Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Sequence models · 9MA0โมเดลลำดับ · 9MA0

A-Level · Edexcel 9MA0 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. How each solution is writtenวิธีเขียนทุกข้อ

Know · formula · substitute · work it outจดสิ่งที่รู้ · สูตร · แทนค่า · คิด

2. 1 · Geometric profit model · 9MA0/01 Oct 2021 · 6 marks1 · โมเดลกำไรเรขาคณิต · 9MA0/01 Oct 2021 · 6 คะแนน

Answer: 23 328 (shown); Year 17; GBP 915 000คำตอบ: 23 328 (shown); Year 17; GBP 915 000

1(a)(b) Year 3, then logs1(a)(b) ปีที่ 3 แล้วใช้ log

A company made a profit of GBP 20 000 in Year 1, its first year of trading. A model says the profit rises by 8% each year, so the yearly profits form a geometric sequence. Show every stage of your working: an answer that relies only on a calculator is not accepted.
(a)(b) Show that the profit in Year 3 is GBP 23 328 (1 mark). Then find the first year in which the yearly profit is more than GBP 65 000 (3 marks). [4]

  1. $u_n=ar^{n-1}$GP: × 1.08 each yearGP: คูณ 1.08 ทุกปี
  2. $u_3=20\,000\times1.08^{2}$B1* · a = 20 000, r = 1.08, n = 3B1* · a = 20 000, r = 1.08, n = 3
  3. $u_3=23\,328$answer (a) · shownคำตอบ (a) · แสดงได้แล้ว
  4. $20\,000\times1.08^{n-1}\gt65\,000$M1 · (b) profit above 65 000M1 · (b) กำไรเกิน 65 000
  5. $1.08^{n-1}\gt3.25$take ln of both sidestake ln ทั้งสองข้าง
  6. $(n-1)\ln1.08\gt\ln3.25$M1 · the power comes downM1 · เลขชี้กำลังลงมาคูณ
  7. $n-1\gt15.31\ldots$ln 1.08 is positive: the sign staysln 1.08 เป็นบวก เครื่องหมายไม่กลับ
  8. $n\gt16.31\ldots$n is a whole number of yearsn ต้องเป็นจำนวนเต็ม
  9. $n=17$first whole year above 16.3ปีเต็มปีแรกที่เกิน 16.3
  10. $\text{Year }17$A1 · answer (b) · u₁₆ ≈ 63 400, u₁₇ ≈ 68 500A1 · คำตอบ (b) · u₁₆ ≈ 63 400, u₁₇ ≈ 68 500

1(c) Total profit, 20 years1(c) กำไรรวม 20 ปี

A company made a profit of GBP 20 000 in Year 1, its first year of trading. A model says the profit rises by 8% each year, so the yearly profits form a geometric sequence. Show every stage of your working: an answer that relies only on a calculator is not accepted.
(c) Find the total profit for the first 20 years of trading. Give it to the nearest GBP 1000. [2]

  1. $S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$GP sum · r is above 1ผลรวม GP · แบบ r มากกว่า 1
  2. $S_{20}=\dfrac{20\,000(1.08^{20}-1)}{1.08-1}$M1 · a = 20 000, r = 1.08, n = 20M1 · a = 20 000, r = 1.08, n = 20
  3. $S_{20}=\dfrac{20\,000(3.66095\ldots)}{0.08}$work out 1.08²⁰ − 1คิด 1.08²⁰ − 1
  4. $S_{20}=915\,239.28\ldots$divideหาร
  5. $S_{20}\approx915\,000$A1 · answer · nearest 1000A1 · คำตอบ · ปัดเป็นหลักพัน

3. 2 · Arithmetic loan repayment · 9MA0/02 Jun 2024 · 5 marks2 · ผ่อนคืนเงินกู้เลขคณิต · 9MA0/02 Jun 2024 · 5 คะแนน

Answer: 290 (shown); N² − 81N + 1620 = 0 (shown); N = 36คำตอบ: 290 (shown); N² − 81N + 1620 = 0 (shown); N = 36

2(a)(b) Month 12, then the sum2(a)(b) เดือนที่ 12 แล้วผลรวม

Jamie borrows GBP 8100 with no interest and pays it back in monthly payments. The payments are 400, 390, 380, … pounds in months 1, 2, 3, …, so they form an arithmetic sequence.
(a)(b) Show that the payment in month 12 is GBP 290 (1 mark). The loan is cleared exactly when the $N$th payment is made. Show that $N^{2}-81N+1620=0$ (2 marks). [3]

  1. $u_n=a+(n-1)d$AP: each payment is £10 lessAP: จ่ายลดลงงวดละ £10
  2. $u_{12}=400+11(-10)$B1* · a = 400, d = −10, n = 12B1* · a = 400, d = −10, n = 12
  3. $u_{12}=290$answer (a) · shownคำตอบ (a) · แสดงได้แล้ว
  4. $S_N=\tfrac N2\left[2a+(N-1)d\right]$(b) AP sum(b) สูตรผลรวม AP
  5. $8100=\tfrac N2\left[800-10(N-1)\right]$M1 · N payments add to the loanM1 · จ่ายครบ N งวด = เงินกู้
  6. $8100=\tfrac N2(810-10N)$tidy the bracketจัดในวงเล็บ
  7. $8100=405N-5N^{2}$expand the bracketกระจายวงเล็บ
  8. $5N^{2}-405N+8100=0$all on one sideย้ายมาข้างเดียว
  9. $N^{2}-81N+1620=0$A1* · shownA1* · แสดงได้แล้ว

2(c) Choose the real root2(c) เลือกรากที่ใช้ได้

Jamie borrows GBP 8100 with no interest and pays it back in monthly payments. The payments are 400, 390, 380, … pounds in months 1, 2, 3, …, so they form an arithmetic sequence.
(c) Here $N$ is the number of the payment that clears the loan exactly. Using $N^{2}-81N+1620=0$, find the value of $N$. [2]

  1. $36\times45=1620$two numbers with product 1620หาสองจำนวนที่คูณกันได้ 1620
  2. $36+45=81$and sum 81และบวกกันได้ 81
  3. $(N{-}36)(N{-}45)=0$M1 · factorise the quadraticM1 · แยกตัวประกอบ
  4. $N=36\ \text{or}\ N=45$two roots · check the storyได้สองราก · เช็กกับเรื่องจริง
  5. $u_{41}=400+40(-10)$which payment is £0?งวดไหนจ่าย £0?
  6. $u_{41}=0$after month 41 the payments are negativeหลังเดือนที่ 41 จ่ายติดลบ
  7. $N=36$A1 · 45 would need negative paymentsA1 · 45 ต้องจ่ายติดลบ ใช้ไม่ได้

4. 3 · Geometric race times · 9MA0/01 Jun 2019 · 7 marks3 · เวลาวิ่งเรขาคณิต · 9MA0/01 Jun 2019 · 7 คะแนน

Answer: 36 min 55 s (shown); u_U = 6 × 1.05^(U − 4) (shown); 173 min 3 sคำตอบ: 36 min 55 s (shown); u_U = 6 × 1.05^(U − 4) (shown); 173 min 3 s

3(a)(b) First 6 km, then km U3(a)(b) 6 กม.แรก แล้ว กม.ที่ U

A runner takes part in a 20 km race. She runs each of the first 4 km at a steady 6 minutes per km, and then she slows down. To estimate her finish time, a model says that each later km takes 5% longer than the km before it.
(a)(b) Using the model, show that her time for the first 6 km is 36 minutes 55 seconds (2 marks). Then show that her time in minutes for the $U$th km, where $5\le U\le20$, is $6\times1.05^{U-4}$ (1 mark). [3]

  1. $u_5=6\times1.05$5% longer: × 1.05นานขึ้น 5% → คูณ 1.05
  2. $u_5=6.3$minutes for km 5นาทีของ กม.ที่ 5
  3. $u_6=6.3\times1.05$× 1.05 againคูณ 1.05 อีกครั้ง
  4. $u_6=6.615$minutes for km 6นาทีของ กม.ที่ 6
  5. $T=4\times6+6.3+6.615$M1 · first 6 km: 4 steady + 2 slowerM1 · 6 กม.แรก: 4 กม.เท่ากัน + 2 กม.ช้าลง
  6. $T=36.915\ \text{min}$total time in minutesเวลารวมเป็นนาที
  7. $0.915\times60=54.9\ \text{s}$part of a minute → secondsทศนิยมของนาที → วินาที
  8. $T=36\ \text{min}\ 55\ \text{s}$A1* · answer (a) · shownA1* · คำตอบ (a) · แสดงได้แล้ว
  9. $u_U=6\times1.05^{U-4}$B1 · (b) after km 4: U − 4 lots of × 1.05B1 · (b) หลัง กม.ที่ 4 คูณ 1.05 ไป U − 4 ครั้ง

3(c) Whole race time3(c) เวลาทั้งการแข่งขัน

A runner takes part in a 20 km race. She runs each of the first 4 km at a steady 6 minutes per km, and then she slows down. To estimate her finish time, a model says that each later km takes 5% longer than the km before it.
(c) Estimate her total time to finish the race. Give it in minutes and seconds. [4]

  1. $T=24+(u_5+u_6+\dots+u_{20})$M1 · steady part + GP partM1 · ส่วนคงที่ + ส่วน GP
  2. $n=20-4$km 5 to km 20กม.ที่ 5 ถึง 20
  3. $n=16$terms in the GPจำนวนพจน์ของ GP
  4. $S_n=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}$GP sum · a = 6.3, r = 1.05ผลรวม GP · a = 6.3, r = 1.05
  5. $S_{16}=\dfrac{6.3(1.05^{16}-1)}{0.05}$M1 · substituteM1 · แทนค่า
  6. $S_{16}=149.04\ldots$minutes for km 5 to 20นาทีของ กม.ที่ 5 ถึง 20
  7. $T=24+149.04\ldots$A1 · the totalA1 · เวลารวม
  8. $T=173.04\ldots\ \text{min}$in minutesเป็นนาที
  9. $0.042\ldots\times60\approx3\ \text{s}$part of a minute → nearest secondทศนิยมของนาที → วินาทีที่ใกล้สุด
  10. $T=173\ \text{min}\ 3\ \text{s}$A1 · answerA1 · คำตอบ

5. 4 · Arithmetic savings model · WMA12/01 Jun 2021 · 7 marks4 · โมเดลการออมเลขคณิต · WMA12/01 Jun 2021 · 7 คะแนน

Answer: Arithmetic (common difference 0.25); u_n = 5 + 0.25(n − 1), or 4.75 + 0.25n; 37 weeksคำตอบ: Arithmetic (common difference 0.25); u_n = 5 + 0.25(n − 1), or 4.75 + 0.25n; 37 weeks

4(a) Choose series, write the term4(a) เลือกอนุกรม เขียนพจน์

Adina saves GBP 5 in week 1, GBP 5.25 in week 2 and GBP 5.50 in week 3, and she carries on in this way until her total savings can pay for a new computer. She will model her savings with either an arithmetic series or a geometric series.
(a) Decide whether an arithmetic or a geometric series should be used, and give a reason. Then write an expression in $n$ for the amount she saves in week $n$, in pounds. [3]

  1. $5.25-5=0.25$B1 · week 2 minus week 1B1 · สัปดาห์ 2 ลบสัปดาห์ 1
  2. $5.50-5.25=0.25$same gap each week: arithmeticผลต่างเท่ากันทุกสัปดาห์ จึงเป็นเลขคณิต
  3. $u_n=a+(n-1)d$M1 · AP nth termM1 · พจน์ที่ n ของ AP
  4. $u_n=5+0.25(n-1)$A1 · a = 5, d = 0.25A1 · a = 5, d = 0.25
  5. $u_n=4.75+0.25n$answer · tidiedคำตอบ · จัดรูปแล้ว

4(b) Weeks to reach 3504(b) กี่สัปดาห์ถึง 350

Adina saves GBP 5 in week 1, GBP 5.25 in week 2 and GBP 5.50 in week 3, and she carries on in this way until her total savings can pay for a new computer. She will model her savings with either an arithmetic series or a geometric series.
(b) Adina keeps saving in the way you found in (a). The computer costs GBP 350. Find the number of whole weeks she needs until her total savings reach the price. [4]

  1. $S_n=\tfrac n2\left[2a+(n-1)d\right]$AP sum formulaสูตรผลรวม AP
  2. $S_n=\tfrac n2\left[10+0.25(n-1)\right]$M1 · a = 5, d = 0.25M1 · a = 5, d = 0.25
  3. $S_n=\tfrac n2(9.75+0.25n)$tidy the bracketจัดในวงเล็บ
  4. $\tfrac n2(9.75+0.25n)\ge350$A1 · savings reach 350A1 · เงินออมถึง 350
  5. $0.25n^{2}+9.75n\ge700$expandกระจาย
  6. $n^{2}+39n\ge2800$clear the decimalsทำให้ไม่มีทศนิยม
  7. $n^{2}+39n-2800\ge0$a quadraticสมการกำลังสอง
  8. $n^{2}+39n-2800=0$M1 · boundary: solve itM1 · หาค่าขอบ: แก้สมการ
  9. $n=36.89\ldots$positive root (the other is −75.9)รากบวก (อีกรากคือ −75.9)
  10. $n\ge36.89\ldots$the quadratic opens upwardsพาราโบลาหงายขึ้น
  11. $n=37$A1 · whole weeks · 36 give £337.50, 37 give £351.50A1 · เป็นสัปดาห์เต็ม · 36 ได้ £337.50, 37 ได้ £351.50

6. 5 · Geometric growth model · WMA12/01 Jan 2020 · 8 marks5 · โมเดลการเติบโตเรขาคณิต · WMA12/01 Jan 2020 · 8 คะแนน

Answer: p = 4.26; N = 22คำตอบ: p = 4.26; N = 22

5(a) Growth rate p5(a) อัตราเติบโต p

A colony of bees is being studied. At the start of the study the colony had 30 000 bees, and three years later it has 34 000. A model says the number of bees goes up by $p\%$ each year, so the yearly totals, counted at each year end, form a geometric sequence. Show every stage of your working: an answer that relies only on a calculator is not accepted.
(a) Using the model, find the value of $p$. Answer to 2 d.p. [3]

  1. $30\,000r^{3}=34\,000$M1 · 3 years of growthM1 · โต 3 ปี
  2. $r^{3}=\tfrac{17}{15}$divide: 34 ÷ 30 = 17 ÷ 15หาร: 34 ÷ 30 = 17 ÷ 15
  3. $r=\sqrt[3]{\tfrac{17}{15}}$the cube rootถอดรากที่สาม
  4. $r=1.0426$A1 · to 4 d.p.A1 · ทศนิยม 4 ตำแหน่ง
  5. $p=(r-1)\times100$growth as a percentageอัตราเติบโตเป็นเปอร์เซ็นต์
  6. $p=4.26$A1ft · answer · 2 d.p.A1ft · คำตอบ · ทศนิยม 2 ตำแหน่ง

5(b) Smallest N, using logs5(b) N น้อยสุด ด้วย log

A colony of bees is being studied. At the start of the study the colony had 30 000 bees, and three years later it has 34 000. A model says the number of bees goes up by $p\%$ each year, so the yearly totals, counted at each year end, form a geometric sequence. Show every stage of your working: an answer that relies only on a calculator is not accepted.
(b) Use $p=4.26$ from (a). The model says that after $N$ years the colony has more than 75 000 bees. Find the smallest whole number $N$, showing every step. [5]

  1. $r=1.0426$from (a): × 1.0426 each yearจาก (a): คูณ 1.0426 ทุกปี
  2. $30\,000r^{N}\gt75\,000$M1 · more than 75 000 beesM1 · ผึ้งเกิน 75 000
  3. $r^{N}\gt2.5$A1 · 75 ÷ 30 = 2.5A1 · 75 ÷ 30 = 2.5
  4. $N\log r\gt\log2.5$M1 · the power comes downM1 · เลขชี้กำลังลงมาคูณ
  5. $N\gt\dfrac{\log2.5}{\log r}$A1 · r is above 1: log r is positiveA1 · r มากกว่า 1 จึง log r เป็นบวก
  6. $N\gt21.96\ldots$N is a whole number of yearsN ต้องเป็นจำนวนเต็ม
  7. $N=22$B1 · smallest whole numberB1 · จำนวนเต็มน้อยสุด

7. 6 · Two growth models · WMA12/01 Jan 2024 · 9 marks6 · สองโมเดลการเติบโต · WMA12/01 Jan 2024 · 9 คะแนน

Answer: 1310 tonnes; 380 tonnes; 7860 tonnesคำตอบ: 1310 tonnes; 380 tonnes; 7860 tonnes

6(a) Model A, year 46(a) โมเดล A ปีที่ 4

A farm grows wheat. It produced 300 tonnes in year 1, and it is predicted to produce 4000 tonnes in year 12. Model A says the yearly amount goes up by the same number of tonnes each year.
(a) Use model A to find the amount of wheat in year 4, rounded to the nearest 10 tonnes. [3]

  1. $u_n=a+(n-1)d$model A: add the same each yearโมเดล A: บวกเท่าเดิมทุกปี
  2. $300+11d=4000$M1 · year 12 is 4000M1 · ปีที่ 12 คือ 4000
  3. $11d=3700$find dหา d
  4. $d=\tfrac{3700}{11}$keep it as a fractionเก็บเป็นเศษส่วน
  5. $u_4=300+3d$M1 · year 4 is 3 steps onM1 · ปีที่ 4 คือเดินไป 3 ก้าว
  6. $u_4=300+3\left(\tfrac{3700}{11}\right)$substitute dแทน d
  7. $u_4=1309.09\ldots$tonnesตัน
  8. $u_4\approx1310\ \text{tonnes}$A1 · nearest 10 tA1 · ปัดเป็นสิบตัน

6(b) Model B, year 26(b) โมเดล B ปีที่ 2

A farm grows wheat. It produced 300 tonnes in year 1, and it is predicted to produce 4000 tonnes in year 12. Model A says the yearly amount goes up by the same number of tonnes each year.
(b) Model B says instead that the yearly amount goes up by the same percentage each year. Use model B to find the amount of wheat in year 2, rounded to the nearest 10 tonnes. [3]

  1. $u_n=ar^{n-1}$model B: multiply by the same each yearโมเดล B: คูณเท่าเดิมทุกปี
  2. $300r^{11}=4000$M1 · year 12 is 4000M1 · ปีที่ 12 คือ 4000
  3. $r^{11}=\tfrac{40}{3}$divideหาร
  4. $r=\left(\tfrac{40}{3}\right)^{\frac{1}{11}}$the 11th rootถอดรากที่ 11
  5. $r=1.2655\ldots$do not round rห้ามปัด r
  6. $u_2=300\times1.2655\ldots$M1 · year 2 is one step onM1 · ปีที่ 2 คือเดินไป 1 ก้าว
  7. $u_2=379.65\ldots$tonnesตัน
  8. $u_2\approx380\ \text{tonnes}$A1 · nearest 10 tA1 · ปัดเป็นสิบตัน

6(c) Difference of totals6(c) ผลต่างของผลรวม

A farm grows wheat. It produced 300 tonnes in year 1, and it is predicted to produce 4000 tonnes in year 12. Model A says the yearly amount goes up by the same number of tonnes each year.
(c) Model A adds the same number of tonnes each year, and model B raises the yearly amount by the same percentage each year. Find the difference between the total that model A predicts and the total that model B predicts for years 1 to 12 inclusive, rounded to the nearest 10 tonnes. [3]

  1. $S_A=\tfrac{12}{2}(300+4000)$M1 · AP total: first + lastM1 · ผลรวม AP: พจน์แรก + พจน์สุดท้าย
  2. $S_A=25\,800$tonnes, model Aตัน โมเดล A
  3. $S_B=\dfrac{300(r^{12}-1)}{r-1}$GP total, r unroundedผลรวม GP, r ไม่ปัด
  4. $S_B=17\,935.20\ldots$tonnes, model Bตัน โมเดล B
  5. $S_A-S_B=25\,800-17\,935.20\ldots$dM1 · the differencedM1 · ผลต่าง
  6. $=7\,864.79\ldots$subtractลบ
  7. $S_A-S_B\approx7860\ \text{tonnes}$A1 · nearest 10 t
    Keep r unrounded. With r = 1.266 the difference comes out as 7810.    A1 · ปัดเป็นสิบตัน
    ห้ามปัด r ถ้าใช้ r = 1.266 ผลต่างจะได้ 7810

8. 7 · Two savers, one quadratic · WMA12/01 Oct 2020 · 11 marks7 · ผู้ออมสองคน สมการกำลังสอง · WMA12/01 Oct 2020 · 11 คะแนน

Answer: GBP 295; GBP 14 850; n² − 121n + 3640 = 0 (shown); n = 56 or n = 65; n = 65: month 65 would need a saving of −40คำตอบ: GBP 295; GBP 14 850; n² − 121n + 3640 = 0 (shown); n = 56 or n = 65; n = 65: month 65 would need a saving of −40

7(a) Ben, month 407(a) Ben เดือนที่ 40

(a) Ben saves GBP 100 in month 1, and each month after that he saves GBP 5 more than the month before, so his savings form an arithmetic sequence. Find how much he saves in month 40. [2]

  1. $u_n=a+(n-1)d$AP: a = 100, d = 5AP: a = 100, d = 5
  2. $u_{40}=100+39(5)$M1 · month 40 is 39 steps onM1 · เดือนที่ 40 คือเดินไป 39 ก้าว
  3. $u_{40}=295$A1 · GBP 295A1 · 295 ปอนด์

7(b) Ben, 60-month total7(b) Ben รวม 60 เดือน

(b) Ben saves GBP 100 in month 1 and GBP 5 more each month than the month before. Find the total he saves over the 60 months. [3]

  1. $S_n=\tfrac n2\left[2a+(n-1)d\right]$AP sum formulaสูตรผลรวม AP
  2. $S_{60}=\tfrac{60}{2}\left[2(100)+59(5)\right]$M1 · n = 60M1 · n = 60
  3. $=30(200+295)$A1 · the correct sumA1 · นิพจน์ที่ถูกต้อง
  4. $=14\,850$A1 · GBP 14 850A1 · 14 850 ปอนด์

7(c) Lina, show the quadratic7(c) Lina แสดงสมการกำลังสอง

(c) Lina also saves for a house deposit. She saves GBP 600 in month 1, and each month after that she saves GBP 10 less than the month before, so her savings form an arithmetic sequence. After $n$ months she has saved exactly GBP 18 200. Set up an equation in $n$. Show that it simplifies to $n^{2}-121n+3640=0$. [3]

  1. $S_n=\tfrac n2\left[2a+(n-1)d\right]$Lina: a = 600, d = −10Lina: a = 600, d = −10
  2. $B=1200-10(n-1)$call the bracket $B$ · $2a=1200$ตั้งชื่อวงเล็บว่า $B$ · $2a=1200$
  3. $B=1210-10n$expand the bracketกระจายวงเล็บ
  4. $18\,200=\tfrac n2B$M1 · her total is 18 200M1 · ยอดรวมของ Lina = 18 200
  5. $36\,400=nB$A1 · clear the fractionA1 · กำจัดเศษส่วน
  6. $36\,400=n(1210-10n)$put $B$ backใส่ $B$ กลับ
  7. $36\,400=1210n-10n^{2}$expandกระจายวงเล็บ
  8. $3640=121n-n^{2}$divide by 10หารด้วย 10
  9. $n^{2}-121n+3640=0$A1* · shown (swap sides)A1* · แสดงได้แล้ว (สลับข้าง)

7(d) Solve the quadratic7(d) แก้สมการกำลังสอง

(d) Solve $n^{2}-121n+3640=0$. [2]

  1. $56\times65=3640$two numbers with product 3640หาสองจำนวนที่คูณกันได้ 3640
  2. $56+65=121$and sum 121และบวกกันได้ 121
  3. $(n{-}56)(n{-}65)=0$M1 · factoriseM1 · แยกตัวประกอบ
  4. $n=56\ \text{or}\ n=65$A1 · both valuesA1 · ได้ทั้งสองค่า

7(e) Reject one solution7(e) ตัดคำตอบหนึ่งทิ้ง

(e) Lina saves GBP 600 in month 1 and GBP 10 less each month than the month before. Solving $n^{2}-121n+3640=0$ gave $n=56$ and $n=65$ for the number of months after which she has saved exactly GBP 18 200. Say which of these two values of $n$ is not sensible, and give a reason. [1]

  1. $u_{65}=600+64(-10)$what Lina saves in month 65Lina ออมเดือนที่ 65 เท่าไร
  2. $u_{65}=-40$a negative savingออมติดลบ
  3. $n=65$B1 · not sensible: she would save −40
    She had £18 200 already after 56 months, and from month 62 her monthly saving is below £0.    B1 · ใช้ไม่ได้: ต้องออมติดลบ −40
    ครบ £18 200 ตั้งแต่เดือนที่ 56 แล้ว และตั้งแต่เดือนที่ 62 ยอดออมต่อเดือนติดลบ

9. 8 · Geometric depth model · 9709/11 Nov 2022 · 7 marks8 · โมเดลความลึกเรขาคณิต · 9709/11 Nov 2022 · 7 คะแนน

Answer: u₈ = 10.49 and u₉ = 8.39, so impact 9 is the first below 10 mm; 247 mm; 250 mmคำตอบ: u₈ = 10.49 and u₉ = 8.39, so impact 9 is the first below 10 mm; 247 mm; 250 mm

8(a) Verify the 9th impact8(a) ตรวจสอบการตอกครั้งที่ 9

A post-rammer is a tool that hammers fence posts into the ground. On each impact the post sinks a number of millimetres, and these distances form a geometric progression (GP). The first three impacts sink the post by 50 mm, 40 mm and 32 mm.
(a) Show by calculation that impact 9 is the first one that sinks the post by less than 10 mm. [3]

  1. $r=\tfrac{40}{50}$B1 · the common ratioB1 · อัตราส่วนร่วม
  2. $r=0.8$GP: × 0.8 each impactGP: คูณ 0.8 ทุกครั้งที่ตอก
  3. $u_8=50(0.8)^{7}$M1 · the 8th termM1 · พจน์ที่ 8
  4. $u_8=10.49$mmมม.
  5. $u_9=50(0.8)^{8}$the 9th termพจน์ที่ 9
  6. $u_9=8.39$mmมม.
  7. $u_8\gt10\gt u_9$A1 · impact 9 is the first below 10
    Give both terms and name the 9th impact. Saying one term is below 10 is not enough.    A1 · ครั้งที่ 9 คือครั้งแรกที่น้อยกว่า 10
    ต้องมีสองพจน์ และพูดถึงการตอกครั้งที่ 9 บอกแค่พจน์เดียวน้อยกว่า 10 ไม่พอ

8(b) Total after 20 impacts8(b) ความลึกรวมหลังตอก 20 ครั้ง

A post-rammer is a tool that hammers fence posts into the ground. On each impact the post sinks a number of millimetres, and these distances form a geometric progression (GP). The first three impacts sink the post by 50 mm, 40 mm and 32 mm.
(b) Use $r=0.8$ from (a). Find the total depth of the post in the ground after 20 impacts, to the nearest millimetre. [2]

  1. $S_{20}=\dfrac{50(1-0.8^{20})}{1-0.8}$M1 · sum of 20 termsM1 · ผลรวม 20 พจน์
  2. $S_{20}=247.1\ldots$mmมม.
  3. $S_{20}\approx247\ \text{mm}$A1 · nearest mmA1 · ปัดเป็นมิลลิเมตร

8(c) Greatest possible depth8(c) ความลึกมากที่สุดที่เป็นไปได้

A post-rammer is a tool that hammers fence posts into the ground. On each impact the post sinks a number of millimetres, and these distances form a geometric progression (GP). The first three impacts sink the post by 50 mm, 40 mm and 32 mm.
(c) Use $r=0.8$ from (a). In theory, what is the greatest total depth the post could reach? [2]

  1. $S_{\infty}=\dfrac{50}{1-0.8}$M1 · sum to infinity · r is between −1 and 1
    The depth gets close to its limit but never reaches it. Putting a big n into the sum of n terms scores M0.    M1 · ผลรวมอนันต์ · r อยู่ระหว่าง −1 กับ 1
    ความลึกเข้าใกล้ค่าสูงสุดแต่ไม่ถึงจริง ถ้าแทน n ค่ามากๆ ในสูตรผลรวม n พจน์ จะได้ M0
  2. $S_{\infty}=250\ \text{mm}$A1 · the greatest depthA1 · ความลึกมากที่สุด

10. Your turnลองทำเอง

Same method, new numbers. Write what you know first.วิธีเดิม ตัวเลขใหม่ · จดสิ่งที่รู้ก่อน

  1. A shop makes a profit of GBP 5000 in Year 1. Its yearly profit then rises by 10% each year. In which year does the profit first go above GBP 12 000? Type the year number.ร้านได้กำไร 5000 ปอนด์ในปีที่ 1 แล้วกำไรเพิ่มปีละ 10% · กำไรต่อปีเกิน 12 000 ปอนด์ครั้งแรกในปีที่เท่าไร · พิมพ์เลขปี
    Answer:เฉลย: 115000 × 1.1^(n − 1) is above 12 000 when n − 1 is above 9.18, so n = 11.5000 × 1.1^(n − 1) เกิน 12 000 เมื่อ n − 1 เกิน 9.18 จึงได้ n = 11

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี