Modulus, Polynomials & Partial Fractionsค่าสัมบูรณ์ พหุนาม และเศษส่วนย่อย

A-Level Pure 3 · CAIE 9709/3 & Edexcel IAL WMA13 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

Solve a linear equation, and add two fractionsแก้สมการเชิงเส้น กับบวกเศษส่วนสองตัว

Modulus = panel 1 done twice. Partial fractions = panel 2 backwards.ค่าสัมบูรณ์ = ช่อง 1 ทำสองรอบ · เศษส่วนย่อย = ช่อง 2 ย้อนกลับ

1. Solve $2x+1=7$.แก้สมการ $2x+1=7$
   Answer:เฉลย: $x=3$Modulus splits into two equations: $2x+1=7\ \Rightarrow\ x=3$   $|2x+1|=7\ \Rightarrow\ 2x+1=7\ \text{ or }\ 2x+1=-7$ค่าสัมบูรณ์ แตกเป็นสองสมการ: $2x+1=7\ \Rightarrow\ x=3$   $|2x+1|=7\ \Rightarrow\ 2x+1=7\ \text{ or }\ 2x+1=-7$
2. $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=\,?$  (one fraction)$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=\,?$  (ตอบเป็นเศษส่วนเดียว)
   Answer:เฉลย: $\dfrac{7}{12}$P3 runs this backwards: $\text{old}:\ \tfrac13+\tfrac14=\tfrac{7}{12}$   $\text{P3}:\ \tfrac{7}{12}\ \to\ \tfrac13+\tfrac14$P3 ให้ทำย้อนกลับ: $\text{old}:\ \tfrac13+\tfrac14=\tfrac{7}{12}$   $\text{P3}:\ \tfrac{7}{12}\ \to\ \tfrac13+\tfrac14$

2. Distance gets a symbolระยะทางได้สัญลักษณ์

$|x|$ is the distance from $0$; moving the centre only moves what $x$ is measured from.$|x|$ คือระยะห่างจากศูนย์ · ย้ายจุดศูนย์กลาง ก็แค่เปลี่ยนจุดที่วัดระยะจาก

How far from zero?ห่างจากศูนย์แค่ไหน?

Distance is never negative. That is the whole idea.ระยะทางไม่ติดลบ แค่นี้แหละคือไอเดียทั้งหมด

Solve $|x|=4$แก้สมการ $|x|=4$

1. $|x|=4$LABEL. Distance from $0$ to $x$ is $4$.ติดป้าย · ระยะจาก $0$ ถึง $x$ คือ $4$
2. $x=4\ \text{ or }\ x=-4$SUBSTITUTE. Two points sit that far away.แทนค่า · มีสองจุดที่ห่างเท่านั้น
3. $|4|=4$EVALUATE. Both check out.ตรวจคำตอบ · ทั้งสองค่าใช้ได้
4. $|-4|=4$

Solve $|x-2|=5$แก้สมการ $|x-2|=5$

1. $|x-2|=5$LABEL. Distance from $2$ to $x$ is $5$.ติดป้าย · ระยะจาก $2$ ถึง $x$ คือ $5$
2. $x-2=5$SUBSTITUTE. Case right.แทนค่า · กรณีขวา
3. $x=7$
4. $x-2=-5$Case left.กรณีซ้าย
5. $x=-3$EVALUATE. Two solutions.คิดจบ · ได้สองคำตอบ

1. Solve $|x|=3$.  Give every solution.แก้สมการ $|x|=3$  ตอบให้ครบทุกค่า
   Answer:เฉลย: $x=3$ or $x=-3$Two points, same distance: $|3|=3$   $|-3|=3$   $\Rightarrow\ x=3\ \text{ or }\ x=-3$สองจุด ห่างเท่ากัน: $|3|=3$   $|-3|=3$   $\Rightarrow\ x=3\ \text{ or }\ x=-3$
2. True for every $x$ (positive or negative): $\sqrt{x^{2}}=\,?$ข้อไหนจริงสำหรับ $x$ ทุกตัว (บวกหรือลบก็ตาม): $\sqrt{x^{2}}=\,?$
   Answer:เฉลย: $\sqrt{x^{2}}=|x|$Squaring is the link to algebra: $\sqrt{x^{2}}=|x|$   $|A|^{2}=A^{2}$ Squaring can remove a modulus. Level 3 says when that is safe.ยกกำลังสอง คือสะพานไปพีชคณิต: $\sqrt{x^{2}}=|x|$   $|A|^{2}=A^{2}$ ยกกำลังสองลบเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ได้ · ช่วง 3 จะบอกว่าปลอดภัยตอนไหน
3. New centre, same idea: which numbers are exactly $5$ away from $2$ on the number line?  (That is what $|x-2|=5$ asks.)ย้ายจุดศูนย์กลาง แต่ความคิดเดิม: เลขอะไรบ้างที่ห่างจาก $2$ บนเส้นจำนวนอยู่ $5$ พอดี?  (นี่แหละคือสิ่งที่ $|x-2|=5$ ถาม)
   Answer:เฉลย: $x=7$ or $x=-3$Only the centre moved: $|x-2|=\text{distance from }x\text{ to }2$   $x-2=5\ \Rightarrow\ x=7$   $x-2=-5\ \Rightarrow\ x=-3$ย้ายแค่จุดศูนย์กลาง: $|x-2|=\text{distance from }x\text{ to }2$   $x-2=5\ \Rightarrow\ x=7$   $x-2=-5\ \Rightarrow\ x=-3$

3. Between or outsideข้างในหรือข้างนอก

$\lt$ means one strip between; $\gt$ means two pieces outside, joined by OR.$\lt$ คือแถบเดียวข้างใน · $\gt$ คือสองท่อนข้างนอก เชื่อมด้วย "หรือ"

Shade "closer than 5 steps"ระบายโซน "ใกล้กว่า 5 ก้าว"

One shaded strip, both fences at once. That is $\lt$.แถบเดียวที่ระบาย มีรั้วสองข้างพร้อมกัน — นั่นคือ $\lt$

Solve $|x-2|\lt5$แก้อสมการ $|x-2|\lt5$

1. $|x-2|\lt5$LABEL. Sandwich the distance.ติดป้าย · ประกบระยะทางเป็นแซนด์วิช
2. $-5\lt x-2\lt5$SUBSTITUTE. Both fences at once.แทนค่า · รั้วสองข้างพร้อมกัน
3. $-5+2\lt x\lt5+2$Add $2$ to all three parts.บวก $2$ พร้อมกันทั้งสามส่วน
4. $-3\lt x\lt7$EVALUATE. Done.คิดจบ

Now $|x|\gt5$ตอนนี้ $|x|\gt5$

1. $|x|\gt5$LABEL. Further than $5$ steps.ติดป้าย · ไกลกว่า $5$ ก้าว
2. $x\gt5$Case right.กรณีขวา
3. $x\lt-5$EVALUATE. Two separate pieces, joined by OR.คิดจบ · สองท่อนแยกกัน เชื่อมด้วย "หรือ"

1. Change one symbol: $|x| \lt 5$.  Which numbers is that?เปลี่ยนสัญลักษณ์ตัวเดียว: $|x| \lt 5$  คือเลขกลุ่มไหน?
   Answer:เฉลย: $-5 \lt x \lt 5$Less than = one strip: $|x|\lt 5\ \Rightarrow\ -5\lt x\lt 5$   $\text{on the V: below }y=5$น้อยกว่า = แถบเดียว: $|x|\lt 5\ \Rightarrow\ -5\lt x\lt 5$   $\text{on the V: below }y=5$
2. Solve $|x-2| \lt 5$.  (Type it like: 1<x<9)แก้อสมการ $|x-2| \lt 5$  (พิมพ์แบบนี้: 1<x<9)
   Answer:เฉลย: $-3 \lt x \lt 7$Centre $2$, radius $5$: $-5\lt x-2\lt 5$   $-5+2\lt x\lt 5+2$   $-3\lt x\lt 7$จุดกึ่งกลาง $2$ รัศมี $5$: $-5\lt x-2\lt 5$   $-5+2\lt x\lt 5+2$   $-3\lt x\lt 7$
3. Contrast: now $|x| \gt 5$.  Which is it?เทียบกันชัดๆ: คราวนี้ $|x| \gt 5$  อันไหนถูก?
   Answer:เฉลย: $x \lt -5$ or $x \gt 5$$x \lt -5$ หรือ $x \gt 5$One symbol decides the shape: $|x|\lt 5\ \Rightarrow\ -5\lt x\lt 5\quad\text{one piece}$   $|x|\gt 5\ \Rightarrow\ x\lt -5\ \text{ or }\ x\gt 5\quad\text{two pieces}$เครื่องหมายเดียว ตัดสินหน้าตาคำตอบ: $|x|\lt 5\ \Rightarrow\ -5\lt x\lt 5\quad\text{one piece}$   $|x|\gt 5\ \Rightarrow\ x\lt -5\ \text{ or }\ x\gt 5\quad\text{two pieces}$
4. A student solves $|x-1| \gt 2x$ by squaring both sides: $(x-1)^{2} \gt 4x^{2}$, and gets $-1 \lt x \lt \tfrac13$. Test $x=-2$ in the original. Verdict?นักเรียนคนหนึ่งแก้ $|x-1| \gt 2x$ โดยยกกำลังสองทั้งสองข้าง: $(x-1)^{2} \gt 4x^{2}$ แล้วได้ $-1 \lt x \lt \tfrac13$ · ลองแทน $x=-2$ ในโจทย์เดิมดู — ตัดสินว่ายังไง?
   Answer:เฉลย: Squaring lost solutions — the true answer is $x \lt \tfrac13$.การยกกำลังสองทำคำตอบหาย — คำตอบจริงคือ $x \lt \tfrac13$Squaring lost the negative $x$: $x\lt 0:\ |x-1|\geq 0\ \gt\ 2x\ \text{ always}$   $\text{true answer}:\ x\lt \tfrac13$ Square both sides only when both sides are non-negative; otherwise split into cases.ยกกำลังสองทำคำตอบฝั่งลบหาย: $x\lt 0:\ |x-1|\geq 0\ \gt\ 2x\ \text{ always}$   $\text{true answer}:\ x\lt \tfrac13$ ยกกำลังสองได้เฉพาะตอนสองข้างไม่ติดลบ · นอกนั้นต้องแยกกรณี

4. Divide without dividingหารโดยไม่ต้องหาร

Remainder $=f(a)$, and remainder $0$ means factor.เศษ $=f(a)$ และถ้าเศษเป็น $0$ แปลว่าเป็นตัวประกอบ

23 divided by 5 is 4, remainder 323 หาร 5 ได้ 4 เศษ 3

$f(x)=x^{3}+2x^{2}-5x+1$$f(x)=x^{3}+2x^{2}-5x+1$

1. $a=3$LABEL. Read $a$ from the divisor $(x-3)$.ติดป้าย · อ่าน $a$ จากตัวหาร $(x-3)$
2. $R=f(3)$SUBSTITUTE into the remainder theorem.แทนค่าในทฤษฎีเศษเหลือ
3. $=27+18-15+1$EVALUATE each term.คิดเลขแต่ละพจน์
4. $=31$

1. $f(x)=(x-2)\,Q(x)+R$.  Substitute $x=2$ into both sides. What comes out?$f(x)=(x-2)\,Q(x)+R$  ลองแทน $x=2$ ทั้งสองข้าง — ได้อะไรออกมา?
   Answer:เฉลย: $f(2)=R$The zero bracket removes the quotient: $f(x)=(x-2)\,Q(x)+R$   $x=2:\ f(2)=0\times Q(2)+R$   $f(2)=R$ That is the remainder theorem. You proved it.วงเล็บเป็นศูนย์ ลบผลหารทิ้ง: $f(x)=(x-2)\,Q(x)+R$   $x=2:\ f(2)=0\times Q(2)+R$   $f(2)=R$ นี่คือทฤษฎีบทเศษเหลือ · พิสูจน์ไปแล้วเรียบร้อย
2. $f(x)=x^{3}-3x^{2}+4$.  Find the remainder when $f(x)$ is divided by $(x+1)$.$f(x)=x^{3}-3x^{2}+4$  หาเศษเมื่อนำ $f(x)$ ไปหารด้วย $(x+1)$
   Answer:เฉลย: $f(-1)=-1-3+4=0$Remainder zero means factor: $f(-1)=-1-3+4=0$   $R=0\ \Rightarrow\ (x+1)\ \text{ is a factor}$ Same as $20=5\times4+0$: no remainder, so $5$ is a factor of $20$.เศษเป็นศูนย์ = เป็นตัวประกอบ: $f(-1)=-1-3+4=0$   $R=0\ \Rightarrow\ (x+1)\ \text{ is a factor}$ เหมือน $20=5\times4+0$ · ไม่มีเศษ แปลว่า $5$ เป็นตัวประกอบของ $20$
3. $f(x)=x^{3}-7x+6$.  Which of these is a factor?$f(x)=x^{3}-7x+6$  ข้อไหนเป็นตัวประกอบ?
   Answer:เฉลย: $(x-1)$, since $f(1)=1-7+6=0$$f(1)=0$, so $(x-1)$ is a factor. Dividing gives $x^{3}-7x+6=(x-1)(x^{2}+x-6)$, and the quadratic factorises to $(x+3)(x-2)$.$f(1)=0$ ดังนั้น $(x-1)$ เป็นตัวประกอบ · หารออกมาได้ $x^{3}-7x+6=(x-1)(x^{2}+x-6)$ แล้วแยกพจน์กำลังสองต่อเป็น $(x+3)(x-2)$

5. Un-add the fractionsย้อนการบวกเศษส่วน

Partial fractions is adding fractions, run backwards.เศษส่วนย่อยคือการบวกเศษส่วนที่เดินย้อนกลับ

Forwards: add. The exam asks for reverse.ขาไป: บวก · ข้อสอบถามขากลับ

Same move as $\tfrac13+\tfrac14=\tfrac{7}{12}$. Today: run it backwards.ท่าเดียวกับ $\tfrac13+\tfrac14=\tfrac{7}{12}$ · วันนี้เดินย้อนกลับ

$\dfrac{7x-13}{(x-3)(x+1)}=\dfrac{A}{x-3}+\dfrac{B}{x+1}$$\dfrac{7x-13}{(x-3)(x+1)}=\dfrac{A}{x-3}+\dfrac{B}{x+1}$

1. $7x-13=A(x+1)+B(x-3)$LABEL. Multiply everything by the bottom.ติดป้าย · คูณตลอดด้วยตัวส่วน
2. $x=3:\ 8=4A$SUBSTITUTE the value that cancels $B$.แทนค่าที่ทำให้ $B$ หาย
3. $A=2$
4. $x=-1:\ -20=-4B$Now the value that cancels $A$.ตาค่าที่ทำให้ $A$ หาย
5. $B=5$EVALUATE. Both found.คิดจบ · ได้ครบสองตัว

1. Set $\dfrac{5x+1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$ and multiply everything by $(x-1)(x+2)$:  $5x+1 = A(x+2)+B(x-1)$.  Which value of $x$ makes the $B$ term vanish?ตั้ง $\dfrac{5x+1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$ แล้วคูณตลอดด้วย $(x-1)(x+2)$ ได้  $5x+1 = A(x+2)+B(x-1)$  ต้องแทน $x$ ค่าไหน พจน์ $B$ ถึงจะหายไป?
   Answer:เฉลย: $x=1$Remove one unknown at a time: $5x+1=A(x+2)+B(x-1)$   $x=1:\ (x-1)=0\ \Rightarrow\ \text{only }A\text{ left}$   $x=-2:\ (x+2)=0\ \Rightarrow\ \text{only }B\text{ left}$กำจัดตัวไม่รู้ค่าทีละตัว: $5x+1=A(x+2)+B(x-1)$   $x=1:\ (x-1)=0\ \Rightarrow\ \text{only }A\text{ left}$   $x=-2:\ (x+2)=0\ \Rightarrow\ \text{only }B\text{ left}$
2. Put $x=1$ into $5x+1 = A(x+2)+B(x-1)$ and find $A$.แทน $x=1$ ใน $5x+1 = A(x+2)+B(x-1)$ แล้วหา $A$
   Answer:เฉลย: $A=2$Both constants, then check: $x=1:\ 6=3A\ \Rightarrow\ A=2$   $x=-2:\ -9=-3B\ \Rightarrow\ B=3$   $\dfrac{5x+1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{3}{x+2}$   $\text{check}:\ 2(x+2)+3(x-1)=5x+1\ \checkmark$หาครบสองตัว แล้วตรวจ: $x=1:\ 6=3A\ \Rightarrow\ A=2$   $x=-2:\ -9=-3B\ \Rightarrow\ B=3$   $\dfrac{5x+1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{3}{x+2}$   $\text{check}:\ 2(x+2)+3(x-1)=5x+1\ \checkmark$
3. New denominator: $\dfrac{3x+5}{(x+2)^{2}}$. It has a repeated factor. Which form can rebuild it?ตัวส่วนแบบใหม่: $\dfrac{3x+5}{(x+2)^{2}}$ · ตัวประกอบซ้ำ · ต้องตั้งรูปแบบไหนถึงจะประกอบกลับได้?
   Answer:เฉลย: $\dfrac{A}{x+2}+\dfrac{B}{(x+2)^{2}}$Repeated factor, one layer per power: $(x+2)^{2}\ \Rightarrow\ \dfrac{A}{x+2}+\dfrac{B}{(x+2)^{2}}$   $(x+2)^{3}\ \Rightarrow\ \text{three layers}$ตัวประกอบซ้ำ ชั้นละกำลัง: $(x+2)^{2}\ \Rightarrow\ \dfrac{A}{x+2}+\dfrac{B}{(x+2)^{2}}$   $(x+2)^{3}\ \Rightarrow\ \text{three layers}$
4. So $3x+5 = A(x+2)+B$.  Find $A$ and $B$.  (Answer like: A=4,B=7)ได้ $3x+5 = A(x+2)+B$  หา $A$ กับ $B$  (ตอบแบบนี้: A=4,B=7)
   Answer:เฉลย: $A=3,\;B=-1$Cover-up reaches only the top power: $3x+5=A(x+2)+B$   $x=-2:\ -1=B$   $\text{compare }x:\ 3x=Ax\ \Rightarrow\ A=3$วิธีปิดทับ ได้แค่ชั้นสูงสุด: $3x+5=A(x+2)+B$   $x=-2:\ -1=B$   $\text{compare }x:\ 3x=Ax\ \Rightarrow\ A=3$

6. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Factor theorem, full factorisation, partial fractions, all in one question.ทฤษฎีตัวประกอบ แยกตัวประกอบครบ เศษส่วนย่อย ในข้อเดียว

The 7-mark chain7 คะแนนที่ร้อยต่อกัน

Check: proper, bottom fully factorised. One term per linear factor, two for a squared factor.ตรวจ: เป็นเศษส่วนแท้ และตัวส่วนแยกครบ · ตัวประกอบเชิงเส้นได้หนึ่งพจน์ · ตัวยกกำลังสองได้สองพจน์

1. $\dfrac{2x+3}{(x-1)(x+2)^{2}}$: pick the correct form.$\dfrac{2x+3}{(x-1)(x+2)^{2}}$ · เลือกรูปแบบที่ถูก
   Answer:เฉลย: $\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}+\dfrac{C}{(x+2)^{2}}$Count the layers before the numbers: $(x-1)\ \Rightarrow\ \text{one layer}$   $(x+2)^{2}\ \Rightarrow\ \text{two layers}$   $\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}+\dfrac{C}{(x+2)^{2}}$นับชั้นก่อน ค่อยคิดเลข: $(x-1)\ \Rightarrow\ \text{one layer}$   $(x+2)^{2}\ \Rightarrow\ \text{two layers}$   $\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}+\dfrac{C}{(x+2)^{2}}$
2. Exam: $d(x)=x^{3}-7x+6$.  Part (a) — show that $(x-1)$ is a factor — goes on the whiteboard.  (7 marks)ข้อสอบ: $d(x)=x^{3}-7x+6$ · ข้อ (a) แสดงว่า $(x-1)$ เป็นตัวประกอบ ให้เขียนบนกระดาน  (7 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $d(x)=(x-1)(x+3)(x-2)$;  $A=-1,\;B=1,\;C=2$7 marks: $\text{B1}\ \ d(1)=1-7+6=0\ \text{ and say it is a factor}$   $\text{M1}\ \ \text{divide}:\ x^{2}+x-6$   $\text{A1}\ \ d(x)=(x-1)(x+3)(x-2)$   $\text{B1}\ \ \text{three-layer form}$   $\text{A1}\ \ A=\dfrac{4}{(4)(-1)}=-1$   $\text{A1}\ \ B=\dfrac{20}{(-4)(-5)}=1$   $\text{A1}\ \ C=\dfrac{10}{(1)(5)}=2$ The B1 in (a) is the sentence, not the arithmetic. Write it out.7 คะแนน: $\text{B1}\ \ d(1)=1-7+6=0\ \text{ and say it is a factor}$   $\text{M1}\ \ \text{divide}:\ x^{2}+x-6$   $\text{A1}\ \ d(x)=(x-1)(x+3)(x-2)$   $\text{B1}\ \ \text{three-layer form}$   $\text{A1}\ \ A=\dfrac{4}{(4)(-1)}=-1$   $\text{A1}\ \ B=\dfrac{20}{(-4)(-5)}=1$   $\text{A1}\ \ C=\dfrac{10}{(1)(5)}=2$ B1 ข้อ (a) คือประโยคสรุป ไม่ใช่การคำนวณ · ต้องเขียนออกมา
3. Exam: $f(x)=x^{3}+kx^{2}+8x+4$, where $k$ is a constant.  (6 marks)ข้อสอบ: $f(x)=x^{3}+kx^{2}+8x+4$ โดย $k$ เป็นค่าคงที่  (6 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $k=5$,  $f(x)=(x+1)(x+2)^{2}$,  $A=8,\;B=-8,\;C=-3$6 marks: $\text{M1}\ \ f(-2)=-8+4k-16+4=0$   $\text{A1}\ \ k=5$   $\text{M1}\ \ f(x)=(x+2)(x^{2}+3x+2)$   $\text{A1}\ \ f(x)=(x+1)(x+2)^{2}$   $\text{A1}\ \ x=-1:\ A=8;\quad x=-2:\ C=-3$   $\text{A1}\ \ \text{compare }x^{2}:\ 0=A+B\ \Rightarrow\ B=-8$ Cover-up never gives $B$. Compare the $x^{2}$ terms for it.6 คะแนน: $\text{M1}\ \ f(-2)=-8+4k-16+4=0$   $\text{A1}\ \ k=5$   $\text{M1}\ \ f(x)=(x+2)(x^{2}+3x+2)$   $\text{A1}\ \ f(x)=(x+1)(x+2)^{2}$   $\text{A1}\ \ x=-1:\ A=8;\quad x=-2:\ C=-3$   $\text{A1}\ \ \text{compare }x^{2}:\ 0=A+B\ \Rightarrow\ B=-8$ $B$ ไม่ได้จากวิธีปิดทับ · ต้องเทียบสัมประสิทธิ์ $x^{2}$
4. $g(x)=2x^{3}-5x^{2}+ax-6$, where $a$ is a constant.
   When $g(x)$ is divided by $(x+2)$ the remainder is the same as when $g(x)$ is divided by $(x-1)$.
   Find $a$.$g(x)=2x^{3}-5x^{2}+ax-6$ โดย $a$ เป็นค่าคงที่
   หาร $g(x)$ ด้วย $(x+2)$ แล้วได้ remainder เท่ากับ ตอนหารด้วย $(x-1)$
   จงหา $a$
   Answer:เฉลย: $g(-2)=-42-2a$ and $g(1)=a-9$; setting them equal gives $a=-11$Remainder, not factor: $\text{“factor”}\ \Rightarrow\ g(c)=0$   $\text{“remainder”}\ \Rightarrow\ g(c)=R$   $g(-2)=-16-20-2a-6=-42-2a$   $g(1)=2-5+a-6=a-9$   $-42-2a=a-9\ \Rightarrow\ -33=3a\ \Rightarrow\ a=-11$ Nothing is set to zero here. The two remainders are only set equal.เศษเหลือ ไม่ใช่ตัวประกอบ: $\text{“factor”}\ \Rightarrow\ g(c)=0$   $\text{“remainder”}\ \Rightarrow\ g(c)=R$   $g(-2)=-16-20-2a-6=-42-2a$   $g(1)=2-5+a-6=a-9$   $-42-2a=a-9\ \Rightarrow\ -33=3a\ \Rightarrow\ a=-11$ ข้อนี้ไม่มีอะไรเท่ากับศูนย์ · แค่ให้เศษสองอันเท่ากัน

7. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. Solve $|x-3|=4$.
   Answer:เฉลย: $x=7,\;x=-1$Same two-case move as taught. Only the centre moved. Confidence first.ท่าสองกรณีเหมือนที่สอนทุกอย่าง เปลี่ยนแค่จุดศูนย์กลาง เอาความมั่นใจก่อน
2. Solve $|2x-1| \lt 6$.
   Answer:เฉลย: $-\dfrac{5}{2} \lt x \lt \dfrac{7}{2}$Same sandwich, but the $2x$ forces a final division, so fractions appear. Tests careful working, not the idea.แซนด์วิชแบบเดิม แต่ $2x$ บังคับให้หารตอนท้าย เศษส่วนเลยโผล่มา · ข้อนี้วัดความเรียบร้อยของการเขียน ไม่ใช่วัดความเข้าใจ
3. $p(t)=2t^{3}-t^{2}+3t-5$. Find the remainder when $p(t)$ is divided by $(t+2)$.
   Answer:เฉลย: $p(-2)=-31$New letter, negative value, bigger numbers, testing if 'substitute the zero of the bracket' still works.เปลี่ยนตัวอักษร ค่าติดลบ ตัวเลขใหญ่ขึ้น · วัดว่า 'แทนค่าที่ทำให้วงเล็บเป็นศูนย์' ยังใช้ได้ไหม
4. $f(x)=x^{3}-4x^{2}+x+6$. Show that $(x+1)$ is a factor, and hence solve $f(x)=0$.
   Answer:เฉลย: $f(-1)=0$;  $f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)$;  $x=-1,\;2,\;3$Factor theorem, then IGCSE factorising: two known moves joined. This is how cubic questions appear.ทฤษฎีตัวประกอบต่อกับการแยกตัวประกอบสมัย IGCSE · สองท่าที่รู้แล้วมาต่อกัน โจทย์กำลังสามจริงมาแบบนี้
5. A student split a fraction and got $\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{2}{x+1}$. What fraction $\dfrac{px+q}{(x-2)(x+1)}$ did they start from?
   Answer:เฉลย: $p=1,\;q=7$:  $\dfrac{x+7}{(x-2)(x+1)}$Given the answer, rebuild the question: do the addition forwards this time. Doing it both ways shows you understand it.ให้คำตอบมา แล้วสร้างโจทย์กลับ: คราวนี้บวกเดินหน้าตามปกติ · ทำได้ทั้งสองทิศ แปลว่าเข้าใจจริง
6. Express $\dfrac{2x+3}{(x+1)(x+2)^{2}}$ in partial fractions. (5 marks)
   Answer:เฉลย: $\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{(x+2)^{2}}$Full exam format: B1 the three-layer form, M1 multiply up, three A1 marks for $A$, $B$, $C$.รูปแบบข้อสอบเต็ม: B1 ตั้งรูปสามชั้น M1 คูณตลอด สาม A1 สำหรับ $A$, $B$, $C$

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี