Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Sine Rule, Cosine Rule and the Area of a Triangleกฎของไซน์ กฎของโคไซน์ และพื้นที่สามเหลี่ยม

A-Level Pure 1 · Edexcel IAL WMA11 · CAIE: assumed from IGCSE · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

A side from $\sin$, and the angles adding to $180^{\circ}$หาด้านด้วย $\sin$ กับมุมรวมได้ $180^{\circ}$

The sine rule is panel 1 for triangles with no right angle in them.กฎ sine คือช่อง 1 สำหรับสามเหลี่ยมที่ไม่มีมุมฉาก

  1. A right-angled triangle has hypotenuse $10$ cm. One of the other angles is $35°$.
    Find the side opposite that $35°$ angle, to 1 decimal place.    สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $10$ ซม. อีกมุมหนึ่งเท่ากับ $35°$
    หาด้านที่อยู่ตรงข้ามมุม $35°$ ตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $5.7$ cmOnly works with a right angle: $\sin 35°=\dfrac{x}{10}$   $x=10\sin 35°=5.7\text{ cm}$ใช้ได้เฉพาะเมื่อมีมุมฉาก: $\sin 35°=\dfrac{x}{10}$   $x=10\sin 35°=5.7\text{ cm}$
  2. Two angles of a triangle are $35°$ and $110°$. Find the third angle.สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีมุม $35°$ กับ $110°$ หามุมที่สาม
    Answer:เฉลย: $35°$$180-35-110=35°$.
    Two angles are equal, so this triangle is isosceles. This fact is used again later in the lesson.    $180-35-110=35°$
    มีสองมุมเท่ากัน สามเหลี่ยมนี้เลยเป็นหน้าจั่ว · อีกไม่กี่สไลด์จะได้ใช้เรื่องนี้

2. Where right-angled trig stopsจุดที่ตรีโกณมุมฉากใช้ไม่ได้

$\sin$, $\cos$ and $\tan$ need a right angle. Most triangles do not have one.$\sin$, $\cos$, $\tan$ ต้องมีมุมฉาก แต่สามเหลี่ยมส่วนใหญ่ไม่มี

No right angle means no hypotenuseไม่มีมุมฉาก ก็ไม่มีด้านตรงข้ามมุมฉาก

  1. In triangle $ABC$ the side $BC$ is $9$ cm long.
    Which lower case letter names this side?    สามเหลี่ยม $ABC$ มีด้าน $BC$ ยาว $9$ ซม.
    ด้านนี้ใช้ตัวพิมพ์เล็กตัวไหน?
    Answer:เฉลย: $a=9$ cmNamed after the angle it misses: $BC\text{ misses }A$   $\Rightarrow\ BC=a\text{, opposite }A$ตั้งชื่อตามมุมที่มันไม่แตะ: $BC\text{ misses }A$   $\Rightarrow\ BC=a\text{, opposite }A$
  2. Same triangle $ABC$. Which side is $b$?สามเหลี่ยม $ABC$ รูปเดิม · ด้าน $b$ คือด้านไหน?
    Answer:เฉลย: $b=AC$Read the naming both ways: $b\text{ opposite }B\ \Rightarrow\ b\text{ misses }B$   $\text{only }AC\text{ misses }B$   $b=AC$อ่านชื่อได้ทั้งสองทาง: $b\text{ opposite }B\ \Rightarrow\ b\text{ misses }B$   $\text{only }AC\text{ misses }B$   $b=AC$
  3. Triangle $ABC$ has $A=35°$ and $C=35°$, and $c=10$ cm.
    Find angle $B$.    สามเหลี่ยม $ABC$ มี $A=35°$, $C=35°$ และ $c=10$ ซม.
    หามุม $B$
    Answer:เฉลย: $B=110°$No right angle, no SOHCAHTOA: $B=180-35-35=110°$   $A=C\ \Rightarrow\ a=c=10\text{ cm}$   $10\sin 35°=5.7\ \times$ SOH CAH TOA needs a hypotenuse, so it needs a right angle — the next two rules replace it.ไม่มีมุมฉาก ใช้ SOHCAHTOA ไม่ได้: $B=180-35-35=110°$   $A=C\ \Rightarrow\ a=c=10\text{ cm}$   $10\sin 35°=5.7\ \times$ SOH CAH TOA ต้องมีด้านตรงข้ามมุมฉาก แปลว่าต้องมีมุมฉาก · สองกฎถัดไปมาแทนที่

3. The sine rule for a missing sideกฎของไซน์ หาด้าน

One matching side-and-angle pair is enough to find the rest of the triangle.มีคู่ด้านกับมุมที่ตรงกันหนึ่งคู่ ก็เปิดสามเหลี่ยมทั้งรูปได้

  1. In triangle $ABC$: $A=40°$, $B=65°$, $a=8$ cm. You want $b$.
    Which side and its opposite angle do you already know?    สามเหลี่ยม $ABC$: $A=40°$, $B=65°$, $a=8$ ซม. · ต้องการหา $b$
    ด้านไหนกับมุมตรงข้ามของมัน ที่รู้ค่าครบทั้งคู่แล้ว?
    Answer:เฉลย: $a=8$ cm with $A=40°$$a=8$ ซม. คู่กับ $A=40°$Find the complete pair first: $8\text{ cm faces }40°\ \Rightarrow\ \text{both known}$   $b\text{ faces }65°\ \Rightarrow\ \text{the unknown pair}$หาคู่ที่ครบก่อน: $8\text{ cm faces }40°\ \Rightarrow\ \text{both known}$   $b\text{ faces }65°\ \Rightarrow\ \text{the unknown pair}$
  2. Now put the numbers into the sine rule to find $b$.
    Which line is correct?    ทีนี้ใส่ตัวเลขลงในกฎของไซน์เพื่อหา $b$
    บรรทัดไหนถูก?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{b}{\sin 65°}=\dfrac{8}{\sin 40°}$Side over its own angle's sine: $\dfrac{b}{\sin 65°}=\dfrac{8}{\sin 40°}$   $\text{unknown on the left}$ Substituting correctly is its own step and its own mark — evaluate afterwards.ด้าน อยู่บนไซน์ของมุมตรงข้ามตัวเอง: $\dfrac{b}{\sin 65°}=\dfrac{8}{\sin 40°}$   $\text{unknown on the left}$ การแทนค่าให้ถูกเป็นขั้นของมันเอง และมีคะแนนของมันเอง · ค่อยคิดเลขทีหลัง
  3. In triangle $ABC$, $a=8$ cm, $A=40°$ and $B=65°$.
    Find $b$, to 1 decimal place.    ในสามเหลี่ยม $ABC$ มี $a=8$ ซม., $A=40°$ และ $B=65°$
    หา $b$ ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $b=11.3$ cmBigger angle, bigger side: $b=\dfrac{8\sin 65°}{\sin 40°}=11.3\text{ cm}$   $65°>40°\ \Rightarrow\ b>8\ \checkmark$มุมใหญ่กว่า ด้านยาวกว่า: $b=\dfrac{8\sin 65°}{\sin 40°}=11.3\text{ cm}$   $65°>40°\ \Rightarrow\ b>8\ \checkmark$
  4. Your turn, fresh numbers.
    In triangle $ABC$, $B=52°$, $C=71°$ and $b=12$ cm. Find $c$, to 1 decimal place.    ลองเองบ้าง ตัวเลขชุดใหม่
    สามเหลี่ยม $ABC$ มี $B=52°$, $C=71°$ และ $b=12$ ซม. · หา $c$ ตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $c=14.4$ cmSame check, fresh numbers: $c=\dfrac{12\sin 71°}{\sin 52°}=14.4\text{ cm}$   $71°>52°\ \Rightarrow\ c>12\ \checkmark$เช็คแบบเดิม ตัวเลขใหม่: $c=\dfrac{12\sin 71°}{\sin 52°}=14.4\text{ cm}$   $71°>52°\ \Rightarrow\ c>12\ \checkmark$

4. The sine rule for a missing angleกฎของไซน์ หามุม

Turn every fraction over, then check whether a second angle also fits.กลับเศษส่วนทุกตัว แล้วเช็คว่ามีมุมที่สองที่ใช้ได้อีกไหม

$a=7$, $A=40^{\circ}$, $b=9$ — find $B$$a=7$, $A=40^{\circ}$, $b=9$ — หามุม $B$

  1. $\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin A}{a}$Looking for an ANGLE, so put the sines on top. Fewer fractions to fight.หามุม ก็เอา sin ขึ้นข้างบน · จะได้สู้กับเศษส่วนน้อยลง
  2. $\frac{\sin B}{9}=\frac{\sin40^{\circ}}{7}$$\sin B$ is over $9$, so multiply both sides by $9$.$\sin B$ อยู่บน $9$ ก็คูณ $9$ ทั้งสองข้าง
  3. $\sin B=\frac{9\sin40^{\circ}}{7}=0.826$Multiply up by $9$.คูณ $9$ ขึ้นมา
  4. $B=55.7^{\circ}$$\sin^{-1}$ on the calculator gives only this one.กด $\sin^{-1}$ เครื่องคิดเลขให้มาแค่ค่านี้ค่าเดียว
  5. $B=180^{\circ}-55.7^{\circ}=124.3^{\circ}$Sine gives the same value twice. Whenever you are finding an ANGLE, check whether the obtuse one also fits the triangle.sin ให้ค่าซ้ำสองมุม · เวลาหามุม ต้องเช็กด้วยว่ามุมป้านใส่ในสามเหลี่ยมได้ไหม

Your calculator returns only one angleเครื่องคิดเลขคืนมุมมาให้แค่มุมเดียว

  1. In triangle $ABC$, $a=9$ cm, $A=62°$ and $b=7$ cm. You want angle $B$.
    Which line is correct?    สามเหลี่ยม $ABC$ มี $a=9$ ซม., $A=62°$ และ $b=7$ ซม. · ต้องการหามุม $B$
    บรรทัดไหนถูก?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{\sin B}{7}=\dfrac{\sin 62°}{9}$For an angle, turn it over: $\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\sin B}{b}$   $\Rightarrow\ \sin B\text{ on top}$หามุม ให้กลับเศษส่วน: $\dfrac{\sin A}{a}=\dfrac{\sin B}{b}$   $\Rightarrow\ \sin B\text{ on top}$
  2. In triangle $ABC$, $a=9$ cm, $A=62°$ and $b=7$ cm.
    Find angle $B$, to 1 decimal place.    ในสามเหลี่ยม $ABC$ มี $a=9$ ซม., $A=62°$ และ $b=7$ ซม.
    หามุม $B$ ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $B=43.4°$$\sin^{-1}$ is the last step: $\sin B=\dfrac{7\sin 62°}{9}=0.6867$   $B=\sin^{-1}(0.6867)=43.4°$   $7<9\ \Rightarrow\ B<62°\ \checkmark$ Stopping at $0.6867$ and calling it the angle is a common lost mark.$\sin^{-1}$ คือขั้นสุดท้าย: $\sin B=\dfrac{7\sin 62°}{9}=0.6867$   $B=\sin^{-1}(0.6867)=43.4°$   $7<9\ \Rightarrow\ B<62°\ \checkmark$ หยุดที่ $0.6867$ แล้วตอบว่าเป็นมุม คือจุดที่เสียคะแนนบ่อย
  3. A calculator gives $B=53.5°$ from $\sin B=0.8035$.
    Give the other angle between $0°$ and $180°$ with the same sine.    เครื่องคิดเลขให้ $B=53.5°$ จาก $\sin B=0.8035$
    บอกอีกมุมหนึ่งระหว่าง $0°$ ถึง $180°$ ที่มีค่าไซน์เท่ากัน
    Answer:เฉลย: $126.5°$$180-53.5=126.5°$.
    Check it on a calculator: $\sin 126.5°=0.804$, the same value.
    Subtracting from $180°$ is the whole extra step.    $180-53.5=126.5°$
    ลองกดเครื่องคิดเลขดู: $\sin 126.5°=0.804$ ค่าเท่ากันเป๊ะ
    ขั้นตอนที่เพิ่มมามีแค่ลบออกจาก $180°$ เท่านั้น
  4. Those numbers came from a real triangle: $a=8$ cm, $b=10$ cm and $A=40°$, giving $B=53.5°$ or $B=126.5°$.
    Work out angle $C$ for each one. Which values of $B$ give a real triangle?    ตัวเลขเมื่อกี้มาจากสามเหลี่ยมจริง: $a=8$ ซม., $b=10$ ซม. และ $A=40°$ ได้ $B=53.5°$ หรือ $B=126.5°$
    ลองหามุม $C$ ของแต่ละแบบ · ค่า $B$ แบบไหนได้สามเหลี่ยมจริง?
    Answer:เฉลย: Both. There are two different triangles.ได้ทั้งสองแบบ · มีสามเหลี่ยมสองรูปที่ต่างกันBoth triangles exist: $40+53.5=93.5\ \Rightarrow\ C=86.5°$   $40+126.5=166.5\ \Rightarrow\ C=13.5°$   $\text{both}<180°\ \Rightarrow\ 2\text{ answers}$ Two sides and an angle not between them — test $180°-B$ every time.สามเหลี่ยมมีได้ทั้งสองแบบ: $40+53.5=93.5\ \Rightarrow\ C=86.5°$   $40+126.5=166.5\ \Rightarrow\ C=13.5°$   $\text{both}<180°\ \Rightarrow\ 2\text{ answers}$ สองด้านกับมุมที่ไม่ได้อยู่ระหว่างด้านทั้งสอง · ต้องลอง $180°-B$ ทุกครั้ง

5. The cosine rule for a missing sideกฎของโคไซน์ หาด้าน

Two sides and the angle between them give you the third side.รู้ด้านสองด้านกับมุมที่อยู่ระหว่างมัน ก็ได้ด้านที่สาม

  1. In triangle $ABC$, $AB=9$ cm, $BC=6$ cm and angle $B=48°$. You want $AC$.
    Which version of the cosine rule fits?    สามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB=9$ ซม., $BC=6$ ซม. และมุม $B=48°$ · ต้องการหา $AC$
    กฎของโคไซน์เวอร์ชันไหนที่ใช้ได้?
    Answer:เฉลย: $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B$Pick the left-hand letter first: $AC\text{ misses }B\ \Rightarrow\ AC=b$   $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B$   $a,\ c\text{ are the two sides touching }B$เลือกตัวอักษรฝั่งซ้ายก่อน: $AC\text{ misses }B\ \Rightarrow\ AC=b$   $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B$   $a,\ c\text{ are the two sides touching }B$
  2. Now put the numbers in. Here $a=6$, $c=9$ and $B=48°$.
    Which line is correct?    ทีนี้ใส่ตัวเลข · ข้อนี้ $a=6$, $c=9$ และ $B=48°$
    บรรทัดไหนถูก?
    Answer:เฉลย: $b^{2}=6^{2}+9^{2}-2(6)(9)\cos 48°$One number, then subtract: $b^{2}=36+81-108\cos 48°$   $108\cos 48°=72.27$   $b^{2}=117-72.27$ $117-108$ then $\times\cos 48°$ is a different calculation and a different answer.คิดเป็นก้อนเดียวก่อน แล้วค่อยลบ: $b^{2}=36+81-108\cos 48°$   $108\cos 48°=72.27$   $b^{2}=117-72.27$ ถ้าลบ $117-108$ ก่อนแล้วค่อยคูณ $\cos 48°$ จะเป็นคนละการคำนวณ ได้คนละคำตอบ
  3. In triangle $ABC$, $a=6$ cm, $c=9$ cm and $B=48°$.
    Find $b$, to 1 decimal place.    ในสามเหลี่ยม $ABC$ มี $a=6$ ซม., $c=9$ ซม. และ $B=48°$
    หา $b$ ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $b=6.7$ cmThird side, and its size check: $b^{2}=117-72.27=44.73$   $b=\sqrt{44.73}=6.7\text{ cm}$   $9-6<6.7<9+6\ \checkmark$ด้านที่สาม พร้อมเช็คขนาด: $b^{2}=117-72.27=44.73$   $b=\sqrt{44.73}=6.7\text{ cm}$   $9-6<6.7<9+6\ \checkmark$

6. The cosine rule for a missing angleกฎของโคไซน์ หามุม

Three sides and no angles at all still give you every angle.รู้ด้านครบสามด้าน ไม่รู้มุมเลยสักมุม ก็ยังหามุมได้ทุกมุม

  1. In triangle $ABC$, $a=5$ cm, $b=7$ cm and $c=9$ cm. Find angle $A$.
    Which line is correct?    สามเหลี่ยม $ABC$ มี $a=5$ ซม., $b=7$ ซม. และ $c=9$ ซม. · หามุม $A$
    บรรทัดไหนถูก?
    Answer:เฉลย: $\cos A=\dfrac{7^{2}+9^{2}-5^{2}}{2(7)(9)}$The angle you want fixes everything: $A\text{ between }b=7\text{ and }c=9$   $\cos A=\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$   $a=5\text{ opposite }A\ \Rightarrow\ a\text{ is subtracted}$เลือกมุมที่ต้องการ ที่เหลือตามมาเอง: $A\text{ between }b=7\text{ and }c=9$   $\cos A=\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$   $a=5\text{ opposite }A\ \Rightarrow\ a\text{ is subtracted}$
  2. In triangle $ABC$, $a=5$ cm, $b=7$ cm and $c=9$ cm.
    Find angle $A$, to 1 decimal place.    ในสามเหลี่ยม $ABC$ มี $a=5$ ซม., $b=7$ ซม. และ $c=9$ ซม.
    หามุม $A$ ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $A=33.6°$Shortest side, smallest angle: $\cos A=\dfrac{49+81-25}{126}=\dfrac{105}{126}=0.8333$   $A=\cos^{-1}(0.8333)=33.6°$   $a=5\text{ shortest}\ \Rightarrow\ A\text{ smallest}\ \checkmark$ด้านสั้นสุด มุมเล็กสุด: $\cos A=\dfrac{49+81-25}{126}=\dfrac{105}{126}=0.8333$   $A=\cos^{-1}(0.8333)=33.6°$   $a=5\text{ shortest}\ \Rightarrow\ A\text{ smallest}\ \checkmark$
  3. Your turn, fresh numbers.
    In triangle $ABC$, $a=10$ cm, $b=5$ cm and $c=6$ cm. Find angle $A$, to 1 decimal place.    ลองเองบ้าง ตัวเลขชุดใหม่
    สามเหลี่ยม $ABC$ มี $a=10$ ซม., $b=5$ ซม. และ $c=6$ ซม. · หามุม $A$ ตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $A=130.5°$Negative cosine, obtuse angle: $\cos A=\dfrac{25+36-100}{60}=-0.65$   $A=\cos^{-1}(-0.65)=130.5°$ The cosine rule has no ambiguous case — $\cos^{-1}$ hands back the obtuse angle itself.โคไซน์ติดลบ คือมุมป้าน: $\cos A=\dfrac{25+36-100}{60}=-0.65$   $A=\cos^{-1}(-0.65)=130.5°$ กฎโคไซน์ไม่มีเคสกำกวม · $\cos^{-1}$ คืนมุมป้านมาให้ตรง ๆ เลย

7. Area, and choosing the ruleพื้นที่ และเลือกกฎให้ถูก

Area $=\tfrac{1}{2}ab\sin C$, and one look at the question decides which rule you need.พื้นที่ $=\tfrac{1}{2}ab\sin C$ และดูโจทย์ครั้งเดียวก็รู้ว่าต้องใช้กฎไหน

  1. Triangle $ABC$ has $AB=8$ cm, $BC=5$ cm and angle $B=70°$.
    Which two sides go into the area formula?    สามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB=8$ ซม., $BC=5$ ซม. และมุม $B=70°$
    ด้านคู่ไหนที่เอาไปใส่ในสูตรพื้นที่?
    Answer:เฉลย: $AB=8$ cm and $BC=5$ cm, with $70°$ between them$AB=8$ ซม. กับ $BC=5$ ซม. โดยมี $70°$ อยู่ระหว่างกลางThe angle between the two sides: $AB\text{ and }BC\text{ both start at }B$   $\text{area}=\tfrac{1}{2}(8)(5)\sin 70°$มุมที่อยู่ระหว่างสองด้านนั้น: $AB\text{ and }BC\text{ both start at }B$   $\text{area}=\tfrac{1}{2}(8)(5)\sin 70°$
  2. Triangle $ABC$ has $AB=8$ cm, $BC=5$ cm and angle $B=70°$.
    Find the area, to 1 decimal place.    สามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB=8$ ซม., $BC=5$ ซม. และมุม $B=70°$
    หาพื้นที่ ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $18.8$ cm$^{2}$Area always carries squared units: $\tfrac{1}{2}(8)(5)\sin 70°=20\sin 70°$   $=18.8\text{ cm}^{2}$พื้นที่มีหน่วยยกกำลังสองเสมอ: $\tfrac{1}{2}(8)(5)\sin 70°=20\sin 70°$   $=18.8\text{ cm}^{2}$
  3. Exam question, part (a)
    The triangle $ABC$ has $AB=7$ cm, $BC=9$ cm and angle $ABC=112°$.
    Find $AC$, giving your answer to 3 significant figures.  (3 marks)    ข้อสอบ ข้อ (a)
    สามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB=7$ ซม., $BC=9$ ซม. และมุม $ABC=112°$
    หา $AC$ ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว  (3 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $AC=13.3$ cm3 marks: $\text{M1}\ \ AC^{2}=7^{2}+9^{2}-2(7)(9)\cos 112°$   $\text{M1}\ \ \cos 112°=-0.3746\ \Rightarrow\ 130+47.20=177.20$   $\text{A1}\ \ AC=\sqrt{177.20}=13.3\text{ cm}$ An obtuse angle makes $AC$ longer than both given sides — check that before moving on.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ AC^{2}=7^{2}+9^{2}-2(7)(9)\cos 112°$   $\text{M1}\ \ \cos 112°=-0.3746\ \Rightarrow\ 130+47.20=177.20$   $\text{A1}\ \ AC=\sqrt{177.20}=13.3\text{ cm}$ มุมป้านทำให้ $AC$ ยาวกว่าสองด้านที่ให้มา · เช็คก่อนไปต่อ
  4. Exam question, part (b)
    The same triangle: $AB=7$ cm, $BC=9$ cm and angle $ABC=112°$.
    Find the area of triangle $ABC$, giving your answer to 3 significant figures.  (2 marks)    ข้อสอบ ข้อ (b)
    สามเหลี่ยมรูปเดิม: $AB=7$ ซม., $BC=9$ ซม. และมุม $ABC=112°$
    หาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$ ตอบเป็นเลขนัยสำคัญ 3 ตัว  (2 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $29.2$ cm$^{2}$2 marks: $\text{M1}\ \ \tfrac{1}{2}(7)(9)\sin 112°$   $\text{A1}\ \ =31.5\times 0.9272=29.2\text{ cm}^{2}$ Part (a) is not needed — two sides and the angle between them are already enough.2 คะแนน: $\text{M1}\ \ \tfrac{1}{2}(7)(9)\sin 112°$   $\text{A1}\ \ =31.5\times 0.9272=29.2\text{ cm}^{2}$ ไม่ต้องใช้ข้อ (a) · สองด้านกับมุมระหว่างสองด้าน ก็พอแล้ว
  5. Exam: In triangle $ABC$, $AB=x$ cm, $BC=(x+2)$ cm, $AC=7$ cm and angle $ABC=120^{\circ}$.
    (a) Show that $x^{2}+2x-15=0$.
    (b) Hence find the value of $x$.
    Type the value of $x$.  (5 marks)    ข้อสอบ: สามเหลี่ยม $ABC$ มี $AB=x$ ซม. · $BC=(x+2)$ ซม. · $AC=7$ ซม. · มุม $ABC=120^{\circ}$
    (a) แสดงว่า $x^{2}+2x-15=0$
    (b) จากนั้นหาค่า $x$
    พิมพ์ค่า $x$  (5 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $x=3$5 marks: $\text{M1}\ \ 7^{2}=x^{2}+(x+2)^{2}-2x(x+2)\cos 120°$   $\text{M1}\ \ \cos 120°=-\tfrac12\ \Rightarrow\ +x(x+2)$   $\text{M1}\ \ 49=3x^{2}+6x+4$   $\text{A1}\ \ 3x^{2}+6x-45=0\ \Rightarrow\ x^{2}+2x-15=0$   $\text{A1}\ \ (x+5)(x-3)=0,\ x=3$ Reject $x=-5$ in writing — $AB$ is a length, and the rejection is a mark.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ 7^{2}=x^{2}+(x+2)^{2}-2x(x+2)\cos 120°$   $\text{M1}\ \ \cos 120°=-\tfrac12\ \Rightarrow\ +x(x+2)$   $\text{M1}\ \ 49=3x^{2}+6x+4$   $\text{A1}\ \ 3x^{2}+6x-45=0\ \Rightarrow\ x^{2}+2x-15=0$   $\text{A1}\ \ (x+5)(x-3)=0,\ x=3$ ต้องเขียนว่าตัด $x=-5$ ทิ้ง · $AB$ เป็นความยาว · การตัดทิ้งมีคะแนน
  6. In triangle $PQR$, $PQ=8$ cm, $QR=5$ cm and $PR=11$ cm.
    Find angle $PQR$, in degrees to 1 decimal place.    สามเหลี่ยม $PQR$ มี $PQ=8$ ซม. · $QR=5$ ซม. · $PR=11$ ซม.
    หามุม $PQR$ เป็นองศา ทศนิยม 1 ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $113.6^{\circ}$Count what the triangle gives you: $\text{side + its opposite angle}\ \Rightarrow\ \text{sine rule}$   $\text{3 sides, or 2 sides + the angle between}\ \Rightarrow\ \text{cosine rule}$   $\cos Q=\dfrac{8^{2}+5^{2}-11^{2}}{2(8)(5)}=\dfrac{-32}{80}=-0.4$   $Q=113.6°$ The longest side $PR=11$ faces $Q$, so $Q$ must be the largest angle.นับดูว่าโจทย์ให้อะไรมาบ้าง: $\text{side + its opposite angle}\ \Rightarrow\ \text{sine rule}$   $\text{3 sides, or 2 sides + the angle between}\ \Rightarrow\ \text{cosine rule}$   $\cos Q=\dfrac{8^{2}+5^{2}-11^{2}}{2(8)(5)}=\dfrac{-32}{80}=-0.4$   $Q=113.6°$ ด้านยาวสุด $PR=11$ อยู่ตรงข้าม $Q$ · $Q$ จึงต้องเป็นมุมใหญ่สุด

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. In triangle $ABC$, $A=38°$, $C=76°$ and $a=9$ cm. Find $c$, to 3 significant figures.One complete pair and one unknown side. Same shape as the worked example, different numbers.
    $C$ is the larger angle, so $c$ has to come out larger than $9$.    มีคู่ที่ครบหนึ่งคู่ กับด้านที่ไม่รู้อีกหนึ่ง · โครงเหมือนตัวอย่างที่ทำไป เปลี่ยนแค่ตัวเลข
    $C$ เป็นมุมที่ใหญ่กว่า $c$ จึงต้องยาวกว่า $9$
  2. In triangle $ABC$, $b=6.5$ cm, $c=4.2$ cm and $A=118°$. Find $a$, to 3 significant figures.Decimals, and an obtuse angle so $\cos 118°$ is negative and the last term is added.
    Keep the full value in your calculator and round only at the end.    มีทศนิยม และมุมป้าน ทำให้ $\cos 118°$ ติดลบ พจน์สุดท้ายจึงถูกบวก
    เก็บค่าเต็มไว้ในเครื่องคิดเลข แล้วค่อยปัดตอนสุดท้ายรอบเดียว
  3. Triangle $PQR$ has $PQ=12$ cm, $QR=15$ cm and angle $PQR=54°$. Find the area of the triangle, to 3 significant figures.New letters, same method. Anyone who memorised the formula as $a$, $b$ and $C$ instead of the idea stalls here.
    $PQ$ and $QR$ both start at $Q$, so the $54°$ is between them.    เปลี่ยนตัวอักษร วิธีเดิม · ใครท่องสูตรมาเป็น $a$, $b$, $C$ แทนที่จะจำหลักการ จะสะดุดตรงนี้
    $PQ$ กับ $QR$ เริ่มจากจุด $Q$ ทั้งคู่ มุม $54°$ จึงอยู่ระหว่างสองด้านนี้
  4. In triangle $ABC$, $a=11$ cm, $b=8$ cm and $c=7$ cm. Find angle $C$, then find the area of the triangle. Give both to 3 significant figures.Two rules in a row, with the answer to the first one feeding the second.
    $C$ is opposite the shortest side, so it must be the smallest angle.    ใช้สองกฎต่อกัน โดยเอาคำตอบของอันแรกไปป้อนอันที่สอง
    $C$ อยู่ตรงข้ามด้านที่สั้นที่สุด จึงต้องเป็นมุมที่เล็กที่สุด
  5. The area of triangle $ABC$ is $30$ cm$^{2}$, with $a=9$ cm and $b=10$ cm. Find the two possible values of angle $C$, to 3 significant figures.The area is given and the angle is the question, so the formula has to be rearranged.
    $\sin C$ came out of the working, so the $180°-C$ check applies here too. Both answers give a real triangle.    โจทย์ให้พื้นที่มา แล้วถามมุม ต้องย้ายข้างสูตรเอง
    $\sin C$ โผล่มาจากการคิด การเช็ค $180°-C$ จึงใช้กับข้อนี้ด้วย · ทั้งสองคำตอบให้สามเหลี่ยมจริง
  6. The triangle $ABC$ has $AB=8$ cm, $AC=11$ cm and angle $BAC=47°$.
    (a) Find $BC$, giving your answer to 3 significant figures. (3 marks)
    (b) Find the area of triangle $ABC$, giving your answer to 3 significant figures. (2 marks)Full exam wording with the marks split.
    Part (b) does not use part (a). Two sides and the angle between them are enough for the area on their own.    ภาษาข้อสอบเต็มรูปแบบ พร้อมแบ่งคะแนน
    ข้อ (b) ไม่ได้ใช้ข้อ (a) · รู้ด้านสองด้านกับมุมตรงกลางก็หาพื้นที่ได้เลย
  7. A student is told that in triangle $ABC$, $A=32°$, $a=6$ cm and $b=10$ cm. They write $\sin B=\dfrac{10\sin 32°}{6}=0.8832$, get $B=62.0°$, and stop. Say what is missing and give the full answer.Every step of the working is correct. The mistake is stopping.
    Two sides and an angle that is not between them is exactly the ambiguous case, so the obtuse angle has to be tested.
    If you can spot this in someone else's working, you will not do it in your own.    ทุกขั้นที่เขาเขียนถูกหมด ที่ผิดคือหยุดเร็วไป
    ด้านสองด้านกับมุมที่ไม่ได้อยู่ระหว่างกลาง คือ ambiguous case พอดี ต้องเอามุมป้านไปทดสอบด้วย
    ถ้าจับผิดในงานของคนอื่นได้ ก็จะไม่พลาดแบบเดียวกันในงานตัวเอง

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี