Vectorsเวกเตอร์

A-Level Pure 3 · CAIE 9709/3 · Edexcel IAL WMA14 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

A length, and the vector between two pointsความยาว กับเวกเตอร์ระหว่างสองจุด

In 3-D each column gets a third row. Both facts still work.ใน 3 มิติ แต่ละคอลัมน์มีแถวที่สามเพิ่ม · สองข้อนี้ยังใช้ได้

1. Find $\left|\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\right|$.หา $\left|\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\right|$
   Answer:เฉลย: $\left|\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\right|=\sqrt{9+16}=5$Magnitude is the hypotenuse: $|\mathbf{v}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$   $=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5$   $\text{3-D adds one more square}$ขนาด คือด้านตรงข้ามมุมฉาก: $|\mathbf{v}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$   $=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5$   $\text{3-D adds one more square}$
2. $A$ is $(1,2)$ and $B$ is $(4,6)$. Which is $\overrightarrow{AB}$?$A$ คือ $(1,2)$ และ $B$ คือ $(4,6)$ · ข้อไหนคือ $\overrightarrow{AB}$?
   Answer:เฉลย: $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$End minus start, every time: $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$   $=\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ Subtracting the wrong way round is the most common lost mark here.ปลายลบต้น เสมอ: $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$   $=\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ ลบสลับข้าง คือจุดที่เสียคะแนนบ่อยที่สุดของบทนี้

2. Add one more rowเติมอีกแถวเดียว

2-D becomes 3-D when you add a $\mathbf{k}$ component. Every formula gets one more term.2 มิติกลายเป็น 3 มิติ แค่เติมองค์ประกอบ $\mathbf{k}$ · ทุกสูตรยาวขึ้นแค่พจน์เดียว

One more axis, one more termอีกหนึ่งแกน อีกหนึ่งพจน์

$\mathbf{i,j,k}$ are one step along $x,y,z$. The idea does not change.$\mathbf{i,j,k}$ คือก้าวละหนึ่งตามแกน $x,y,z$ — ไอเดียเดิมทุกอย่าง

$|\mathbf{v}|$ and $\hat{\mathbf{v}}$ for $\mathbf{v}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}+12\mathbf{k}$$|\mathbf{v}|$ และ $\hat{\mathbf{v}}$ ของ $\mathbf{v}=3\mathbf{i}+4\mathbf{j}+12\mathbf{k}$

1. $|\mathbf{v}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$LABEL. Same Pythagoras, one more square.ติดป้าย · พีทาโกรัสเดิม เพิ่มกำลังสองอีกตัว
2. $=\sqrt{3^{2}+4^{2}+12^{2}}$
3. $=\sqrt{169}=13$
4. $\hat{\mathbf{v}}=\dfrac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$Divide every component by that length.หารทุกองค์ประกอบด้วยความยาวนั้น
5. $=\tfrac{1}{13}\left(3\mathbf{i}+4\mathbf{j}+12\mathbf{k}\right)$

1. Write $2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+6\mathbf{k}$ as a column vector.เขียน $2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+6\mathbf{k}$ ให้อยู่ในรูปเวกเตอร์คอลัมน์
   Answer:เฉลย: $2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+6\mathbf{k}=\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}$Same vector, two costumes: $2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+6\mathbf{k}=\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}$   $\text{order fixed: }\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\ \equiv\ x,y,z$ CAIE prints columns. Edexcel prints $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$. Read both.เวกเตอร์เดียวกัน คนละชุด: $2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+6\mathbf{k}=\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}$   $\text{order fixed: }\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\ \equiv\ x,y,z$ CAIE ใช้คอลัมน์ Edexcel ใช้ $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ · ต้องอ่านได้ทั้งคู่
2. Find $\left|2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+6\mathbf{k}\right|$.หา $\left|2\mathbf{i}-3\mathbf{j}+6\mathbf{k}\right|$
   Answer:เฉลย: $\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+6^{2}}=\sqrt{49}=7$One more term than 2-D: $|\mathbf{v}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$   $=\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+6^{2}}$   $=\sqrt{49}=7$   $\text{squares}\ \Rightarrow\ |\mathbf{v}|\ge 0$เพิ่มจากสูตรสองมิติ หนึ่งพจน์: $|\mathbf{v}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$   $=\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}+6^{2}}$   $=\sqrt{49}=7$   $\text{squares}\ \Rightarrow\ |\mathbf{v}|\ge 0$

3. The dot product, and the angleผลคูณเชิงสเกลาร์ และมุมระหว่างเวกเตอร์

Two vectors in, one number out. That number tells you the angle between them.ใส่เวกเตอร์สองตัว ได้ตัวเลขหนึ่งตัวออกมา · ตัวเลขนั้นบอกมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$ measures how much $\mathbf{b}$ points along $\mathbf{a}$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$ บอกว่า $\mathbf{b}$ ชี้ไปตามทาง $\mathbf{a}$ แค่ไหน

Scale that shadow by $|\mathbf{a}|$ and you get $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$.คูณเงานั้นด้วย $|\mathbf{a}|$ จะได้ $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$

$\mathbf{a}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$, $\mathbf{b}=\begin{pmatrix}3\\4\\-1\end{pmatrix}$$\mathbf{a}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$, $\mathbf{b}=\begin{pmatrix}3\\4\\-1\end{pmatrix}$

1. $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=(1)(3)+(0)(4)+(2)(-1)$LABEL then SUBSTITUTE. Pair up, write the products, stop.ติดป้ายแล้วแทนค่า · จับคู่ แล้วเขียนผลคูณไว้ก่อน
2. $=3+0-2$EVALUATE. Only now do you add.คิด · ค่อยบวกตอนนี้
3. $=1$

1. $\mathbf{a}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}$, $\mathbf{b}=\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}$. Before calculating anything: which numbers pair up?$\mathbf{a}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}$, $\mathbf{b}=\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}$ · ก่อนคำนวณอะไรทั้งนั้น: เลขตัวไหนจับคู่กับตัวไหน?
   Answer:เฉลย: matching rows: $2$ with $4$, $3$ with $-1$, $-1$ with $2$จับคู่แถวตรงกัน: $2$ กับ $4$, $3$ กับ $-1$, $-1$ กับ $2$Label the pairs first: $2\ \leftrightarrow\ 4\quad\text{(top)}$   $3\ \leftrightarrow\ -1\quad\text{(middle)}$   $-1\ \leftrightarrow\ 2\quad\text{(bottom)}$จับคู่ก่อน แล้วค่อยคิด: $2\ \leftrightarrow\ 4\quad\text{(top)}$   $3\ \leftrightarrow\ -1\quad\text{(middle)}$   $-1\ \leftrightarrow\ 2\quad\text{(bottom)}$
2. Now write the substitution. Do not work it out yet. Which line is $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$?ทีนี้เขียนการแทนค่า · ยังไม่ต้องคิดเลข · บรรทัดไหนคือ $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$?
   Answer:เฉลย: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=2(4)+3(-1)+(-1)(2)$Write the substitution line: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=2(4)+3(-1)+(-1)(2)$ Every dot-product slip in P3 is a sign that went missing.เขียนบรรทัดแทนค่าก่อน: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=2(4)+3(-1)+(-1)(2)$ ที่พลาดกันเรื่องดอตใน P3 คือเครื่องหมายหายไปทั้งนั้น
3. Evaluate it: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=2(4)+3(-1)+(-1)(2)=\;?$คิดค่าออกมา: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=2(4)+3(-1)+(-1)(2)=\;?$
   Answer:เฉลย: $8-3-2=3$One number, no rows: $8-3-2=3$   $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=3\quad\text{(a number, not a vector)}$ได้เลขตัวเดียว ไม่ใช่แถว: $8-3-2=3$   $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=3\quad\text{(a number, not a vector)}$
4. $\mathbf{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$, $\mathbf{b}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$, so $|\mathbf{a}|=3$ and $|\mathbf{b}|=5$. Which substitution is correct?$\mathbf{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$, $\mathbf{b}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$ ดังนั้น $|\mathbf{a}|=3$ และ $|\mathbf{b}|=5$ · การแทนค่าแบบไหนถูก?
   Answer:เฉลย: $\cos\theta=\dfrac{11}{15}$Dot on top, lengths underneath: $\cos\theta=\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}$   $=\dfrac{3+0+8}{3\times 5}=\dfrac{11}{15}$ The bottom is always positive, so the sign comes from the dot product alone.ดอตอยู่บน ความยาวอยู่ล่าง: $\cos\theta=\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}$   $=\dfrac{3+0+8}{3\times 5}=\dfrac{11}{15}$ ตัวล่างเป็นบวกเสมอ · เครื่องหมายจึงมาจากดอตอย่างเดียว
5. Finish it: $\cos\theta=\dfrac{11}{15}$, so $\theta=\;?$  Give the angle in degrees to $1$ d.p.ปิดจ๊อบ: $\cos\theta=\dfrac{11}{15}$ แล้ว $\theta=\;?$  ตอบเป็นองศา ทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
   Answer:เฉลย: $\theta=\cos^{-1}\!\left(\tfrac{11}{15}\right)=42.8^{\circ}$Three lines beat a protractor: $\cos\theta=\tfrac{11}{15}=0.7333$   $\theta=\cos^{-1}(0.7333)=42.83\ldots$   $\theta=42.8^{\circ}\quad(1\text{ d.p.})$สามบรรทัด แทนไม้โปรฯ: $\cos\theta=\tfrac{11}{15}=0.7333$   $\theta=\cos^{-1}(0.7333)=42.83\ldots$   $\theta=42.8^{\circ}\quad(1\text{ d.p.})$

4. Zero means perpendicularศูนย์ แปลว่า ตั้งฉาก

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$ is a test you run, not a sentence you recite.$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$ คือการทดสอบที่ลงมือทำ ไม่ใช่ประโยคที่ท่องจำ

Put $\theta=90^{\circ}$ into the formula and watch what happensใส่ $\theta=90^{\circ}$ ลงในสูตร แล้วดูว่าเกิดอะไรขึ้น

The lengths are never $0$, so only the top can be $0$. Perpendicular means $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$.ความยาวไม่มีทางเป็น $0$ · ตัวบนจึงต้องเป็น $0$ · ตั้งฉาก คือ $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$

Are $2\mathbf{i}-\mathbf{j}+3\mathbf{k}$ and $\mathbf{i}+5\mathbf{j}+\mathbf{k}$ perpendicular?$2\mathbf{i}-\mathbf{j}+3\mathbf{k}$ กับ $\mathbf{i}+5\mathbf{j}+\mathbf{k}$ ตั้งฉากกันไหม

1. $\mathbf{a}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}+3\mathbf{k}$Ring it ①, "vector one". A name stops a mix-up in the dot product.วง ① ไว้ อ่านว่า "เวกเตอร์หนึ่ง" ตั้งชื่อไว้จะได้ไม่สลับตอนทำ dot product
2. $\mathbf{b}=\mathbf{i}+5\mathbf{j}+\mathbf{k}$Name them ① and ②. The dot product uses both.ตั้งชื่อ ① ② ไว้ เดี๋ยว dot product ใช้ทั้งคู่
3. $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$Multiply matching components, then add. Keep the minus sign.คูณคอมโพเนนต์ที่ตรงกัน แล้วบวก · อย่าทำเครื่องหมายลบหาย
4. $=2(1)+(-1)(5)+3(1)$
5. $=2-5+3$Three numbers, one line.สามตัวเลข บรรทัดเดียว
6. $=0$The result is zero, not "small".ผลลัพธ์คือศูนย์ · ไม่ใช่ "น้อย"
7. $\mathbf{a}\perp\mathbf{b}$$\cos\theta=\frac{0}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}=0$, so $\theta=90^{\circ}$. Write that sentence: it is the mark.$\cos\theta=\frac{0}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}=0$ ได้ $\theta=90^{\circ}$ · เขียนประโยคนี้ด้วย นี่แหละคะแนน

1. Find the value of $\lambda$ for which $\begin{pmatrix}3\\\lambda\\2\end{pmatrix}$ and $\begin{pmatrix}2\\4\\-1\end{pmatrix}$ are perpendicular.หาค่า $\lambda$ ที่ทำให้ $\begin{pmatrix}3\\\lambda\\2\end{pmatrix}$ กับ $\begin{pmatrix}2\\4\\-1\end{pmatrix}$ ตั้งฉากกัน
   Answer:เฉลย: $6+4\lambda-2=0\Rightarrow\lambda=-1$Perpendicular becomes an equation: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$   $6+4\lambda-2=0$   $4\lambda=-4\ \Rightarrow\ \lambda=-1$ตั้งฉาก กลายเป็นสมการ: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$   $6+4\lambda-2=0$   $4\lambda=-4\ \Rightarrow\ \lambda=-1$
2. $A(3,1,5)$, $B(1,2,3)$, $C(2,4,3)$. Find $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$.$A(3,1,5)$, $B(1,2,3)$, $C(2,4,3)$ · หา $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$
   Answer:เฉลย: $\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$, and $2-2+0=0$$\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$ และ $2-2+0=0$Both arrows leave the corner: $\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix},\quad\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$   $2-2+0=0$   $\Rightarrow\ \angle ABC=90^{\circ}$ลูกศรออกจากมุม ทั้งสองเส้น: $\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix},\quad\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$   $2-2+0=0$   $\Rightarrow\ \angle ABC=90^{\circ}$

5. The equation of a lineสมการของเส้นตรง

$\mathbf{r}=\mathbf{a}+t\mathbf{d}$: stand at a point, then walk in a direction.$\mathbf{r}=\mathbf{a}+t\mathbf{d}$: ยืนที่จุดหนึ่ง แล้วเดินไปตามทิศหนึ่ง

One point, one direction, every step along itจุดเดียว ทิศทางเดียว เดินไปทุกก้าว

$t=0$ is the start; every other $t$ is $\mathbf{a}+t\mathbf{d}$.$t=0$ คือจุดเริ่ม · $t$ ตัวอื่นคือ $\mathbf{a}+t\mathbf{d}$

The line through $(2,0,-1)$ and $(3,2,1)$, at $t=3$เส้นผ่าน $(2,0,-1)$ กับ $(3,2,1)$ ที่ $t=3$

1. $\mathbf{d}=\mathbf{b}-\mathbf{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$LABEL. Direction first: end minus start.ติดป้าย · หาทิศทางก่อน ปลายลบต้น
2. $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$
3. $t=3:\ \begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$SUBSTITUTE. Copy the formula in, nothing worked out yet.แทนค่า · ลอกสูตรใส่ ยังไม่คิดเลข
4. $=\begin{pmatrix}5\\6\\5\end{pmatrix}$EVALUATE. Row by row.คิด · ทำทีละแถว

1. A line passes through $A(1,2,3)$ and $B(4,0,5)$. Which vector is a valid direction $\mathbf{d}$?เส้นตรงเส้นหนึ่งผ่าน $A(1,2,3)$ และ $B(4,0,5)$ · เวกเตอร์ตัวไหนใช้เป็นทิศทาง $\mathbf{d}$ ได้?
   Answer:เฉลย: $\mathbf{d}=\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}=\begin{pmatrix}3\\-2\\2\end{pmatrix}$Direction, not position: $\mathbf{d}=\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}=\begin{pmatrix}3\\-2\\2\end{pmatrix}$   $\begin{pmatrix}6\\-4\\4\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}-3\\2\\-2\end{pmatrix}\ \text{also valid}$ Any multiple of $\overrightarrow{AB}$ works, because only the direction matters.ทิศทาง ไม่ใช่ตำแหน่ง: $\mathbf{d}=\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}=\begin{pmatrix}3\\-2\\2\end{pmatrix}$   $\begin{pmatrix}6\\-4\\4\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}-3\\2\\-2\end{pmatrix}\ \text{also valid}$ คูณกี่เท่าก็ใช้ได้ · สนใจแค่ทิศทาง
2. Substitute into $\mathbf{r}=\mathbf{a}+t\mathbf{d}$ without working it out. Which is the equation of the line through $A(1,2,3)$ and $B(4,0,5)$?ทีนี้แทนค่าลง $\mathbf{r}=\mathbf{a}+t\mathbf{d}$ · ยังไม่ต้องคิดเลข · ข้อไหนคือสมการของเส้นที่ผ่าน $A(1,2,3)$ กับ $B(4,0,5)$?
   Answer:เฉลย: $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\-2\\2\end{pmatrix}$Test the line with $t$: $t=0\ \Rightarrow\ (1,2,3)=A$   $t=1\ \Rightarrow\ (4,0,5)=B$   $\text{both given points lie on it}\ \checkmark$ตรวจเส้นด้วยการแทน $t$: $t=0\ \Rightarrow\ (1,2,3)=A$   $t=1\ \Rightarrow\ (4,0,5)=B$   $\text{both given points lie on it}\ \checkmark$
3. On the line $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\-2\\2\end{pmatrix}$, take $t=2$. Give the $\mathbf{j}$ component of that point.บนเส้น $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\-2\\2\end{pmatrix}$ ให้ $t=2$ · บอกองค์ประกอบ $\mathbf{j}$ ของจุดนั้น
   Answer:เฉลย: $2+2(-2)=-2$  (the point is $(7,-2,7)$)$2+2(-2)=-2$  (จุดนั้นคือ $(7,-2,7)$)One row at a time: $\mathbf{j}:\ 2+2(-2)=-2$   $\text{full point}\ (7,-2,7)$   $\text{each }t\ \Rightarrow\ \text{one point}$คิดทีละแถว: $\mathbf{j}:\ 2+2(-2)=-2$   $\text{full point}\ (7,-2,7)$   $\text{each }t\ \Rightarrow\ \text{one point}$
4. A line passes through $P(2,-1,4)$ and $Q(5,1,0)$. Using $P$ as $\mathbf{a}$ and $\overrightarrow{PQ}$ as $\mathbf{d}$, give the $\mathbf{k}$ component of the point where $t=3$.เส้นตรงผ่าน $P(2,-1,4)$ และ $Q(5,1,0)$ · ใช้ $P$ เป็น $\mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{PQ}$ เป็น $\mathbf{d}$ · บอกองค์ประกอบ $\mathbf{k}$ ของจุดที่ $t=3$
   Answer:เฉลย: $\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}3\\2\\-4\end{pmatrix}$, so $4+3(-4)=-8$$\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}3\\2\\-4\end{pmatrix}$ ดังนั้น $4+3(-4)=-8$Subtract, substitute, one row: $\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}3\\2\\-4\end{pmatrix}$   $\mathbf{k}:\ 4+3(-4)=-8$ The rows are independent, so one coordinate never needs the other two.ลบ · แทนค่า · คิดแถวเดียว: $\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}3\\2\\-4\end{pmatrix}$   $\mathbf{k}:\ 4+3(-4)=-8$ แต่ละแถวไม่เกี่ยวกัน · หาแค่แถวเดียวก็พอ

6. Meet, parallel, or skewตัดกัน ขนาน หรือไขว้

Two lines in 3-D usually miss each other. Three equations, solve two, check the third.เส้นตรงสองเส้นในสามมิติส่วนใหญ่ไม่เจอกัน · สามสมการ แก้สอง แล้วตรวจสมการที่สาม

In 3-D, two lines meet, are parallel, or are skewใน 3 มิติ เส้นตรงสองเส้น ตัดกัน ขนานกัน หรือไขว้กัน

Skew: not parallel, never meet. Three rows, two unknowns: the third row is the test.ไขว้: ไม่ขนาน และไม่ตัดกัน · สามแถว สองตัวแปร · แถวที่สามคือตัวทดสอบ

$l_{1}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$, $\;l_{2}=\begin{pmatrix}4\\5\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$$l_{1}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$, $\;l_{2}=\begin{pmatrix}4\\5\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$

1. $t-2s=4$Row 1: set the two $x$ rows equal.แถว 1: ให้สองสมการ $x$ เท่ากัน
2. $t-s=4$
3. $s=0$Solve the pair: subtract to cancel $t$.แก้สมการคู่ — ลบกันให้ $t$ หายไป
4. $t=4$
5. $\text{row 3: }4+0\ne0$TEST. The leftover row must agree too.ทดสอบ · แถวที่เหลือต้องลงตัวด้วย
6. $\Rightarrow\ \text{skew}$

1. Two lines have directions $\mathbf{d}_{1}=\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}$ and $\mathbf{d}_{2}=\begin{pmatrix}-6\\3\\-12\end{pmatrix}$. They are parallel because $\mathbf{d}_{2}=k\,\mathbf{d}_{1}$. Find $k$.เส้นตรงสองเส้นมีทิศทาง $\mathbf{d}_{1}=\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}$ และ $\mathbf{d}_{2}=\begin{pmatrix}-6\\3\\-12\end{pmatrix}$ · ทั้งสองขนานกันเพราะ $\mathbf{d}_{2}=k\,\mathbf{d}_{1}$ · หา $k$
   Answer:เฉลย: $k=-3$  ($-6=-3(2)$, $3=-3(-1)$, $-12=-3(4)$)Parallel means one is a multiple: $-6=-3(2)$   $3=-3(-1)$   $-12=-3(4)$   $k=-3\quad\text{(negative is fine)}$ Check all three rows: two can agree by luck, three cannot.ขนาน คือเป็นจำนวนเท่าของกัน: $-6=-3(2)$   $3=-3(-1)$   $-12=-3(4)$   $k=-3\quad\text{(negative is fine)}$ ต้องตรวจครบสามแถว · สองแถวตรงกันโดยบังเอิญได้ สามแถวไม่ได้
2. $l_{1}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$  and  $l_{2}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}5\\7\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2\\-3\\1\end{pmatrix}$. The rows give $1+t=5-2s$, $\;2t=7-3s$, $\;2+t=3+s$. Solve the first and third, check the second, then give the $x$ coordinate of the point where the lines meet.  (4 marks)$l_{1}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$  และ  $l_{2}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}5\\7\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-2\\-3\\1\end{pmatrix}$ · แต่ละแถวให้ $1+t=5-2s$, $\;2t=7-3s$, $\;2+t=3+s$ · แก้สมการที่หนึ่งกับที่สาม ตรวจสมการที่สอง แล้วบอกพิกัด $x$ ของจุดที่สองเส้นตัดกัน  (4 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $t=2$, $s=1$; check row $2$: $2t=4=7-3$ ✓; the point is $(3,4,4)$, so $x=3$$t=2$, $s=1$ · ตรวจแถว $2$: $2t=4=7-3$ ✓ · จุดตัดคือ $(3,4,4)$ ดังนั้น $x=3$4 marks: $\text{M1}\ \ \text{three row equations}$   $\text{A1}\ \ t=2,\ s=1$   $\text{DM1}\ \ \text{row }2:\ 2t=4=7-3\ \checkmark$   $\text{A1}\ \ (3,4,4)\ \Rightarrow\ x=3$ Skip the check and the last two marks go, even with the right point.4 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{three row equations}$   $\text{A1}\ \ t=2,\ s=1$   $\text{DM1}\ \ \text{row }2:\ 2t=4=7-3\ \checkmark$   $\text{A1}\ \ (3,4,4)\ \Rightarrow\ x=3$ ไม่ตรวจแถวที่เหลือ เสียสองคะแนนท้าย ถึงจุดจะถูก
3. $l_{3}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$  and  $l_{4}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$. Rows $1$ and $2$ give $t=0$, $s=1$. Row $3$ then reads $0=3+1$. What do you write?$l_{3}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$  และ  $l_{4}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ · แถว $1$ กับ $2$ ให้ $t=0$, $s=1$ · แถว $3$ กลายเป็น $0=3+1$ · จะเขียนว่าอะไร?
   Answer:เฉลย: skew — not parallel and no common pointไขว้กัน — ไม่ขนาน และไม่มีจุดร่วมSkew is a two-part verdict: $\text{rows }1,2:\ t=0,\ s=1$   $\text{row }3:\ 0=3+1\ \Rightarrow\ 0=4\ \text{✗}$   $\text{not parallel}\ +\ \text{no common point}\ \Rightarrow\ \text{skew}$ The contradiction is not an algebra slip, it is the answer.ไขว้กัน ต้องตอบสองส่วน: $\text{rows }1,2:\ t=0,\ s=1$   $\text{row }3:\ 0=3+1\ \Rightarrow\ 0=4\ \text{✗}$   $\text{not parallel}\ +\ \text{no common point}\ \Rightarrow\ \text{skew}$ สมการขัดกัน ไม่ใช่คิดผิด · นั่นแหละคือคำตอบ

7. The angle between two linesมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น

Only the directions matter. The exam always wants the acute angle.สนใจแค่ทิศทาง · ข้อสอบต้องการมุมแหลม เสมอ

Slide a line and its tilt never changesเลื่อนเส้นไป ความเอียงไม่เปลี่ยน

$\cos\theta=\dfrac{\mathbf{d}_{1}\cdot\mathbf{d}_{2}}{|\mathbf{d}_{1}||\mathbf{d}_{2}|}$: the same formula, with directions only.$\cos\theta=\dfrac{\mathbf{d}_{1}\cdot\mathbf{d}_{2}}{|\mathbf{d}_{1}||\mathbf{d}_{2}|}$ — สูตรเดิม ใช้แค่ทิศทาง

$\mathbf{d}_{1}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$, $\mathbf{d}_{2}=\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}$$\mathbf{d}_{1}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$, $\mathbf{d}_{2}=\begin{pmatrix}4\\0\\-3\end{pmatrix}$

1. $\cos\theta=\dfrac{\mathbf{d}_{1}\cdot\mathbf{d}_{2}}{|\mathbf{d}_{1}||\mathbf{d}_{2}|}$LABEL. Write the formula before any numbers.ติดป้าย · เขียนสูตรก่อนใส่เลข
2. $=\dfrac{4+0-6}{3\times5}$SUBSTITUTE. Three products on top, two lengths below.แทนค่า · ผลคูณสามตัวอยู่บน ความยาวสองตัวอยู่ล่าง
3. $=-\dfrac{2}{15}$
4. $\theta=97.7^{\circ}$EVALUATE. $\cos^{-1}$ of a negative number is obtuse.คิด · $\cos^{-1}$ ของเลขลบ ได้มุมป้าน
5. $180-97.7=82.3^{\circ}$The question always wants the acute one.โจทย์ต้องการมุมแหลมเสมอ

1. $l_{1}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$  and  $l_{2}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}0\\1\\4\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$. Which two vectors go into the formula?$l_{1}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$  และ  $l_{2}:\ \mathbf{r}=\begin{pmatrix}0\\1\\4\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$ · เวกเตอร์คู่ไหนที่ต้องเอาเข้าสูตร?
   Answer:เฉลย: the direction vectors $\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ and $\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$เวกเตอร์บอกทิศทาง $\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ และ $\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$The vector after the parameter: $\mathbf{r}=\mathbf{a}+t\,\mathbf{d}\ \Rightarrow\ \text{use }\mathbf{d}$   $\mathbf{d}_{1}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix},\quad\mathbf{d}_{2}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$เวกเตอร์ที่อยู่หลังพารามิเตอร์: $\mathbf{r}=\mathbf{a}+t\,\mathbf{d}\ \Rightarrow\ \text{use }\mathbf{d}$   $\mathbf{d}_{1}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix},\quad\mathbf{d}_{2}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}$
2. Same two lines. Find the angle between $l_{1}$ and $l_{2}$, in degrees to $1$ d.p.เส้นสองเส้นเดิม · หามุมระหว่าง $l_{1}$ กับ $l_{2}$ เป็นองศา ทศนิยม $1$ ตำแหน่ง
   Answer:เฉลย: $\cos\theta=\dfrac{6+0+8}{3\times5}=\dfrac{14}{15}$, $\;\theta=21.0^{\circ}$The positions were never used: $\cos\theta=\dfrac{6+0+8}{3\times 5}=\dfrac{14}{15}=0.9333$   $\theta=21.0^{\circ}$ตำแหน่งไม่ได้ใช้เลย: $\cos\theta=\dfrac{6+0+8}{3\times 5}=\dfrac{14}{15}=0.9333$   $\theta=21.0^{\circ}$

8. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Real paper wording, marks stated, written the way the mark scheme reads.ภาษาข้อสอบจริง · บอกคะแนน · เขียนแบบที่เฉลยอ่านแล้วให้คะแนน

Three instructions you will meet again and againสามคำสั่งที่เจอซ้ำๆในข้อสอบ

Every verb in the question points at one of these three moves.ทุกคำสั่งในโจทย์ ชี้ไปที่หนึ่งในสามท่านี้

1. Exam: The line $l_{1}$ passes through $A(1,1,1)$ and $B(3,4,7)$. The line $l_{2}$ has equation $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}0\\2\\5\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\-2\\-2\end{pmatrix}$. Find the acute angle between $l_{1}$ and $l_{2}$, giving your answer in degrees to $1$ decimal place.  (5 marks)ข้อสอบ: เส้น $l_{1}$ ผ่าน $A(1,1,1)$ และ $B(3,4,7)$ · เส้น $l_{2}$ มีสมการ $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}0\\2\\5\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\-2\\-2\end{pmatrix}$ · หามุมแหลมระหว่าง $l_{1}$ กับ $l_{2}$ ตอบเป็นองศา ทศนิยม $1$ ตำแหน่ง  (5 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\mathbf{d}_{1}=\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}$, $\cos\theta=\dfrac{-20}{7\times3}=-\dfrac{20}{21}$, $\theta=162.2^{\circ}$, so the acute angle is $17.8^{\circ}$$\mathbf{d}_{1}=\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}$, $\cos\theta=\dfrac{-20}{7\times3}=-\dfrac{20}{21}$, $\theta=162.2^{\circ}$ · มุมแหลมคือ $17.8^{\circ}$5 marks: $\text{M1}\ \ \mathbf{d}_{1}=\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}$   $\text{M1}\ \ -2-6-12=-20$   $\text{A1}\ \ |\mathbf{d}_{1}|=7,\ |\mathbf{d}_{2}|=3$   $\text{M1}\ \ \cos\theta=-\tfrac{20}{21}\ \Rightarrow\ 162.2^{\circ}$   $\text{A1}\ \ 180-162.2=17.8^{\circ}$ When a question says acute, take the modulus of the dot product.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ \mathbf{d}_{1}=\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\3\\6\end{pmatrix}$   $\text{M1}\ \ -2-6-12=-20$   $\text{A1}\ \ |\mathbf{d}_{1}|=7,\ |\mathbf{d}_{2}|=3$   $\text{M1}\ \ \cos\theta=-\tfrac{20}{21}\ \Rightarrow\ 162.2^{\circ}$   $\text{A1}\ \ 180-162.2=17.8^{\circ}$ โจทย์บอกมุมแหลม ให้ใช้ค่าสัมบูรณ์ของผลคูณดอต
2. Exam: The line $l$ has equation $\mathbf{r}=(\mathbf{i}+3\mathbf{j}-2\mathbf{k})+t(2\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\mathbf{k})$, and $P$ is the point $(8,7,2)$. $N$ is the foot of the perpendicular from $P$ to $l$.  (7 marks)ข้อสอบ: เส้นตรง $l$ มีสมการ $\mathbf{r}=(\mathbf{i}+3\mathbf{j}-2\mathbf{k})+t(2\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\mathbf{k})$ และ $P$ คือจุด $(8,7,2)$ · $N$ คือจุดเท้าของเส้นตั้งฉากจาก $P$ ลงมาที่ $l$  (7 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $t=2$, so $N(5,1,2)$;  $\mathbf{q}=2\mathbf{n}-\mathbf{p}$ gives $Q(2,-5,2)$7 marks: $\text{M1}\ \ N=(1+2t,\ 3-t,\ -2+2t)$   $\text{M1}\ \ \overrightarrow{PN}=(2t-7,\ -t-4,\ 2t-4)$   $\text{M1}\ \ \overrightarrow{PN}\cdot\mathbf{d}=9t-18=0$   $\text{A1}\ \ t=2\ \Rightarrow\ N(5,1,2)$   $\text{M1}\ \ N\ \text{is the midpoint of }PQ$   $\text{M1}\ \ \mathbf{q}=2(5,1,2)-(8,7,2)$   $\text{A1}\ \ Q(2,-5,2)$ Part (b) is one line: $\mathbf{q}=2\mathbf{n}-\mathbf{p}$.7 คะแนน: $\text{M1}\ \ N=(1+2t,\ 3-t,\ -2+2t)$   $\text{M1}\ \ \overrightarrow{PN}=(2t-7,\ -t-4,\ 2t-4)$   $\text{M1}\ \ \overrightarrow{PN}\cdot\mathbf{d}=9t-18=0$   $\text{A1}\ \ t=2\ \Rightarrow\ N(5,1,2)$   $\text{M1}\ \ N\ \text{is the midpoint of }PQ$   $\text{M1}\ \ \mathbf{q}=2(5,1,2)-(8,7,2)$   $\text{A1}\ \ Q(2,-5,2)$ ข้อ (b) บรรทัดเดียว: $\mathbf{q}=2\mathbf{n}-\mathbf{p}$
3. The points are $P(1,4,2)$, $Q(3,1,3)$ and $R(0,2,5)$.
   Find the size of angle $PQR$, in degrees.กำหนดจุด $P(1,4,2)$, $Q(3,1,3)$ และ $R(0,2,5)$
   จงหาขนาดของมุม $PQR$ เป็นองศา
   Answer:เฉลย: $\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{QR}}{|\overrightarrow{QP}||\overrightarrow{QR}|}=\dfrac{7}{14}=\dfrac12$, so the angle is $60^{\circ}$Middle letter is the corner: $\angle PQR\ \Rightarrow\ \text{both arrows leave }Q$   $\overrightarrow{QP}=\mathbf{p}-\mathbf{q}=(-2,3,-1)$   $\overrightarrow{QR}=\mathbf{r}-\mathbf{q}=(-3,1,2)$   $\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{QR}=6+3-2=7$   $\cos\theta=\dfrac{7}{\sqrt{14}\,\sqrt{14}}=\dfrac{7}{14}=\tfrac12$   $\theta=60^{\circ}$ An angle at a vertex can be obtuse, so no acute rule rescues a reversed arrow.ตัวอักษรกลาง คือมุม: $\angle PQR\ \Rightarrow\ \text{both arrows leave }Q$   $\overrightarrow{QP}=\mathbf{p}-\mathbf{q}=(-2,3,-1)$   $\overrightarrow{QR}=\mathbf{r}-\mathbf{q}=(-3,1,2)$   $\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{QR}=6+3-2=7$   $\cos\theta=\dfrac{7}{\sqrt{14}\,\sqrt{14}}=\dfrac{7}{14}=\tfrac12$   $\theta=60^{\circ}$ มุมที่จุดยอดเป็นมุมป้านได้ · กลับลูกศรผิดแล้ว ไม่มีกฎมุมแหลมมาช่วย

9. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. Find the acute angle between the lines $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$ and $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\0\\3\end{pmatrix}$, giving your answer in degrees to $1$ decimal place.
   Answer:เฉลย: $\cos\theta=\dfrac{8+0+3}{3\times5}=\dfrac{11}{15}$,  $\theta=42.8^{\circ}$Identical to the worked example, numbers changed; the magnitudes still come out whole.เหมือนตัวอย่างที่ทำไปทุกอย่าง เปลี่ยนแค่ตัวเลข ขนาดยังออกมาเป็นจำนวนเต็ม
2. Find the acute angle between the lines $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ and $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}0\\2\\4\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}$.
   Answer:เฉลย: $\cos\theta=\dfrac{2+2-3}{\sqrt{6}\,\sqrt{14}}=\dfrac{1}{\sqrt{84}}$,  $\theta=83.7^{\circ}$Same method, but neither magnitude is whole. Keep $\sqrt6$ and $\sqrt{14}$ exact until the last step.วิธีเดิม แต่ขนาดทั้งสองไม่เป็นจำนวนเต็ม เก็บ $\sqrt6$ กับ $\sqrt{14}$ ไว้แบบ exact จนถึงขั้นสุดท้าย
3. The line $l_{1}$ passes through $P(4,1,-2)$ and $Q(1,3,4)$. The line $l_{2}$ has equation $\mathbf{r}=2\mathbf{i}-\mathbf{j}+3\mathbf{k}+\mu(\mathbf{i}+2\mathbf{j}-2\mathbf{k})$. Find the acute angle between $l_{1}$ and $l_{2}$.
   Answer:เฉลย: $\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}-3\\2\\6\end{pmatrix}$, $\;\cos\theta=\dfrac{-3+4-12}{7\times3}=-\dfrac{11}{21}$, $\;\theta=121.6^{\circ}$, acute angle $=58.4^{\circ}$$\mathbf{i,j,k}$ notation, parameter renamed $\mu$, lines given differently, a negative dot product: only packaging changed.สัญลักษณ์ $\mathbf{i,j,k}$ เปลี่ยนชื่อพารามิเตอร์เป็น $\mu$ วิธีให้เส้นต่างไป dot product ติดลบ แต่เปลี่ยนแค่กล่องห่อ
4. The line $l$ has equation $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ and $P$ is the point $(4,-2,3)$. The point $N$ lies on $l$ and $PN$ is perpendicular to $l$. Find $t$ at $N$, the coordinates of $N$, and the distance $PN$.
   Answer:เฉลย: $\overrightarrow{PN}=\begin{pmatrix}2t-3\\4-t\\2t-4\end{pmatrix}$;  $\overrightarrow{PN}\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}=9t-18=0$, so $t=2$, $N(5,0,3)$, $PN=\sqrt{1+4+0}=\sqrt{5}$Joins the perpendicular test from Level 3 to the line equation from Level 4.ต่อการทดสอบตั้งฉากจากขั้นที่ 3 เข้ากับสมการเส้นตรงจากขั้นที่ 4
5. The lines $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\-1\\p\end{pmatrix}$ and $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}0\\4\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\4\\-1\end{pmatrix}$ are perpendicular. Find $p$.
   Answer:เฉลย: $2-4-p=0$, so $p=-2$The answer is given; the set-up is the real question here.คำตอบให้มาแล้ว โจทย์จริงคือการตั้งสมการ
6. The line $l_{1}$ passes through the points $A(1,2,-1)$ and $B(3,3,1)$. The line $l_{2}$ has equation $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}6\\2\\5\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$.  (5 marks) (a)(ก) Find a vector equation for $l_{1}$. (2 marks) (b)(ข) Show that $l_{1}$ and $l_{2}$ intersect, and find the position vector of the point of intersection.
   Answer:เฉลย: (a) $\mathbf{r}=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$  (b) rows $1$ and $2$ give $t=2$, $s=-1$; row $3$ checks: $-1+4=3=5-2$ ✓, so they intersect at $5\mathbf{i}+4\mathbf{j}+3\mathbf{k}$Full exam wording with marks stated. 'Show that they intersect' means write the third-row check.ภาษาข้อสอบเต็มรูปแบบพร้อมคะแนนกำกับ · 'Show that they intersect' แปลว่าต้องเขียนการตรวจแถวที่สาม

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี