Circlesเรขาคณิตวิเคราะห์: วงกลม

A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: Pure 1 (9709/1) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

A distance, and a completed squareระยะทาง กับการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์

A circle's equation is panel 1, squared. Panel 2, done in $x$ and in $y$, gives the centre.สมการวงกลมคือช่อง 1 ยกกำลังสอง · ทำช่อง 2 กับ $x$ และกับ $y$ ได้จุดศูนย์กลาง

1. Find the distance between $A(1,2)$ and $B(4,6)$.หาระยะห่างระหว่าง $A(1,2)$ กับ $B(4,6)$
   Answer:เฉลย: $AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$Pythagoras wearing coordinates: $AB=\sqrt{(4-1)^{2}+(6-2)^{2}}$   $=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$พีทาโกรัสในรูปพิกัด: $AB=\sqrt{(4-1)^{2}+(6-2)^{2}}$   $=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$
2. Write $x^{2}-4x$ in the form $(x-2)^{2}+k$.  Find $k$.เขียน $x^{2}-4x$ ในรูป $(x-2)^{2}+k$  หา $k$
   Answer:เฉลย: $k=-4$Halve, square, subtract: $(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4$   $x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4$   $k=-4$หารสอง ยกกำลังสอง แล้วลบออก: $(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4$   $x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4$   $k=-4$
3. A line has gradient $\tfrac{2}{3}$. What is the gradient of a line perpendicular to it?เส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชัน $\tfrac{2}{3}$ · เส้นที่ตั้งฉากกับมันมีความชันเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $-\dfrac{3}{2}$Flip it, then change the sign: $m_{1}m_{2}=-1$   $\tfrac{2}{3}\ \longrightarrow\ -\tfrac{3}{2}$ Later this one fact turns a radius into a tangent.กลับเศษส่วน แล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย: $m_{1}m_{2}=-1$   $\tfrac{2}{3}\ \longrightarrow\ -\tfrac{3}{2}$ อีกเดี๋ยว ข้อนี้ข้อเดียวจะเปลี่ยนรัศมีให้เป็นเส้นสัมผัส

2. Pythagoras is the circle equationพีทาโกรัสคือสมการวงกลม

A point is on the circle when its distance from the centre equals $r$, and only then.จุดจะอยู่บนวงกลมก็ต่อเมื่อระยะจากจุดศูนย์กลางเท่ากับ $r$ พอดี

A circle is a distance ruleวงกลมคือกฎเรื่องระยะทาง

Every point on the circle is $r$ from the centre. Set that distance $=r$: that is the equation.ทุกจุดบนวงกลมห่างจากจุดศูนย์กลาง $r$ · ให้ระยะนั้น $=r$ · นั่นคือสมการวงกลม

1. A circle has centre $C(2,1)$ and radius $5$. Find the distance from $C$ to $P(5,5)$.วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนย์กลาง $C(2,1)$ รัศมี $5$ · หาระยะจาก $C$ ถึง $P(5,5)$
   Answer:เฉลย: $CP=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$Distance $=r$ means on the circle: $CP=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$   $CP=r\ \Rightarrow\ P\ \text{lies on the circle}$ระยะ $=r$ แปลว่าอยู่บนวงกลม: $CP=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$   $CP=r\ \Rightarrow\ P\ \text{lies on the circle}$
2. Write the sentence "$P(x,y)$ lies on the circle with centre $C(2,1)$ and radius $5$" in symbols.เขียนประโยค "$P(x,y)$ อยู่บนวงกลมจุดศูนย์กลาง $C(2,1)$ รัศมี $5$" ให้เป็นสัญลักษณ์
   Answer:เฉลย: $\sqrt{(x-2)^{2}+(y-1)^{2}}=5$The definition, written in symbols: $\text{distance from centre}=r$   $\sqrt{(x-2)^{2}+(y-1)^{2}}=5$นิยาม เขียนเป็นสัญลักษณ์: $\text{distance from centre}=r$   $\sqrt{(x-2)^{2}+(y-1)^{2}}=5$
3. Square both sides of $\sqrt{(x-2)^{2}+(y-1)^{2}}=5$. What number is now on the right-hand side?ยกกำลังสองทั้งสองข้างของ $\sqrt{(x-2)^{2}+(y-1)^{2}}=5$ · ตัวเลขฝั่งขวากลายเป็นเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=25$Squaring removes the root: $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5^{2}$   $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=25$ That is why every circle equation ends in $r^{2}$, not $r$.ยกกำลังสอง รากหายไป: $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5^{2}$   $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=25$ เพราะแบบนี้ สมการวงกลมจึงจบด้วย $r^{2}$ ไม่ใช่ $r$

3. Find the centre and the radiusหาจุดศูนย์กลางและรัศมี

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$: centre $(a,b)$, radius $r$.$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ · จุดศูนย์กลาง $(a,b)$ รัศมี $r$

1. Label the pieces first. The formula is $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$; the circle is $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=49$. Which pairing is correct?ติดป้ายชิ้นส่วนก่อน · สูตรคือ $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ ส่วนวงกลมคือ $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=49$ · จับคู่แบบไหนถูก?
   Answer:เฉลย: $a=3$, $b=-2$  — centre $(3,-2)$The bracket sign is the opposite: $(x-3)\ \text{vs}\ (x-a)\ \Rightarrow\ a=3$   $(y+2)\ \text{vs}\ (y-b)\ \Rightarrow\ -b=2\ \Rightarrow\ b=-2$   $\text{centre}=(3,-2)$เครื่องหมายในวงเล็บ ตรงข้ามกับพิกัด: $(x-3)\ \text{vs}\ (x-a)\ \Rightarrow\ a=3$   $(y+2)\ \text{vs}\ (y-b)\ \Rightarrow\ -b=2\ \Rightarrow\ b=-2$   $\text{centre}=(3,-2)$
2. Now substitute, and work nothing out yet. Centre $(4,-1)$, radius $3$: which line puts those numbers into $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ correctly?คราวนี้แทนค่า และยังไม่ต้องคิดเลข · จุดศูนย์กลาง $(4,-1)$ รัศมี $3$: บรรทัดไหนแทนตัวเลขลงใน $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ ได้ถูกต้อง?
   Answer:เฉลย: $(x-4)^{2}+(y+1)^{2}=3^{2}=9$Substitute first, simplify after: $(x-4)^{2}+\bigl(y-(-1)\bigr)^{2}=3^{2}$   $(x-4)^{2}+(y+1)^{2}=9$แทนค่าก่อน แล้วค่อยจัดรูป: $(x-4)^{2}+\bigl(y-(-1)\bigr)^{2}=3^{2}$   $(x-4)^{2}+(y+1)^{2}=9$
3. $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=49$.  Write down the radius.$(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=49$  เขียนรัศมีออกมา
   Answer:เฉลย: $r=7$Read $r^{2}$ off the right-hand side: $r^{2}=49\ \Rightarrow\ r=7$   $\text{centre}=(3,-2)$อ่าน $r^{2}$ จากฝั่งขวา: $r^{2}=49\ \Rightarrow\ r=7$   $\text{centre}=(3,-2)$

4. The expanded formรูปกระจาย

$x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$. Complete the square twice to find the centre.$x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ · จัดกำลังสองสมบูรณ์สองรอบ แล้วจุดศูนย์กลางจะกลับมา

Multiply it out and the circle goes into hidingกระจายวงเล็บออก แล้ววงกลมก็หายตัว

The exam usually gives the expanded form. Complete the square in $x$ and in $y$.ข้อสอบมักให้รูปกระจาย · ทำกำลังสองสมบูรณ์กับ $x$ และกับ $y$

$x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$: centre and radius$x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ · หาจุดศูนย์กลางกับรัศมี

1. $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$Expanded form. You cannot read the centre off this.รูปกระจาย · อ่านจุดศูนย์กลางจากรูปนี้ไม่ได้
2. $(x-3)^{2}-9\;+\;(y+2)^{2}-4\;-12=0$Half of $-6$ is $-3$. Half of $+4$ is $+2$.ครึ่งของ $-6$ คือ $-3$ · ครึ่งของ $+4$ คือ $+2$
3. $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=25$$-9-4-12=-25$, so $25$ crosses over.$-9-4-12=-25$ เลขย้ายข้างไปเป็น $25$
4. $\text{centre}=(3,-2)$Signs flip out of the brackets. $r=\sqrt{25}$, not $25$.อ่านจากวงเล็บ เครื่องหมายกลับด้าน · $r=\sqrt{25}$ ไม่ใช่ $25$
5. $r=5$Radius on its own line. It is a separate answer.รัศมีอยู่คนละบรรทัด · เป็นคำตอบคนละตัว

1. Warm the move up on the $x$-part alone: $x^{2}-6x=(x-3)^{2}+k$.  Find $k$.วอร์มท่านี้กับส่วน $x$ ก่อน: $x^{2}-6x=(x-3)^{2}+k$  หา $k$
   Answer:เฉลย: $x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$Halve the coefficient, subtract its square: $(x-3)^{2}=x^{2}-6x+9$   $x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$   $k=-9$หารสัมประสิทธิ์ครึ่งหนึ่ง แล้วลบกำลังสองของมัน: $(x-3)^{2}=x^{2}-6x+9$   $x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$   $k=-9$
2. So $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ in centre–radius form is…สรุปแล้ว $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ เขียนในรูปจุดศูนย์กลาง–รัศมีได้เป็น…
   Answer:เฉลย: $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=25$  — centre $(3,-2)$, radius $5$Every borrowed square moves right: $(x-3)^{2}-9+(y+2)^{2}-4-12=0$   $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=25$   $\text{centre}=(3,-2),\quad r=5$กำลังสองที่ยืมมา ต้องย้ายไปฝั่งขวาทุกตัว: $(x-3)^{2}-9+(y+2)^{2}-4-12=0$   $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=25$   $\text{centre}=(3,-2),\quad r=5$
3. Your turn, fresh numbers: the circle $x^{2}+y^{2}+4x-6y-3=0$. Find the $y$-coordinate of its centre.ลองเอง เลขชุดใหม่: วงกลม $x^{2}+y^{2}+4x-6y-3=0$ · หาพิกัด $y$ ของจุดศูนย์กลาง
   Answer:เฉลย: $(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=16$, so the centre is $(-2,3)$ and its $y$-coordinate is $3$Two sign steps: halve, then flip: $y^{2}-6y=(y-3)^{2}-9$   $(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=16$   $\text{centre}=(-2,3)\ \Rightarrow\ y=3$เครื่องหมายสองจังหวะ: หารสอง แล้วกลับเครื่องหมาย: $y^{2}-6y=(y-3)^{2}-9$   $(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=16$   $\text{centre}=(-2,3)\ \Rightarrow\ y=3$

5. Line meets circleเส้นตรงเจอวงกลม

Substitute, then let $b^{2}-4ac$ count the crossings for you.แทนค่าก่อน แล้วปล่อยให้ $b^{2}-4ac$ นับจุดตัดให้

Substitute the line into the circleแทนสมการเส้นตรงลงในสมการวงกลม

A crossing point fits both equations. The roots are the crossings: $b^{2}-4ac$ counts them.จุดตัดต้องเป็นจริงทั้งสองสมการ · รากคือจุดตัด · $b^{2}-4ac$ บอกว่ามีกี่จุด

1. Substituting $y=x+1$ into $x^{2}+y^{2}=25$ gives…แทน $y=x+1$ ลงใน $x^{2}+y^{2}=25$ จะได้…
   Answer:เฉลย: $x^{2}+(x+1)^{2}=25$Substitution swaps, never adds: $y\ \longrightarrow\ x+1\ \text{everywhere}$   $x^{2}+(x+1)^{2}=25$การแทนค่าคือเปลี่ยนตัว ไม่ใช่เอาไปบวก: $y\ \longrightarrow\ x+1\ \text{everywhere}$   $x^{2}+(x+1)^{2}=25$
2. $x^{2}+(x+1)^{2}=25$ simplifies to $2x^{2}+2x-24=0$.  Find $b^{2}-4ac$.$x^{2}+(x+1)^{2}=25$ จัดรูปได้ $2x^{2}+2x-24=0$  หา $b^{2}-4ac$
   Answer:เฉลย: $b^{2}-4ac=2^{2}-4(2)(-24)=4+192=196$The discriminant counts the crossings: $b^{2}-4ac=2^{2}-4(2)(-24)=196$   $196>0\ \Rightarrow\ 2\ \text{points}$   $=0\ \Rightarrow\ \text{tangent},\qquad <0\ \Rightarrow\ \text{no points}$   $\sqrt{196}=14\ \Rightarrow\ (3,4),\ (-4,-3)$ You know the number of points before solving anything.ดิสคริมิแนนต์ นับจำนวนจุดตัด: $b^{2}-4ac=2^{2}-4(2)(-24)=196$   $196>0\ \Rightarrow\ 2\ \text{points}$   $=0\ \Rightarrow\ \text{tangent},\qquad <0\ \Rightarrow\ \text{no points}$   $\sqrt{196}=14\ \Rightarrow\ (3,4),\ (-4,-3)$ รู้จำนวนจุดตัดได้ ก่อนจะแก้สมการด้วยซ้ำ

6. Tangentsเส้นสัมผัส

The tangent is perpendicular to the radius, so its gradient is the negative reciprocal.เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมี ความชันจึงเป็น negative reciprocal ของความชันรัศมี

A tangent touches, so it is perpendicular to the radiusเส้นสัมผัสแค่แตะ มันจึงตั้งฉากกับรัศมี

A tangent question is two old jobs: gradient of the radius, then negative reciprocal.โจทย์เส้นสัมผัสคืองานเก่าสองอย่าง · หาความชันของรัศมี แล้วกลับเศษเป็นส่วนและเปลี่ยนเครื่องหมาย

The same three marks, written outสามคะแนนเดิม เขียนออกมาเต็ม ๆ

① is the radius, ② the tangent at $(3,4)$. Only ① needs the circle.① คือรัศมี · ② คือเส้นสัมผัสที่ $(3,4)$ · วงกลมให้มาแค่ ①

1. $P(3,4)$ lies on the circle $x^{2}+y^{2}=25$, whose centre is $O(0,0)$. Find the gradient of the radius $OP$.$P(3,4)$ อยู่บนวงกลม $x^{2}+y^{2}=25$ ซึ่งมีจุดศูนย์กลาง $O(0,0)$ · หาความชันของรัศมี $OP$
   Answer:เฉลย: $m_{OP}=\dfrac{4-0}{3-0}=\dfrac{4}{3}$Radius: line through two points: $m_{OP}=\dfrac{4-0}{3-0}=\dfrac{4}{3}$รัศมีคือเส้นตรงผ่านสองจุด: $m_{OP}=\dfrac{4-0}{3-0}=\dfrac{4}{3}$
2. So the gradient of the tangent to the circle at $P$ is…แล้วความชันของเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $P$ คือ…
   Answer:เฉลย: $m_{\text{tan}}=-\dfrac{3}{4}$Negative reciprocal of the radius: $m_{OP}=\tfrac{4}{3}$   $m_{\text{tan}}=-\tfrac{3}{4}$   $\tfrac{4}{3}\times\left(-\tfrac{3}{4}\right)=-1\ \checkmark$ Examiners look for that two-second product check.กลับเศษส่วน–เปลี่ยนเครื่องหมาย จากความชันรัศมี: $m_{OP}=\tfrac{4}{3}$   $m_{\text{tan}}=-\tfrac{3}{4}$   $\tfrac{4}{3}\times\left(-\tfrac{3}{4}\right)=-1\ \checkmark$ ผู้ตรวจข้อสอบมองหาการตรวจผลคูณ $-1$ นี้
3. Exam: the tangent to $x^{2}+y^{2}=25$ at $P(3,4)$ can be written $3x+4y=k$. Find $k$.  (3 marks)ข้อสอบ: เส้นสัมผัสวงกลม $x^{2}+y^{2}=25$ ที่จุด $P(3,4)$ เขียนได้เป็น $3x+4y=k$ · หา $k$  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $3x+4y=25$, so $k=25$3 marks: $\text{M1}\quad m_{\text{tan}}=-\tfrac{3}{4}$   $\text{M2}\quad y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3)\ \Rightarrow\ 4y-16=-3x+9$   $\text{A1}\quad 3x+4y=25\ \Rightarrow\ k=25$ Centre at the origin: the tangent at $(x_{1},y_{1})$ is $xx_{1}+yy_{1}=r^{2}$.3 คะแนน: $\text{M1}\quad m_{\text{tan}}=-\tfrac{3}{4}$   $\text{M2}\quad y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3)\ \Rightarrow\ 4y-16=-3x+9$   $\text{A1}\quad 3x+4y=25\ \Rightarrow\ k=25$ ถ้าศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด เส้นสัมผัสที่ $(x_{1},y_{1})$ คือ $xx_{1}+yy_{1}=r^{2}$

7. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Three points, diameters and tangent lengths. A right angle does the work in each.สามจุด เส้นผ่านศูนย์กลาง และความยาวเส้นสัมผัส · งานหนักอยู่ที่มุมฉาก

The two right angles the examiner keeps usingมุมฉากสองตัวที่คนออกข้อสอบใช้ซ้ำๆ

Angle in a semicircle $=90^{\circ}$. Tangent $\perp$ radius. $L$ is the tangent, $d$ the distance to the centre.มุมในครึ่งวงกลม $=90^{\circ}$ · เส้นสัมผัส $\perp$ รัศมี · $L$ คือเส้นสัมผัส $d$ คือระยะถึงจุดศูนย์กลาง

1. $A(1,2)$ and $B(7,10)$. A point $P$ moves so that $\angle APB=90^{\circ}$. Then $P$ lies on the circle with…$A(1,2)$ และ $B(7,10)$ · จุด $P$ เคลื่อนที่โดยให้ $\angle APB=90^{\circ}$ · แล้ว $P$ จะอยู่บนวงกลมที่มี…
   Answer:เฉลย: centre $(4,6)$, radius $5$จุดศูนย์กลาง $(4,6)$ รัศมี $5$Right angle makes $AB$ a diameter: $AB=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$   $\text{centre}=\text{midpoint of }AB=(4,6)$   $r=10\div 2=5$มุมฉากทำให้ $AB$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง: $AB=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$   $\text{centre}=\text{midpoint of }AB=(4,6)$   $r=10\div 2=5$
2. Exam: that circle is written in the form $x^{2}+y^{2}-8x-12y+k=0$. Find $k$.  (3 marks)ข้อสอบ: วงกลมดวงนั้นเขียนในรูป $x^{2}+y^{2}-8x-12y+k=0$ · หา $k$  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $(x-4)^{2}+(y-6)^{2}=25 \Rightarrow x^{2}+y^{2}-8x-12y+27=0$, so $k=27$3 marks: $\text{M1}\quad (x-4)^{2}+(y-6)^{2}=25$   $\text{M2}\quad \text{expand}:\ +16\ \text{and}\ +36$   $\text{A1}\quad 16+36-25=27\ \Rightarrow\ k=27$3 คะแนน: $\text{M1}\quad (x-4)^{2}+(y-6)^{2}=25$   $\text{M2}\quad \text{expand}:\ +16\ \text{and}\ +36$   $\text{A1}\quad 16+36-25=27\ \Rightarrow\ k=27$
3. Exam: a circle has centre $C(2,-1)$ and radius $3$. The point $T(6,2)$ lies outside it. Find the length of the tangent from $T$ to the circle.  (3 marks)ข้อสอบ: วงกลมมีจุดศูนย์กลาง $C(2,-1)$ รัศมี $3$ · จุด $T(6,2)$ อยู่นอกวงกลม · หาความยาวของเส้นสัมผัสจาก $T$ ถึงวงกลม  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $CT=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$, so $L=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{16}=4$3 marks: $\text{M1}\quad CT=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$   $\text{M2}\quad L^{2}=CT^{2}-r^{2}$   $\text{A1}\quad L=\sqrt{25-9}=4$ Answering $5$ gives the distance to the centre, and loses two marks.3 คะแนน: $\text{M1}\quad CT=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$   $\text{M2}\quad L^{2}=CT^{2}-r^{2}$   $\text{A1}\quad L=\sqrt{25-9}=4$ ตอบ $5$ คือระยะถึงจุดศูนย์กลาง · เสียไปสองคะแนน
4. Exam: The circle $C$ has equation $x^{2}+y^{2}-6x+8y+16=0$. The point $T(1,3)$ lies outside $C$. The line $TA$ is a tangent to $C$, touching it at $A$. Find the exact length of $TA$.  (5 marks)ข้อสอบ: วงกลม $C$ มีสมการ $x^{2}+y^{2}-6x+8y+16=0$ · จุด $T(1,3)$ อยู่นอกวงกลม · เส้น $TA$ เป็น tangent สัมผัสวงกลมที่จุด $A$ · หาความยาว $TA$ ตอบเป็น exact surd  (5 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $TA=\sqrt{53-9}=\sqrt{44}=2\sqrt{11}$5 marks: $\text{M1}\quad (x-3)^{2}+(y+4)^{2}=9$   $\text{M2}\quad \text{centre}(3,-4),\ r=3$   $\text{M3}\quad CT^{2}=(1-3)^{2}+(3+4)^{2}=4+49=53$   $\text{M4}\quad TA^{2}=53-9=44$   $\text{A1}\quad TA=\sqrt{44}=2\sqrt{11}$ “Exact” means the surd has to be simplified.5 คะแนน: $\text{M1}\quad (x-3)^{2}+(y+4)^{2}=9$   $\text{M2}\quad \text{centre}(3,-4),\ r=3$   $\text{M3}\quad CT^{2}=(1-3)^{2}+(3+4)^{2}=4+49=53$   $\text{M4}\quad TA^{2}=53-9=44$   $\text{A1}\quad TA=\sqrt{44}=2\sqrt{11}$ คำว่า “exact” แปลว่าต้องทำรูปรากให้ง่ายที่สุด
5. The line $y=2x+c$ is a tangent to the circle $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=20$. Find both possible values of $c$. Type them separated by a comma.เส้นตรง $y=2x+c$ เป็น tangent ของวงกลม $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=20$ · หาค่า $c$ ทั้งสองค่า · พิมพ์คั่นด้วยลูกน้ำ
   Answer:เฉลย: $c=6$ or $c=-14$No named point $\Rightarrow$ discriminant: $5x^{2}+(4c+6)x+(c^{2}+4c-15)=0$   $(4c+6)^{2}-20(c^{2}+4c-15)=0$   $c^{2}+8c-84=0$   $(c+14)(c-6)=0\ \Rightarrow\ c=6,\ -14$ Use the perpendicular radius instead when the question names a point.ไม่มีจุดสัมผัสที่ระบุ $\Rightarrow$ ใช้ดิสคริมิแนนต์: $5x^{2}+(4c+6)x+(c^{2}+4c-15)=0$   $(4c+6)^{2}-20(c^{2}+4c-15)=0$   $c^{2}+8c-84=0$   $(c+14)(c-6)=0\ \Rightarrow\ c=6,\ -14$ ถ้าโจทย์ระบุจุดบนวงกลม ให้ใช้วิธีรัศมีตั้งฉากแทน

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. Write down the centre and the radius of the circle $(x-5)^{2}+(y+3)^{2}=36$.
   Answer:เฉลย: centre $(5,-3)$,  radius $6$Both traps in one line: flip $+3$ to $-3$, and square-root $36$ to get $6$.กับดักทั้งสองอยู่บรรทัดเดียว: เปลี่ยน $+3$ เป็น $-3$ และถอดราก $36$ ให้ได้ $6$
2. Write down the centre and the radius of the circle $(x+1)^{2}+(y-4)^{2}=20$, giving the radius in exact form.
   Answer:เฉลย: centre $(-1,4)$,  radius $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$$20$ is not a perfect square: keep the radius as $2\sqrt{5}$, not $4.47$.$20$ ไม่ใช่จำนวนกำลังสองสมบูรณ์: เขียนรัศมีเป็น $2\sqrt{5}$ ไม่ใช่ $4.47$
3. Find the centre and the radius of the circle $x^{2}+y^{2}-10x+6y+9=0$.
   Answer:เฉลย: $(x-5)^{2}+(y+3)^{2}=25$;  centre $(5,-3)$, radius $5$Same family, expanded form: complete the square twice, then move the constant across.วงกลมตระกูลเดิม รูปกระจาย: จัดกำลังสองสมบูรณ์สองรอบ แล้วย้ายค่าคงที่ข้ามฝั่ง
4. Find the coordinates of the points where the line $y=x+2$ meets the circle $x^{2}+y^{2}=10$.
   Answer:เฉลย: $2x^{2}+4x-6=0\Rightarrow x=1$ or $x=-3$;  the points are $(1,3)$ and $(-3,-1)$Substitute the line into the circle, solve the quadratic, then feed each root back for $y$.แทนเส้นตรงลงในวงกลม แก้สมการกำลังสอง แล้วนำแต่ละรากกลับไปหา $y$
5. The circle $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ has centre $(3,-1)$ and radius $4$. Find $g$, $f$ and $c$.
   Answer:เฉลย: $(x-3)^{2}+(y+1)^{2}=16$ expands to $x^{2}+y^{2}-6x+2y-6=0$, so $g=-3$, $f=1$, $c=-6$The answer is given: build the brackets from centre and radius, then expand.ให้คำตอบมาแล้ว: สร้างวงเล็บจากจุดศูนย์กลางกับรัศมี แล้วกระจาย
6. The circle $C$ has equation $x^{2}+y^{2}-4x+8y-5=0$.  (4 marks) (a)(ก) Find the centre and radius of $C$. (3 marks) (b)(ข) Verify that $P(6,-1)$ lies on $C$, and find the equation of the tangent to $C$ at $P$.
   Answer:เฉลย: (a) $(x-2)^{2}+(y+4)^{2}=25$: centre $(2,-4)$, radius $5$.  (b) $(6-2)^{2}+(-1+4)^{2}=16+9=25$ ✓; $m_{CP}=\tfrac{3}{4}$ so $m_{\text{tan}}=-\tfrac{4}{3}$, giving $4x+3y=21$Full exam wording: complete the square, check by substitution, then gradient to tangent to line.ภาษาข้อสอบเต็มรูปแบบ: จัดกำลังสองสมบูรณ์ ตรวจด้วยการแทนค่า แล้วความชันสู่เส้นสัมผัสสู่สมการเส้น
7. A student writes: "the circle $(x+2)^{2}+(y-5)^{2}=16$ has centre $(2,-5)$ and radius $16$." Find both errors and give the correct centre and radius.
   Answer:เฉลย: Centre is $(-2,5)$ — the bracket sign flips — and the radius is $\sqrt{16}=4$, because the right-hand side is $r^{2}$This sentence loses both marks the lesson covers. Spot the mistake here, avoid it yourself.ประโยคนี้เสียคะแนนทั้งสองจุดที่บทเรียนเน้น · หาความผิดพลาดในนี้ให้เจอ แล้วจะไม่พลาดเอง

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี