A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: Pure 1 (9709/1)
Differentiation: stationary points & modelling จุดนิ่งและโจทย์ประยุกต์
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
🪜Learn Never learnt this? Start from zero in Teach Modeเรียน ยังไม่เคยเรียนเรื่องนี้? เริ่มตั้งแต่ศูนย์ในโหมดสอนIt starts from something you already know and climbs one small step at a time — you answer, it moves.เริ่มจากของที่น้องทำเป็นอยู่แล้ว แล้วไต่ทีละขั้นเล็กๆ น้องตอบ แล้วค่อยไปต่อDifferentiationอนุพันธ์
📐Know the pieces but stuck on a whole exam question?รู้ทีละส่วนแล้ว แต่ทำข้อสอบเต็มข้อไม่ได้?Each set takes one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill; question 10 is the exam question itself.แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แยกเป็นสเต็ปย่อย แล้วไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงDifferentiation laddersชุดไต่ระดับ · อนุพันธ์
Differentiation: stationary points & modelling · progressจุดนิ่งและโจทย์ประยุกต์ · ความคืบหน้า
Questionsคำถามที่พบบ่อย
Questionโจทย์
Step-by-step practice loads here. If it does not appear, everything you need is under Revision notes.
แบบฝึกทีละสเต็ปจะขึ้นตรงนี้ ถ้าไม่ขึ้น เนื้อหาทั้งหมดอยู่ในแท็บ สรุปเนื้อหา
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| "Find the stationary points""หาจุดนิ่ง" | Solve $\frac{dy}{dx}=0$, then classify with $\frac{d^2y}{dx^2}$แก้ $\frac{dy}{dx}=0$ แล้วจำแนกชนิดด้วย $\frac{d^2y}{dx^2}$ | try → ลอง → |
| "Show $y$ is increasing for…""แสดงว่า $y$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มเมื่อ…" | Solve $\frac{dy}{dx}>0$แก้ $\frac{dy}{dx}>0$ | try → ลอง → |
| "A box has volume… find minimum surface area""กล่องมีปริมาตร… หาพื้นที่ผิวน้อยสุด" | Use the constraint to get one variable, then differentiateใช้เงื่อนไขบังคับลดให้เหลือตัวแปรเดียว แล้วหาอนุพันธ์ | try → ลอง → |
| "Find the range of values for which…""หาช่วงค่าที่…" | Sign of the derivative on an intervalดูเครื่องหมายของอนุพันธ์บนช่วง | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
Power rule กฎยกกำลัง$\dfrac{d}{dx}\,x^n=nx^{n-1}$
Stationary จุดนิ่ง$\dfrac{dy}{dx}=0$
Classify จำแนกชนิด$\dfrac{d^2y}{dx^2}>0$ min · $<0$ max
Modelling recipe สูตรโจทย์ประยุกต์Constraint → substitute → differentiate → verify min/max
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
An open-topped box has a square base of side $x$ cm and volume $500$ cm³. Show that its surface area is $S=x^2+\dfrac{2000}{x}$, and find the value of $x$ that minimises $S$. (7 marks)
M1
Volume: $x^2h=500 \Rightarrow h=\dfrac{500}{x^2}$
A1
$S=x^2+4xh=x^2+4x\cdot\dfrac{500}{x^2}=x^2+\dfrac{2000}{x}$ ∎
M1
$\dfrac{dS}{dx}=2x-\dfrac{2000}{x^2}$
M1
Set $=0$: $2x^3=2000 \Rightarrow x^3=1000$
A1
$x=10$
M1
$\dfrac{d^2S}{dx^2}=2+\dfrac{4000}{x^3}=2+4=6>0$
A1
Positive second derivative → minimum at $x=10$ cm ($S=300$ cm²).
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. Find and classify the stationary points of $y=x^3-6x^2+9x+2$.6 markssolution ▾
$y'=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)=0 \Rightarrow x=1,3$.
$y''=6x-12$: at $x=1$, $y''=-6<0$ → maximum (1, 6); at $x=3$, $y''=6>0$ → minimum (3, 2).
$y''=6x-12$: at $x=1$, $y''=-6<0$ → maximum (1, 6); at $x=3$, $y''=6>0$ → minimum (3, 2).
P2. Find the range of values of $x$ for which $y=x^3+3x^2-9x+5$ is decreasing.4 markssolution ▾
$y'=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)<0 \Rightarrow \mathbf{-3<x<1}$.
Vocab ศัพท์ต้องรู้
stationary point จุดนิ่ง · maximum/minimum ค่าสูงสุด/ต่ำสุด · increasing/decreasing ฟังก์ชันเพิ่ม/ลด · nature ชนิดของจุด (สูงสุดหรือต่ำสุด) · surface area พื้นที่ผิว · constraint เงื่อนไขบังคับ
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗Classify with evidence จำแนกต้องมีหลักฐาน"Minimum" alone earns nothing — show $y''$ evaluated at the point, or a sign change table.
✗Answer the actual question ตอบให้ตรงคำถามAfter finding $x$, re-read — the question may want the minimum area, not the $x$ that gives it.
✗Rewrite before you differentiate จัดรูปก่อนดิฟConvert roots and fractions to power form first — the power rule only applies to terms written as $x^n$.
✗Write the line $\frac{dy}{dx}=0$ เขียนขั้นตั้งค่าเป็นศูนย์State "set $\frac{dy}{dx}=0$" explicitly before solving — the method mark attaches to that statement, not just the answer.
✗Sense-check the model เช็คหน่วยและบริบทIn modelling questions, give units in the final answer and check the value makes sense — a negative length or area signals an algebra slip.
Know the method? Here is what to do next.เข้าใจวิธีแล้ว? ขั้นต่อไปทำแบบนี้
TestสอบPure 2 paperข้อสอบ Pure 2
The pack is marked the way the examiner marks it, method marks included.ชุดฝึกตรวจแบบเดียวกับกรรมการ รวมคะแนนวิธีทำด้วย