Radians, arcs & sectorsเรเดียน ส่วนโค้ง และเซกเตอร์

A-Level Pure 2 · Edexcel IAL: WMA11 (P1) · CAIE: Pure 1 (9709/1) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

The whole circle, and what fraction the slice isวงกลมทั้งวง กับชิ้นนั้นเป็นเศษส่วนเท่าไร

Radians rewrite the fraction as $\dfrac{\theta}{2\pi}$ and the $360$ disappears.เรเดียนเขียนเศษส่วนใหม่เป็น $\dfrac{\theta}{2\pi}$ แล้ว $360$ ก็หายไป

1. A circle has radius $6$ cm. Find its circumference, exact in terms of $\pi$.วงกลมรัศมี $6$ ซม. หาเส้นรอบวง ตอบแบบ exact ติด $\pi$
   Answer:เฉลย: $C=2\pi r=2\pi(6)=12\pi$ cmBoth circle formulas, written down: $C=2\pi r=2\pi(6)=12\pi\text{ cm}$   $A=\pi r^{2}$ The whole topic is a fraction of each of these two.เขียนสองสูตรของวงกลมไว้: $C=2\pi r=2\pi(6)=12\pi\text{ cm}$   $A=\pi r^{2}$ ทั้งบทคือการหยิบเศษส่วนหนึ่งของสองสูตรนี้
2. A slice of $90^{\circ}$ is cut out of a circle. What fraction of the whole circle is that slice?หั่นชิ้นมุม $90^{\circ}$ ออกจากวงกลม · ชิ้นนั้นคิดเป็นเศษส่วนเท่าไรของวงกลมทั้งวง?
   Answer:เฉลย: $\frac14$ of the circle$\frac14$ ของวงกลมSame fraction of turn, edge, area: $\frac{90}{360}=\frac14$   $\text{arc}=\frac14\times 2\pi r$   $\text{area}=\frac14\times\pi r^{2}$ Radians exist to make that fraction easy to write.ได้มุมกี่ส่วนของรอบ ก็ได้เท่านั้นส่วน: $\frac{90}{360}=\frac14$   $\text{arc}=\frac14\times 2\pi r$   $\text{area}=\frac14\times\pi r^{2}$ เรเดียนมีไว้เพื่อให้เขียนเศษส่วนนี้ง่าย

2. What one radian actually isเรเดียนคืออะไรกันแน่

One radian is the angle whose arc equals the radius — which makes $\pi$ rad the new $180^{\circ}$.หนึ่งเรเดียนคือมุมที่ส่วนโค้งยาวเท่ารัศมี — ซึ่งทำให้ $\pi$ เรเดียนกลายเป็น $180^{\circ}$ ตัวใหม่

Measure the angle with the circle's own radiusวัดมุมด้วยรัศมีของวงกลมเอง

1. The circumference is $2\pi r$ — that is $2\pi$ copies of the radius laid end to end around the edge. So how many radians are there in one full turn?เส้นรอบวงคือ $2\pi r$ — ก็คือเอารัศมีมาต่อกันรอบขอบ $2\pi$ ท่อน · แล้วหนึ่งรอบเต็มมีกี่เรเดียน?
   Answer:เฉลย: $2\pi$ radians $=360^{\circ}$The radius cancels: $\frac{2\pi r}{r}=2\pi$   $\text{full turn}=2\pi\text{ rad}=360^{\circ}$   $\text{half turn}=\pi\text{ rad}=180^{\circ}$ The half-turn line is the only conversion fact worth remembering.รัศมีตัดทิ้ง: $\frac{2\pi r}{r}=2\pi$   $\text{full turn}=2\pi\text{ rad}=360^{\circ}$   $\text{half turn}=\pi\text{ rad}=180^{\circ}$ บรรทัดครึ่งรอบคือข้อเท็จจริงเดียวเรื่องแปลงหน่วยที่ต้องจำ
2. Write $60^{\circ}$ in radians, exact in terms of $\pi$.เขียน $60^{\circ}$ เป็นเรเดียน ตอบแบบ exact ติด $\pi$
   Answer:เฉลย: $60^{\circ}\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{3}$Convert by proportion, not calculator: $\frac{60}{180}=\frac13\ \Rightarrow\ 60^{\circ}=\frac{\pi}{3}$   $30^{\circ}=\frac{\pi}{6},\qquad 45^{\circ}=\frac{\pi}{4}$   $60^{\circ}=\frac{\pi}{3},\qquad 90^{\circ}=\frac{\pi}{2}$แปลงด้วยสัดส่วน ไม่ต้องกดเครื่อง: $\frac{60}{180}=\frac13\ \Rightarrow\ 60^{\circ}=\frac{\pi}{3}$   $30^{\circ}=\frac{\pi}{6},\qquad 45^{\circ}=\frac{\pi}{4}$   $60^{\circ}=\frac{\pi}{3},\qquad 90^{\circ}=\frac{\pi}{2}$
3. Now the other direction. Write $\dfrac{3\pi}{4}$ radians in degrees.คราวนี้ทิศตรงข้าม · เขียน $\dfrac{3\pi}{4}$ เรเดียน ให้เป็นองศา
   Answer:เฉลย: $\dfrac{3\pi}{4}\times\dfrac{180}{\pi}=135^{\circ}$Swap $\pi$ for $180^{\circ}$: $\frac{3\pi}{4}\to\frac34\times 180=135^{\circ}$ Seeing the $\pi$s cancel is itself the check that you went the right way.แลก $\pi$ เป็น $180^{\circ}$: $\frac{3\pi}{4}\to\frac34\times 180=135^{\circ}$ เห็น $\pi$ ตัดกันคือการเช็คไปในตัวว่าเดินถูกทิศ

3. Arc lengthความยาวส่วนโค้ง

$s=r\theta$ — one multiplication, and it only works when $\theta$ is in radians.$s=r\theta$ — คูณครั้งเดียวจบ · แต่ใช้ได้เฉพาะตอน $\theta$ เป็นเรเดียน

A fraction of the way roundเดินไปได้กี่ส่วนของขอบวง

1. A sector is cut from a circle of diameter $18$ cm, with angle $0.4$ radians. Before touching $s=r\theta$: what are $r$ and $\theta$?หั่นเซกเตอร์ออกจากวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง $18$ ซม. มุม $0.4$ เรเดียน · ก่อนจะแตะสูตร $s=r\theta$: $r$ กับ $\theta$ คือเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $r=9$ cm,  $\theta=0.4$ radDiameter is not radius: $d=18\ \Rightarrow\ r=9\text{ cm}$   $\theta=0.4\ (\text{no units}\Rightarrow\text{radians})$ Write $r=\dots$, $\theta=\dots$ every time; that line often carries the method mark.เส้นผ่านศูนย์กลางไม่ใช่รัศมี: $d=18\ \Rightarrow\ r=9\text{ cm}$   $\theta=0.4\ (\text{no units}\Rightarrow\text{radians})$ เขียน $r=\dots$, $\theta=\dots$ ทุกครั้ง · บรรทัดนี้มักได้คะแนนวิธีทำ
2. Same sector, $r=9$ and $\theta=0.4$. Which line is the correct substitution into $s=r\theta$?  (Do not work it out.)เซกเตอร์เดิม $r=9$, $\theta=0.4$ · บรรทัดไหนคือการแทนค่าลงใน $s=r\theta$ ที่ถูกต้อง?  (ยังไม่ต้องคิดเลข)
   Answer:เฉลย: $s=9\times0.4$The units check the substitution: $s=9\times 0.4$   $\text{cm}\times\text{plain number}=\text{cm}\ \checkmark$หน่วยเป็นตัวเช็คการแทนค่า: $s=9\times 0.4$   $\text{cm}\times\text{plain number}=\text{cm}\ \checkmark$
3. Finish it: $r=9$ cm, $\theta=0.4$ rad. Find the arc length $s$.เก็บให้จบ: $r=9$ ซม., $\theta=0.4$ เรเดียน · หาความยาวส่วนโค้ง $s$
   Answer:เฉลย: $s=r\theta=9\times0.4=3.6$ cmThe long way agrees: $s=r\theta=9\times 0.4=3.6\text{ cm}$   $\frac{0.4}{2\pi}\approx 6.4\%\ \text{of a turn}$   $6.4\%\times 2\pi(9)\approx 3.6\text{ cm}\ \checkmark$คิดแบบยาวก็ได้เท่ากัน: $s=r\theta=9\times 0.4=3.6\text{ cm}$   $\frac{0.4}{2\pi}\approx 6.4\%\ \text{of a turn}$   $6.4\%\times 2\pi(9)\approx 3.6\text{ cm}\ \checkmark$
4. Careful with this one. A sector has radius $12$ cm and angle $30^{\circ}$. Find the arc length, exact in terms of $\pi$.  (2 marks)ข้อนี้ระวัง · เซกเตอร์รัศมี $12$ ซม. มุม $30^{\circ}$ · หาความยาวส่วนโค้ง ตอบแบบ exact ติด $\pi$  (2 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $30^{\circ}=\dfrac{\pi}{6}$, so $s=12\times\dfrac{\pi}{6}=2\pi$ cm$s=r\theta$ needs radians: $30^{\circ}=\frac{\pi}{6}$   $s=12\times\frac{\pi}{6}=2\pi\text{ cm}$   $12\times 30=360\ \times\ (\text{degrees do not cancel})$ The most common lost mark here: circle the angle and look for a $^{\circ}$ first.$s=r\theta$ ต้องใช้เรเดียน: $30^{\circ}=\frac{\pi}{6}$   $s=12\times\frac{\pi}{6}=2\pi\text{ cm}$   $12\times 30=360\ \times\ (\text{degrees do not cancel})$ จุดเสียคะแนนบ่อยที่สุด: วงรอบตัวมุมแล้วดูว่ามี $^{\circ}$ ไหมก่อน

4. Sector areaพื้นที่เซกเตอร์

$A=\tfrac12 r^{2}\theta$ — the same fraction argument, run on the area instead of the length.$A=\tfrac12 r^{2}\theta$ — เหตุผลเรื่องเศษส่วนอันเดิม แค่ย้ายไปใช้กับพื้นที่แทนความยาว

Take the fraction of the area this timeคราวนี้หยิบเศษส่วนของพื้นที่

1. $A=\frac{\theta}{2\pi}\times \pi r^{2}$The fraction of a turn, times the full area.เศษส่วนของรอบ คูณพื้นที่เต็มวง
2. $A=\frac{\theta}{2}\times r^{2}$One $\pi$ cancels — a 2 is left underneath.$\pi$ ตัดกันหนึ่งตัว เหลือ $2$ ค้างข้างล่าง
3. $A=\tfrac12 r^{2}\theta$That is where the $\tfrac12$ comes from.ที่มาของ $\tfrac12$ คือตรงนี้

The $\frac12$ goes with the squaring: no square, no $\frac12$.$\frac12$ มาคู่กับการยกกำลังสอง · ไม่มีกำลังสอง ก็ไม่มี $\frac12$

1. A sector has radius $6$ cm and angle $150^{\circ}$. Before $A=\tfrac12r^{2}\theta$ can be used at all, what value of $\theta$ must go in? Give it exactly in terms of $\pi$.เซกเตอร์รัศมี $6$ ซม. มุม $150^{\circ}$ · ก่อนจะใช้ $A=\tfrac12r^{2}\theta$ ได้ ต้องใส่ $\theta$ เป็นค่าอะไร? ตอบแบบ exact ติด $\pi$
   Answer:เฉลย: $\theta=150\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}$Convert on its own line first: $\frac{150}{180}=\frac56$   $\theta=\frac56\times\pi=\frac{5\pi}{6}$แปลงหน่วยแยกบรรทัดก่อน: $\frac{150}{180}=\frac56$   $\theta=\frac56\times\pi=\frac{5\pi}{6}$
2. Same sector: $r=6$, $\theta=\dfrac{5\pi}{6}$. Which line is the correct substitution into $A=\tfrac12r^{2}\theta$?เซกเตอร์เดิม: $r=6$, $\theta=\dfrac{5\pi}{6}$ · บรรทัดไหนคือการแทนค่าลงใน $A=\tfrac12r^{2}\theta$ ที่ถูกต้อง?
   Answer:เฉลย: $A=\tfrac12\times6^{2}\times\dfrac{5\pi}{6}$Three factors, the half included: $A=\tfrac12\times r^{2}\times\theta$   $A=\tfrac12\times 6^{2}\times\frac{5\pi}{6}$สามตัวคูณ รวมตัวครึ่งด้วย: $A=\tfrac12\times r^{2}\times\theta$   $A=\tfrac12\times 6^{2}\times\frac{5\pi}{6}$
3. Now evaluate it, exact in terms of $\pi$: $r=6$ cm, $\theta=\dfrac{5\pi}{6}$.ทีนี้คิดค่าออกมา ตอบแบบ exact ติด $\pi$: $r=6$ ซม., $\theta=\dfrac{5\pi}{6}$
   Answer:เฉลย: $A=\tfrac12\times36\times\dfrac{5\pi}{6}=18\times\dfrac{5\pi}{6}=15\pi$ cm$^{2}$Check the answer against the picture: $A=\tfrac12\times 36\times\frac{5\pi}{6}=15\pi\text{ cm}^{2}$   $\text{whole disc}=\pi(6)^{2}=36\pi$   $150^{\circ}<180^{\circ}\ \Rightarrow\ 15\pi<18\pi\ \checkmark$ This check finds a missing $\frac12$ every time.เช็คคำตอบกับรูป: $A=\tfrac12\times 36\times\frac{5\pi}{6}=15\pi\text{ cm}^{2}$   $\text{whole disc}=\pi(6)^{2}=36\pi$   $150^{\circ}<180^{\circ}\ \Rightarrow\ 15\pi<18\pi\ \checkmark$ การเช็คนี้จับ $\frac12$ ที่หายไปได้ทุกครั้ง

5. Segment: sector minus triangleเซกเมนต์: เซกเตอร์ลบสามเหลี่ยม

Chop the triangle off the sector: $\tfrac12r^{2}\theta-\tfrac12r^{2}\sin\theta$.ตัดสามเหลี่ยมออกจากเซกเตอร์: $\tfrac12r^{2}\theta-\tfrac12r^{2}\sin\theta$

Join the two ends of the arcลากเส้นเชื่อมปลายส่วนโค้งสองข้าง

1. A sector has $r=10$ cm and $\theta=1.5$ rad. Which calculation gives the area of the segment — the piece between the chord and the arc?เซกเตอร์ $r=10$ ซม., $\theta=1.5$ เรเดียน · การคำนวณข้อไหนให้พื้นที่ของเซกเมนต์ — ชิ้นที่อยู่ระหว่างคอร์ดกับส่วนโค้ง?
   Answer:เฉลย: sector $-$ triangle $=\tfrac12(10)^{2}\big(1.5-\sin1.5\big)$เซกเตอร์ $-$ สามเหลี่ยม $=\tfrac12(10)^{2}\big(1.5-\sin1.5\big)$Segment $=$ sector $-$ triangle: $\tfrac12(10)^{2}(1.5)-\tfrac12(10)^{2}\sin 1.5$   $=\tfrac12 r^{2}(\theta-\sin\theta)$ Build it before you learn the compact form; the shaded piece changes every year.เซกเมนต์ $=$ เซกเตอร์ $-$ สามเหลี่ยม: $\tfrac12(10)^{2}(1.5)-\tfrac12(10)^{2}\sin 1.5$   $=\tfrac12 r^{2}(\theta-\sin\theta)$ สร้างเองให้ได้ก่อนค่อยจำรูปย่อ · ชิ้นที่แรเงาเปลี่ยนทุกปี
2. First the triangle on its own: two radii of $10$ cm with $1.5$ radians between them. Find its area, to 3 significant figures.เอาสามเหลี่ยมก่อน: รัศมีสองเส้นยาว $10$ ซม. มีมุม $1.5$ เรเดียนคั่นกลาง · หาพื้นที่ ตอบ 3 เลขนัยสำคัญ
   Answer:เฉลย: $\tfrac12(10)^{2}\sin1.5=50\sin1.5=49.9$ cm$^{2}$Question in radians, calculator on RAD: $\tfrac12 ab\sin C,\ a=b=r$   $\tfrac12(10)^{2}\sin 1.5=50\sin 1.5=49.9\text{ cm}^{2}$โจทย์เป็นเรเดียน หน้าจอต้องขึ้น RAD: $\tfrac12 ab\sin C,\ a=b=r$   $\tfrac12(10)^{2}\sin 1.5=50\sin 1.5=49.9\text{ cm}^{2}$
3. Now the segment itself, same sector ($r=10$ cm, $\theta=1.5$ rad), to 3 significant figures.  (3 marks)ทีนี้เอาเซกเมนต์เอง เซกเตอร์เดิม ($r=10$ ซม., $\theta=1.5$ เรเดียน) ตอบ 3 เลขนัยสำคัญ  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $75-49.87=25.1$ cm$^{2}$Round only at the last line: $\tfrac12(100)\left(1.5-\sin 1.5\right)$   $=50(1.5-0.99749)$   $=25.1\text{ cm}^{2}$ On a closer question, early rounding loses the accuracy mark.ปัดเศษที่บรรทัดสุดท้ายเท่านั้น: $\tfrac12(100)\left(1.5-\sin 1.5\right)$   $=50(1.5-0.99749)$   $=25.1\text{ cm}^{2}$ ข้อที่ตัวเลขใกล้กันกว่านี้ ปัดเร็วจะเสียคะแนนความแม่นยำ

6. Perimeter: which edges countเส้นรอบรูป: นับขอบไหนบ้าง

Sector: two radii plus the arc. Segment: chord plus the arc — no radii at all.เซกเตอร์: รัศมีสองเส้นบวกส่วนโค้ง · เซกเมนต์: คอร์ดบวกส่วนโค้ง — ไม่มีรัศมีเลย

The perimeter is whatever your finger touchesเส้นรอบรูปคือทุกอย่างที่นิ้วเดินผ่าน

An arc is $r\theta$, never $\theta$ alone; a perimeter always has a straight piece in it.ส่วนโค้งคือ $r\theta$ ไม่ใช่ $\theta$ เดี่ยวๆ · เส้นรอบรูปต้องมีชิ้นตรงเสมอ

1. A sector has $r=6$ cm and $\theta=1.2$ rad. Which is its perimeter?เซกเตอร์ $r=6$ ซม., $\theta=1.2$ เรเดียน · เส้นรอบรูปคือข้อไหน?
   Answer:เฉลย: $P=2r+r\theta=12+7.2=19.2$ cmRead the word: arc or perimeter: $P=2r+r\theta$   $=12+7.2=19.2\text{ cm}$ The mark is lost to the question you practised most, not to hard maths.อ่านคำให้ชัด: arc หรือ perimeter: $P=2r+r\theta$   $=12+7.2=19.2\text{ cm}$ คะแนนหายเพราะตอบสิ่งที่ฝึกมาบ่อยที่สุด ไม่ใช่เพราะเลขยาก
2. Same sector ($r=6$ cm, $\theta=1.2$ rad), but now the chord is drawn. Find the perimeter of the segment, to 3 significant figures.เซกเตอร์เดิม ($r=6$ ซม., $\theta=1.2$ เรเดียน) แต่คราวนี้ลากคอร์ดแล้ว · หาเส้นรอบรูปของเซกเมนต์ ตอบ 3 เลขนัยสำคัญ
   Answer:เฉลย: $2(6)\sin0.6+6(1.2)=6.776+7.2=14.0$ cmChord plus arc, nothing else: $\text{chord}=2(6)\sin 0.6=6.776$   $\text{arc}=6(1.2)=7.2$   $P=14.0\text{ cm}$   $\text{or cosine rule}:\ c^{2}=6^{2}+6^{2}-2(6)(6)\cos 1.2$คอร์ดบวกส่วนโค้ง ไม่มีอย่างอื่น: $\text{chord}=2(6)\sin 0.6=6.776$   $\text{arc}=6(1.2)=7.2$   $P=14.0\text{ cm}$   $\text{or cosine rule}:\ c^{2}=6^{2}+6^{2}-2(6)(6)\cos 1.2$

7. Exam formรูปแบบข้อสอบ

One diagram, several regions — name the pieces, then add or subtract.รูปเดียว หลายบริเวณ — ตั้งชื่อชิ้นส่วนให้ครบ แล้วบวกหรือลบ

“The shaded region is bounded by…”“บริเวณแรเงาถูกล้อมด้วย…”

Every $\theta$ in this table is in radians, and the calculator must be in RAD. Degrees in, marks out.$\theta$ ทุกตัวในตารางนี้เป็นเรเดียน และเครื่องคิดเลขต้องอยู่โหมด RAD · ใส่องศาเข้าไปเมื่อไหร่ คะแนนหายเมื่อนั้น

1. Exam: The diagram shows a sector $OAB$ of a circle with centre $O$, where $OA=OB=8$ cm and angle $AOB=0.9$ radians. Find the perimeter of the sector $OAB$.  (3 marks)ข้อสอบ: รูปแสดงเซกเตอร์ $OAB$ ของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ โดย $OA=OB=8$ ซม. และมุม $AOB=0.9$ เรเดียน · หาเส้นรอบรูปของเซกเตอร์ $OAB$  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: arc $AB=8(0.9)=7.2$ cm;  $P=8+8+7.2=23.2$ cm3 marks: $\text{M1}\ s=r\theta,\ \theta\text{ already in radians}$   $\text{A1}\ \text{arc}=8(0.9)=7.2\text{ cm}$   $\text{A1}\ P=8+8+7.2=23.2\text{ cm}$ Write the arc on its own line and the middle mark is free.3 คะแนน: $\text{M1}\ s=r\theta,\ \theta\text{ already in radians}$   $\text{A1}\ \text{arc}=8(0.9)=7.2\text{ cm}$   $\text{A1}\ P=8+8+7.2=23.2\text{ cm}$ เขียนส่วนโค้งแยกบรรทัด แล้วคะแนนกลางได้ฟรี
2. Part (b): the chord $AB$ is now drawn on the same diagram. Find the area of the shaded segment between the chord $AB$ and the arc $AB$, to 3 significant figures.  (4 marks)ข้อ (b): ตอนนี้ลากคอร์ด $AB$ ลงในรูปเดิมแล้ว · หาพื้นที่เซกเมนต์แรเงาที่อยู่ระหว่างคอร์ด $AB$ กับส่วนโค้ง $AB$ ตอบ 3 เลขนัยสำคัญ  (4 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\tfrac12(8)^{2}(0.9)-\tfrac12(8)^{2}\sin0.9=28.8-25.07=3.73$ cm$^{2}$4 marks: $\text{M1}\ \text{sector}=\tfrac12(64)(0.9)=28.8$   $\text{M1}\ \text{triangle}=\tfrac12(64)\sin 0.9=25.07$   $\text{M1}\ \text{subtract, sector first}$   $\text{A1}\ 3.73\text{ cm}^{2}$ Small $\theta$ makes sector and triangle nearly equal, so early rounding loses the last mark.4 คะแนน: $\text{M1}\ \text{sector}=\tfrac12(64)(0.9)=28.8$   $\text{M1}\ \text{triangle}=\tfrac12(64)\sin 0.9=25.07$   $\text{M1}\ \text{subtract, sector first}$   $\text{A1}\ 3.73\text{ cm}^{2}$ $\theta$ เล็ก เซกเตอร์กับสามเหลี่ยมเกือบเท่ากัน · ปัดเร็วเสียคะแนนสุดท้าย
3. A different diagram. Two sectors share the centre $O$ and have the same angle $\theta=1.1$ rad. The outer one has radius $9$ cm and the inner one has radius $4$ cm. The shaded region is the band between the two arcs. Which calculation gives its area?อีกรูปหนึ่ง · เซกเตอร์สองชิ้นใช้จุดศูนย์กลาง $O$ ร่วมกัน และมีมุมเท่ากันคือ $\theta=1.1$ เรเดียน · ชิ้นนอกรัศมี $9$ ซม. ชิ้นในรัศมี $4$ ซม. · บริเวณแรเงาคือแถบระหว่างส่วนโค้งสองเส้น · การคำนวณข้อไหนให้พื้นที่ของมัน?
   Answer:เฉลย: $\tfrac12(1.1)(81-16)=\tfrac12(1.1)(65)=35.75$ cm$^{2}$$\tfrac12(1.1)(81-16)=\tfrac12(1.1)(65)=35.75$ ซม$^{2}$Name the pieces before calculating: $\text{outer sector}-\text{inner sector}$   $\tfrac12\theta(R^{2}-r^{2})=\tfrac12(1.1)(81-16)$   $=\tfrac12(1.1)(65)=35.75\text{ cm}^{2}$ Never invent a formula for a shaded region; build it from the six you have.ตั้งชื่อชิ้นส่วนก่อนคิดเลข: $\text{outer sector}-\text{inner sector}$   $\tfrac12\theta(R^{2}-r^{2})=\tfrac12(1.1)(81-16)$   $=\tfrac12(1.1)(65)=35.75\text{ cm}^{2}$ อย่าคิดสูตรใหม่ให้บริเวณแรเงา · ประกอบจากหกสูตรที่มีอยู่
4. Exam: A sector $OAB$ has radius $12$ cm and area $96$ cm$^{2}$. The chord $AB$ is drawn. Find the perimeter of the segment between the chord $AB$ and the arc $AB$, to 3 significant figures.  (5 marks)ข้อสอบ: sector $OAB$ รัศมี $12$ cm พื้นที่ $96$ cm$^{2}$ · ลาก chord $AB$ · หาเส้นรอบรูปของ segment ที่อยู่ระหว่าง chord $AB$ กับ arc $AB$ ตอบ 3 significant figures  (5 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\theta=\dfrac{4}{3}$, arc $=16$, chord $=24\sin\dfrac{2}{3}=14.84$, so $P=30.8$ cm5 marks: $\text{M1}\ 96=\tfrac12(12)^{2}\theta$   $\text{A1}\ \theta=\tfrac43\text{ rad}$   $\text{M1}\ \text{arc}=12\times\tfrac43=16\text{ cm}$   $\text{M1}\ \text{chord}=2(12)\sin\tfrac23=14.84\text{ cm (RAD)}$   $\text{A1}\ P=16+14.84=30.8\text{ cm}$ Chord and arc only — a segment leaves the radii out.5 คะแนน: $\text{M1}\ 96=\tfrac12(12)^{2}\theta$   $\text{A1}\ \theta=\tfrac43\text{ rad}$   $\text{M1}\ \text{arc}=12\times\tfrac43=16\text{ cm}$   $\text{M1}\ \text{chord}=2(12)\sin\tfrac23=14.84\text{ cm (RAD)}$   $\text{A1}\ P=16+14.84=30.8\text{ cm}$ นับแค่คอร์ดกับส่วนโค้ง · เซกเมนต์ไม่นับรัศมี
5. A sector of a circle has radius $15$ cm and area $60$ cm$^{2}$. Find the perimeter of the sector.sector วงหนึ่งมีรัศมี $15$ cm และพื้นที่ $60$ cm$^{2}$ · หาเส้นรอบรูปของ sector นี้
   Answer:เฉลย: $\theta=\dfrac{8}{15}$, arc $=8$, so $P=15+15+8=38$ cmThe units pick the formula: $60\text{ cm}^{2}\ \Rightarrow\ \text{area}\ \Rightarrow\ A=\tfrac12 r^{2}\theta$   $60=\tfrac12(225)\theta\ \Rightarrow\ \theta=\tfrac{8}{15}$   $\text{arc}=15\times\tfrac{8}{15}=8\text{ cm}$   $P=15+15+8=38\text{ cm}$   $60\text{ cm}\ \Rightarrow\ \text{length}\ \Rightarrow\ s=r\theta$ Perimeter of a sector is two radii plus the arc; only a segment drops them.หน่วยเป็นตัวเลือกสูตร: $60\text{ cm}^{2}\ \Rightarrow\ \text{area}\ \Rightarrow\ A=\tfrac12 r^{2}\theta$   $60=\tfrac12(225)\theta\ \Rightarrow\ \theta=\tfrac{8}{15}$   $\text{arc}=15\times\tfrac{8}{15}=8\text{ cm}$   $P=15+15+8=38\text{ cm}$   $60\text{ cm}\ \Rightarrow\ \text{length}\ \Rightarrow\ s=r\theta$ เส้นรอบรูปของเซกเตอร์คือรัศมีสองเส้นบวกส่วนโค้ง · มีแต่เซกเมนต์ที่ไม่นับ

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. A sector of a circle has radius $7$ cm and angle $0.8$ radians. Find (a) its arc length and (b) its area.Both formulas, straight off the shelf, with $\theta$ already in radians. If levels 1 and 2 landed, this is one clean minute — confidence first.สองสูตร หยิบมาใช้ตรงๆ และ $\theta$ เป็นเรเดียนมาให้แล้ว · ถ้าขั้นที่ 1 กับ 2 แน่นจริง ข้อนี้จบในหนึ่งนาที — เอาความมั่นใจก่อน
2. A sector has radius $6.5$ cm and angle $2.4$ radians. Find its arc length and its area, each to 3 significant figures.Same two moves, but a decimal radius means $r^{2}=42.25$ has to be carried accurately. Do not round $42.25$ before multiplying.ท่าเดิมสองท่า แต่รัศมีเป็นทศนิยม ต้องแบก $r^{2}=42.25$ ให้ครบ · อย่าปัด $42.25$ ก่อนคูณ
3. A sector of a circle of radius $12$ cm has angle $75^{\circ}$. Find its arc length and its area, each exact in terms of $\pi$.Same sector, but the angle arrives in degrees. Anyone who reaches for the formula before converting produces $900$ cm of arc on a circle only $75$ cm round — this position exists to catch exactly that.เซกเตอร์แบบเดิม แต่มุมมาเป็นองศา · ใครคว้าสูตรก่อนแปลงหน่วย จะได้ส่วนโค้งยาว $900$ ซม. บนวงกลมที่รอบเดียวยาวแค่ $75$ ซม. — ตำแหน่งนี้มีไว้ดักเรื่องนี้เป๊ะๆ
4. A sector of radius $9$ cm has arc length $13.5$ cm. Find $\theta$, and hence the area of the segment cut off by the chord, to 3 significant figures.Three known moves in a row: rearrange $s=r\theta$ for $\theta$, then sector, then $\frac12ab\sin C$ from Pure 1. No new technique — just a chain long enough that a dropped step shows.ต่อสามท่าที่รู้แล้วเป็นแถวเดียว: จัดรูป $s=r\theta$ หา $\theta$ · แล้วหาเซกเตอร์ · แล้วใช้ $\frac12ab\sin C$ จาก Pure 1 · ไม่มีเทคนิคใหม่ — แค่โซ่ยาวพอที่จะเห็นถ้าหล่นไปหนึ่งก้าว
5. A sector has area $54$ cm$^{2}$ and arc length $18$ cm. Find its radius and its angle.The two answers are given and the setup is the question. Spotting that $\frac12r^{2}\theta=\frac12r(r\theta)=\frac12rs$ turns it into one line — procedure-memorisers cannot start it, which makes this the best understanding check in the set.ให้คำตอบมาสองตัว แล้วถามหาการตั้งสมการ · ถ้ามองออกว่า $\frac12r^{2}\theta=\frac12r(r\theta)=\frac12rs$ ก็จบในบรรทัดเดียว — คนที่ท่องขั้นตอนมาจะเริ่มไม่ถูก ข้อนี้จึงวัดความเข้าใจได้ดีที่สุดในชุด
6. The diagram shows a sector $OPQ$ of a circle centre $O$, with $OP=OQ=10$ cm and angle $POQ=1.2$ radians. (a) Find the perimeter of the sector. (3 marks)  (b) Find the area of the segment bounded by the chord $PQ$ and the arc $PQ$, giving your answer to 3 significant figures. (4 marks)Full exam wording with the mark split. Part (a) is a length and part (b) is an area — the marks are separate, so a mistake in (a) does not travel into (b).ภาษาข้อสอบเต็มรูปแบบพร้อมแบ่งคะแนน · ข้อ (a) เป็นความยาว ข้อ (b) เป็นพื้นที่ — คะแนนแยกกัน พลาดข้อ (a) ไม่ลามไป (b)
7. A student writes: “a sector of radius $10$ cm with angle $40^{\circ}$ has arc length $s=10\times40=400$ cm and area $A=\tfrac12(10)^{2}(40)=2000$ cm$^{2}$.” Find the error and give the correct arc length and area, exact in terms of $\pi$.Here you mark someone else's mistake. It is the same trap this lesson is built around.
   If you can find it, you will not make it yourself.
   The clue is not the algebra. It is that the answers are bigger than the whole circle.ข้อนี้ให้ตรวจความผิดของคนอื่น · เป็นกับดักเดียวกับที่ทั้งบทนี้สร้างมาป้องกัน
   ถ้าหาเจอ ก็จะไม่ทำผิดแบบนี้เอง
   จุดสังเกตไม่ใช่พีชคณิต แต่เป็นคำตอบที่ใหญ่กว่าวงกลมทั้งวง

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี