Polynomials, factor & remainder theoremการหารพหุนาม · ทฤษฎีบทตัวประกอบและเศษเหลือ

A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: Pure 2 (9709/2) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

A remainder, and a number substituted inเศษจากการหาร กับการแทนค่าเลขลงไป

And if $f(-1)=0$, then $(x+1)$ is a factor. That is the chapter.และถ้า $f(-1)=0$ แปลว่า $(x+1)$ เป็นตัวประกอบ นั่นคือทั้งบท

1. Divide $17$ by $5$. What is the remainder?เอา $17$ หารด้วย $5$ · ได้เศษเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $17=5\times3+2$, so the remainder is $2$Four parts, one line: $17=5\times 3+2$   $\text{dividend}=\text{divisor}\times\text{quotient}+\text{remainder}$   $2<5$ The whole lesson is this line with letters in it.สี่ส่วน ในบรรทัดเดียว: $17=5\times 3+2$   $\text{dividend}=\text{divisor}\times\text{quotient}+\text{remainder}$   $2<5$ ทั้งบทคือบรรทัดนี้ แค่เปลี่ยนเลขเป็นตัวอักษร
2. $f(x)=x^{3}-2x^{2}+4$.  Find $f(-1)$.$f(x)=x^{3}-2x^{2}+4$  หา $f(-1)$
   Answer:เฉลย: $f(-1)=(-1)^{3}-2(-1)^{2}+4=-1-2+4=1$Odd power keeps the minus: $(-1)^{3}=-1$   $(-1)^{2}=+1$   $-2(-1)^{2}=-2$   $f(-1)=-1-2+4=1$ Substituting a negative is where marks are lost most often.กำลังคี่ เก็บเครื่องหมายลบไว้: $(-1)^{3}=-1$   $(-1)^{2}=+1$   $-2(-1)^{2}=-2$   $f(-1)=-1-2+4=1$ แทนค่าติดลบ คือจุดที่เสียคะแนนบ่อยที่สุด

2. Division you already doการหารที่ทำเป็นอยู่แล้ว

$17=5\times3+2$ — polynomials divide with exactly the same four pieces.$17=5\times3+2$ — พหุนามก็หารด้วยโครงสี่ชิ้นเดียวกันเป๊ะ

One line records a whole divisionบรรทัดเดียวเก็บการหารได้ทั้งข้อ

1. $47$ divided by $6$. Which line records that division completely?$47$ หารด้วย $6$ · บรรทัดไหนบันทึกการหารนี้ได้ครบ?
   Answer:เฉลย: $47=6\times7+5$Remainder smaller than divisor: $47=6\times 7+5$   $5<6\ \checkmark$ That condition is what makes the quotient and remainder unique.เศษ ต้องน้อยกว่าตัวหาร: $47=6\times 7+5$   $5<6\ \checkmark$ เงื่อนไขนี้แหละ ที่ทำให้ผลหารกับเศษมีคำตอบเดียว
2. Already worked out for you: $x^{2}+5x+7=(x+2)(x+3)+1$.  What is the remainder when $x^{2}+5x+7$ is divided by $(x+2)$?ทำไว้ให้แล้ว: $x^{2}+5x+7=(x+2)(x+3)+1$  แล้วเศษจากการหาร $x^{2}+5x+7$ ด้วย $(x+2)$ คือเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $1$Numbers: size. Polynomials: degree: $x^{2}+5x+7=(x+2)(x+3)+1$   $\text{numbers}:\ \text{remainder}<\text{divisor}$   $\text{polynomials}:\ \deg(\text{remainder})<\deg(\text{divisor})$   $\deg(x+2)=1\ \Rightarrow\ \text{remainder is a number}$เลข ดูขนาด · พหุนาม ดูดีกรี: $x^{2}+5x+7=(x+2)(x+3)+1$   $\text{numbers}:\ \text{remainder}<\text{divisor}$   $\text{polynomials}:\ \deg(\text{remainder})<\deg(\text{divisor})$   $\deg(x+2)=1\ \Rightarrow\ \text{remainder is a number}$
3. $x^{3}-2x^{2}+3=(x-1)(x^{2}-x-1)+2$.  Which piece is the quotient?$x^{3}-2x^{2}+3=(x-1)(x^{2}-x-1)+2$  ชิ้นไหนคือผลหาร?
   Answer:เฉลย: $x^{2}-x-1$Quotient multiplies the divisor: $x^{3}-2x^{2}+3=(x-1)(x^{2}-x-1)+2$   $\text{divisor}=x-1,\quad \text{quotient}=x^{2}-x-1$   $3-1=2\ \Rightarrow\ \deg(\text{quotient})=2\ \checkmark$ Wrong degree in the quotient means you dropped a term.ผลหาร คือวงเล็บที่คูณกับตัวหาร: $x^{3}-2x^{2}+3=(x-1)(x^{2}-x-1)+2$   $\text{divisor}=x-1,\quad \text{quotient}=x^{2}-x-1$   $3-1=2\ \Rightarrow\ \deg(\text{quotient})=2\ \checkmark$ ถ้าดีกรีผลหารผิด แปลว่าตกพจน์ไปหนึ่งตัว

3. Dividing by a linear factorหารด้วยวงเล็บเชิงเส้น

Long division, one column at a time — and never lose a missing power.หารยาวทีละคอลัมน์ — และห้ามทำกำลังที่หายไปหล่น

Divide $x^{3}+2x^{2}-5x-6$ by $(x-2)$หาร $x^{3}+2x^{2}-5x-6$ ด้วย $(x-2)$

1. Dividing $x^{3}+2x^{2}-5x-6$ by $(x-2)$, the first term you write in the quotient is…หาร $x^{3}+2x^{2}-5x-6$ ด้วย $(x-2)$ · พจน์แรกของผลหารที่เขียนลงไปคือ…
   Answer:เฉลย: $x^{2}$Leading term over leading term: $x^{3}\div x=x^{2}$   $4x^{2}\div x=4x$   $3x\div x=3$   $3\text{ rounds}\ \Rightarrow\ \text{quotient of degree }2$พจน์นำ หารด้วย พจน์นำ: $x^{3}\div x=x^{2}$   $4x^{2}\div x=4x$   $3x\div x=3$   $3\text{ rounds}\ \Rightarrow\ \text{quotient of degree }2$
2. Divide $x^{3}-7x+6$ by $(x-1)$ and give the quotient.  Look hard at the powers before you start.หาร $x^{3}-7x+6$ ด้วย $(x-1)$ แล้วตอบผลหาร  ก่อนลงมือ ดูกำลังให้ดีๆ ก่อน
   Answer:เฉลย: $x^{2}+x-6$Write the missing power in: $x^{3}+0x^{2}-7x+6$   $=(x-1)(x^{2}+x-6)$   $\text{remainder}=0$ Skip the $0x^{2}$ column and every column after it shifts.เติมกำลังที่หายไปก่อน: $x^{3}+0x^{2}-7x+6$   $=(x-1)(x^{2}+x-6)$   $\text{remainder}=0$ ถ้าข้ามช่อง $0x^{2}$ ช่องถัดไปเลื่อนหมด

4. The remainder theoremทฤษฎีบทเศษเหลือ

The remainder on dividing by $(x-a)$ is just $f(a)$ — one substitution replaces a page of division.เศษจากการหารด้วย $(x-a)$ คือ $f(a)$ เฉยๆ — แทนค่าครั้งเดียว แทนการหารเต็มหน้า

1. $f(x)=x^{3}+2x^{2}-5$ is divided by $(x+3)$.  In $R=f(a)$, what is $a$?$f(x)=x^{3}+2x^{2}-5$ ถูกหารด้วย $(x+3)$  ใน $R=f(a)$ ตัว $a$ คือเท่าไร?
   Answer:เฉลย: $a=-3$$a$ makes the bracket zero: $(x+3)=\big(x-(-3)\big)\ \Rightarrow\ a=-3$   $x+3=0\ \Rightarrow\ x=-3$   $(x-2)\to a=2,\quad (x+7)\to a=-7$ Get $a$ wrong and every mark after it goes.$a$ คือค่าที่ทำให้วงเล็บเป็นศูนย์: $(x+3)=\big(x-(-3)\big)\ \Rightarrow\ a=-3$   $x+3=0\ \Rightarrow\ x=-3$   $(x-2)\to a=2,\quad (x+7)\to a=-7$ ถ้า $a$ ผิด คะแนนหลังจากนั้นหายหมด
2. Same $f(x)=x^{3}+2x^{2}-5$, same divisor $(x+3)$. Which line is the correct substitution? (Nothing worked out yet.)$f(x)=x^{3}+2x^{2}-5$ ตัวเดิม ตัวหาร $(x+3)$ ตัวเดิม · บรรทัดไหนคือการแทนค่าที่ถูกต้อง? (ยังไม่ต้องคิดเลข)
   Answer:เฉลย: $f(-3)=(-3)^{3}+2(-3)^{2}-5$The substitution line is a mark: $f(-3)=(-3)^{3}+2(-3)^{2}-5$   $\text{the power acts on all of }(-3)$   $\text{the coefficient }2\text{ stays outside}$ Write this line even when you can do the arithmetic in your head.บรรทัดแทนค่า คือคะแนนหนึ่งมาร์ก: $f(-3)=(-3)^{3}+2(-3)^{2}-5$   $\text{the power acts on all of }(-3)$   $\text{the coefficient }2\text{ stays outside}$ เขียนบรรทัดนี้เสมอ ถึงคิดในใจได้ก็ต้องเขียน
3. Finish it: $f(-3)=(-3)^{3}+2(-3)^{2}-5=\;?$  (That number is the remainder.)คิดต่อให้จบ: $f(-3)=(-3)^{3}+2(-3)^{2}-5=\;?$  (ตัวเลขนั้นคือเศษ)
   Answer:เฉลย: $f(-3)=-27+18-5=-14$One value in, three numbers out: $f(-3)=-27+18-5=-14$   $\text{long division}:\ 3\text{ rounds},\ 4\text{ columns}$   $\text{theorem}:\ 1\text{ substitution}$ A negative remainder is normal — $-14$ has degree $0$.แทนค่าเดียว คิดสามตัว จบ: $f(-3)=-27+18-5=-14$   $\text{long division}:\ 3\text{ rounds},\ 4\text{ columns}$   $\text{theorem}:\ 1\text{ substitution}$ เศษติดลบเป็นเรื่องปกติ — $-14$ ดีกรี $0$

5. The factor theoremทฤษฎีบทตัวประกอบ

$f(a)=0$ is a test you run on a bracket, not a sentence you recite.$f(a)=0$ คือการทดสอบที่เรารันกับวงเล็บ ไม่ใช่ประโยคที่เอาไว้ท่อง

1. $f(x)=x^{3}+2x^{2}-5x+2$.  Run the test for $(x-1)$: work out $f(1)$.$f(x)=x^{3}+2x^{2}-5x+2$  รันการทดสอบสำหรับ $(x-1)$: คิด $f(1)$
   Answer:เฉลย: $f(1)=1+2-5+2=0$Zero means it is a factor: $f(1)=1+2-5+2=0$   $\Rightarrow\ (x-1)\text{ is a factor}$   $f(1)=7\ \Rightarrow\ \text{remainder }7,\ \text{not a factor}$ “Show that” wants the substitution, the arithmetic, $=0$, then the sentence.ได้ศูนย์ = เป็นตัวประกอบ: $f(1)=1+2-5+2=0$   $\Rightarrow\ (x-1)\text{ is a factor}$   $f(1)=7\ \Rightarrow\ \text{remainder }7,\ \text{not a factor}$ “Show that” ต้องมี แทนค่า · คิดเลข · $=0$ · แล้วสรุปเป็นประโยค
2. $f(x)=x^{3}+x^{2}-10x+8$.  Which one of these is a factor of $f(x)$?$f(x)=x^{3}+x^{2}-10x+8$  ข้อไหนเป็นตัวประกอบของ $f(x)$?
   Answer:เฉลย: $(x+4)$, because $f(-4)=-64+16+40+8=0$A whole root divides the constant: $f(-4)=-64+16+40+8=0$   $\text{constant}=8\ \Rightarrow\ \text{try }\pm1,\pm2,\pm4,\pm8$รากจำนวนเต็ม ต้องหารพจน์คงที่ลงตัว: $f(-4)=-64+16+40+8=0$   $\text{constant}=8\ \Rightarrow\ \text{try }\pm1,\pm2,\pm4,\pm8$

6. Factorise a cubic completelyแยกตัวประกอบกำลังสามให้หมด

One root by trial, divide it out, factorise the quadratic. Three steps, every cubic.ลองหารากหนึ่งตัว หารออก แล้วแยกกำลังสอง · สามขั้น ใช้กับพหุนามกำลังสามได้ทุกตัว

Three steps to factorise a cubicสามขั้น แยกตัวประกอบพหุนามกำลังสาม

For $f(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6$ the whole-number candidates are the factors of $6$: $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$.สำหรับ $f(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6$ ตัวที่ควรลองคือตัวประกอบของ $6$: $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$

Factorise $x^{3}-4x^{2}+x+6$ completelyแยกตัวประกอบ $x^{3}-4x^{2}+x+6$ ให้หมด

1. $f(x)=x^{3}-4x^{2}+x+6$A cubic will not factorise by inspection. You have to find one root first.พหุนามกำลังสามมองแล้วแยกไม่ออก ต้องหารากมาให้ได้หนึ่งตัวก่อน
2. $f(-1)=-1-4-1+6=0$Only try factors of the constant $6$: $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$. Never guess randomly.ลองเฉพาะตัวประกอบของ $6$: $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$ · อย่าเดามั่ว
3. $(x+1)\ \text{is a factor}$$f(-1)=0$, so $(x+1)$ divides exactly. That is the factor theorem, used.$f(-1)=0$ แปลว่า $(x+1)$ หารลงตัว · นี่คือทฤษฎีบทตัวประกอบที่เอามาใช้จริง
4. $=(x+1)(x^{2}-5x+6)$Divide it out. The quadratic left behind is the easy part.หารออกไป · ที่เหลือเป็นกำลังสอง ซึ่งง่ายแล้ว
5. $=(x+1)(x-2)(x-3)$'Completely' means keep going until nothing factorises. Roots $-1,2,3$.'ให้หมด' คือแยกจนแยกต่อไม่ได้ · ราก $-1,2,3$

1. Step 1. $f(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6$. Trials start at the cheapest candidate: work out $f(1)$.ขั้นที่ 1 $f(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6$ · เริ่มลองจากตัวที่ถูกที่สุด: คิด $f(1)$
   Answer:เฉลย: $f(1)=1-2-5+6=0$Start at the cheapest candidate: $f(1)=1-2-5+6=0\ \Rightarrow\ (x-1)\text{ is a factor}$   $\text{constant}=6\ \Rightarrow\ \pm1,\pm2,\pm3,\pm6$   $\text{order}:\ 1,\ -1,\ 2,\ \ldots$ You are choosing from a list, not guessing.เริ่มจากตัวที่ลองง่ายที่สุด: $f(1)=1-2-5+6=0\ \Rightarrow\ (x-1)\text{ is a factor}$   $\text{constant}=6\ \Rightarrow\ \pm1,\pm2,\pm3,\pm6$   $\text{order}:\ 1,\ -1,\ 2,\ \ldots$ นี่คือเลือกจากลิสต์ ไม่ใช่เดา
2. Step 2. Divide $x^{3}-2x^{2}-5x+6$ by $(x-1)$ and give the quotient.ขั้นที่ 2 หาร $x^{3}-2x^{2}-5x+6$ ด้วย $(x-1)$ แล้วตอบผลหาร
   Answer:เฉลย: $x^{2}-x-6$First and last terms come free: $x^{3}-2x^{2}-5x+6=(x-1)(x^{2}-x-6)$   $\text{first}:\ x^{2}\times x=x^{3}$   $\text{last}:\ -1\times -6=+6$   $\text{only the middle term needs work}$พจน์แรกกับพจน์สุดท้าย ได้มาฟรี: $x^{3}-2x^{2}-5x+6=(x-1)(x^{2}-x-6)$   $\text{first}:\ x^{2}\times x=x^{3}$   $\text{last}:\ -1\times -6=+6$   $\text{only the middle term needs work}$
3. Step 3. Factorise $x^{2}-x-6$ and write $f(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6$ fully factorised.ขั้นที่ 3 แยกตัวประกอบ $x^{2}-x-6$ แล้วเขียน $f(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6$ ในรูปแยกตัวประกอบให้หมด
   Answer:เฉลย: $f(x)=(x-1)(x+2)(x-3)$Three linear brackets, three roots: $f(x)=(x-1)(x+2)(x-3)$   $x=1,\ -2,\ 3$   $-1\times 2\times -3=+6\ \checkmark$ Try a value, divide, factorise — every “factorise completely” question.สามวงเล็บเชิงเส้น สามราก: $f(x)=(x-1)(x+2)(x-3)$   $x=1,\ -2,\ 3$   $-1\times 2\times -3=+6\ \checkmark$ ลองค่า · หาร · แยกตัวประกอบ — ทุกข้อที่สั่ง “factorise completely”

7. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Two conditions give two equations — then 'hence' solves the cubic completely.สองเงื่อนไขให้สองสมการ — แล้วคำว่า hence ก็แก้สมการกำลังสามได้ครบทุกราก

“$f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+8$, where $(x-1)$ is a factor and the remainder on division by $(x-3)$ is $-10$.”“$f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+8$ โดย $(x-1)$ เป็นตัวประกอบ และเศษจากการหารด้วย $(x-3)$ คือ $-10$”

The two facts become ① and ②สองเงื่อนไขกลายเป็น ① และ ②

$f(1)$ and $f(3)$ are two clues about $a$ and $b$, nothing more.$f(1)$ กับ $f(3)$ คือเบาะแสสองอันเกี่ยวกับ $a$ และ $b$ เท่านั้นเอง

1. $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+8$. $(x-1)$ is a factor, and dividing by $(x-3)$ leaves remainder $-10$. Which pair of equations does that give?$f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+8$ · $(x-1)$ เป็นตัวประกอบ และหารด้วย $(x-3)$ เหลือเศษ $-10$ · ได้สมการคู่ไหน?
   Answer:เฉลย: $f(1)=0$ and $f(3)=-10$, which tidy up to $a+b=-9$ and $3a+b=-15$Factor gives zero, remainder gives $R$: $f(1)=1+a+b+8=0\ \Rightarrow\ a+b=-9$   $f(3)=27+9a+3b+8=-10\ \Rightarrow\ 9a+3b=-45$   $\div 3:\ 3a+b=-15$ตัวประกอบ = ศูนย์ · เศษ = $R$: $f(1)=1+a+b+8=0\ \Rightarrow\ a+b=-9$   $f(3)=27+9a+3b+8=-10\ \Rightarrow\ 9a+3b=-45$   $\div 3:\ 3a+b=-15$
2. Exam: solve the pair $a+b=-9$ and $3a+b=-15$.  Give the value of $a$.  (4 marks for the full pair)ข้อสอบ: แก้ระบบ $a+b=-9$ กับ $3a+b=-15$  ตอบค่าของ $a$  (4 คะแนนสำหรับทั้งคู่)
   Answer:เฉลย: $a=-3$  (and then $b=-6$)Subtract to remove $b$: $(3a+b)-(a+b)=-15-(-9)$   $2a=-6\ \Rightarrow\ a=-3$   $a+b=-9\ \Rightarrow\ b=-6$   $\text{check}:\ f(1)=1-3-6+8=0\ \checkmark$   $f(3)=27-27-18+8=-10\ \checkmark$ Two marks for writing the equations, two for solving them.ลบสมการ เพื่อกำจัด $b$: $(3a+b)-(a+b)=-15-(-9)$   $2a=-6\ \Rightarrow\ a=-3$   $a+b=-9\ \Rightarrow\ b=-6$   $\text{check}:\ f(1)=1-3-6+8=0\ \checkmark$   $f(3)=27-27-18+8=-10\ \checkmark$ สองคะแนนที่เขียนสมการ อีกสองที่แก้สมการ
3. So $f(x)=x^{3}-3x^{2}-6x+8$. Which line is $f(x)$ fully factorised?ดังนั้น $f(x)=x^{3}-3x^{2}-6x+8$ · บรรทัดไหนคือ $f(x)$ ที่แยกตัวประกอบครบแล้ว?
   Answer:เฉลย: $f(x)=(x-1)(x+2)(x-4)$The root is given: $(x^{3}-3x^{2}-6x+8)\div(x-1)=x^{2}-2x-8$   $x^{2}-2x-8=(x+2)(x-4)$   $f(x)=(x-1)(x+2)(x-4)$   $-1\times 2\times -4=+8\ \checkmark$โจทย์ให้รากมาแล้ว: $(x^{3}-3x^{2}-6x+8)\div(x-1)=x^{2}-2x-8$   $x^{2}-2x-8=(x+2)(x-4)$   $f(x)=(x-1)(x+2)(x-4)$   $-1\times 2\times -4=+8\ \checkmark$
4. Hence solve $x^{3}-3x^{2}-6x+8=0$.  Give all three roots, separated by commas.  (3 marks)Hence — แก้สมการ $x^{3}-3x^{2}-6x+8=0$  ตอบรากทั้งสามตัว คั่นด้วยจุลภาค  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $x=1$, $x=-2$, $x=4$“Hence” means reuse your factorisation: $(x-1)(x+2)(x-4)=0$   $x-1=0\ \Rightarrow\ x=1$   $x+2=0\ \Rightarrow\ x=-2$   $x-4=0\ \Rightarrow\ x=4$ Same habit all lesson: set the bracket to zero and solve.“Hence” = ใช้ของเดิม ห้ามเริ่มใหม่: $(x-1)(x+2)(x-4)=0$   $x-1=0\ \Rightarrow\ x=1$   $x+2=0\ \Rightarrow\ x=-2$   $x-4=0\ \Rightarrow\ x=4$ นิสัยเดิมทั้งบท — จับวงเล็บเท่ากับศูนย์ แล้วแก้
5. Exam: $f(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx-6$, where $a$ and $b$ are constants. $(2x-1)$ is a factor of $f(x)$, and when $f(x)$ is divided by $(x+2)$ the remainder is $-20$. Find the value of $a$ and the value of $b$.  (6 marks)ข้อสอบ: $f(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx-6$ โดย $a$ กับ $b$ เป็นค่าคงที่ · $(2x-1)$ เป็น factor ของ $f(x)$ · และเมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x+2)$ เหลือ remainder $-20$ · หาค่า $a$ และ $b$  (6 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $a+2b=23$ and $2a-b=1$, so $a=5$ and $b=9$6 marks: $\text{M1}\quad (2x-1)\text{ a factor}\ \Rightarrow\ f\!\left(\tfrac12\right)=0$   $\text{M2}\quad \tfrac14+\tfrac{a}{4}+\tfrac{b}{2}-6=0\ \Rightarrow\ a+2b=23$   $\text{M3}\quad \text{remainder }-20\ \Rightarrow\ f(-2)=-20$   $\text{M4}\quad -16+4a-2b-6=-20\ \Rightarrow\ 2a-b=1$   $\text{M5}\quad b=2a-1\ \Rightarrow\ 5a=25$   $\text{A1}\quad a=5,\ b=9$ The marks turn on $x=\tfrac12$, not $x=2$.6 คะแนน: $\text{M1}\quad (2x-1)\text{ a factor}\ \Rightarrow\ f\!\left(\tfrac12\right)=0$   $\text{M2}\quad \tfrac14+\tfrac{a}{4}+\tfrac{b}{2}-6=0\ \Rightarrow\ a+2b=23$   $\text{M3}\quad \text{remainder }-20\ \Rightarrow\ f(-2)=-20$   $\text{M4}\quad -16+4a-2b-6=-20\ \Rightarrow\ 2a-b=1$   $\text{M5}\quad b=2a-1\ \Rightarrow\ 5a=25$   $\text{A1}\quad a=5,\ b=9$ คะแนนอยู่ที่ $x=\tfrac12$ ไม่ใช่ $x=2$
6. $f(x)=x^{3}-4x^{2}+px+10$. When $f(x)$ is divided by $(x+2)$ the remainder is $12$. Find the value of $p$.$f(x)=x^{3}-4x^{2}+px+10$ · เมื่อหาร $f(x)$ ด้วย $(x+2)$ เหลือ remainder $12$ · หาค่า $p$
   Answer:เฉลย: $f(-2)=-8-16-2p+10=12 \Rightarrow p=-13$The sentence decides the right side: $\text{“is a factor”}\ \Rightarrow\ f(a)=0$   $\text{“remainder is }R\text{”}\ \Rightarrow\ f(a)=R$   $x+2=0\ \Rightarrow\ a=-2$   $f(-2)=-8-16-2p+10=12$   $-14-2p=12\ \Rightarrow\ p=-13$ประโยคโจทย์ ตัดสินฝั่งขวา: $\text{“is a factor”}\ \Rightarrow\ f(a)=0$   $\text{“remainder is }R\text{”}\ \Rightarrow\ f(a)=R$   $x+2=0\ \Rightarrow\ a=-2$   $f(-2)=-8-16-2p+10=12$   $-14-2p=12\ \Rightarrow\ p=-13$

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. Find the remainder when $x^{3}+2x^{2}-3x+4$ is divided by $(x-2)$.The worked example with different numbers.
   Make the bracket equal to zero to get $a=2$, then put that value in to find the remainder.
   If Level 3 is clear to you, this is one line.ตัวอย่างเดิม เปลี่ยนแค่ตัวเลข
   ทำให้วงเล็บเท่ากับศูนย์ ได้ $a=2$ แล้วแทนค่าเพื่อหาเศษ
   ถ้าเข้าใจขั้นที่ 3 แล้ว ข้อนี้จบในบรรทัดเดียว
2. Find the remainder when $2x^{3}-5x^{2}+4$ is divided by $(2x-1)$.The divisor does not start with a plain $x$ now, so the test value is a fraction.
   The method does not change. Make the bracket equal to zero, then put the value in.
   The arithmetic needs care.
   Edexcel IAL asks this version often.ตัวหารไม่ได้ขึ้นต้นด้วย $x$ เปล่าๆ แล้ว ค่าทดสอบจึงเป็นเศษส่วน
   วิธีไม่เปลี่ยน · ทำให้วงเล็บเท่ากับศูนย์ แล้วแทนค่า
   ต้องคิดเลขให้ละเอียด
   Edexcel IAL ออกเวอร์ชันนี้บ่อย
3. $g(t)=t^{3}-6t^{2}+11t-6$. Show that $(t-2)$ is a factor of $g(t)$.A new letter, and 'show that' instead of 'find'.
   If you learned the look of '$f$ of $x$' instead of the method, this question is harder.
   'Show that' also needs a closing sentence, not only the zero.เปลี่ยนตัวอักษร และเปลี่ยนคำสั่งจาก find เป็น show that
   ถ้าจำแค่หน้าตาของ '$f$ ของ $x$' แทนที่จะจำวิธี ข้อนี้จะยากขึ้น
   คำว่า show that ต้องเขียนประโยคสรุปด้วย ไม่ใช่แค่โชว์เลขศูนย์
4. Factorise $x^{3}+4x^{2}+x-6$ completely.Trial, divide, factorise — the three-step routine with no scaffolding this time. The candidates are the factors of $6$, and $x=1$ works first go.ลอง หาร แยก — ท่าสามขั้นแบบไม่มีนั่งร้านช่วยแล้ว · ตัวที่ควรลองคือตัวประกอบของ $6$ และ $x=1$ ผ่านตั้งแต่ครั้งแรก
5. $f(x)=2x^{3}+x^{2}-13x+6$.  (a) Show that $(x-2)$ is a factor of $f(x)$. (2 marks)  (b) Hence factorise $f(x)$ completely. (4 marks)Full exam wording with the mark split, and a leading coefficient of $2$ so the quadratic factorises into $(2x-1)(x+3)$ rather than two simple brackets. 'Hence' means part (a) has already given you the first factor — do not go hunting for another one.ภาษาข้อสอบเต็มรูปแบบพร้อมแบ่งคะแนน และสัมประสิทธิ์นำเป็น $2$ ทำให้กำลังสองแยกได้เป็น $(2x-1)(x+3)$ ไม่ใช่วงเล็บง่ายๆ สองตัว · คำว่า hence แปลว่าข้อ (a) ให้ตัวประกอบตัวแรกมาแล้ว ไม่ต้องไปไล่หาใหม่
6. A student is asked for the remainder when $x^{3}-4x^{2}+1$ is divided by $(x+2)$ and writes $f(2)=8-16+1=-7$. Find the error and give the correct remainder.The sign flip, presented as someone else's mistake. Marking another person's work is harder than avoiding your own slip, and this is the exact slip the whole topic is built to defend against.เครื่องหมายกลับด้าน แต่ยกมาในรูปความผิดพลาดของคนอื่น · การตรวจงานคนอื่นยากกว่าการไม่พลาดเอง และนี่คือจุดพลาดตัวเดียวกับที่ทั้งบทนี้สร้างมาเพื่อป้องกัน
7. $f(x)=x^{3}+ax^{2}-4x+b$. When $f(x)$ is divided by $(x-1)$ the remainder is $-6$, and $(x+2)$ is a factor of $f(x)$.  (a) Find the value of $a$ and the value of $b$. (5 marks)  (b) Hence solve $f(x)=0$. (3 marks)Every piece of the lesson in one question: remainder theorem, factor theorem, simultaneous equations, division, full factorisation, roots. The one trap left is order — you cannot factorise until $a$ and $b$ are known, so part (a) has to be right before part (b) can score.ทุกชิ้นของบทเรียนมารวมในข้อเดียว: ทฤษฎีบทเศษเหลือ ทฤษฎีบทตัวประกอบ ระบบสมการ การหาร การแยกตัวประกอบให้หมด และการอ่านราก · กับดักที่เหลือคือลำดับ — แยกตัวประกอบไม่ได้จนกว่าจะรู้ $a$ กับ $b$ ดังนั้นข้อ (a) ต้องถูกก่อน ข้อ (b) ถึงจะมีคะแนน

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี