A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: Pure 1 (9709/1)
Geometric series & binomial expansion อนุกรมเรขาคณิต · ทวินาม
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
🪜Learn Never learnt this? Start from zero in Teach Modeเรียน ยังไม่เคยเรียนเรื่องนี้? เริ่มตั้งแต่ศูนย์ในโหมดสอนIt starts from something you already know and climbs one small step at a time — you answer, it moves.เริ่มจากของที่น้องทำเป็นอยู่แล้ว แล้วไต่ทีละขั้นเล็กๆ น้องตอบ แล้วค่อยไปต่อSequences & seriesลำดับและอนุกรม
📐Know the pieces but stuck on a whole exam question?รู้ทีละส่วนแล้ว แต่ทำข้อสอบเต็มข้อไม่ได้?Each set takes one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill; question 10 is the exam question itself.แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แยกเป็นสเต็ปย่อย แล้วไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงBinomial expansion laddersชุดไต่ระดับ · การกระจายทวินาม
Geometric series & binomial expansion · progressอนุกรมเรขาคณิต · ทวินาม · ความคืบหน้า
Questionsคำถามที่พบบ่อย
Questionโจทย์
Step-by-step practice loads here. If it does not appear, everything you need is under Revision notes.
แบบฝึกทีละสเต็ปจะขึ้นตรงนี้ ถ้าไม่ขึ้น เนื้อหาทั้งหมดอยู่ในแท็บ สรุปเนื้อหา
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| "Each year the value increases by 5%""แต่ละปีมูลค่าเพิ่มขึ้น 5%" | Geometric sequence with $r=1.05$; $u_n=ar^{n-1}$ลำดับเรขาคณิตที่มี $r=1.05$; $u_n=ar^{n-1}$ | try → ลอง → |
| "Sum to infinity exists""ผลบวกอนันต์หาค่าได้" | Condition $|r|<1$; $S_\infty=\dfrac{a}{1-r}$เงื่อนไข $|r|<1$; $S_\infty=\dfrac{a}{1-r}$ | try → ลอง → |
| "Find the coefficient of $x^3$ in $(2+3x)^7$""หาสัมประสิทธิ์ของ $x^3$ ใน $(2+3x)^7$" | Binomial term $\binom{7}{3}2^{4}(3x)^3$พจน์ทวินาม $\binom{7}{3}2^{4}(3x)^3$ | try → ลอง → |
| "Find the first year the total exceeds…""หาปีแรกที่ยอดรวมเกิน…" | $S_n$ inequality → solve with logarithmsอสมการ $S_n$ → แก้ด้วยลอการิทึม | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
nth term พจน์ที่ n$u_n=ar^{n-1}$
Sum of n terms ผลบวก n พจน์$S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$
Sum to infinity ผลบวกอนันต์$S_\infty=\dfrac{a}{1-r},\ |r|<1$
Binomial (n ∈ ℕ) ทวินาม$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
A geometric series has second term 6 and fifth term $\tfrac{3}{4}$. Find $r$, $a$ and $S_\infty$. (5 marks)
M1
$\dfrac{u_5}{u_2}=r^3=\dfrac{3/4}{6}=\dfrac18$
A1
$r=\dfrac12$
A1
$a=\dfrac{u_2}{r}=\dfrac{6}{1/2}=12$
M1
$|r|=\tfrac12<1$ so $S_\infty$ exists: $S_\infty=\dfrac{12}{1-\frac12}$
A1
$S_\infty=24$
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. Find the coefficient of $x^3$ in the expansion of $(2+3x)^7$.3 markssolution ▾
Term $=\binom{7}{3}2^4(3x)^3=35\cdot16\cdot27x^3$. Coefficient $=\mathbf{15120}$.
P2. A geometric series has $a=40$ and $S_\infty=50$. Find $r$ and $S_4$.4 markssolution ▾
$50=\dfrac{40}{1-r}\Rightarrow 1-r=\dfrac45 \Rightarrow r=\dfrac15$.
$S_4=\dfrac{40\left(1-(1/5)^4\right)}{1-\frac15}=50\left(1-\dfrac{1}{625}\right)=\mathbf{49.92}$.
$S_4=\dfrac{40\left(1-(1/5)^4\right)}{1-\frac15}=50\left(1-\dfrac{1}{625}\right)=\mathbf{49.92}$.
P3. Kanya saves 1,000 baht in month 1, and each month saves 2% more than the month before. Show the total saved after $n$ months is $50000(1.02^n-1)$ baht, and find the first month the total exceeds 30,000 baht.5 markssolution ▾
$S_n=\dfrac{1000(1.02^n-1)}{1.02-1}=50000(1.02^n-1)$. ∎
$50000(1.02^n-1)>30000 \Rightarrow 1.02^n>1.6 \Rightarrow n>\dfrac{\ln 1.6}{\ln 1.02}=23.7\ldots$
First month: $\mathbf{n=24}$.
$50000(1.02^n-1)>30000 \Rightarrow 1.02^n>1.6 \Rightarrow n>\dfrac{\ln 1.6}{\ln 1.02}=23.7\ldots$
First month: $\mathbf{n=24}$.
Vocab ศัพท์ต้องรู้
geometric series อนุกรมเรขาคณิต · common ratio อัตราส่วนร่วม · sum to infinity ผลบวกอนันต์ · coefficient สัมประสิทธิ์ · expansion การกระจาย · ascending powers เรียงกำลังจากน้อยไปมาก
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗State $|r|<1$ ต้องระบุ $|r|<1$Whenever you use $S_\infty$, quote the condition — there is often a mark just for it.
✗Whole term, then coefficient เขียนทั้งพจน์ก่อนค่อยลดรูปWrite $\binom{7}{3}2^4(3x)^3$ before simplifying. Forgetting the $2^4$ or cubing only $x$ (not the 3) are the classic slips.
✗Coefficient ≠ term สัมประสิทธิ์ ≠ พจน์"Coefficient" wants the number only; "term" includes the power of $x$. Re-read which one the question asks before boxing the answer.
✗Off-by-one power เลขชี้กำลังคลาดหนึ่งThe $n$th term is $ar^{n-1}$, not $ar^n$ — check by putting $n=1$: it must give $a$.
✗Answer in context ตอบตามบริบทโจทย์"First year/month the total exceeds…" needs a whole number — round the log result up and answer with the year or month, not the raw decimal.
Know the method? Here is what to do next.เข้าใจวิธีแล้ว? ขั้นต่อไปทำแบบนี้
TestสอบPure 2 paperข้อสอบ Pure 2
The pack is marked the way the examiner marks it, method marks included.ชุดฝึกตรวจแบบเดียวกับกรรมการ รวมคะแนนวิธีทำด้วย