A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: Pure 2 & 3 (9709)
Exponentials & logarithms เอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| "Solve $5^{2x}=40$""แก้ $5^{2x}=40$" | Take logs of both sides; bring the power downใส่ log ทั้งสองข้าง แล้วดึงเลขชี้กำลังลงมา | try → ลอง → |
| "Solve $\log_2 x+\log_2(x-2)=3$""แก้ $\log_2 x+\log_2(x-2)=3$" | Combine with log laws → polynomial → check domainรวมด้วยกฎ log → พหุนาม → ตรวจโดเมน | try → ลอง → |
| "Solve $4^x-5(2^x)+4=0$""แก้ $4^x-5(2^x)+4=0$" | Hidden quadratic: substitute $y=2^x$กำลังสองแฝง: แทน $y=2^x$ | try → ลอง → |
| "Express as a single logarithm""เขียนเป็นลอการิทึมเดียว" | Product, quotient and power lawsกฎผลคูณ ผลหาร และกำลัง | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
Product law กฎผลคูณ$\log_a x+\log_a y=\log_a xy$
Quotient law กฎผลหาร$\log_a x-\log_a y=\log_a \tfrac{x}{y}$
Power law กฎกำลัง$\log_a x^k=k\log_a x$
Definition นิยาม$a^b=c \iff b=\log_a c$
Change of base เปลี่ยนฐาน$\log_a b=\dfrac{\log b}{\log a}$
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
Solve $\log_2 x+\log_2(x-2)=3$. (4 marks)
M1
Combine: $\log_2\big(x(x-2)\big)=3$
M1
Undo the log: $x(x-2)=2^3=8$
A1
$x^2-2x-8=0 \Rightarrow (x-4)(x+2)=0 \Rightarrow x=4$ or $x=-2$
A1
$x=-2$ makes $\log_2 x$ undefined → reject. $\;x=4$ only.
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. Solve $5^{2x}=40$, giving your answer to 3 s.f.3 markssolution ▾
$2x\ln 5=\ln 40 \Rightarrow x=\dfrac{\ln 40}{2\ln 5}=\mathbf{1.15}$ (3 s.f.).
P2. Solve $4^x-5(2^x)+4=0$.4 markssolution ▾
Let $y=2^x$: $y^2-5y+4=0 \Rightarrow (y-1)(y-4)=0 \Rightarrow y=1,4$.
$2^x=1 \Rightarrow x=\mathbf{0}$; $\;2^x=4 \Rightarrow x=\mathbf{2}$.
$2^x=1 \Rightarrow x=\mathbf{0}$; $\;2^x=4 \Rightarrow x=\mathbf{2}$.
P3. The mass of a sample is $M=80e^{-0.02t}$ grams after $t$ years. Find the mass at $t=0$, and the time for the mass to halve (3 s.f.).4 markssolution ▾
At $t=0$: $M=\mathbf{80}$ g.
$40=80e^{-0.02t} \Rightarrow e^{-0.02t}=\tfrac12 \Rightarrow t=\dfrac{\ln 2}{0.02}=\mathbf{34.7}$ years (3 s.f.).
$40=80e^{-0.02t} \Rightarrow e^{-0.02t}=\tfrac12 \Rightarrow t=\dfrac{\ln 2}{0.02}=\mathbf{34.7}$ years (3 s.f.).
Vocab ศัพท์ต้องรู้
logarithm ลอการิทึม · base ฐาน · exponential growth/decay การเพิ่ม/ลดแบบเอกซ์โพเนนเชียล · undefined ไม่นิยาม (log ของจำนวนลบ/ศูนย์) · reject ตัดคำตอบทิ้ง
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗Check the domain ตรวจโดเมนEvery log equation can generate a fake root. Substitute back — arguments of all logs must be positive.
✗$\log(x+y)\neq\log x+\log y$ log ของผลบวกแยกไม่ได้The product law merges a sum of logs, not a log of a sum.
✗Reject with a reason ตัดคำตอบพร้อมเหตุผลWhen you discard a root, say why — "makes the log argument negative" — the rejection sentence often carries the final A mark.
✗Bracket the exponent ใส่วงเล็บเลขชี้กำลังAfter taking logs, the whole exponent multiplies the log — write $(2x)\ln 5$ and keep the brackets until you divide.
✗Round only at the end ปัดเศษบรรทัดสุดท้ายKeep the exact log form through the working; round to the accuracy asked (e.g. 3 s.f.) only on the final line.
Keep going, free ไปต่อ ฟรี
Nice work so far. Drop your email to unlock every level and the other topics. We'll tune them to your board. ทำได้ดีแล้ว ใส่อีเมลเพื่อปลดล็อกทุกระดับและหัวข้ออื่นๆ เราจะจัดให้ตรงกับ board ที่คุณสอบ