Pure Math Lab /
/ Vectorsเวกเตอร์ Book a callจองคุย
Vectors · progressVectors · ความคืบหน้า
← Topicsหัวข้อ Pure Math Lab
🎁 Free · every level open, no sign-up. 🎁 ฟรี · เปิดทุกระดับ ไม่ต้องสมัคร
A-Level Pure 3 · CAIE 9709/3 · Edexcel: WMA14
Your exam boardบอร์ดสอบของคุณ

Vectors

เวกเตอร์ (Vectors)

Pick a problem on the left — every step is a choice.

เลือกโจทย์จากแถบซ้าย — ทุกสเต็ปคือการเลือกคำตอบ

How this page worksหน้านี้ใช้ยังไง

Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip.

ทำทีละข้อ ทีละสเต็ป ทุกสเต็ปคือการเลือก และทุกคำตอบจะกางเป็นมินิบทเรียนเต็ม: วิธีคิด การแสดงวิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทิปข้อสอบ

The Pure 3 Method: practice, explain the why, repeat. The quiz-and-recall method top students use, so the marks stick.

The Pure 3 Method: ฝึก อธิบายเหตุผล ทำซ้ำ ใช้หลัก quiz-and-recall แบบเด็กท็อป คะแนนเลยอยู่ตัว

🪜Learn  Never learnt this? Start from zero in Teach Modeเรียน  ยังไม่เคยเรียนเรื่องนี้? เริ่มตั้งแต่ศูนย์ในโหมดสอนIt starts from something you already know and climbs one small step at a time — you answer, it moves.เริ่มจากของที่น้องทำเป็นอยู่แล้ว แล้วไต่ทีละขั้นเล็กๆ น้องตอบ แล้วค่อยไปต่อVectorsเวกเตอร์
📐Know the pieces but stuck on a whole exam question?รู้ทีละส่วนแล้ว แต่ทำข้อสอบเต็มข้อไม่ได้?Each set takes one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill; question 10 is the exam question itself.แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แยกเป็นสเต็ปย่อย แล้วไต่กลับขึ้นไปVectors laddersชุดไต่ระดับ · เวกเตอร์
Know the method? Here is what to do next.เข้าใจวิธีแล้ว? ขั้นต่อไปทำแบบนี้
PractiseฝึกTopic pack · 10 past-paper questions, 90 marksชุดฝึก · ข้อสอบจริง 10 ข้อ 90 คะแนน
TestสอบPure 3 paperข้อสอบ Pure 3

The pack is marked the way the examiner marks it, method marks included.ชุดฝึกตรวจแบบเดียวกับกรรมการ รวมคะแนนวิธีทำด้วย

Questionโจทย์
The mapแผนที่วิธี

See this → use this

เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้

Match the shape of the question to the tool.

จับรูปของโจทย์ให้ตรงกับเครื่องมือ

length / unit vectorความยาว / เวกเตอร์หนึ่งหน่วย→$|\mathbf{a}|=\sqrt{\textstyle\sum a_i^{2}}$, $\hat{\mathbf{a}}=\tfrac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}$try →ลอง →
angle between vectorsมุมระหว่างเวกเตอร์→dot $\div |\mathbf{a}||\mathbf{b}|$, then $\cos^{-1}$dot $\div |\mathbf{a}||\mathbf{b}|$ แล้ว $\cos^{-1}$try →ลอง →
perpendicular?ตั้งฉาก?→$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$
line equationสมการเส้นตรง→$\mathbf{r}=\mathbf{a}+t\,\mathbf{d}$ (point + direction)(จุด + ทิศทาง)
do two lines meet?สองเส้นตัดกันไหม?→equate, solve, check 3rdจับเท่ากัน แก้ เช็กที่สามtry →ลอง →
angle between linesมุมระหว่างเส้น→use the directionsใช้เวกเตอร์ทิศทางtry →ลอง →
Toolkitกล่องเครื่องมือ

Standard results to know

สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ

Magnitudeขนาด$|\mathbf{a}|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}$
Unit vectorหนึ่งหน่วย$\hat{\mathbf{a}}=\dfrac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}$
Lineเส้นตรง$\mathbf{r}=\mathbf{a}+t\,\mathbf{d}$
Perpendicularตั้งฉาก$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$
Scalar (dot) productดอตโปรดักต์$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$
Angleมุม$\cos\theta=\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$  (directions for lines)(เส้นใช้ทิศทาง)

A quick sketch of the two vectors makes the angle and the answer obvious.

วาดเวกเตอร์สองตัวคร่าวๆ ช่วยให้เห็นมุมและคำตอบชัด

Worked exampleตัวอย่างพร้อมคะแนน

One full solution, marked

เฉลยเต็มข้อ พร้อมคะแนน

Every line is one mark on the real mark scheme.

ทุกบรรทัดคือหนึ่งคะแนนในเกณฑ์ตรวจจริง

Line $L:\ \mathbf{r}=(1,2,2)+t(2,2,1)$.
(a)Find the magnitude of the direction vector.หาขนาดของเวกเตอร์ทิศทาง2 marks
M1$\sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}$$\sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}$
A1$=3$$=3$
(b)Find the acute angle between $L$ and the line with direction $(1,2,2)$.หามุมแหลมระหว่าง $L$ กับเส้นที่มีทิศทาง $(1,2,2)$4 marks
M1dot $(2,2,1)\cdot(1,2,2)=8$ดอต $(2,2,1)\cdot(1,2,2)=8$
A1$|\mathbf{d_1}||\mathbf{d_2}|=9$$|\mathbf{d_1}||\mathbf{d_2}|=9$
M1$\cos\theta=\frac{8}{9}$$\cos\theta=\frac{8}{9}$
A1$\theta\approx27.3^{\circ}$$\theta\approx27.3^{\circ}$

M marks are for the method — you keep them even if the arithmetic slips. A and B marks need the answer itself. Total 6 marks.M คือคะแนนวิธีทำ ได้อยู่แม้คิดเลขพลาด ส่วน A กับ B ต้องได้คำตอบถูก รวม 6 คะแนน

Vocabศัพท์ต้องรู้

The words the question will use

คำที่โจทย์จะใช้

Read the paper in English; think in whichever you like.

อ่านข้อสอบเป็นอังกฤษ แต่คิดภาษาไหนก็ได้

Magnitude ขนาดUnit vector หนึ่งหน่วยLine เส้นตรงPerpendicular ตั้งฉากScalar (dot) product ดอตโปรดักต์Angle มุมposition vector เวกเตอร์ตำแหน่งscalar product ผลคูณสเกลาร์parallel ขนาน
Lock in the marksเก็บคะแนนให้ครบ

5 marks to lock in

5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้

Hover (or tap) each one to see the fix.

เลื่อนเมาส์ (หรือแตะ) แต่ละอันเพื่อดูวิธีแก้

✗Stopped at the ratioหยุดที่อัตราส่วนi
$\tfrac{8}{9}$  →  $\cos^{-1}\tfrac{8}{9}$
take the inverse cosineใช้อินเวอร์สโคไซน์
✗Used points, not directionsใช้จุด ไม่ใช่ทิศทางi
angle of lines = angle ofมุมของเส้น = มุมของ $\mathbf{d}$
✗Skipped the 3rd equationข้ามสมการที่สามi
3rd must check, elseสมการที่สามต้องผ่าน ไม่งั้น skew
✗$|\mathbf{a}|$ vs $|\mathbf{a}|^{2}$i
$\hat{\mathbf{a}}=\mathbf{a}\div|\mathbf{a}|$
divide by $|\mathbf{a}|$, not $|\mathbf{a}|^{2}$หารด้วย $|\mathbf{a}|$ ไม่ใช่ $|\mathbf{a}|^{2}$
✗Obtuse not made acuteไม่ปรับเป็นมุมแหลมi
ifถ้า $\cos<0$ → $180^{\circ}-\theta$
Still stuck on a topic? Book a free call →ยังติดทั้งหัวข้อ? จองคุยฟรี →
Pure Math Lab · A-Level & IGCSE maths · CAIE 9709 · Cambridge A Level
Pure Math Lab · คณิต A-Level & IGCSE · CAIE 9709 · Cambridge A Level
Freeฟรี
Stuck? Book a callติด? จองคุยฟรี
Google Meet or LINEGoogle Meet หรือไลน์
Book →จอง →
Questionsคำถามที่พบบ่อย
Mark schemeเกณฑ์ให้คะแนน

Keep going, free

ไปต่อ ฟรี

Nice work so far. Drop your email to unlock every level and the other topics. We'll tune them to your board.

ทำได้ดีมาก ใส่อีเมลเพื่อปลดล็อกทุกระดับและหัวข้ออื่น เราจะปรับให้ตรงบอร์ดของคุณ