Differentiation: rules and stationary points: Real A-Level Exam Questions Solved (Edexcel 9MA0)

← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี

Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Differentiation · 9MA0อนุพันธ์ · 9MA0

A-Level · Edexcel 9MA0 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. 1 · Product rule, turning points · 9MA0/01 Jun 2019 · 10 marks1 · กฎผลคูณ จุดวกกลับ · 9MA0/01 Jun 2019 · 10 คะแนน

Answer: tan x = 4 (shown); sketch: loops that fall in height; 3.18 m; real gaps shrink; the model keeps every gap at πคำตอบ: tan x = 4 (shown); sketch: loops that fall in height; 3.18 m; real gaps shrink; the model keeps every gap at π

1(a) Turning points: tan x = 41(a) จุดวกกลับ: tan x = 4

A function is $f(x)=10e^{-0.25x}\sin x$ for $x\ge0$. A ball is kicked. The model $H(t)=\left|10e^{-0.25t}\sin t\right|$ for $t\ge0$ gives its height, $H$ metres above the ground, $t$ seconds after the kick.
(a) Show that the turning points of the curve $y=f(x)$ occur where $\tan x=4$. [4]

$u=10e^{-0.25x},\ v=\sin x$the two factorsสองตัวที่คูณกัน
$u'=-2.5e^{-0.25x},\ v'=\cos x$differentiate eachดิฟทีละตัว
$f'(x)=u'v+uv'$product ruleกฎผลคูณ
$f'(x)=e^{-0.25x}(10\cos x-2.5\sin x)$substitute · take out e^(−0.25x)แทนค่า · ดึง e^(−0.25x) ออก
$10\cos x-2.5\sin x=0$f′ = 0 · e^(…) is never 0f′ = 0 · e^(…) ไม่เคยเป็น 0
$10\cos x=2.5\sin x$
$4=\dfrac{\sin x}{\cos x}$divide both sidesหารทั้งสองข้าง
$\tan x=4$shown · sin ÷ cos = tanแสดงได้แล้ว · sin ÷ cos = tan

1(b) Sketch H against t1(b) ร่างกราฟ H กับ t

A function is $f(x)=10e^{-0.25x}\sin x$ for $x\ge0$. A ball is kicked. The model $H(t)=\left|10e^{-0.25t}\sin t\right|$ for $t\ge0$ gives its height, $H$ metres above the ground, $t$ seconds after the kick.
(b) Sketch the graph of $H$ against $t$ for $t\ge0$. Show what happens to it for large $t$. [2]

$H=\left|f(t)\right|$modulus: negatives flip upค่าสัมบูรณ์ · ส่วนติดลบพลิกขึ้น
$H\ge0$every loop is above the axisทุกลูกอยู่เหนือแกน t
$t=\pi,\ 2\pi,\ 3\pi,\ \ldots$H = 0 here · loops touch the axisตรงนี้ H = 0 · กราฟแตะแกน
$H\to0\ \text{as}\ t\to\infty$e^(−0.25t) makes each loop lowere^(−0.25t) ทำให้แต่ละลูกเตี้ยลง

1(c) Top after the 1st bounce1(c) จุดสูงสุดหลังเด้งครั้งที่ 1

A function is $f(x)=10e^{-0.25x}\sin x$ for $x\ge0$. A ball is kicked. The model $H(t)=\left|10e^{-0.25t}\sin t\right|$ for $t\ge0$ gives its height, $H$ metres above the ground, $t$ seconds after the kick.
(c) Use the model to find the greatest height of the ball between its 1st bounce and its 2nd bounce. [3]

$H(t)=\left|10e^{-0.25t}\sin t\right|$model: |f(t)|แบบจำลอง: |f(t)|
$\tan t=4$tops of the loops · from (a)ยอดของแต่ละลูก · จาก (a)
$t=1.3258+\pi$add π: between bounce 1 and 2บวก π · อยู่ระหว่างเด้งที่ 1 กับ 2
$t=4.4674\ldots$radiansเรเดียน
$H=\left|10e^{-0.25(4.4674)}\sin4.4674\right|$substituteแทนค่า
$H=3.18\ \text{m}$answerคำตอบ

1(d) Why the model fails1(d) ทำไมโมเดลนี้ใช้ไม่ได้

A function is $f(x)=10e^{-0.25x}\sin x$ for $x\ge0$. A ball is kicked. The model $H(t)=\left|10e^{-0.25t}\sin t\right|$ for $t\ge0$ gives its height, $H$ metres above the ground, $t$ seconds after the kick.
(d) Give a reason why this model is not suitable for predicting when each bounce happens. [1]

$\sin t=0$bounce: H = 0, ball on the groundลูกเด้งตอน H = 0 (ลูกบอลอยู่ที่พื้น)
$t=\pi,\ 2\pi,\ 3\pi,\ \ldots$the model's bounce timesเวลาเด้งตามโมเดล
$\text{gap}=\pi\ \text{each time}$answer: real gaps shrink as bounces fallคำตอบ · เด้งเตี้ยลง ช่วงห่างควรสั้นลง

3. 2 · Product rule, iteration · 9MA0/01 Jun 2025 · 9 marks2 · กฎผลคูณ การทำซ้ำ · 9MA0/01 Jun 2025 · 9 คะแนน

Answer: 13.5; t = 5 ln(75/(t + 5)) (shown); (i) 8.478 · (ii) 8.55 sคำตอบ: 13.5; t = 5 ln(75/(t + 5)) (shown); (i) 8.478 · (ii) 8.55 s

2(a) When does it stop?2(a) หยุดเมื่อไร

$15T-Te^{0.2T}=0$stops: v = 0หยุด: v = 0
$T(15-e^{0.2T})=0$factorise · T = 0 is the startแยกตัวประกอบ · T = 0 คือตอนออกตัว
$e^{0.2T}=15$
$0.2T=\ln15$
$T=5\ln15$
$T=13.5\ \text{s}$answer · 1 d.p.คำตอบ · ทศนิยม 1 ตำแหน่ง

2(b) Show where speed peaks2(b) แสดงจุดความเร็วสูงสุด

A racing car pulls away from rest along a straight road, runs for $T$ seconds, then stops. A model for its speed is $v=15t-te^{0.2t}$ for $0\le t\le T$, where $t$ is the number of seconds since it pulled away.
(b) Show that the car reaches its greatest speed when $t=5\ln\left(\dfrac{75}{t+5}\right)$. [4]

$\tfrac{d}{dt}\left(te^{0.2t}\right)=e^{0.2t}+0.2te^{0.2t}$product rule on t × e^(0.2t)กฎผลคูณกับ t × e^(0.2t)
$\dfrac{dv}{dt}=15-e^{0.2t}-0.2te^{0.2t}$whole speed functionดิฟทั้งฟังก์ชัน
$15-e^{0.2t}(1+0.2t)=0$max speed: dv/dt = 0ความเร็วสูงสุด: dv/dt = 0
$15=e^{0.2t}(1+0.2t)$
$\dfrac{15}{1+0.2t}=e^{0.2t}$
$\dfrac{75}{t+5}=e^{0.2t}$top and bottom × 5คูณ 5 ทั้งเศษและส่วน
$\ln\dfrac{75}{t+5}=0.2t$
$t=5\ln\dfrac{75}{t+5}$shown · sides swappedแสดงได้แล้ว · สลับข้าง

2(c) Iterate to the peak time2(c) ทำซ้ำหาเวลาที่เร็วสุด

A racing car pulls away from rest along a straight road, runs for $T$ seconds, then stops. A model for its speed is $v=15t-te^{0.2t}$ for $0\le t\le T$, where $t$ is the number of seconds since it pulled away.
(c) Use $t_{n+1}=5\ln\left(\dfrac{75}{t_n+5}\right)$ with $t_1=8$. (i) Work out $t_3$, to 3 d.p. (ii) Keep iterating until the value settles, to find how long the car takes to reach its greatest speed. [3]

$t_{n+1}=5\ln\dfrac{75}{t_n+5}$iteration from (b)สูตรทำซ้ำจาก (b)
$t_2=5\ln\dfrac{75}{8+5}$t₁ = 8t₁ = 8
$t_2=8.76269\ldots$keep every digitเก็บทุกหลัก
$t_3=5\ln\dfrac{75}{13.76269\ldots}$t₂ back inแทน t₂ กลับเข้าไป
$t_3=8.478$(i) answer · 3 d.p.(i) คำตอบ · ทศนิยม 3 ตำแหน่ง
$t=8.55\ \text{s}$(ii) keep going until it settles(ii) ทำต่อจนค่านิ่ง

4. 3 · Quotient rule, stationary points · 9MA0/02 Jun 2022 · 6 marks3 · กฎผลหาร จุดคงที่ · 9MA0/02 Jun 2022 · 6 คะแนน

Answer: g(x) = e^(3x) / (4x² + k)²; 0 < k ≤ 4/9คำตอบ: g(x) = e^(3x) / (4x² + k)²; 0 < k ≤ 4/9

3(a) Quotient rule: find g(x)3(a) กฎผลหาร: หา g(x)

A function is $f(x)=\dfrac{e^{3x}}{4x^2+k}$ for real $x$, with $k$ a constant and $k\gt 0$.
(a) Show that $f'(x)=(12x^2-8x+3k)\,g(x)$, and find the function $g(x)$. [3]

$u=e^{3x},\,v=4x^2+k$top and bottomเศษและส่วน
$u'=3e^{3x},\ v'=8x$differentiate eachดิฟทีละตัว
$f'(x)=\dfrac{vu'-uv'}{v^2}$quotient ruleกฎผลหาร
$f'(x)=\dfrac{3e^{3x}v-8xe^{3x}}{v^2}$put in u, u′, v′แทน u, u′, v′
$f'(x)=\dfrac{e^{3x}(3v-8x)}{v^2}$take out e^(3x)ดึง e^(3x) ออก
$h=3v-8x$name the bracketตั้งชื่อให้วงเล็บ
$=12x^2-8x+3k$put v back: 3(4x² + k) − 8xแทน v กลับ: 3(4x² + k) − 8x
$f'(x)=h\,\dfrac{e^{3x}}{v^2}$so f′ = (12x² − 8x + 3k) g(x)จึงได้ f′ = (12x² − 8x + 3k) g(x)
$g(x)=\dfrac{e^{3x}}{(4x^2+k)^2}$answerคำตอบ

3(b) Stationary point needs k3(b) มีจุดคงที่ ต้องได้ k เท่าไร

A function is $f(x)=\dfrac{e^{3x}}{4x^2+k}$ for real $x$, with $k$ a constant and $k\gt 0$.
(b) The curve $y=f(x)$ has at least one stationary point. Work out the possible values of $k$. [3]

$12x^2-8x+3k=0$f′ = 0 · g(x) > 0, never 0f′ = 0 · g(x) > 0 ไม่เคยเป็น 0
$b^2-4ac\ge0$needs a real rootต้องมีรากจริง
$(-8)^2-4ac\ge0$b = −8b = −8
$64-4(12)(3k)\ge0$a = 12, c = 3ka = 12, c = 3k
$64-144k\ge0$
$-144k\ge-64$
$k\le\tfrac49$÷ a negative flips the signหารด้วยลบ เครื่องหมายกลับ
$0\lt k\le\tfrac49$answer · k is positiveคำตอบ · k เป็นบวก

5. 4 · Quotient rule, sign check · 9709/31 Jun 2020 · 8 marks4 · กฎผลหาร ตรวจเครื่องหมาย · 9709/31 Jun 2020 · 8 คะแนน

Answer: f′(x) = −1/(1 + sin x) < 0 (shown); ln(4/3)คำตอบ: f′(x) = −1/(1 + sin x) < 0 (shown); ln(4/3)

4(a) Show f′(x) is negative4(a) แสดงว่า f′(x) เป็นลบ

A function is $f(x)=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}$.
(a) Show that $f'(x)\lt0$ for every $x$ with $-\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\dfrac{3\pi}{2}$. [4]

$s=\sin x$short nameตั้งชื่อสั้น ๆ
$c=\cos x$short nameตั้งชื่อสั้น ๆ
$v=1+s$the bottom · the top is cส่วน · เศษคือ c
$f'(x)=\dfrac{-sv-c^{2}}{v^2}$M1 A1 · the quotient ruleM1 A1 · กฎผลหาร (quotient rule)
$-sv=-s-s^{2}$expand the bracketกระจายวงเล็บ
$-s^{2}-c^{2}=-1$M1 · use sin²x + cos²x = 1M1 · ใช้ sin²x + cos²x = 1
$f'(x)=\dfrac{-s-1}{v^2}$top: −s − 1เศษ: −s − 1
$f'(x)=\dfrac{-v}{v^2}$−s − 1 = −v−s − 1 = −v
$f'(x)=-\dfrac{1}{1+\sin x}$cancel vตัด v
$1+\sin x\gt0$A1 · sin x = −1 only at the two ends left outA1 · sin x = −1 เฉพาะที่ปลายสองด้านซึ่งไม่รวมในช่วง
$f'(x)\lt0$negative over positive: negativeลบหารด้วยบวก ได้ค่าลบ

4(b) Integrate f(x) exactly4(b) อินทิเกรต f(x) แบบ exact

A function is $f(x)=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}$.
(b) Work out $\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}f(x)\,dx$, as a simplified exact value. [4]

$\dfrac{d}{dx}(1+\sin x)=\cos x$top = derivative of the bottomบน = อนุพันธ์ของล่าง
$\int f\,dx=\ln(1+\sin x)$M1 A1 · ln of the bottomM1 A1 · ln ของตัวส่วน
$1+\sin\tfrac{\pi}{2}=2$DM1 · upper limitDM1 · ขอบบน
$1+\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac32$lower limitขอบล่าง
$I=\ln2-\ln\tfrac32$I = the integral · upper − lowerI = ค่าอินทิกรัล · บน − ล่าง
$=\ln\left(2\times\tfrac23\right)$ln a − ln b = ln (a ÷ b)ln a − ln b = ln (a ÷ b)
$=\ln\dfrac43$A1 · exact answerA1 · คำตอบ exact

6. 5 · Product rule, tangent, area · 9709/33 Nov 2023 · 9 marks5 · กฎผลคูณ เส้นสัมผัส พื้นที่ · 9709/33 Nov 2023 · 9 คะแนน

Answer: x + y = 0; π/8 − 1/4คำตอบ: x + y = 0; π/8 − 1/4

5(a) Tangent at x = π/25(a) เส้นสัมผัสที่ x = π/2

The diagram shows the curve $y=x\cos2x$ for $x\ge0$. The loop nearest the origin, above the $x$-axis, is shaded.
(a) Work out the equation of the tangent line at $x=\dfrac{\pi}{2}$. [4]

$\dfrac{dy}{dx}=\cos 2x+x(-2\sin 2x)$M1 · use the product ruleM1 · ใช้กฎผลคูณ (product rule)
$\dfrac{dy}{dx}=\cos 2x-2x\sin 2x$A1 · the correct derivativeA1 · ได้อนุพันธ์ที่ถูกต้อง
$\dfrac{dy}{dx}=\cos\pi-2\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\sin\pi$put x = π/2 inแทน x = π/2
$=-1$
$y=\tfrac{\pi}{2}\cos\pi$
$=-\tfrac{\pi}{2}$A1 · y = −π/2 and gradient −1, both seenA1 · ได้ y = −π/2 และความชัน −1 ครบทั้งสองค่า
$y-\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=-1\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right)$the tangent lineสมการเส้นสัมผัส
$y=-x$
$x+y=0$A1 · tidy formA1 · จัดรูปให้เรียบร้อย

5(b) Area of the shaded loop5(b) พื้นที่ของส่วนที่แรเงา

The diagram shows the curve $y=x\cos2x$ for $x\ge0$. The loop nearest the origin, above the $x$-axis, is shaded.
(b) Work out the exact area of the shaded loop. [5]

$\cos2x=0$curve meets the x-axisกราฟตัดแกน x
$x=\tfrac{\pi}{4}$first time · end of the loopครั้งแรก · ปลายของลูกที่แรเงา
$A=\int_0^{\frac{\pi}{4}}x\cos2x\,dx$shaded area · x from 0 to π/4พื้นที่แรเงา · x จาก 0 ถึง π/4
$I=\int x\cos2x\,dx$first the integral, no limitsหาอินทิกรัลก่อน ยังไม่ใส่ขอบ
$\int uv'\,dx=uv-\int u'v\,dx$by partsแบ่งส่วน (by parts)
$u=x,\ v'=\cos2x$M1 · choose u and v′M1 · เลือก u และ v′
$u'=1,\ v=\tfrac12\sin2x$differentiate u · integrate v′ดิฟ u · อินทิเกรต v′
$I=\tfrac12x\sin2x-\tfrac12\int\sin2x\,dx$A1 · substituteA1 · แทนค่า
$I=\tfrac12x\sin2x+\tfrac14\cos2x$A1 · sin 2x integrates to −½ cos 2xA1 · sin 2x อินทิเกรตได้ −½ cos 2x
$A=\left[I\right]_0^{\frac{\pi}{4}}$DM1 · put in the limitsDM1 · ใส่ขอบเขต
$A=\left(\tfrac{\pi}{8}+0\right)-\left(0+\tfrac14\right)$upper − lowerบน − ล่าง
$A=\tfrac{\pi}{8}-\tfrac14$A1 · exact answerA1 · คำตอบ exact

7. 6 · Product rule, point type · 9709/31 Nov 2021 · 6 marks6 · กฎผลคูณ ชนิดของจุดคงที่ · 9709/31 Nov 2021 · 6 คะแนน

Answer: (1/2, 1/2); maximumคำตอบ: (1/2, 1/2); maximum

6(a) Find the stationary point6(a) หาจุดคงที่

The curve $y=xe^{1-2x}$ has exactly one stationary point.
(a) Work out its coordinates. [4]

$\dfrac{dy}{dx}=e^{1-2x}+x(-2e^{1-2x})$M1 · use the product ruleM1 · ใช้กฎผลคูณ (product rule)
$\dfrac{dy}{dx}=e^{1-2x}(1-2x)$A1 · the correct derivativeA1 · ได้อนุพันธ์ที่ถูกต้อง
$e^{1-2x}(1-2x)=0$M1 · set to zero and solve for xM1 · ให้เท่ากับ 0 แล้วแก้หา x
$x=\tfrac12$
$y=\tfrac12 e^{1-1}$A1 · the coordinates of the pointA1 · ได้พิกัดของจุด
$=\tfrac12$
$\left(\tfrac12,\tfrac12\right)$

6(b) Maximum or minimum?6(b) สูงสุดหรือต่ำสุด

The curve $y=xe^{1-2x}$ has exactly one stationary point.
(b) Decide whether the stationary point is a maximum or a minimum. [2]

$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=-2e^{1-2x}(1-2x)-2e^{1-2x}$M1 · find the second derivativeM1 · หาอนุพันธ์อันดับสอง
$=-2e^{1-2x}(2-2x)$
$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=-2$A1 · conclude maximumA1 · สรุปว่าเป็นจุดสูงสุด
$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\lt 0$
$\text{maximum point}$

8. 7 · Product rule, double angle · 9709/32 Nov 2022 · 6 marks7 · กฎผลคูณ มุมสองเท่า · 9709/32 Nov 2022 · 6 คะแนน

Answer: 0.955คำตอบ: 0.955

7 x at the stationary point7 ค่า x ที่จุดคงที่

The curve $y=\sin x\sin2x$ has a stationary point for $0\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}$.
Work out the $x$-coordinate of this point, to 3 s.f. [6]

$\dfrac{dy}{dx}=u'v+uv'$M1 · product rule: u = sin x, v = sin 2xM1 · กฎผลคูณ: u = sin x, v = sin 2x
$u'v=\cos x\sin 2x$u′ = cos xu′ = cos x
$uv'=2\sin x\cos 2x$A1 · v′ = 2 cos 2x (chain rule)A1 · v′ = 2 cos 2x (กฎลูกโซ่)
$\sin 2x=2\sin x\cos x$M1 · use sin 2x = 2 sin x cos xM1 · ใช้ sin 2x = 2 sin x cos x
$u'v=2\sin x\cos^{2}x$the first term againพจน์แรกอีกครั้ง
$q=\cos^{2}x+\cos 2x$the bracket left after taking out 2 sin xวงเล็บที่เหลือหลังดึง 2 sin x ออก
$\dfrac{dy}{dx}=2\sin x\,q$take out 2 sin xดึง 2 sin x ออก
$q=0$dy/dx = 0 · sin x = 0 gives only x = 0, left outdy/dx = 0 · sin x = 0 ได้แค่ x = 0 ซึ่งไม่รวมในช่วง
$\cos 2x=2\cos^{2}x-1$DM1 · one trig function: cos xDM1 · เหลือฟังก์ชันตรีโกณตัวเดียว: cos x
$q=3\cos^{2}x-1$put cos 2x into qแทน cos 2x ใน q
$3\cos^{2}x=1$A1 · the equation in cos²xA1 · ได้สมการของ cos²x
$\cos^{2}x=\tfrac13$
$\cos x=\dfrac{1}{\sqrt3}$cos x is positive here, so take + rootช่วงนี้ cos x เป็นบวก ใช้รากบวก
$x=0.955$A1 · answer · radians, 3 s.f.A1 · คำตอบ · เรเดียน 3 หลักนัยสำคัญ

9. 8 · Parametric derivative · 9709/33 Nov 2020 · 5 marks8 · อนุพันธ์พาราเมตริก · 9709/33 Nov 2020 · 5 คะแนน

Answer: dy/dx = cot θ (shown)คำตอบ: dy/dx = cot θ (shown)

8 Parametric: dy/dx = cot θ8 พาราเมตริก: dy/dx = cot θ

A curve has the parametric equations $x=3-\cos2\theta$ and $y=2\theta+\sin2\theta$, for $0\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$.
Show that $\dfrac{dy}{dx}=\cot\theta$. [5]

$\dfrac{dx}{d\theta}=2\sin 2\theta$B1 · state dx/dθ or dy/dθB1 · เขียน dx/dθ หรือ dy/dθ
$\dfrac{dy}{d\theta}=2+2\cos 2\theta$
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2+2\cos 2\theta}{2\sin 2\theta}$M1 · dy/dx = (dy/dθ) ÷ (dx/dθ)M1 · dy/dx = (dy/dθ) ÷ (dx/dθ)
$=\dfrac{1+\cos 2\theta}{\sin 2\theta}$A1 · the correct answer in any formA1 · ได้คำตอบที่ถูกต้องในรูปใดก็ได้
$1+\cos 2\theta=2\cos^{2}\theta$M1 · use correct double angle formulaeM1 · ใช้สูตรมุมสองเท่า (double angle) ที่ถูกต้อง
$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\cos^{2}\theta}{2\sin\theta\cos\theta}$A1 · obtain the given answer correctlyA1 · ได้คำตอบตามที่โจทย์กำหนดอย่างถูกต้อง
$=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$
$=\cot\theta$

10. 9 · Parametric, double angle · 9709/33 Nov 2022 · 5 marks9 · พาราเมตริก มุมสองเท่า · 9709/33 Nov 2022 · 5 คะแนน

Answer: dy/dx = cot t (shown)คำตอบ: dy/dx = cot t (shown)

9 Parametric: dy/dx = cot t9 พาราเมตริก: dy/dx = cot t

A curve has the parametric equations $x=2t-\tan t$ and $y=\ln(\sin2t)$, for $0\lt t\lt\dfrac{\pi}{2}$.
Show that $\dfrac{dy}{dx}=\cot t$. [5]

$\dfrac{dx}{dt}=2-\sec^{2}t$B1 · state dx/dt or dy/dtB1 · เขียน dx/dt หรือ dy/dt
$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{2\cos 2t}{\sin 2t}$
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\cos 2t}{\sin 2t\,(2-\sec^{2}t)}$M1 · dy/dx = (dy/dt) ÷ (dx/dt)M1 · dy/dx = (dy/dt) ÷ (dx/dt)
$=\dfrac{2\cos 2t}{\sin 2t}\times\dfrac{1}{2-\sec^{2}t}$A1 · the correct answer in any formA1 · ได้คำตอบที่ถูกต้องในรูปใดก็ได้
$2-\sec^{2}t=\dfrac{2\cos^{2}t-1}{\cos^{2}t}$M1 · simplify 2 − sec²t with cos 2tM1 · จัดรูป 2 − sec²t ด้วย cos 2t
$=\dfrac{\cos 2t}{\cos^{2}t}$
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2\cos 2t}{\sin 2t}\times\dfrac{\cos^{2}t}{\cos 2t}$A1 · obtain the given answer correctlyA1 · ได้คำตอบตามที่โจทย์กำหนดอย่างถูกต้อง
$=\dfrac{2\cos^{2}t}{\sin 2t}$
$=\dfrac{2\cos^{2}t}{2\sin t\cos t}$
$=\dfrac{\cos t}{\sin t}$
$=\cot t$

11. 10 · Product and chain rules · 9709/33 Jun 2022 · 7 marks10 · กฎผลคูณและกฎลูกโซ่ · 9709/33 Jun 2022 · 7 คะแนน

Answer: a = 1, b = −2; x = π/12 and x = 5π/12คำตอบ: a = 1, b = −2; x = π/12 and x = 5π/12

10(a) Product and chain rules10(a) กฎผลคูณและกฎลูกโซ่

The curve $y=e^{-4x}\tan x$ has two stationary points for $0\le x\lt\dfrac{\pi}{2}$.
(a) Differentiate, and show that $\dfrac{dy}{dx}$ can be written as $\sec^2x\,(a+b\sin2x)\,e^{-4x}$ with constants $a$ and $b$. State $a$ and $b$. [4]

$\dfrac{dy}{dx}=-4e^{-4x}\tan x+e^{-4x}\sec^{2}x$M1 · product and chain rulesM1 · กฎผลคูณและกฎลูกโซ่ (product, chain)
$\dfrac{dy}{dx}=e^{-4x}\left(\sec^{2}x-4\tan x\right)$A1 · the correct derivativeA1 · ได้อนุพันธ์ที่ถูกต้อง
$\tan x=\sec^{2}x\cdot\sin x\cos x$M1 · rewrite 4 tan x with sin 2xM1 · เขียน 4 tan x ด้วย sin 2x
$4\tan x=4\sec^{2}x\sin x\cos x$
$=2\sec^{2}x\sin 2x$
$\dfrac{dy}{dx}=\sec^{2}x\left(1-2\sin 2x\right)e^{-4x}$reach the formได้รูปตามที่ต้องการ
$a=1,\ b=-2$A1 · the constantsA1 · ค่าคงที่ a และ b

10(b) Exact stationary points10(b) จุดคงที่แบบ exact

The curve $y=e^{-4x}\tan x$ has two stationary points for $0\le x\lt\dfrac{\pi}{2}$.
(b) Use part (a) to find, in exact form, the value of $x$ at each of the two stationary points. [3]

$\sec^{2}x\,e^{-4x}\gt0$from (a): this part is never 0จาก (a): ส่วนนี้ไม่เป็น 0
$1-2\sin 2x=0$M1 · so the bracket is 0 · solve for xM1 · ดังนั้นวงเล็บเป็น 0 · แก้หา x
$\sin 2x=\tfrac12$
$2x=\tfrac{\pi}{6}$A1 · the first exact solutionA1 · ได้คำตอบแบบ exact ตัวแรก
$x=\tfrac{\pi}{12}$
$2x=\tfrac{5\pi}{6}$A1 · second exact solutionA1 · ได้คำตอบ exact ตัวที่สอง
$x=\tfrac{5\pi}{12}$

12. 11 · Implicit differentiation · 9709/32 Nov 2021 · 8 marks11 · อนุพันธ์อิมพลิซิต · 9709/32 Nov 2021 · 8 คะแนน

Answer: dy/dx = (2ye^x − y²)/(2y − e^x) (shown); (ln 2, 1)คำตอบ: dy/dx = (2ye^x − y²)/(2y − e^x) (shown); (ln 2, 1)

11(a) Implicit: show dy/dx11(a) อิมพลิซิต: แสดง dy/dx

A curve has the equation $ye^{2x}-y^2e^{x}=2$.
(a) Show that $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2ye^{x}-y^{2}}{2y-e^{x}}$. [4]

$y'=\dfrac{dy}{dx}$y′ is short for dy/dxy′ คือ dy/dx เขียนให้สั้น
$\dfrac{d}{dx}\left(ye^{2x}\right)=y'e^{2x}+2ye^{2x}$B1 · differentiate y e^(2x)B1 · หาอนุพันธ์ของ y e^(2x)
$\dfrac{d}{dx}\left(y^{2}e^{x}\right)=2yy'e^{x}+y^{2}e^{x}$B1 · differentiate y² e^xB1 · หาอนุพันธ์ของ y² e^x
$y'e^{2x}+2ye^{2x}=2yy'e^{x}+y^{2}e^{x}$M1 · first − second = 0, so first = secondM1 · ตัวแรก − ตัวหลัง = 0 จึงได้ ตัวแรก = ตัวหลัง
$y'e^{x}+2ye^{x}=2yy'+y^{2}$divide every term by e^xหารทุกพจน์ด้วย e^x
$y'\left(e^{x}-2y\right)=y^{2}-2ye^{x}$M1 · collect the y′ termsM1 · รวมพจน์ที่มี y′
$y'=\dfrac{y^{2}-2ye^{x}}{e^{x}-2y}$divide by the bracketหารด้วยวงเล็บ
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2ye^{x}-y^{2}}{2y-e^{x}}$A1 · × −1 on top and bottom: the given answerA1 · คูณ −1 ทั้งเศษและส่วน ได้คำตอบตามโจทย์

11(b) Tangent parallel to y-axis11(b) เส้นสัมผัสขนานแกน y

A curve has the equation $ye^{2x}-y^2e^{x}=2$.
(b) Work out the exact coordinates of the point where the tangent to the curve is parallel to the $y$-axis. [4]

$2y-e^{x}=0$M1 · equate the denominator to zeroM1 · ให้ตัวส่วนเท่ากับ 0
$y=\tfrac12 e^{x}$gradient infinite: denominator is 0ความชันเป็นอนันต์ · ตัวส่วนเป็น 0
$ye^{2x}=\tfrac12 e^{3x}$DM1 · put y in the curve: first termDM1 · แทน y ในสมการเส้นโค้ง: พจน์แรก
$y^{2}e^{x}=\tfrac14 e^{3x}$second termพจน์ที่สอง
$\tfrac12 e^{3x}-\tfrac14 e^{3x}=2$first − second = 2ตัวแรก − ตัวหลัง = 2
$\tfrac14 e^{3x}=2$
$e^{3x}=8$
$x=\ln 2$A1 · exact xA1 · x แบบ exact
$y=\tfrac12 e^{\ln 2}$A1 · exact yA1 · y แบบ exact
$=1$
$(x,\,y)=(\ln2,\,1)$answerคำตอบ

13. 12 · Implicit, angle of tangents · 9709/31 Jun 2022 · 9 marks12 · อิมพลิซิต มุมระหว่างเส้นสัมผัส · 9709/31 Jun 2022 · 9 คะแนน

Answer: dy/dx = −(3x² + 2y)/(3y² + 2x); tan α = 4/3คำตอบ: dy/dx = −(3x² + 2y)/(3y² + 2x); tan α = 4/3

12(a) Implicit: find dy/dx12(a) อิมพลิซิต: หา dy/dx

A curve has the equation $x^3+y^3+2xy+8=0$.
(a) Write $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$. [4]

$y'=\dfrac{dy}{dx}$y′ is short for dy/dxy′ คือ dy/dx เขียนให้สั้น
$\dfrac{d}{dx}\left(y^{3}\right)=3y^{2}y'$B1 · differentiate y³ implicitlyB1 · หาอนุพันธ์ของ y³ แบบอิมพลิซิต
$\dfrac{d}{dx}\left(2xy\right)=2y+2xy'$B1 · differentiate 2xy implicitlyB1 · หาอนุพันธ์ของ 2xy แบบอิมพลิซิต
$3x^{2}+3y^{2}y'=-\left(2y+2xy'\right)$M1 · all terms add to 0 (d/dx of 8 is 0)M1 · ทุกพจน์รวมกันได้ 0 (อนุพันธ์ของ 8 คือ 0)
$3y^{2}y'+2xy'=-3x^{2}-2y$y′ terms on one sideพจน์ที่มี y′ อยู่ข้างเดียวกัน
$y'\left(3y^{2}+2x\right)=-3x^{2}-2y$take y′ outดึง y′ ออก
$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3x^{2}+2y}{3y^{2}+2x}$A1 · divide by the bracketA1 · หารด้วยวงเล็บ

12(b) Angle between tangents12(b) มุมระหว่างเส้นสัมผัส

A curve has the equation $x^3+y^3+2xy+8=0$.
(b) One tangent touches the curve where $x=0$, and another touches it where $y=0$. The two tangents meet at an acute angle $\alpha$. Work out the exact value of $\tan\alpha$. [5]

$y^{3}+8=0$M1 · find a point, then its gradientM1 · หาจุด แล้วหาความชัน
$y=-2$
$x^{3}+8=0$
$x=-2$
$(x,y)=(0,-2)$first pointจุดแรก
$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{0-4}{0+12}$
$=\tfrac13$A1 · gradient at (0, −2)A1 · ความชันที่ (0, −2)
$(x,y)=(-2,0)$second pointจุดที่สอง
$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{12+0}{-4+0}$
$=3$A1 · gradient at (−2, 0)A1 · ความชันที่ (−2, 0)
$\tan\alpha=\left|\dfrac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\right|$M1 · angle between two lines formulaM1 · สูตรมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น
$\tan\alpha=\left|\dfrac{\tfrac13-3}{1+1}\right|$A1 · the exact valueA1 · ได้ค่า exact
$=\dfrac{4}{3}$

14. 13 · Product, chain, tan identity · 9709/32 Jun 2021 · 8 marks13 · กฎผลคูณ ลูกโซ่ เอกลักษณ์ tan · 9709/32 Jun 2021 · 8 คะแนน

Answer: x = 0, 0.464, 1.107คำตอบ: x = 0, 0.464, 1.107

13 All stationary points13 จุดคงที่ทุกจุด

A curve has the equation $y=e^{-5x}\tan^2x$ for $-\dfrac{\pi}{2}\lt x\lt\dfrac{\pi}{2}$.
Work out the $x$-value at each stationary point. Give answers to 3 d.p. where rounding is needed. [8]

$t=\tan x$short nameตั้งชื่อสั้น ๆ
$u=e^{-5x},\ v=t^{2}$the two factorsสองตัวที่คูณกัน
$\dfrac{dy}{dx}=u'v+uv'$M1 · use the product ruleM1 · ใช้กฎผลคูณ (product rule)
$u'v=-5e^{-5x}t^{2}$u′ = −5e^(−5x)u′ = −5e^(−5x)
$uv'=2e^{-5x}t\sec^{2}x$A1 · v′ = 2t sec²x (chain rule)A1 · v′ = 2t sec²x (กฎลูกโซ่)
$\dfrac{dy}{dx}=e^{-5x}\,t\,q$take out e^(−5x) t · q is the bracketดึง e^(−5x) t ออก · q คือวงเล็บ
$q=2\sec^{2}x-5t$the bracketวงเล็บ
$tq=0$set to zero · e^(−5x) is never 0ให้เท่ากับ 0 · e^(−5x) ไม่เคยเป็น 0
$2\left(1+t^{2}\right)=5t$M1 · q = 0 and sec²x = 1 + tan²xM1 · q = 0 และ sec²x = 1 + tan²x
$2t^{2}-5t+2=0$A1 · the 3-term equation in tan xA1 · ได้สมการสามพจน์ของ tan x
$t=0$from t q = 0จาก t q = 0
$x=0$B1 · state x = 0B1 · บอกว่า x = 0
$(2t-1)(t-2)=0$M1 · solve the quadratic in tan xM1 · แก้สมการกำลังสองของ tan x
$t=\tfrac12$
$t=2$
$x=\arctan\left(\tfrac12\right)$A1 · the first non-zero answerA1 · ได้คำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์ตัวแรก
$=0.464$
$x=\arctan(2)$A1 · second non-zero answerA1 · ได้คำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์ตัวที่สอง
$=1.107$
$x=0,\,0.464,\,1.107$all three answersครบทั้งสามค่า

15. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

A curve is $y=e^{-3x}\sin x$ for $x\ge0$. Its first turning point has $x=a$ with $a\gt0$. Find $a$ to 3 d.p.เส้นโค้ง $y=e^{-3x}\sin x$ สำหรับ $x\ge0$ · จุดวกกลับแรกอยู่ที่ $x=a$ ($a\gt0$) · หา $a$ ทศนิยม 3 ตำแหน่ง
Answer:เฉลย: 0.322Product rule: $y'=e^{-3x}(\cos x-3\sin x)=0$, so $\tan x=\tfrac13$ and $x=0.322$.กฎผลคูณ: $y'=e^{-3x}(\cos x-3\sin x)=0$ ได้ $\tan x=\tfrac13$ และ $x=0.322$

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี