A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: areas Pure 1 · trapezium rule Pure 2
Integration: areas & the trapezium rule ปริพันธ์: พื้นที่และกฎสี่เหลี่ยมคางหมู
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
🪜Learn Never learnt this? Start from zero in Teach Modeเรียน ยังไม่เคยเรียนเรื่องนี้? เริ่มตั้งแต่ศูนย์ในโหมดสอนIt starts from something you already know and climbs one small step at a time — you answer, it moves.เริ่มจากของที่น้องทำเป็นอยู่แล้ว แล้วไต่ทีละขั้นเล็กๆ น้องตอบ แล้วค่อยไปต่อIntegrationปริพันธ์
📐Know the pieces but stuck on a whole exam question?รู้ทีละส่วนแล้ว แต่ทำข้อสอบเต็มข้อไม่ได้?Each set takes one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill; question 10 is the exam question itself.แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แยกเป็นสเต็ปย่อย แล้วไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงIntegration laddersชุดไต่ระดับ · ปริพันธ์
Integration: areas & the trapezium rule · progressปริพันธ์: พื้นที่และกฎสี่เหลี่ยมคางหมู · ความคืบหน้า
Questionsคำถามที่พบบ่อย
Questionโจทย์
Step-by-step practice loads here. If it does not appear, everything you need is under Revision notes.
แบบฝึกทีละสเต็ปจะขึ้นตรงนี้ ถ้าไม่ขึ้น เนื้อหาทั้งหมดอยู่ในแท็บ สรุปเนื้อหา
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| "Find the area between the curve and the $x$-axis""หาพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งกับแกน $x$" | Definite integral; split where the curve crosses the axisปริพันธ์จำกัดเขต แบ่งช่วงตรงจุดที่โค้งตัดแกน | try → ลอง → |
| "Area between the curve and the line""พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งกับเส้นตรง" | $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ between intersection points$\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ ระหว่างจุดตัด | try → ลอง → |
| "Use the trapezium rule with 4 strips""ใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูแบบ 4 แถบ" | $h=\frac{b-a}{n}$, table of values, ends once + middles twice$h=\frac{b-a}{n}$ ทำตารางค่า หัวท้ายนับครั้งเดียว + ตัวกลางคูณสอง | try → ลอง → |
| "Is your estimate an over- or under-estimate?""ค่าประมาณเกินหรือขาด?" | Concavity: curve bending down → underestimate, bending up → overestimateดูความโค้ง: โค้งคว่ำ → ประมาณขาด โค้งหงาย → ประมาณเกิน | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
Power rule กฎยกกำลัง$\int x^n dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+c\ (n\neq-1)$
Definite ปริพันธ์จำกัดเขต$\int_a^b f'(x)dx=f(b)-f(a)$
Trapezium rule กฎสี่เหลี่ยมคางหมู$\int_a^b y\,dx\approx\tfrac{h}{2}\big[y_0+y_n+2(y_1+\cdots+y_{n-1})\big]$
Between curves พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง$\int_a^b (y_{\text{top}}-y_{\text{bottom}})dx$
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
The curve $y=6x-x^2$ meets the line $y=2x$ at the origin and at point $A$. Find the area enclosed between them. (6 marks)
M1
Intersect: $6x-x^2=2x \Rightarrow x(4-x)=0 \Rightarrow x=0,4$. So $A=(4,8)$.
M1
Area $=\displaystyle\int_0^4\big[(6x-x^2)-2x\big]dx=\int_0^4(4x-x^2)\,dx$
A1
$=\left[2x^2-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^4$
M1
$=\left(32-\dfrac{64}{3}\right)-0$
A1
$=\dfrac{96-64}{3}$
A1
$=\dfrac{32}{3}$ square units
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. Evaluate $\displaystyle\int_1^4\left(3\sqrt{x}+\frac{2}{x^2}\right)dx$.5 markssolution ▾
$\int(3x^{1/2}+2x^{-2})dx=2x^{3/2}-\dfrac{2}{x}$.
At 4: $2(8)-\tfrac12=15.5$; at 1: $2-2=0$. Answer $=\mathbf{15.5}=\dfrac{31}{2}$.
At 4: $2(8)-\tfrac12=15.5$; at 1: $2-2=0$. Answer $=\mathbf{15.5}=\dfrac{31}{2}$.
P2. Use the trapezium rule with 4 strips to estimate $\displaystyle\int_0^2\sqrt{1+x^2}\,dx$ (3 d.p.).4 markssolution ▾
$h=0.5$; $y$-values at $x=0,0.5,1,1.5,2$: $1,\ 1.11803,\ 1.41421,\ 1.80278,\ 2.23607$.
Estimate $=\tfrac{0.5}{2}\big[1+2.23607+2(1.11803+1.41421+1.80278)\big]=\tfrac{1}{4}(3.23607+8.67004)=\mathbf{2.977}$ (3 d.p.).
Estimate $=\tfrac{0.5}{2}\big[1+2.23607+2(1.11803+1.41421+1.80278)\big]=\tfrac{1}{4}(3.23607+8.67004)=\mathbf{2.977}$ (3 d.p.).
Vocab ศัพท์ต้องรู้
definite integral ปริพันธ์จำกัดเขต · area under the curve พื้นที่ใต้เส้นโค้ง · enclosed by ที่ถูกล้อมด้วย · trapezium rule กฎสี่เหลี่ยมคางหมู · strip / ordinate แถบ / ค่า y · overestimate / underestimate ประมาณเกิน / ประมาณขาด
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗Area below the axis comes out negative พื้นที่ใต้แกนติดลบSplit the integral at the roots and add absolute values — one big integral silently cancels regions.
✗Strips vs ordinates แถบ ≠ จำนวนค่า y4 strips means 5 $y$-values. Miscounting shifts every value in the table.
✗Show the integrated function เขียนผลปริพันธ์ก่อนแทนค่าWrite the integrated expression in square brackets with the limits before substituting numbers — that line carries the method mark.
✗Upper minus lower, in order แทนลิมิตให้ถูกลำดับEvaluate at the upper limit first, then subtract the lower — writing $f(b)-f(a)$ explicitly prevents sign slips.
✗"Exact area" means fractions exact ต้องตอบเศษส่วนIf the question asks for the exact area, leave the answer as a fraction or surd — a rounded decimal loses the final mark.
Know the method? Here is what to do next.เข้าใจวิธีแล้ว? ขั้นต่อไปทำแบบนี้
TestสอบPure 2 paperข้อสอบ Pure 2
The pack is marked the way the examiner marks it, method marks included.ชุดฝึกตรวจแบบเดียวกับกรรมการ รวมคะแนนวิธีทำด้วย