Functions · 9MA0ฟังก์ชัน · 9MA0

A-Level · Edexcel 9MA0 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. 1 · Range and inverse · 9MA0/02 Jun 2018 · 6 marks1 · เรนจ์และฟังก์ชันผกผัน · 9MA0/02 Jun 2018 · 6 คะแนน

Answer: 40/9; 2 < g(x) ≤ 15/2; g⁻¹(x) = (3x+5)/(x−2), 2 < x ≤ 15/2คำตอบ: 40/9; 2 < g(x) ≤ 15/2; g⁻¹(x) = (3x+5)/(x−2), 2 < x ≤ 15/2

1(a) Find gg(5)1(a) หา gg(5)

The function $g$ has the rule $g(x)=\dfrac{2x+5}{x-3}$, and its inputs are all $x\ge5$.
(a) Work out $gg(5)$. [2]

1. $g(5)=\tfrac{2(5)+5}{5-3}$gg(5) “g of g of 5” · inside firstgg(5) อ่านว่า จีของจีของห้า · ทำข้างในก่อน
2. $g(5)=\tfrac{15}{2}$
3. $gg(5)=g\!\left(\tfrac{15}{2}\right)$feed it back into gป้อนกลับเข้า g
4. $gg(5)=\tfrac{15+5}{\frac{15}{2}-3}$substituteแทนค่า
5. $gg(5)=\tfrac{20}{4.5}$
6. $gg(5)=\tfrac{40}{9}$answerคำตอบ

1(b)(c) Range, then g⁻¹1(b)(c) เรนจ์ แล้วหา g⁻¹

The function $g$ has the rule $g(x)=\dfrac{2x+5}{x-3}$, and its inputs are all $x\ge5$.
(b)(c) Give the range of $g$ (1 mark). Then find $g^{-1}(x)$ and state its domain (3 marks). [4]

1. $g(x)=2+\tfrac{11}{x-3}$2x + 5 = 2(x − 3) + 112x + 5 = 2(x − 3) + 11
2. $g(5)=\tfrac{15}{2}$biggest value, at x = 5ค่ามากสุด ที่ x = 5
3. $2\lt g(x)\le\tfrac{15}{2}$(b) range · near 2, never 2(b) เรนจ์ · เข้าใกล้ 2 แต่ไม่ถึง
4. $y=\tfrac{2x+5}{x-3}$(c) write y = g(x)(c) เขียน y = g(x)
5. $xy-3y=2x+5$
6. $xy-2x=3y+5$x terms on one sideพจน์ x ไว้ข้างเดียว
7. $x(y-2)=3y+5$take x outดึง x ออก
8. $x=\tfrac{3y+5}{y-2}$
9. $g^{-1}(x)=\tfrac{3x+5}{x-2}$g⁻¹ “g inverse” · swap y for xg⁻¹ อ่านว่า จีอินเวิร์ส · เปลี่ยน y เป็น x
10. $\text{domain: }2\lt x\le\tfrac{15}{2}$domain of g⁻¹ = range of gโดเมนของ g⁻¹ = เรนจ์ของ g

3. 2 · Root function, gf · 9MA0/01 Jun 2023 · 8 marks2 · ฟังก์ชันรากที่สอง และ gf · 9MA0/01 Jun 2023 · 8 คะแนน

Answer: f(x) > 3; f⁻¹(x) = (x−3)² + 2, x > 3; 15/2; a = 2√6คำตอบ: f(x) > 3; f⁻¹(x) = (x−3)² + 2, x > 3; 15/2; a = 2√6

2(a)(b) Range, then f⁻¹2(a)(b) เรนจ์ แล้วหา f⁻¹

The function $f$ has the rule $f(x)=3+\sqrt{x-2}$, for real $x$ with $x\gt2$.
The function $g$ has the rule $g(x)=\dfrac{15}{x-3}$, for real $x$ with $x\ne3$.
(a)(b) Give the range of $f$ (1 mark). Then find the inverse function $f^{-1}$ (3 marks). [4]

1. $\sqrt{x-2}\gt0$x > 2 → root is positivex > 2 → รากเป็นบวก
2. $f(x)\gt3$(a) rangeคำตอบ (a) เรนจ์
3. $y=3+\sqrt{x-2}$(b) write y = f(x)(b) เขียน y = f(x)
4. $y-3=\sqrt{x-2}$
5. $(y-3)^2=x-2$square both sidesยกกำลังสองทั้งสองข้าง
6. $(y-3)^2+2=x$
7. $f^{-1}(x)=(x-3)^2+2$swap y for xเปลี่ยน y เป็น x
8. $\text{domain: }x\gt3$domain of f⁻¹ = range of fโดเมนของ f⁻¹ = เรนจ์ของ f

2(c) Find gf(6)2(c) หา gf(6)

The function $f$ has the rule $f(x)=3+\sqrt{x-2}$, for real $x$ with $x\gt2$.
The function $g$ has the rule $g(x)=\dfrac{15}{x-3}$, for real $x$ with $x\ne3$.
(c) Work out $gf(6)$. [2]

1. $f(6)=3+\sqrt{6-2}$gf: do f first, then ggf คือทำ f ก่อน แล้วค่อย g
2. $f(6)=5$
3. $gf(6)=g(5)$
4. $gf(6)=\tfrac{15}{5-3}$substituteแทนค่า
5. $gf(6)=\tfrac{15}{2}$answerคำตอบ

2(d) Solve f(a² + 2) = g(a)2(d) แก้ f(a² + 2) = g(a)

The function $f$ has the rule $f(x)=3+\sqrt{x-2}$, for real $x$ with $x\gt2$.
The function $g$ has the rule $g(x)=\dfrac{15}{x-3}$, for real $x$ with $x\ne3$.
(d) The constant $a$ makes $f(a^2+2)=g(a)$ true. Give the exact value of $a$. [2]

1. $f(a^2+2)=3+\sqrt{a^2+2-2}$put a² + 2 into fแทน a² + 2 ลงใน f
2. $f(a^2+2)=3+a$√(a²) = a, taking a > 0√(a²) = a ถ้า a > 0
3. $3+a=\tfrac{15}{a-3}$set equal to g(a)ให้เท่ากับ g(a)
4. $(a+3)(a-3)=15$
5. $a^2-9=15$difference of two squaresผลต่างกำลังสอง
6. $a^2=24$
7. $a=2\sqrt6$answer · −2√6 fails: g(a) < 0 but f > 3คำตอบ · −2√6 ใช้ไม่ได้ g(a) ติดลบ แต่ f > 3

4. 3 · Range of a composite · 9MA0/02 Jun 2022 · 8 marks3 · เรนจ์ของฟังก์ชันประกอบ · 9MA0/02 Jun 2022 · 8 คะแนน

Answer: −1/10; A = 4, B = −7; 0 ≤ g⁻¹(x) ≤ 4; 5/3 ≤ fg⁻¹(x) ≤ 37/11คำตอบ: −1/10; A = 4, B = −7; 0 ≤ g⁻¹(x) ≤ 4; 5/3 ≤ fg⁻¹(x) ≤ 37/11

3(a) Find f⁻¹(3/2)3(a) หา f⁻¹(3/2)

The function $f$ has the rule $f(x)=\dfrac{8x+5}{2x+3}$, for $x\gt-\dfrac{3}{2}$.
(a) Work out $f^{-1}\!\left(\dfrac{3}{2}\right)$. [2]

1. $f^{-1}\!\left(\tfrac32\right)=x$means: find x with f(x) = 3/2แปลว่า หา x ที่ f(x) = 3/2
2. $\tfrac{8x+5}{2x+3}=\tfrac32$no need for the whole inverseไม่ต้องหา f⁻¹ ทั้งตัว
3. $16x+10=6x+9$cross-multiplyคูณไขว้
4. $10x=-1$
5. $x=-\tfrac1{10}$answer · it is > −3/2 ✓คำตอบ · มากกว่า −3/2 ✓

3(b) Split the fraction3(b) แยกเศษส่วน

The function $f$ has the rule $f(x)=\dfrac{8x+5}{2x+3}$, for $x\gt-\dfrac{3}{2}$.
(b) Show that $f(x)$ can be written as $A+\dfrac{B}{2x+3}$, and find the constants $A$ and $B$. [2]

1. $8x+5=4(2x+3)-7$4(2x + 3) = 8x + 12, then − 74(2x + 3) = 8x + 12 แล้ว − 7
2. $f(x)=\tfrac{4(2x+3)-7}{2x+3}$substitute the topแทนตัวเศษ
3. $f(x)=4-\tfrac{7}{2x+3}$split the fractionแยกเศษส่วน
4. $A=4,\ B=-7$answer · y = 4 is the asymptoteคำตอบ · y = 4 คือเส้นกำกับ

3(c)(d) Range of g⁻¹, then fg⁻¹3(c)(d) เรนจ์ของ g⁻¹ แล้ว fg⁻¹

The function $f$ has the rule $f(x)=\dfrac{8x+5}{2x+3}$, for $x\gt-\dfrac{3}{2}$.
(c)(d) The function $g$ is $g(x)=16-x^2$, for $0\le x\le4$. State the range of $g^{-1}$ (1 mark). Then find the range of $fg^{-1}$ (3 marks). [4]

1. $\text{range of }g^{-1}=\text{domain of }g$inverse swaps domain and rangeอินเวิร์สสลับโดเมนกับเรนจ์
2. $0\le g^{-1}(x)\le4$(c) answerคำตอบ (c)
3. $fg^{-1}\text{: f takes inputs 0 to 4}$g⁻¹ first, its outputs go into fทำ g⁻¹ ก่อน ผลลัพธ์ส่งเข้า f
4. $f(x)=4-\tfrac{7}{2x+3}$bigger x → smaller fraction → f goes upx มาก → เศษส่วนเล็ก → f เพิ่มขึ้น
5. $f(0)=\tfrac53$smallestค่าน้อยสุด
6. $f(4)=\tfrac{37}{11}$largestค่ามากสุด
7. $\tfrac53\le fg^{-1}(x)\le\tfrac{37}{11}$(d) answerคำตอบ (d)

5. 4 · Composite and inverse · 9709/12 Nov 2021 · 5 marks4 · ประกอบและผกผัน · 9709/12 Nov 2021 · 5 คะแนน

Answer: 5; f⁻¹(x) = (x+3)/(x−1)คำตอบ: 5; f⁻¹(x) = (x+3)/(x−1)

4(a) Find ff(5)4(a) หา ff(5)

The function $f$ has the rule $f(x)=\dfrac{x+3}{x-1}$, for $x\gt1$.
(a) Work out $ff(5)$. [2]

1. $f(5)=\dfrac{5+3}{5-1}$ff(5): do f twiceff(5) คือทำ f สองรอบ
2. $=2$
3. $ff(5)=f(2)$now put 2 into fเอา 2 ใส่ f อีกรอบ
4. $=\dfrac{2+3}{2-1}$substituteแทนค่า
5. $=5$answerคำตอบ

4(b) Find f⁻¹(x)4(b) หา f⁻¹(x)

The function $f$ has the rule $f(x)=\dfrac{x+3}{x-1}$, for $x\gt1$.
(b) Write $f^{-1}(x)$ as an expression in $x$. [3]

1. $y=\dfrac{x+3}{x-1}$write y = f(x)เขียน y = f(x)
2. $y(x-1)=x+3$
3. $xy-y=x+3$expandกระจาย
4. $xy-x=y+3$x terms on one sideพจน์ x ไว้ข้างเดียว
5. $x(y-1)=y+3$take x outดึง x ออก
6. $x=\dfrac{y+3}{y-1}$
7. $f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{x-1}$swap y for x · same rule as fเปลี่ยน y เป็น x · ได้กฎเดียวกับ f

6. 5 · Constants from gg and f⁻¹ · 9709/11 Jun 2020 · 6 marks5 · หาค่าคงที่จาก gg และ f⁻¹ · 9709/11 Jun 2020 · 6 คะแนน

Answer: a = 5, b = −2; gf(x) = (3/2)x − 17คำตอบ: a = 5, b = −2; gf(x) = (3/2)x − 17

5(a) Find a and b5(a) หา a และ b

Two functions are defined for all real $x$: $f:x\mapsto\dfrac{1}{2}x-a$ and $g:x\mapsto3x+b$. The letters $a$ and $b$ stand for constants.
(a) It is known that $gg(2)=10$ and $f^{-1}(2)=14$. Find the values of $a$ and $b$. [4]

1. $g(2)=6+b$gg(2): g twice on 2gg(2) คือ g สองรอบกับ 2
2. $gg(2)=3(6+b)+b$put g(2) into gเอา g(2) ใส่ g อีกรอบ
3. $=18+4b$expandกระจาย
4. $18+4b=10$it equals 10ค่านี้เท่ากับ 10
5. $4b=-8$
6. $b=-2$b foundได้ b
7. $f(14)=2$f⁻¹(2) = 14 means f(14) = 2f⁻¹(2) = 14 แปลว่า f(14) = 2
8. $\tfrac{1}{2}(14)-a=2$substituteแทนค่า
9. $7-a=2$
10. $-a=-5$
11. $a=5$a foundได้ a
12. $a=5,\ b=-2$answerคำตอบ

5(b) Find gf(x)5(b) หา gf(x)

Two functions are defined for all real $x$: $f:x\mapsto\dfrac{1}{2}x-a$ and $g:x\mapsto3x+b$. The letters $a$ and $b$ stand for constants.
(b) Use these values to write $gf(x)$ in the form $cx+d$, with constants $c$ and $d$. [2]

1. $gf(x)=g\!\left(\tfrac{1}{2}x-5\right)$f first, then g · a = 5ทำ f ก่อน แล้วค่อย g · a = 5
2. $=3\left(\tfrac{1}{2}x-5\right)-2$g(x) = 3x − 2 · b = −2g(x) = 3x − 2 · b = −2
3. $=\tfrac{3}{2}x-17$answer · form cx + dคำตอบ · รูป cx + d

7. 6 · Range, inverse, domain · 9709/13 Nov 2023 · 7 marks6 · เรนจ์ ผกผัน โดเมน · 9709/13 Nov 2023 · 7 คะแนน

Answer: f(x) > 1; f⁻¹(x) = 2 + 3/(x−1) = (2x+1)/(x−1), x > 1; gf(x) = 6/(x−2)คำตอบ: f(x) > 1; f⁻¹(x) = 2 + 3/(x−1) = (2x+1)/(x−1), x > 1; gf(x) = 6/(x−2)

6(a) Range of f6(a) เรนจ์ของ f

The function $f$ has the rule $f(x)=1+\dfrac{3}{x-2}$, for $x\gt2$.
(a) Give the range of $f$. [1]

1. $x\gt2$start with the inputsเริ่มจากค่า x ที่ใส่ได้
2. $x-2\gt0$positiveเป็นบวก
3. $\dfrac{3}{x-2}\gt0$positive, never 0เป็นบวก ไม่เคยเป็น 0
4. $f(x)\gt1$answer · rangeคำตอบ · เรนจ์

6(b) Find f⁻¹ and its domain6(b) หา f⁻¹ และโดเมน

The function $f$ has the rule $f(x)=1+\dfrac{3}{x-2}$, for $x\gt2$.
(b) Find $f^{-1}(x)$, and give the domain of $f^{-1}$. [4]

1. $y=1+\dfrac{3}{x-2}$write y = f(x)เขียน y = f(x)
2. $y-1=\dfrac{3}{x-2}$clear the fractionกำจัดเศษส่วน
3. $(x-2)(y-1)=3$
4. $x-2=\dfrac{3}{y-1}$one step from x =เหลืออีกขั้นเดียวก็ได้ x =
5. $x=2+\dfrac{3}{y-1}$
6. $f^{-1}(x)=2+\dfrac{3}{x-1}$swap y for xเปลี่ยน y เป็น x
7. $=\dfrac{2x+1}{x-1}$one fractionรวมเป็นเศษส่วนเดียว
8. $\text{domain: }x\gt1$domain of f⁻¹ = range of fโดเมนของ f⁻¹ = เรนจ์ของ f

6(c) Find gf(x)6(c) หา gf(x)

The function $f$ has the rule $f(x)=1+\dfrac{3}{x-2}$, for $x\gt2$.
(c) Now let $g(x)=2x-2$, for $x\gt0$. Find $gf(x)$ and simplify it. [2]

1. $gf(x)=2\left(1+\dfrac{3}{x-2}\right)-2$f(x) goes into gเอา f(x) ใส่ g
2. $=2+\dfrac{6}{x-2}-2$multiply outคูณเข้าไป
3. $=\dfrac{6}{x-2}$answer · 2 − 2 = 0คำตอบ · 2 − 2 = 0

8. 7 · ff equals f⁻¹ · 9709/12 Jun 2020 · 6 marks7 · ff เท่ากับ f⁻¹ · 9709/12 Jun 2020 · 6 คะแนน

Answer: ff(x) = 4x − a; f⁻¹(x) = (a − x)/2; x = a/3คำตอบ: ff(x) = 4x − a; f⁻¹(x) = (a − x)/2; x = a/3

7(a) Find ff(x) and f⁻¹(x)7(a) หา ff(x) และ f⁻¹(x)

The function $f$ is defined for all real $x$ by $f:x\mapsto a-2x$, where $a$ is a constant.
(a) Find $ff(x)$ and $f^{-1}(x)$, using $a$ and $x$. [4]

1. $ff(x)=f(a-2x)$put f into itselfเอา f ใส่ตัวเอง
2. $=a-2(a-2x)$substituteแทนค่า
3. $=4x-a$ff(x) foundได้ ff(x)
4. $y=a-2x$f⁻¹: write y = f(x)f⁻¹: เขียน y = f(x)
5. $2x=a-y$
6. $x=\dfrac{a-y}{2}$
7. $f^{-1}(x)=\dfrac{a-x}{2}$swap y for xเปลี่ยน y เป็น x

7(b) Solve ff(x) = f⁻¹(x)7(b) แก้ ff(x) = f⁻¹(x)

The function $f$ is defined for all real $x$ by $f:x\mapsto a-2x$, where $a$ is a constant.
(b) Now suppose $ff(x)=f^{-1}(x)$. Find $x$ in terms of $a$. [2]

1. $4x-a=\dfrac{a-x}{2}$ff(x) = f⁻¹(x)ff(x) = f⁻¹(x)
2. $8x-2a=a-x$x terms on one sideพจน์ x ไว้ข้างเดียว
3. $9x=3a$
4. $x=\dfrac{a}{3}$answerคำตอบ

9. 8 · One-one and inverse · 9709/13 Jun 2020 · 9 marks8 · หนึ่งต่อหนึ่งและผกผัน · 9709/13 Jun 2020 · 9 คะแนน

Answer: f(x) = (x−2)² − 1; c = 2; f⁻¹(x) = 2 + √(x+1), x > 8; gf(x) = 1/(x−2)², 0 < gf(x) < 1/9คำตอบ: f(x) = (x−2)² − 1; c = 2; f⁻¹(x) = 2 + √(x+1), x > 8; gf(x) = 1/(x−2)², 0 < gf(x) < 1/9

8(a) Complete the square8(a) กำลังสองสมบูรณ์

The function $f$ has the rule $f(x)=x^2-4x+3$ for $x\gt c$, where $c$ is a constant.
The function $g$ has the rule $g(x)=\dfrac{1}{x+1}$ for $x\gt-1$.
(a) Write $f(x)$ in the form $(x-a)^2+b$. [2]

1. $x^2-4x=(x-2)^2-4$halve the −4: a = 2ครึ่งของ −4 · a = 2
2. $f(x)=(x-2)^2-4+3$then add the 3แล้วบวก 3 กลับ
3. $=(x-2)^2-1$b = −1b = −1

8(b) Smallest value of c8(b) ค่า c ที่น้อยที่สุด

The function $f$ has the rule $f(x)=x^2-4x+3$ for $x\gt c$, where $c$ is a constant.
The function $g$ has the rule $g(x)=\dfrac{1}{x+1}$ for $x\gt-1$.
(b) The function $f$ is one-one. Find the smallest value $c$ can have. [1]

1. $\text{vertex}=(2,\,-1)$lowest point of the curveจุดต่ำสุดของเส้นโค้ง
2. $c=2$keep one side of the vertexเอาฝั่งเดียวของจุดยอด

8(c) Find f⁻¹ and its domain8(c) หา f⁻¹ และโดเมน

The function $f$ has the rule $f(x)=x^2-4x+3$ for $x\gt c$, where $c$ is a constant.
The function $g$ has the rule $g(x)=\dfrac{1}{x+1}$ for $x\gt-1$.
(c) Take $c=5$ from now on. Find $f^{-1}(x)$ and the domain of $f^{-1}$. [3]

1. $y=(x-2)^2-1$write y = f(x)เขียน y = f(x)
2. $(x-2)^2=y+1$undo the squareย้อนกำลังสอง
3. $x-2=\pm\sqrt{y+1}$
4. $x=2\pm\sqrt{y+1}$x > 5, so take the + rootx > 5 จึงเลือกรากบวก
5. $f^{-1}(x)=2+\sqrt{x+1}$swap y for xเปลี่ยน y เป็น x
6. $f(5)=25-20+3$domain starts above f(5)โดเมนเริ่มเหนือ f(5)
7. $=8$
8. $x\gt8$domain of f⁻¹ = range of fโดเมนของ f⁻¹ = เรนจ์ของ f

8(d) Find gf and its range8(d) หา gf และเรนจ์

The function $f$ has the rule $f(x)=x^2-4x+3$ for $x\gt c$, where $c$ is a constant.
The function $g$ has the rule $g(x)=\dfrac{1}{x+1}$ for $x\gt-1$.
(d) Still using $c=5$, find $gf(x)$ and the range of $gf$. [3]

1. $gf(x)=\dfrac{1}{(x^2-4x+3)+1}$f first, then gทำ f ก่อน แล้วค่อย g
2. $=\dfrac{1}{(x-2)^2}$x² − 4x + 4 = (x − 2)²x² − 4x + 4 = (x − 2)²
3. $gf(x)\gt0$positive, never 0เป็นบวก ไม่เคยเป็น 0
4. $x\gt5$now the other end: x > 5ส่วนอีกด้าน: x > 5
5. $x-2\gt3$
6. $(x-2)^2\gt9$
7. $gf(x)\lt\dfrac{1}{9}$1 over a bigger number is smallerหนึ่งส่วนเลขที่มากขึ้น ได้ค่าน้อยลง
8. $0\lt gf(x)\lt\dfrac{1}{9}$answer · both ends left outคำตอบ · ไม่รวมสองปลาย

10. 9 · Quadratic function, fg · 9709/12 Mar 2020 · 8 marks9 · ฟังก์ชันกำลังสอง และ fg · 9709/12 Mar 2020 · 8 คะแนน

Answer: 2(x+3)² − 7; f⁻¹(x) = −3 − √((x+7)/2), x ≥ −5; x = −5; k = −1/2คำตอบ: 2(x+3)² − 7; f⁻¹(x) = −3 − √((x+7)/2), x ≥ −5; x = −5; k = −1/2

9(a) Complete the square9(a) กำลังสองสมบูรณ์

(a) Write $2x^2+12x+11$ in the form $2(x+a)^2+b$, where $a$ and $b$ are constants. [2]

1. $2x^2+12x+11=2(x^2+6x)+11$take 2 out of the x termsดึง 2 ออกจากพจน์ x
2. $x^2+6x=(x+3)^2-9$half of 6 is 3: a = 3ครึ่งของ 6 คือ 3 · a = 3
3. $2x^2+12x+11=2(x+3)^2-18+11$put it back, times 2ใส่กลับ คูณ 2
4. $=2(x+3)^2-7$b = −7b = −7

9(b) Find f⁻¹ and its domain9(b) หา f⁻¹ และโดเมน

(b) Let $f(x)=2x^2+12x+11$, for $x\le-4$. Find $f^{-1}(x)$ and the domain of $f^{-1}$. [3]

1. $y=2(x+3)^2-7$undo −7 firstย้อน −7 ก่อน
2. $y+7=2(x+3)^2$then undo × 2แล้วย้อนคูณ 2
3. $(x+3)^2=\dfrac{y+7}{2}$then undo the squareแล้วย้อนกำลังสอง
4. $x+3=-\sqrt{\dfrac{y+7}{2}}$x + 3 is negative: − rootx + 3 ติดลบ จึงใช้รากลบ
5. $x=-3-\sqrt{\dfrac{y+7}{2}}$
6. $f^{-1}(x)=-3-\sqrt{\dfrac{x+7}{2}}$swap y for xเปลี่ยน y เป็น x
7. $f(-4)=2(-1)^2-7$domain of f⁻¹ = range of fโดเมนของ f⁻¹ = เรนจ์ของ f
8. $=-5$lowest output of fค่าต่ำสุดของ f
9. $x\ge-5$answer · domainคำตอบ · โดเมน

9(c) Solve fg(x) = 1939(c) แก้ fg(x) = 193

(c) Now let $g(x)=2x-3$ for $x\le k$, and keep $f$ from part (b). Take $k=-1$ and solve $fg(x)=193$. [2]

1. $fg(x)=2(2x-3+3)^2-7$g first, then f · use (a)ทำ g ก่อน แล้วค่อย f · ใช้ข้อ (a)
2. $=8x^2-7$simplifyจัดรูป
3. $8x^2-7=193$set equal to 193ให้เท่ากับ 193
4. $8x^2=200$
5. $x^2=25$
6. $x=\pm5$
7. $x=-5$g needs x ≤ −1, so reject 5g ต้องมี x ≤ −1 จึงตัด 5 ทิ้ง

9(d) Largest value of k9(d) ค่า k ที่มากที่สุด

(d) With the same $f$ and $g$, find the largest value of $k$ for which $fg$ can be formed. [1]

1. $2k-3\le-4$top output of g must fit fค่าออกสูงสุดของ g ต้องเข้า f ได้
2. $2k\le-1$
3. $k\le-\tfrac{1}{2}$
4. $k=-\tfrac{1}{2}$answer · the largest kคำตอบ · k ที่มากที่สุด

11. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

1. The function $f$ has the rule $f(x)=\dfrac{6x+1}{x+2}$, for $x\gt-2$. Work out $f^{-1}(4)$.f(x) = (6x + 1)/(x + 2) เมื่อ x > −2 · หา f⁻¹(4)
   Answer:เฉลย: 7/2Solve f(x) = 4: 6x + 1 = 4x + 8, so 2x = 7 and x = 7/2.แก้ f(x) = 4 → 6x + 1 = 4x + 8 → 2x = 7 → x = 7/2

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี