Integrationปริพันธ์

A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: areas Pure 1 · trapezium rule Pure 2 · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

Two derivatives, about to be read backwardsอนุพันธ์สองบรรทัด ที่กำลังจะถูกอ่านย้อนกลับ

That $\times2$ in panel 2 is the $\div2$ you will keep forgetting today.$\times2$ ในช่อง 2 คือ $\div2$ ที่วันนี้จะลืมบ่อยที่สุด

1. Differentiate $y=x^{4}$.ดิฟ $y=x^{4}$
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=4x^{3}$Read the arrow backwards: $\frac{d}{dx}:\ x^{4}\ \to\ 4x^{3}$   $\int:\ 4x^{3}\ \to\ x^{4}$อ่านลูกศรย้อนกลับ: $\frac{d}{dx}:\ x^{4}\ \to\ 4x^{3}$   $\int:\ 4x^{3}\ \to\ x^{4}$
2. Differentiate $y=(2x+1)^{5}$.ดิฟ $y=(2x+1)^{5}$
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=5(2x+1)^{4}\times2=10(2x+1)^{4}$The chain factor comes back: $\frac{d}{dx}(2x+1)^{5}:\ \times 2$   $\int:\ \div 2$ตัวคูณจากลูกโซ่ เดี๋ยวมันกลับมา: $\frac{d}{dx}(2x+1)^{5}:\ \times 2$   $\int:\ \div 2$

2. Reverse the power ruleอ่านกฎกำลังย้อนกลับ

Up one power, divide by the new power. The $+c$ is worth a mark.เพิ่มกำลังหนึ่ง หารด้วยกำลังใหม่ · $+c$ มีค่าหนึ่งคะแนน

All of Pure 1 integration in one lineอินทิเกรตทั้งบทของ Pure 1 ในบรรทัดเดียว

Power up one, divide by the new power. Many curves share one derivative, so add $+c$.เพิ่มกำลังหนึ่ง หารด้วยกำลังใหม่ · หลายเส้นดิฟได้เท่ากัน จึงต้องบวก $+c$

1. $\displaystyle\int x^{3}\,dx=\;?$$\displaystyle\int x^{3}\,dx=\;?$
   Answer:เฉลย: $\dfrac{x^{4}}{4}+c$Power up, divide, $+c$: $\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}+c$   $\text{check}:\ \frac{x^{4}}{4}\to\frac{4x^{3}}{4}=x^{3}$ No limits in the question means $+c$ in the answer.เพิ่มกำลัง หารด้วยกำลังใหม่ ใส่ $+c$: $\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}+c$   $\text{check}:\ \frac{x^{4}}{4}\to\frac{4x^{3}}{4}=x^{3}$ โจทย์ไม่มีลิมิต คำตอบต้องมี $+c$
2. $\displaystyle\int 6x^{2}\,dx=\;?$  Include the $+c$.$\displaystyle\int 6x^{2}\,dx=\;?$  เติม $+c$ ด้วย
   Answer:เฉลย: $2x^{3}+c$The constant stays in front: $\int 6x^{2}\,dx=\frac{6x^{3}}{3}=2x^{3}+c$   $\text{check}:\ 2x^{3}\to 6x^{2}$ค่าคงที่ข้างหน้าอยู่ตามเดิม: $\int 6x^{2}\,dx=\frac{6x^{3}}{3}=2x^{3}+c$   $\text{check}:\ 2x^{3}\to 6x^{2}$
3. $\displaystyle\int_{1}^{2}3x^{2}\,dx=\;?$$\displaystyle\int_{1}^{2}3x^{2}\,dx=\;?$
   Answer:เฉลย: $\big[x^{3}\big]_{1}^{2}=8-1=7$Bracket, substitute, subtract: $\big[x^{3}\big]_{1}^{2}=2^{3}-1^{3}=7$   $\text{limits}\ \Rightarrow\ \text{no }+c$ใส่วงเล็บ แทนค่า ลบกัน: $\big[x^{3}\big]_{1}^{2}=2^{3}-1^{3}=7$   $\text{limits}\ \Rightarrow\ \text{no }+c$

3. Linear inside, divide by aข้างในเป็นเส้นตรง หารด้วย a

$\int(ax+b)^{n}dx$: integrate as usual, then divide by $a$ to undo the chain rule.$\int(ax+b)^{n}dx$ · อินทิเกรตตามปกติ แล้วหารด้วย $a$ เพื่อยกเลิกผลของกฎลูกโซ่

$\displaystyle\int(2x+1)^{4}\,dx$. The inside is no longer a bare $x$.$\displaystyle\int(2x+1)^{4}\,dx$ · ข้างในไม่ใช่ $x$ เปล่า ๆ แล้ว

Use the Pure 1 move anyway. Then differentiate the guess and see what comes back.ใช้ท่าเดิมของ Pure 1 ไปก่อน · แล้วดิฟตัวที่เดา ดูว่าได้อะไรกลับมา

$\displaystyle\int(2x+1)^{4}\,dx$$\displaystyle\int(2x+1)^{4}\,dx$

1. $\int(2x+1)^{4}\,dx$Same shape as $\int x^{4}dx$, but with a linear bracket inside.หน้าตาเหมือน $\int x^{4}dx$ แต่ข้างในเป็นวงเล็บเชิงเส้น
2. $=\frac{(2x+1)^{5}}{5}\times\frac{1}{2}$Up one power, divide by the new power, then by $2$.กำลังขึ้นหนึ่ง หารด้วยกำลังใหม่ · แล้วหารด้วย $2$
3. $=\frac{(2x+1)^{5}}{5\times2}$The $2$ is $a$, the number in front of $x$: the chain rule paid back.$2$ คือ $a$ ตัวเลขหน้า $x$ · คือจ่ายคืนกฎลูกโซ่
4. $=\frac{(2x+1)^{5}}{10}+c$Differentiate to check: $5(2x+1)^{4}\times2\div10=(2x+1)^{4}$ ✓ดิฟกลับเพื่อตรวจ: $5(2x+1)^{4}\times2\div10=(2x+1)^{4}$ ✓

1. Differentiate the guess $\dfrac{(2x+1)^{5}}{5}$. What comes back?ดิฟคำตอบที่เดาไว้ $\dfrac{(2x+1)^{5}}{5}$ · ได้อะไรคืนมา?
   Answer:เฉลย: The guess differentiates to $2(2x+1)^{4}$ — exactly twice the question.คำตอบที่เดาไว้ดิฟได้ $2(2x+1)^{4}$ — ใหญ่เป็นสองเท่าของโจทย์เป๊ะๆ$a$ times too big: $\frac{d}{dx}\frac{(2x+1)^{5}}{5}=2(2x+1)^{4}$   $\text{too big by }2=a$   $\text{so divide by }a$ที่เดาไว้ ใหญ่ไป $a$ เท่า: $\frac{d}{dx}\frac{(2x+1)^{5}}{5}=2(2x+1)^{4}$   $\text{too big by }2=a$   $\text{so divide by }a$
2. Before computing anything, label the inputs in $\displaystyle\int(5x-2)^{3}\,dx$. Which labelling is right?ก่อนคิดเลขอะไรทั้งนั้น ติดป้ายค่าต่างๆ ของ $\displaystyle\int(5x-2)^{3}\,dx$ ก่อน · ป้ายชุดไหนถูก?
   Answer:เฉลย: $a=5$, $b=-2$, $n=3$Label first, calculate second: $a=5,\ b=-2,\ n=3$   $n+1=4$   $a(n+1)=5\times 4=20$ใส่ป้ายก่อน คิดเลขทีหลัง: $a=5,\ b=-2,\ n=3$   $n+1=4$   $a(n+1)=5\times 4=20$
3. Same integral, numbers written straight into the formula and nothing worked out yet. Which line is the correct substitution?โจทย์เดิม เขียนตัวเลขลงในสูตรตรงๆ ยังไม่คิดเลขสักตัว · บรรทัดไหนแทนค่าถูก?
   Answer:เฉลย: $\dfrac{(5x-2)^{4}}{5\times4}=\dfrac{(5x-2)^{4}}{20}+c$The $\div a$ cancels the chain rule: $\frac{(5x-2)^{4}}{5\times 4}=\frac{(5x-2)^{4}}{20}+c$   $\text{check}:\ \frac{4(5x-2)^{3}\times 5}{20}=(5x-2)^{3}$ Unsure whether to multiply or divide by $a$? Differentiate your answer and look.$\div a$ ไปหักล้างลูกโซ่พอดี: $\frac{(5x-2)^{4}}{5\times 4}=\frac{(5x-2)^{4}}{20}+c$   $\text{check}:\ \frac{4(5x-2)^{3}\times 5}{20}=(5x-2)^{3}$ ไม่แน่ใจว่าคูณหรือหาร $a$ · ดิฟคำตอบตัวเองแล้วดู
4. Your turn, fresh numbers: $\displaystyle\int(4x+1)^{5}\,dx=\;?$  Include the $+c$.ตาเราบ้าง ตัวเลขชุดใหม่: $\displaystyle\int(4x+1)^{5}\,dx=\;?$  เติม $+c$ ด้วย
   Answer:เฉลย: $\dfrac{(4x+1)^{6}}{24}+c$$\frac{(4x+1)^{6}}{24}+c$.
   Differentiate back: $\frac{6(4x+1)^{5}\times4}{24}=(4x+1)^{5}$ ✓
   Two divisions every time: by the new power, and by $a$.$\frac{(4x+1)^{6}}{24}+c$
   ดิฟกลับ: $\frac{6(4x+1)^{5}\times4}{24}=(4x+1)^{5}$ ✓
   หารสองครั้งทุกครั้ง: ด้วยกำลังใหม่ และด้วย $a$

4. e to the ax plus b, and the one that gives lne ยกกำลัง ax+b และตัวที่ให้ ln

Two new rows, $\int e^{ax+b}dx$ and $\int\frac{1}{ax+b}dx$. Both are corrected by the same $\div a$.สองแถวใหม่ คือ $\int e^{ax+b}dx$ กับ $\int\frac{1}{ax+b}dx$ · ทั้งคู่แก้ด้วย $\div a$ ตัวเดิม

$e^{3x}$ differentiates to $3e^{3x}$. Read that backwards.$e^{3x}$ ดิฟแล้วได้ $3e^{3x}$ · งั้นอ่านย้อนกลับเลย

$e^{x}$ is its own derivative. Integrating keeps $e^{3x}$ and divides by $3$.$e^{x}$ ดิฟแล้วได้ตัวเอง · อินทิเกรตก็เก็บ $e^{3x}$ ไว้ แล้วหาร $3$

1. $\displaystyle\int e^{4x}\,dx=\;?$$\displaystyle\int e^{4x}\,dx=\;?$
   Answer:เฉลย: $\displaystyle\int e^{4x}\,dx=\dfrac{e^{4x}}{4}+c$Exponent untouched, $a$ underneath: $\int e^{ax+b}\,dx=\frac{e^{ax+b}}{a}+c$   $\int e^{4x}\,dx=\frac{e^{4x}}{4}+c$เลขชี้กำลังไม่แตะ · $a$ ลงข้างล่าง: $\int e^{ax+b}\,dx=\frac{e^{ax+b}}{a}+c$   $\int e^{4x}\,dx=\frac{e^{4x}}{4}+c$
2. $\displaystyle\int\frac{1}{2x+3}\,dx=\;?$  Include the $+c$.$\displaystyle\int\frac{1}{2x+3}\,dx=\;?$  เติม $+c$ ด้วย
   Answer:เฉลย: $\dfrac{1}{2}\ln|2x+3|+c$$\frac12\ln|2x+3|+c$.
   Differentiate back: $\frac12\cdot\frac{2}{2x+3}=\frac{1}{2x+3}$ ✓
   Same correction as $(ax+b)^{n}$ and $e^{ax+b}$. Three different outsides, one $\div a$.$\frac12\ln|2x+3|+c$
   ดิฟกลับ: $\frac12\cdot\frac{2}{2x+3}=\frac{1}{2x+3}$ ✓
   แก้แบบเดียวกับ $(ax+b)^{n}$ และ $e^{ax+b}$ · ตัวนอกสามแบบ แต่ใช้ $\div a$ ตัวเดียว

5. Putting the limits inใส่ขอบเขต

Upper minus lower. The $+c$ deletes itself, so a definite answer is a plain number.บนลบล่าง · $+c$ ลบตัวเองทิ้ง คำตอบแบบจำกัดเขตจึงเป็นตัวเลขล้วน ๆ

Watch the $+c$ delete itselfดู $+c$ ลบตัวเองทิ้ง

The two copies of $c$ cancel. Definite: no $+c$. Indefinite: always $+c$.$c$ สองตัวลบกันหายไป · definite ไม่มี $+c$ · indefinite ต้องมีเสมอ

1. $\displaystyle\int_{0}^{1}(2x+1)^{3}\,dx=\Big[\dfrac{(2x+1)^{4}}{8}\Big]_{0}^{1}$.  Which substitution of the limits is correct?$\displaystyle\int_{0}^{1}(2x+1)^{3}\,dx=\Big[\dfrac{(2x+1)^{4}}{8}\Big]_{0}^{1}$  แทนขอบเขตแบบไหนถูก?
   Answer:เฉลย: $\dfrac{3^{4}}{8}-\dfrac{1^{4}}{8}$Substitute inside the bracket first: $x=1:\ 2x+1=3$   $x=0:\ 2x+1=1$   $\frac{3^{4}}{8}-\frac{1^{4}}{8}$แทนค่าในวงเล็บก่อน: $x=1:\ 2x+1=3$   $x=0:\ 2x+1=1$   $\frac{3^{4}}{8}-\frac{1^{4}}{8}$
2. Now finish it: $\displaystyle\int_{0}^{1}(2x+1)^{3}\,dx=\;?$ทีนี้เก็บให้จบ: $\displaystyle\int_{0}^{1}(2x+1)^{3}\,dx=\;?$
   Answer:เฉลย: $\Big[\dfrac{(2x+1)^{4}}{8}\Big]_{0}^{1}=\dfrac{81}{8}-\dfrac{1}{8}=10$Four moves, one new: $\Big[\frac{(2x+1)^{4}}{8}\Big]_{0}^{1}$   $=\frac{81}{8}-\frac{1}{8}=10$สี่จังหวะ ใหม่แค่จังหวะเดียว: $\Big[\frac{(2x+1)^{4}}{8}\Big]_{0}^{1}$   $=\frac{81}{8}-\frac{1}{8}=10$

6. Area between two curvesพื้นที่ระหว่างกราฟสองเส้น

Area is the integral of top minus bottom, and the limits come from where the graphs meet.พื้นที่คือปริพันธ์ของเส้นบนลบเส้นล่าง · ส่วนขอบเขตมาจากจุดที่กราฟตัดกัน

Two graphs, one gap between themกราฟสองเส้น ช่องว่างหนึ่งช่อง

The limits come from the intersection. Subtract first, then integrate once.ขอบเขตมาจากจุดตัด · ลบกันก่อน แล้วอินทิเกรตรอบเดียว

1. The line $y=x+2$ meets the curve $y=x^{2}$. Find the two $x$-values where they meet. Type them separated by a comma.เส้นตรง $y=x+2$ ตัดกับเส้นโค้ง $y=x^{2}$ · หาค่า $x$ สองค่าที่มันเจอกัน · พิมพ์คั่นด้วยจุลภาค
   Answer:เฉลย: $x^{2}=x+2\Rightarrow x^{2}-x-2=0\Rightarrow(x-2)(x+1)=0$, so $x=-1$ and $x=2$Crossings are the limits: $x^{2}=x+2$   $x^{2}-x-2=0$   $(x-2)(x+1)=0\ \Rightarrow\ x=-1,\ 2$ An area question with no limits stated is a quadratic question first.จุดตัด คือลิมิต: $x^{2}=x+2$   $x^{2}-x-2=0$   $(x-2)(x+1)=0\ \Rightarrow\ x=-1,\ 2$ โจทย์หาพื้นที่ที่ไม่บอกลิมิต จริงๆ คือโจทย์สมการกำลังสองก่อน
2. Which integral gives the area of the region trapped between the line and the curve?อินทิกรัลไหนให้พื้นที่ของบริเวณที่ถูกขังระหว่างเส้นตรงกับเส้นโค้ง?
   Answer:เฉลย: $\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((x+2)-x^{2}\big)\,dx$Top minus bottom: $x=0:\ \text{line}=2,\ \text{curve}=0$   $\text{line on top}$   $\int_{-1}^{2}\big((x+2)-x^{2}\big)\,dx$บนลบล่าง: $x=0:\ \text{line}=2,\ \text{curve}=0$   $\text{line on top}$   $\int_{-1}^{2}\big((x+2)-x^{2}\big)\,dx$
3. Now find that area. The region enclosed between $y=x+2$ and $y=x^{2}$.  (5 marks)หาพื้นที่นั้นเลย — บริเวณที่ถูกปิดล้อมระหว่าง $y=x+2$ กับ $y=x^{2}$  (5 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\Big[2x+\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\Big]_{-1}^{2}=\dfrac{10}{3}-\Big(-\dfrac{7}{6}\Big)=\dfrac{9}{2}$5 marks: $\text{M1}\ \ \text{limits from }x^{2}=x+2$   $\text{M1}\ \ \text{top}-\text{bottom in one bracket}$   $\text{A1}\ \ F(x)=2x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}$   $\text{DM1}\ \ F(2)-F(-1)$   $\text{A1}\ \ \frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{9}{2}$ Subtracting a negative lower value is where the mark goes.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{limits from }x^{2}=x+2$   $\text{M1}\ \ \text{top}-\text{bottom in one bracket}$   $\text{A1}\ \ F(x)=2x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}$   $\text{DM1}\ \ F(2)-F(-1)$   $\text{A1}\ \ \frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{9}{2}$ ตอนลบค่าลิมิตล่างที่ติดลบ · คะแนนหายตรงนี้

7. Exam formรูปแบบข้อสอบ

The two add-ons the paper sets on purpose: a region under the axis, and an estimate you must label.ของแถมสองอย่างที่ข้อสอบตั้งใจวางไว้: พื้นที่ใต้แกน กับค่าประมาณที่ต้องบอกว่าเกินหรือขาด

Two traps, and each one costs marksสองกับดัก แต่ละอันทำให้เสียคะแนน

An area is never negative. An integral can be.พื้นที่ไม่มีทางติดลบ · แต่ปริพันธ์ติดลบได้

1. $\displaystyle\int_{0}^{2}\big(x^{2}-2x\big)\,dx=\;?$  (2 marks)$\displaystyle\int_{0}^{2}\big(x^{2}-2x\big)\,dx=\;?$  (2 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\Big[\dfrac{x^{3}}{3}-x^{2}\Big]_{0}^{2}=\Big(\dfrac{8}{3}-4\Big)-0=-\dfrac{4}{3}$Below the axis means negative: $\Big[\frac{x^{3}}{3}-x^{2}\Big]_{0}^{2}=\Big(\frac{8}{3}-4\Big)-0=-\frac{4}{3}$   $0\lt x\lt 2:\ \text{curve below the axis}$ The minus sign is information, not a mistake.อยู่ใต้แกน ออกมาติดลบ: $\Big[\frac{x^{3}}{3}-x^{2}\Big]_{0}^{2}=\Big(\frac{8}{3}-4\Big)-0=-\frac{4}{3}$   $0\lt x\lt 2:\ \text{curve below the axis}$ เครื่องหมายลบ คือข้อมูล ไม่ใช่ทำผิด
2. Same curve $y=x^{2}-2x$, which crosses the $x$-axis at $x=0$ and $x=2$. Find the total area enclosed between the curve and the $x$-axis from $x=0$ to $x=3$.  (3 marks)เส้นโค้งเดิม $y=x^{2}-2x$ ซึ่งตัดแกน $x$ ที่ $x=0$ และ $x=2$ · หาพื้นที่ทั้งหมดที่ปิดล้อมระหว่างเส้นโค้งกับแกน $x$ ตั้งแต่ $x=0$ ถึง $x=3$  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\Big|-\tfrac43\Big|+\tfrac43=\tfrac83$$\Big|-\tfrac43\Big|+\tfrac43=\tfrac83$3 marks: $\text{M1}\ \ \text{split at the crossing }x=2$   $\text{A1}\ \ -\frac{4}{3}\ \text{and}\ +\frac{4}{3}$   $\text{A1}\ \ \frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$ Word area plus a crossing inside the limits means split.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{split at the crossing }x=2$   $\text{A1}\ \ -\frac{4}{3}\ \text{and}\ +\frac{4}{3}$   $\text{A1}\ \ \frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$ เจอคำว่าพื้นที่ · และมีจุดตัดในช่วง · ต้องแบ่ง
3. Exam: Use the trapezium rule with two strips of width $1$ to estimate $\displaystyle\int_{0}^{2}\big(x^{2}+1\big)\,dx$, and state whether the estimate is too big or too small.  (3 marks)ข้อสอบ: ใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมู 2 ช่วง กว้างช่วงละ $1$ ประมาณค่า $\displaystyle\int_{0}^{2}\big(x^{2}+1\big)\,dx$ แล้วบอกว่าค่าที่ได้เกินหรือขาด  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\tfrac12\big(1+2(2)+5\big)=5$, an over-estimate (the exact value is $\tfrac{14}{3}$)$\tfrac12\big(1+2(2)+5\big)=5$ · เป็นการประมาณเกิน (ค่าจริงคือ $\tfrac{14}{3}$)3 marks: $\text{M1}\ \ \frac{h}{2}\big(y_{0}+2y_{1}+y_{2}\big),\ h=1$   $\text{A1}\ \ \tfrac12\big(1+2(2)+5\big)=5$   $\text{B1}\ \ \text{over-estimate, with a reason}$ Curve bending upwards: every chord sits above it, so the estimate is too big.3 คะแนน: $\text{M1}\ \ \frac{h}{2}\big(y_{0}+2y_{1}+y_{2}\big),\ h=1$   $\text{A1}\ \ \tfrac12\big(1+2(2)+5\big)=5$   $\text{B1}\ \ \text{over-estimate, with a reason}$ กราฟโค้งหงาย · คอร์ดอยู่เหนือกราฟทุกเส้น · ประมาณเกิน
4. Exam: The curve $C$ has equation $y=x^{3}-4x$. $C$ crosses the $x$-axis at three points and encloses two regions with it. Find the total area of those two regions.  (6 marks)ข้อสอบ: เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=x^{3}-4x$ · $C$ ตัดแกน $x$ สามจุด และล้อมพื้นที่กับแกน $x$ ได้สองบริเวณ · หาพื้นที่รวมของสองบริเวณนั้น  (6 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\left|\int_{-2}^{0}\right|+\left|\int_{0}^{2}\right|=4+4=8$6 marks: $\text{M1}\ \ x(x-2)(x+2)=0\ \Rightarrow\ x=-2,0,2$   $\text{M1}\ \ \int(x^{3}-4x)dx=\frac{x^{4}}{4}-2x^{2}$   $\text{A1}\ \ \int_{-2}^{0}=0-(4-8)=4$   $\text{A1}\ \ \int_{0}^{2}=(4-8)-0=-4$   $\text{M1}\ \ \big|-4\big|=4$   $\text{A1}\ \ 4+4=8$ Integrate straight through and the answer is $0$. The two regions cancel.6 คะแนน: $\text{M1}\ \ x(x-2)(x+2)=0\ \Rightarrow\ x=-2,0,2$   $\text{M1}\ \ \int(x^{3}-4x)dx=\frac{x^{4}}{4}-2x^{2}$   $\text{A1}\ \ \int_{-2}^{0}=0-(4-8)=4$   $\text{A1}\ \ \int_{0}^{2}=(4-8)-0=-4$   $\text{M1}\ \ \big|-4\big|=4$   $\text{A1}\ \ 4+4=8$ ถ้าอินทิเกรตรวดเดียว จะได้ $0$ · สองส่วนหักล้างกันเอง
5. Find the exact value of $\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{2}{(4x-1)^{2}}\,dx$. Give your answer as a fraction.หาค่า exact ของ $\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{2}{(4x-1)^{2}}\,dx$ · ตอบเป็นเศษส่วน
   Answer:เฉลย: $\left[-\dfrac{1}{2(4x-1)}\right]_{1}^{2}=-\dfrac{1}{14}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{21}$The power decides the rule: $\text{power}=-1:\ \frac{1}{ax+b}\ \to\ \ln$   $\text{power}=-2:\ \text{reverse power rule}$   $\int 2(4x-1)^{-2}dx=\frac{2(4x-1)^{-1}}{-4}=-\frac{1}{2(4x-1)}$   $-\frac{1}{14}+\frac{1}{6}=\frac{2}{21}$ One square is the whole difference between this and the $\ln$ twin.กำลังเป็นตัวตัดสินว่าใช้กฎไหน: $\text{power}=-1:\ \frac{1}{ax+b}\ \to\ \ln$   $\text{power}=-2:\ \text{reverse power rule}$   $\int 2(4x-1)^{-2}dx=\frac{2(4x-1)^{-1}}{-4}=-\frac{1}{2(4x-1)}$   $-\frac{1}{14}+\frac{1}{6}=\frac{2}{21}$ ต่างกันแค่ยกกำลังสอง · อีกข้อคือ $\ln$

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. Find $\displaystyle\int(3x+2)^{4}\,dx$.
   Answer:เฉลย: $\dfrac{(3x+2)^{5}}{15}+c$Same as the worked example. New power $5$, then $\div3$ inside: denominator $3\times5=15$.เหมือนตัวอย่างในขั้นที่ 2 เปลี่ยนแค่ตัวเลข · กำลังใหม่ $5$ แล้ว $\div3$ จากข้างใน ตัวส่วน $3\times5=15$
2. Find $\displaystyle\int\frac{1}{(2-5x)^{3}}\,dx$.
   Answer:เฉลย: Write it as $(2-5x)^{-3}$:  $\dfrac{(2-5x)^{-2}}{(-5)(-2)}+c=\dfrac{1}{10(2-5x)^{2}}+c$Write it as a negative power: $\tfrac{1}{(2-5x)^{3}}=(2-5x)^{-3}$   $a(n+1)=(-5)(-2)$ Here $n=-3$ and $a=-5$, so the denominator $10$ is positive.เขียนเป็นกำลังติดลบก่อน: $\tfrac{1}{(2-5x)^{3}}=(2-5x)^{-3}$   $a(n+1)=(-5)(-2)$ ตรงนี้ $n=-3$ และ $a=-5$ ตัวส่วน $10$ จึงเป็นบวก
3. Find $\displaystyle\int\Big(e^{4t}+\frac{1}{4t}\Big)\,dt$.
   Answer:เฉลย: $\dfrac{e^{4t}}{4}+\dfrac{1}{4}\ln|t|+c$New letter, two terms. Integrate term by term: the $e$ row $\div4$; $\tfrac{1}{4t}=\tfrac14\cdot\tfrac1t$ gives $\tfrac14\ln|t|$.เปลี่ยนตัวอักษร มีสองพจน์ · อินทิเกรตทีละพจน์: แถว $e$ หาร $4$ ส่วน $\tfrac{1}{4t}$ ให้ $\tfrac14\ln|t|$
4. Find the exact value of $\displaystyle\int_{0}^{1}\Big(e^{2x}+\frac{1}{x+1}\Big)\,dx$.
   Answer:เฉลย: $\Big[\dfrac{e^{2x}}{2}+\ln|x+1|\Big]_{0}^{1}=\Big(\dfrac{e^{2}}{2}+\ln2\Big)-\dfrac12=\dfrac{e^{2}-1}{2}+\ln2$Two new rows, then limits. Exact means $e^{2}$ and $\ln2$ stay as they are, not decimals.สองแถวใหม่ แล้วใส่ขอบเขต · exact แปลว่า $e^{2}$ กับ $\ln2$ คงรูปไว้ ไม่ใช่ทศนิยม
5. Given that $k\gt1$ and $\displaystyle\int_{1}^{k}\frac{1}{2x-1}\,dx=\frac{\ln 3}{2}$, find $k$.
   Answer:เฉลย: $\Big[\tfrac12\ln|2x-1|\Big]_{1}^{k}=\tfrac12\ln(2k-1)=\tfrac12\ln3$, so $2k-1=3$ and $k=2$Answer given, limit unknown: you cannot pattern-match this. Know what the square-bracket notation means. $\ln1=0$ makes the lower limit easy.ให้คำตอบมา ขอบเขตคือตัวที่ต้องหา · ทำด้วยแพตเทิร์นไม่ได้ ต้องรู้ว่าวงเล็บเหลี่ยมหมายถึงอะไร ขอบล่างง่ายเพราะ $\ln1=0$
6.  (5 marks) (a)(ก) Find the coordinates of the points where the line $y=3x$ meets the curve $y=x^{2}+2$. (2 marks) (b)(ข) Hence find the exact area of the region enclosed between the line and the curve.
   Answer:เฉลย: (a) $x^{2}-3x+2=0\Rightarrow x=1,2$, so $(1,3)$ and $(2,6)$  (b) $\displaystyle\int_{1}^{2}\big(3x-x^{2}-2\big)dx=\Big[\tfrac{3x^{2}}{2}-\tfrac{x^{3}}{3}-2x\Big]_{1}^{2}=-\tfrac23-\big(-\tfrac56\big)=\dfrac16$Full exam wording, marks split. 'Hence' means: use the $x$-values found in part (a) as the limits.ภาษาข้อสอบเต็มรูปแบบ แบ่งคะแนน · Hence คือคำสั่ง: ใช้ค่า $x$ จากข้อ (a) เป็นขอบเขต
7. A student writes:  $\displaystyle\int(4x+3)^{5}\,dx=\frac{(4x+3)^{6}}{6}+c$.  Find the error, give the correct answer, and show the one-line check that catches it.
   Answer:เฉลย: The $\div a$ is missing. Correct: $\dfrac{(4x+3)^{6}}{24}+c$. Check: $\dfrac{(4x+3)^{6}}{6}$ differentiates to $\dfrac{6(4x+3)^{5}\times4}{6}=4(4x+3)^{5}$ — four times the original.Same trap the lesson is built around, now in someone else's work. Spot it there and you avoid it.กับดักตัวเดียวกับที่บทนี้สร้างมา อยู่ในลายมือคนอื่น · ตรวจเจอในงานคนอื่น แปลว่าเราจะไม่ทำผิดแบบนี้เอง

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี