A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: Pure 1 (9709/1)
Differentiation: stationary points & modelling จุดนิ่งและโจทย์ประยุกต์
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| "Find the stationary points""หาจุดนิ่ง" | Solve $\frac{dy}{dx}=0$, then classify with $\frac{d^2y}{dx^2}$แก้ $\frac{dy}{dx}=0$ แล้วจำแนกชนิดด้วย $\frac{d^2y}{dx^2}$ | try → ลอง → |
| "Show $y$ is increasing for…""แสดงว่า $y$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มเมื่อ…" | Solve $\frac{dy}{dx}>0$แก้ $\frac{dy}{dx}>0$ | try → ลอง → |
| "A box has volume… find minimum surface area""กล่องมีปริมาตร… หาพื้นที่ผิวน้อยสุด" | Use the constraint to get one variable, then differentiateใช้เงื่อนไขบังคับลดให้เหลือตัวแปรเดียว แล้วหาอนุพันธ์ | try → ลอง → |
| "Find the range of values for which…""หาช่วงค่าที่…" | Sign of the derivative on an intervalดูเครื่องหมายของอนุพันธ์บนช่วง | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
Power rule กฎยกกำลัง$\dfrac{d}{dx}\,x^n=nx^{n-1}$
Stationary จุดนิ่ง$\dfrac{dy}{dx}=0$
Classify จำแนกชนิด$\dfrac{d^2y}{dx^2}>0$ min · $<0$ max
Modelling recipe สูตรโจทย์ประยุกต์Constraint → substitute → differentiate → verify min/max
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
An open-topped box has a square base of side $x$ cm and volume $500$ cm³. Show that its surface area is $S=x^2+\dfrac{2000}{x}$, and find the value of $x$ that minimises $S$. (7 marks)
M1
Volume: $x^2h=500 \Rightarrow h=\dfrac{500}{x^2}$
A1
$S=x^2+4xh=x^2+4x\cdot\dfrac{500}{x^2}=x^2+\dfrac{2000}{x}$ ∎
M1
$\dfrac{dS}{dx}=2x-\dfrac{2000}{x^2}$
M1
Set $=0$: $2x^3=2000 \Rightarrow x^3=1000$
A1
$x=10$
M1
$\dfrac{d^2S}{dx^2}=2+\dfrac{4000}{x^3}=2+4=6>0$
A1
Positive second derivative → minimum at $x=10$ cm ($S=300$ cm²).
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. Find and classify the stationary points of $y=x^3-6x^2+9x+2$.6 markssolution ▾
$y'=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)=0 \Rightarrow x=1,3$.
$y''=6x-12$: at $x=1$, $y''=-6<0$ → maximum (1, 6); at $x=3$, $y''=6>0$ → minimum (3, 2).
$y''=6x-12$: at $x=1$, $y''=-6<0$ → maximum (1, 6); at $x=3$, $y''=6>0$ → minimum (3, 2).
P2. Find the range of values of $x$ for which $y=x^3+3x^2-9x+5$ is decreasing.4 markssolution ▾
$y'=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)<0 \Rightarrow \mathbf{-3<x<1}$.
Vocab ศัพท์ต้องรู้
stationary point จุดนิ่ง · maximum/minimum ค่าสูงสุด/ต่ำสุด · increasing/decreasing ฟังก์ชันเพิ่ม/ลด · nature ชนิดของจุด (สูงสุดหรือต่ำสุด) · surface area พื้นที่ผิว · constraint เงื่อนไขบังคับ
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗Classify with evidence จำแนกต้องมีหลักฐาน"Minimum" alone earns nothing — show $y''$ evaluated at the point, or a sign change table.
✗Answer the actual question ตอบให้ตรงคำถามAfter finding $x$, re-read — the question may want the minimum area, not the $x$ that gives it.
✗Rewrite before you differentiate จัดรูปก่อนดิฟConvert roots and fractions to power form first — the power rule only applies to terms written as $x^n$.
✗Write the line $\frac{dy}{dx}=0$ เขียนขั้นตั้งค่าเป็นศูนย์State "set $\frac{dy}{dx}=0$" explicitly before solving — the method mark attaches to that statement, not just the answer.
✗Sense-check the model เช็คหน่วยและบริบทIn modelling questions, give units in the final answer and check the value makes sense — a negative length or area signals an algebra slip.
Keep going, free ไปต่อ ฟรี
Nice work so far. Drop your email to unlock every level and the other topics. We'll tune them to your board. ทำได้ดีแล้ว ใส่อีเมลเพื่อปลดล็อกทุกระดับและหัวข้ออื่นๆ เราจะจัดให้ตรงกับ board ที่คุณสอบ