Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Exponentials & logarithmsเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: Pure 2 & 3 (9709) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

A power worked out, and two powers combinedคิดค่ากำลังออกมา กับรวมกำลังสองตัว

$\log_3 81=4$. And panel 2's addition becomes $\log ab=\log a+\log b$.$\log_3 81=4$ และการบวกในช่อง 2 กลายเป็น $\log ab=\log a+\log b$

  1. Evaluate $3^{4}$.หาค่า $3^{4}$
    Answer:เฉลย: $3^{4}=81$Read the index line backwards: $3^{4}=81$   $\log_{3}81=4$   $\text{“the power of }3\text{ that gives }81\text{ is }4\text{”}$ You have been writing logs all along, without the symbol.อ่านบรรทัดกำลัง ย้อนกลับ: $3^{4}=81$   $\log_{3}81=4$   $\text{“the power of }3\text{ that gives }81\text{ is }4\text{”}$ จริงๆ เขียน log มาตลอด แค่ยังไม่มีสัญลักษณ์
  2. Write $2^{5}\times2^{3}$ as a single power of $2$.เขียน $2^{5}\times2^{3}$ ให้เป็นกำลังของ $2$ ตัวเดียว
    Answer:เฉลย: $2^{5}\times2^{3}=2^{8}$Multiply numbers, add indices: $2^{5}\times 2^{3}=2^{8}$   $\log(xy)=\log x+\log y$ Same sentence in ten minutes, with the letters moved.คูณเลข บวกกำลัง: $2^{5}\times 2^{3}=2^{8}$   $\log(xy)=\log x+\log y$ อีกสิบนาที ประโยคเดิม แค่ย้ายตัวอักษร

2. Read it backwardsอ่านย้อนกลับ

$2^{3}=8$ IS $\log_{2}8=3$ — same statement, opposite direction.$2^{3}=8$ ก็คือ $\log_{2}8=3$ — ประโยคเดียวกัน อ่านคนละทิศ

  1. You just found $3^{4}=81$ in the warm-up. Which log statement says exactly the same thing?เมื่อกี้ตอนวอร์มอัพได้ $3^{4}=81$ ไปแล้ว · ประโยคลอการิทึมข้อไหนพูดเรื่องเดียวกันเป๊ะ?
    Answer:เฉลย: $\log_{3}81=4$The index becomes the answer: $3^{4}=81$   $\log_{3}81=4$   $\text{base}\to\text{base},\quad \text{big number}\to\text{inside},\quad \text{index}\to\text{answer}$กำลัง กลายเป็นคำตอบ: $3^{4}=81$   $\log_{3}81=4$   $\text{base}\to\text{base},\quad \text{big number}\to\text{inside},\quad \text{index}\to\text{answer}$
  2. Find $\log_{2}32$.หาค่า $\log_{2}32$
    Answer:เฉลย: $\log_{2}32=5$  (since $2^{5}=32$)Every log asks “what power?”: $2^{5}=32$   $\log_{2}32=5$log ทุกตัว ถามว่า “กำลังเท่าไร”: $2^{5}=32$   $\log_{2}32=5$
  3. Now the other direction: $\log_{x}49=2$.  Find $x$.คราวนี้กลับทิศ: $\log_{x}49=2$  หา $x$
    Answer:เฉลย: $x=7$  (because $7^{2}=49$)Rewrite the log as an index: $\log_{x}49=2$   $x^{2}=49$   $x=7$   $\text{a base must be positive}\ \Rightarrow\ -7\ \text{rejected}$ This one rewrite handles most of this level and many exam questions.เปลี่ยน log เป็นรูปเลขยกกำลัง: $\log_{x}49=2$   $x^{2}=49$   $x=7$   $\text{a base must be positive}\ \Rightarrow\ -7\ \text{rejected}$ แค่เปลี่ยนรูปนี้ ใช้ได้เกือบทั้งเลเวล และข้อสอบอีกเยอะ

3. The three lawsกฎสามข้อ

Product, quotient, power — the index laws you already own, read backwards.ผลคูณ ผลหาร กำลัง — กฎเลขชี้กำลังที่มีอยู่แล้ว อ่านย้อนกลับ

  1. Label the pieces.  $\log_{2}12$ — which of these is equal to it?ระบุชิ้นส่วนก่อน  $\log_{2}12$ — ข้อไหนเท่ากับมัน?
    Answer:เฉลย: $\log_{2}12=\log_{2}(4\times3)=\log_{2}4+\log_{2}3$Spot the product inside: $\log_{a}(xy)=\log_{a}x+\log_{a}y$   $12=4\times 3\ \Rightarrow\ x=4,\ y=3$   $\log_{2}12=\log_{2}4+\log_{2}3$ The law only sees a product — finding it is the skill.มองหาผลคูณที่ซ่อนอยู่: $\log_{a}(xy)=\log_{a}x+\log_{a}y$   $12=4\times 3\ \Rightarrow\ x=4,\ y=3$   $\log_{2}12=\log_{2}4+\log_{2}3$ กฎมองเห็นแค่ผลคูณ — หาให้เจอคือทักษะ
  2. Substitute, do not evaluate.  $\log_{a}\dfrac{x^{5}}{y}=\,?\,\log_{a}x-\log_{a}y$.  What number goes in the gap?แทนค่า ยังไม่ต้องคิดเลข  $\log_{a}\dfrac{x^{5}}{y}=\,?\,\log_{a}x-\log_{a}y$  ช่องว่างคือเลขอะไร?
    Answer:เฉลย: $\log_{a}\dfrac{x^{5}}{y}=5\log_{a}x-\log_{a}y$Quotient law, then power law: $\log_{a}\dfrac{x^{5}}{y}=\log_{a}x^{5}-\log_{a}y$   $=5\log_{a}x-\log_{a}y$ CAIE gives a mark for the substitution, before any arithmetic.กฎผลหารก่อน แล้วค่อยกฎกำลัง: $\log_{a}\dfrac{x^{5}}{y}=\log_{a}x^{5}-\log_{a}y$   $=5\log_{a}x-\log_{a}y$ CAIE ให้คะแนนตอนแทนค่าเข้ากฎ ก่อนคิดเลขด้วยซ้ำ
  3. Now evaluate.  $2\log_{5}3+\log_{5}2$ can be written as a single logarithm $\log_{5}N$.  Find $N$.คราวนี้คิดเลขจริง  $2\log_{5}3+\log_{5}2$ เขียนเป็นลอการิทึมก้อนเดียว $\log_{5}N$ ได้  หา $N$
    Answer:เฉลย: $N=18$  ($2\log_{5}3+\log_{5}2=\log_{5}9+\log_{5}2=\log_{5}18$)Coefficients first, then combine: $2\log_{5}3=\log_{5}3^{2}=\log_{5}9$   $\log_{5}9+\log_{5}2=\log_{5}18$   $N=18$ “Write as a single logarithm” is on almost every P2 paper.เคลียร์สัมประสิทธิ์ก่อน แล้วค่อยรวม: $2\log_{5}3=\log_{5}3^{2}=\log_{5}9$   $\log_{5}9+\log_{5}2=\log_{5}18$   $N=18$ “Write as a single logarithm” มีเกือบทุกชุด P2

4. Solving a to the x = bแก้สมการเลขชี้กำลัง

Take logs of both sides — the power law brings $x$ down to ground level.ใส่ log ทั้งสองข้าง — กฎกำลังจะดึง $x$ ลงมาอยู่พื้น

$2^{x}=10$ — no whole number works$2^{x}=10$ — ไม่มีจำนวนเต็มไหนใช้ได้

Solve $3^{x}=20$แก้ $3^{x}=20$

  1. $3^{x}=20$$x$ is stuck up in the power. No amount of dividing gets it down.$x$ ติดอยู่บนเลขชี้กำลัง · หารยังไงก็ไม่ลงมา
  2. $\ln(3^{x})=\ln20$Take logs of both sides. Any base works; $\ln$ is on the calculator.ใส่ log ทั้งสองข้าง · ฐานอะไรก็ได้ แต่ $\ln$ มีปุ่มบนเครื่องคิดเลข
  3. $x\ln3=\ln20$$\ln3$ is just a number — divide both sides by it.$\ln3$ เป็นแค่ตัวเลข หารทั้งสองข้างได้เลย
  4. $x=\frac{\ln20}{\ln3}$Now it is ordinary algebra. Divide.ตอนนี้เป็นพีชคณิตธรรมดาแล้ว · หารไป
  5. $x=2.73$Check the size: $3^{2}=9$, $3^{3}=27$, and $20$ sits between them ✓เช็กขนาด: $3^{2}=9$, $3^{3}=27$ และ $20$ อยู่ตรงกลางพอดี ✓
  1. Take $\log$ of both sides of $2^{x}=10$. Which line is correct?ใส่ $\log$ ทั้งสองข้างของ $2^{x}=10$ · บรรทัดไหนถูก?
    Answer:เฉลย: $\log(2^{x})=\log10 \Rightarrow x\log2=\log10$The power law brings $x$ down: $\log(a^{x})=x\log a$   $\log(2^{x})=\log 10$   $x\log 2=\log 10$ Writing $(\log a)^{x}$ loses the method mark and everything after it.กฎกำลัง ดึง $x$ ลงมา: $\log(a^{x})=x\log a$   $\log(2^{x})=\log 10$   $x\log 2=\log 10$ เขียน $(\log a)^{x}$ เสียคะแนนวิธี และคะแนนหลังจากนั้นด้วย
  2. Finish it: solve $2^{x}=10$, giving $x$ correct to 3 significant figures.ทำต่อให้จบ: แก้ $2^{x}=10$ ตอบ $x$ ให้ถูกต้องถึงเลขนัยสำคัญ 3 ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $x=\dfrac{\log10}{\log2}=3.32$  (3 s.f.)Divide, do not subtract: $x=\dfrac{\log 10}{\log 2}=3.3219\ldots=3.32$   $3<3.32<4\ \checkmark$   $2^{3.32}\approx 9.99\ \checkmark$ The two marks go on subtracting instead of dividing, or dividing upside down.หาร ไม่ใช่ลบ: $x=\dfrac{\log 10}{\log 2}=3.3219\ldots=3.32$   $3<3.32<4\ \checkmark$   $2^{3.32}\approx 9.99\ \checkmark$ สองคะแนนหายที่ ลบแทนหาร หรือหารกลับหัว
  3. A colony of bacteria is modelled by $N=200\times3^{t}$, where $t$ is in hours. Find the value of $t$ when $N=5000$, correct to 3 significant figures.  (3 marks)อาณานิคมแบคทีเรียใช้แบบจำลอง $N=200\times3^{t}$ โดย $t$ มีหน่วยเป็นชั่วโมง · หาค่า $t$ เมื่อ $N=5000$ ให้ถูกต้องถึงเลขนัยสำคัญ 3 ตำแหน่ง  (3 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $3^{t}=25 \Rightarrow t=\dfrac{\log25}{\log3}=2.93$  (3 s.f.)3 marks: $\text{M1}\quad \div 200:\ 3^{t}=25$   $\text{M1}\quad \log:\ t\log 3=\log 25$   $\text{A1}\quad t=\dfrac{\log 25}{\log 3}=2.93$ Get the power on its own first, or a $\log 200$ is left to remove.3 คะแนน: $\text{M1}\quad \div 200:\ 3^{t}=25$   $\text{M1}\quad \log:\ t\log 3=\log 25$   $\text{A1}\quad t=\dfrac{\log 25}{\log 3}=2.93$ แยกตัวยกกำลังให้โดดก่อน ไม่งั้นเหลือ $\log 200$ ให้กำจัด

5. e and lne กับ ln

A special base with a short name — and not one law changes.ฐานพิเศษที่มีชื่อเรียกสั้นๆ — และไม่มีกฎข้อไหนเปลี่ยนเลย

  1. Solve $e^{2x}=5$.แก้สมการ $e^{2x}=5$
    Answer:เฉลย: $e^{2x}=5 \Rightarrow 2x=\ln5 \Rightarrow x=\dfrac{\ln5}{2}$$\ln$ removes base $e$ at once: $e^{2x}=5$   $2x=\ln 5$   $x=\dfrac{\ln 5}{2}$   $\text{no }\dfrac{\log b}{\log a}\text{ needed}$$\ln$ ลบฐาน $e$ ได้ทันที: $e^{2x}=5$   $2x=\ln 5$   $x=\dfrac{\ln 5}{2}$   $\text{no }\dfrac{\log b}{\log a}\text{ needed}$
  2. Solve $\ln(x-4)=3$, giving your answer in exact form.แก้ $\ln(x-4)=3$ ตอบในรูป exact
    Answer:เฉลย: $x=e^{3}+4$$\ln(x-4)=3 \Rightarrow x-4=e^{3} \Rightarrow x=e^{3}+4$. It is the Level 1 rewrite $\log_{a}b=c \Leftrightarrow a^{c}=b$ with $a=e$ — the notation changed, the move did not.$\ln(x-4)=3 \Rightarrow x-4=e^{3} \Rightarrow x=e^{3}+4$ · มันคือท่าเขียนกลับจากขั้นที่ 1 คือ $\log_{a}b=c \Leftrightarrow a^{c}=b$ โดยให้ $a=e$ — สัญลักษณ์เปลี่ยน แต่ท่าไม่เปลี่ยน
  3. The laws are unchanged — prove it: $3\ln2+\ln5$ can be written as $\ln N$.  Find $N$.กฎไม่เปลี่ยน — พิสูจน์ให้ดู: $3\ln2+\ln5$ เขียนเป็น $\ln N$ ได้  หา $N$
    Answer:เฉลย: $N=40$  ($3\ln2+\ln5=\ln8+\ln5=\ln40$)Same laws, new base: $3\ln 2=\ln 2^{3}=\ln 8$   $\ln 8+\ln 5=\ln 40$   $N=40$ There is no separate set of “$\ln$ laws” to learn.กฎเดิม แค่เปลี่ยนฐาน: $3\ln 2=\ln 2^{3}=\ln 8$   $\ln 8+\ln 5=\ln 40$   $N=40$ ไม่มีชุด “กฎของ $\ln$” แยกต่างหากให้ท่อง

6. Reduction to linear formจัดให้เป็นรูปเส้นตรง

Take logs of a curved law and a straight line appears — read $n$ off the gradient, $k$ off the intercept.ใส่ log ให้กฎที่เป็นเส้นโค้ง แล้วเส้นตรงจะโผล่มา — อ่าน $n$ จากความชัน อ่าน $k$ จากจุดตัดแกน

Curved data, straightened by logsข้อมูลโค้งๆ ถูกดัดให้ตรงด้วย log

  1. Label the pieces.  For $y=kx^{n}$ we have $\log y=n\log x+\log k$, and $\log y$ is plotted against $\log x$. What is the gradient of that line?ระบุชิ้นส่วนก่อน  สำหรับ $y=kx^{n}$ เราได้ $\log y=n\log x+\log k$ และพล็อต $\log y$ กับ $\log x$ · ความชันของเส้นนั้นคืออะไร?
    Answer:เฉลย: gradient $=n$, intercept $=\log k$ความชัน $=n$ · จุดตัดแกน $=\log k$Label the four pairs first: $\log y=n\log x+\log k$   $Y=mX+c$   $Y=\log y,\quad X=\log x,\quad m=n,\quad c=\log k$จับคู่ทั้งสี่ให้ครบก่อน: $\log y=n\log x+\log k$   $Y=mX+c$   $Y=\log y,\quad X=\log x,\quad m=n,\quad c=\log k$
  2. Experimental data for $y=kx^{n}$ is plotted as $\log_{10}y$ against $\log_{10}x$, giving a straight line of gradient $2$ and vertical-axis intercept $0.5$.  Find $k$, correct to 3 significant figures.ข้อมูลจากการทดลองของ $y=kx^{n}$ ถูกพล็อตเป็น $\log_{10}y$ กับ $\log_{10}x$ ได้เส้นตรงที่มีความชัน $2$ และตัดแกนตั้งที่ $0.5$  หา $k$ ให้ถูกต้องถึงเลขนัยสำคัญ 3 ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $\log_{10}k=0.5 \Rightarrow k=10^{0.5}=3.16$  (3 s.f.)$n$ is free, $k$ is not: $m=2\ \Rightarrow\ n=2$   $c=0.5\ \Rightarrow\ \log_{10}k=0.5$   $k=10^{0.5}=3.16$   $y=3.16x^{2}$ That extra step to undo the log is where the mark is.$n$ อ่านจากกราฟได้ · $k$ ไม่ได้: $m=2\ \Rightarrow\ n=2$   $c=0.5\ \Rightarrow\ \log_{10}k=0.5$   $k=10^{0.5}=3.16$   $y=3.16x^{2}$ สเต็ปถอด log อันนั้นแหละ คือที่มีคะแนน
  3. A different model: $y=kb^{x}$, so $\log y=(\log b)x+\log k$. To get a straight line, what must be plotted?อีกแบบจำลองหนึ่ง: $y=kb^{x}$ ดังนั้น $\log y=(\log b)x+\log k$ · ถ้าจะให้ได้เส้นตรง ต้องพล็อตอะไร?
    Answer:เฉลย: $\log y$ against $x$ — gradient $\log b$, intercept $\log k$$\log y$ กับ $x$ — ความชัน $\log b$ · จุดตัดแกน $\log k$Find where the $x$ sits: $y=kx^{n}\ (x\text{ in the base})\ \Rightarrow\ \log y\ \text{against}\ \log x$   $y=kb^{x}\ (x\text{ in the index})\ \Rightarrow\ \log y\ \text{against}\ x$ดูก่อนว่า $x$ อยู่ตรงไหน: $y=kx^{n}\ (x\text{ in the base})\ \Rightarrow\ \log y\ \text{against}\ \log x$   $y=kb^{x}\ (x\text{ in the index})\ \Rightarrow\ \log y\ \text{against}\ x$
  4. Exam: The population of a town is modelled by $P=kb^{t}$. Plotting $\log_{10}P$ against $t$ gives a straight line with gradient $0.25$ and intercept $0.6$. Find $b$, correct to 3 significant figures.  (4 marks)ข้อสอบ: ประชากรของเมืองหนึ่งใช้แบบจำลอง $P=kb^{t}$ · พล็อต $\log_{10}P$ กับ $t$ ได้เส้นตรงความชัน $0.25$ และตัดแกนที่ $0.6$ · หา $b$ ให้ถูกต้องถึงเลขนัยสำคัญ 3 ตำแหน่ง  (4 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\log_{10}b=0.25 \Rightarrow b=10^{0.25}=1.78$  (3 s.f.)4 marks: $\text{M1}\quad \log_{10}P=(\log_{10}b)\,t+\log_{10}k$   $\text{A1}\quad \log_{10}b=0.25$   $\text{M1}\quad b=10^{0.25}$   $\text{A1}\quad b=1.78$ Both constants sit inside a log — undo it for the one asked for.4 คะแนน: $\text{M1}\quad \log_{10}P=(\log_{10}b)\,t+\log_{10}k$   $\text{A1}\quad \log_{10}b=0.25$   $\text{M1}\quad b=10^{0.25}$   $\text{A1}\quad b=1.78$ ค่าคงที่อยู่ใน log ทั้งคู่ — ถอดเฉพาะตัวที่โจทย์ถาม

7. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Logs on both sides, one equation, two roots — and one of them has to go.log อยู่ทั้งสองข้าง สมการเดียว ได้สองราก — และต้องตัดทิ้งหนึ่งตัว

“Solve $\log_{2}(x+3)+\log_{2}(x-1)=5$”“Solve $\log_{2}(x+3)+\log_{2}(x-1)=5$”

  1. Logs on both sides.  Solve $\log_{5}(3x+1)=1+\log_{5}(x-1)$.  (4 marks)log อยู่ทั้งสองข้าง  แก้ $\log_{5}(3x+1)=1+\log_{5}(x-1)$  (4 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\log_{5}\dfrac{3x+1}{x-1}=1 \Rightarrow \dfrac{3x+1}{x-1}=5 \Rightarrow x=3$4 marks: $\text{M1}\quad \log_{5}(3x+1)-\log_{5}(x-1)=1$   $\text{M1}\quad \log_{5}\dfrac{3x+1}{x-1}=1$   $\text{M1}\quad \dfrac{3x+1}{x-1}=5$   $\text{A1}\quad x=3$   $\text{check}:\ \log_{5}10=\log_{5}(5\times 2)=1+\log_{5}2\ \checkmark$ A plain number beside logs can always become a log: $1=\log_{5}5$.4 คะแนน: $\text{M1}\quad \log_{5}(3x+1)-\log_{5}(x-1)=1$   $\text{M1}\quad \log_{5}\dfrac{3x+1}{x-1}=1$   $\text{M1}\quad \dfrac{3x+1}{x-1}=5$   $\text{A1}\quad x=3$   $\text{check}:\ \log_{5}10=\log_{5}(5\times 2)=1+\log_{5}2\ \checkmark$ เลขโดดๆ ข้าง log เปลี่ยนเป็น log ได้เสมอ: $1=\log_{5}5$
  2. Before solving anything: for $\log_{2}(x-1)$ to have a value at all, which values of $x$ are allowed?ก่อนจะแก้อะไร: $\log_{2}(x-1)$ จะมีค่าได้ ต้องใช้ $x$ ค่าไหนบ้าง?
    Answer:เฉลย: $x\gt1$, because the inside must satisfy $x-1\gt0$$x\gt1$ เพราะข้างในต้องสอดคล้อง $x-1\gt0$Write the condition before solving: $2^{c}>0\ \text{for every }c$   $\Rightarrow\ \text{the inside of a log is}>0$   $x-1>0\ \Rightarrow\ x>1$ Then rejecting a bad root is a decision you already made.เขียนเงื่อนไขก่อน แล้วค่อยแก้: $2^{c}>0\ \text{for every }c$   $\Rightarrow\ \text{the inside of a log is}>0$   $x-1>0\ \Rightarrow\ x>1$ พอถึงตอนตัดรากทิ้ง มันคือสิ่งที่ตัดสินไว้แล้ว
  3. Exam: Solve $\log_{2}(x+3)+\log_{2}(x-1)=5$.  (5 marks)ข้อสอบ: แก้ $\log_{2}(x+3)+\log_{2}(x-1)=5$  (5 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $(x+3)(x-1)=32 \Rightarrow x^{2}+2x-35=0 \Rightarrow x=5$  ($x=-7$ rejected)5 marks: $\text{M1}\quad \log_{2}\big((x+3)(x-1)\big)=5$   $\text{M1}\quad (x+3)(x-1)=2^{5}=32$   $\text{A1}\quad x^{2}+2x-35=0$   $\text{A1}\quad x=5,\ x=-7$   $\text{A1}\quad x=-7\ \text{rejected since}\ x>1$ Most students lose that last mark by writing down both roots.5 คะแนน: $\text{M1}\quad \log_{2}\big((x+3)(x-1)\big)=5$   $\text{M1}\quad (x+3)(x-1)=2^{5}=32$   $\text{A1}\quad x^{2}+2x-35=0$   $\text{A1}\quad x=5,\ x=-7$   $\text{A1}\quad x=-7\ \text{rejected since}\ x>1$ ส่วนใหญ่เสียคะแนนสุดท้าย เพราะตอบทั้งสองราก
  4. Exam: The number of insects in a colony is modelled by $N=ka^{t}$, where $t$ is the time in weeks and $k$ and $a$ are constants. When $t=2$, $N=18$; when $t=5$, $N=486$. Find the value of $t$ when $N=1000$, correct to 3 significant figures.  (6 marks)ข้อสอบ: จำนวนแมลงในอาณานิคมหนึ่งใช้โมเดล $N=ka^{t}$ · $t$ คือเวลาเป็นสัปดาห์ · $k$ กับ $a$ เป็นค่าคงที่ · เมื่อ $t=2$ ได้ $N=18$ · เมื่อ $t=5$ ได้ $N=486$ · หาค่า $t$ ตอนที่ $N=1000$ ตอบ 3 significant figures  (6 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $a=3$, $k=2$, so $3^{t}=500$ and $t=\dfrac{\log500}{\log3}=5.66$6 marks: $\text{M1}\quad 18=ka^{2},\qquad 486=ka^{5}$   $\text{M1}\quad \div:\ a^{3}=27$   $\text{A1}\quad a=3,\ \ 18=9k\ \Rightarrow\ k=2$   $\text{M1}\quad 2\times 3^{t}=1000\ \Rightarrow\ 3^{t}=500$   $\text{M1}\quad t=\dfrac{\log 500}{\log 3}$   $\text{A1}\quad t=5.66$ Dividing the two equations kills $k$ and leaves $a$ alone.6 คะแนน: $\text{M1}\quad 18=ka^{2},\qquad 486=ka^{5}$   $\text{M1}\quad \div:\ a^{3}=27$   $\text{A1}\quad a=3,\ \ 18=9k\ \Rightarrow\ k=2$   $\text{M1}\quad 2\times 3^{t}=1000\ \Rightarrow\ 3^{t}=500$   $\text{M1}\quad t=\dfrac{\log 500}{\log 3}$   $\text{A1}\quad t=5.66$ หารสองสมการกัน กำจัด $k$ เหลือ $a$ ตัวเดียว
  5. Solve each equation, giving your answers to 3 significant figures.แก้สมการทั้งสองข้อ ตอบ 3 เลขนัยสำคัญ
    Answer:เฉลย: (i) $x=200^{1/5}=2.89$  (ii) $x=\dfrac{\log200}{\log5}=3.29$Look at where the $x$ sits: $x^{5}=200:\ \ x\ \text{is the base}\ \Rightarrow\ x=200^{1/5}=2.89$   $5^{x}=200:\ \ x\ \text{is the exponent}\ \Rightarrow\ x\log 5=\log 200$   $x=\dfrac{\log 200}{\log 5}=3.29$ Unknown upstairs, take logs; unknown downstairs, take a root.ดูว่า $x$ อยู่ตรงไหน: $x^{5}=200:\ \ x\ \text{is the base}\ \Rightarrow\ x=200^{1/5}=2.89$   $5^{x}=200:\ \ x\ \text{is the exponent}\ \Rightarrow\ x\log 5=\log 200$   $x=\dfrac{\log 200}{\log 5}=3.29$ ไม่รู้ค่าอยู่ข้างบน ใช้ log · อยู่ข้างล่าง ถอดราก

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. Solve $5^{x}=40$, giving your answer correct to 3 significant figures.Identical to the worked example in level 2, numbers changed. If taking logs of both sides landed, this is one clean minute — confidence first.เหมือนตัวอย่างในขั้นที่ 2 เป๊ะ เปลี่ยนแค่ตัวเลข · ถ้าท่าใส่ log ทั้งสองข้างแน่นแล้ว ข้อนี้จบในหนึ่งนาที — เอาความมั่นใจก่อน
  2. Solve $7^{2x-1}=30$, giving your answer correct to 3 significant figures.Same method, but the index is now a whole expression. The log gives you $2x-1$, not $x$ — two more lines of ordinary algebra before you can stop.วิธีเดิม แต่เลขชี้กำลังกลายเป็นนิพจน์ทั้งก้อน · log ให้ค่า $2x-1$ มา ไม่ใช่ $x$ — ต้องทำพีชคณิตธรรมดาต่ออีกสองบรรทัดถึงจะจบ
  3. Solve $e^{3x}=12$, giving your answer in exact form.Base $e$ instead of a number, and 'exact' instead of 3 s.f. Anyone who memorised the keystrokes rather than the move reaches for the calculator here and loses the mark.เปลี่ยนฐานเป็น $e$ แทนตัวเลข และเปลี่ยนจาก 3 ตัวเลขนัยสำคัญเป็น exact · ใครท่องมาเป็นลำดับการกดปุ่มแทนที่จะจำท่า จะคว้าเครื่องคิดเลขตรงนี้แล้วเสียคะแนน
  4. Solve $\log_{2}x+\log_{2}(x-2)=3$.The product law, the rewrite, a quadratic and a rejection — four moves you already own, joined into one chain. Writing 'reject $x=-2$' is worth a mark on its own.กฎผลคูณ การเขียนกลับ สมการกำลังสอง และการตัดราก — สี่ท่าที่มีอยู่แล้ว ต่อกันเป็นสายเดียว · การเขียนว่า 'ตัด $x=-2$ ทิ้ง' มีค่าหนึ่งคะแนนในตัวมันเอง
  5. Values of $x$ and $y$ satisfy $y=kx^{n}$. When $\log_{10}y$ is plotted against $\log_{10}x$ the result is a straight line of gradient $-1.5$ passing through $(0,\,0.7)$. Find $n$ and $k$, giving $k$ to 3 significant figures.The graph is given and the law is the question. A negative gradient also checks that you read $n$ off with its sign, and $k$ still needs the log undone.ให้กราฟมา แล้วถามหาตัวกฎ · ความชันติดลบยังเช็คด้วยว่าอ่านค่า $n$ พร้อมเครื่องหมายมาครบไหม · ส่วน $k$ ก็ยังต้องแก้ log กลับเหมือนเดิม
  6. (a) Express $\log_{2}(x+3)-\log_{2}x$ as a single logarithm. (1 mark)  (b) Hence solve $\log_{2}(x+3)-\log_{2}x=2$. (3 marks)This is full exam wording, with the marks split between the parts.
    'Hence' is an instruction: use part (a) instead of starting again.
    Check $x=1$ in the logs. Both $x+3$ and $x$ are positive, so this root is accepted.    นี่คือภาษาข้อสอบเต็มรูปแบบ พร้อมแบ่งคะแนนตามข้อย่อย
    คำว่า Hence คือคำสั่ง: ให้ใช้ผลจากข้อ (a) ต่อ ไม่ต้องเริ่มใหม่
    ตรวจ $x=1$ ในลอการิทึม · ทั้ง $x+3$ และ $x$ เป็นบวก รากนี้จึงใช้ได้
  7. A student writes: $\log_{3}(x+6)+\log_{3}x=3$, so $x^{2}+6x=27$, giving $x=3$ and $x=-9$, and offers both. Find the error and give the correct answer.This is the same mistake the whole lesson is about.
    The algebra was correct. The mark was lost after the algebra was finished, at the checking step.    นี่คือความผิดพลาดแบบเดียวกับที่ทั้งบทนี้พูดถึง
    พีชคณิตถูกต้องหมด · คะแนนหายหลังจากพีชคณิตจบแล้ว ตรงขั้นตอนตรวจคำตอบ

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี