Radians, arcs & sectorsเรเดียน ส่วนโค้ง และเซกเตอร์

A-Level Pure 2 · Edexcel IAL: WMA11 (P1) · CAIE: Pure 1 (9709/1) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

The whole circle, and what fraction the slice isวงกลมทั้งวง กับชิ้นนั้นเป็นเศษส่วนเท่าไร

Every arc and sector is that fraction of the whole. In radians it is $\dfrac{\theta}{2\pi}$.ส่วนโค้งและเซกเตอร์ทุกอัน คือเศษส่วนนั้นของทั้งวง · ในเรเดียนคือ $\dfrac{\theta}{2\pi}$

1. A circle has radius $6$ cm. Find its circumference, exact in terms of $\pi$.วงกลมรัศมี $6$ ซม. หาเส้นรอบวง ตอบแบบ exact ติด $\pi$
   Answer:เฉลย: $C=2\pi r=2\pi(6)=12\pi$ cmBoth circle formulas, written down: $C=2\pi r=2\pi(6)=12\pi\text{ cm}$   $A=\pi r^{2}$ The whole topic is a fraction of each of these two.เขียนสองสูตรของวงกลมไว้: $C=2\pi r=2\pi(6)=12\pi\text{ cm}$   $A=\pi r^{2}$ ทั้งบทคือการหยิบเศษส่วนหนึ่งของสองสูตรนี้
2. A slice of $90^{\circ}$ is cut out of a circle. What fraction of the whole circle is that slice?หั่นชิ้นมุม $90^{\circ}$ ออกจากวงกลม · ชิ้นนั้นคิดเป็นเศษส่วนเท่าไรของวงกลมทั้งวง?
   Answer:เฉลย: $\frac14$ of the circle$\frac14$ ของวงกลมSame fraction of turn, edge, area: $\frac{90}{360}=\frac14$   $\text{arc}=\frac14\times 2\pi r$   $\text{area}=\frac14\times\pi r^{2}$ Radians exist to make that fraction easy to write.ได้มุมกี่ส่วนของรอบ ก็ได้เท่านั้นส่วน: $\frac{90}{360}=\frac14$   $\text{arc}=\frac14\times 2\pi r$   $\text{area}=\frac14\times\pi r^{2}$ เรเดียนมีไว้เพื่อให้เขียนเศษส่วนนี้ง่าย

2. What one radian actually isเรเดียนคืออะไรกันแน่

One radian is the angle whose arc equals the radius. So $\pi$ rad is the new $180^{\circ}$.หนึ่งเรเดียนคือมุมที่ส่วนโค้งยาวเท่ารัศมี · ดังนั้น $\pi$ เรเดียนคือ $180^{\circ}$ ตัวใหม่

Measure the angle with the circle's own radiusวัดมุมด้วยรัศมีของวงกลมเอง

A circle has no $360$ in it. One radian comes from the circle itself.วงกลมไม่มี $360$ อยู่ในตัว · หนึ่งเรเดียนมาจากตัววงกลมเอง

1. The circumference is $2\pi r$: that is $2\pi$ copies of the radius laid end to end around the edge. So how many radians are there in one full turn?เส้นรอบวงคือ $2\pi r$ · ก็คือเอารัศมีมาต่อกันรอบขอบ $2\pi$ ท่อน · แล้วหนึ่งรอบเต็มมีกี่เรเดียน?
   Answer:เฉลย: $2\pi$ radians $=360^{\circ}$The radius cancels: $\frac{2\pi r}{r}=2\pi$   $\text{full turn}=2\pi\text{ rad}=360^{\circ}$   $\text{half turn}=\pi\text{ rad}=180^{\circ}$ The half-turn line is the only conversion fact to remember.รัศมีตัดทิ้ง: $\frac{2\pi r}{r}=2\pi$   $\text{full turn}=2\pi\text{ rad}=360^{\circ}$   $\text{half turn}=\pi\text{ rad}=180^{\circ}$ บรรทัดครึ่งรอบคือข้อเท็จจริงเดียวเรื่องแปลงหน่วยที่ต้องจำ
2. Write $60^{\circ}$ in radians, exact in terms of $\pi$.เขียน $60^{\circ}$ เป็นเรเดียน ตอบแบบ exact ติด $\pi$
   Answer:เฉลย: $60^{\circ}\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{3}$Convert by proportion, not calculator: $\frac{60}{180}=\frac13\ \Rightarrow\ 60^{\circ}=\frac{\pi}{3}$   $30^{\circ}=\frac{\pi}{6},\qquad 45^{\circ}=\frac{\pi}{4}$   $60^{\circ}=\frac{\pi}{3},\qquad 90^{\circ}=\frac{\pi}{2}$แปลงด้วยสัดส่วน ไม่ต้องกดเครื่อง: $\frac{60}{180}=\frac13\ \Rightarrow\ 60^{\circ}=\frac{\pi}{3}$   $30^{\circ}=\frac{\pi}{6},\qquad 45^{\circ}=\frac{\pi}{4}$   $60^{\circ}=\frac{\pi}{3},\qquad 90^{\circ}=\frac{\pi}{2}$
3. Now the other direction. Write $\dfrac{3\pi}{4}$ radians in degrees.คราวนี้ทิศตรงข้าม · เขียน $\dfrac{3\pi}{4}$ เรเดียน ให้เป็นองศา
   Answer:เฉลย: $\dfrac{3\pi}{4}\times\dfrac{180}{\pi}=135^{\circ}$Swap $\pi$ for $180^{\circ}$: $\frac{3\pi}{4}\to\frac34\times 180=135^{\circ}$ Seeing the $\pi$s cancel is itself the check that you went the right way.แลก $\pi$ เป็น $180^{\circ}$: $\frac{3\pi}{4}\to\frac34\times 180=135^{\circ}$ เห็น $\pi$ ตัดกันคือการตรวจไปในตัวว่าเดินถูกทิศ

3. Arc lengthความยาวส่วนโค้ง

$s=r\theta$: one multiplication. It works only when $\theta$ is in radians.$s=r\theta$ · คูณครั้งเดียวจบ · แต่ใช้ได้เฉพาะตอน $\theta$ เป็นเรเดียน

A fraction of the way roundเดินไปได้กี่ส่วนของขอบวง

The arc is the fraction $\frac{\theta}{2\pi}$ of $2\pi r$. The two $2\pi$ cancel.ส่วนโค้งคือเศษส่วน $\frac{\theta}{2\pi}$ ของ $2\pi r$ · $2\pi$ สองตัวตัดกัน

1. A sector is cut from a circle of diameter $18$ cm, with angle $0.4$ radians. Before touching $s=r\theta$: what are $r$ and $\theta$?หั่นเซกเตอร์ออกจากวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง $18$ ซม. มุม $0.4$ เรเดียน · ก่อนจะแตะสูตร $s=r\theta$: $r$ กับ $\theta$ คือเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $r=9$ cm,  $\theta=0.4$ radDiameter is not radius: $d=18\ \Rightarrow\ r=9\text{ cm}$   $\theta=0.4\ (\text{no units}\Rightarrow\text{radians})$ Write $r=\dots$, $\theta=\dots$ every time; that line often carries the method mark.เส้นผ่านศูนย์กลางไม่ใช่รัศมี: $d=18\ \Rightarrow\ r=9\text{ cm}$   $\theta=0.4\ (\text{no units}\Rightarrow\text{radians})$ เขียน $r=\dots$, $\theta=\dots$ ทุกครั้ง · บรรทัดนี้มักได้คะแนนวิธีทำ
2. Same sector, $r=9$ and $\theta=0.4$. Which line is the correct substitution into $s=r\theta$?  (Do not work it out.)เซกเตอร์เดิม $r=9$, $\theta=0.4$ · บรรทัดไหนคือการแทนค่าลงใน $s=r\theta$ ที่ถูกต้อง?  (ยังไม่ต้องคิดเลข)
   Answer:เฉลย: $s=9\times0.4$The units check the substitution: $s=9\times 0.4$   $\text{cm}\times\text{plain number}=\text{cm}\ \checkmark$หน่วยตรวจการแทนค่า: $s=9\times 0.4$   $\text{cm}\times\text{plain number}=\text{cm}\ \checkmark$
3. Finish it: $r=9$ cm, $\theta=0.4$ rad. Find the arc length $s$.เก็บให้จบ: $r=9$ ซม., $\theta=0.4$ เรเดียน · หาความยาวส่วนโค้ง $s$
   Answer:เฉลย: $s=r\theta=9\times0.4=3.6$ cmThe long way agrees: $s=r\theta=9\times 0.4=3.6\text{ cm}$   $\frac{0.4}{2\pi}\approx 6.4\%\ \text{of a turn}$   $6.4\%\times 2\pi(9)\approx 3.6\text{ cm}\ \checkmark$คิดแบบยาวก็ได้เท่ากัน: $s=r\theta=9\times 0.4=3.6\text{ cm}$   $\frac{0.4}{2\pi}\approx 6.4\%\ \text{of a turn}$   $6.4\%\times 2\pi(9)\approx 3.6\text{ cm}\ \checkmark$
4. Careful with this one. A sector has radius $12$ cm and angle $30^{\circ}$. Find the arc length, exact in terms of $\pi$.  (2 marks)ข้อนี้ระวัง · เซกเตอร์รัศมี $12$ ซม. มุม $30^{\circ}$ · หาความยาวส่วนโค้ง ตอบแบบ exact ติด $\pi$  (2 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $30^{\circ}=\dfrac{\pi}{6}$, so $s=12\times\dfrac{\pi}{6}=2\pi$ cm$s=r\theta$ needs radians: $30^{\circ}=\frac{\pi}{6}$   $s=12\times\frac{\pi}{6}=2\pi\text{ cm}$   $12\times 30=360\ \times\ (\text{degrees do not cancel})$ The most common lost mark here: circle the angle and look for a $^{\circ}$ first.$s=r\theta$ ต้องใช้เรเดียน: $30^{\circ}=\frac{\pi}{6}$   $s=12\times\frac{\pi}{6}=2\pi\text{ cm}$   $12\times 30=360\ \times\ (\text{degrees do not cancel})$ จุดเสียคะแนนบ่อยที่สุด: วงรอบตัวมุมแล้วดูว่ามี $^{\circ}$ ไหมก่อน

4. Sector areaพื้นที่เซกเตอร์

$A=\tfrac12 r^{2}\theta$: the same fraction argument, used on the area instead of the length.$A=\tfrac12 r^{2}\theta$ · เหตุผลเรื่องเศษส่วนอันเดิม แค่ย้ายไปใช้กับพื้นที่แทนความยาว

Take the fraction of the area this timeคราวนี้หยิบเศษส่วนของพื้นที่

1. $A=\frac{\theta}{2\pi}\times \pi r^{2}$The fraction of a turn, times the full area.เศษส่วนของรอบ คูณพื้นที่เต็มวง
2. $A=\frac{\theta}{2}\times r^{2}$One $\pi$ cancels. A $2$ is left underneath.$\pi$ ตัดกันหนึ่งตัว เหลือ $2$ ค้างข้างล่าง
3. $A=\tfrac12 r^{2}\theta$That is where the $\tfrac12$ comes from.ที่มาของ $\tfrac12$ คือตรงนี้

The $\frac12$ goes with the squaring: no square, no $\frac12$.$\frac12$ มาคู่กับการยกกำลังสอง · ไม่มีกำลังสอง ก็ไม่มี $\frac12$

1. Before $A=\tfrac12r^{2}\theta$ can be used at all, what value of $\theta$ must go in?ก่อนจะใช้ $A=\tfrac12r^{2}\theta$ ได้ ต้องใส่ $\theta$ เป็นค่าอะไร?
   Answer:เฉลย: $\theta=150\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}$Convert on its own line first: $\frac{150}{180}=\frac56$   $\theta=\frac56\times\pi=\frac{5\pi}{6}$แปลงหน่วยแยกบรรทัดก่อน: $\frac{150}{180}=\frac56$   $\theta=\frac56\times\pi=\frac{5\pi}{6}$
2. Same sector: $r=6$, $\theta=\dfrac{5\pi}{6}$. Which line is the correct substitution into $A=\tfrac12r^{2}\theta$?เซกเตอร์เดิม: $r=6$, $\theta=\dfrac{5\pi}{6}$ · บรรทัดไหนคือการแทนค่าลงใน $A=\tfrac12r^{2}\theta$ ที่ถูกต้อง?
   Answer:เฉลย: $A=\tfrac12\times6^{2}\times\dfrac{5\pi}{6}$Three factors, the half included: $A=\tfrac12\times r^{2}\times\theta$   $A=\tfrac12\times 6^{2}\times\frac{5\pi}{6}$สามตัวคูณ รวมตัวครึ่งด้วย: $A=\tfrac12\times r^{2}\times\theta$   $A=\tfrac12\times 6^{2}\times\frac{5\pi}{6}$
3. Now evaluate it, exact in terms of $\pi$: $r=6$ cm, $\theta=\dfrac{5\pi}{6}$.ทีนี้คิดค่าออกมา ตอบแบบ exact ติด $\pi$: $r=6$ ซม., $\theta=\dfrac{5\pi}{6}$
   Answer:เฉลย: $A=\tfrac12\times36\times\dfrac{5\pi}{6}=18\times\dfrac{5\pi}{6}=15\pi$ cm$^{2}$Check the answer against the picture: $A=\tfrac12\times 36\times\frac{5\pi}{6}=15\pi\text{ cm}^{2}$   $\text{whole disc}=\pi(6)^{2}=36\pi$   $150^{\circ}<180^{\circ}\ \Rightarrow\ 15\pi<18\pi\ \checkmark$ This check finds a missing $\frac12$ every time.ตรวจคำตอบกับรูป: $A=\tfrac12\times 36\times\frac{5\pi}{6}=15\pi\text{ cm}^{2}$   $\text{whole disc}=\pi(6)^{2}=36\pi$   $150^{\circ}<180^{\circ}\ \Rightarrow\ 15\pi<18\pi\ \checkmark$ การตรวจนี้จับ $\frac12$ ที่หายไปได้ทุกครั้ง

5. Segment: sector minus triangleเซกเมนต์: เซกเตอร์ลบสามเหลี่ยม

Chop the triangle off the sector: $\tfrac12r^{2}\theta-\tfrac12r^{2}\sin\theta$.ตัดสามเหลี่ยมออกจากเซกเตอร์: $\tfrac12r^{2}\theta-\tfrac12r^{2}\sin\theta$

Join the two ends of the arcลากเส้นเชื่อมปลายส่วนโค้งสองข้าง

The triangle is $\frac12ab\sin C$ with $a=b=r$.สามเหลี่ยมคือ $\frac12ab\sin C$ โดย $a=b=r$

1. Which calculation gives the area of the shaded segment?การคำนวณข้อไหนให้พื้นที่ของเซกเมนต์ที่แรเงา?
   Answer:เฉลย: sector $-$ triangle $=\tfrac12(10)^{2}\big(1.5-\sin1.5\big)$เซกเตอร์ $-$ สามเหลี่ยม $=\tfrac12(10)^{2}\big(1.5-\sin1.5\big)$Segment $=$ sector $-$ triangle: $\tfrac12(10)^{2}(1.5)-\tfrac12(10)^{2}\sin 1.5$   $=\tfrac12 r^{2}(\theta-\sin\theta)$ Build it before you learn the compact form; the shaded piece changes every year.เซกเมนต์ $=$ เซกเตอร์ $-$ สามเหลี่ยม: $\tfrac12(10)^{2}(1.5)-\tfrac12(10)^{2}\sin 1.5$   $=\tfrac12 r^{2}(\theta-\sin\theta)$ สร้างเองให้ได้ก่อนค่อยจำรูปย่อ · ชิ้นที่แรเงาเปลี่ยนทุกปี
2. First the triangle $OAB$ on its own. Find its area, to 3 significant figures.เอาสามเหลี่ยม $OAB$ ก่อน · หาพื้นที่ ตอบ 3 เลขนัยสำคัญ
   Answer:เฉลย: $\tfrac12(10)^{2}\sin1.5=50\sin1.5=49.9$ cm$^{2}$Question in radians, calculator on RAD: $\tfrac12 ab\sin C,\ a=b=r$   $\tfrac12(10)^{2}\sin 1.5=50\sin 1.5=49.9\text{ cm}^{2}$โจทย์เป็นเรเดียน หน้าจอต้องขึ้น RAD: $\tfrac12 ab\sin C,\ a=b=r$   $\tfrac12(10)^{2}\sin 1.5=50\sin 1.5=49.9\text{ cm}^{2}$
3. Now the segment itself, same sector ($r=10$ cm, $\theta=1.5$ rad), to 3 significant figures.  (3 marks)ทีนี้เอาเซกเมนต์เอง เซกเตอร์เดิม ($r=10$ ซม., $\theta=1.5$ เรเดียน) ตอบ 3 เลขนัยสำคัญ  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $75-49.87=25.1$ cm$^{2}$Round only at the last line: $\tfrac12(100)\left(1.5-\sin 1.5\right)$   $=50(1.5-0.99749)$   $=25.1\text{ cm}^{2}$ On a closer question, early rounding loses the accuracy mark.ปัดเศษที่บรรทัดสุดท้ายเท่านั้น: $\tfrac12(100)\left(1.5-\sin 1.5\right)$   $=50(1.5-0.99749)$   $=25.1\text{ cm}^{2}$ ข้อที่ตัวเลขใกล้กันกว่านี้ ปัดเร็วจะเสียคะแนนความแม่นยำ

6. Perimeter: which edges countเส้นรอบรูป: นับขอบไหนบ้าง

Sector: two radii plus the arc. Segment: chord plus the arc, and no radii.เซกเตอร์: รัศมีสองเส้นบวกส่วนโค้ง · เซกเมนต์: คอร์ดบวกส่วนโค้ง · ไม่มีรัศมีเลย

The perimeter is whatever your finger touchesเส้นรอบรูปคือทุกอย่างที่นิ้วเดินผ่าน

A segment's edge is chord and arc only. An arc is $r\theta$, never $\theta$ alone.ขอบของเซกเมนต์มีแค่คอร์ดกับส่วนโค้ง · ส่วนโค้งคือ $r\theta$ ไม่ใช่ $\theta$ เดี่ยวๆ

1. A sector has $r=6$ cm and $\theta=1.2$ rad. Which is its perimeter?เซกเตอร์ $r=6$ ซม., $\theta=1.2$ เรเดียน · เส้นรอบรูปคือข้อไหน?
   Answer:เฉลย: $P=2r+r\theta=12+7.2=19.2$ cmRead the word: arc or perimeter: $P=2r+r\theta$   $=12+7.2=19.2\text{ cm}$ The mark is lost to the question you practised most, not to hard maths.อ่านคำให้ชัด: arc หรือ perimeter: $P=2r+r\theta$   $=12+7.2=19.2\text{ cm}$ คะแนนหายเพราะตอบสิ่งที่ฝึกมาบ่อยที่สุด ไม่ใช่เพราะเลขยาก
2. Same sector, now with the chord drawn. Find the perimeter of the segment, to 3 significant figures.เซกเตอร์เดิม แต่คราวนี้ลากคอร์ดแล้ว · หาเส้นรอบรูปของเซกเมนต์ ตอบ 3 เลขนัยสำคัญ
   Answer:เฉลย: $2(6)\sin0.6+6(1.2)=6.776+7.2=14.0$ cmChord plus arc only: $\text{chord}=2(6)\sin 0.6=6.776$   $\text{arc}=6(1.2)=7.2$   $P=14.0\text{ cm}$   $\text{or cosine rule}:\ c^{2}=6^{2}+6^{2}-2(6)(6)\cos 1.2$คอร์ดบวกส่วนโค้งเท่านั้น: $\text{chord}=2(6)\sin 0.6=6.776$   $\text{arc}=6(1.2)=7.2$   $P=14.0\text{ cm}$   $\text{or cosine rule}:\ c^{2}=6^{2}+6^{2}-2(6)(6)\cos 1.2$

7. Exam formรูปแบบข้อสอบ

One diagram, several regions. Name the pieces, then add or subtract.รูปเดียว หลายบริเวณ · ตั้งชื่อชิ้นส่วนให้ครบ แล้วบวกหรือลบ

“The shaded region is bounded by…”“บริเวณแรเงาถูกล้อมด้วย…”

Every $\theta$ here is in radians: calculator in RAD. Part (b) never needs a new formula.$\theta$ ทุกตัวในตารางเป็นเรเดียน · เครื่องคิดเลขโหมด RAD · ข้อ (b) ไม่เคยต้องใช้สูตรใหม่

1. Exam: The diagram shows a sector $OAB$ of a circle with centre $O$, where $OA=OB=8$ cm and angle $AOB=0.9$ radians. Find the perimeter of the sector $OAB$.  (3 marks)ข้อสอบ: รูปแสดงเซกเตอร์ $OAB$ ของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $O$ โดย $OA=OB=8$ ซม. และมุม $AOB=0.9$ เรเดียน · หาเส้นรอบรูปของเซกเตอร์ $OAB$  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: arc $AB=8(0.9)=7.2$ cm;  $P=8+8+7.2=23.2$ cm3 marks: $\text{M1}\ s=r\theta,\ \theta\text{ already in radians}$   $\text{A1}\ \text{arc}=8(0.9)=7.2\text{ cm}$   $\text{A1}\ P=8+8+7.2=23.2\text{ cm}$ Write the arc on its own line and the middle mark is free.3 คะแนน: $\text{M1}\ s=r\theta,\ \theta\text{ already in radians}$   $\text{A1}\ \text{arc}=8(0.9)=7.2\text{ cm}$   $\text{A1}\ P=8+8+7.2=23.2\text{ cm}$ เขียนส่วนโค้งแยกบรรทัด แล้วคะแนนกลางได้ฟรี
2. Part (b): the chord $AB$ is now drawn on the same diagram. Find the area of the shaded segment between the chord $AB$ and the arc $AB$, to 3 significant figures.  (4 marks)ข้อ (b): ตอนนี้ลากคอร์ด $AB$ ลงในรูปเดิมแล้ว · หาพื้นที่เซกเมนต์แรเงาที่อยู่ระหว่างคอร์ด $AB$ กับส่วนโค้ง $AB$ ตอบ 3 เลขนัยสำคัญ  (4 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\tfrac12(8)^{2}(0.9)-\tfrac12(8)^{2}\sin0.9=28.8-25.07=3.73$ cm$^{2}$4 marks: $\text{M1}\ \text{sector}=\tfrac12(64)(0.9)=28.8$   $\text{M1}\ \text{triangle}=\tfrac12(64)\sin 0.9=25.07$   $\text{M1}\ \text{subtract, sector first}$   $\text{A1}\ 3.73\text{ cm}^{2}$ Small $\theta$ makes sector and triangle nearly equal, so early rounding loses the last mark.4 คะแนน: $\text{M1}\ \text{sector}=\tfrac12(64)(0.9)=28.8$   $\text{M1}\ \text{triangle}=\tfrac12(64)\sin 0.9=25.07$   $\text{M1}\ \text{subtract, sector first}$   $\text{A1}\ 3.73\text{ cm}^{2}$ $\theta$ เล็ก เซกเตอร์กับสามเหลี่ยมเกือบเท่ากัน · ปัดเร็วเสียคะแนนสุดท้าย
3. A different diagram: two sectors with the same centre and the same angle. Which calculation gives the area of the shaded band?อีกรูปหนึ่ง: เซกเตอร์สองชิ้น จุดศูนย์กลางเดียวกัน มุมเท่ากัน · การคำนวณข้อไหนให้พื้นที่แถบที่แรเงา?
   Answer:เฉลย: $\tfrac12(1.1)(81-16)=\tfrac12(1.1)(65)=35.75$ cm$^{2}$$\tfrac12(1.1)(81-16)=\tfrac12(1.1)(65)=35.75$ ซม$^{2}$Name the pieces before calculating: $\text{outer sector}-\text{inner sector}$   $\tfrac12\theta(R^{2}-r^{2})=\tfrac12(1.1)(81-16)$   $=\tfrac12(1.1)(65)=35.75\text{ cm}^{2}$ Never invent a formula for a shaded region; build it from the six you have.ตั้งชื่อชิ้นส่วนก่อนคิดเลข: $\text{outer sector}-\text{inner sector}$   $\tfrac12\theta(R^{2}-r^{2})=\tfrac12(1.1)(81-16)$   $=\tfrac12(1.1)(65)=35.75\text{ cm}^{2}$ อย่าคิดสูตรใหม่ให้บริเวณแรเงา · ประกอบจากหกสูตรที่มีอยู่
4. Exam: A sector $OAB$ has radius $12$ cm and area $96$ cm$^{2}$. The chord $AB$ is drawn. Find the perimeter of the segment between the chord $AB$ and the arc $AB$, to 3 significant figures.  (5 marks)ข้อสอบ: sector $OAB$ รัศมี $12$ cm พื้นที่ $96$ cm$^{2}$ · ลาก chord $AB$ · หาเส้นรอบรูปของ segment ที่อยู่ระหว่าง chord $AB$ กับ arc $AB$ ตอบ 3 significant figures  (5 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\theta=\dfrac{4}{3}$, arc $=16$, chord $=24\sin\dfrac{2}{3}=14.84$, so $P=30.8$ cm5 marks: $\text{M1}\ 96=\tfrac12(12)^{2}\theta$   $\text{A1}\ \theta=\tfrac43\text{ rad}$   $\text{M1}\ \text{arc}=12\times\tfrac43=16\text{ cm}$   $\text{M1}\ \text{chord}=2(12)\sin\tfrac23=14.84\text{ cm (RAD)}$   $\text{A1}\ P=16+14.84=30.8\text{ cm}$ Chord and arc only. A segment leaves the radii out.5 คะแนน: $\text{M1}\ 96=\tfrac12(12)^{2}\theta$   $\text{A1}\ \theta=\tfrac43\text{ rad}$   $\text{M1}\ \text{arc}=12\times\tfrac43=16\text{ cm}$   $\text{M1}\ \text{chord}=2(12)\sin\tfrac23=14.84\text{ cm (RAD)}$   $\text{A1}\ P=16+14.84=30.8\text{ cm}$ นับแค่คอร์ดกับส่วนโค้ง · เซกเมนต์ไม่นับรัศมี
5. A sector of a circle has radius $15$ cm and area $60$ cm$^{2}$. Find the perimeter of the sector.sector วงหนึ่งมีรัศมี $15$ cm และพื้นที่ $60$ cm$^{2}$ · หาเส้นรอบรูปของ sector นี้
   Answer:เฉลย: $\theta=\dfrac{8}{15}$, arc $=8$, so $P=15+15+8=38$ cmThe units pick the formula: $60\text{ cm}^{2}\ \Rightarrow\ \text{area}\ \Rightarrow\ A=\tfrac12 r^{2}\theta$   $60=\tfrac12(225)\theta\ \Rightarrow\ \theta=\tfrac{8}{15}$   $\text{arc}=15\times\tfrac{8}{15}=8\text{ cm}$   $P=15+15+8=38\text{ cm}$   $60\text{ cm}\ \Rightarrow\ \text{length}\ \Rightarrow\ s=r\theta$ Perimeter of a sector is two radii plus the arc; only a segment drops them.หน่วยเป็นตัวเลือกสูตร: $60\text{ cm}^{2}\ \Rightarrow\ \text{area}\ \Rightarrow\ A=\tfrac12 r^{2}\theta$   $60=\tfrac12(225)\theta\ \Rightarrow\ \theta=\tfrac{8}{15}$   $\text{arc}=15\times\tfrac{8}{15}=8\text{ cm}$   $P=15+15+8=38\text{ cm}$   $60\text{ cm}\ \Rightarrow\ \text{length}\ \Rightarrow\ s=r\theta$ เส้นรอบรูปของเซกเตอร์คือรัศมีสองเส้นบวกส่วนโค้ง · มีแต่เซกเมนต์ที่ไม่นับ

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. A sector of a circle has radius $7$ cm and angle $0.8$ radians. Find (a)(ก) its arc length and (b)(ข) its area.
   Answer:เฉลย: (a) $s=7(0.8)=5.6$ cm  (b) $A=\tfrac12(7)^{2}(0.8)=19.6$ cm$^{2}$Both formulas straight off the shelf, with $\theta$ already in radians. One clean minute if levels 1 and 2 landed.สองสูตร หยิบมาใช้ตรงๆ และ $\theta$ เป็นเรเดียนมาให้แล้ว · จบในหนึ่งนาทีถ้าขั้นที่ 1 กับ 2 แน่นแล้ว
2. A sector has radius $6.5$ cm and angle $2.4$ radians. Find its arc length and its area, each to 3 significant figures.
   Answer:เฉลย: $s=6.5(2.4)=15.6$ cm;  $A=\tfrac12(6.5)^{2}(2.4)=50.7$ cm$^{2}$Same two moves, but a decimal radius means $r^{2}=42.25$ has to be carried accurately. Do not round $42.25$ before multiplying.ท่าเดิมสองท่า แต่รัศมีเป็นทศนิยม ต้องแบก $r^{2}=42.25$ ให้ครบ · อย่าปัด $42.25$ ก่อนคูณ
3. A sector of a circle of radius $12$ cm has angle $75^{\circ}$. Find its arc length and its area, each exact in terms of $\pi$.
   Answer:เฉลย: $75^{\circ}=\tfrac{5\pi}{12}$;  $s=12\cdot\tfrac{5\pi}{12}=5\pi$ cm;  $A=\tfrac12(144)\cdot\tfrac{5\pi}{12}=30\pi$ cm$^{2}$Same sector, but the angle is in degrees. Converting late gives 900 cm of arc on a 75 cm circle.เซกเตอร์เดิม แต่มุมมาเป็นองศา · แปลงหน่วยช้าไปจะได้ arc ยาว 900 ซม. บนวงกลมที่รอบเดียวยาวแค่ 75 ซม.
4. A sector of radius $9$ cm has arc length $13.5$ cm. Find $\theta$, and hence the area of the segment cut off by the chord, to 3 significant figures.
   Answer:เฉลย: $\theta=\tfrac{13.5}{9}=1.5$ rad;  sector $=\tfrac12(81)(1.5)=60.75$;  triangle $=\tfrac12(81)\sin1.5=40.40$;  segment $=20.4$ cm$^{2}$Three known moves in a row: rearrange $s=r\theta$, find the sector, then $\tfrac12ab\sin C$ from Pure 1.ต่อสามท่าที่รู้แล้ว: จัดรูป $s=r\theta$ หา $\theta$ แล้วหาเซกเตอร์ แล้วใช้ $\tfrac12ab\sin C$ จาก Pure 1
5. A sector has area $54$ cm$^{2}$ and arc length $18$ cm. Find its radius and its angle.
   Answer:เฉลย: $A=\tfrac12 r s$, so $54=\tfrac12 r(18)=9r$, giving $r=6$ cm; then $\theta=\tfrac{s}{r}=\tfrac{18}{6}=3$ radRewrite $A$ using $s$: $\tfrac12r^{2}\theta=\tfrac12r(r\theta)$   $=\tfrac12rs$ The question gives $A$ and $s$. This formula then gives $r$ in one line.เขียน $A$ ด้วย $s$: $\tfrac12r^{2}\theta=\tfrac12r(r\theta)$   $=\tfrac12rs$ โจทย์ให้ $A$ กับ $s$ · สูตรนี้ทำให้หา $r$ ได้ในบรรทัดเดียว
6. The diagram shows a sector $OPQ$ of a circle centre $O$, with $OP=OQ=10$ cm and angle $POQ=1.2$ radians.  (4 marks) (a)(ก) Find the perimeter of the sector. (3 marks) (b)(ข) Find the area of the segment bounded by the chord $PQ$ and the arc $PQ$, giving your answer to 3 significant figures.
   Answer:เฉลย: (a) $2(10)+10(1.2)=32$ cm  (b) $\tfrac12(100)(1.2)-\tfrac12(100)\sin1.2=60-46.60=13.4$ cm$^{2}$Full exam wording with the mark split. Part (a) is a length, part (b) an area, marked separately.ภาษาข้อสอบเต็มรูปแบบ พร้อมแบ่งคะแนน · ข้อ (a) เป็นความยาว ข้อ (b) เป็นพื้นที่ คะแนนแยกกัน
7. A student writes: “a sector of radius $10$ cm with angle $40^{\circ}$ has arc length $s=10\times40=400$ cm and area $A=\tfrac12(10)^{2}(40)=2000$ cm$^{2}$.” Find the error and give the correct arc length and area, exact in terms of $\pi$.
   Answer:เฉลย: $\theta$ was left in degrees. $40^{\circ}=\tfrac{2\pi}{9}$, so $s=\tfrac{20\pi}{9}\approx6.98$ cm and $A=\tfrac{100\pi}{9}\approx34.9$ cm$^{2}$ — and the whole circle is only $62.8$ cm round with area $314$ cm$^{2}$.You mark someone else's mistake here, the same trap this lesson is built around. The clue is size, not algebra.ข้อนี้ให้ตรวจความผิดของคนอื่น เป็นกับดักเดียวกับที่บทนี้พูดถึง · จุดสังเกตคือขนาดตัวเลข ไม่ใช่พีชคณิต

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี