Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Graphs · 9MA0กราฟ · 9MA0

A-Level · Edexcel 9MA0 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. 1 · Translating a parabola · 9709/13 Nov 2020 · 4 marks1 · การเลื่อนพาราโบลา · 9709/13 Nov 2020 · 4 คะแนน

Answer: (x + 3)² − 4; Translation by (−3, −4): 3 units left and 4 units downคำตอบ: (x + 3)² − 4; Translation by (−3, −4): 3 units left and 4 units down

1(a) Complete the square1(a) ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์

(a) Write $x^{2}+6x+5$ as $(x+a)^{2}+b$. Find the constants $a$ and $b$. [2]

  1. $x^{2}+6x = (x+3)^{2}-9$B1 · halve the $6$, so $a=3$B1 · หาร $6$ ด้วยสอง ได้ $a=3$
  2. $x^{2}+6x+5 = (x+3)^{2}-9+5$B1 · $b=5-9=-4$B1 · ได้ $b=5-9=-4$
  3. $= (x+3)^{2}-4$

1(b) Describe the translation1(b) บอกการเลื่อนกราฟ

(b) The graph of $y=x^{2}$ is moved to give the graph of $y=x^{2}+6x+5$. Describe the move completely. [2]

  1. $y = x^{2}$B1 · the move is a translationB1 · การแปลงคือการเลื่อนขนาน (translation)
  2. $y = (x+3)^{2}-4$
  3. $\text{vertex } (0,\,0) \to (-3,\,-4)$B1FT · the vector from $a$ and $b$B1FT · เวกเตอร์การเลื่อนจาก $a$ และ $b$
  4. $\text{translation } \begin{pmatrix}-3\\-4\end{pmatrix}$

3. 2 · Stretch and translation · 9709/12 Nov 2021 · 5 marks2 · การยืดและการเลื่อน · 9709/12 Nov 2021 · 5 คะแนน

Answer: Stretch in the x-direction, scale factor 1/2; translation (0, −3); (10, 9)คำตอบ: Stretch in the x-direction, scale factor 1/2; translation (0, −3); (10, 9)

2(a) Name both transformations2(a) บอกการแปลงทั้งสอง

The graph of $y=\mathrm{f}(x)$ is changed into the graph of $y=\mathrm{f}(2x)-3$.
(a) Two single transformations combine to make this change. Describe each one completely. [3]

  1. $y = \mathrm{f}(x)$B1 · $x\to 2x$ is a stretchB1 · $x\to 2x$ คือการยืด (stretch)
  2. $y = \mathrm{f}(2x)$
  3. $\text{stretch } \parallel x\text{-axis},\ \text{s.f. } \tfrac{1}{2}$B1 · $x$-stretch, factor $\tfrac{1}{2}$B1 · scale factor $\tfrac{1}{2}$ ในแนวแกน $x$
  4. $y = \mathrm{f}(2x)$B1 · $-3$ outside is a translation downB1 · $-3$ ข้างนอกคือการเลื่อนลง
  5. $y = \mathrm{f}(2x)-3$
  6. $\text{translation } \begin{pmatrix}0\\-3\end{pmatrix}$

2(b) Find the original point2(b) หาจุดบนกราฟเดิม

The graph of $y=\mathrm{f}(x)$ is changed into the graph of $y=\mathrm{f}(2x)-3$.
(b) The point $P(5,\,6)$ is on the new graph $y=\mathrm{f}(2x)-3$. Write down the matching point on the graph $y=\mathrm{f}(x)$. [2]

  1. $6 = \mathrm{f}(2\times 5)-3$B1 · $x$: undo the stretchB1 · พิกัด $x$: ย้อนการยืด
  2. $x = 2\times 5$
  3. $= 10$
  4. $\mathrm{f}(10) = 6+3$B1 · $y$: undo the translationB1 · พิกัด $y$: ย้อนการเลื่อน
  5. $= 9$
  6. $\text{point} = (10,\,9)$

4. 3 · Sequence of transformations · 9709/12 Mar 2023 · 4 marks3 · ลำดับการแปลงกราฟ · 9709/12 Mar 2023 · 4 คะแนน

Answer: g(x) = 12x² + 12x + 15คำตอบ: g(x) = 12x² + 12x + 15

3 Three transformations in order3 การแปลงสามขั้นตามลำดับ

The function $\mathrm{f}(x)=x^{2}-2x+5$ is defined for every real $x$. These three changes are made to the graph of $y=\mathrm{f}(x)$, in this order, to give the graph of $y=\mathrm{g}(x)$:
• a stretch parallel to the $x$-axis, scale factor $\tfrac{1}{2}$
• a reflection in the $y$-axis
• a stretch parallel to the $y$-axis, scale factor $3$
Find $\mathrm{g}(x)$. Write it as $ax^{2}+bx+c$, with $a$, $b$ and $c$ constants. [4]

  1. $y = (2x)^{2}-2(2x)+5$M1 · stretch: replace $x$ by $2x$M1 · ยืดขนานแกน $x$: แทน $x$ ด้วย $2x$
  2. $= 4x^{2}-4x+5$
  3. $y = 4(-x)^{2}-4(-x)+5$M1 · reflect in $y$-axis: $x\to-x$M1 · สะท้อนในแกน $y$: $x\to-x$
  4. $= 4x^{2}+4x+5$
  5. $y = 3\left(4x^{2}+4x+5\right)$M1 · $y$-stretch: multiply by $3$M1 · ยืดขนานแกน $y$: คูณด้วย $3$
  6. $\mathrm{g}(x) = 12x^{2}+12x+15$A1 · in the form $ax^{2}+bx+c$A1 · อยู่ในรูป $ax^{2}+bx+c$

5. 4 · Transforming a circle · 9709/13 Nov 2022 · 6 marks4 · การแปลงวงกลม · 9709/13 Nov 2022 · 6 คะแนน

Answer: 3; 2; (8, 2); (1, 5)คำตอบ: 3; 2; (8, 2); (1, 5)

4(a) Scale factor of the stretch4(a) scale factor ของการยืด

The diagram shows a curve. Its maximum point is $(8,\,12)$ and its minimum point is $(8,\,0)$. Two transformations changed a circle into this curve. The circle was first translated by the vector $\begin{pmatrix}7\\-3\end{pmatrix}$, and then stretched in the $y$-direction.
(a) By what scale factor is the circle stretched? [1]

  1. $\text{width} = 10-6$B1 · height over widthB1 · ความสูงหารด้วยความกว้าง
  2. $= 4$
  3. $\text{height} = 12-0$
  4. $= 12$
  5. $\text{s.f.} = \dfrac{12}{4}$
  6. $= 3$

4(b) Radius of the circle4(b) รัศมีของวงกลม

The diagram shows a curve. Its maximum point is $(8,\,12)$ and its minimum point is $(8,\,0)$. Two transformations changed a circle into this curve. The circle was first translated by the vector $\begin{pmatrix}7\\-3\end{pmatrix}$, and then stretched in the $y$-direction.
(b) What is the radius of the circle you started with? [1]

  1. $\text{diameter} = 4$B1 · radius is $\tfrac12$ the widthB1 · รัศมี = ครึ่งหนึ่งของความกว้าง
  2. $r = 2$

4(c) Centre after translating4(c) จุดศูนย์กลางหลังเลื่อน

The diagram shows a curve. Its maximum point is $(8,\,12)$ and its minimum point is $(8,\,0)$. Two transformations changed a circle into this curve. The circle was first translated by the vector $\begin{pmatrix}7\\-3\end{pmatrix}$, and then stretched in the $y$-direction.
(c) The translation is done and the stretch is not yet applied. Give the coordinates of the circle's centre at that moment. [2]

  1. $x = 8$B1 · the stretch keeps $x$B1 · การยืดในแนว $y$ ไม่เปลี่ยนค่า $x$
  2. $\text{centre of curve} = (8,\,6)$B1 · undo stretch: $y\div3$B1 · ย้อนการยืด: $y\div3$
  3. $y = \dfrac{6}{3}$
  4. $= 2$
  5. $\text{centre} = (8,\,2)$The stretch multiplies every $y$-coordinate by $3$ and keeps the $x$-axis fixed. Check: a circle of radius $2$ centred at $(8,\,2)$ runs from $y=0$ to $y=4$, and $\times3$ gives $0$ to $12$.การยืดคูณพิกัด $y$ ทุกจุดด้วย $3$ และแกน $x$ อยู่กับที่ ตรวจ: วงกลมรัศมี $2$ ศูนย์กลาง $(8,\,2)$ อยู่ตั้งแต่ $y=0$ ถึง $y=4$ คูณ $3$ ได้ $0$ ถึง $12$ พอดี

4(d) Centre at the start4(d) จุดศูนย์กลางตอนเริ่ม

The diagram shows a curve. Its maximum point is $(8,\,12)$ and its minimum point is $(8,\,0)$. Two transformations changed a circle into this curve. The circle was first translated by the vector $\begin{pmatrix}7\\-3\end{pmatrix}$, and then stretched in the $y$-direction.
(d) Where was the centre of the circle at the very start? Give its coordinates. [2]

  1. $x = 8-7$B1FT · undo the translation in $x$B1FT · ย้อนการเลื่อนในแนว $x$
  2. $= 1$
  3. $y = 2-(-3)$B1FT · undo the translation in $y$B1FT · ย้อนการเลื่อนในแนว $y$
  4. $= 5$
  5. $\text{original centre} = (1,\,5)$

6. 5 · Sketching with a parameter · WMA11/01 Oct 2022 · 6 marks5 · สเก็ตช์กราฟที่มีพารามิเตอร์ · WMA11/01 Oct 2022 · 6 คะแนน

Answer: (i) cubic through (k/2, 0), touching the x-axis at (−4, 0), y-intercept (0, −16k); (ii) curve in quadrants 1 and 2 only; 1 root, because the two graphs meet onceคำตอบ: (i) cubic through (k/2, 0), touching the x-axis at (−4, 0), y-intercept (0, −16k); (ii) curve in quadrants 1 and 2 only; 1 root, because the two graphs meet once

5(a) Sketch both graphs5(a) สเก็ตช์ทั้งสองกราฟ

The constant $k$ is positive and $0\lt k\lt4$.
(a) On separate axes, sketch
(i) $y=(2x-k)(x+4)^{2}$
(ii) $y=\dfrac{k}{x^{2}}$
Mark every point where a graph crosses or touches an axis, with its coordinates. Keep $k$ in the coordinates where needed. [5]

  1. $y=2x^{3}+\ldots$B1 · cubic shape: one maximum, one minimumB1 · ทรงกำลังสาม (cubic): มีจุดสูงสุดและจุดต่ำสุดอย่างละหนึ่ง
  2. $2x-k=0$B1 · crosses and touches the $x$-axisB1 · ตัดและสัมผัสแกน $x$
  3. $x=\dfrac{k}{2}$
  4. $(x+4)^{2}=0$repeated root: the graph touchesรากซ้ำ: กราฟแค่สัมผัสแกน
  5. $x=-4$Since $0\lt k\lt4$, $\dfrac{k}{2}$ is between 0 and 2 - always to the right of the y-axis and of the repeated root at $-4$.เพราะ $0\lt k\lt4$ ค่า $\dfrac{k}{2}$ จึงอยู่ระหว่าง 0 ถึง 2 เสมอ คืออยู่ทางขวาของแกน $y$ และของรากซ้ำที่ $-4$
  6. $y=(-k)(4)^{2}$B1 · $x=0$ gives the $y$-intercept $(0,-16k)$B1 · แทน $x=0$ ได้จุดตัดแกน $y$ ที่ $(0,-16k)$
  7. $=-16k$
  8. $y=\dfrac{k}{x^{2}}$B1 · reciprocal-squared shape: flattens to both axesB1 · ทรง reciprocal กำลังสอง: แบนเข้าใกล้ทั้งสองแกน
  9. $\dfrac{k}{x^{2}} \gt 0$B1 · curve stays in quadrants 1, 2
    $k$ is positive and $x^2$ is positive for every $x\neq0$, so $y$ can never be negative - the curve stays above the $x$-axis.    B1 · กราฟอยู่ในควอดรันต์ 1 และ 2
    $k$ เป็นบวกและ $x^{2}$ เป็นบวกเสมอสำหรับ $x\neq0$ ดังนั้น $y$ จึงเป็นลบไม่ได้เลย กราฟจึงอยู่เหนือแกน $x$ เสมอ

5(b) Count the roots5(b) นับจำนวนราก

The constant $k$ is positive and $0\lt k\lt4$.
(b) How many roots does $(2x-k)(x+4)^{2}=\dfrac{k}{x^{2}}$ have? Give a reason. [1]

  1. $\text{number of roots}=1$B1 · one root, comparing the sketches
    The reciprocal-squared curve sits entirely in quadrants 1 and 2, so it can only meet the cubic where the cubic is also positive - and the two sketches show that happens exactly once, to the right of $x=\dfrac{k}{2}$.    B1 · หนึ่งคำตอบ จากการเทียบกราฟทั้งสองรูป
    กราฟ reciprocal กำลังสองอยู่ในควอดรันต์ 1 และ 2 เท่านั้น จึงพบกราฟกำลังสามได้เฉพาะตอนที่กราฟกำลังสามเป็นบวกด้วย และจากภาพทั้งสองพบกันเพียงจุดเดียว ทางขวาของ $x=\dfrac{k}{2}$

7. 6 · Asymptotes and a cubic · WMA11/01 Oct 2023 · 7 marks6 · เส้นกำกับและกราฟกำลังสาม · WMA11/01 Oct 2023 · 7 คะแนน

Answer: x = −2; x(x + 2)²; cubic through (0, 0) with a turning point at (−2, 0); 2 real solutions, because the two graphs meet twiceคำตอบ: x = −2; x(x + 2)²; cubic through (0, 0) with a turning point at (−2, 0); 2 real solutions, because the two graphs meet twice

6(a) Vertical asymptote6(a) เส้นกำกับแนวตั้ง

Part of the curve $C$ with equation $y=\dfrac{1}{x+2}$ is shown on a diagram.
(a) Which vertical line is an asymptote of $C$? Give its equation. [1]

  1. $x+2=0$B1 · the vertical asymptoteB1 · เส้นกำกับแนวตั้ง
  2. $x=-2$

6(b) Factorise the cubic6(b) แยกตัวประกอบกำลังสาม

Part of the curve $C$ with equation $y=\dfrac{1}{x+2}$ is shown on a diagram.
(b) Factorise $x^{3}+4x^{2}+4x$ completely. [2]

  1. $x^{3}+4x^{2}+4x = x(x^{2}+4x+4)$M1 · take out a common factorM1 · ดึงตัวประกอบร่วม
  2. $x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}$A1 · factorise the quadratic factorA1 · แยกตัวประกอบของตัวประกอบกำลังสอง
  3. $x^{3}+4x^{2}+4x = x(x+2)^{2}$

6(c) Sketch the cubic6(c) สเก็ตช์กราฟกำลังสาม

Part of the curve $C$ with equation $y=\dfrac{1}{x+2}$ is shown on a diagram.
(c) On the same diagram, add a sketch of $y=x^{3}+4x^{2}+4x$. Label the coordinates of every point where it crosses or touches an axis. [3]

  1. $x(x+2)^{2} = x^{3}+\ldots$B1 · positive cubic shape on the axesB1 · ทรงกำลังสามที่เป็นบวก บนแกน
  2. $x(x+2)^{2}=0$B1 · turning point sits on the asymptoteB1 · จุดวกกลับอยู่บนเส้นกำกับ
  3. $x=0$
  4. $x=-2 \text{ (repeated root)}$B1 · $(-2,0)$ marked where the curve turnsB1 · ระบุ $(-2,0)$ ที่จุดวกกลับของกราฟ

6(d) Count the solutions6(d) นับจำนวนคำตอบ

Part of the curve $C$ with equation $y=\dfrac{1}{x+2}$ is shown on a diagram.
(d) Use your sketches to say how many real solutions $(x+2)(x^{3}+4x^{2}+4x)=1$ has. Give a reason. [1]

  1. $y=x(x+2)^{2}$the cubic from part (b)กราฟกำลังสามจากข้อ (b)
  2. $(x+2)\,y=1$start from the equationเริ่มจากสมการที่โจทย์ให้
  3. $y=\dfrac{1}{x+2}$divide by $x+2$ · cubic = curve $C$หารด้วย $x+2$ · กราฟกำลังสาม = กราฟ $C$
  4. $\text{solutions}=2$B1 · the two sketches cross twiceB1 · กราฟสองรูปตัดกัน 2 จุด

8. 7 · Cubic sketch and shifts · WMA11/01 Jan 2020 · 8 marks7 · สเก็ตช์กำลังสามและการเลื่อน · WMA11/01 Jan 2020 · 8 คะแนน

Answer: cubic crossing at (3/4, 0), touching at (5, 0), y-intercept (0, −75); (i) x = 3 and x = 20; (ii) p = 75; (i) g(x) = (4x + 1)(x − 4)²; (ii) y-intercept 16คำตอบ: cubic crossing at (3/4, 0), touching at (5, 0), y-intercept (0, −75); (i) x = 3 and x = 20; (ii) p = 75; (i) g(x) = (4x + 1)(x − 4)²; (ii) y-intercept 16

7(a) Sketch the cubic7(a) สเก็ตช์กราฟกำลังสาม

The curve $C_{1}$ is $y=\mathrm{f}(x)$, with $\mathrm{f}(x)=(4x-3)(x-5)^{2}$.
(a) Sketch $C_{1}$. Mark the coordinates of every point where it crosses or touches an axis. [3]

  1. $f(x)=4x^{3}+\ldots$B1 · cubic shape: one maximum, one minimumB1 · ทรงกำลังสาม: มีจุดสูงสุดและจุดต่ำสุดอย่างละหนึ่ง
  2. $4x-3=0$B1 · crosses $\left(\dfrac34,0\right)$, touches $(5,0)$B1 · ตัดที่ $\left(\dfrac34,0\right)$ สัมผัสที่ $(5,0)$
  3. $x=\dfrac34$
  4. $(x-5)^{2}=0$repeated root: the graph touchesรากซ้ำ: กราฟแค่สัมผัสแกน
  5. $x=5$
  6. $f(0)=(-3)(-5)^{2}$B1 · $x=0$ gives the $y$-intercept $(0,-75)$B1 · แทน $x=0$ ได้จุดตัดแกน $y$ ที่ $(0,-75)$
  7. $=(-3)(25)$
  8. $=-75$

7(b) Roots and a shift7(b) รากและการเลื่อนกราฟ

The curve $C_{1}$ is $y=\mathrm{f}(x)$, with $\mathrm{f}(x)=(4x-3)(x-5)^{2}$.
(b) (i) Find all $x$ with $\mathrm{f}\left(\dfrac{x}{4}\right)=0$.
(ii) The curve $y=\mathrm{f}(x)+p$ passes through the origin. Find the constant $p$. [2]

  1. $f\left(\dfrac{x}{4}\right)=0$B1ft · $x=3$ and $x=20$B1ft · $x=3$ และ $x=20$
  2. $\dfrac{x}{4}=\dfrac34$
  3. $\dfrac{x}{4}=5$
  4. $x=3$
  5. $x=20$$f(ax)$ with $a=\dfrac14$: solving for the INPUT that was $\dfrac34$ or $5$ means $\dfrac{x}{4}=\dfrac34$ or $\dfrac{x}{4}=5$ - the stretch scales the roots by 4.$f(ax)$ เมื่อ $a=\dfrac14$: ต้องหาค่าที่ INPUT เท่ากับ $\dfrac34$ หรือ $5$ คือ $\dfrac{x}{4}=\dfrac34$ หรือ $\dfrac{x}{4}=5$ การยืดทำให้รากถูกคูณด้วย 4
  6. $f(0)+p=0$B1ft · $p=75$B1ft · ค่าของ $p=75$
  7. $-75+p=0$
  8. $p=75$

7(c) Translate left by 17(c) เลื่อนซ้าย 1 หน่วย

The curve $C_{1}$ is $y=\mathrm{f}(x)$, with $\mathrm{f}(x)=(4x-3)(x-5)^{2}$.
(c) A second curve $C_{2}$ is $y=\mathrm{g}(x)$, where $\mathrm{g}(x)=\mathrm{f}(x+1)$.
(i) Find $\mathrm{g}(x)$ in simplest form. A factorised answer is fine.
(ii) Hence find where $C_{2}$ crosses the $y$-axis. [3]

  1. $g(x)=f(x+1)$M1 · substitute $x+1$ into $f$M1 · แทน $x+1$ ลงใน $f$
  2. $=(4(x+1)-3)((x+1)-5)^{2}$
  3. $g(x)=(4x+1)(x-4)^{2}$A1 · simplified factorised formA1 · รูปตัวประกอบอย่างง่าย
  4. $g(0)=f(1)$B1 · $y$ intercept is $16$B1 · จุดตัดแกน $y$ คือ $16$
  5. $=(4(1)-3)(1-5)^{2}$
  6. $=(1)(16)$
  7. $=16$

9. 8 · Counting intersections · WMA11/01 Jan 2022 · 9 marks8 · นับจุดตัดของกราฟ · WMA11/01 Jan 2022 · 9 คะแนน

Answer: x-intercepts (±1/3, 0); asymptotes x = 0 and y = −9; −81/4 < k < 0คำตอบ: x-intercepts (±1/3, 0); asymptotes x = 0 and y = −9; −81/4 < k < 0

8(a) Sketch with asymptotes8(a) สเก็ตช์พร้อมเส้นกำกับ

The curve $C$ is $y=\dfrac{1}{x^{2}}-9$.
(a) Sketch $C$.
• Give the coordinates of every point where it meets an axis.
• Give the equation of every asymptote. [4]

  1. $y=\dfrac{1}{x^{2}}-9$B1 · shape: two branches, one each side of the $y$-axisB1 · รูปร่าง: สองแขนง อยู่คนละข้างของแกน $y$
  2. $\dfrac{1}{x^{2}}-9=0$B1 · $x$-intercepts $\left(\pm\dfrac13,0\right)$B1 · ตัดแกน $x$ ที่ $\left(\pm\dfrac13,0\right)$
  3. $x^{2}=\dfrac19$
  4. $x=\pm\dfrac13$
  5. $x=0$B1 · asymptote $x=0$
    As $x\to0$, $\dfrac{1}{x^2}\to\infty$, so the curve shoots up to the vertical asymptote $x=0$ on both sides.    B1 · เส้นกำกับ $x=0$
    เมื่อ $x\to0$ ค่า $\dfrac{1}{x^{2}}\to\infty$ กราฟจึงพุ่งขึ้นเข้าเส้นกำกับแนวตั้ง $x=0$ ทั้งสองข้าง
  6. $y=-9$B1 · asymptote $y=-9$
    As $x\to\pm\infty$, $\dfrac{1}{x^2}\to0$, so $y\to-9$ - the horizontal asymptote.    B1 · เส้นกำกับ $y=-9$
    เมื่อ $x\to\pm\infty$ ค่า $\dfrac{1}{x^{2}}\to0$ ดังนั้น $y\to-9$ ซึ่งคือเส้นกำกับแนวนอน

8(b) Four intersections: find k8(b) จุดตัดสี่จุด · หา $k$

The curve $C$ is $y=\dfrac{1}{x^{2}}-9$.
(b) The curve $D$ is $y=kx^{2}$, where $k$ is a constant.
$C$ and $D$ have exactly 4 points in common. Find the range of values of $k$. [5]

  1. $k \lt 0$B1 · $k$ must be negative
    $C$ sits above $y=-9$ and curls up near $x=0$, while $D=kx^2$ is a parabola through the origin. For $D$ to cross each branch of $C$ twice, it must curve downward away from the origin, so $k\lt0$.    B1 · $k$ ต้องเป็นลบ
    $C$ อยู่เหนือ $y=-9$ และโค้งขึ้นใกล้ $x=0$ ส่วน $D=kx^{2}$ เป็นพาราโบลาผ่านจุดกำเนิด ถ้า $D$ จะตัดแต่ละแขนงของ $C$ สองครั้ง ต้องโค้งลงจากจุดกำเนิด ดังนั้น $k\lt0$
  2. $\dfrac{1}{x^{2}}-9=kx^{2}$M1 · set equal, clear the fractionM1 · ให้เท่ากัน กำจัดเศษส่วน
  3. $1-9x^{2}=kx^{4}$
  4. $kx^{4}+9x^{2}-1=0$M1 · rewrite as a quadratic in $u$M1 · เขียนใหม่เป็นสมการกำลังสองของ $u$
  5. $\text{let } u=x^{2}$
  6. $ku^{2}+9u-1=0$
  7. $b^{2}-4ac=81-4k(-1)$
  8. $=81+4k$
  9. $81+4k=0$A1 · critical value $k=-\dfrac{81}{4}$A1 · ค่าวิกฤต (critical value) $k=-\dfrac{81}{4}$
  10. $k=-\dfrac{81}{4}$
  11. $-\dfrac{81}{4} \lt k \lt 0$A1cso · final range $-\dfrac{81}{4} \lt k \lt 0$
    Need the discriminant positive ($k\gt-\dfrac{81}{4}$, so $u$ has 2 real values) AND both values of $u=x^2$ positive (needs $k\lt0$, from the first line) - together these give $-\dfrac{81}{4}\lt k\lt0$.    A1cso · ช่วงคำตอบสุดท้าย $-\dfrac{81}{4} \lt k \lt 0$
    ต้องให้ดิสคริมิแนนต์เป็นบวก ($k\gt-\dfrac{81}{4}$ เพื่อให้ $u$ มีค่าจริง 2 ค่า) และ $u=x^{2}$ ทั้งสองค่าต้องเป็นบวก (ต้อง $k\lt0$ จากบรรทัดแรก) รวมกันได้ $-\dfrac{81}{4}\lt k\lt0$

10. 9 · Cubic and chord length · WMA11/01 Jan 2021 · 9 marks9 · กราฟกำลังสามและความยาวคอร์ด · WMA11/01 Jan 2021 · 9 คะแนน

Answer: x > 4; 9x³ − 48x² + 52x − 16; PQ = (4/3)√3คำตอบ: x > 4; 9x³ − 48x² + 52x − 16; PQ = (4/3)√3

9(a) Sign of the cubic9(a) เครื่องหมายของ f(x)

Curve $C$ is the graph of $y=\mathrm{f}(x)$ with $\mathrm{f}(x)=(3x-2)^{2}(x-4)$, and part of it is drawn.
(a) Use the factorised form to write down all $x$ with $\mathrm{f}(x)\gt0$. [1]

  1. $(3x-2)^{2}\ge0$a square is never negativeกำลังสองไม่เป็นลบ
  2. $x-4\gt0$B1 · so $\mathrm{f}(x)$ is positive when $x-4$ is positiveB1 · ดังนั้น $\mathrm{f}(x)$ เป็นบวกเมื่อ $x-4$ เป็นบวก
  3. $x\gt4$

9(b) Expand the cubic9(b) กระจายกำลังสาม

Curve $C$ is the graph of $y=\mathrm{f}(x)$ with $\mathrm{f}(x)=(3x-2)^{2}(x-4)$, and part of it is drawn.
(b) Multiply out $\mathrm{f}(x)$ to get $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$, where $a$, $b$, $c$ and $d$ are whole numbers. [3]

  1. $(3x-2)^{2}=9x^{2}-12x+4$M1 · multiply the two linear factorsM1 · คูณตัวประกอบเชิงเส้นสองตัว
  2. $9x^{2}(x-4)=9x^{3}-36x^{2}$A1 · each term of the quadratic times $x-4$A1 · เอาแต่ละพจน์ของกำลังสองคูณ $x-4$
  3. $-12x(x-4)=-12x^{2}+48x$
  4. $4(x-4)=4x-16$
  5. $a=9$collect like terms · $x^{3}$ firstรวมพจน์เหมือน · เริ่มจาก $x^{3}$
  6. $b=-36-12$the $x^{2}$ termsพจน์ $x^{2}$
  7. $=-48$
  8. $c=48+4$the $x$ termsพจน์ $x$
  9. $=52$
  10. $d=-16$A1 · $\mathrm{f}(x)=9x^{3}-48x^{2}+52x-16$A1 · $\mathrm{f}(x)=9x^{3}-48x^{2}+52x-16$

9(c) Length of chord PQ9(c) ความยาวคอร์ด PQ

Curve $C$ is the graph of $y=\mathrm{f}(x)$ with $\mathrm{f}(x)=(3x-2)^{2}(x-4)$, and part of it is drawn.
(c) The horizontal line $l$ goes through the $y$-intercept of $C$. It meets $C$ again at the points $P$ and $Q$. Use algebra, and show your working, to find the length $PQ$. Write it as $k\sqrt3$, where $k$ is a constant to find. An answer that relies only on a calculator earns no marks. [5]

  1. $\mathrm{f}(0)=(-2)^{2}(-4)$B1ft · put $x=0$ · the $y$-intercept of $C$B1ft · แทน $x=0$ · จุดตัดแกน $y$ ของ $C$
  2. $=-16$
  3. $\mathrm{f}(x)=-16$B1ft · the line $l$ is $y=-16$B1ft · เส้นตรง $l$ คือ $y=-16$
  4. $\mathrm{f}(x)+16=0$
  5. $x\,\mathrm{g}(x)=0$M1 · take out $x$ · $\mathrm{g}(x)=9x^{2}-48x+52$M1 · ดึง $x$ ออก · $\mathrm{g}(x)=9x^{2}-48x+52$
  6. $b^{2}-4ac=48^{2}-4(9)(52)$discriminant of $\mathrm{g}(x)$ดิสคริมิแนนต์ของ $\mathrm{g}(x)$
  7. $=432$
  8. $x=\dfrac{48\pm\sqrt{432}}{18}$B1 · roots of $\mathrm{g}(x)=0$B1 · รากของ $\mathrm{g}(x)=0$
  9. $=\dfrac{48\pm12\sqrt3}{18}$$\sqrt{432}=12\sqrt3$$\sqrt{432}=12\sqrt3$
  10. $=\dfrac{8\pm2\sqrt3}{3}$
  11. $x_{Q}=\dfrac{8+2\sqrt3}{3}$the larger root is $Q$รากที่มากกว่าคือ $Q$
  12. $x_{P}=\dfrac{8-2\sqrt3}{3}$the smaller root is $P$รากที่น้อยกว่าคือ $P$
  13. $PQ=x_{Q}-x_{P}$M1 · subtract the two non-zero rootsM1 · ลบรากที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งสองค่า
  14. $=\dfrac{4\sqrt3}{3}$A1 · the $8$s cancel · $2\sqrt3+2\sqrt3$A1 · $8$ ตัดกัน · $2\sqrt3+2\sqrt3$
  15. $=\dfrac43\sqrt3$

11. 10 · Reciprocal graph and line · WMA11/01 Jan 2021 · 10 marks10 · กราฟส่วนกลับกับเส้นตรง · WMA11/01 Jan 2021 · 10 คะแนน

Answer: curve in quadrants 2 and 4; moved up by k: meets the x-axis at (1, 0); asymptote y = k; 10 − 2√21 < k < 10 + 2√21คำตอบ: curve in quadrants 2 and 4; moved up by k: meets the x-axis at (1, 0); asymptote y = k; 10 − 2√21 < k < 10 + 2√21

10(a) Sketch the reciprocal10(a) สเก็ตช์กราฟส่วนกลับ

In this question $k$ is a positive constant and $x\neq0$.
(a) Sketch the curve $y=-\dfrac{k}{x}$. [2]

  1. $y=-\dfrac{k}{x}$M1 · negative-reciprocal shape
    A1 · correct quadrants 2 and 4
    For $x\gt0$, $-\dfrac{k}{x}\lt0$ (quadrant 4); for $x\lt0$, $-\dfrac{k}{x}\gt0$ (quadrant 2).    M1 · ทรง negative-reciprocal
    A1 · ควอดรันต์ที่ถูกต้องคือ 2 และ 4
    เมื่อ $x\gt0$ จะได้ $-\dfrac{k}{x}\lt0$ (ควอดรันต์ 4) เมื่อ $x\lt0$ จะได้ $-\dfrac{k}{x}\gt0$ (ควอดรันต์ 2)

10(b) Shift up by $k$10(b) เลื่อนขึ้น $k$ หน่วย

In this question $k$ is a positive constant and $x\neq0$.
(b) On a new diagram, sketch $y=-\dfrac{k}{x}+k$. Give the point where it meets the $x$-axis, and write the equation of its horizontal asymptote in terms of $k$. [3]

  1. $y=-\dfrac{k}{x}+k$B1ft · the whole graph translated up $k$
    Adding $k$ is $f(x)+a$ with $a=k$ - every point on the curve from (a) moves straight up by $k$.    B1ft · กราฟทั้งหมดเลื่อนขึ้นด้วย $k$
    การบวก $k$ คือการแปลง $f(x)+a$ โดย $a=k$ ทุกจุดบนกราฟในข้อ (a) เลื่อนขึ้นตรงด้วย $k$
  2. $-\dfrac{k}{x}+k=0$B1 · $x$-intercept $(1,0)$B1 · ตัดแกน $x$ ที่ $(1,0)$
  3. $k=\dfrac{k}{x}$
  4. $x=1$
  5. $y=k$B1 · horizontal asymptote $y=k$
    As $x\to\pm\infty$, $-\dfrac{k}{x}\to0$, so $y\to k$.    B1 · เส้นกำกับแนวนอน $y=k$
    เมื่อ $x\to\pm\infty$ ค่า $-\dfrac{k}{x}\to0$ ดังนั้น $y\to k$

10(c) No common points10(c) ไม่มีจุดร่วม

In this question $k$ is a positive constant and $x\neq0$.
(c) For which values of $k$ does the curve $y=-\dfrac{k}{x}+k$ never meet the line $y=3x+4$ (it neither crosses nor touches it)? Give the full range of $k$. [5]

  1. $3x+4=-\dfrac{k}{x}+k$M1 · set the curve equal the lineM1 · ให้กราฟเท่ากับเส้นตรง
  2. $3x^{2}+4x=-k+kx$A1 · clear the fraction, form a quadraticA1 · กำจัดเศษส่วน รวมเป็นสมการกำลังสอง
  3. $3x^{2}+bx+k=0$gather the $x$ terms · $b=4-k$รวมพจน์ $x$ · $b=4-k$
  4. $b^{2}-4ac=b^{2}-12k$M1 · form the discriminant in $k$ · $a=3$, $c=k$M1 · หาดิสคริมิแนนต์ในรูปของ $k$ · $a=3$, $c=k$
  5. $=(4-k)^{2}-12k$
  6. $=k^{2}-20k+16$
  7. $k^{2}-20k+16=0$dM1 · set discriminant to zero, find $k$dM1 · ให้ดิสคริมิแนนต์เท่ากับศูนย์ หาค่าวิกฤต
  8. $k=\dfrac{20\pm\sqrt{336}}{2}$$20^{2}-4\times16=336$$20^{2}-4\times16=336$
  9. $=10\pm2\sqrt{21}$$\sqrt{336}=4\sqrt{21}$$\sqrt{336}=4\sqrt{21}$
  10. $10-2\sqrt{21}\lt k$
  11. $k\lt10+2\sqrt{21}$A1 · $10-2\sqrt{21}\lt k\lt10+2\sqrt{21}$
    "Does not touch or intersect" means no real solutions, so the discriminant must be negative - which happens strictly between the two critical values.    A1 · $10-2\sqrt{21}\lt k\lt10+2\sqrt{21}$
    "ไม่สัมผัสหรือตัด" หมายถึงไม่มีคำตอบจริง ดิสคริมิแนนต์จึงต้องเป็นลบ ซึ่งเกิดขึ้นระหว่างค่าวิกฤตทั้งสองเท่านั้น

12. 11 · Reciprocal graph transformation · WMA11/01 Jan 2023 · 10 marks11 · การแปลงกราฟส่วนกลับ · WMA11/01 Jan 2023 · 10 คะแนน

Answer: curve in quadrants 1 and 3; Translation (2, 0): 2 units to the right; k = 2; Q = (5/2, 12)คำตอบ: curve in quadrants 1 and 3; Translation (2, 0): 2 units to the right; k = 2; Q = (5/2, 12)

11(a) Sketch the curve11(a) สเก็ตช์กราฟ

(a) On a diagram, sketch the curve $C$ with equation $y=\dfrac{6}{x}$, where $x\neq0$. [2]

  1. $y=\dfrac6x$M1 · monotonic shape in quadrant 1, 3
    A1 · fully correct shape and position
    The branch in quadrant 1 passes through $(1,6)$ and the branch in quadrant 3 through $(-1,-6)$, with neither branch crossing an axis.    M1 · ทรงกราฟลดลงทางเดียวในควอดรันต์ 1, 3
    A1 · ทรงกราฟและตำแหน่งถูกต้องครบถ้วน
    แขนงในควอดรันต์ 1 ผ่าน $(1,6)$ และแขนงในควอดรันต์ 3 ผ่าน $(-1,-6)$ โดยไม่มีแขนงใดตัดแกน

11(b) Describe the translation11(b) บอกการเลื่อนกราฟ

(b) The curve $C$ is moved to give the curve $y=\dfrac{6}{x-2}$, where $x\neq2$. Say exactly what the move is. [2]

  1. $\mathrm{f}(x)=\dfrac{6}{x}$the curve $C$กราฟ $C$
  2. $\mathrm{f}(x-2)=\dfrac{6}{x-2}$B1 · a translation: $x$ becomes $x-2$B1 · การเลื่อน: $x$ กลายเป็น $x-2$
  3. $\text{translation } \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}$B1 · 2 units right, parallel to the $x$-axisB1 · เลื่อนขวา 2 หน่วย ขนานแกน $x$

11(c) Find k from P11(c) หา $k$ จากจุด $P$

(c) The curve $y=\dfrac{6}{x-2}$ and the line $y=kx+7$, with $k$ a constant, meet at exactly two points, $P$ and $Q$. The $x$-coordinate of $P$ is $-4$. Find $k$. [2]

  1. $y=\dfrac{6}{-4-2}$M1 · substitute $x=-4$M1 · แทน $x=-4$
  2. $=-1$
  3. $-1=k(-4)+7$A1 · solve for $k$A1 · แก้หา $k$
  4. $4k=8$
  5. $k=2$

11(d) Find the point Q11(d) หาจุด Q

(d) The curve $y=\dfrac{6}{x-2}$ meets the line $y=2x+7$ at $P$ (where $x=-4$) and at $Q$. Work out the coordinates of $Q$ by algebra. A calculator-only solution earns no marks. [4]

  1. $\dfrac{6}{x-2}=2x+7$M1 · equate and cross multiplyM1 · ให้เท่ากัน คูณไขว้
  2. $6=(x-2)(2x+7)$
  3. $6=2x^{2}+3x-14$dM1 · rearrange and factorise the quadraticdM1 · จัดรูปและแยกตัวประกอบสมการกำลังสอง
  4. $2x^{2}+3x-20=0$
  5. $(2x-5)(x+4)=0$
  6. $x=\dfrac52$A1 · the $x$ coordinate of $Q$A1 · พิกัด $x$ ของจุด $Q$
  7. $x=-4$$x=-4$ is point $P$, already given - so $Q$ must have $x=\dfrac52$.$x=-4$ คือจุด $P$ ที่โจทย์ให้ไว้แล้ว ดังนั้น $Q$ ต้องมี $x=\dfrac52$
  8. $y=2\left(\dfrac52\right)+7$A1 · the coordinates of $Q$A1 · พิกัดของจุด $Q$
  9. $=12$
  10. $Q=\left(\dfrac52,12\right)$

13. 12 · Line touching a curve · WMA11/01 Jun 2019 · 7 marks12 · เส้นตรงสัมผัสกราฟ · WMA11/01 Jun 2019 · 7 คะแนน

Answer: c = −12.25; (7/2, 7/4)คำตอบ: c = −12.25; (7/2, 7/4)

12(a) One common point12(a) จุดร่วมเพียงจุดเดียว

(a) The line $y=4x+c$, with $c$ a constant, and the curve $y=x(x-3)$ have exactly one point in common. Find $c$. [4]

  1. $4x+c=x(x-3)$M1 · set line equal curve, form quadraticM1 · ให้เส้นตรงเท่ากับกราฟ จัดเป็นสมการกำลังสอง
  2. $x^{2}-7x-c=0$
  3. $(-7)^{2}=4(1)(-c)$dM1 · use $b^{2}=4ac$ for their quadratic
    "Only one point" means the line is a tangent to the curve - the discriminant of the quadratic must be zero.    dM1 · ใช้ $b^{2}=4ac$ กับสมการกำลังสองที่ได้
    "พบเพียงจุดเดียว" หมายถึงเส้นตรงสัมผัส (tangent) กับกราฟ ดิสคริมิแนนต์ของสมการกำลังสองต้องเป็นศูนย์
  4. $49=-4c$A1 · correct equation in $c$A1 · สมการที่ถูกต้องในรูปของ $c$
  5. $c=-12.25$A1 · the value of $c$A1 · ค่าของ $c$

12(b) Find the point12(b) หาจุดที่พบกัน

(b) Use your value of $c$ to find the coordinates of the point where they meet. [3]

  1. $x^{2}-7x=-12.25$M1 · solve the quadratic with their $c$M1 · แก้สมการกำลังสองด้วยค่า $c$ ที่ได้
  2. $(x-3.5)^{2}=0$complete the square · $3.5^{2}=12.25$ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ · $3.5^{2}=12.25$
  3. $x=\dfrac72$dM1 · find the $y$ coordinatedM1 · หาพิกัด $y$
  4. $y=\dfrac72\left(\dfrac72-3\right)$
  5. $y=\dfrac74$A1 · the coordinatesA1 · พิกัดที่ได้
  6. $\left(\dfrac72,\dfrac74\right)$

14. 13 · Finding curves from graphs · WMA11/01 Oct 2024 · 10 marks13 · หาสมการจากกราฟ · WMA11/01 Oct 2024 · 10 คะแนน

Answer: f(x) = 1.2x(x − 4); g(x) = 0.3x(x − 4)²; P = (8, 38.4)คำตอบ: f(x) = 1.2x(x − 4); g(x) = 0.3x(x − 4)²; P = (8, 38.4)

13(a) Find the quadratic13(a) หาสมการกำลังสอง

The diagram shows part of two curves, $C_{1}$ and $C_{2}$.
$C_{1}$ is $y=\mathrm{f}(x)$, where $\mathrm{f}$ is a quadratic function. It cuts the $x$-axis at the origin and at $x=4$, and its minimum point is $(2,\,-4.8)$.
$C_{2}$ is $y=\mathrm{g}(x)$, where $\mathrm{g}$ is a cubic function. It cuts the $x$-axis at the origin and meets it at $x=4$. It also passes through the point $(6,\,7.2)$.
(a) Find $\mathrm{f}(x)$. [3]

  1. $f(x)=kx(x-4)$M1 · general form from the interceptsM1 · รูปทั่วไปจากจุดตัดแกน $x$ สองจุด
  2. $-4.8=k(2)(2-4)$dM1 · use turning point to find $k$dM1 · ใช้จุดต่ำสุดหาค่า $k$
  3. $k=1.2$
  4. $f(x)=1.2x(x-4)$A1 · final $f(x)$A1 · คำตอบ $f(x)$

13(b) Find the cubic13(b) หาสมการกำลังสาม

The diagram shows part of two curves, $C_{1}$ and $C_{2}$.
$C_{1}$ is $y=\mathrm{f}(x)$, where $\mathrm{f}$ is a quadratic function. It cuts the $x$-axis at the origin and at $x=4$, and its minimum point is $(2,\,-4.8)$.
$C_{2}$ is $y=\mathrm{g}(x)$, where $\mathrm{g}$ is a cubic function. It cuts the $x$-axis at the origin and meets it at $x=4$. It also passes through the point $(6,\,7.2)$.
(b) Find $\mathrm{g}(x)$. [3]

  1. $g(x)=c\,x(x-4)^{2}$M1 · general form from the repeated root
    $C_2$ MEETS the $x$-axis at $x=4$ (touches, does not cross), so $x=4$ must be a repeated root.    M1 · รูปทั่วไปจากรากซ้ำที่ $x=4$
    $C_2$ สัมผัสแกน $x$ ที่ $x=4$ (ไม่ตัดผ่าน) ดังนั้น $x=4$ ต้องเป็นรากซ้ำ
  2. $7.2=c(6)(6-4)^{2}$dM1 · use the given point for $c$dM1 · ใช้จุดที่โจทย์ให้หาค่า $c$
  3. $c=0.3$
  4. $g(x)=0.3x(x-4)^{2}$A1 · final $g(x)$A1 · คำตอบ $g(x)$

13(c) Where they meet13(c) จุดที่พบกัน

The diagram shows part of two curves, $C_{1}$ and $C_{2}$.
$C_{1}$ is $y=\mathrm{f}(x)$, where $\mathrm{f}$ is a quadratic function. It cuts the $x$-axis at the origin and at $x=4$, and its minimum point is $(2,\,-4.8)$.
$C_{2}$ is $y=\mathrm{g}(x)$, where $\mathrm{g}$ is a cubic function. It cuts the $x$-axis at the origin and meets it at $x=4$. It also passes through the point $(6,\,7.2)$.
(c) $C_{1}$ and $C_{2}$ cross at a point $P$ in the first quadrant. Find the coordinates of $P$ by algebra. [4]

  1. $1.2x(x-4)=0.3x(x-4)^{2}$B1ft · set $f(x)$ equal to $g(x)$B1ft · ให้ $f(x)$ เท่ากับ $g(x)$
  2. $x\neq0,4$M1 · divide out the common factorsM1 · หารตัวประกอบร่วมออก
  3. $1.2=0.3(x-4)$
  4. $x=4+\dfrac{1.2}{0.3}$
  5. $x=8$A1 · the $x$ coordinate of $P$A1 · พิกัด $x$ ของจุด $P$
  6. $f(8)=1.2(8)(4)$A1 · the coordinates of $P$A1 · พิกัดของจุด $P$
  7. $=38.4$
  8. $P=(8,38.4)$

15. 14 · Intersection of two curves · WMA11/01 Jan 2019 · 12 marks14 · จุดตัดของสองกราฟ · WMA11/01 Jan 2019 · 12 คะแนน

Answer: (i) ∩ through (0, 0), (3, 0); (ii) cubic through (0, 0), (2, 0), (5, 0); x(x² − 8x + 13) = 0; P = (4 − √3, −7 + 5√3)คำตอบ: (i) ∩ through (0, 0), (3, 0); (ii) cubic through (0, 0), (2, 0), (5, 0); x(x² − 8x + 13) = 0; P = (4 − √3, −7 + 5√3)

14(a) Sketch both curves14(a) สเก็ตช์ทั้งสองกราฟ

(a) On one diagram, sketch
(i) $y=x(3-x)$
(ii) $y=x(x-2)(5-x)$
Mark the coordinates of the points where each curve meets the coordinate axes. [4]

  1. $y=x(3-x)$B1 · $\cap$-shaped quadratic on the axesB1 · พาราโบลาทรง $\cap$ บนแกน
  2. $x(3-x)=0$B1 · quadratic crosses at $O$ and $3$B1 · พาราโบลาตัดที่ $O$ และ $3$
  3. $x=0$
  4. $x=3$
  5. $y=x(x-2)(5-x)$B1 · negative cubic shape, max and minB1 · กราฟกำลังสามทรงลบ มีจุดสูงสุดและจุดต่ำสุด
  6. $x(x-2)(5-x)=0$B1 · cubic crosses at $O,2,5$B1 · กราฟกำลังสามตัดที่ $O$, $2$ และ $5$
  7. $x=0,\,2,\,5$

14(b) Show the given equation14(b) แสดงสมการที่โจทย์ให้

(b) Show that where the curves $y=x(3-x)$ and $y=x(x-2)(5-x)$ meet, the $x$-coordinates solve $x(x^{2}-8x+13)=0$. [3]

  1. $x(3-x)=x(x-2)(5-x)$M1 · set the two equations equalM1 · ให้สมการทั้งสองเท่ากัน
  2. $3x-x^{2} = -x^{3}+7x^{2}-10x$dM1 · expand, collect on one sidedM1 · กระจายและรวมทุกพจน์ไว้ข้างเดียว
  3. $x^{3}-8x^{2}+13x=0$
  4. $x(x^{2}-8x+13)=0$A1* · the given equation, every step shown
    A star mark: the final equation is given, so the expansion and factorising-out of $x$ must be shown in full, not skipped.    A1* · สมการที่โจทย์ให้ มีขั้นกลางครบ
    คะแนนดาว (*) สมการสุดท้ายโจทย์ให้คำตอบมาแล้ว จึงต้องแสดงการกระจายและดึง $x$ ออกให้ครบ ข้ามขั้นไม่ได้

14(c) Find exact point P14(c) หาจุด P แบบเป๊ะ

(c) The point $P$ is on both curves and in the first quadrant. Find the exact coordinates of $P$ by algebra, with your working shown. [5]

  1. $x^{2}-8x+13=0$M1 · solve the quadratic factorM1 · แก้สมการกำลังสองที่เป็นตัวประกอบ
  2. $x=\dfrac{8\pm\sqrt{64-52}}{2}$
  3. $x=4\pm\sqrt3$A1 · surd form of $x$A1 · คำตอบ $x$ ในรูปกรณฑ์
  4. $x=4-\sqrt3$M1 · substitute the value giving positive $y$M1 · แทนค่าที่ให้ $y$ เป็นบวก
  5. $y=x(3-x)$Only $x=4-\sqrt3\approx2.27$ gives $y\gt0$ (first quadrant) - at $x=4+\sqrt3\approx5.73$ the parabola has already turned negative.มีแต่ $x=4-\sqrt3\approx2.27$ เท่านั้นที่ให้ $y\gt0$ (ควอดรันต์ที่ 1) ส่วน $x=4+\sqrt3\approx5.73$ พาราโบลาติดลบไปแล้ว
  6. $y=(4-\sqrt3)(3-(4-\sqrt3))$M1 · use surds to simplifyM1 · ใช้กฎของกรณฑ์จัดรูปให้ง่าย
  7. $=(4-\sqrt3)(-1+\sqrt3)$
  8. $=-4+4\sqrt3+\sqrt3-3$A1 · exact coordinates of $P$A1 · พิกัดที่แน่นอนของจุด $P$
  9. $=-7+5\sqrt3$
  10. $P=(4-\sqrt3,\,-7+5\sqrt3)$

16. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

  1. The point $P(4,\,5)$ is on the graph $y=\mathrm{f}(3x)+2$. Find the matching point on the graph $y=\mathrm{f}(x)$.จุด $P(4,\,5)$ อยู่บนกราฟ $y=\mathrm{f}(3x)+2$ · หาจุดที่ตรงกันบนกราฟ $y=\mathrm{f}(x)$
    Answer:เฉลย: (12, 3)Undo the stretch: $x=3\times4=12$. Undo the shift: $y=5-2=3$.ย้อนการยืด: $x=3\times4=12$ · ย้อนการเลื่อน: $y=5-2=3$

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี