A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: Pure 1 (9709/1)
Circles เรขาคณิตวิเคราะห์: วงกลม
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| "Find the centre and radius of $x^2+y^2+2fx+2gy+c=0$""หาจุดศูนย์กลางและรัศมีของ $x^2+y^2+2fx+2gy+c=0$" | Complete the square in $x$ and $y$จัดกำลังสองสมบูรณ์ทั้ง $x$ และ $y$ | try → ลอง → |
| "Show the line is a tangent to the circle""แสดงว่าเส้นตรงสัมผัสวงกลม" | Substitute → quadratic → discriminant $=0$ (or perpendicular distance $=r$)แทนค่า → สมการกำลังสอง → ดิสคริมิแนนต์ $=0$ (หรือระยะตั้งฉาก $=r$) | try → ลอง → |
| "Find the tangent at point $P$ on the circle""หาเส้นสัมผัสที่จุด $P$ บนวงกลม" | Radius $CP$ slope → tangent slope is the negative reciprocalหาความชันรัศมี $CP$ → ความชันเส้นสัมผัสคือส่วนกลับเครื่องหมายตรงข้าม | try → ลอง → |
| "$AB$ is a diameter""$AB$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง" | Centre = midpoint of $AB$, radius $=\tfrac12 AB$; angle in semicircle is $90^\circ$จุดศูนย์กลาง = จุดกึ่งกลาง $AB$, รัศมี $=\tfrac12 AB$; มุมในครึ่งวงกลมเป็น $90^\circ$ | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
Standard form รูปมาตรฐาน$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
Distance ระยะทาง$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
Midpoint จุดกึ่งกลาง$\left(\tfrac{x_1+x_2}{2},\tfrac{y_1+y_2}{2}\right)$
Perpendicular slopes ความชันตั้งฉาก$m_1 m_2=-1$
Circle facts สมบัติวงกลมTangent ⟂ radius · perpendicular from centre bisects a chord
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
A circle has equation $x^2+y^2-6x+4y-12=0$. Find its centre and radius, and the equation of the tangent at $A(6,2)$. (6 marks)
M1
Complete the square: $(x-3)^2+(y+2)^2=12+9+4=25$
A1
Centre $C(3,-2)$, radius $r=5$.
M1
Slope of radius $CA$: $\dfrac{2-(-2)}{6-3}=\dfrac{4}{3}$
M1
Tangent slope $=-\dfrac{3}{4}$ (negative reciprocal, tangent ⟂ radius)
A1
Line through $A(6,2)$: $y-2=-\tfrac34(x-6)$
A1
$3x+4y-26=0$
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. Find the centre and radius of $x^2+y^2+8x-2y+8=0$.3 markssolution ▾
$(x+4)^2+(y-1)^2=-8+16+1=9$. Centre $\mathbf{(-4,1)}$, radius $\mathbf{3}$.
P2. $A(1,3)$ and $B(7,-5)$ are ends of a diameter. Find the equation of the circle.4 markssolution ▾
Centre = midpoint $=(4,-1)$. $r=\tfrac12 AB=\tfrac12\sqrt{36+64}=5$.
$\mathbf{(x-4)^2+(y+1)^2=25}$.
$\mathbf{(x-4)^2+(y+1)^2=25}$.
P3. Show that the line $y=x+1$ is a tangent to the circle $(x-3)^2+(y-2)^2=2$.4 markssolution ▾
Substitute: $(x-3)^2+(x-1)^2=2 \Rightarrow 2x^2-8x+8=0 \Rightarrow x^2-4x+4=0$.
Discriminant $=16-16=0$ → repeated root $x=2$, one point of contact $(2,3)$ → tangent. ∎
Discriminant $=16-16=0$ → repeated root $x=2$, one point of contact $(2,3)$ → tangent. ∎
Vocab ศัพท์ต้องรู้
centre จุดศูนย์กลาง · radius รัศมี · tangent เส้นสัมผัส · chord คอร์ด (เส้นเชื่อมสองจุดบนวง) · diameter เส้นผ่านศูนย์กลาง · midpoint จุดกึ่งกลาง · perpendicular ตั้งฉาก
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗Radius, not radius² ตอบรัศมี ไม่ใช่รัศมียกกำลังสองAfter completing the square you get $r^2$. If $r^2=25$, the radius is 5 — quote $\sqrt{\cdot}$ before moving on.
✗Tangent slope direction ทิศความชันเส้นสัมผัสThe tangent uses the negative reciprocal of the radius slope at the point of contact — compute $CA$ first, don't guess from the equation.
✗Centre sign flip เครื่องหมายจุดศูนย์กลางกลับด้านIn $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ the centre is $(a,b)$ — the signs inside the brackets are the opposite of the coordinates. Read them off carefully.
✗"Show that" with no sentence ลืมประโยคสรุปAfter the discriminant gives 0, write "one point of contact, so the line is a tangent" — the conclusion is a mark.
✗No sketch ไม่วาดรูปA quick sketch of the centre, radius and given point catches slope and sign errors before they cost accuracy marks.
Keep going, free ไปต่อ ฟรี
Nice work so far. Drop your email to unlock every level and the other topics. We'll tune them to your board. ทำได้ดีแล้ว ใส่อีเมลเพื่อปลดล็อกทุกระดับและหัวข้ออื่นๆ เราจะจัดให้ตรงกับ board ที่คุณสอบ