A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: Pure 1 (9709/1)
Circles เรขาคณิตวิเคราะห์: วงกลม
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
🪜Learn Never learnt this? Start from zero in Teach Modeเรียน ยังไม่เคยเรียนเรื่องนี้? เริ่มตั้งแต่ศูนย์ในโหมดสอนIt starts from something you already know and climbs one small step at a time — you answer, it moves.เริ่มจากของที่น้องทำเป็นอยู่แล้ว แล้วไต่ทีละขั้นเล็กๆ น้องตอบ แล้วค่อยไปต่อCirclesเรขาคณิตวิเคราะห์: วงกลม
📐Know the pieces but stuck on a whole exam question?รู้ทีละส่วนแล้ว แต่ทำข้อสอบเต็มข้อไม่ได้?Each set takes one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill; question 10 is the exam question itself.แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แยกเป็นสเต็ปย่อย แล้วไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงCircles laddersชุดไต่ระดับ · วงกลม
Circles · progressเรขาคณิตวิเคราะห์: วงกลม · ความคืบหน้า
Questionsคำถามที่พบบ่อย
Questionโจทย์
Step-by-step practice loads here. If it does not appear, everything you need is under Revision notes.
แบบฝึกทีละสเต็ปจะขึ้นตรงนี้ ถ้าไม่ขึ้น เนื้อหาทั้งหมดอยู่ในแท็บ สรุปเนื้อหา
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| "Find the centre and radius of $x^2+y^2+2fx+2gy+c=0$""หาจุดศูนย์กลางและรัศมีของ $x^2+y^2+2fx+2gy+c=0$" | Complete the square in $x$ and $y$จัดกำลังสองสมบูรณ์ทั้ง $x$ และ $y$ | try → ลอง → |
| "Show the line is a tangent to the circle""แสดงว่าเส้นตรงสัมผัสวงกลม" | Substitute → quadratic → discriminant $=0$ (or perpendicular distance $=r$)แทนค่า → สมการกำลังสอง → ดิสคริมิแนนต์ $=0$ (หรือระยะตั้งฉาก $=r$) | try → ลอง → |
| "Find the tangent at point $P$ on the circle""หาเส้นสัมผัสที่จุด $P$ บนวงกลม" | Radius $CP$ slope → tangent slope is the negative reciprocalหาความชันรัศมี $CP$ → ความชันเส้นสัมผัสคือส่วนกลับเครื่องหมายตรงข้าม | try → ลอง → |
| "$AB$ is a diameter""$AB$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง" | Centre = midpoint of $AB$, radius $=\tfrac12 AB$; angle in semicircle is $90^\circ$จุดศูนย์กลาง = จุดกึ่งกลาง $AB$, รัศมี $=\tfrac12 AB$; มุมในครึ่งวงกลมเป็น $90^\circ$ | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
Standard form รูปมาตรฐาน$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
Distance ระยะทาง$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
Midpoint จุดกึ่งกลาง$\left(\tfrac{x_1+x_2}{2},\tfrac{y_1+y_2}{2}\right)$
Perpendicular slopes ความชันตั้งฉาก$m_1 m_2=-1$
Circle facts สมบัติวงกลมTangent ⟂ radius · perpendicular from centre bisects a chord
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
A circle has equation $x^2+y^2-6x+4y-12=0$. Find its centre and radius, and the equation of the tangent at $A(6,2)$. (6 marks)
M1
Complete the square: $(x-3)^2+(y+2)^2=12+9+4=25$
A1
Centre $C(3,-2)$, radius $r=5$.
M1
Slope of radius $CA$: $\dfrac{2-(-2)}{6-3}=\dfrac{4}{3}$
M1
Tangent slope $=-\dfrac{3}{4}$ (negative reciprocal, tangent ⟂ radius)
A1
Line through $A(6,2)$: $y-2=-\tfrac34(x-6)$
A1
$3x+4y-26=0$
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. Find the centre and radius of $x^2+y^2+8x-2y+8=0$.3 markssolution ▾
$(x+4)^2+(y-1)^2=-8+16+1=9$. Centre $\mathbf{(-4,1)}$, radius $\mathbf{3}$.
P2. $A(1,3)$ and $B(7,-5)$ are ends of a diameter. Find the equation of the circle.4 markssolution ▾
Centre = midpoint $=(4,-1)$. $r=\tfrac12 AB=\tfrac12\sqrt{36+64}=5$.
$\mathbf{(x-4)^2+(y+1)^2=25}$.
$\mathbf{(x-4)^2+(y+1)^2=25}$.
P3. Show that the line $y=x+1$ is a tangent to the circle $(x-3)^2+(y-2)^2=2$.4 markssolution ▾
Substitute: $(x-3)^2+(x-1)^2=2 \Rightarrow 2x^2-8x+8=0 \Rightarrow x^2-4x+4=0$.
Discriminant $=16-16=0$ → repeated root $x=2$, one point of contact $(2,3)$ → tangent. ∎
Discriminant $=16-16=0$ → repeated root $x=2$, one point of contact $(2,3)$ → tangent. ∎
Vocab ศัพท์ต้องรู้
centre จุดศูนย์กลาง · radius รัศมี · tangent เส้นสัมผัส · chord คอร์ด (เส้นเชื่อมสองจุดบนวง) · diameter เส้นผ่านศูนย์กลาง · midpoint จุดกึ่งกลาง · perpendicular ตั้งฉาก
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗Radius, not radius² ตอบรัศมี ไม่ใช่รัศมียกกำลังสองAfter completing the square you get $r^2$. If $r^2=25$, the radius is 5 — quote $\sqrt{\cdot}$ before moving on.
✗Tangent slope direction ทิศความชันเส้นสัมผัสThe tangent uses the negative reciprocal of the radius slope at the point of contact — compute $CA$ first, don't guess from the equation.
✗Centre sign flip เครื่องหมายจุดศูนย์กลางกลับด้านIn $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ the centre is $(a,b)$ — the signs inside the brackets are the opposite of the coordinates. Read them off carefully.
✗"Show that" with no sentence ลืมประโยคสรุปAfter the discriminant gives 0, write "one point of contact, so the line is a tangent" — the conclusion is a mark.
✗No sketch ไม่วาดรูปA quick sketch of the centre, radius and given point catches slope and sign errors before they cost accuracy marks.
Know the method? Here is what to do next.เข้าใจวิธีแล้ว? ขั้นต่อไปทำแบบนี้
TestสอบPure 2 paperข้อสอบ Pure 2
The pack is marked the way the examiner marks it, method marks included.ชุดฝึกตรวจแบบเดียวกับกรรมการ รวมคะแนนวิธีทำด้วย