Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Circlesเรขาคณิตวิเคราะห์: วงกลม

A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: Pure 1 (9709/1) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

A distance, and a completed squareระยะทาง กับการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์

Completing the square twice turns any circle equation into centre and radius.ทำกำลังสองสมบูรณ์สองครั้ง สมการวงกลมใด ๆ ก็กลายเป็นจุดศูนย์กลางกับรัศมี

  1. Find the distance between $A(1,2)$ and $B(4,6)$.หาระยะห่างระหว่าง $A(1,2)$ กับ $B(4,6)$
    Answer:เฉลย: $AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$Pythagoras wearing coordinates: $AB=\sqrt{(4-1)^{2}+(6-2)^{2}}$   $=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$พีทาโกรัสในรูปพิกัด: $AB=\sqrt{(4-1)^{2}+(6-2)^{2}}$   $=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$
  2. Write $x^{2}-4x$ in the form $(x-2)^{2}+k$.  Find $k$.เขียน $x^{2}-4x$ ในรูป $(x-2)^{2}+k$  หา $k$
    Answer:เฉลย: $k=-4$Halve, square, subtract: $(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4$   $x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4$   $k=-4$หารสอง ยกกำลังสอง แล้วลบออก: $(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4$   $x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4$   $k=-4$
  3. A line has gradient $\tfrac{2}{3}$. What is the gradient of a line perpendicular to it?เส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชัน $\tfrac{2}{3}$ · เส้นที่ตั้งฉากกับมันมีความชันเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $-\dfrac{3}{2}$Flip it, then change the sign: $m_{1}m_{2}=-1$   $\tfrac{2}{3}\ \longrightarrow\ -\tfrac{3}{2}$ Later this one fact turns a radius into a tangent.กลับเศษส่วน แล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย: $m_{1}m_{2}=-1$   $\tfrac{2}{3}\ \longrightarrow\ -\tfrac{3}{2}$ อีกเดี๋ยว ข้อนี้ข้อเดียวจะเปลี่ยนรัศมีให้เป็นเส้นสัมผัส

2. Pythagoras is the circle equationพีทาโกรัสคือสมการวงกลม

A point is on the circle exactly when its distance from the centre is $r$.จุดจะอยู่บนวงกลมก็ต่อเมื่อระยะจากจุดศูนย์กลางเท่ากับ $r$ พอดี

A circle is a distance rule, nothing moreวงกลมคือกฎเรื่องระยะทาง ไม่มีอะไรมากกว่านั้น

  1. A circle has centre $C(2,1)$ and radius $5$. Find the distance from $C$ to $P(5,5)$.วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนย์กลาง $C(2,1)$ รัศมี $5$ · หาระยะจาก $C$ ถึง $P(5,5)$
    Answer:เฉลย: $CP=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$Distance $=r$ means on the circle: $CP=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$   $CP=r\ \Rightarrow\ P\ \text{lies on the circle}$ระยะ $=r$ แปลว่าอยู่บนวงกลม: $CP=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$   $CP=r\ \Rightarrow\ P\ \text{lies on the circle}$
  2. Write the sentence "$P(x,y)$ lies on the circle with centre $C(2,1)$ and radius $5$" in symbols.เขียนประโยค "$P(x,y)$ อยู่บนวงกลมจุดศูนย์กลาง $C(2,1)$ รัศมี $5$" ให้เป็นสัญลักษณ์
    Answer:เฉลย: $\sqrt{(x-2)^{2}+(y-1)^{2}}=5$The definition, written in symbols: $\text{distance from centre}=r$   $\sqrt{(x-2)^{2}+(y-1)^{2}}=5$นิยาม เขียนเป็นสัญลักษณ์: $\text{distance from centre}=r$   $\sqrt{(x-2)^{2}+(y-1)^{2}}=5$
  3. Square both sides of $\sqrt{(x-2)^{2}+(y-1)^{2}}=5$. What number is now on the right-hand side?ยกกำลังสองทั้งสองข้างของ $\sqrt{(x-2)^{2}+(y-1)^{2}}=5$ · ตัวเลขฝั่งขวากลายเป็นเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=25$Squaring kills the root: $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5^{2}$   $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=25$ That is why every circle equation ends in $r^{2}$, not $r$.ยกกำลังสอง รากหายไป: $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=5^{2}$   $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=25$ เพราะแบบนี้ สมการวงกลมจึงจบด้วย $r^{2}$ ไม่ใช่ $r$

3. Find the centre and the radiusหาจุดศูนย์กลางและรัศมี

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ — centre $(a,b)$, radius $r$.$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ — จุดศูนย์กลาง $(a,b)$ รัศมี $r$

  1. Label the pieces first. The formula is $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$; the circle is $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=49$. Which pairing is correct?ติดป้ายชิ้นส่วนก่อน · สูตรคือ $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ ส่วนวงกลมคือ $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=49$ · จับคู่แบบไหนถูก?
    Answer:เฉลย: $a=3$, $b=-2$  — centre $(3,-2)$The bracket sign is the opposite: $(x-3)\ \text{vs}\ (x-a)\ \Rightarrow\ a=3$   $(y+2)\ \text{vs}\ (y-b)\ \Rightarrow\ -b=2\ \Rightarrow\ b=-2$   $\text{centre}=(3,-2)$เครื่องหมายในวงเล็บ ตรงข้ามกับพิกัด: $(x-3)\ \text{vs}\ (x-a)\ \Rightarrow\ a=3$   $(y+2)\ \text{vs}\ (y-b)\ \Rightarrow\ -b=2\ \Rightarrow\ b=-2$   $\text{centre}=(3,-2)$
  2. Now substitute, and work nothing out yet. Centre $(4,-1)$, radius $3$: which line puts those numbers into $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ correctly?คราวนี้แทนค่า และยังไม่ต้องคิดเลข · จุดศูนย์กลาง $(4,-1)$ รัศมี $3$: บรรทัดไหนแทนตัวเลขลงใน $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ ได้ถูกต้อง?
    Answer:เฉลย: $(x-4)^{2}+(y+1)^{2}=3^{2}=9$Substitute first, tidy after: $(x-4)^{2}+\bigl(y-(-1)\bigr)^{2}=3^{2}$   $(x-4)^{2}+(y+1)^{2}=9$แทนค่าก่อน แล้วค่อยจัดรูป: $(x-4)^{2}+\bigl(y-(-1)\bigr)^{2}=3^{2}$   $(x-4)^{2}+(y+1)^{2}=9$
  3. $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=49$.  Write down the radius.$(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=49$  เขียนรัศมีออกมา
    Answer:เฉลย: $r=7$Read $r^{2}$ off the right-hand side: $r^{2}=49\ \Rightarrow\ r=7$   $\text{centre}=(3,-2)$อ่าน $r^{2}$ จากฝั่งขวา: $r^{2}=49\ \Rightarrow\ r=7$   $\text{centre}=(3,-2)$

4. The expanded formรูปกระจาย

$x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ — complete the square twice and the centre comes back.$x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ — จัดกำลังสองสมบูรณ์สองรอบ แล้วจุดศูนย์กลางจะกลับมา

Multiply it out and the circle goes into hidingกระจายวงเล็บออก แล้ววงกลมก็หายตัว

$x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ — centre and radius$x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ — หาจุดศูนย์กลางกับรัศมี

  1. $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$Expanded form. You cannot read the centre off this.รูปกระจาย · อ่านจุดศูนย์กลางจากรูปนี้ไม่ได้
  2. $(x-3)^{2}-9\;+\;(y+2)^{2}-4\;-12=0$Complete the square twice: once in $x$, once in $y$. Half of $-6$ is $-3$; half of $+4$ is $+2$.ทำกำลังสองสมบูรณ์สองรอบ: รอบหนึ่งกับ $x$ อีกรอบกับ $y$ · ครึ่งของ $-6$ คือ $-3$ ครึ่งของ $+4$ คือ $+2$
  3. $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=25$$-9-4-12=-25$, so $25$ crosses over.$-9-4-12=-25$ เลขย้ายข้างไปเป็น $25$
  4. $\text{centre}=(3,-2)$Signs flip when you read the centre out of the brackets. $r=\sqrt{25}$, not $25$.อ่านจุดศูนย์กลางจากวงเล็บ เครื่องหมายกลับด้าน · $r=\sqrt{25}$ ไม่ใช่ $25$
  5. $r=5$Radius on its own line — it is a separate answer.รัศมีอยู่คนละบรรทัด เป็นคำตอบคนละตัว
  1. Warm the move up on the $x$-part alone: $x^{2}-6x=(x-3)^{2}+k$.  Find $k$.วอร์มท่านี้กับส่วน $x$ ก่อน: $x^{2}-6x=(x-3)^{2}+k$  หา $k$
    Answer:เฉลย: $x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$Halve the coefficient, subtract its square: $(x-3)^{2}=x^{2}-6x+9$   $x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$   $k=-9$หารสัมประสิทธิ์ครึ่งหนึ่ง แล้วลบกำลังสองของมัน: $(x-3)^{2}=x^{2}-6x+9$   $x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$   $k=-9$
  2. So $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ in centre–radius form is…สรุปแล้ว $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ เขียนในรูปจุดศูนย์กลาง–รัศมีได้เป็น…
    Answer:เฉลย: $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=25$  — centre $(3,-2)$, radius $5$Every borrowed square moves right: $(x-3)^{2}-9+(y+2)^{2}-4-12=0$   $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=25$   $\text{centre}=(3,-2),\quad r=5$กำลังสองที่ยืมมา ต้องย้ายไปฝั่งขวาทุกตัว: $(x-3)^{2}-9+(y+2)^{2}-4-12=0$   $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=25$   $\text{centre}=(3,-2),\quad r=5$
  3. Your turn, fresh numbers: the circle $x^{2}+y^{2}+4x-6y-3=0$. Find the $y$-coordinate of its centre.ตาน้องบ้าง เลขชุดใหม่: วงกลม $x^{2}+y^{2}+4x-6y-3=0$ · หาพิกัด $y$ ของจุดศูนย์กลาง
    Answer:เฉลย: $(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=16$, so the centre is $(-2,3)$ and its $y$-coordinate is $3$Two sign steps: halve, then flip: $y^{2}-6y=(y-3)^{2}-9$   $(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=16$   $\text{centre}=(-2,3)\ \Rightarrow\ y=3$เครื่องหมายสองจังหวะ: หารสอง แล้วกลับเครื่องหมาย: $y^{2}-6y=(y-3)^{2}-9$   $(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=16$   $\text{centre}=(-2,3)\ \Rightarrow\ y=3$

5. Line meets circleเส้นตรงเจอวงกลม

Substitute, then let $b^{2}-4ac$ count the crossings for you.แทนค่าก่อน แล้วปล่อยให้ $b^{2}-4ac$ นับจุดตัดให้

Substitute the line into the circleแทนสมการเส้นตรงลงในสมการวงกลม

  1. Substituting $y=x+1$ into $x^{2}+y^{2}=25$ gives…แทน $y=x+1$ ลงใน $x^{2}+y^{2}=25$ จะได้…
    Answer:เฉลย: $x^{2}+(x+1)^{2}=25$Substitution is a swap, not an add: $y\ \longrightarrow\ x+1\ \text{everywhere}$   $x^{2}+(x+1)^{2}=25$การแทนค่าคือเปลี่ยนตัว ไม่ใช่เอาไปบวก: $y\ \longrightarrow\ x+1\ \text{everywhere}$   $x^{2}+(x+1)^{2}=25$
  2. $x^{2}+(x+1)^{2}=25$ tidies to $2x^{2}+2x-24=0$.  Find $b^{2}-4ac$.$x^{2}+(x+1)^{2}=25$ จัดรูปได้ $2x^{2}+2x-24=0$  หา $b^{2}-4ac$
    Answer:เฉลย: $b^{2}-4ac=2^{2}-4(2)(-24)=4+192=196$The discriminant counts the crossings: $b^{2}-4ac=2^{2}-4(2)(-24)=196$   $196>0\ \Rightarrow\ 2\ \text{points}$   $=0\ \Rightarrow\ \text{tangent},\qquad <0\ \Rightarrow\ \text{no points}$   $\sqrt{196}=14\ \Rightarrow\ (3,4),\ (-4,-3)$ You know the number of points before solving anything.ดิสคริมิแนนต์ นับจำนวนจุดตัด: $b^{2}-4ac=2^{2}-4(2)(-24)=196$   $196>0\ \Rightarrow\ 2\ \text{points}$   $=0\ \Rightarrow\ \text{tangent},\qquad <0\ \Rightarrow\ \text{no points}$   $\sqrt{196}=14\ \Rightarrow\ (3,4),\ (-4,-3)$ รู้จำนวนจุดตัดได้ ก่อนจะแก้สมการด้วยซ้ำ

6. Tangentsเส้นสัมผัส

The tangent is perpendicular to the radius, so its gradient is the negative reciprocal.เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมี ความชันจึงเป็น negative reciprocal ของความชันรัศมี

A tangent touches, so it is perpendicular to the radiusเส้นสัมผัสแค่แตะ มันจึงตั้งฉากกับรัศมี

The same three marks, written outสามคะแนนเดิม เขียนออกมาเต็ม ๆ

Only line ① comes from the circle. Everything below it you already know.วงกลมให้มาแค่เส้น ① · ข้างล่างคือของที่รู้อยู่แล้ว

  1. $P(3,4)$ lies on the circle $x^{2}+y^{2}=25$, whose centre is $O(0,0)$. Find the gradient of the radius $OP$.$P(3,4)$ อยู่บนวงกลม $x^{2}+y^{2}=25$ ซึ่งมีจุดศูนย์กลาง $O(0,0)$ · หาความชันของรัศมี $OP$
    Answer:เฉลย: $m_{OP}=\dfrac{4-0}{3-0}=\dfrac{4}{3}$A radius is a line through two points: $m_{OP}=\dfrac{4-0}{3-0}=\dfrac{4}{3}$รัศมีคือเส้นตรงผ่านสองจุด: $m_{OP}=\dfrac{4-0}{3-0}=\dfrac{4}{3}$
  2. So the gradient of the tangent to the circle at $P$ is…แล้วความชันของเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $P$ คือ…
    Answer:เฉลย: $m_{\text{tan}}=-\dfrac{3}{4}$Negative reciprocal of the radius: $m_{OP}=\tfrac{4}{3}$   $m_{\text{tan}}=-\tfrac{3}{4}$   $\tfrac{4}{3}\times\left(-\tfrac{3}{4}\right)=-1\ \checkmark$ Examiners look for that two-second product check.กลับเศษส่วน–เปลี่ยนเครื่องหมาย จากความชันรัศมี: $m_{OP}=\tfrac{4}{3}$   $m_{\text{tan}}=-\tfrac{3}{4}$   $\tfrac{4}{3}\times\left(-\tfrac{3}{4}\right)=-1\ \checkmark$ กรรมการตรวจ มองหาการเช็คคูณได้ $-1$ นี้
  3. Exam: the tangent to $x^{2}+y^{2}=25$ at $P(3,4)$ can be written $3x+4y=k$. Find $k$.  (3 marks)ข้อสอบ: เส้นสัมผัสวงกลม $x^{2}+y^{2}=25$ ที่จุด $P(3,4)$ เขียนได้เป็น $3x+4y=k$ · หา $k$  (3 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $3x+4y=25$, so $k=25$3 marks: $\text{M1}\quad m_{\text{tan}}=-\tfrac{3}{4}$   $\text{M2}\quad y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3)\ \Rightarrow\ 4y-16=-3x+9$   $\text{A1}\quad 3x+4y=25\ \Rightarrow\ k=25$ Centre at the origin: the tangent at $(x_{1},y_{1})$ is $xx_{1}+yy_{1}=r^{2}$.3 คะแนน: $\text{M1}\quad m_{\text{tan}}=-\tfrac{3}{4}$   $\text{M2}\quad y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3)\ \Rightarrow\ 4y-16=-3x+9$   $\text{A1}\quad 3x+4y=25\ \Rightarrow\ k=25$ ถ้าศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด เส้นสัมผัสที่ $(x_{1},y_{1})$ คือ $xx_{1}+yy_{1}=r^{2}$

7. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Three points, diameters and tangent lengths — where a right angle does the work.สามจุด เส้นผ่านศูนย์กลาง และความยาวเส้นสัมผัส — งานหนักอยู่ที่มุมฉาก

The two right angles the examiner keeps usingมุมฉากสองตัวที่คนออกข้อสอบใช้ซ้ำๆ

  1. $A(1,2)$ and $B(7,10)$. A point $P$ moves so that $\angle APB=90^{\circ}$. Then $P$ lies on the circle with…$A(1,2)$ และ $B(7,10)$ · จุด $P$ เคลื่อนที่โดยให้ $\angle APB=90^{\circ}$ · แล้ว $P$ จะอยู่บนวงกลมที่มี…
    Answer:เฉลย: centre $(4,6)$, radius $5$จุดศูนย์กลาง $(4,6)$ รัศมี $5$Right angle $\Rightarrow$ $AB$ is a diameter: $AB=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$   $\text{centre}=\text{midpoint of }AB=(4,6)$   $r=10\div 2=5$มุมฉาก $\Rightarrow$ $AB$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง: $AB=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$   $\text{centre}=\text{midpoint of }AB=(4,6)$   $r=10\div 2=5$
  2. Exam: that circle is written in the form $x^{2}+y^{2}-8x-12y+k=0$. Find $k$.  (3 marks)ข้อสอบ: วงกลมดวงนั้นเขียนในรูป $x^{2}+y^{2}-8x-12y+k=0$ · หา $k$  (3 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $(x-4)^{2}+(y-6)^{2}=25 \Rightarrow x^{2}+y^{2}-8x-12y+27=0$, so $k=27$3 marks: $\text{M1}\quad (x-4)^{2}+(y-6)^{2}=25$   $\text{M2}\quad \text{expand}:\ +16\ \text{and}\ +36$   $\text{A1}\quad 16+36-25=27\ \Rightarrow\ k=27$3 คะแนน: $\text{M1}\quad (x-4)^{2}+(y-6)^{2}=25$   $\text{M2}\quad \text{expand}:\ +16\ \text{and}\ +36$   $\text{A1}\quad 16+36-25=27\ \Rightarrow\ k=27$
  3. Exam: a circle has centre $C(2,-1)$ and radius $3$. The point $T(6,2)$ lies outside it. Find the length of the tangent from $T$ to the circle.  (3 marks)ข้อสอบ: วงกลมมีจุดศูนย์กลาง $C(2,-1)$ รัศมี $3$ · จุด $T(6,2)$ อยู่นอกวงกลม · หาความยาวของเส้นสัมผัสจาก $T$ ถึงวงกลม  (3 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $CT=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$, so $L=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{16}=4$3 marks: $\text{M1}\quad CT=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$   $\text{M2}\quad L^{2}=CT^{2}-r^{2}$   $\text{A1}\quad L=\sqrt{25-9}=4$ Answering $5$ gives the distance to the centre, and loses two marks.3 คะแนน: $\text{M1}\quad CT=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$   $\text{M2}\quad L^{2}=CT^{2}-r^{2}$   $\text{A1}\quad L=\sqrt{25-9}=4$ ตอบ $5$ คือระยะถึงจุดศูนย์กลาง · เสียไปสองคะแนน
  4. Exam: The circle $C$ has equation $x^{2}+y^{2}-6x+8y+16=0$. The point $T(1,3)$ lies outside $C$. The line $TA$ is a tangent to $C$, touching it at $A$. Find the exact length of $TA$.  (5 marks)ข้อสอบ: วงกลม $C$ มีสมการ $x^{2}+y^{2}-6x+8y+16=0$ · จุด $T(1,3)$ อยู่นอกวงกลม · เส้น $TA$ เป็น tangent สัมผัสวงกลมที่จุด $A$ · หาความยาว $TA$ ตอบเป็น exact surd  (5 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $TA=\sqrt{53-9}=\sqrt{44}=2\sqrt{11}$5 marks: $\text{M1}\quad (x-3)^{2}+(y+4)^{2}=9$   $\text{M2}\quad \text{centre}(3,-4),\ r=3$   $\text{M3}\quad CT^{2}=(1-3)^{2}+(3+4)^{2}=4+49=53$   $\text{M4}\quad TA^{2}=53-9=44$   $\text{A1}\quad TA=\sqrt{44}=2\sqrt{11}$ “Exact” means the surd has to be simplified.5 คะแนน: $\text{M1}\quad (x-3)^{2}+(y+4)^{2}=9$   $\text{M2}\quad \text{centre}(3,-4),\ r=3$   $\text{M3}\quad CT^{2}=(1-3)^{2}+(3+4)^{2}=4+49=53$   $\text{M4}\quad TA^{2}=53-9=44$   $\text{A1}\quad TA=\sqrt{44}=2\sqrt{11}$ คำว่า “exact” แปลว่าต้องทำรูปรากให้ง่ายที่สุด
  5. The line $y=2x+c$ is a tangent to the circle $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=20$. Find both possible values of $c$. Type them separated by a comma.เส้นตรง $y=2x+c$ เป็น tangent ของวงกลม $(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=20$ · หาค่า $c$ ทั้งสองค่า · พิมพ์คั่นด้วยลูกน้ำ
    Answer:เฉลย: $c=6$ or $c=-14$No named point $\Rightarrow$ discriminant: $5x^{2}+(4c+6)x+(c^{2}+4c-15)=0$   $(4c+6)^{2}-20(c^{2}+4c-15)=0$   $c^{2}+8c-84=0$   $(c+14)(c-6)=0\ \Rightarrow\ c=6,\ -14$ Use the perpendicular radius instead when the question names a point.ไม่มีจุดสัมผัสที่ระบุ $\Rightarrow$ ใช้ดิสคริมิแนนต์: $5x^{2}+(4c+6)x+(c^{2}+4c-15)=0$   $(4c+6)^{2}-20(c^{2}+4c-15)=0$   $c^{2}+8c-84=0$   $(c+14)(c-6)=0\ \Rightarrow\ c=6,\ -14$ ถ้าโจทย์ระบุจุดบนวงกลม ให้ใช้วิธีรัศมีตั้งฉากแทน

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. Write down the centre and the radius of the circle $(x-5)^{2}+(y+3)^{2}=36$.This uses the standard form with different numbers.
    Both traps are in one line: change the $+3$ to $-3$, and take the square root of $36$ to get $6$.
    If level 1 is clear to you, this takes fifteen seconds.    ข้อนี้ใช้รูปมาตรฐาน แค่เปลี่ยนตัวเลข
    กับดักทั้งสองอยู่ในบรรทัดเดียว: เปลี่ยน $+3$ เป็น $-3$ และถอดราก $36$ ให้ได้ $6$
    ถ้าเข้าใจขั้นที่ 1 แล้ว ข้อนี้ใช้เวลาสิบห้าวินาที
  2. Write down the centre and the radius of the circle $(x+1)^{2}+(y-4)^{2}=20$, giving the radius in exact form.The same kind of question, but $20$ is not a square number.
    Keep the radius as a surd: $2\sqrt{5}$, not $4.47$.
    Writing the radius as $20$ loses the mark you were warned about.    โจทย์แบบเดียวกัน แต่ $20$ ไม่ใช่จำนวนกำลังสองสมบูรณ์
    ให้เขียนรัศมีเป็นรูปติดราก: $2\sqrt{5}$ ไม่ใช่ $4.47$
    ถ้าเขียนรัศมีเป็น $20$ จะเสียคะแนนที่เตือนไว้แล้ว
  3. Find the centre and the radius of the circle $x^{2}+y^{2}-10x+6y+9=0$.Same circle family, disguised in expanded form. Complete the square twice: $-25$ and $-9$ come out of the brackets, and $-9-25+9$ leaves $-25$ to move right.วงกลมตระกูลเดิม แค่ปลอมตัวมาในรูปกระจาย · จัดกำลังสองสมบูรณ์สองรอบ: $-25$ กับ $-9$ หลุดออกจากวงเล็บ แล้ว $-9-25+9$ เหลือ $-25$ ให้ย้ายไปขวา
  4. Find the coordinates of the points where the line $y=x+2$ meets the circle $x^{2}+y^{2}=10$.Substitution from level 3 chained with solving a quadratic from Pure 1, then feeding each root back through the line to get its $y$. Stopping at the $x$-values loses the last mark.การแทนค่าจากขั้นที่ 3 ต่อกับการแก้สมการกำลังสองจาก Pure 1 แล้วเอารากแต่ละตัวป้อนกลับเข้าเส้นตรงเพื่อหา $y$ · หยุดแค่ค่า $x$ คือเสียคะแนนสุดท้าย
  5. The circle $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ has centre $(3,-1)$ and radius $4$. Find $g$, $f$ and $c$.The answer is given and the equation is the question. Anyone who memorised "halve and flip" as a ritual stalls here; anyone who knows why the flip happens just builds the brackets and expands.ให้คำตอบมา แล้วถามหาสมการ · ใครที่ท่อง "หารสองแล้วกลับเครื่องหมาย" มาแบบพิธีกรรมจะค้างตรงนี้ · ส่วนคนที่รู้ว่าทำไมต้องกลับ ก็แค่สร้างวงเล็บแล้วกระจาย
  6. The circle $C$ has equation $x^{2}+y^{2}-4x+8y-5=0$.  (a) Find the centre and radius of $C$. (3 marks)  (b) Verify that $P(6,-1)$ lies on $C$, and find the equation of the tangent to $C$ at $P$. (4 marks)Full paper wording with the mark split: complete the square, verify by substitution, then radius gradient $\to$ negative reciprocal $\to$ line. Four of this lesson's six levels in one question.ภาษาข้อสอบเต็มรูปแบบพร้อมแบ่งคะแนน: จัดกำลังสองสมบูรณ์ ตรวจด้วยการแทนค่า แล้วความชันรัศมี $\to$ negative reciprocal $\to$ สมการเส้น · สี่จากหกขั้นของบทนี้อยู่ในข้อเดียว
  7. A student writes: "the circle $(x+2)^{2}+(y-5)^{2}=16$ has centre $(2,-5)$ and radius $16$." Find both errors and give the correct centre and radius.This sentence loses both of the marks that the whole lesson has been about.
    If you can find the same mistake in someone else's work, you will not make it yourself.    ประโยคนี้เสียคะแนนทั้งสองจุดที่บทเรียนนี้เน้นมาตลอด
    ถ้าคุณหาความผิดพลาดแบบเดียวกันในงานของคนอื่นเจอ คุณก็จะไม่พลาดแบบนั้นเอง

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี