Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Integrationปริพันธ์

A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: areas Pure 1 · trapezium rule Pure 2 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

Two derivatives, about to be read backwardsอนุพันธ์สองบรรทัด ที่กำลังจะถูกอ่านย้อนกลับ

That $\times2$ in panel 2 is the $\div2$ you will keep forgetting today.$\times2$ ในช่อง 2 คือ $\div2$ ที่วันนี้จะลืมบ่อยที่สุด

  1. Differentiate $y=x^{4}$.ดิฟ $y=x^{4}$
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=4x^{3}$Read the arrow backwards: $\frac{d}{dx}:\ x^{4}\ \to\ 4x^{3}$   $\int:\ 4x^{3}\ \to\ x^{4}$อ่านลูกศรย้อนกลับ: $\frac{d}{dx}:\ x^{4}\ \to\ 4x^{3}$   $\int:\ 4x^{3}\ \to\ x^{4}$
  2. Differentiate $y=(2x+1)^{5}$.ดิฟ $y=(2x+1)^{5}$
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=5(2x+1)^{4}\times2=10(2x+1)^{4}$The chain factor comes back: $\frac{d}{dx}(2x+1)^{5}:\ \times 2$   $\int:\ \div 2$ตัวคูณจากลูกโซ่ เดี๋ยวมันกลับมา: $\frac{d}{dx}(2x+1)^{5}:\ \times 2$   $\int:\ \div 2$

2. Reverse the power ruleอ่านกฎกำลังย้อนกลับ

Up one power, divide by the new power — and the $+c$ that is worth a mark.เพิ่มกำลังหนึ่ง หารด้วยกำลังใหม่ — และ $+c$ ที่มีค่าหนึ่งคะแนน

All of Pure 1 integration in one lineอินทิเกรตทั้งบทของ Pure 1 ในบรรทัดเดียว

  1. $\displaystyle\int x^{3}\,dx=\;?$$\displaystyle\int x^{3}\,dx=\;?$
    Answer:เฉลย: $\dfrac{x^{4}}{4}+c$Power up, divide, $+c$: $\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}+c$   $\text{check}:\ \frac{x^{4}}{4}\to\frac{4x^{3}}{4}=x^{3}$ No limits in the question means $+c$ in the answer.เพิ่มกำลัง หารด้วยกำลังใหม่ ใส่ $+c$: $\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}+c$   $\text{check}:\ \frac{x^{4}}{4}\to\frac{4x^{3}}{4}=x^{3}$ โจทย์ไม่มีลิมิต คำตอบต้องมี $+c$
  2. $\displaystyle\int 6x^{2}\,dx=\;?$  Include the $+c$.$\displaystyle\int 6x^{2}\,dx=\;?$  เติม $+c$ ด้วย
    Answer:เฉลย: $2x^{3}+c$A constant just rides along: $\int 6x^{2}\,dx=\frac{6x^{3}}{3}=2x^{3}+c$   $\text{check}:\ 2x^{3}\to 6x^{2}$ค่าคงที่ข้างหน้า ติดไปด้วยเฉยๆ: $\int 6x^{2}\,dx=\frac{6x^{3}}{3}=2x^{3}+c$   $\text{check}:\ 2x^{3}\to 6x^{2}$
  3. $\displaystyle\int_{1}^{2}3x^{2}\,dx=\;?$$\displaystyle\int_{1}^{2}3x^{2}\,dx=\;?$
    Answer:เฉลย: $\big[x^{3}\big]_{1}^{2}=8-1=7$Bracket, substitute, subtract: $\big[x^{3}\big]_{1}^{2}=2^{3}-1^{3}=7$   $\text{limits}\ \Rightarrow\ \text{no }+c$ใส่วงเล็บ แทนค่า ลบกัน: $\big[x^{3}\big]_{1}^{2}=2^{3}-1^{3}=7$   $\text{limits}\ \Rightarrow\ \text{no }+c$

3. Linear inside, divide by aข้างในเป็นเส้นตรง หารด้วย a

$\int(ax+b)^{n}dx$ — integrate as usual, then pay the chain rule back with $\div a$.$\int(ax+b)^{n}dx$ — อินทิเกรตตามปกติ แล้วจ่ายคืนกฎลูกโซ่ด้วย $\div a$

$\displaystyle\int(2x+1)^{4}\,dx$ — the inside is no longer a bare $x$$\displaystyle\int(2x+1)^{4}\,dx$ — ข้างในไม่ใช่ $x$ เปล่าๆ แล้ว

$\displaystyle\int(2x+1)^{4}\,dx$$\displaystyle\int(2x+1)^{4}\,dx$

  1. $\int(2x+1)^{4}\,dx$Same shape as $\int x^{4}dx$, but with a linear bracket inside.หน้าตาเหมือน $\int x^{4}dx$ แต่ข้างในเป็นวงเล็บเชิงเส้น
  2. $=\frac{(2x+1)^{5}}{5}$Up one power, divide by the new power — exactly as usual.กำลังขึ้นหนึ่ง หารด้วยกำลังใหม่ — เหมือนเดิมเป๊ะ
  3. $=\frac{(2x+1)^{5}}{5\times2}$Now pay the chain rule back: divide by $a$, the number in front of $x$.แล้วจ่ายคืนกฎลูกโซ่: หารด้วย $a$ ตัวเลขหน้า $x$
  4. $=\frac{(2x+1)^{5}}{10}+c$Differentiate to check: $5(2x+1)^{4}\times2\div10=(2x+1)^{4}$ ✓ดิฟกลับเพื่อตรวจ: $5(2x+1)^{4}\times2\div10=(2x+1)^{4}$ ✓
  1. Differentiate the guess $\dfrac{(2x+1)^{5}}{5}$. What comes back?ดิฟคำตอบที่เดาไว้ $\dfrac{(2x+1)^{5}}{5}$ · ได้อะไรคืนมา?
    Answer:เฉลย: The guess differentiates to $2(2x+1)^{4}$ — exactly twice the question.คำตอบที่เดาไว้ดิฟได้ $2(2x+1)^{4}$ — ใหญ่เป็นสองเท่าของโจทย์เป๊ะๆ$a$ times too big: $\frac{d}{dx}\frac{(2x+1)^{5}}{5}=2(2x+1)^{4}$   $\text{too big by }2=a$   $\text{so divide by }a$ที่เดาไว้ ใหญ่ไป $a$ เท่า: $\frac{d}{dx}\frac{(2x+1)^{5}}{5}=2(2x+1)^{4}$   $\text{too big by }2=a$   $\text{so divide by }a$
  2. Before computing anything, label the inputs in $\displaystyle\int(5x-2)^{3}\,dx$. Which labelling is right?ก่อนคิดเลขอะไรทั้งนั้น ติดป้ายค่าต่างๆ ของ $\displaystyle\int(5x-2)^{3}\,dx$ ก่อน · ป้ายชุดไหนถูก?
    Answer:เฉลย: $a=5$, $b=-2$, $n=3$Label first, compute second: $a=5,\ b=-2,\ n=3$   $n+1=4$   $a(n+1)=5\times 4=20$ใส่ป้ายก่อน คิดเลขทีหลัง: $a=5,\ b=-2,\ n=3$   $n+1=4$   $a(n+1)=5\times 4=20$
  3. Same integral, numbers written straight into the formula and nothing worked out yet. Which line is the correct substitution?โจทย์เดิม เขียนตัวเลขลงในสูตรตรงๆ ยังไม่คิดเลขสักตัว · บรรทัดไหนแทนค่าถูก?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{(5x-2)^{4}}{5\times4}=\dfrac{(5x-2)^{4}}{20}+c$The $\div a$ cancels the chain rule: $\frac{(5x-2)^{4}}{5\times 4}=\frac{(5x-2)^{4}}{20}+c$   $\text{check}:\ \frac{4(5x-2)^{3}\times 5}{20}=(5x-2)^{3}$ Unsure whether to multiply or divide by $a$? Differentiate your answer and look.$\div a$ ไปหักล้างลูกโซ่พอดี: $\frac{(5x-2)^{4}}{5\times 4}=\frac{(5x-2)^{4}}{20}+c$   $\text{check}:\ \frac{4(5x-2)^{3}\times 5}{20}=(5x-2)^{3}$ ไม่แน่ใจว่าคูณหรือหาร $a$ · ดิฟคำตอบตัวเองแล้วดู
  4. Your turn, fresh numbers: $\displaystyle\int(4x+1)^{5}\,dx=\;?$  Include the $+c$.ตาน้องบ้าง ตัวเลขชุดใหม่: $\displaystyle\int(4x+1)^{5}\,dx=\;?$  เติม $+c$ ด้วย
    Answer:เฉลย: $\dfrac{(4x+1)^{6}}{24}+c$$\frac{(4x+1)^{6}}{24}+c$.
    Differentiate back: $\frac{6(4x+1)^{5}\times4}{24}=(4x+1)^{5}$ ✓
    Two divisions every time: by the new power, and by $a$.    $\frac{(4x+1)^{6}}{24}+c$
    ดิฟกลับ: $\frac{6(4x+1)^{5}\times4}{24}=(4x+1)^{5}$ ✓
    หารสองครั้งทุกครั้ง: ด้วยกำลังใหม่ และด้วย $a$

4. e to the ax plus b, and the one that gives lne ยกกำลัง ax+b และตัวที่ให้ ln

Two new rows, $\int e^{ax+b}dx$ and $\int\frac{1}{ax+b}dx$. Both are corrected by the same $\div a$.สองแถวใหม่ คือ $\int e^{ax+b}dx$ กับ $\int\frac{1}{ax+b}dx$ · ทั้งคู่แก้ด้วย $\div a$ ตัวเดิม

$e^{3x}$ differentiates to $3e^{3x}$ — so read that backwards$e^{3x}$ ดิฟแล้วได้ $3e^{3x}$ — งั้นอ่านย้อนกลับเลย

  1. $\displaystyle\int e^{4x}\,dx=\;?$$\displaystyle\int e^{4x}\,dx=\;?$
    Answer:เฉลย: $\displaystyle\int e^{4x}\,dx=\dfrac{e^{4x}}{4}+c$Exponent untouched, $a$ underneath: $\int e^{ax+b}\,dx=\frac{e^{ax+b}}{a}+c$   $\int e^{4x}\,dx=\frac{e^{4x}}{4}+c$เลขชี้กำลังไม่แตะ · $a$ ลงข้างล่าง: $\int e^{ax+b}\,dx=\frac{e^{ax+b}}{a}+c$   $\int e^{4x}\,dx=\frac{e^{4x}}{4}+c$
  2. $\displaystyle\int\frac{1}{2x+3}\,dx=\;?$  Include the $+c$.$\displaystyle\int\frac{1}{2x+3}\,dx=\;?$  เติม $+c$ ด้วย
    Answer:เฉลย: $\dfrac{1}{2}\ln|2x+3|+c$$\frac12\ln|2x+3|+c$.
    Differentiate back: $\frac12\cdot\frac{2}{2x+3}=\frac{1}{2x+3}$ ✓
    Same correction as $(ax+b)^{n}$ and $e^{ax+b}$. Three different outsides, one $\div a$.    $\frac12\ln|2x+3|+c$
    ดิฟกลับ: $\frac12\cdot\frac{2}{2x+3}=\frac{1}{2x+3}$ ✓
    แก้แบบเดียวกับ $(ax+b)^{n}$ และ $e^{ax+b}$ · ตัวนอกสามแบบ แต่ใช้ $\div a$ ตัวเดียว

5. Putting the limits inใส่ขอบเขต

Upper minus lower — and the $+c$ deletes itself, so a definite answer is a plain number.บนลบล่าง — และ $+c$ ลบตัวเองทิ้ง คำตอบแบบจำกัดเขตจึงเป็นตัวเลขล้วนๆ

Watch the $+c$ delete itselfดู $+c$ ลบตัวเองทิ้ง

  1. $\displaystyle\int_{0}^{1}(2x+1)^{3}\,dx=\Big[\dfrac{(2x+1)^{4}}{8}\Big]_{0}^{1}$.  Which substitution of the limits is correct?$\displaystyle\int_{0}^{1}(2x+1)^{3}\,dx=\Big[\dfrac{(2x+1)^{4}}{8}\Big]_{0}^{1}$  แทนขอบเขตแบบไหนถูก?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{3^{4}}{8}-\dfrac{1^{4}}{8}$Substitute inside the bracket first: $x=1:\ 2x+1=3$   $x=0:\ 2x+1=1$   $\frac{3^{4}}{8}-\frac{1^{4}}{8}$แทนค่าในวงเล็บก่อน: $x=1:\ 2x+1=3$   $x=0:\ 2x+1=1$   $\frac{3^{4}}{8}-\frac{1^{4}}{8}$
  2. Now finish it: $\displaystyle\int_{0}^{1}(2x+1)^{3}\,dx=\;?$ทีนี้เก็บให้จบ: $\displaystyle\int_{0}^{1}(2x+1)^{3}\,dx=\;?$
    Answer:เฉลย: $\Big[\dfrac{(2x+1)^{4}}{8}\Big]_{0}^{1}=\dfrac{81}{8}-\dfrac{1}{8}=10$Four moves, one new: $\Big[\frac{(2x+1)^{4}}{8}\Big]_{0}^{1}$   $=\frac{81}{8}-\frac{1}{8}=10$สี่จังหวะ ใหม่แค่จังหวะเดียว: $\Big[\frac{(2x+1)^{4}}{8}\Big]_{0}^{1}$   $=\frac{81}{8}-\frac{1}{8}=10$

6. Area between two curvesพื้นที่ระหว่างกราฟสองเส้น

Area is the integral of top minus bottom, and the limits come from where the graphs meet.พื้นที่คือปริพันธ์ของเส้นบนลบเส้นล่าง · ส่วนขอบเขตมาจากจุดที่กราฟตัดกัน

Two graphs, one gap between themกราฟสองเส้น ช่องว่างหนึ่งช่อง

The limits are never handed to you — they come from the intersection.ขอบเขตไม่มีใครแจกให้ — ต้องไปเอามาจากจุดตัดเอง

  1. The line $y=x+2$ meets the curve $y=x^{2}$. Find the two $x$-values where they meet. Type them separated by a comma.เส้นตรง $y=x+2$ ตัดกับเส้นโค้ง $y=x^{2}$ · หาค่า $x$ สองค่าที่มันเจอกัน · พิมพ์คั่นด้วยจุลภาค
    Answer:เฉลย: $x^{2}=x+2\Rightarrow x^{2}-x-2=0\Rightarrow(x-2)(x+1)=0$, so $x=-1$ and $x=2$Crossings are the limits: $x^{2}=x+2$   $x^{2}-x-2=0$   $(x-2)(x+1)=0\ \Rightarrow\ x=-1,\ 2$ An area question with no limits stated is a quadratic question first.จุดตัด คือลิมิต: $x^{2}=x+2$   $x^{2}-x-2=0$   $(x-2)(x+1)=0\ \Rightarrow\ x=-1,\ 2$ โจทย์หาพื้นที่ที่ไม่บอกลิมิต จริงๆ คือโจทย์สมการกำลังสองก่อน
  2. Which integral gives the area of the region trapped between the line and the curve?อินทิกรัลไหนให้พื้นที่ของบริเวณที่ถูกขังระหว่างเส้นตรงกับเส้นโค้ง?
    Answer:เฉลย: $\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((x+2)-x^{2}\big)\,dx$Top minus bottom: $x=0:\ \text{line}=2,\ \text{curve}=0$   $\text{line on top}$   $\int_{-1}^{2}\big((x+2)-x^{2}\big)\,dx$บนลบล่าง: $x=0:\ \text{line}=2,\ \text{curve}=0$   $\text{line on top}$   $\int_{-1}^{2}\big((x+2)-x^{2}\big)\,dx$
  3. Now find that area. The region enclosed between $y=x+2$ and $y=x^{2}$.  (5 marks)หาพื้นที่นั้นเลย — บริเวณที่ถูกปิดล้อมระหว่าง $y=x+2$ กับ $y=x^{2}$  (5 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\Big[2x+\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\Big]_{-1}^{2}=\dfrac{10}{3}-\Big(-\dfrac{7}{6}\Big)=\dfrac{9}{2}$5 marks: $\text{M1}\ \ \text{limits from }x^{2}=x+2$   $\text{M1}\ \ \text{top}-\text{bottom in one bracket}$   $\text{A1}\ \ F(x)=2x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}$   $\text{DM1}\ \ F(2)-F(-1)$   $\text{A1}\ \ \frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{9}{2}$ Subtracting a negative lower value is where the mark goes.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{limits from }x^{2}=x+2$   $\text{M1}\ \ \text{top}-\text{bottom in one bracket}$   $\text{A1}\ \ F(x)=2x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}$   $\text{DM1}\ \ F(2)-F(-1)$   $\text{A1}\ \ \frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{9}{2}$ ตอนลบค่าลิมิตล่างที่ติดลบ · คะแนนหายตรงนี้

7. Exam formรูปแบบข้อสอบ

The two add-ons the paper sets on purpose: a region under the axis, and an estimate you must label.ของแถมสองอย่างที่ข้อสอบตั้งใจวางไว้: พื้นที่ใต้แกน กับค่าประมาณที่ต้องบอกว่าเกินหรือขาด

Two traps, and each one costs marksสองกับดัก แต่ละอันทำให้เสียคะแนน

An area is never negative — an integral very much can be.พื้นที่ไม่มีทางติดลบ — แต่ปริพันธ์ติดลบได้สบายมาก

  1. $\displaystyle\int_{0}^{2}\big(x^{2}-2x\big)\,dx=\;?$  (2 marks)$\displaystyle\int_{0}^{2}\big(x^{2}-2x\big)\,dx=\;?$  (2 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\Big[\dfrac{x^{3}}{3}-x^{2}\Big]_{0}^{2}=\Big(\dfrac{8}{3}-4\Big)-0=-\dfrac{4}{3}$Below the axis means negative: $\Big[\frac{x^{3}}{3}-x^{2}\Big]_{0}^{2}=\Big(\frac{8}{3}-4\Big)-0=-\frac{4}{3}$   $0\lt x\lt 2:\ \text{curve below the axis}$ The minus sign is information, not a mistake.อยู่ใต้แกน ออกมาติดลบ: $\Big[\frac{x^{3}}{3}-x^{2}\Big]_{0}^{2}=\Big(\frac{8}{3}-4\Big)-0=-\frac{4}{3}$   $0\lt x\lt 2:\ \text{curve below the axis}$ เครื่องหมายลบ คือข้อมูล ไม่ใช่ทำผิด
  2. Same curve $y=x^{2}-2x$, which crosses the $x$-axis at $x=0$ and $x=2$. Find the total area enclosed between the curve and the $x$-axis from $x=0$ to $x=3$.  (3 marks)เส้นโค้งเดิม $y=x^{2}-2x$ ซึ่งตัดแกน $x$ ที่ $x=0$ และ $x=2$ · หาพื้นที่ทั้งหมดที่ปิดล้อมระหว่างเส้นโค้งกับแกน $x$ ตั้งแต่ $x=0$ ถึง $x=3$  (3 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\Big|-\tfrac43\Big|+\tfrac43=\tfrac83$$\Big|-\tfrac43\Big|+\tfrac43=\tfrac83$3 marks: $\text{M1}\ \ \text{split at the crossing }x=2$   $\text{A1}\ \ -\frac{4}{3}\ \text{and}\ +\frac{4}{3}$   $\text{A1}\ \ \frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$ Word area plus a crossing inside the limits means split.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{split at the crossing }x=2$   $\text{A1}\ \ -\frac{4}{3}\ \text{and}\ +\frac{4}{3}$   $\text{A1}\ \ \frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$ เจอคำว่าพื้นที่ · และมีจุดตัดในช่วง · ต้องแบ่ง
  3. Exam: Use the trapezium rule with two strips of width $1$ to estimate $\displaystyle\int_{0}^{2}\big(x^{2}+1\big)\,dx$, and state whether the estimate is too big or too small.  (3 marks)ข้อสอบ: ใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมู 2 ช่วง กว้างช่วงละ $1$ ประมาณค่า $\displaystyle\int_{0}^{2}\big(x^{2}+1\big)\,dx$ แล้วบอกว่าค่าที่ได้เกินหรือขาด  (3 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\tfrac12\big(1+2(2)+5\big)=5$, an over-estimate (the exact value is $\tfrac{14}{3}$)$\tfrac12\big(1+2(2)+5\big)=5$ · เป็นการประมาณเกิน (ค่าจริงคือ $\tfrac{14}{3}$)3 marks: $\text{M1}\ \ \frac{h}{2}\big(y_{0}+2y_{1}+y_{2}\big),\ h=1$   $\text{A1}\ \ \tfrac12\big(1+2(2)+5\big)=5$   $\text{B1}\ \ \text{over-estimate, with a reason}$ Curve bending upwards: every chord sits above it, so the estimate is too big.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ \frac{h}{2}\big(y_{0}+2y_{1}+y_{2}\big),\ h=1$   $\text{A1}\ \ \tfrac12\big(1+2(2)+5\big)=5$   $\text{B1}\ \ \text{over-estimate, with a reason}$ กราฟโค้งหงาย · คอร์ดอยู่เหนือกราฟทุกเส้น · ประมาณเกิน
  4. Exam: The curve $C$ has equation $y=x^{3}-4x$. $C$ crosses the $x$-axis at three points and encloses two regions with it. Find the total area of those two regions.  (6 marks)ข้อสอบ: เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=x^{3}-4x$ · $C$ ตัดแกน $x$ สามจุด และล้อมพื้นที่กับแกน $x$ ได้สองบริเวณ · หาพื้นที่รวมของสองบริเวณนั้น  (6 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\left|\int_{-2}^{0}\right|+\left|\int_{0}^{2}\right|=4+4=8$6 marks: $\text{M1}\ \ x(x-2)(x+2)=0\ \Rightarrow\ x=-2,0,2$   $\text{M1}\ \ \int(x^{3}-4x)dx=\frac{x^{4}}{4}-2x^{2}$   $\text{A1}\ \ \int_{-2}^{0}=0-(4-8)=4$   $\text{A1}\ \ \int_{0}^{2}=(4-8)-0=-4$   $\text{M1}\ \ \big|-4\big|=4$   $\text{A1}\ \ 4+4=8$ Integrate straight through and the answer is $0$ — the two regions cancel.6 คะแนน: $\text{M1}\ \ x(x-2)(x+2)=0\ \Rightarrow\ x=-2,0,2$   $\text{M1}\ \ \int(x^{3}-4x)dx=\frac{x^{4}}{4}-2x^{2}$   $\text{A1}\ \ \int_{-2}^{0}=0-(4-8)=4$   $\text{A1}\ \ \int_{0}^{2}=(4-8)-0=-4$   $\text{M1}\ \ \big|-4\big|=4$   $\text{A1}\ \ 4+4=8$ ถ้าอินทิเกรตรวดเดียว จะได้ $0$ · สองส่วนหักล้างกันเอง
  5. Find the exact value of $\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{2}{(4x-1)^{2}}\,dx$. Give your answer as a fraction.หาค่า exact ของ $\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{2}{(4x-1)^{2}}\,dx$ · ตอบเป็นเศษส่วน
    Answer:เฉลย: $\left[-\dfrac{1}{2(4x-1)}\right]_{1}^{2}=-\dfrac{1}{14}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{21}$The power decides the rule: $\text{power}=-1:\ \frac{1}{ax+b}\ \to\ \ln$   $\text{power}=-2:\ \text{reverse power rule}$   $\int 2(4x-1)^{-2}dx=\frac{2(4x-1)^{-1}}{-4}=-\frac{1}{2(4x-1)}$   $-\frac{1}{14}+\frac{1}{6}=\frac{2}{21}$ One square is the whole difference between this and the $\ln$ twin.กำลังเป็นตัวตัดสินว่าใช้กฎไหน: $\text{power}=-1:\ \frac{1}{ax+b}\ \to\ \ln$   $\text{power}=-2:\ \text{reverse power rule}$   $\int 2(4x-1)^{-2}dx=\frac{2(4x-1)^{-1}}{-4}=-\frac{1}{2(4x-1)}$   $-\frac{1}{14}+\frac{1}{6}=\frac{2}{21}$ ต่างกันแค่ยกกำลังสอง · อีกข้อคือ $\ln$

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. Find $\displaystyle\int(3x+2)^{4}\,dx$.Identical to the level 2 worked example, numbers changed. New power $5$, then $\div3$ for the inside: denominator $3\times5=15$.เหมือนตัวอย่างในขั้นที่ 2 เป๊ะ เปลี่ยนแค่ตัวเลข · กำลังใหม่คือ $5$ แล้ว $\div3$ จากข้างใน · ตัวส่วนคือ $3\times5=15$
  2. Find $\displaystyle\int\frac{1}{(2-5x)^{3}}\,dx$.Same move, but $n=-3$ and $a=-5$, so the denominator $a(n+1)=(-5)(-2)=10$ comes out positive. Rewrite the fraction as a negative power first — that step is worth a mark on its own.ท่าเดิม แต่ $n=-3$ และ $a=-5$ ตัวส่วน $a(n+1)=(-5)(-2)=10$ จึงออกมาเป็นบวก · ต้องเขียนเศษส่วนเป็นกำลังติดลบก่อน · ก้าวนี้มีคะแนนของมันเอง
  3. Find $\displaystyle\int\Big(e^{4t}+\frac{1}{4t}\Big)\,dt$.A new letter, and two rows in one line.
    Integrate term by term. The $e$ row divides by $4$, and $\frac{1}{4t}=\frac14\cdot\frac1t$ gives $\frac14\ln|t|$.
    If you memorised the rules with $x$ instead of learning the method, this one is hard.    เปลี่ยนตัวอักษร และมีสองแถวในบรรทัดเดียว
    อินทิเกรตทีละพจน์ · แถว $e$ หารด้วย $4$ · ส่วน $\frac{1}{4t}=\frac14\cdot\frac1t$ ให้ $\frac14\ln|t|$
    ใครท่องมาเป็นตัว $x$ แทนที่จะจำวิธี จะทำข้อนี้ยาก
  4. Find the exact value of $\displaystyle\int_{0}^{1}\Big(e^{2x}+\frac{1}{x+1}\Big)\,dx$.Two new rows, then limits on top. "Exact" means $e^{2}$ and $\ln2$ stay as they are — a calculator decimal on the last line scores zero for that mark.สองแถวใหม่ แล้วใส่ขอบเขตทับอีกชั้น · คำว่า exact แปลว่า $e^{2}$ กับ $\ln2$ ต้องคงรูปไว้ · บรรทัดสุดท้ายถ้ากดเครื่องคิดเลขเป็นทศนิยม คะแนนช่องนั้นได้ศูนย์
  5. Given that $k\gt1$ and $\displaystyle\int_{1}^{k}\frac{1}{2x-1}\,dx=\frac{\ln 3}{2}$, find $k$.The answer is given and the limit is the unknown.
    You cannot do it by matching a pattern. You need to know what the square bracket notation means.
    The lower limit is easy here, because $\ln1=0$.    โจทย์ให้คำตอบมา แล้วขอบเขตคือตัวที่ต้องหา
    ทำด้วยการจำแพตเทิร์นไม่ได้ · ต้องรู้ว่าวงเล็บเหลี่ยมหมายถึงอะไร
    ขอบล่างง่าย เพราะ $\ln1=0$
  6. (a) Find the coordinates of the points where the line $y=3x$ meets the curve $y=x^{2}+2$. (2 marks)  (b) Hence find the exact area of the region enclosed between the line and the curve. (5 marks)Full exam wording with the mark split. 'Hence' is an instruction: the limits for part (b) are the $x$-values you already found in part (a) — do not solve it twice.ภาษาข้อสอบเต็มรูปแบบพร้อมแบ่งคะแนน · คำว่า Hence คือคำสั่ง: ขอบเขตของข้อ (b) คือค่า $x$ ที่หาไว้แล้วในข้อ (a) — ไม่ต้องแก้ซ้ำ
  7. A student writes:  $\displaystyle\int(4x+3)^{5}\,dx=\frac{(4x+3)^{6}}{6}+c$.  Find the error, give the correct answer, and show the one-line check that catches it.This is the same trap the lesson was built around, now in someone else's handwriting. If you can find the mistake in another person's working, you will not make it yourself. The differentiate-back check takes five seconds in the exam.กับดักตัวเดียวกับที่บทนี้สร้างขึ้นมาเพื่อป้องกัน คราวนี้อยู่ในลายมือคนอื่น · ถ้าตรวจเจอข้อผิดพลาดในงานของคนอื่นได้ เราก็จะไม่ทำผิดแบบนี้เอง · การดิฟกลับไปเช็คใช้เวลาห้าวินาทีในห้องสอบ

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี