A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: Pure 2 (9709/2)
Polynomials, factor & remainder theorem การหารพหุนาม · ทฤษฎีบทตัวประกอบและเศษเหลือ
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| "show $(x-2)$ is a factor""แสดงว่า $(x-2)$ เป็นตัวประกอบ" | factor theorem: show $f(2)=0$ทฤษฎีบทตัวประกอบ: แสดง $f(2)=0$ | try → ลอง → |
| "find the remainder when … ÷ $(x+3)$""หาเศษเมื่อหารด้วย $(x+3)$" | remainder theorem: evaluate $f(-3)$ทฤษฎีบทเศษเหลือ: แทน $f(-3)$ | try → ลอง → |
| "hence factorise completely""แล้วแยกตัวประกอบให้สมบูรณ์" | divide out the factor, factorise the quadratic quotientหารตัวประกอบออก แล้วแยกผลหารกำลังสอง | try → ลอง → |
| "find $a$ and $b$" (two conditions)"หา $a$ กับ $b$" (สองเงื่อนไข) | two equations from $f(k_1), f(k_2)$ → solve simultaneouslyสร้างสองสมการ → แก้ระบบสมการ | try → ลอง → |
| divisor like $(2x-1)$ตัวหารรูป $(2x-1)$ | use $f\!\left(\tfrac12\right)$ — the root of the divisorใช้ $f\!\left(\tfrac12\right)$ — รากของตัวหาร | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
Factor theorem ทฤษฎีบทตัวประกอบ$f(a)=0 \iff (x-a)\mid f(x)$
Remainder theorem ทฤษฎีบทเศษเหลือ$f(x)\div(x-a)$ leaves remainder $f(a)$
General divisor ตัวหารทั่วไป$(ax-b)\mid f(x) \iff f\!\left(\tfrac{b}{a}\right)=0$
Division identity เอกลักษณ์การหาร$f(x)=\text{divisor}\times\text{quotient}+\text{remainder}$
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
$f(x)=2x^3-x^2-13x-6$. Show $(x-3)$ is a factor and factorise $f(x)$ completely. (4 marks)
M1
Test $x=3$: $f(3)=2(27)-9-39-6=54-54=0$
A1
$f(3)=0$, so by the factor theorem $(x-3)$ is a factor. (ประโยคสรุปมีคะแนน)
M1
Divide: $2x^3-x^2-13x-6=(x-3)(2x^2+5x+2)$
A1
Factorise the quotient: $f(x)=(x-3)(2x+1)(x+2)$
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. Find the remainder when $f(x)=x^3+4x^2-7x+2$ is divided by $(x+1)$.2 markssolution ▾
Remainder $=f(-1)=-1+4+7+2=\mathbf{12}$.
P2. $(x-2)$ is a factor of $g(x)=x^3+ax^2-5x-6$. Find $a$, then factorise $g(x)$ completely.4 markssolution ▾
$g(2)=8+4a-10-6=0 \Rightarrow 4a=8 \Rightarrow a=\mathbf{2}$.
$g(x)=x^3+2x^2-5x-6=(x-2)(x^2+4x+3)=\mathbf{(x-2)(x+1)(x+3)}$.
$g(x)=x^3+2x^2-5x-6=(x-2)(x^2+4x+3)=\mathbf{(x-2)(x+1)(x+3)}$.
P3. When $h(x)=2x^3+px+q$ is divided by $(x-1)$ the remainder is 5; when divided by $(x+2)$ the remainder is $-16$. Find $p$ and $q$.5 markssolution ▾
$h(1)=2+p+q=5 \Rightarrow p+q=3$.
$h(-2)=-16-2p+q=-16 \Rightarrow q=2p$.
So $3p=3$, $\mathbf{p=1,\ q=2}$.
$h(-2)=-16-2p+q=-16 \Rightarrow q=2p$.
So $3p=3$, $\mathbf{p=1,\ q=2}$.
Vocab ศัพท์ต้องรู้
polynomial พหุนาม · factor ตัวประกอบ · remainder เศษเหลือ · quotient ผลหาร · divide by หารด้วย · factorise completely แยกตัวประกอบให้ครบทุกวงเล็บ · hence จากผลข้อก่อนหน้า
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗Sign slip เครื่องหมายพลาดDividing by $(x+3)$ means $f(-3)$, not $f(3)$ — the factor $(x-a)$ pairs with $+a$.
✗"Show that" with no sentence ลืมประโยคสรุปAfter $f(3)=0$, write "so $(x-3)$ is a factor by the factor theorem" — the conclusion is a mark.
✗Stopping at the quadratic หยุดที่กำลังสอง"Factorise completely" means every bracket — factorise the quadratic quotient too.
✗Quotient degree wrong ดีกรีผลหารผิดCubic ÷ linear = quadratic. Check degrees before dividing — expand back to verify.
✗$(2x-1)$ tested at $x=1$ แทนรากผิดThe root of $(2x-1)$ is $x=\tfrac12$ — always solve divisor $=0$ first.
Keep going, free ไปต่อ ฟรี
Nice work so far. Drop your email to unlock every level and the other topics. We'll tune them to your board. ทำได้ดีแล้ว ใส่อีเมลเพื่อปลดล็อกทุกระดับและหัวข้ออื่นๆ เราจะจัดให้ตรงกับ board ที่คุณสอบ