Differentiationอนุพันธ์

A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: Pure 1 (9709/1) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

The power rule, then a gradient at a pointกฎยกกำลัง แล้วหาความชันที่จุดหนึ่ง

Negative and fractional powers change panel 1's arithmetic and nothing else.กำลังลบและกำลังเศษส่วน เปลี่ยนแค่การคำนวณในช่อง 1 นอกนั้นเหมือนเดิม

1. Differentiate $y=x^{4}+3x^{2}$.ดิฟ $y=x^{4}+3x^{2}$
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=4x^{3}+6x$Nothing replaces $nx^{n-1}$: $x^{4}\ \to\ 4x^{3}$   $3x^{2}\ \to\ 6x$   $\frac{dy}{dx}=4x^{3}+6x$ The new rules only say what to do when $x$ is wrapped inside something.ไม่มีอะไรมาแทน $nx^{n-1}$: $x^{4}\ \to\ 4x^{3}$   $3x^{2}\ \to\ 6x$   $\frac{dy}{dx}=4x^{3}+6x$ กฎใหม่แค่บอกว่า ถ้า $x$ ถูกห่ออยู่ข้างใน ต้องทำยังไง
2. $y=x^{2}-4x+1$. Find the gradient of the curve at $x=3$.$y=x^{2}-4x+1$ · หาความชันของเส้นโค้งที่ $x=3$
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=2x-4$, so at $x=3$ the gradient is $2$Differentiate first, then substitute: $\frac{dy}{dx}=2x-4$   $x=3:\ \ 2(3)-4=2$ Every question in this lesson ends with these two moves.ดิฟก่อน แล้วค่อยแทนค่า: $\frac{dy}{dx}=2x-4$   $x=3:\ \ 2(3)-4=2$ ทุกข้อในบทนี้ จบด้วยสองท่านี้

2. Negative and fractional powersกำลังติดลบและกำลังเศษส่วน

$nx^{n-1}$ still works on $\frac{1}{x^{2}}$ and $\sqrt{x}$ — rewrite as a power first.$nx^{n-1}$ ใช้กับ $\frac{1}{x^{2}}$ และ $\sqrt{x}$ ได้เหมือนเดิม — แค่ต้องเขียนเป็นเลขยกกำลังก่อน

The rule never said $n$ had to be a whole numberกฎไม่เคยบอกว่า $n$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม

1. Rewrite before you differentiate: $\dfrac{3}{x^{2}}$ is the same as…จัดรูปก่อนดิฟ: $\dfrac{3}{x^{2}}$ ก็คือ…
   Answer:เฉลย: $3x^{-2}$Rewrite before you differentiate: $\frac{3}{x^{2}}=3x^{-2}$   $n=-2$   $\frac{dy}{dx}=-6x^{-3}$ The power rule cannot touch a term that is still a fraction.เขียนใหม่ก่อนดิฟ: $\frac{3}{x^{2}}=3x^{-2}$   $n=-2$   $\frac{dy}{dx}=-6x^{-3}$ กฎกำลังใช้กับพจน์ที่ยังเป็นเศษส่วนไม่ได้
2. $y=\dfrac{3}{x^{2}}$.  Find the gradient at $x=1$.$y=\dfrac{3}{x^{2}}$  หาความชันที่ $x=1$
   Answer:เฉลย: $y=3x^{-2}\Rightarrow\dfrac{dy}{dx}=-6x^{-3}=-\dfrac{6}{x^{3}}$, so the gradient at $x=1$ is $-6$Down by one, from $-2$: $y=3x^{-2}$   $\frac{dy}{dx}=-6x^{-3}=-\frac{6}{x^{3}}$   $x=1:\ \ -6$ $-2-1=-3$ — subtracting one from a negative makes it more negative.ลดกำลังหนึ่ง จาก $-2$: $y=3x^{-2}$   $\frac{dy}{dx}=-6x^{-3}=-\frac{6}{x^{3}}$   $x=1:\ \ -6$ $-2-1=-3$ · ลบหนึ่งจากเลขติดลบ ยิ่งติดลบมากขึ้น

3. The chain rule for a bracketกฎลูกโซ่สำหรับวงเล็บ

$(ax+b)^{n}$ differentiates to $n(ax+b)^{n-1}\times a$ — and that $\times a$ is the mark.$(ax+b)^{n}$ ดิฟได้ $n(ax+b)^{n-1}\times a$ — เจ้า $\times a$ นั่นแหละคือคะแนน

The power now sits on a whole bracketคราวนี้กำลังนั่งอยู่บนวงเล็บทั้งก้อน

Differentiate $y=(3x+2)^{5}$ดิฟ $y=(3x+2)^{5}$

1. $y=(3x+2)^{5}$Expanding this would take all day. Treat the bracket as one object.ถ้ากระจายคงทำทั้งวัน · มองวงเล็บเป็นก้อนเดียว
2. $\frac{dy}{dx}=5(3x+2)^{4}$Power rule on the bracket: down as a multiplier, power drops by one.กฎกำลังกับวงเล็บ: กำลังลงมาเป็นตัวคูณ แล้วลดลงหนึ่ง
3. $\frac{dy}{dx}=5(3x+2)^{4}\times3$Then times the derivative of the inside. Forgetting this $\times3$ is the classic error.แล้วคูณด้วยดิฟของข้างใน · ลืม $\times3$ ตัวนี้คือความผิดพลาดยอดฮิต
4. $\frac{dy}{dx}=15(3x+2)^{4}$Tidy the numbers. Check at $x=0$: $15(2)^{4}=240$.จัดตัวเลขให้เรียบร้อย · ลองที่ $x=0$: $15(2)^{4}=240$

1. $y=(3x-4)^{6}$. Before differentiating anything: what is the inside function, and what is its derivative?$y=(3x-4)^{6}$ · ก่อนจะดิฟอะไรทั้งนั้น: ฟังก์ชันข้างในคืออะไร และอนุพันธ์ของมันคือเท่าไร?
   Answer:เฉลย: inside $3x-4$, derivative $3$ข้างในคือ $3x-4$ อนุพันธ์คือ $3$Label the inside first: $\text{inside}=3x-4$   $\text{its derivative}=3$ Write 'derivative of the inside $=3$' now — you use it two lines later.ตั้งชื่อข้างในก่อน: $\text{inside}=3x-4$   $\text{its derivative}=3$ เขียน 'อนุพันธ์ข้างใน $=3$' ไว้เลย · อีกสองบรรทัดได้ใช้
2. Same $y=(3x-4)^{6}$. Which line is the rule with the numbers written in — nothing worked out yet?โจทย์เดิม $y=(3x-4)^{6}$ · บรรทัดไหนคือสูตรที่แทนตัวเลขลงไปแล้ว โดยยังไม่คิดต่อ?
   Answer:เฉลย: $6(3x-4)^{5}\times3$Write the untidy line: $\frac{dy}{dx}=6(3x-4)^{5}\times 3$ That line earns the method mark on its own, before any simplifying.เขียนบรรทัดรกๆ นี้ไว้: $\frac{dy}{dx}=6(3x-4)^{5}\times 3$ บรรทัดนั้นได้คะแนนวิธีทำเลย ก่อนจะย่ออะไรทั้งนั้น
3. Now tidy it up: $y=(3x-4)^{6}$, so $\dfrac{dy}{dx}=\;?$ทีนี้จัดรูปให้เรียบร้อย: $y=(3x-4)^{6}$ แล้ว $\dfrac{dy}{dx}=\;?$
   Answer:เฉลย: $18(3x-4)^{5}$Never expand the bracket: $6\times 3=18$   $\frac{dy}{dx}=18(3x-4)^{5}$ Factorised is what the mark scheme prints, and what part (b) wants.อย่ากระจายวงเล็บ: $6\times 3=18$   $\frac{dy}{dx}=18(3x-4)^{5}$ แบบแยกตัวประกอบคือที่เฉลยพิมพ์ · และที่ข้อ (b) ต้องใช้
4. A student writes $\;\dfrac{d}{dx}(5x+2)^{3}=3(5x+2)^{2}$.  One factor is missing. What number should that line be multiplied by?นักเรียนคนหนึ่งเขียนว่า $\;\dfrac{d}{dx}(5x+2)^{3}=3(5x+2)^{2}$  มีตัวคูณหายไปหนึ่งตัว · บรรทัดนี้ต้องคูณด้วยเลขอะไร?
   Answer:เฉลย: $\times5$,  giving $15(5x+2)^{2}$The missing $\times 5$: $\frac{d}{dx}(5x+2)^{3}=3(5x+2)^{2}\times 5$   $=15(5x+2)^{2}$ The method mark survives; every accuracy mark after it does not.$\times 5$ ที่หายไป: $\frac{d}{dx}(5x+2)^{3}=3(5x+2)^{2}\times 5$   $=15(5x+2)^{2}$ คะแนนวิธีทำยังได้ · แต่คะแนนความถูกต้องหลังจากนั้นหายหมด

4. e to the x and ln xอนุพันธ์ของ e ยกกำลัง x และ ln x

$e^{x}$ differentiates to itself and $\ln x$ to $\frac{1}{x}$ — then the chain rule handles a linear inside.$e^{x}$ ดิฟแล้วได้ตัวเอง · $\ln x$ ดิฟได้ $\frac{1}{x}$ — ส่วนข้างในที่เป็นเส้นตรงให้ chain rule จัดการต่อ

The only two facts this level asks you to memoriseมีแค่สองข้อที่ขั้นนี้ให้ท่อง

1. Differentiate $y=e^{4x}$.ดิฟ $y=e^{4x}$
   Answer:เฉลย: $4e^{4x}$$e$ comes down unchanged: $e^{ax+b}\ \to\ a\,e^{ax+b}$   $\frac{dy}{dx}=4e^{4x}$ Not a new rule — the last level running on a new row.$e$ ลงมาเหมือนเดิม: $e^{ax+b}\ \to\ a\,e^{ax+b}$   $\frac{dy}{dx}=4e^{4x}$ ไม่ใช่กฎใหม่ · คือขั้นที่แล้ว มาใช้กับแถวใหม่
2. Differentiate $y=\ln(5x+2)$.ดิฟ $y=\ln(5x+2)$
   Answer:เฉลย: $\dfrac{5}{5x+2}$Inside stays down, derivative up: $\ln(ax+b)\ \to\ \frac{a}{ax+b}$   $\frac{dy}{dx}=\frac{5}{5x+2}$   $\text{check }\ln 3x:\ \frac{3}{3x}=\frac{1}{x}$ข้างในอยู่ล่าง อนุพันธ์ขึ้นบน: $\ln(ax+b)\ \to\ \frac{a}{ax+b}$   $\frac{dy}{dx}=\frac{5}{5x+2}$   $\text{check }\ln 3x:\ \frac{3}{3x}=\frac{1}{x}$

5. The product ruleกฎผลคูณ

Two functions multiplied need $u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$ — two terms, added.ฟังก์ชันสองตัวคูณกันต้องใช้ $u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$ — สองพจน์ บวกกัน

1. $y=x^{2}e^{x}$, with $u=x^{2}$ and $v=e^{x}$. Which pair of derivatives goes into the formula?$y=x^{2}e^{x}$ โดยให้ $u=x^{2}$ และ $v=e^{x}$ · คู่อนุพันธ์ชุดไหนที่ต้องเอาไปใส่สูตร?
   Answer:เฉลย: $\dfrac{du}{dx}=2x$,  $\dfrac{dv}{dx}=e^{x}$Write all four parts down: $u=x^{2}$   $v=e^{x}$   $\frac{du}{dx}=2x$   $\frac{dv}{dx}=e^{x}$ Written down before the formula, they cannot be paired up wrongly.เขียนทั้งสี่ก้อนลงไปก่อน: $u=x^{2}$   $v=e^{x}$   $\frac{du}{dx}=2x$   $\frac{dv}{dx}=e^{x}$ เขียนก่อนใช้สูตร · จะได้ไม่จับคู่ผิด
2. Same $y=x^{2}e^{x}$. Which line is $u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$ with those four pieces put in?โจทย์เดิม $y=x^{2}e^{x}$ · บรรทัดไหนคือ $u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$ ที่แทนของทั้งสี่ชิ้นลงไปแล้ว?
   Answer:เฉลย: $x^{2}e^{x}+2xe^{x}$Two terms, pairs crossed over: $u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$   $=x^{2}e^{x}+2xe^{x}$ Leave the products unexpanded — the substitution mark is already yours.สองพจน์ จับคู่ไขว้กัน: $u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$   $=x^{2}e^{x}+2xe^{x}$ อย่าเพิ่งคูณออก · คะแนนแทนค่าได้ไปแล้ว
3. Finish it: $y=x^{2}e^{x}$, so $\dfrac{dy}{dx}=\;?$  Give your answer factorised.ทำให้จบ: $y=x^{2}e^{x}$ แล้ว $\dfrac{dy}{dx}=\;?$  ตอบในรูปแยกตัวประกอบ
   Answer:เฉลย: $x^{2}e^{x}+2xe^{x}=xe^{x}(x+2)$Exam answers come factorised: $x^{2}e^{x}+2xe^{x}$   $=xe^{x}(x+2)$ The next part sets $\frac{dy}{dx}=0$ — factorised, you read the roots off.คำตอบข้อสอบต้องแยกตัวประกอบ: $x^{2}e^{x}+2xe^{x}$   $=xe^{x}(x+2)$ ข้อถัดไปให้ $\frac{dy}{dx}=0$ · แยกตัวประกอบแล้วอ่านคำตอบได้เลย
4. New pair, same three steps: differentiate $y=x\ln x$.คู่ใหม่ ท่าเดิมสามขั้น: ดิฟ $y=x\ln x$
   Answer:เฉลย: $\ln x+1$$x\ln x$ differentiates tidily: $x\cdot\frac{1}{x}+\ln x\cdot 1$   $=1+\ln x$ P2 stationary-point questions use $x\ln x$ constantly, and this is why.$x\ln x$ ดิฟแล้วสวย: $x\cdot\frac{1}{x}+\ln x\cdot 1$   $=1+\ln x$ ข้อจุดวิกฤตของ P2 ใช้ $x\ln x$ บ่อยมาก · เพราะเหตุนี้

6. The quotient ruleกฎผลหาร

A fraction needs $\dfrac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}$ — and the order of the two products decides the sign.เศษส่วนต้องใช้ $\dfrac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}$ — และลำดับของสองผลคูณเป็นตัวกำหนดเครื่องหมาย

1. $y=\dfrac{2x+1}{x^{2}+3}$. Label all four pieces.$y=\dfrac{2x+1}{x^{2}+3}$ · ป้ายชื่อทั้งสี่ชิ้น
   Answer:เฉลย: $u=2x+1$,  $v=x^{2}+3$,  $\dfrac{du}{dx}=2$,  $\dfrac{dv}{dx}=2x$Label four, then the formula: $u=2x+1$   $v=x^{2}+3$   $\frac{du}{dx}=2$   $\frac{dv}{dx}=2x$ Almost every quotient-rule error is a labelling error never written down.ตั้งชื่อสี่ก้อน แล้วค่อยใช้สูตร: $u=2x+1$   $v=x^{2}+3$   $\frac{du}{dx}=2$   $\frac{dv}{dx}=2x$ ที่ผิดกฎผลหารเกือบทั้งหมด · คือตั้งชื่อผิดเพราะไม่ได้เขียนไว้
2. Which numerator is the correct one for $y=\dfrac{2x+1}{x^{2}+3}$?ตัวเศษอันไหนถูกสำหรับ $y=\dfrac{2x+1}{x^{2}+3}$?
   Answer:เฉลย: $(x^{2}+3)(2)-(2x+1)(2x)$Bottom first, then subtract: $\frac{dy}{dx}=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}$   $\text{numerator}=(x^{2}+3)(2)-(2x+1)(2x)$   $\text{check }y=\tfrac{1}{x}:\ \frac{x(0)-1(1)}{x^{2}}=-\frac{1}{x^{2}}$ The minus always lands on the term carrying $\frac{dv}{dx}$.ตัวล่างมาก่อน แล้วลบ: $\frac{dy}{dx}=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}$   $\text{numerator}=(x^{2}+3)(2)-(2x+1)(2x)$   $\text{check }y=\tfrac{1}{x}:\ \frac{x(0)-1(1)}{x^{2}}=-\frac{1}{x^{2}}$ เครื่องหมายลบตกที่พจน์ที่มี $\frac{dv}{dx}$ เสมอ
3. Same $y=\dfrac{2x+1}{x^{2}+3}$. Find the gradient at $x=1$.  (3 marks)โจทย์เดิม $y=\dfrac{2x+1}{x^{2}+3}$ · หาความชันที่ $x=1$  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{(x^{2}+3)(2)-(2x+1)(2x)}{(x^{2}+3)^{2}}$;  at $x=1$: $\dfrac{8-6}{16}=\dfrac{1}{8}$Substitute early, keep it small: $\frac{dy}{dx}=\frac{(x^{2}+3)(2)-(2x+1)(2x)}{(x^{2}+3)^{2}}$   $x=1:\ \ \frac{4(2)-3(2)}{4^{2}}$   $=\frac{8-6}{16}=\frac{1}{8}$ No mark for expanding a numerator you are about to evaluate.แทนค่าตั้งแต่แรก จะได้ไม่ยาว: $\frac{dy}{dx}=\frac{(x^{2}+3)(2)-(2x+1)(2x)}{(x^{2}+3)^{2}}$   $x=1:\ \ \frac{4(2)-3(2)}{4^{2}}$   $=\frac{8-6}{16}=\frac{1}{8}$ กระจายตัวเศษที่กำลังจะแทนค่า · ไม่มีคะแนนให้

7. Stationary points, exam formจุดนิ่ง แบบข้อสอบ

One of today's rules gives $\frac{dy}{dx}$; then $\frac{dy}{dx}=0$ locates the point and $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ names it.ใช้กฎวันนี้ตัวใดตัวหนึ่งหา $\frac{dy}{dx}$ · แล้ว $\frac{dy}{dx}=0$ บอกตำแหน่ง ส่วน $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ บอกชนิด

“Find the stationary point of $y=xe^{-x}$ and determine its nature”“หาจุดนิ่งของ $y=xe^{-x}$ พร้อมบอกชนิดของจุดนั้น”

“Determine the nature” is its own mark — finding $x$ alone never earns it.“บอกชนิดของจุด” เป็นคะแนนอีกช่องหนึ่ง — หา $x$ ได้อย่างเดียวไม่ได้คะแนนช่องนี้

1. Exam: $y=xe^{-x}$. Find $\frac{dy}{dx}$, giving your answer in a factorised form.  (2 marks)ข้อสอบ: $y=xe^{-x}$ · หา $\frac{dy}{dx}$ ตอบในรูปแยกตัวประกอบ  (2 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}$2 marks: $\text{M1}\ \ 1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})$   $\text{A1}\ \ (1-x)e^{-x}$ Product rule outside, chain rule inside $e^{-x}$ — factorise now.2 คะแนน: $\text{M1}\ \ 1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})$   $\text{A1}\ \ (1-x)e^{-x}$ กฎผลคูณข้างนอก · กฎลูกโซ่ข้างใน $e^{-x}$ · แยกตัวประกอบเลย
2. Hence find the $x$-coordinate of the stationary point.  (2 marks)Hence — หาพิกัด $x$ ของจุดนิ่ง  (2 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $(1-x)e^{-x}=0\Rightarrow x=1$  (since $e^{-x}$ is never $0$),  giving $\left(1,\tfrac{1}{e}\right)$2 marks: $\text{M1}\ \ (1-x)e^{-x}=0$   $\text{A1}\ \ x=1,\ \ y=e^{-1}=\tfrac{1}{e}$ Dividing by $e^{-x}$ is legal because it is never zero. Leave $y$ exact.2 คะแนน: $\text{M1}\ \ (1-x)e^{-x}=0$   $\text{A1}\ \ x=1,\ \ y=e^{-1}=\tfrac{1}{e}$ หารด้วย $e^{-x}$ ได้ เพราะไม่เคยเป็นศูนย์ · ตอบ $y$ แบบไม่ปัดเศษ
3. For this curve $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=(x-2)e^{-x}$. Determine the nature of the stationary point at $x=1$.  (2 marks)เส้นโค้งนี้มี $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=(x-2)e^{-x}$ · บอกชนิดของจุดนิ่งที่ $x=1$  (2 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=-e^{-1}\lt0$, so $\left(1,\frac{1}{e}\right)$ is a maximum$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=-e^{-1}\lt0$ · ดังนั้น $\left(1,\frac{1}{e}\right)$ เป็นจุดสูงสุด2 marks: $\text{M1}\ \ \frac{d^{2}y}{dx^{2}}\Big|_{x=1}=(1-2)e^{-1}=-e^{-1}$   $\text{A1}\ \ -e^{-1}\lt 0\ \Rightarrow\ \text{maximum}$ $e^{-x}\gt 0$ always, so only the bracket's sign matters. Write the word.2 คะแนน: $\text{M1}\ \ \frac{d^{2}y}{dx^{2}}\Big|_{x=1}=(1-2)e^{-1}=-e^{-1}$   $\text{A1}\ \ -e^{-1}\lt 0\ \Rightarrow\ \text{maximum}$ $e^{-x}\gt 0$ เสมอ · ดูแค่เครื่องหมายในวงเล็บ · แล้วต้องเขียนคำสรุปด้วย
4. Exam: The curve $C$ has equation $y=\dfrac{\ln x}{x^{2}}$, $x\gt0$. $C$ has exactly one stationary point. Find its $x$-coordinate, giving your answer in exact form.  (5 marks)ข้อสอบ: เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=\dfrac{\ln x}{x^{2}}$ โดย $x\gt0$ · $C$ มี stationary point จุดเดียว · หาค่า $x$ ของจุดนั้น ตอบเป็น exact form  (5 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1-2\ln x}{x^{3}}=0 \Rightarrow \ln x=\tfrac12 \Rightarrow x=e^{1/2}=\sqrt{e}$5 marks: $\text{M1}\ \ u=\ln x,\ v=x^{2},\ \frac{du}{dx}=\frac{1}{x},\ \frac{dv}{dx}=2x$   $\text{M2}\ \ \frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}\cdot\frac{1}{x}-\ln x\cdot 2x}{x^{4}}$   $\text{M3}\ \ =\frac{1-2\ln x}{x^{3}}$   $\text{M4}\ \ 1-2\ln x=0\ \Rightarrow\ \ln x=\tfrac{1}{2}$   $\text{A1}\ \ x=e^{1/2}=\sqrt{e}$ Leave it exact — a decimal loses the last mark.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ u=\ln x,\ v=x^{2},\ \frac{du}{dx}=\frac{1}{x},\ \frac{dv}{dx}=2x$   $\text{M2}\ \ \frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}\cdot\frac{1}{x}-\ln x\cdot 2x}{x^{4}}$   $\text{M3}\ \ =\frac{1-2\ln x}{x^{3}}$   $\text{M4}\ \ 1-2\ln x=0\ \Rightarrow\ \ln x=\tfrac{1}{2}$   $\text{A1}\ \ x=e^{1/2}=\sqrt{e}$ ตอบแบบไม่ปัดเศษ · ตอบทศนิยมเสียคะแนนสุดท้าย
5. Differentiate $y=\dfrac{1}{(3x-2)^{4}}$ with respect to $x$.หาอนุพันธ์ของ $y=\dfrac{1}{(3x-2)^{4}}$ เทียบกับ $x$
   Answer:เฉลย: $y=(3x-2)^{-4} \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=-12(3x-2)^{-5}=-\dfrac{12}{(3x-2)^{5}}$No $x$ on top: chain rule: $y=\frac{1}{(3x-2)^{4}}=(3x-2)^{-4}$   $\frac{dy}{dx}=-4(3x-2)^{-5}\times 3$   $=-\frac{12}{(3x-2)^{5}}$ Save the quotient rule for when both top and bottom contain $x$.ข้างบนไม่มี $x$ ใช้กฎลูกโซ่: $y=\frac{1}{(3x-2)^{4}}=(3x-2)^{-4}$   $\frac{dy}{dx}=-4(3x-2)^{-5}\times 3$   $=-\frac{12}{(3x-2)^{5}}$ เก็บกฎผลหารไว้ใช้ตอนที่ทั้งบนและล่างมี $x$

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. Differentiate $y=(4x-1)^{6}$.Identical to the level 1 drill with new numbers. The only place a mark can go is the $\times4$: $6\times4=24$.เหมือนดริลขั้นที่ 1 เป๊ะ เปลี่ยนแค่ตัวเลข · จุดเดียวที่คะแนนหายได้คือ $\times4$: $6\times4=24$
2. Differentiate $y=\sqrt{3x+2}$.Same chain rule, but the power is a fraction — level 0 and level 1 in one line. Rewrite the root as a power first, or there is nothing for the rule to act on.chain rule ตัวเดิม แต่กำลังเป็นเศษส่วน — ขั้นที่ 0 กับขั้นที่ 1 มาอยู่บรรทัดเดียวกัน · ต้องเขียนรากเป็นเลขยกกำลังก่อน ไม่งั้นกฎไม่มีอะไรให้ทำ
3. Find $\dfrac{dp}{dq}$ when $p=\ln(4q-3)$.New letters, same move: derivative of the inside on top, inside left alone underneath. Anyone who memorised the shape as '$x$ things' hesitates here — that is what this position checks.เปลี่ยนตัวอักษร ท่าเดิม: อนุพันธ์ของข้างในขึ้นบน ข้างในคงเดิมอยู่ล่าง · ใครที่ท่องมาเป็น 'ของที่มี $x$' จะลังเลตรงนี้ — ตำแหน่งนี้มีไว้เช็คเรื่องนั้น
4. Find $\dfrac{dy}{dx}$ for $y=(2x+1)e^{3x}$, giving your answer in the form $(ax+b)e^{3x}$.Product rule on the outside, chain rule inside $e^{3x}$ — two of today's rules stacked, which is exactly how P2 asks it. The $\times3$ lives inside the second term only.กฎผลคูณข้างนอก chain rule ข้างในของ $e^{3x}$ — สองกฎของวันนี้ซ้อนกัน ซึ่งเป็นวิธีที่ P2 ถามจริงๆ · เจ้า $\times3$ อยู่ในพจน์ที่สองเท่านั้น
5. The curve $y=x^{2}e^{kx}$ has a stationary point at $x=2$, as well as one at $x=0$. Find the value of $k$.The answer is handed to you and the constant is the unknown. You have to differentiate forwards and then read the condition backwards — procedure-memorisers cannot start it.โจทย์ให้คำตอบมา แล้วถามหาค่าคงที่ · ต้องดิฟไปข้างหน้าแล้วอ่านเงื่อนไขย้อนกลับ — คนที่ท่องขั้นตอนมาจะเริ่มไม่ถูก
6. (a) Given that $y=\dfrac{x^{2}}{2x-1}$, find $\dfrac{dy}{dx}$. (3 marks)  (b) Hence find the coordinates of the stationary points of the curve. (4 marks)Full exam wording with the marks split. A fraction is zero when its numerator is zero, so only the top is set to $0$ — and 'coordinates' means both numbers, not just $x$.ภาษาข้อสอบเต็มรูปแบบพร้อมแบ่งคะแนน · เศษส่วนเป็นศูนย์เมื่อตัวเศษเป็นศูนย์ ให้ตั้งแค่ตัวบนเท่ากับ $0$ · และคำว่า coordinates แปลว่าตอบทั้งสองตัว ไม่ใช่แค่ $x$
7. A student writes $\dfrac{d}{dx}(5x-2)^{3}=3(5x-2)^{2}$ and $\dfrac{d}{dx}\ln(4x)=\dfrac{1}{4x}$. Both lines are wrong in the same way. Say what the error is, and correct both.The lost mark of this whole topic appears twice here, in two different forms.
   Nothing in the working looks obviously wrong.
   If you can find it in someone else's work, you can avoid it in your own.จุดเสียคะแนนของทั้งบทมาสองครั้งในข้อนี้ ในรูปแบบที่ต่างกัน
   ในวิธีทำไม่มีอะไรดูผิดชัดๆ เลย
   ถ้าเราจับมันได้ในงานของคนอื่น เราก็เลี่ยงมันในงานของเราได้

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี