Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Sine Rule, Cosine Rule and the Area of a Triangleกฎของไซน์ กฎของโคไซน์ และพื้นที่สามเหลี่ยม

A-Level Pure 1 · Edexcel IAL WMA11 · CAIE: assumed from IGCSE · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

A side from $\sin$, and the angles adding to $180^{\circ}$หาด้านด้วย $\sin$ กับมุมรวมได้ $180^{\circ}$

Panel 1 needs a right angle. Panel 2 does not. The sine rule does panel 1 without one.ช่อง 1 ต้องมีมุมฉาก ช่อง 2 ไม่ต้อง · กฎ sine ทำงานแบบช่อง 1 ได้โดยไม่ต้องมีมุมฉาก

  1. Find the side opposite the $35°$ angle, to 1 decimal place.หาด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม $35°$ ตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $5.7$ cmOnly works with a right angle: $\sin 35°=\dfrac{x}{10}$   $x=10\sin 35°=5.7\text{ cm}$ใช้ได้เฉพาะเมื่อมีมุมฉาก: $\sin 35°=\dfrac{x}{10}$   $x=10\sin 35°=5.7\text{ cm}$
  2. Two angles of a triangle are $35°$ and $110°$. Find the third angle.สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุม $35°$ กับ $110°$ หามุมที่สาม
    Answer:เฉลย: $35°$$180-35-110=35°$.
    Two angles are equal, so this triangle is isosceles. This fact is used again later in the lesson.    $180-35-110=35°$
    มีสองมุมเท่ากัน สามเหลี่ยมนี้เลยเป็นหน้าจั่ว · อีกไม่กี่สไลด์จะได้ใช้เรื่องนี้

2. Where right-angled trig stopsจุดที่ตรีโกณมุมฉากใช้ไม่ได้

$\sin$, $\cos$ and $\tan$ need a right angle. Most triangles do not have one.$\sin$, $\cos$, $\tan$ ต้องมีมุมฉาก แต่สามเหลี่ยมส่วนใหญ่ไม่มี

No right angle means no hypotenuseไม่มีมุมฉาก ก็ไม่มีด้านตรงข้ามมุมฉาก

  1. In triangle $ABC$ the side $BC$ is $9$ cm long.
    Which lower case letter names this side?    สามเหลี่ยม $ABC$ มีด้าน $BC$ ยาว $9$ ซม.
    ด้านนี้ใช้ตัวพิมพ์เล็กตัวไหน?
    Answer:เฉลย: $a=9$ cmNamed after the angle it misses: $BC\text{ misses }A$   $\Rightarrow\ BC=a\text{, opposite }A$ตั้งชื่อตามมุมที่มันไม่แตะ: $BC\text{ misses }A$   $\Rightarrow\ BC=a\text{, opposite }A$
  2. Same triangle $ABC$. Which side is $b$?สามเหลี่ยม $ABC$ รูปเดิม · ด้าน $b$ คือด้านไหน?
    Answer:เฉลย: $b=AC$Read the naming both ways: $b\text{ opposite }B\ \Rightarrow\ b\text{ misses }B$   $\text{only }AC\text{ misses }B$   $b=AC$อ่านชื่อได้ทั้งสองทาง: $b\text{ opposite }B\ \Rightarrow\ b\text{ misses }B$   $\text{only }AC\text{ misses }B$   $b=AC$
  3. Triangle $ABC$ has $A=35°$ and $C=35°$, and $c=10$ cm.
    Find angle $B$.    สามเหลี่ยม $ABC$ มี $A=35°$, $C=35°$ และ $c=10$ ซม.
    หามุม $B$
    Answer:เฉลย: $B=110°$No right angle, no SOHCAHTOA: $B=180-35-35=110°$   $A=C\ \Rightarrow\ a=c=10\text{ cm}$   $10\sin 35°=5.7\ \times$ SOH CAH TOA needs a hypotenuse, so it needs a right angle. The next two rules replace it.ไม่มีมุมฉาก ใช้ SOHCAHTOA ไม่ได้: $B=180-35-35=110°$   $A=C\ \Rightarrow\ a=c=10\text{ cm}$   $10\sin 35°=5.7\ \times$ SOH CAH TOA ต้องมีด้านตรงข้ามมุมฉาก แปลว่าต้องมีมุมฉาก · สองกฎถัดไปมาแทนที่

3. The sine rule for a missing sideกฎของไซน์ หาด้าน

One matching side-and-angle pair is enough to find the rest of the triangle.มีคู่ด้านกับมุมที่ตรงกันหนึ่งคู่ ก็เปิดสามเหลี่ยมทั้งรูปได้

  1. You want $b$.
    Which side and its opposite angle do you already know?    ต้องการหา $b$
    ด้านไหนกับมุมตรงข้ามของมัน ที่รู้ค่าครบทั้งคู่แล้ว?
    Answer:เฉลย: $a=8$ cm with $A=40°$$a=8$ ซม. คู่กับ $A=40°$Find the complete pair first: $8\text{ cm faces }40°\ \Rightarrow\ \text{both known}$   $b\text{ faces }65°\ \Rightarrow\ \text{the unknown pair}$หาคู่ที่ครบก่อน: $8\text{ cm faces }40°\ \Rightarrow\ \text{both known}$   $b\text{ faces }65°\ \Rightarrow\ \text{the unknown pair}$
  2. Now put the numbers into the sine rule to find $b$.
    Which line is correct?    ทีนี้ใส่ตัวเลขลงในกฎของไซน์เพื่อหา $b$
    บรรทัดไหนถูก?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{b}{\sin 65°}=\dfrac{8}{\sin 40°}$Side over its own angle's sine: $\dfrac{b}{\sin 65°}=\dfrac{8}{\sin 40°}$   $\text{unknown on the left}$ Substituting correctly is its own step and its own mark. Evaluate afterwards.ด้าน อยู่บนไซน์ของมุมตรงข้ามตัวเอง: $\dfrac{b}{\sin 65°}=\dfrac{8}{\sin 40°}$   $\text{unknown on the left}$ การแทนค่าให้ถูกเป็นขั้นของมันเอง และมีคะแนนของมันเอง · ค่อยคิดเลขทีหลัง
  3. In triangle $ABC$, $a=8$ cm, $A=40°$ and $B=65°$.
    Find $b$, to 1 decimal place.    ในสามเหลี่ยม $ABC$ มี $a=8$ ซม., $A=40°$ และ $B=65°$
    หา $b$ ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $b=11.3$ cmBigger angle, bigger side: $b=\dfrac{8\sin 65°}{\sin 40°}=11.3\text{ cm}$   $65°>40°\ \Rightarrow\ b>8\ \checkmark$มุมใหญ่กว่า ด้านยาวกว่า: $b=\dfrac{8\sin 65°}{\sin 40°}=11.3\text{ cm}$   $65°>40°\ \Rightarrow\ b>8\ \checkmark$
  4. Your turn, fresh numbers.
    In triangle $ABC$, $B=52°$, $C=71°$ and $b=12$ cm. Find $c$, to 1 decimal place.    ลองเองบ้าง ตัวเลขชุดใหม่
    สามเหลี่ยม $ABC$ มี $B=52°$, $C=71°$ และ $b=12$ ซม. · หา $c$ ตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $c=14.4$ cmSame check, fresh numbers: $c=\dfrac{12\sin 71°}{\sin 52°}=14.4\text{ cm}$   $71°>52°\ \Rightarrow\ c>12\ \checkmark$ตรวจแบบเดิม ตัวเลขใหม่: $c=\dfrac{12\sin 71°}{\sin 52°}=14.4\text{ cm}$   $71°>52°\ \Rightarrow\ c>12\ \checkmark$

4. The sine rule for a missing angleกฎของไซน์ หามุม

Turn every fraction over, then check whether a second angle also fits.กลับเศษส่วนทุกตัว แล้วตรวจว่ามีมุมที่สองที่ใช้ได้อีกไหม

$a=7$, $A=40^{\circ}$, $b=9$: find $B$$a=7$, $A=40^{\circ}$, $b=9$ : หามุม $B$

  1. $\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin A}{a}$Looking for an ANGLE, so put the sines on top. Fewer fractions to fight.หามุม ก็เอา sin ขึ้นข้างบน · จะได้สู้กับเศษส่วนน้อยลง
  2. $\frac{\sin B}{9}=\frac{\sin40^{\circ}}{7}$$\sin B$ is over $9$, so multiply both sides by $9$.$\sin B$ อยู่บน $9$ ก็คูณ $9$ ทั้งสองข้าง
  3. $\sin B=\frac{9\sin40^{\circ}}{7}=0.826$Multiply up by $9$.คูณ $9$ ขึ้นมา
  4. $B=55.7^{\circ}$$\sin^{-1}$ on the calculator gives only this one.กด $\sin^{-1}$ เครื่องคิดเลขให้มาแค่ค่านี้ค่าเดียว
  5. $B=180^{\circ}-55.7^{\circ}=124.3^{\circ}$Sine gives the same value twice. Whenever you are finding an ANGLE, check whether the obtuse one also fits the triangle.sin ให้ค่าซ้ำสองมุม · เวลาหามุม ต้องตรวจด้วยว่ามุมป้านใส่ในสามเหลี่ยมได้ไหม

Your calculator returns only one angleเครื่องคิดเลขคืนมุมมาให้แค่มุมเดียว

$\sin^{-1}$ gives only the acute angle. Test the obtuse $180^{\circ}-B$ by hand.$\sin^{-1}$ คืนแค่มุมแหลม · มุมป้าน $180^{\circ}-B$ ต้องลองเอง

  1. In triangle $ABC$, $a=9$ cm, $A=62°$ and $b=7$ cm. You want angle $B$.
    Which line is correct?    สามเหลี่ยม $ABC$ มี $a=9$ ซม., $A=62°$ และ $b=7$ ซม. · ต้องการหามุม $B$
    บรรทัดไหนถูก?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{\sin B}{7}=\dfrac{\sin 62°}{9}$For an angle, turn it over: $\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\sin B}{b}$   $\Rightarrow\ \sin B\text{ on top}$หามุม ให้กลับเศษส่วน: $\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\sin B}{b}$   $\Rightarrow\ \sin B\text{ on top}$
  2. In triangle $ABC$, $a=9$ cm, $A=62°$ and $b=7$ cm.
    Find angle $B$, to 1 decimal place.    ในสามเหลี่ยม $ABC$ มี $a=9$ ซม., $A=62°$ และ $b=7$ ซม.
    หามุม $B$ ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $B=43.4°$$\sin^{-1}$ is the last step: $\sin B=\dfrac{7\sin 62°}{9}=0.6867$   $B=\sin^{-1}(0.6867)=43.4°$   $7<9\ \Rightarrow\ B<62°\ \checkmark$ Stopping at $0.6867$ and calling it the angle is a common lost mark.$\sin^{-1}$ คือขั้นสุดท้าย: $\sin B=\dfrac{7\sin 62°}{9}=0.6867$   $B=\sin^{-1}(0.6867)=43.4°$   $7<9\ \Rightarrow\ B<62°\ \checkmark$ หยุดที่ $0.6867$ แล้วตอบว่าเป็นมุม คือจุดที่เสียคะแนนบ่อย
  3. A calculator gives $B=53.5°$ from $\sin B=0.8035$.
    Give the other angle between $0°$ and $180°$ with the same sine.    เครื่องคิดเลขให้ $B=53.5°$ จาก $\sin B=0.8035$
    บอกอีกมุมหนึ่งระหว่าง $0°$ ถึง $180°$ ที่มีค่าไซน์เท่ากัน
    Answer:เฉลย: $126.5°$$180-53.5=126.5°$.
    Check it on a calculator: $\sin 126.5°=0.804$, the same value.
    Subtracting from $180°$ is the whole extra step.    $180-53.5=126.5°$
    ลองกดเครื่องคิดเลขดู: $\sin 126.5°=0.804$ ค่าเท่ากัน
    ขั้นตอนที่เพิ่มมามีแค่ลบออกจาก $180°$ เท่านั้น
  4. Those numbers came from a real triangle: $a=8$ cm, $b=10$ cm and $A=40°$, giving $B=53.5°$ or $B=126.5°$.
    Work out angle $C$ for each one. Which values of $B$ give a real triangle?    ตัวเลขเมื่อกี้มาจากสามเหลี่ยมจริง: $a=8$ ซม., $b=10$ ซม. และ $A=40°$ ได้ $B=53.5°$ หรือ $B=126.5°$
    ลองหามุม $C$ ของแต่ละแบบ · ค่า $B$ แบบไหนได้สามเหลี่ยมจริง?
    Answer:เฉลย: Both. There are two different triangles.ได้ทั้งสองแบบ · มีสามเหลี่ยมสองรูปที่ต่างกันBoth triangles exist: $40+53.5=93.5\ \Rightarrow\ C=86.5°$   $40+126.5=166.5\ \Rightarrow\ C=13.5°$   $\text{both}<180°\ \Rightarrow\ 2\text{ answers}$ Two sides and an angle not between them: test $180°-B$ every time.สามเหลี่ยมมีได้ทั้งสองแบบ: $40+53.5=93.5\ \Rightarrow\ C=86.5°$   $40+126.5=166.5\ \Rightarrow\ C=13.5°$   $\text{both}<180°\ \Rightarrow\ 2\text{ answers}$ สองด้านกับมุมที่ไม่ได้อยู่ระหว่างด้านทั้งสอง · ต้องลอง $180°-B$ ทุกครั้ง

5. The cosine rule for a missing sideกฎของโคไซน์ หาด้าน

Two sides and the angle between them give you the third side.รู้ด้านสองด้านกับมุมที่อยู่ระหว่างมัน ก็ได้ด้านที่สาม

  1. You want $AC$.
    Which version of the cosine rule fits?    ต้องการหา $AC$
    กฎของโคไซน์เวอร์ชันไหนที่ใช้ได้?
    Answer:เฉลย: $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B$Pick the left-hand letter first: $AC\text{ misses }B\ \Rightarrow\ AC=b$   $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B$   $a,\ c\text{ are the two sides touching }B$เลือกตัวอักษรฝั่งซ้ายก่อน: $AC\text{ misses }B\ \Rightarrow\ AC=b$   $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B$   $a,\ c\text{ are the two sides touching }B$
  2. Now put the numbers in. Here $a=6$, $c=9$ and $B=48°$.
    Which line is correct?    ทีนี้ใส่ตัวเลข · ข้อนี้ $a=6$, $c=9$ และ $B=48°$
    บรรทัดไหนถูก?
    Answer:เฉลย: $b^{2}=6^{2}+9^{2}-2(6)(9)\cos 48°$One number, then subtract: $b^{2}=36+81-108\cos 48°$   $108\cos 48°=72.27$   $b^{2}=117-72.27$ $117-108$ then $\times\cos 48°$ is a different calculation and a different answer.คิดเป็นก้อนเดียวก่อน แล้วค่อยลบ: $b^{2}=36+81-108\cos 48°$   $108\cos 48°=72.27$   $b^{2}=117-72.27$ ถ้าลบ $117-108$ ก่อนแล้วค่อยคูณ $\cos 48°$ จะเป็นคนละการคำนวณ ได้คนละคำตอบ
  3. In triangle $ABC$, $a=6$ cm, $c=9$ cm and $B=48°$.
    Find $b$, to 1 decimal place.    ในสามเหลี่ยม $ABC$ มี $a=6$ ซม., $c=9$ ซม. และ $B=48°$
    หา $b$ ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $b=6.7$ cmThird side, and its size check: $b^{2}=117-72.27=44.73$   $b=\sqrt{44.73}=6.7\text{ cm}$   $9-6<6.7<9+6\ \checkmark$ด้านที่สาม พร้อมตรวจขนาด: $b^{2}=117-72.27=44.73$   $b=\sqrt{44.73}=6.7\text{ cm}$   $9-6<6.7<9+6\ \checkmark$

6. The cosine rule for a missing angleกฎของโคไซน์ หามุม

Three sides and no angles at all still give you every angle.รู้ด้านครบสามด้าน ไม่รู้มุมเลยสักมุม ก็ยังหามุมได้ทุกมุม

  1. In triangle $ABC$, $a=5$ cm, $b=7$ cm and $c=9$ cm. Find angle $A$.
    Which line is correct?    สามเหลี่ยม $ABC$ มี $a=5$ ซม., $b=7$ ซม. และ $c=9$ ซม. · หามุม $A$
    บรรทัดไหนถูก?
    Answer:เฉลย: $\cos A=\dfrac{7^{2}+9^{2}-5^{2}}{2(7)(9)}$The angle you want fixes everything: $A\text{ between }b=7\text{ and }c=9$   $\cos A=\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$   $a=5\text{ opposite }A\ \Rightarrow\ a\text{ is subtracted}$เลือกมุมที่ต้องการ ที่เหลือตามมาเอง: $A\text{ between }b=7\text{ and }c=9$   $\cos A=\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$   $a=5\text{ opposite }A\ \Rightarrow\ a\text{ is subtracted}$
  2. In triangle $ABC$, $a=5$ cm, $b=7$ cm and $c=9$ cm.
    Find angle $A$, to 1 decimal place.    ในสามเหลี่ยม $ABC$ มี $a=5$ ซม., $b=7$ ซม. และ $c=9$ ซม.
    หามุม $A$ ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $A=33.6°$Shortest side, smallest angle: $\cos A=\dfrac{49+81-25}{126}=\dfrac{105}{126}=0.8333$   $A=\cos^{-1}(0.8333)=33.6°$   $a=5\text{ shortest}\ \Rightarrow\ A\text{ smallest}\ \checkmark$ด้านสั้นสุด มุมเล็กสุด: $\cos A=\dfrac{49+81-25}{126}=\dfrac{105}{126}=0.8333$   $A=\cos^{-1}(0.8333)=33.6°$   $a=5\text{ shortest}\ \Rightarrow\ A\text{ smallest}\ \checkmark$
  3. Find angle $A$, to 1 decimal place.หามุม $A$ ตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $A=130.5°$Negative cosine, obtuse angle: $\cos A=\dfrac{25+36-100}{60}=-0.65$   $A=\cos^{-1}(-0.65)=130.5°$ The cosine rule has no ambiguous case. $\cos^{-1}$ gives the obtuse angle itself.โคไซน์ติดลบ คือมุมป้าน: $\cos A=\dfrac{25+36-100}{60}=-0.65$   $A=\cos^{-1}(-0.65)=130.5°$ กฎโคไซน์ไม่มีเคสกำกวม · $\cos^{-1}$ คืนมุมป้านมาให้ตรง ๆ เลย

7. Area, and choosing the ruleพื้นที่ และเลือกกฎให้ถูก

Area $=\tfrac{1}{2}ab\sin C$, and one look at the question decides which rule you need.พื้นที่ $=\tfrac{1}{2}ab\sin C$ และดูโจทย์ครั้งเดียวก็รู้ว่าต้องใช้กฎไหน

  1. Triangle $ABC$ has $AB=8$ cm, $BC=5$ cm and angle $B=70°$.
    Which two sides go into the area formula?    สามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB=8$ ซม., $BC=5$ ซม. และมุม $B=70°$
    ด้านคู่ไหนที่เอาไปใส่ในสูตรพื้นที่?
    Answer:เฉลย: $AB=8$ cm and $BC=5$ cm, with $70°$ between them$AB=8$ ซม. กับ $BC=5$ ซม. โดยมี $70°$ อยู่ระหว่างกลางThe angle between the two sides: $AB\text{ and }BC\text{ both start at }B$   $\text{area}=\tfrac{1}{2}(8)(5)\sin 70°$มุมที่อยู่ระหว่างสองด้านนั้น: $AB\text{ and }BC\text{ both start at }B$   $\text{area}=\tfrac{1}{2}(8)(5)\sin 70°$
  2. Triangle $ABC$ has $AB=8$ cm, $BC=5$ cm and angle $B=70°$.
    Find the area, to 1 decimal place.    สามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB=8$ ซม., $BC=5$ ซม. และมุม $B=70°$
    หาพื้นที่ ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $18.8$ cm$^{2}$Area always carries squared units: $\tfrac{1}{2}(8)(5)\sin 70°=20\sin 70°$   $=18.8\text{ cm}^{2}$พื้นที่มีหน่วยยกกำลังสองเสมอ: $\tfrac{1}{2}(8)(5)\sin 70°=20\sin 70°$   $=18.8\text{ cm}^{2}$
  3. Exam question, part (a)
    The triangle $ABC$ has $AB=7$ cm, $BC=9$ cm and angle $ABC=112°$.
    Find $AC$, giving your answer to 3 significant figures.  (3 marks)    ข้อสอบ ข้อ (a)
    สามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB=7$ ซม., $BC=9$ ซม. และมุม $ABC=112°$
    หา $AC$ ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว  (3 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $AC=13.3$ cm3 marks: $\text{M1}\ \ AC^{2}=7^{2}+9^{2}-2(7)(9)\cos 112°$   $\text{M1}\ \ \cos 112°=-0.3746\ \Rightarrow\ 130+47.20=177.20$   $\text{A1}\ \ AC=\sqrt{177.20}=13.3\text{ cm}$ An obtuse angle makes $AC$ longer than both given sides. Check that before moving on.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ AC^{2}=7^{2}+9^{2}-2(7)(9)\cos 112°$   $\text{M1}\ \ \cos 112°=-0.3746\ \Rightarrow\ 130+47.20=177.20$   $\text{A1}\ \ AC=\sqrt{177.20}=13.3\text{ cm}$ มุมป้านทำให้ $AC$ ยาวกว่าสองด้านที่ให้มา · ตรวจก่อนไปต่อ
  4. Exam question, part (b)
    The same triangle: $AB=7$ cm, $BC=9$ cm and angle $ABC=112°$.
    Find the area of triangle $ABC$, giving your answer to 3 significant figures.  (2 marks)    ข้อสอบ ข้อ (b)
    สามเหลี่ยมรูปเดิม: $AB=7$ ซม., $BC=9$ ซม. และมุม $ABC=112°$
    หาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$ ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว  (2 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $29.2$ cm$^{2}$2 marks: $\text{M1}\ \ \tfrac{1}{2}(7)(9)\sin 112°$   $\text{A1}\ \ =31.5\times 0.9272=29.2\text{ cm}^{2}$ Part (a) is not needed. Two sides and the angle between them are already enough.2 คะแนน: $\text{M1}\ \ \tfrac{1}{2}(7)(9)\sin 112°$   $\text{A1}\ \ =31.5\times 0.9272=29.2\text{ cm}^{2}$ ไม่ต้องใช้ข้อ (a) · สองด้านกับมุมระหว่างสองด้าน ก็พอแล้ว
  5. Exam: In triangle $ABC$, $AB=x$ cm, $BC=(x+2)$ cm, $AC=7$ cm and angle $ABC=120^{\circ}$.
    (a) Show that $x^{2}+2x-15=0$.
    (b) Hence find the value of $x$.
    Type the value of $x$.  (5 marks)    ข้อสอบ: สามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB=x$ ซม. · $BC=(x+2)$ ซม. · $AC=7$ ซม. · มุม $ABC=120^{\circ}$
    (a) แสดงว่า $x^{2}+2x-15=0$
    (b) จากนั้นหาค่า $x$
    พิมพ์ค่า $x$  (5 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $x=3$5 marks: $\text{M1}\ \ 7^{2}=x^{2}+(x+2)^{2}-2x(x+2)\cos 120°$   $\text{M1}\ \ \cos 120°=-\tfrac12\ \Rightarrow\ +x(x+2)$   $\text{M1}\ \ 49=3x^{2}+6x+4$   $\text{A1}\ \ 3x^{2}+6x-45=0\ \Rightarrow\ x^{2}+2x-15=0$   $\text{A1}\ \ (x+5)(x-3)=0,\ x=3$ Reject $x=-5$ in writing: $AB$ is a length. The rejection is a mark.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ 7^{2}=x^{2}+(x+2)^{2}-2x(x+2)\cos 120°$   $\text{M1}\ \ \cos 120°=-\tfrac12\ \Rightarrow\ +x(x+2)$   $\text{M1}\ \ 49=3x^{2}+6x+4$   $\text{A1}\ \ 3x^{2}+6x-45=0\ \Rightarrow\ x^{2}+2x-15=0$   $\text{A1}\ \ (x+5)(x-3)=0,\ x=3$ ต้องเขียนว่าตัด $x=-5$ ทิ้ง · $AB$ เป็นความยาว · การตัดทิ้งมีคะแนน
  6. In triangle $PQR$, $PQ=8$ cm, $QR=5$ cm and $PR=11$ cm.
    Find angle $PQR$, in degrees to 1 decimal place.    สามเหลี่ยม $PQR$ มี $PQ=8$ ซม. · $QR=5$ ซม. · $PR=11$ ซม.
    หามุม $PQR$ เป็นองศา ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $113.6^{\circ}$Count what the triangle gives you: $\text{side + its opposite angle}\ \Rightarrow\ \text{sine rule}$   $\text{3 sides, or 2 sides + the angle between}\ \Rightarrow\ \text{cosine rule}$   $\cos Q=\dfrac{8^{2}+5^{2}-11^{2}}{2(8)(5)}=\dfrac{-32}{80}=-0.4$   $Q=113.6°$ The longest side $PR=11$ faces $Q$, so $Q$ must be the largest angle.นับดูว่าโจทย์ให้อะไรมาบ้าง: $\text{side + its opposite angle}\ \Rightarrow\ \text{sine rule}$   $\text{3 sides, or 2 sides + the angle between}\ \Rightarrow\ \text{cosine rule}$   $\cos Q=\dfrac{8^{2}+5^{2}-11^{2}}{2(8)(5)}=\dfrac{-32}{80}=-0.4$   $Q=113.6°$ ด้านยาวสุด $PR=11$ อยู่ตรงข้าม $Q$ · $Q$ จึงต้องเป็นมุมใหญ่สุด

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. In triangle $ABC$, $A=38°$, $C=76°$ and $a=9$ cm. Find $c$, to 3 significant figures.
    Answer:เฉลย: $\dfrac{c}{\sin 76°}=\dfrac{9}{\sin 38°}$, so $c=\dfrac{9\sin 76°}{\sin 38°}=14.2$ cmOne complete pair, one unknown side: same shape, different numbers. $C$ is larger, so $c$ exceeds $9$.มีคู่ที่ครบหนึ่งคู่ กับด้านที่ไม่รู้อีกหนึ่ง · โครงเหมือนตัวอย่างที่ทำไป เปลี่ยนแค่ตัวเลข · $C$ ใหญ่กว่า $c$ จึงยาวกว่า $9$
  2. In triangle $ABC$, $b=6.5$ cm, $c=4.2$ cm and $A=118°$. Find $a$, to 3 significant figures.
    Answer:เฉลย: $a^{2}=6.5^{2}+4.2^{2}-2(6.5)(4.2)\cos 118°=85.52$, so $a=9.25$ cmDecimals, and an obtuse angle: $\cos118°$ is negative, so the last term is added. Round only at the end.มีทศนิยม และมุมป้าน $\cos118°$ ติดลบ พจน์สุดท้ายจึงถูกบวก · ปัดตอนสุดท้ายรอบเดียว
  3. Triangle $PQR$ has $PQ=12$ cm, $QR=15$ cm and angle $PQR=54°$. Find the area of the triangle, to 3 significant figures.
    Answer:เฉลย: $\tfrac{1}{2}(12)(15)\sin 54°=72.8$ cm$^{2}$New letters, same method: memorising the formula stalls here. $PQ$ and $QR$ both start at $Q$.เปลี่ยนตัวอักษร วิธีเดิม · ท่องสูตรแทนที่จะจำหลักการ จะสะดุดตรงนี้ · $PQ$ กับ $QR$ เริ่มจากจุด $Q$ ทั้งคู่
  4. In triangle $ABC$, $a=11$ cm, $b=8$ cm and $c=7$ cm. Find angle $C$, then find the area of the triangle. Give both to 3 significant figures.
    Answer:เฉลย: $\cos C=\dfrac{121+64-49}{2(11)(8)}=0.7727$, so $C=39.4°$;  area $=\tfrac{1}{2}(11)(8)\sin 39.4°=27.9$ cm$^{2}$Two rules in a row: the first answer feeds the second. $C$ is opposite the shortest side, the smallest angle.ใช้สองกฎต่อกัน คำตอบของอันแรกไปป้อนอันที่สอง · $C$ อยู่ตรงข้ามด้านสั้นสุด จึงเป็นมุมเล็กสุด
  5. The area of triangle $ABC$ is $30$ cm$^{2}$, with $a=9$ cm and $b=10$ cm. Find the two possible values of angle $C$, to 3 significant figures.
    Answer:เฉลย: $45\sin C=30$, so $\sin C=\dfrac{2}{3}$ and $C=41.8°$ or $C=138°$Area given, angle asked: rearrange the formula. $\sin C$ appears, so the $180°-C$ check applies. Both answers are real.โจทย์ให้พื้นที่มา แล้วถามมุม ต้องย้ายข้างสูตร · $\sin C$ โผล่มา การตรวจ $180°-C$ จึงใช้ด้วย · ทั้งสองคำตอบจริง
  6. The triangle $ABC$ has $AB=8$ cm, $AC=11$ cm and angle $BAC=47°$.
     (2 marks) (a)(ก) Find $BC$, giving your answer to 3 significant figures. (3 marks)
    (b)(ข) Find the area of triangle $ABC$, giving your answer to 3 significant figures.
    Answer:เฉลย: (a) $BC^{2}=8^{2}+11^{2}-2(8)(11)\cos 47°=64.97$, so $BC=8.06$ cm.  (b) area $=\tfrac{1}{2}(8)(11)\sin 47°=32.2$ cm$^{2}$Full exam wording, marks split. Part (b) does not use part (a): two sides and the angle between are enough.ภาษาข้อสอบเต็มรูปแบบ พร้อมแบ่งคะแนน · ข้อ (b) ไม่ได้ใช้ข้อ (a) · รู้ด้านสองด้านกับมุมตรงกลางก็พอ
  7. A student is told that in triangle $ABC$, $A=32°$, $a=6$ cm and $b=10$ cm. They write $\sin B=\dfrac{10\sin 32°}{6}=0.8832$, get $B=62.0°$, and stop. Say what is missing and give the full answer.
    Answer:เฉลย: $B=62.0°$ or $B=180-62.0=118.0°$. Both fit, because $32+118.0=150.0$, which still leaves $30.0°$ for $C$. Two triangles exist.Every step is correct: the mistake is stopping. Two sides with a non-included angle is the ambiguous case: test both.ทุกขั้นที่เขียนถูกหมด ที่ผิดคือหยุดเร็วไป · ด้านสองด้านกับมุมที่ไม่ได้อยู่ระหว่างกลาง คือ ambiguous case ต้องทดสอบทั้งสองมุม

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี