-(8,7,2)$   $\text{A1}\ \ Q(2,-5,2)$ ข้อ (b) บรรทัดเดียว: $\mathbf{q}=2\mathbf{n}-\mathbf{p}$
  5. The points are $P(1,4,2)$, $Q(3,1,3)$ and $R(0,2,5)$.
    Find the size of angle $PQR$, in degrees.    กำหนดจุด $P(1,4,2)$, $Q(3,1,3)$ และ $R(0,2,5)$
    จงหาขนาดของมุม $PQR$ เป็นองศา
    Answer:เฉลย: $\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{QR}}{|\overrightarrow{QP}||\overrightarrow{QR}|}=\dfrac{7}{14}=\dfrac12$, so the angle is $60^{\circ}$Middle letter is the corner: $\angle PQR\ \Rightarrow\ \text{both arrows leave }Q$   $\overrightarrow{QP}=\mathbf{p}-\mathbf{q}=(-2,3,-1)$   $\overrightarrow{QR}=\mathbf{r}-\mathbf{q}=(-3,1,2)$   $\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{QR}=6+3-2=7$   $\cos\theta=\dfrac{7}{\sqrt{14}\,\sqrt{14}}=\dfrac{7}{14}=\tfrac12$   $\theta=60^{\circ}$ An angle at a vertex can be obtuse, so no acute rule rescues a reversed arrow.ตัวอักษรกลาง คือมุม: $\angle PQR\ \Rightarrow\ \text{both arrows leave }Q$   $\overrightarrow{QP}=\mathbf{p}-\mathbf{q}=(-2,3,-1)$   $\overrightarrow{QR}=\mathbf{r}-\mathbf{q}=(-3,1,2)$   $\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{QR}=6+3-2=7$   $\cos\theta=\dfrac{7}{\sqrt{14}\,\sqrt{14}}=\dfrac{7}{14}=\tfrac12$   $\theta=60^{\circ}$ มุมที่จุดยอดเป็นมุมป้านได้ · กลับลูกศรผิดแล้ว ไม่มีกฎมุมแหลมมาช่วย

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. Find the acute angle between the lines $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$ and $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\0\\3\end{pmatrix}$, giving your answer in degrees to $1$ decimal place.Identical to the worked example, numbers changed, and the magnitudes still come out whole. If Level 6 made sense this is one clean minute — confidence first.เหมือนตัวอย่างที่ทำไปเป๊ะ เปลี่ยนแค่ตัวเลข และขนาดยังออกมาเป็นจำนวนเต็ม · ถ้าขั้นที่ 6 แน่นจริง ข้อนี้จบในหนึ่งนาที — เอาความมั่นใจก่อน
  2. Find the acute angle between the lines $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ and $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}0\\2\\4\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}$.Same method, but neither magnitude is a whole number. Keep $\sqrt{6}$ and $\sqrt{14}$ exact until the very last keystroke — rounding them first is what puts answers half a degree out.วิธีเดิม แต่ขนาดทั้งสองตัวไม่เป็นจำนวนเต็ม · เก็บ $\sqrt{6}$ กับ $\sqrt{14}$ ไว้แบบ exact จนถึงการกดปุ่มครั้งสุดท้าย — ปัดเศษก่อนคือสาเหตุที่คำตอบเพี้ยนไปครึ่งองศา
  3. The line $l_{1}$ passes through $P(4,1,-2)$ and $Q(1,3,4)$. The line $l_{2}$ has equation $\mathbf{r}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}+3\mathbf{k}+\mu(\mathbf{i}+2\mathbf{j}-2\mathbf{k})$. Find the acute angle between $l_{1}$ and $l_{2}$.$\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ notation, the parameter renamed $\mu$, one line given by points and one by an equation — and a negative dot product on top. Nothing about the method changed; only the packaging did.ใช้สัญลักษณ์ $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ · เปลี่ยนชื่อพารามิเตอร์เป็น $\mu$ · เส้นหนึ่งให้มาเป็นจุด อีกเส้นให้มาเป็นสมการ — แถม dot product ยังติดลบอีก · วิธีทำไม่เปลี่ยนสักนิด เปลี่ยนแค่กล่องห่อ
  4. The line $l$ has equation $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ and $P$ is the point $(4,-2,3)$. The point $N$ lies on $l$ and $PN$ is perpendicular to $l$. Find $t$ at $N$, the coordinates of $N$, and the distance $PN$.This question joins the perpendicular test from Level 3 to the line equation from Level 4.
    Write the general point of $l$, subtract $P$, then set the dot product equal to zero.
    Both steps are ones you already know. The new part is seeing that they go together.    ข้อนี้เอาการทดสอบตั้งฉากจากขั้นที่ 3 มาต่อกับสมการเส้นตรงจากขั้นที่ 4
    เขียนจุดทั่วไปของ $l$ ลบด้วย $P$ แล้วให้ dot product เท่ากับศูนย์
    ทั้งสองขั้นเป็นสิ่งที่รู้อยู่แล้ว ส่วนที่ใหม่คือการมองออกว่าต้องใช้ต่อกัน
  5. The lines $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\-1\\p\end{pmatrix}$ and $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}0\\4\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\4\\-1\end{pmatrix}$ are perpendicular. Find $p$.The answer is handed to you and the set-up is the question. Anyone who memorised “dot product then $\cos^{-1}$” as a fixed sequence stalls here — the best understanding check in the set.ให้คำตอบมาแล้ว แล้วถามหาการตั้งโจทย์ · คนที่ท่อง “dot product แล้วกด $\cos^{-1}$” มาเป็นลำดับตายตัวจะสะดุดตรงนี้ — ข้อที่วัดความเข้าใจได้ดีที่สุดในชุด
  6. The line $l_{1}$ passes through the points $A(1,2,-1)$ and $B(3,3,1)$. The line $l_{2}$ has equation $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}6\\2\\5\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$.  (a) Find a vector equation for $l_{1}$. (2 marks)  (b) Show that $l_{1}$ and $l_{2}$ intersect, and find the position vector of the point of intersection. (5 marks)Full CAIE wording with the mark split. “Show that they intersect” is an instruction to write the third-row check down — the two marks for it are only awarded if the working is visible.ภาษาข้อสอบ CAIE เต็มรูปแบบพร้อมแบ่งคะแนน · “Show that they intersect” คือคำสั่งให้เขียนการตรวจแถวที่สามลงไป — สองคะแนนตรงนั้นให้เฉพาะเมื่อเห็นวิธีทำ
  7. A student writes: “the line through $A(2,1,5)$ and $B(6,3,1)$ is $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}6\\3\\1\end{pmatrix}$.” Find the error, give a correct equation, and say which value of $t$ then reaches $B$.This is the same mix-up the whole lesson is about.
    The student's line does pass through $A$, so a quick check does not find the error.
    You only find it when you test whether the line passes through $B$.    นี่คือความสับสนแบบเดียวกับที่ทั้งบทนี้พูดถึง
    เส้นของนักเรียนคนนั้นผ่าน $A$ จริง การตรวจแบบผ่านๆ จึงไม่เจอความผิดพลาด
    จะเจอก็ต่อเมื่อทดสอบว่าเส้นผ่าน $B$ หรือไม่

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี