Logarithms · 9MA0ลอการิทึม · 9MA0

A-Level · Edexcel 9MA0 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. 1 · Laws of logarithms · 9709/32 Jun 2023 · 3 marks1 · กฎของลอการิทึม · 9709/32 Jun 2023 · 3 คะแนน

Answer: x = √2คำตอบ: x = √2

1 Combine logs, then solve1 รวม log แล้วแก้สมการ

Solve $\ln(2x^{2}-3)=2\ln x-\ln 2$. Leave $x$ as an exact value. [3]

1. $2\ln x-\ln 2 = \ln\dfrac{x^{2}}{2}$M1 · power law, then quotient lawM1 · กฎยกกำลัง แล้วกฎผลหาร
2. $2x^{2}-3 = \dfrac{x^{2}}{2}$A1 · same ln each side: drop itA1 · มี ln เหมือนกันสองข้าง ตัดทิ้ง
3. $4x^{2}-6 = x^{2}$clear the fractionกำจัดเศษส่วน
4. $3x^{2} = 6$collectรวมพจน์
5. $x^{2} = 2$take the square rootถอดรากที่สอง
6. $x = \sqrt2$A1 · ln x needs x positive: reject −√2A1 · ln x ต้องมี x เป็นบวก ตัด −√2 ทิ้ง

3. 2 · ln and e equations · 9709/32 Nov 2020 · 3 marks2 · สมการที่มี ln และ e · 9709/32 Nov 2020 · 3 คะแนน

Answer: x = −0.618คำตอบ: x = −0.618

2 Undo ln with e2 ใช้ e ถอด ln

Solve $\ln(1+e^{-3x})=2$. Answer to 3 d.p. [3]

1. $\ln(1+e^{-3x}) = 2$B1 · e to the power of each sideB1 · ใช้ e ยกกำลังทั้งสองข้าง
2. $1+e^{-3x} = e^{2}$ln and e cancelln กับ e หักล้างกัน
3. $e^{-3x} = e^{2}-1$M1 · now take ln of each sideM1 · ใส่ ln ทั้งสองข้างต่อ
4. $-3x = \ln(e^{2}-1)$ln undoes eln ถอด e
5. $x = -\dfrac{\ln(e^{2}-1)}{3}$divide by −3หารด้วย −3
6. $= -0.618$A1 · 3 d.p.A1 · ทศนิยม 3 ตำแหน่ง

4. 3 · Exponential equations · 9709/31 Jun 2022 · 4 marks3 · สมการเลขชี้กำลัง · 9709/31 Jun 2022 · 4 คะแนน

Answer: x = 2.21คำตอบ: x = 2.21

3 Take logs of both sides3 ใส่ log ทั้งสองข้าง

Solve $2\times3^{2x-1}=4^{x+1}$. Answer to 2 d.p. [4]

1. $2\times3^{2x-1} = 4^{x+1}$M1 · take ln of each sideM1 · ใส่ ln ทั้งสองข้าง
2. $\ln2+\ln3^{2x-1} = \ln4^{x+1}$product law; ln 2 moves rightกฎผลคูณ · ln 2 ย้ายไปขวา
3. $(2x-1)\ln3 = (x+1)\ln4-\ln2$A1 · power law, both sidesA1 · กฎยกกำลังทั้งสองข้าง
4. $2x\ln3-\ln3 = x\ln4+\ln2$expand; ln 4 − ln 2 = ln 2กระจายวงเล็บ · ln 4 − ln 2 = ln 2
5. $2x\ln3-x\ln4 = \ln2+\ln3$DM1 · x terms left, the rest rightDM1 · พจน์ x ไปซ้าย ที่เหลือไปขวา
6. $x(2\ln3-\ln4) = \ln6$factorise x; ln 2 + ln 3 = ln 6ดึง x ออกมา · ln 2 + ln 3 = ln 6
7. $x = \dfrac{\ln6}{2\ln3-\ln4}$divide by the bracketหารด้วยวงเล็บ
8. $= 2.21$A1 · 2 d.p.A1 · ทศนิยม 2 ตำแหน่ง

5. 4 · Exponential equations · 9709/32 Nov 2022 · 4 marks4 · สมการเลขชี้กำลัง · 9709/32 Nov 2022 · 4 คะแนน

Answer: x = ln 30 / ln 24คำตอบ: x = ln 30 / ln 24

4 Answer as a log ratio4 ตอบในรูป ln a ต่อ ln b

Solve $2^{3x-1}=5\times3^{1-x}$. Write $x$ as $\dfrac{\ln a}{\ln b}$ with $a$ and $b$ integers. [4]

1. $2^{3x-1} = 5\times3^{1-x}$M1 · take ln, product law, power lawM1 · ใส่ ln ใช้กฎผลคูณ กฎยกกำลัง
2. $(3x-1)\ln2 = \ln5+(1-x)\ln3$ln of each sideใส่ ln ทั้งสองข้าง
3. $3x\ln2-\ln2 = \ln5+\ln3-x\ln3$A1 · expand the bracketsA1 · กระจายวงเล็บ
4. $x(3\ln2+\ln3) = \ln5+\ln3+\ln2$M1 · x terms left, the rest rightM1 · พจน์ x ไปซ้าย ที่เหลือไปขวา
5. $x = \dfrac{\ln5+\ln3+\ln2}{3\ln2+\ln3}$divide by the bracketหารด้วยวงเล็บ
6. $\ln5+\ln3+\ln2 = \ln30$top: product lawตัวเศษ: กฎผลคูณ
7. $3\ln2+\ln3 = \ln24$bottom: 3 ln 2 = ln 8, then product lawตัวส่วน: 3 ln 2 = ln 8 แล้วกฎผลคูณ
8. $x = \dfrac{\ln30}{\ln24}$A1 · one ln on top, one belowA1 · ln ตัวเดียวทั้งบนและล่าง

6. 5 · Exponential inequalities · 9709/31 Jun 2020 · 4 marks5 · อสมการเลขชี้กำลัง · 9709/31 Jun 2020 · 4 คะแนน

Answer: x > ln 6 / ln 45คำตอบ: x > ln 6 / ln 45

5 Exponential inequality5 อสมการเลขชี้กำลัง

Find all $x$ with $2\times3^{1-2x}\lt5^{x}$. Write the set of values in simplified exact form. [4]

1. $2\times3^{1-2x} \lt 5^{x}$M1 · take ln of each sideM1 · ใส่ ln ทั้งสองข้าง
2. $\ln2+\ln3^{1-2x} \lt \ln5^{x}$product law; the sign staysกฎผลคูณ เครื่องหมายอสมการคงเดิม
3. $(1-2x)\ln3 \lt x\ln5-\ln2$A1 · power law, both sidesA1 · กฎยกกำลังทั้งสองข้าง
4. $\ln3-2x\ln3 \lt x\ln5-\ln2$expand the bracketกระจายวงเล็บ
5. $\ln3+\ln2 \lt x\ln5+2x\ln3$M1 · x terms togetherM1 · รวมพจน์ x
6. $\ln6 \lt x(2\ln3+\ln5)$ln 2 + ln 3 = ln 6; factorise xln 2 + ln 3 = ln 6 · ดึง x ออกมา
7. $\ln6 \lt x\ln45$2 ln 3 + ln 5 = ln 9 + ln 5 = ln 452 ln 3 + ln 5 = ln 9 + ln 5 = ln 45
8. $x \gt \dfrac{\ln6}{\ln45}$A1 · ÷ ln 45 (positive): sign staysA1 · หารด้วย ln 45 ที่เป็นบวก เครื่องหมายคงเดิม

7. 6 · Hidden quadratics in logs · 9709/33 Jun 2022 · 5 marks6 · สมการกำลังสองแฝงใน log · 9709/33 Jun 2022 · 5 คะแนน

Answer: 3x² − 8x + 2 = 0; y = 1.19คำตอบ: 3x² − 8x + 2 = 0; y = 1.19

6(a) Show a quadratic in x6(a) แสดงว่าเป็นสมการกำลังสอง

(a) Show that $\log_{3}(2x+1)=1+2\log_{3}(x-1)$ turns into a quadratic equation in $x$. [3]

1. $2\log_{3}(x-1) = \log_{3}(x-1)^{2}$M1 · power lawM1 · กฎยกกำลัง
2. $1 = \log_{3}3$B1 · 1 as a log in base 3B1 · เขียน 1 เป็น log ฐาน 3
3. $\log_{3}(2x+1) = \log_{3}3+\log_{3}(x-1)^{2}$put both into the equationแทนทั้งสองลงในสมการ
4. $\log_{3}(2x+1) = \log_{3}3(x-1)^{2}$addition law: one logกฎการบวก: log ตัวเดียว
5. $2x+1 = 3(x-1)^{2}$remove the logsตัด log ออก
6. $3x^{2}-6x+3 = 2x+1$expand; swap sidesกระจายวงเล็บ สลับข้าง
7. $3x^{2}-8x+2 = 0$A1 · the quadraticA1 · สมการกำลังสอง

6(b) Hence solve for y6(b) ใช้ข้อ (a) หาค่า y

(b) Part (a) gives $3x^{2}-8x+2=0$. Use it to solve $\log_{3}(4y+1)=1+2\log_{3}(2y-1)$. Answer to 2 d.p. [2]

1. $x = 2y$(b) is (a) with x = 2yข้อ (b) คือข้อ (a) ที่ x = 2y
2. $3x^{2}-8x+2 = 0$the quadratic from (a)สมการกำลังสองจากข้อ (a)
3. $x = \dfrac{8\pm\sqrt{40}}{6}$quadratic formulaสูตรสมการกำลังสอง
4. $x = 2.3874,\; 0.2792$two values of xค่า x สองค่า
5. $y = \dfrac{x}{2}$halve each xหาร x ด้วย 2
6. $y = 1.1937,\; 0.1396$M1 · two values of yM1 · ค่า y สองค่า
7. $y \gt \tfrac12$log₃(2y − 1) needs 2y − 1 positivelog₃(2y − 1) ต้องมี 2y − 1 เป็นบวก
8. $y = 1.19$A1 · 0.1396 is below ½: rejectA1 · 0.1396 น้อยกว่า ½ ตัดทิ้ง

8. 7 · Hidden quadratics in eˣ · 9709/33 Jun 2020 · 6 marks7 · สมการกำลังสองแฝงใน eˣ · 9709/33 Jun 2020 · 6 คะแนน

Answer: u² + u − 1 = 0, where u = eˣ; x = −0.481คำตอบ: u² + u − 1 = 0, where u = eˣ; x = −0.481

7(a) Show a hidden quadratic7(a) แสดงว่าเป็นสมการกำลังสองแฝง

(a) Show that $\ln(1+e^{-x})+2x=0$ turns into a quadratic equation in $e^{x}$. [2]

1. $\ln(1+e^{-x})+2x = 0$move 2x to the rightย้าย 2x ไปขวา
2. $\ln(1+e^{-x}) = -2x$B1 · e to the power of each sideB1 · ใช้ e ยกกำลังทั้งสองข้าง
3. $1+e^{-x} = e^{-2x}$multiply by e²ˣ: no negative powersคูณ e²ˣ ให้ไม่เหลือกำลังลบ
4. $e^{2x}+e^{x} = 1$e²ˣ = (eˣ)²e²ˣ = (eˣ)²
5. $u^{2}+u-1 = 0$B1 · let u = eˣB1 · ให้ u = eˣ

7(b) Solve it, reject negative7(b) แก้สมการ ตัดรากที่เป็นลบ

(b) Part (a) gives $u^{2}+u-1=0$ with $u=e^{x}$. Use it to solve $\ln(1+e^{-x})+2x=0$. Answer to 3 d.p. [4]

1. $u = \dfrac{-1\pm\sqrt5}{2}$M1 · quadratic formula for uM1 · สูตรสมการกำลังสองหา u
2. $u = \dfrac{-1+\sqrt5}{2}$A1 · eˣ is positive: keep the + rootA1 · eˣ เป็นบวก เก็บรากบวก
3. $x = \ln u$M1 · u = eˣ, so take lnM1 · u = eˣ จึงใช้ ln
4. $x = \ln\left(\dfrac{-1+\sqrt5}{2}\right)$put u inแทนค่า u
5. $= -0.481$A1 · 3 d.p.A1 · ทศนิยม 3 ตำแหน่ง

9. 8 · Log laws, exact values · WMA12/01 Oct 2023 · 6 marks8 · กฎ log และค่า exact · WMA12/01 Oct 2023 · 6 คะแนน

Answer: a = 3.867; b = √5 / 9คำตอบ: a = 3.867; b = √5 / 9

8(i) Take logs to solve8(i) ใส่ log เพื่อแก้สมการ

Show every stage of your working. A solution that relies only on a calculator will not score.
(i) Solve $3^{a}=70$. Answer to 3 d.p. [2]

1. $3^{a} = 70$M1 · take log of each sideM1 · ใส่ log ทั้งสองข้าง
2. $\log 3^{a} = \log 70$same log base on both sideslog ฐานเดียวกันทั้งสองข้าง
3. $a\log 3 = \log 70$power lawกฎยกกำลัง
4. $a = \dfrac{\log 70}{\log 3}$divideหารออก
5. $= 3.867$A1 · 3 d.p.A1 · ทศนิยม 3 ตำแหน่ง

8(ii) Exact value of b8(ii) หาค่า exact ของ b

Show every stage of your working. A solution that relies only on a calculator will not score.
(ii) Work out the exact value of $b$ that satisfies $4+3\log_{3}b=\log_{3}5b$. [4]

1. $4 = \log_{3}81$B1 · one log law on a termB1 · ใช้กฎ log หนึ่งข้อกับพจน์หนึ่ง
2. $3\log_{3}b = \log_{3}b^{3}$power lawกฎยกกำลัง
3. $\log_{3}81+\log_{3}b^{3} = \log_{3}5b$M1 · put both into the equationM1 · แทนทั้งสองลงในสมการ
4. $\log_{3}81b^{3} = \log_{3}5b$addition law: one logกฎการบวก: log ตัวเดียว
5. $81b^{3} = 5b$dM1 · remove the logsdM1 · ตัด log ออก
6. $b^{2} = \dfrac{5}{81}$we may divide: b is positiveหารได้ เพราะ b เป็นบวก
7. $b = \sqrt{\dfrac{5}{81}}$A1 · log₃ b needs b positive: keep +A1 · log₃ b ต้องมี b เป็นบวก เก็บรากบวก
8. $= \dfrac{\sqrt{5}}{9}$simplify the rootถอดรากให้ง่ายขึ้น

10. 9 · Log equations · WMA12/01 Jun 2023 · 5 marks9 · สมการ log · WMA12/01 Jun 2023 · 5 คะแนน

Answer: x = 3/2คำตอบ: x = 3/2

9 Combine logs, reject a root9 รวม log ตัดรากที่ใช้ไม่ได้

Solve $\log_{2}(16x)+\log_{2}(x+1)=3+\log_{2}(x+6)$ with the laws of logs. [5]

1. $3 = \log_{2}8$B1 · write 3 as a log in base 2B1 · เขียน 3 เป็น log ฐาน 2
2. $\log_{2}16x(x+1) = \log_{2}8(x+6)$M1 · addition law on each sideM1 · ใช้กฎการบวกทั้งสองข้าง
3. $16x(x+1) = 8(x+6)$remove the logsตัด log ออก
4. $16x^{2}+16x = 8x+48$expand both bracketsกระจายทั้งสองวงเล็บ
5. $16x^{2}+8x-48 = 0$collect everything on the leftย้ายทุกพจน์มาซ้าย
6. $2x^{2}+x-6 = 0$A1 · a correct quadraticA1 · สมการกำลังสองที่ถูกต้อง
7. $(2x-3)(x+2) = 0$dM1 · factorisedM1 · แยกตัวประกอบ
8. $x = \tfrac32,\; -2$two rootsสองราก
9. $x = \tfrac32$A1cso · x = −2 gives log₂(−32): rejectA1cso · x = −2 ได้ log₂(−32) ตัดทิ้ง

11. 10 · Log equations · WMA12/01 Jan 2022 · 5 marks10 · สมการ log · WMA12/01 Jan 2022 · 5 คะแนน

Answer: x = −1/9คำตอบ: x = −1/9

10 Power law, then reject10 กฎยกกำลัง แล้วตัดราก

Solve $\log_{3}(32-12x)=2\log_{3}(1-x)+3$ with the laws of logs. [5]

1. $2\log_{3}(1-x) = \log_{3}(1-x)^{2}$B1 · power lawB1 · กฎยกกำลัง
2. $3 = \log_{3}27$B1 · write 3 as a log in base 3B1 · เขียน 3 เป็น log ฐาน 3
3. $\log_{3}(32-12x) = \log_{3}27(1-x)^{2}$M1 · addition law on the rightM1 · ใช้กฎการบวกทางขวา
4. $32-12x = 27(1-x)^{2}$A1 · remove the logsA1 · ตัด log ออก
5. $27x^{2}-54x+27 = 32-12x$expand; swap sidesกระจายวงเล็บ สลับข้าง
6. $27x^{2}-42x-5 = 0$a quadratic, ready to solveสมการกำลังสอง พร้อมแก้
7. $(9x+1)(3x-5) = 0$M1 · factoriseM1 · แยกตัวประกอบ
8. $x = -\tfrac19,\; \tfrac53$two rootsสองราก
9. $x = -\tfrac19$A1 · at 5/3, 1 − x is negative: rejectA1 · ที่ 5/3 ได้ 1 − x เป็นลบ ตัดทิ้ง

12. 11 · Express logs using a · WMA12/01 Oct 2022 · 7 marks11 · log ในรูปของ a · WMA12/01 Oct 2022 · 7 คะแนน

Answer: (a) 2a, (b) ½a − 4; x = (a − 3) / (a + 1)คำตอบ: (a) 2a, (b) ½a − 4; x = (a − 3) / (a + 1)

11(i) Log laws in terms of a11(i) กฎ log ในรูปของ a

Let $a=\log_{2}3$.
(i) Write each of these in its simplest form in terms of $a$: (a) $\log_{2}9$, (b) $\log_{2}\dfrac{\sqrt{3}}{16}$. [3]

1. $\log_{2}9 = \log_{2}3^{2}$B1 · 9 = 3², then power lawB1 · 9 = 3² แล้วกฎยกกำลัง
2. $= 2\log_{2}3$power lawกฎยกกำลัง
3. $= 2a$a = log₂ 3a = log₂ 3
4. $\log_{2}\dfrac{\sqrt{3}}{16} = \log_{2}\sqrt{3}-\log_{2}16$M1 · subtraction lawM1 · กฎการลบ
5. $= \tfrac12\log_{2}3-4$√3 = 3^½ and log₂ 16 = 4√3 = 3^½ และ log₂ 16 = 4
6. $= \tfrac12 a-4$A1 · stop hereA1 · หยุดที่นี่

11(ii) Exponent equation in a11(ii) สมการเลขชี้กำลังในรูปของ a

Let $a=\log_{2}3$.
(ii) Solve $3^{x}\times2^{x+4}=6$. Give $x$ in simplest form in terms of $a$. [4]

1. $3^{x}\times2^{x+4} = 6$take log₂ of each sideใส่ log₂ ทั้งสองข้าง
2. $\log_{2}2^{x+4} = x+4$log₂ 2 = 1, so log₂ 2ⁿ = nlog₂ 2 = 1 จึงได้ log₂ 2ⁿ = n
3. $\log_{2}3^{x}+x+4 = \log_{2}6$M1 · addition lawM1 · กฎการบวก
4. $x\log_{2}3+x+4 = \log_{2}6$B1 · power law, seenB1 · เห็นการใช้กฎยกกำลัง
5. $\log_{2}6 = a+1$log₂ 6 = log₂ 3 + log₂ 2log₂ 6 = log₂ 3 + log₂ 2
6. $xa+x+4 = a+1$log₂ 3 = alog₂ 3 = a
7. $x(a+1) = a-3$dM1 · x terms left, the rest rightdM1 · พจน์ x ไปซ้าย ที่เหลือไปขวา
8. $x = \dfrac{a-3}{a+1}$A1 · x in simplest formA1 · x ในรูปง่ายสุด

13. 12 · Simultaneous equations with logs · WMA12/01 Jun 2022 · 6 marks12 · ระบบสมการที่มี log · WMA12/01 Jun 2022 · 6 คะแนน

Answer: a = 4 + 4√5 and b = −4 + 4√5คำตอบ: a = 4 + 4√5 and b = −4 + 4√5

12 Simultaneous equations with logs12 ระบบสมการที่มี log

Show every stage of your working. Leave each answer as a simplified surd.
The positive constants $a$ and $b$ satisfy $a-b=8$ and $\log_{4}a+\log_{4}b=3$. Find $a$ and $b$. [6]

1. $\log_{4}ab = 3$M1 · addition lawM1 · กฎการบวก
2. $ab = 4^{3}$remove the logตัด log ออก
3. $= 64$4³ = 644³ = 64
4. $a = b+8$from a − b = 8จาก a − b = 8
5. $b(b+8) = 64$dM1 · put a = b + 8 into ab = 64dM1 · แทน a = b + 8 ใน ab = 64
6. $b^{2}+8b = 64$expandกระจายวงเล็บ
7. $b^{2}+8b-64 = 0$A1 · a correct quadraticA1 · สมการกำลังสองที่ถูกต้อง
8. $b = \dfrac{-8\pm\sqrt{320}}{2}$M1 · formula: 64 + 256 = 320M1 · สูตร: 64 + 256 = 320
9. $= -4\pm4\sqrt5$√320 = 8√5√320 = 8√5
10. $b = -4+4\sqrt5$b is positive: reject −4 − 4√5b เป็นบวก ตัด −4 − 4√5 ทิ้ง
11. $a = b+8$M1 · use b to find aM1 · ใช้ b หา a
12. $= 4+4\sqrt5$A1 · both values, simplifiedA1 · ได้ทั้งสองค่า จัดรูปแล้ว

14. 13 · Exponential curves and logs · WMA12/01 Jan 2020 · 7 marks13 · กราฟเลขชี้กำลังและ log · WMA12/01 Jan 2020 · 7 คะแนน

Answer: y-intercept (0, 3), no x-intercept; x = log₁₀ 2 / log₁₀ 24คำตอบ: y-intercept (0, 3), no x-intercept; x = log₁₀ 2 / log₁₀ 24

13(a) Sketch an exponential curve13(a) ร่างกราฟเอกซ์โพเนนเชียล

(a) Sketch the curve $y=3\times4^{x}$ and give the coordinates of every point where it meets an axis. [2]

1. $3\times4^{x} \gt 0$B1 · rising, above the x-axisB1 · เพิ่มขึ้น อยู่เหนือแกน x
2. $y = 3\times4^{0}$B1 · x = 0 for the y-axisB1 · x = 0 หาจุดตัดแกน y
3. $= 3$the point (0, 3)จุด (0, 3)

13(b) Show the x coordinate13(b) แสดงค่า x ของจุด P

(b) The curve $y=6^{1-x}$ meets $y=3\times4^{x}$ at the point $P$. Show that the $x$ coordinate of $P$ is $\dfrac{\log_{10}2}{\log_{10}24}$. [5]

1. $6^{1-x} = 3\times4^{x}$M1 · same height at P: equateM1 · P สูงเท่ากัน: จับเท่ากัน
2. $(1-x)\log 6 = \log\left(3\times4^{x}\right)$take log; power law on the leftใส่ log ใช้กฎยกกำลังทางซ้าย
3. $(1-x)\log 6 = \log 3+x\log 4$dM1 · addition law, power lawdM1 · กฎการบวก กฎยกกำลัง
4. $\log 6-x\log 6 = \log 3+x\log 4$A1 · expand the bracketA1 · กระจายวงเล็บ
5. $x\log 4+x\log 6 = \log 6-\log 3$ddM1 · x terms left, the rest rightddM1 · พจน์ x ไปซ้าย ที่เหลือไปขวา
6. $x = \dfrac{\log 6-\log 3}{\log 4+\log 6}$factorise x, then divideดึง x ออกมาแล้วหาร
7. $x = \dfrac{\log_{10}(6\div3)}{\log_{10}(4\times6)}$A1* · subtraction and addition lawsA1* · กฎการลบและกฎการบวก
8. $= \dfrac{\log_{10}2}{\log_{10}24}$the given answerได้ตามที่โจทย์ให้

15. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

1. Solve $3\times2^{x+1}=5^{x}$. Answer to 2 d.p.แก้สมการ $3\times2^{x+1}=5^{x}$ · ตอบทศนิยม 2 ตำแหน่ง
   Answer:เฉลย: 1.96Take ln: $\ln3+(x+1)\ln2=x\ln5$, so $x=\dfrac{\ln6}{\ln2.5}=1.96$.ใส่ ln: $\ln3+(x+1)\ln2=x\ln5$ ได้ $x=\dfrac{\ln6}{\ln2.5}=1.96$

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี