A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: Pure 2 (9709/2)
Polynomials, factor & remainder theorem การหารพหุนาม · ทฤษฎีบทตัวประกอบและเศษเหลือ
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
🪜Learn Never learnt this? Start from zero in Teach Modeเรียน ยังไม่เคยเรียนเรื่องนี้? เริ่มตั้งแต่ศูนย์ในโหมดสอนIt starts from something you already know and climbs one small step at a time — you answer, it moves.เริ่มจากของที่น้องทำเป็นอยู่แล้ว แล้วไต่ทีละขั้นเล็กๆ น้องตอบ แล้วค่อยไปต่อPolynomials, factor & remainder theoremการหารพหุนาม · ทฤษฎีบทตัวประกอบและเศษเหลือ
📐Know the pieces but stuck on a whole exam question?รู้ทีละส่วนแล้ว แต่ทำข้อสอบเต็มข้อไม่ได้?Each set takes one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill; question 10 is the exam question itself.แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แยกเป็นสเต็ปย่อย แล้วไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงPolynomials laddersชุดไต่ระดับ · พหุนาม
Polynomials, factor & remainder theorem · progressการหารพหุนาม · ทฤษฎีบทตัวประกอบและเศษเหลือ · ความคืบหน้า
Questionsคำถามที่พบบ่อย
Questionโจทย์
Step-by-step practice loads here. If it does not appear, everything you need is under Revision notes.
แบบฝึกทีละสเต็ปจะขึ้นตรงนี้ ถ้าไม่ขึ้น เนื้อหาทั้งหมดอยู่ในแท็บ สรุปเนื้อหา
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| "show $(x-2)$ is a factor""แสดงว่า $(x-2)$ เป็นตัวประกอบ" | factor theorem: show $f(2)=0$ทฤษฎีบทตัวประกอบ: แสดง $f(2)=0$ | try → ลอง → |
| "find the remainder when … ÷ $(x+3)$""หาเศษเมื่อหารด้วย $(x+3)$" | remainder theorem: evaluate $f(-3)$ทฤษฎีบทเศษเหลือ: แทน $f(-3)$ | try → ลอง → |
| "hence factorise completely""แล้วแยกตัวประกอบให้สมบูรณ์" | divide out the factor, factorise the quadratic quotientหารตัวประกอบออก แล้วแยกผลหารกำลังสอง | try → ลอง → |
| "find $a$ and $b$" (two conditions)"หา $a$ กับ $b$" (สองเงื่อนไข) | two equations from $f(k_1), f(k_2)$ → solve simultaneouslyสร้างสองสมการ → แก้ระบบสมการ | try → ลอง → |
| divisor like $(2x-1)$ตัวหารรูป $(2x-1)$ | use $f\!\left(\tfrac12\right)$ — the root of the divisorใช้ $f\!\left(\tfrac12\right)$ — รากของตัวหาร | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
Factor theorem ทฤษฎีบทตัวประกอบ$f(a)=0 \iff (x-a)\mid f(x)$
Remainder theorem ทฤษฎีบทเศษเหลือ$f(x)\div(x-a)$ leaves remainder $f(a)$
General divisor ตัวหารทั่วไป$(ax-b)\mid f(x) \iff f\!\left(\tfrac{b}{a}\right)=0$
Division identity เอกลักษณ์การหาร$f(x)=\text{divisor}\times\text{quotient}+\text{remainder}$
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
$f(x)=2x^3-x^2-13x-6$. Show $(x-3)$ is a factor and factorise $f(x)$ completely. (4 marks)
M1
Test $x=3$: $f(3)=2(27)-9-39-6=54-54=0$
A1
$f(3)=0$, so by the factor theorem $(x-3)$ is a factor. (ประโยคสรุปมีคะแนน)
M1
Divide: $2x^3-x^2-13x-6=(x-3)(2x^2+5x+2)$
A1
Factorise the quotient: $f(x)=(x-3)(2x+1)(x+2)$
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. Find the remainder when $f(x)=x^3+4x^2-7x+2$ is divided by $(x+1)$.2 markssolution ▾
Remainder $=f(-1)=-1+4+7+2=\mathbf{12}$.
P2. $(x-2)$ is a factor of $g(x)=x^3+ax^2-5x-6$. Find $a$, then factorise $g(x)$ completely.4 markssolution ▾
$g(2)=8+4a-10-6=0 \Rightarrow 4a=8 \Rightarrow a=\mathbf{2}$.
$g(x)=x^3+2x^2-5x-6=(x-2)(x^2+4x+3)=\mathbf{(x-2)(x+1)(x+3)}$.
$g(x)=x^3+2x^2-5x-6=(x-2)(x^2+4x+3)=\mathbf{(x-2)(x+1)(x+3)}$.
P3. When $h(x)=2x^3+px+q$ is divided by $(x-1)$ the remainder is 5; when divided by $(x+2)$ the remainder is $-16$. Find $p$ and $q$.5 markssolution ▾
$h(1)=2+p+q=5 \Rightarrow p+q=3$.
$h(-2)=-16-2p+q=-16 \Rightarrow q=2p$.
So $3p=3$, $\mathbf{p=1,\ q=2}$.
$h(-2)=-16-2p+q=-16 \Rightarrow q=2p$.
So $3p=3$, $\mathbf{p=1,\ q=2}$.
Vocab ศัพท์ต้องรู้
polynomial พหุนาม · factor ตัวประกอบ · remainder เศษเหลือ · quotient ผลหาร · divide by หารด้วย · factorise completely แยกตัวประกอบให้ครบทุกวงเล็บ · hence จากผลข้อก่อนหน้า
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗Sign slip เครื่องหมายพลาดDividing by $(x+3)$ means $f(-3)$, not $f(3)$ — the factor $(x-a)$ pairs with $+a$.
✗"Show that" with no sentence ลืมประโยคสรุปAfter $f(3)=0$, write "so $(x-3)$ is a factor by the factor theorem" — the conclusion is a mark.
✗Stopping at the quadratic หยุดที่กำลังสอง"Factorise completely" means every bracket — factorise the quadratic quotient too.
✗Quotient degree wrong ดีกรีผลหารผิดCubic ÷ linear = quadratic. Check degrees before dividing — expand back to verify.
✗$(2x-1)$ tested at $x=1$ แทนรากผิดThe root of $(2x-1)$ is $x=\tfrac12$ — always solve divisor $=0$ first.
Know the method? Here is what to do next.เข้าใจวิธีแล้ว? ขั้นต่อไปทำแบบนี้
TestสอบPure 2 paperข้อสอบ Pure 2
The pack is marked the way the examiner marks it, method marks included.ชุดฝึกตรวจแบบเดียวกับกรรมการ รวมคะแนนวิธีทำด้วย