A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: areas Pure 1 · trapezium rule Pure 2
Integration: areas & the trapezium rule ปริพันธ์: พื้นที่และกฎสี่เหลี่ยมคางหมู
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| "Find the area between the curve and the $x$-axis""หาพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งกับแกน $x$" | Definite integral; split where the curve crosses the axisปริพันธ์จำกัดเขต แบ่งช่วงตรงจุดที่โค้งตัดแกน | try → ลอง → |
| "Area between the curve and the line""พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งกับเส้นตรง" | $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ between intersection points$\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ ระหว่างจุดตัด | try → ลอง → |
| "Use the trapezium rule with 4 strips""ใช้กฎสี่เหลี่ยมคางหมูแบบ 4 แถบ" | $h=\frac{b-a}{n}$, table of values, ends once + middles twice$h=\frac{b-a}{n}$ ทำตารางค่า หัวท้ายนับครั้งเดียว + ตัวกลางคูณสอง | try → ลอง → |
| "Is your estimate an over- or under-estimate?""ค่าประมาณเกินหรือขาด?" | Concavity: curve bending down → underestimate, bending up → overestimateดูความโค้ง: โค้งคว่ำ → ประมาณขาด โค้งหงาย → ประมาณเกิน | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
Power rule กฎยกกำลัง$\int x^n dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+c\ (n\neq-1)$
Definite ปริพันธ์จำกัดเขต$\int_a^b f'(x)dx=f(b)-f(a)$
Trapezium rule กฎสี่เหลี่ยมคางหมู$\int_a^b y\,dx\approx\tfrac{h}{2}\big[y_0+y_n+2(y_1+\cdots+y_{n-1})\big]$
Between curves พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง$\int_a^b (y_{\text{top}}-y_{\text{bottom}})dx$
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
The curve $y=6x-x^2$ meets the line $y=2x$ at the origin and at point $A$. Find the area enclosed between them. (6 marks)
M1
Intersect: $6x-x^2=2x \Rightarrow x(4-x)=0 \Rightarrow x=0,4$. So $A=(4,8)$.
M1
Area $=\displaystyle\int_0^4\big[(6x-x^2)-2x\big]dx=\int_0^4(4x-x^2)\,dx$
A1
$=\left[2x^2-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^4$
M1
$=\left(32-\dfrac{64}{3}\right)-0$
A1
$=\dfrac{96-64}{3}$
A1
$=\dfrac{32}{3}$ square units
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. Evaluate $\displaystyle\int_1^4\left(3\sqrt{x}+\frac{2}{x^2}\right)dx$.5 markssolution ▾
$\int(3x^{1/2}+2x^{-2})dx=2x^{3/2}-\dfrac{2}{x}$.
At 4: $2(8)-\tfrac12=15.5$; at 1: $2-2=0$. Answer $=\mathbf{15.5}=\dfrac{31}{2}$.
At 4: $2(8)-\tfrac12=15.5$; at 1: $2-2=0$. Answer $=\mathbf{15.5}=\dfrac{31}{2}$.
P2. Use the trapezium rule with 4 strips to estimate $\displaystyle\int_0^2\sqrt{1+x^2}\,dx$ (3 d.p.).4 markssolution ▾
$h=0.5$; $y$-values at $x=0,0.5,1,1.5,2$: $1,\ 1.11803,\ 1.41421,\ 1.80278,\ 2.23607$.
Estimate $=\tfrac{0.5}{2}\big[1+2.23607+2(1.11803+1.41421+1.80278)\big]=\tfrac{1}{4}(3.23607+8.67004)=\mathbf{2.977}$ (3 d.p.).
Estimate $=\tfrac{0.5}{2}\big[1+2.23607+2(1.11803+1.41421+1.80278)\big]=\tfrac{1}{4}(3.23607+8.67004)=\mathbf{2.977}$ (3 d.p.).
Vocab ศัพท์ต้องรู้
definite integral ปริพันธ์จำกัดเขต · area under the curve พื้นที่ใต้เส้นโค้ง · enclosed by ที่ถูกล้อมด้วย · trapezium rule กฎสี่เหลี่ยมคางหมู · strip / ordinate แถบ / ค่า y · overestimate / underestimate ประมาณเกิน / ประมาณขาด
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗Area below the axis comes out negative พื้นที่ใต้แกนติดลบSplit the integral at the roots and add absolute values — one big integral silently cancels regions.
✗Strips vs ordinates แถบ ≠ จำนวนค่า y4 strips means 5 $y$-values. Miscounting shifts every value in the table.
✗Show the integrated function เขียนผลปริพันธ์ก่อนแทนค่าWrite the integrated expression in square brackets with the limits before substituting numbers — that line carries the method mark.
✗Upper minus lower, in order แทนลิมิตให้ถูกลำดับEvaluate at the upper limit first, then subtract the lower — writing $f(b)-f(a)$ explicitly prevents sign slips.
✗"Exact area" means fractions exact ต้องตอบเศษส่วนIf the question asks for the exact area, leave the answer as a fraction or surd — a rounded decimal loses the final mark.
Keep going, free ไปต่อ ฟรี
Nice work so far. Drop your email to unlock every level and the other topics. We'll tune them to your board. ทำได้ดีแล้ว ใส่อีเมลเพื่อปลดล็อกทุกระดับและหัวข้ออื่นๆ เราจะจัดให้ตรงกับ board ที่คุณสอบ