Polynomials, factor & remainder theoremการหารพหุนาม · ทฤษฎีบทตัวประกอบและเศษเหลือ

A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: Pure 2 (9709/2) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

A remainder, and a number substituted inเศษจากการหาร กับการแทนค่าเลขลงไป

Panel 2 is the remainder of $f(x)\div(x+1)$, no dividing needed. If $f(-1)=0$, $(x+1)$ is a factor.ช่อง 2 คือเศษของ $f(x)\div(x+1)$ ไม่ต้องหาร · ถ้า $f(-1)=0$ แปลว่า $(x+1)$ เป็นตัวประกอบ

1. Divide $17$ by $5$. What is the remainder?เอา $17$ หารด้วย $5$ · ได้เศษเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $17=5\times3+2$, so the remainder is $2$Four parts, one line: $17=5\times 3+2$   $\text{dividend}=\text{divisor}\times\text{quotient}+\text{remainder}$   $2<5$ The whole lesson is this line with letters in it.สี่ส่วน ในบรรทัดเดียว: $17=5\times 3+2$   $\text{dividend}=\text{divisor}\times\text{quotient}+\text{remainder}$   $2<5$ ทั้งบทคือบรรทัดนี้ แค่เปลี่ยนเลขเป็นตัวอักษร
2. $f(x)=x^{3}-2x^{2}+4$.  Find $f(-1)$.$f(x)=x^{3}-2x^{2}+4$  หา $f(-1)$
   Answer:เฉลย: $f(-1)=(-1)^{3}-2(-1)^{2}+4=-1-2+4=1$Odd power keeps the minus: $(-1)^{3}=-1$   $(-1)^{2}=+1$   $-2(-1)^{2}=-2$   $f(-1)=-1-2+4=1$ Substituting a negative is where marks are lost most often.กำลังคี่ เก็บเครื่องหมายลบไว้: $(-1)^{3}=-1$   $(-1)^{2}=+1$   $-2(-1)^{2}=-2$   $f(-1)=-1-2+4=1$ แทนค่าติดลบ คือจุดที่เสียคะแนนบ่อยที่สุด

2. Division you already doการหารที่ทำเป็นอยู่แล้ว

$17=5\times3+2$. Polynomials divide with the same four pieces.$17=5\times3+2$ · พหุนามก็หารด้วยโครงสี่ชิ้นเดียวกัน

One line records a whole divisionบรรทัดเดียวเก็บการหารได้ทั้งข้อ

Every division gives one line: dividend $=$ divisor $\times$ quotient $+$ remainder.การหารทุกแบบให้บรรทัดเดียว: ตัวตั้ง $=$ ตัวหาร $\times$ ผลหาร $+$ เศษ

1. $47$ divided by $6$. Which line records that division completely?$47$ หารด้วย $6$ · บรรทัดไหนบันทึกการหารนี้ได้ครบ?
   Answer:เฉลย: $47=6\times7+5$Remainder smaller than divisor: $47=6\times 7+5$   $5<6\ \checkmark$ That condition is what makes the quotient and remainder unique.เศษ ต้องน้อยกว่าตัวหาร: $47=6\times 7+5$   $5<6\ \checkmark$ เงื่อนไขนี้แหละ ที่ทำให้ผลหารกับเศษมีคำตอบเดียว
2. Already worked out for you: $x^{2}+5x+7=(x+2)(x+3)+1$.  What is the remainder when $x^{2}+5x+7$ is divided by $(x+2)$?ทำไว้ให้แล้ว: $x^{2}+5x+7=(x+2)(x+3)+1$  แล้วเศษจากการหาร $x^{2}+5x+7$ ด้วย $(x+2)$ คือเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $1$Numbers: size. Polynomials: degree: $x^{2}+5x+7=(x+2)(x+3)+1$   $\text{numbers}:\ \text{remainder}<\text{divisor}$   $\text{polynomials}:\ \deg(\text{remainder})<\deg(\text{divisor})$   $\deg(x+2)=1\ \Rightarrow\ \text{remainder is a number}$เลข ดูขนาด · พหุนาม ดูดีกรี: $x^{2}+5x+7=(x+2)(x+3)+1$   $\text{numbers}:\ \text{remainder}<\text{divisor}$   $\text{polynomials}:\ \deg(\text{remainder})<\deg(\text{divisor})$   $\deg(x+2)=1\ \Rightarrow\ \text{remainder is a number}$
3. $x^{3}-2x^{2}+3=(x-1)(x^{2}-x-1)+2$.  Which piece is the quotient?$x^{3}-2x^{2}+3=(x-1)(x^{2}-x-1)+2$  ชิ้นไหนคือผลหาร?
   Answer:เฉลย: $x^{2}-x-1$Quotient multiplies the divisor: $x^{3}-2x^{2}+3=(x-1)(x^{2}-x-1)+2$   $\text{divisor}=x-1,\quad \text{quotient}=x^{2}-x-1$   $3-1=2\ \Rightarrow\ \deg(\text{quotient})=2\ \checkmark$ Wrong degree in the quotient means you dropped a term.ผลหาร คือวงเล็บที่คูณกับตัวหาร: $x^{3}-2x^{2}+3=(x-1)(x^{2}-x-1)+2$   $\text{divisor}=x-1,\quad \text{quotient}=x^{2}-x-1$   $3-1=2\ \Rightarrow\ \deg(\text{quotient})=2\ \checkmark$ ถ้าดีกรีผลหารผิด แปลว่าตกพจน์ไปหนึ่งตัว

3. Dividing by a linear factorหารด้วยวงเล็บเชิงเส้น

Long division, one column at a time. Never lose a missing power.หารยาวทีละคอลัมน์ · ห้ามทำกำลังที่หายไปหล่น

Divide $x^{3}+2x^{2}-5x-6$ by $(x-2)$หาร $x^{3}+2x^{2}-5x-6$ ด้วย $(x-2)$

So $x^{3}+2x^{2}-5x-6=(x-2)(x^{2}+4x+3)+0$. Every subtraction takes away a negative.ได้ $x^{3}+2x^{2}-5x-6=(x-2)(x^{2}+4x+3)+0$ · ทุกบรรทัดคือลบด้วยจำนวนลบ

1. Dividing $x^{3}+2x^{2}-5x-6$ by $(x-2)$, the first term you write in the quotient is…หาร $x^{3}+2x^{2}-5x-6$ ด้วย $(x-2)$ · พจน์แรกของผลหารที่เขียนลงไปคือ…
   Answer:เฉลย: $x^{2}$Leading term over leading term: $x^{3}\div x=x^{2}$   $4x^{2}\div x=4x$   $3x\div x=3$   $3\text{ rounds}\ \Rightarrow\ \text{quotient of degree }2$พจน์นำ หารด้วย พจน์นำ: $x^{3}\div x=x^{2}$   $4x^{2}\div x=4x$   $3x\div x=3$   $3\text{ rounds}\ \Rightarrow\ \text{quotient of degree }2$
2. Divide $x^{3}-7x+6$ by $(x-1)$ and give the quotient.  Look hard at the powers before you start.หาร $x^{3}-7x+6$ ด้วย $(x-1)$ แล้วตอบผลหาร  ก่อนลงมือ ดูกำลังให้ดีๆ ก่อน
   Answer:เฉลย: $x^{2}+x-6$Write the missing power in: $x^{3}+0x^{2}-7x+6$   $=(x-1)(x^{2}+x-6)$   $\text{remainder}=0$ Skip the $0x^{2}$ column and every column after it shifts.เติมกำลังที่หายไปก่อน: $x^{3}+0x^{2}-7x+6$   $=(x-1)(x^{2}+x-6)$   $\text{remainder}=0$ ถ้าข้ามช่อง $0x^{2}$ ช่องถัดไปเลื่อนหมด

4. The remainder theoremทฤษฎีบทเศษเหลือ

The remainder on dividing by $(x-a)$ is $f(a)$. One substitution replaces a page of division.เศษจากการหารด้วย $(x-a)$ คือ $f(a)$ · แทนค่าครั้งเดียว แทนการหารเต็มหน้า

1. $f(x)=x^{3}+2x^{2}-5$ is divided by $(x+3)$.  In $R=f(a)$, what is $a$?$f(x)=x^{3}+2x^{2}-5$ ถูกหารด้วย $(x+3)$  ใน $R=f(a)$ ตัว $a$ คือเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $a=-3$$a$ makes the bracket zero: $(x+3)=\big(x-(-3)\big)\ \Rightarrow\ a=-3$   $x+3=0\ \Rightarrow\ x=-3$   $(x-2)\to a=2,\quad (x+7)\to a=-7$ Get $a$ wrong and every mark after it goes.$a$ คือค่าที่ทำให้วงเล็บเป็นศูนย์: $(x+3)=\big(x-(-3)\big)\ \Rightarrow\ a=-3$   $x+3=0\ \Rightarrow\ x=-3$   $(x-2)\to a=2,\quad (x+7)\to a=-7$ ถ้า $a$ ผิด คะแนนหลังจากนั้นหายหมด
2. Same $f(x)=x^{3}+2x^{2}-5$, same divisor $(x+3)$. Which line is the correct substitution? (Nothing worked out yet.)$f(x)=x^{3}+2x^{2}-5$ ตัวเดิม ตัวหาร $(x+3)$ ตัวเดิม · บรรทัดไหนคือการแทนค่าที่ถูกต้อง? (ยังไม่ต้องคิดเลข)
   Answer:เฉลย: $f(-3)=(-3)^{3}+2(-3)^{2}-5$The substitution line is a mark: $f(-3)=(-3)^{3}+2(-3)^{2}-5$   $\text{the power acts on all of }(-3)$   $\text{the coefficient }2\text{ stays outside}$ Write this line even when you can do the arithmetic in your head.บรรทัดแทนค่า คือคะแนนหนึ่งมาร์ก: $f(-3)=(-3)^{3}+2(-3)^{2}-5$   $\text{the power acts on all of }(-3)$   $\text{the coefficient }2\text{ stays outside}$ เขียนบรรทัดนี้เสมอ ถึงคิดในใจได้ก็ต้องเขียน
3. Finish it: $f(-3)=(-3)^{3}+2(-3)^{2}-5=\;?$  (That number is the remainder.)คิดต่อให้จบ: $f(-3)=(-3)^{3}+2(-3)^{2}-5=\;?$  (ตัวเลขนั้นคือเศษ)
   Answer:เฉลย: $f(-3)=-27+18-5=-14$One value in, three numbers out: $f(-3)=-27+18-5=-14$   $\text{long division}:\ 3\text{ rounds},\ 4\text{ columns}$   $\text{theorem}:\ 1\text{ substitution}$ A negative remainder is normal. $-14$ has degree $0$.แทนค่าเดียว คิดสามตัว จบ: $f(-3)=-27+18-5=-14$   $\text{long division}:\ 3\text{ rounds},\ 4\text{ columns}$   $\text{theorem}:\ 1\text{ substitution}$ เศษติดลบเป็นเรื่องปกติ · $-14$ ดีกรี $0$

5. The factor theoremทฤษฎีบทตัวประกอบ

$f(a)=0$ is a test you run on a bracket, not a sentence you recite.$f(a)=0$ คือการทดสอบที่เรารันกับวงเล็บ ไม่ใช่ประโยคที่เอาไว้ท่อง

1. $f(x)=x^{3}+2x^{2}-5x+2$.  Run the test for $(x-1)$: work out $f(1)$.$f(x)=x^{3}+2x^{2}-5x+2$  รันการทดสอบสำหรับ $(x-1)$: คิด $f(1)$
   Answer:เฉลย: $f(1)=1+2-5+2=0$Zero means it is a factor: $f(1)=1+2-5+2=0$   $\Rightarrow\ (x-1)\text{ is a factor}$   $f(1)=7\ \Rightarrow\ \text{remainder }7,\ \text{not a factor}$ “Show that” wants the substitution, the arithmetic, $=0$, then the sentence.ได้ศูนย์ = เป็นตัวประกอบ: $f(1)=1+2-5+2=0$   $\Rightarrow\ (x-1)\text{ is a factor}$   $f(1)=7\ \Rightarrow\ \text{remainder }7,\ \text{not a factor}$ “Show that” ต้องมี แทนค่า · คิดเลข · $=0$ · แล้วสรุปเป็นประโยค
2. $f(x)=x^{3}+x^{2}-10x+8$.  Which one of these is a factor of $f(x)$?$f(x)=x^{3}+x^{2}-10x+8$  ข้อไหนเป็นตัวประกอบของ $f(x)$?
   Answer:เฉลย: $(x+4)$, because $f(-4)=-64+16+40+8=0$A whole root divides the constant: $f(-4)=-64+16+40+8=0$   $\text{constant}=8\ \Rightarrow\ \text{try }\pm1,\pm2,\pm4,\pm8$รากจำนวนเต็ม ต้องหารพจน์คงที่ลงตัว: $f(-4)=-64+16+40+8=0$   $\text{constant}=8\ \Rightarrow\ \text{try }\pm1,\pm2,\pm4,\pm8$

6. Factorise a cubic completelyแยกตัวประกอบกำลังสามให้หมด

One root by trial, divide it out, factorise the quadratic. Three steps, every cubic.ลองหารากหนึ่งตัว หารออก แล้วแยกกำลังสอง · สามขั้น ใช้กับพหุนามกำลังสามได้ทุกตัว

Three steps to factorise a cubicสามขั้น แยกตัวประกอบพหุนามกำลังสาม

One mark per step. Here, try the factors of $6$: $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$.ขั้นละหนึ่งคะแนน · ข้อนี้ลองตัวประกอบของ $6$: $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$

Factorise $x^{3}-4x^{2}+x+6$ completelyแยกตัวประกอบ $x^{3}-4x^{2}+x+6$ ให้หมด

1. $f(x)=x^{3}-4x^{2}+x+6$A cubic will not factorise by inspection. You have to find one root first.พหุนามกำลังสามมองแล้วแยกไม่ออก ต้องหารากมาให้ได้หนึ่งตัวก่อน
2. $f(-1)=-1-4-1+6=0$Only try factors of the constant $6$: $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$. Never guess randomly.ลองเฉพาะตัวประกอบของ $6$: $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$ · อย่าเดามั่ว
3. $(x+1)\ \text{is a factor}$$f(-1)=0$, so $(x+1)$ divides with remainder $0$. This is the factor theorem.$f(-1)=0$ แปลว่า $(x+1)$ หารลงตัว · นี่คือทฤษฎีบทตัวประกอบที่เอามาใช้จริง
4. $=(x+1)(x^{2}-5x+6)$Divide it out. The quadratic left behind is the easy part.หารออกไป · ที่เหลือเป็นกำลังสอง ซึ่งง่ายแล้ว
5. $=(x+1)(x-2)(x-3)$'Completely' means keep going until nothing factorises. Roots $-1,2,3$.'ให้หมด' คือแยกจนแยกต่อไม่ได้ · ราก $-1,2,3$

1. Step 1. $f(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6$. Trials start at the cheapest candidate: work out $f(1)$.ขั้นที่ 1 $f(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6$ · เริ่มลองจากตัวที่ถูกที่สุด: คิด $f(1)$
   Answer:เฉลย: $f(1)=1-2-5+6=0$Start at the cheapest candidate: $f(1)=1-2-5+6=0\ \Rightarrow\ (x-1)\text{ is a factor}$   $\text{constant}=6\ \Rightarrow\ \pm1,\pm2,\pm3,\pm6$   $\text{order}:\ 1,\ -1,\ 2,\ \ldots$ You are choosing from a list, not guessing.เริ่มจากตัวที่ลองง่ายที่สุด: $f(1)=1-2-5+6=0\ \Rightarrow\ (x-1)\text{ is a factor}$   $\text{constant}=6\ \Rightarrow\ \pm1,\pm2,\pm3,\pm6$   $\text{order}:\ 1,\ -1,\ 2,\ \ldots$ นี่คือเลือกจากลิสต์ ไม่ใช่เดา
2. Step 2. Divide $x^{3}-2x^{2}-5x+6$ by $(x-1)$ and give the quotient.ขั้นที่ 2 หาร $x^{3}-2x^{2}-5x+6$ ด้วย $(x-1)$ แล้วตอบผลหาร
   Answer:เฉลย: $x^{2}-x-6$First and last terms come free: $x^{3}-2x^{2}-5x+6=(x-1)(x^{2}-x-6)$   $\text{first}:\ x^{2}\times x=x^{3}$   $\text{last}:\ -1\times -6=+6$   $\text{only the middle term needs work}$พจน์แรกกับพจน์สุดท้าย ได้มาฟรี: $x^{3}-2x^{2}-5x+6=(x-1)(x^{2}-x-6)$   $\text{first}:\ x^{2}\times x=x^{3}$   $\text{last}:\ -1\times -6=+6$   $\text{only the middle term needs work}$
3. Step 3. Factorise $x^{2}-x-6$ and write $f(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6$ fully factorised.ขั้นที่ 3 แยกตัวประกอบ $x^{2}-x-6$ แล้วเขียน $f(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6$ ในรูปแยกตัวประกอบให้หมด
   Answer:เฉลย: $f(x)=(x-1)(x+2)(x-3)$Three linear brackets, three roots: $f(x)=(x-1)(x+2)(x-3)$   $x=1,\ -2,\ 3$   $-1\times 2\times -3=+6\ \checkmark$ Every “factorise completely” question: try a value, divide, factorise.สามวงเล็บเชิงเส้น สามราก: $f(x)=(x-1)(x+2)(x-3)$   $x=1,\ -2,\ 3$   $-1\times 2\times -3=+6\ \checkmark$ ทุกข้อที่สั่ง “factorise completely” · ลองค่า · หาร · แยกตัวประกอบ

7. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Two conditions give two equations. Then 'hence' solves the cubic completely.สองเงื่อนไขให้สองสมการ · แล้วคำว่า hence ก็แก้สมการกำลังสามได้ครบทุกราก

“$f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+8$, where $(x-1)$ is a factor and the remainder on division by $(x-3)$ is $-10$.”“$f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+8$ โดย $(x-1)$ เป็นตัวประกอบ และเศษจากการหารด้วย $(x-3)$ คือ $-10$”

Pure 2 standard, 5 to 7 marks. After the two equations it is IGCSE simultaneous equations.ข้อมาตรฐาน Pure 2 · 5 ถึง 7 คะแนน · ได้สองสมการแล้ว ที่เหลือคือสมการสองตัวแปรแบบ IGCSE

The two facts become ① and ②สองเงื่อนไขกลายเป็น ① และ ②

$f(1)$ and $f(3)$ are two clues about $a$ and $b$. Number them, then eliminate.$f(1)$ กับ $f(3)$ คือเบาะแสสองข้อของ $a$ กับ $b$ · ติดเลขให้สองบรรทัด แล้วกำจัดตัวแปร

1. $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+8$. $(x-1)$ is a factor, and dividing by $(x-3)$ leaves remainder $-10$. Which pair of equations does that give?$f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+8$ · $(x-1)$ เป็นตัวประกอบ และหารด้วย $(x-3)$ เหลือเศษ $-10$ · ได้สมการคู่ไหน?
   Answer:เฉลย: $f(1)=0$ and $f(3)=-10$, which tidy up to $a+b=-9$ and $3a+b=-15$Factor gives zero, remainder gives $R$: $f(1)=1+a+b+8=0\ \Rightarrow\ a+b=-9$   $f(3)=27+9a+3b+8=-10\ \Rightarrow\ 9a+3b=-45$   $\div 3:\ 3a+b=-15$ตัวประกอบ = ศูนย์ · เศษ = $R$: $f(1)=1+a+b+8=0\ \Rightarrow\ a+b=-9$   $f(3)=27+9a+3b+8=-10\ \Rightarrow\ 9a+3b=-45$   $\div 3:\ 3a+b=-15$
2. Exam: solve the pair $a+b=-9$ and $3a+b=-15$.  Give the value of $a$.  (4 marks for the full pair)ข้อสอบ: แก้ระบบ $a+b=-9$ กับ $3a+b=-15$  ตอบค่าของ $a$  (4 คะแนนสำหรับทั้งคู่)
   Answer:เฉลย: $a=-3$  (and then $b=-6$)Subtract to remove $b$: $(3a+b)-(a+b)=-15-(-9)$   $2a=-6\ \Rightarrow\ a=-3$   $a+b=-9\ \Rightarrow\ b=-6$   $\text{check}:\ f(1)=1-3-6+8=0\ \checkmark$   $f(3)=27-27-18+8=-10\ \checkmark$ Two marks for writing the equations, two for solving them.ลบสมการ เพื่อกำจัด $b$: $(3a+b)-(a+b)=-15-(-9)$   $2a=-6\ \Rightarrow\ a=-3$   $a+b=-9\ \Rightarrow\ b=-6$   $\text{check}:\ f(1)=1-3-6+8=0\ \checkmark$   $f(3)=27-27-18+8=-10\ \checkmark$ สองคะแนนที่เขียนสมการ อีกสองที่แก้สมการ
3. So $f(x)=x^{3}-3x^{2}-6x+8$. Which line is $f(x)$ fully factorised?ดังนั้น $f(x)=x^{3}-3x^{2}-6x+8$ · บรรทัดไหนคือ $f(x)$ ที่แยกตัวประกอบครบแล้ว?
   Answer:เฉลย: $f(x)=(x-1)(x+2)(x-4)$The root is given: $(x^{3}-3x^{2}-6x+8)\div(x-1)=x^{2}-2x-8$   $x^{2}-2x-8=(x+2)(x-4)$   $f(x)=(x-1)(x+2)(x-4)$   $-1\times 2\times -4=+8\ \checkmark$โจทย์ให้รากมาแล้ว: $(x^{3}-3x^{2}-6x+8)\div(x-1)=x^{2}-2x-8$   $x^{2}-2x-8=(x+2)(x-4)$   $f(x)=(x-1)(x+2)(x-4)$   $-1\times 2\times -4=+8\ \checkmark$
4. Hence solve $x^{3}-3x^{2}-6x+8=0$.  Give all three roots, separated by commas.  (3 marks)Hence — แก้สมการ $x^{3}-3x^{2}-6x+8=0$  ตอบรากทั้งสามตัว คั่นด้วยจุลภาค  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $x=1$, $x=-2$, $x=4$“Hence” means reuse your factorisation: $(x-1)(x+2)(x-4)=0$   $x-1=0\ \Rightarrow\ x=1$   $x+2=0\ \Rightarrow\ x=-2$   $x-4=0\ \Rightarrow\ x=4$ Same habit all lesson: set the bracket to zero and solve.“Hence” = ใช้ของเดิม ห้ามเริ่มใหม่: $(x-1)(x+2)(x-4)=0$   $x-1=0\ \Rightarrow\ x=1$   $x+2=0\ \Rightarrow\ x=-2$   $x-4=0\ \Rightarrow\ x=4$ นิสัยเดิมทั้งบท — จับวงเล็บเท่ากับศูนย์ แล้วแก้
5. Exam: $f(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx-6$, where $a$ and $b$ are constants. $(2x-1)$ is a factor of $f(x)$, and when $f(x)$ is divided by $(x+2)$ the remainder is $-20$. Find the value of $a$ and the value of $b$.  (6 marks)ข้อสอบ: $f(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx-6$ โดย $a$ กับ $b$ เป็นค่าคงที่ · $(2x-1)$ เป็น factor ของ $f(x)$ · และเมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x+2)$ เหลือ remainder $-20$ · หาค่า $a$ และ $b$  (6 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $a+2b=23$ and $2a-b=1$, so $a=5$ and $b=9$6 marks: $\text{M1}\quad (2x-1)\text{ a factor}\ \Rightarrow\ f\!\left(\tfrac12\right)=0$   $\text{M2}\quad \tfrac14+\tfrac{a}{4}+\tfrac{b}{2}-6=0\ \Rightarrow\ a+2b=23$   $\text{M3}\quad \text{remainder }-20\ \Rightarrow\ f(-2)=-20$   $\text{M4}\quad -16+4a-2b-6=-20\ \Rightarrow\ 2a-b=1$   $\text{M5}\quad b=2a-1\ \Rightarrow\ 5a=25$   $\text{A1}\quad a=5,\ b=9$ The marks turn on $x=\tfrac12$, not $x=2$.6 คะแนน: $\text{M1}\quad (2x-1)\text{ a factor}\ \Rightarrow\ f\!\left(\tfrac12\right)=0$   $\text{M2}\quad \tfrac14+\tfrac{a}{4}+\tfrac{b}{2}-6=0\ \Rightarrow\ a+2b=23$   $\text{M3}\quad \text{remainder }-20\ \Rightarrow\ f(-2)=-20$   $\text{M4}\quad -16+4a-2b-6=-20\ \Rightarrow\ 2a-b=1$   $\text{M5}\quad b=2a-1\ \Rightarrow\ 5a=25$   $\text{A1}\quad a=5,\ b=9$ คะแนนอยู่ที่ $x=\tfrac12$ ไม่ใช่ $x=2$
6. $f(x)=x^{3}-4x^{2}+px+10$. When $f(x)$ is divided by $(x+2)$ the remainder is $12$. Find the value of $p$.$f(x)=x^{3}-4x^{2}+px+10$ · เมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x+2)$ เหลือ remainder $12$ · หาค่า $p$
   Answer:เฉลย: $f(-2)=-8-16-2p+10=12 \Rightarrow p=-13$The sentence decides the right side: $\text{“is a factor”}\ \Rightarrow\ f(a)=0$   $\text{“remainder is }R\text{”}\ \Rightarrow\ f(a)=R$   $x+2=0\ \Rightarrow\ a=-2$   $f(-2)=-8-16-2p+10=12$   $-14-2p=12\ \Rightarrow\ p=-13$ประโยคโจทย์ ตัดสินฝั่งขวา: $\text{“is a factor”}\ \Rightarrow\ f(a)=0$   $\text{“remainder is }R\text{”}\ \Rightarrow\ f(a)=R$   $x+2=0\ \Rightarrow\ a=-2$   $f(-2)=-8-16-2p+10=12$   $-14-2p=12\ \Rightarrow\ p=-13$

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. Find the remainder when $x^{3}+2x^{2}-3x+4$ is divided by $(x-2)$.
   Answer:เฉลย: $f(2)=8+8-6+4=14$Same as the worked example, only the numbers changed. Make the bracket zero, then substitute for the remainder.เหมือนตัวอย่างที่ทำไปแล้ว เปลี่ยนแค่ตัวเลข · ทำให้วงเล็บเป็นศูนย์ แล้วแทนค่าหาเศษ
2. Find the remainder when $2x^{3}-5x^{2}+4$ is divided by $(2x-1)$.
   Answer:เฉลย: $2x-1=0$ at $x=\tfrac12$:  $f\!\left(\tfrac12\right)=\tfrac14-\tfrac54+4=3$The divisor's leading coefficient isn't $1$, so the test value is a fraction. Same method, more care.สัมประสิทธิ์นำของตัวหารไม่ใช่ $1$ ค่าทดสอบจึงเป็นเศษส่วน · วิธีเดิม แค่ต้องละเอียดขึ้น
3. $g(t)=t^{3}-6t^{2}+11t-6$. Show that $(t-2)$ is a factor of $g(t)$.
   Answer:เฉลย: $g(2)=8-24+22-6=0$, so by the factor theorem $(t-2)$ is a factor.New letter, and 'show that' instead of 'find'. Write a closing sentence, not only the zero.เปลี่ยนตัวอักษร และเปลี่ยนจาก find เป็น show that · ต้องเขียนประโยคสรุปด้วย ไม่ใช่แค่โชว์ศูนย์
4. Factorise $x^{3}+4x^{2}+x-6$ completely.
   Answer:เฉลย: $f(1)=0$, so $(x-1)$ is a factor:  $x^{3}+4x^{2}+x-6=(x-1)(x^{2}+5x+6)=(x-1)(x+2)(x+3)$Trial, divide, factorise, with no scaffolding this time. Try factors of $6$ first; $x=1$ works.ลอง หาร แยก แบบไม่มีนั่งร้านช่วยแล้ว · ลองตัวประกอบของ $6$ ก่อน $x=1$ ผ่านเลย
5. $f(x)=2x^{3}+x^{2}-13x+6$.  (4 marks) (a)(ก) Show that $(x-2)$ is a factor of $f(x)$. (2 marks) (b)(ข) Hence factorise $f(x)$ completely.
   Answer:เฉลย: (a) $f(2)=16+4-26+6=0$  (b) $f(x)=(x-2)(2x^{2}+5x-3)=(x-2)(2x-1)(x+3)$Leading coefficient $2$, so the quadratic factorises to $(2x-1)(x+3)$. 'Hence' means part (a) already gave the first factor.สัมประสิทธิ์นำเป็น $2$ กำลังสองจึงแยกเป็น $(2x-1)(x+3)$ · hence แปลว่าข้อ (a) ให้ตัวประกอบแรกมาแล้ว
6. A student is asked for the remainder when $x^{3}-4x^{2}+1$ is divided by $(x+2)$ and writes $f(2)=8-16+1=-7$. Find the error and give the correct remainder.
   Answer:เฉลย: The divisor $(x+2)$ is zero at $x=-2$, not $x=2$. Correct: $f(-2)=-8-16+1=-23$.The same sign flip, presented as someone else's mistake to mark. It is the slip this topic guards against.เครื่องหมายผิดตัวเดิม แต่ยกมาให้ตรวจงานคนอื่น · เป็นจุดพลาดเดียวกับที่บทนี้สร้างมาป้องกัน
7. $f(x)=x^{3}+ax^{2}-4x+b$. When $f(x)$ is divided by $(x-1)$ the remainder is $-6$, and $(x+2)$ is a factor of $f(x)$.  (3 marks) (a)(ก) Find the value of $a$ and the value of $b$. (5 marks) (b)(ข) Hence solve $f(x)=0$.
   Answer:เฉลย: (a) $f(1)=a+b-3=-6$ and $f(-2)=4a+b=0$, giving $a=1$, $b=-4$.  (b) $f(x)=x^{3}+x^{2}-4x-4=(x+2)(x+1)(x-2)$, so $x=-2,\,-1,\,2$.Every piece of the lesson in one question. Order matters: part (a) must be right before part (b) scores.ทุกชิ้นของบทเรียนรวมในข้อเดียว · ลำดับสำคัญ: ข้อ (a) ต้องถูกก่อน ข้อ (b) ถึงจะได้คะแนน

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี