Sequences & seriesลำดับและอนุกรม

A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: Pure 1 (9709/1) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

Two patterns: one adds each time, one multipliesสองแพตเทิร์น: อันหนึ่งบวกทุกก้าว อันหนึ่งคูณ

Telling those two apart is the first mark in every question today.แยกสองอันนี้ให้ออก คือคะแนนแรกของทุกข้อวันนี้

1. Write the next term of $4,\;7,\;10,\;13,\;\dots$เขียนพจน์ถัดไปของ $4,\;7,\;10,\;13,\;\dots$
   Answer:เฉลย: $16$Same jump every step: $7-4=3$   $10-7=3$   $13+3=16$ก้าวเท่ากันทุกครั้ง: $7-4=3$   $10-7=3$   $13+3=16$
2. In $2,\;6,\;18,\;54,\;\dots$ what single operation takes every term to the next one?ใน $2,\;6,\;18,\;54,\;\dots$ ใช้การกระทำอะไรเพียงอย่างเดียว ที่พาทุกพจน์ไปพจน์ถัดไป?
   Answer:เฉลย: multiply by $3$คูณด้วย $3$Multiplied, not added: $2\times 3=6$   $6\times 3=18$   $18\times 3=54$ Adding the same number, or multiplying by the same number — the whole topic is those two.คูณ ไม่ใช่บวก: $2\times 3=6$   $6\times 3=18$   $18\times 3=54$ บวกเลขเดิมทุกครั้ง หรือคูณเลขเดิมทุกครั้ง · ทั้งบทมีแค่สองแบบนี้

2. Two ways to growโตได้สองแบบ

Add the same thing, or multiply by the same thing — decide from the numbers alone.บวกด้วยของเดิมทุกครั้ง หรือคูณด้วยของเดิมทุกครั้ง — ตัดสินจากตัวเลขล้วนๆ

Two patterns, and one test eachสองแพตเทิร์น มีวิธีทดสอบแบบละหนึ่ง

1. Which one of these is arithmetic?ข้อไหนเป็นลำดับเลขคณิต?
   Answer:เฉลย: $5,\;9,\;13,\;17,\;\dots$Constant difference: $9-5=4$   $13-9=4$   $17-13=4$   $\Rightarrow\ \text{arithmetic},\ d=4$ผลต่างคงที่: $9-5=4$   $13-9=4$   $17-13=4$   $\Rightarrow\ \text{arithmetic},\ d=4$
2. $100,\;50,\;25,\;12.5,\;\dots$ is geometric. What number is each term multiplied by?$100,\;50,\;25,\;12.5,\;\dots$ เป็นลำดับเรขาคณิต · แต่ละพจน์ถูกคูณด้วยเลขอะไร?
   Answer:เฉลย: $\tfrac{1}{2}$  (or $0.5$ — same number)Halving is $\times\tfrac12$: $50\div 100=\tfrac12$   $25\div 50=\tfrac12$   $r=\tfrac12$หารสอง คือคูณ $\tfrac12$: $50\div 100=\tfrac12$   $25\div 50=\tfrac12$   $r=\tfrac12$

3. The nth term of an APพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิต

$u_{n}=a+(n-1)d$ — and the $(n-1)$ is the whole battle.$u_{n}=a+(n-1)d$ — และเจ้า $(n-1)$ คือสมรภูมิทั้งหมด

1. The AP $5,\;8,\;11,\;14,\;\dots$ — which letter is which?ลำดับเลขคณิต $5,\;8,\;11,\;14,\;\dots$ — ตัวไหนคือตัวไหน?
   Answer:เฉลย: $a=5$ and $d=3$$a=5$ และ $d=3$Label before you calculate: $a=\text{first term}=5$   $d=8-5=3$ติดป้ายก่อน ค่อยคิดเลข: $a=\text{first term}=5$   $d=8-5=3$
2. Same AP ($a=5$, $d=3$). Which line substitutes correctly for the 12th term? Nothing is worked out yet — just the numbers written in.ลำดับเดิม ($a=5$, $d=3$) · บรรทัดไหนแทนค่าหาพจน์ที่ 12 ได้ถูกต้อง? ยังไม่ต้องคิดเลข — แค่ใส่ตัวเลขลงไป
   Answer:เฉลย: $u_{12}=5+(12-1)\times3$Numbers in, nothing worked out: $u_n=a+(n-1)d$   $u_{12}=5+(12-1)\times 3$ This line on its own earns the method mark, even if the arithmetic after it fails.ใส่ตัวเลข ยังไม่ต้องคิด: $u_n=a+(n-1)d$   $u_{12}=5+(12-1)\times 3$ บรรทัดนี้บรรทัดเดียวได้คะแนนวิธีทำ ต่อให้คิดเลขต่อผิด
3. Now finish it: $u_{12}=5+11\times3=\;?$ทีนี้ปิดจ๊อบ: $u_{12}=5+11\times3=\;?$
   Answer:เฉลย: $u_{12}=38$Twelve terms in one line: $u_{12}=5+11\times 3=38$   $\text{check: }5,8,11,\dots,35,38$สิบสองพจน์ ในบรรทัดเดียว: $u_{12}=5+11\times 3=38$   $\text{check: }5,8,11,\dots,35,38$
4. A student writes $u_{20}=a+20d$. Which term does that expression actually give?นักเรียนคนหนึ่งเขียน $u_{20}=a+20d$ · นิพจน์นั้นให้พจน์ที่เท่าไรกันแน่?
   Answer:เฉลย: the 21st termพจน์ที่ 21Jump count is one behind: $a+20d=a+(21-1)d$   $\Rightarrow\ u_{21}$ Writing $nd$ for $(n-1)d$ is the most common lost accuracy mark in this topic.จำนวนก้าว น้อยกว่าเลขพจน์อยู่หนึ่ง: $a+20d=a+(21-1)d$   $\Rightarrow\ u_{21}$ เขียน $nd$ แทน $(n-1)d$ คือจุดที่เสียคะแนนบ่อยที่สุดในบทนี้
5. Your turn with fresh numbers. An AP has first term $7$ and common difference $5$. Which term is equal to $152$?ตาน้องบ้าง เปลี่ยนตัวเลขใหม่ · ลำดับเลขคณิตมีพจน์แรก $7$ และผลต่างร่วม $5$ · พจน์ที่เท่าไรมีค่าเป็น $152$?
   Answer:เฉลย: $n=30$  (check: $7+29\times5=152$)Steps first, then add one: $7+(n-1)5=152$   $(n-1)5=145$   $n-1=29$   $n=30$หาจำนวนก้าวก่อน แล้วบวกหนึ่ง: $7+(n-1)5=152$   $(n-1)5=145$   $n-1=29$   $n=30$

4. Adding an AP upบวกลำดับเลขคณิตทั้งชุด

$S_{n}=\tfrac{n}{2}\big[2a+(n-1)d\big]$, or $\tfrac{n}{2}(a+l)$ when the last term is handed to you.$S_{n}=\tfrac{n}{2}\big[2a+(n-1)d\big]$ หรือ $\tfrac{n}{2}(a+l)$ ถ้าโจทย์ยื่นพจน์สุดท้ายมาให้

Pair the ends and the adding becomes easyจับหัวกับท้ายมาเข้าคู่กัน แล้วการบวกจะง่ายขึ้น

1. The AP $5,\;8,\;11,\;\dots$  Which line substitutes correctly for $S_{20}$?ลำดับเลขคณิต $5,\;8,\;11,\;\dots$  บรรทัดไหนแทนค่าหา $S_{20}$ ได้ถูกต้อง?
   Answer:เฉลย: $S_{20}=\dfrac{20}{2}\big[2(5)+19(3)\big]$The bracket is first $+$ last: $2a+(n-1)d=a+\big[a+(n-1)d\big]$   $S_{20}=\tfrac{20}{2}\big[2(5)+(20-1)(3)\big]$ในวงเล็บคือ พจน์แรก $+$ พจน์สุดท้าย: $2a+(n-1)d=a+\big[a+(n-1)d\big]$   $S_{20}=\tfrac{20}{2}\big[2(5)+(20-1)(3)\big]$
2. Finish it: $S_{20}=10\big[10+57\big]=\;?$ปิดจ๊อบ: $S_{20}=10\big[10+57\big]=\;?$
   Answer:เฉลย: $S_{20}=670$Check against a middle term: $S_{20}=10\big[10+57\big]=670$   $l=5+19\times 3=62$   $\tfrac{5+62}{2}\times 20=670$เช็คด้วยพจน์กลาง: $S_{20}=10\big[10+57\big]=670$   $l=5+19\times 3=62$   $\tfrac{5+62}{2}\times 20=670$
3. The last term is given this time. Find $4+8+12+\dots+100$.คราวนี้โจทย์ให้พจน์สุดท้ายมา · หาค่า $4+8+12+\dots+100$
   Answer:เฉลย: $\dfrac{25}{2}(4+100)=25\times52=1300$Find $n$ first, then sum: $4+(n-1)4=100$   $n=25$   $S=\tfrac{25}{2}(4+100)=1300$ Last term given, use $\tfrac{n}{2}(a+l)$; not given, use $\tfrac{n}{2}\big[2a+(n-1)d\big]$.หา $n$ ก่อน แล้วค่อยรวม: $4+(n-1)4=100$   $n=25$   $S=\tfrac{25}{2}(4+100)=1300$ โจทย์ให้พจน์สุดท้าย ใช้ $\tfrac{n}{2}(a+l)$ · ไม่ให้ ใช้ $\tfrac{n}{2}\big[2a+(n-1)d\big]$

5. Geometric: multiply, don't addเรขาคณิต: คูณ ไม่ใช่บวก

$u_{n}=ar^{\,n-1}$ and $S_{n}=\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}$ — plus the $\pm$ that appears when $r$ comes out squared.$u_{n}=ar^{\,n-1}$ และ $S_{n}=\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}$ — พร้อมเจ้า $\pm$ ที่โผล่มาตอน $r$ ติดกำลังสอง

Multiply the whole line by $r$ and subtractคูณทั้งบรรทัดด้วย $r$ แล้วจับลบกัน

$a=5$, $r=3$ — sum the first 6 terms$a=5$, $r=3$ — บวก 6 พจน์แรก

1. $S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}$$r>1$, so the $\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ version is tidier — but either works.$r>1$ ใช้รูป $\frac{a(r^{n}-1)}{r-1}$ จะสวยกว่า แต่ใช้รูปไหนก็ได้
2. $S_{6}=\frac{5(1-3^{6})}{1-3}$$n=6$ goes in the power, not anywhere else.$n=6$ ไปอยู่บนเลขชี้กำลัง ไม่ใช่ที่อื่น
3. $S_{6}=\frac{5(1-729)}{-2}$$3^{6}=729$.$3^{6}=729$
4. $S_{6}=\frac{-3640}{-2}=1820$Two negatives make a positive. Check by listing: $5+15+45+135+405+1215=1820$ ✓ลบเจอลบเป็นบวก · ตรวจด้วยการไล่: $5+15+45+135+405+1215=1820$ ✓

1. For $3,\;12,\;48,\;192,\;\dots$ — what are $a$ and $r$?จาก $3,\;12,\;48,\;192,\;\dots$ — $a$ กับ $r$ เป็นเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $a=3$ and $r=4$$a=3$ และ $r=4$Divide, then check a second pair: $a=3$   $12\div 3=4$   $48\div 12=4$   $r=4$หาร แล้วเช็คอีกคู่: $a=3$   $12\div 3=4$   $48\div 12=4$   $r=4$
2. Find the 7th term of $3,\;12,\;48,\;\dots$หาพจน์ที่ 7 ของ $3,\;12,\;48,\;\dots$
   Answer:เฉลย: $u_{7}=3\times4^{6}=3\times4096=12288$Power is one below the term: $u_n=ar^{\,n-1}$   $u_{7}=3\times 4^{6}=12288$เลขชี้กำลัง น้อยกว่าเลขพจน์อยู่หนึ่ง: $u_n=ar^{\,n-1}$   $u_{7}=3\times 4^{6}=12288$
3. For $3,\;12,\;48,\;\dots$ ($a=3$, $r=4$), which line gives $S_{8}$?จาก $3,\;12,\;48,\;\dots$ ($a=3$, $r=4$) บรรทัดไหนให้ $S_{8}$?
   Answer:เฉลย: $S_{8}=\dfrac{3(4^{8}-1)}{4-1}=\dfrac{3\times65535}{3}=65535$One formula, two faces: $r>1:\ \dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$   $|r|<1:\ \dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}$   $S_{8}=\dfrac{3(4^{8}-1)}{4-1}=65535$ Pick the version that keeps every bracket positive.สูตรเดียว เขียนได้สองหน้า: $r>1:\ \dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}$   $|r|<1:\ \dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}$   $S_{8}=\dfrac{3(4^{8}-1)}{4-1}=65535$ เลือกแบบที่ทำให้ทุกวงเล็บเป็นบวก
4. A geometric sequence has $u_{2}=6$ and $u_{4}=54$. Find all possible values of $r$.ลำดับเรขาคณิตมี $u_{2}=6$ และ $u_{4}=54$ · หาค่า $r$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
   Answer:เฉลย: $r=\pm3$Divide terms, the $a$ cancels: $\dfrac{u_{4}}{u_{2}}=r^{2}=\dfrac{54}{6}=9$   $r=\pm 3$ An even power gives two answers; an odd power, like $r^{3}=8$, gives one.หารพจน์กัน $a$ ตัดทิ้ง: $\dfrac{u_{4}}{u_{2}}=r^{2}=\dfrac{54}{6}=9$   $r=\pm 3$ กำลังคู่ได้สองคำตอบ · กำลังคี่ เช่น $r^{3}=8$ ได้คำตอบเดียว

6. Adding foreverบวกไปเรื่อยๆ ไม่รู้จบ

$S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$ — and it only exists while $|r|\lt1$.$S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$ — และมันมีค่าเฉพาะตอน $|r|\lt1$ เท่านั้น

1. Which one of these series has a sum to infinity?อนุกรมข้อไหนมีผลบวกอนันต์?
   Answer:เฉลย: $5+2.5+1.25+\dots$, because $r=\tfrac12$ and $|r|\lt1$$5+2.5+1.25+\dots$ เพราะ $r=\tfrac12$ และ $|r|\lt1$The test is $|r|$ alone: $|r|<1\ \Rightarrow\ S_{\infty}\text{ exists}$   $r=\tfrac12:\ |r|=\tfrac12<1\ \checkmark$   $r=2\text{ or }-2:\ |r|=2\ \times$ Write the condition $|r|\lt1$ every time you use $S_{\infty}$ — it carries a mark.เช็คแค่ $|r|$ อย่างเดียว: $|r|<1\ \Rightarrow\ S_{\infty}\text{ exists}$   $r=\tfrac12:\ |r|=\tfrac12<1\ \checkmark$   $r=2\text{ or }-2:\ |r|=2\ \times$ เขียนเงื่อนไข $|r|\lt1$ ทุกครั้งที่ใช้ $S_{\infty}$ · มันมีคะแนนของมันเอง
2. Find the sum to infinity of $20+10+5+2.5+\dots$หาผลบวกอนันต์ของ $20+10+5+2.5+\dots$
   Answer:เฉลย: $S_{\infty}=\dfrac{20}{1-\tfrac12}=\dfrac{20}{0.5}=40$Dividing by under $1$ grows it: $r=\dfrac{10}{20}=\tfrac12$   $S_{\infty}=\dfrac{20}{1-\tfrac12}=\dfrac{20}{0.5}=40$   $\text{check: }40>a=20$หารด้วยเลขน้อยกว่าหนึ่ง ผลลัพธ์โต: $r=\dfrac{10}{20}=\tfrac12$   $S_{\infty}=\dfrac{20}{1-\tfrac12}=\dfrac{20}{0.5}=40$   $\text{check: }40>a=20$

7. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Decide arithmetic or geometric first, then decide term or sum. Always in that order.ตัดสินก่อนว่าเป็นเลขคณิตหรือเรขาคณิต แล้วค่อยตัดสินว่าเป็นพจน์เดียวหรือผลบวก · ตามลำดับนี้เสมอ

The paper never tells you which type it isข้อสอบไม่เคยบอกว่าเป็นแบบไหน

1. Anna's salary in year $1$ is £24000 and it rises by $3\%$ each year. Which expression gives her salary in year $10$?เงินเดือนของแอนนาในปีที่ $1$ คือ £24000 และขึ้นปีละ $3\%$ · นิพจน์ไหนคือเงินเดือนของเธอในปีที่ $10$?
   Answer:เฉลย: $24000(1.03)^{9}$Up $3\%$ means $\times 1.03$: $a=24000,\ r=1.03$   $\text{year }10=u_{10}=ar^{9}$   $=24000(1.03)^{9}$ Percentage growth is always geometric — spotting that is the first mark.เพิ่ม $3\%$ คือคูณ $1.03$: $a=24000,\ r=1.03$   $\text{year }10=u_{10}=ar^{9}$   $=24000(1.03)^{9}$ โตเป็นเปอร์เซ็นต์ คือ geometric เสมอ · เห็นตรงนี้ได้คะแนนแรก
2. Now evaluate it: Anna's salary in year $10$, to the nearest pound.  (2 marks)ทีนี้คิดค่าออกมา: เงินเดือนของแอนนาในปีที่ $10$ ปัดเป็นจำนวนเต็มปอนด์  (2 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $24000(1.03)^{9}=31314.55\dots$, so £$31315$ to the nearest poundRound once, at the end: $24000\times 1.03^{9}=31314.55\ldots$   $\to\ 31315\ \text{(nearest pound)}$ปัดเศษครั้งเดียว ตอนจบ: $24000\times 1.03^{9}=31314.55\ldots$   $\to\ 31315\ \text{(nearest pound)}$
3. Exam: A savings plan is described by $u_{1}=150$ and $u_{n+1}=u_{n}+20$, where $u_{n}$ is the amount saved in month $n$, in pounds. Find the total saved over the first $12$ months.  (4 marks)ข้อสอบ: แผนการออมกำหนดโดย $u_{1}=150$ และ $u_{n+1}=u_{n}+20$ เมื่อ $u_{n}$ คือเงินที่ออมในเดือนที่ $n$ (หน่วยเป็นปอนด์) · หาเงินรวมที่ออมได้ใน $12$ เดือนแรก  (4 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $S_{12}=\dfrac{12}{2}\big[2(150)+11(20)\big]=6\times520=3120$  (£3120)4 marks: $\text{M1}\ \ \text{recurrence is arithmetic},\ a=150,\ d=20$   $\text{M1}\ \ S_{12}=\tfrac{12}{2}\big[2(150)+(12-1)20\big]$   $\text{A1}\ \ 6\times 520$   $\text{A1}\ \ 3120$ $u_{n+1}=u_{n}+k$ is arithmetic with $d=k$; $u_{n+1}=ku_{n}$ is geometric with $r=k$.4 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{recurrence is arithmetic},\ a=150,\ d=20$   $\text{M1}\ \ S_{12}=\tfrac{12}{2}\big[2(150)+(12-1)20\big]$   $\text{A1}\ \ 6\times 520$   $\text{A1}\ \ 3120$ $u_{n+1}=u_{n}+k$ คือเลขคณิต $d=k$ · $u_{n+1}=ku_{n}$ คือเรขาคณิต $r=k$
4. Exam: A geometric series has second term $6$ and sum to infinity $25$. Given that the common ratio $r$ satisfies $r\gt\tfrac12$, find the first term.  (6 marks)ข้อสอบ: อนุกรม geometric ชุดหนึ่งมีพจน์ที่สองเท่ากับ $6$ และ sum to infinity เท่ากับ $25$ · กำหนดว่า common ratio $r$ มีค่า $r\gt\tfrac12$ · หาพจน์แรก  (6 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $25r^{2}-25r+6=0 \Rightarrow r=\tfrac35$ (since $r\gt\tfrac12$), so $a=25\left(1-\tfrac35\right)=10$6 marks: $\text{M1}\ \ ar=6$   $\text{M1}\ \ \dfrac{a}{1-r}=25\ \Rightarrow\ a=25(1-r)$   $\text{M1}\ \ 25r(1-r)=6\ \Rightarrow\ 25r^{2}-25r+6=0$   $\text{A1}\ \ (5r-3)(5r-2)=0,\ r=\tfrac35\text{ or }\tfrac25$   $\text{B1}\ \ r>\tfrac12\ \Rightarrow\ r=\tfrac35$   $\text{A1}\ \ a=25\left(1-\tfrac35\right)=10$ The condition $r\gt\tfrac12$ is there to reject a root — write down which one you drop.6 คะแนน: $\text{M1}\ \ ar=6$   $\text{M1}\ \ \dfrac{a}{1-r}=25\ \Rightarrow\ a=25(1-r)$   $\text{M1}\ \ 25r(1-r)=6\ \Rightarrow\ 25r^{2}-25r+6=0$   $\text{A1}\ \ (5r-3)(5r-2)=0,\ r=\tfrac35\text{ or }\tfrac25$   $\text{B1}\ \ r>\tfrac12\ \Rightarrow\ r=\tfrac35$   $\text{A1}\ \ a=25\left(1-\tfrac35\right)=10$ เงื่อนไข $r\gt\tfrac12$ มีไว้ตัดรากทิ้งหนึ่งตัว · ต้องเขียนว่าตัดตัวไหน
5. A machine is worth £$800$ at the start of year $1$. Each year its value falls by $15\%$ of its value at the start of that year. Find its value at the start of year $6$, to the nearest pound.เครื่องจักรเครื่องหนึ่งมีมูลค่า £$800$ ตอนต้นปีที่ $1$ · แต่ละปีมูลค่าลดลง $15\%$ ของมูลค่าตอนต้นปีนั้น · หามูลค่าตอนต้นปีที่ $6$ ปัดเป็นจำนวนเต็มปอนด์
   Answer:เฉลย: $u_{6}=800(0.85)^{5}=354.96\ldots$, so £$355$Percent of a changing value: $-15\%\text{ of the current value}\ \Rightarrow\ \times 0.85$   $\text{start of year }6\ \Rightarrow\ 5\text{ drops}$   $u_{6}=800(0.85)^{5}=354.96\ldots$   $\to\ 355$ "Falls by £120 a year" would be arithmetic instead — a fixed amount is the tell.เปอร์เซ็นต์ของค่าที่เปลี่ยนไปเรื่อย ๆ: $-15\%\text{ of the current value}\ \Rightarrow\ \times 0.85$   $\text{start of year }6\ \Rightarrow\ 5\text{ drops}$   $u_{6}=800(0.85)^{5}=354.96\ldots$   $\to\ 355$ ถ้าโจทย์เขียนว่า "ลดปีละ £120" จะเป็น arithmetic แทน · จำนวนคงที่คือตัวชี้

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. The arithmetic sequence $6,\;10,\;14,\;\dots$  Find the 20th term and the sum of the first 20 terms.Identical to the worked examples, numbers changed. If levels 1 and 2 landed, this is two clean minutes — confidence first.เหมือนตัวอย่างที่ทำไปเป๊ะ เปลี่ยนแค่ตัวเลข · ถ้าขั้นที่ 1 กับ 2 แน่นจริง ข้อนี้จบในสองนาที — เอาความมั่นใจก่อน
2. An arithmetic sequence has $a=-7$ and $d=2.5$. Find $u_{15}$ and $S_{15}$.Same method, but a negative first term and a decimal difference mean every sign has to be carried. Notice $S_{15}$ is not a whole number — that is allowed, and rounding it would be wrong.วิธีเดิม แต่พจน์แรกติดลบและผลต่างเป็นทศนิยม ต้องแบกเครื่องหมายให้ครบทุกตัว · สังเกตว่า $S_{15}$ ไม่ใช่จำนวนเต็ม — แบบนั้นถูกแล้ว ถ้าไปปัดจะกลายเป็นผิด
3. A geometric sequence has second term $6$ and fifth term $48$. Find $r$ and $a$.Geometric now, and the terms are three apart instead of two, so the power is $r^{3}$ — an odd power, so only one answer this time. Anyone who memorised '$r^{2}$ gives $\pm$' without understanding will invent a second root that does not exist.คราวนี้เป็นเรขาคณิต และสองพจน์ห่างกันสามช่วง กำลังจึงเป็น $r^{3}$ — กำลังคี่ จึงมีคำตอบเดียว · ใครท่องมาว่า '$r^{2}$ ต้องมี $\pm$' โดยไม่เข้าใจ จะเสกรากที่สองที่ไม่มีอยู่จริงขึ้นมา
4. Find the number of terms in the arithmetic series $5+9+13+\dots+401$, and hence its sum.The $n$th-term formula feeds the sum formula. Neither step is new — the only new thing is that you have to run them in the right order, and $n$ is $100$, not $99$.สูตรพจน์ที่ $n$ ป้อนต่อให้สูตรผลบวก · ไม่มีก้าวไหนใหม่เลย ของใหม่คือต้องเรียงลำดับให้ถูก · และ $n$ คือ $100$ ไม่ใช่ $99$
5. A geometric series has first term $20$ and common ratio $0.8$. (a) Find the sum of the first $10$ terms, giving your answer to 3 significant figures. (3 marks)  (b) Find the sum to infinity. (2 marks)Full exam wording, with the marks split and an instruction about accuracy. Part (b) takes two lines but is worth almost as much as the harder part (a). Note that $S_{10}$ is already $89\%$ of $S_{\infty}$. That is what convergence looks like in numbers.ภาษาข้อสอบเต็มรูปแบบ มีแบ่งคะแนนและสั่งความละเอียดของคำตอบ · ข้อ (b) เขียนสองบรรทัด แต่คะแนนเกือบเท่าข้อ (a) ที่ยากกว่า · สังเกตว่า $S_{10}$ เป็น $89\%$ ของ $S_{\infty}$ แล้ว · การลู่เข้าเป็นตัวเลขหน้าตาแบบนี้
6. A student writes: "The series $4+6+9+13.5+\dots$ has $a=4$ and $r=1.5$, so $S_{\infty}=\dfrac{4}{1-1.5}=-8$." Find the error and state the correct conclusion.The calculator still gives $-8$ here. The condition $|r|\lt1$ is the only check that stops you writing a wrong answer with confidence. Marking someone else's mistake shows that this one will not catch you again.เครื่องคิดเลขก็ยังให้ $-8$ ออกมา · เงื่อนไข $|r|\lt1$ คือสิ่งเดียวที่กันเราไม่ให้ตอบผิดอย่างมั่นใจ · การตรวจข้อผิดของคนอื่น แสดงว่ากับดักนี้หลอกเราไม่ได้อีก
7. A company's sales in year $1$ were $50\,000$ units and grew by $8\%$ each year. (a) Write down an expression for the sales in year $n$. (2 marks)  (b) Find the total sales over the first $10$ years, to the nearest $1000$ units. (3 marks)  (c) In which year do annual sales first exceed $100\,000$ units? (3 marks)Everything at once: recognise geometric from a percentage, get the $n-1$ right, choose $S_{n}$ for 'total', and finish with an inequality in the exponent. Part (c) needs logs to solve properly — which is exactly where the next lesson starts.รวมทุกอย่างไว้ในข้อเดียว: มองออกว่าเปอร์เซ็นต์คือเรขาคณิต · ใส่ $n-1$ ให้ถูก · เลือก $S_{n}$ เพราะคำว่า 'รวม' · แล้วปิดท้ายด้วยอสมการที่ตัวแปรอยู่บนเลขชี้กำลัง · ข้อ (c) ต้องใช้ล็อกถึงจะแก้ได้จริง — ซึ่งคือจุดเริ่มของบทหน้าพอดี

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี