A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: Pure 1 (9709/1)
Geometric series & binomial expansion อนุกรมเรขาคณิต · ทวินาม
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| "Each year the value increases by 5%""แต่ละปีมูลค่าเพิ่มขึ้น 5%" | Geometric sequence with $r=1.05$; $u_n=ar^{n-1}$ลำดับเรขาคณิตที่มี $r=1.05$; $u_n=ar^{n-1}$ | try → ลอง → |
| "Sum to infinity exists""ผลบวกอนันต์หาค่าได้" | Condition $|r|<1$; $S_\infty=\dfrac{a}{1-r}$เงื่อนไข $|r|<1$; $S_\infty=\dfrac{a}{1-r}$ | try → ลอง → |
| "Find the coefficient of $x^3$ in $(2+3x)^7$""หาสัมประสิทธิ์ของ $x^3$ ใน $(2+3x)^7$" | Binomial term $\binom{7}{3}2^{4}(3x)^3$พจน์ทวินาม $\binom{7}{3}2^{4}(3x)^3$ | try → ลอง → |
| "Find the first year the total exceeds…""หาปีแรกที่ยอดรวมเกิน…" | $S_n$ inequality → solve with logarithmsอสมการ $S_n$ → แก้ด้วยลอการิทึม | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
nth term พจน์ที่ n$u_n=ar^{n-1}$
Sum of n terms ผลบวก n พจน์$S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$
Sum to infinity ผลบวกอนันต์$S_\infty=\dfrac{a}{1-r},\ |r|<1$
Binomial (n ∈ ℕ) ทวินาม$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
A geometric series has second term 6 and fifth term $\tfrac{3}{4}$. Find $r$, $a$ and $S_\infty$. (5 marks)
M1
$\dfrac{u_5}{u_2}=r^3=\dfrac{3/4}{6}=\dfrac18$
A1
$r=\dfrac12$
A1
$a=\dfrac{u_2}{r}=\dfrac{6}{1/2}=12$
M1
$|r|=\tfrac12<1$ so $S_\infty$ exists: $S_\infty=\dfrac{12}{1-\frac12}$
A1
$S_\infty=24$
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. Find the coefficient of $x^3$ in the expansion of $(2+3x)^7$.3 markssolution ▾
Term $=\binom{7}{3}2^4(3x)^3=35\cdot16\cdot27x^3$. Coefficient $=\mathbf{15120}$.
P2. A geometric series has $a=40$ and $S_\infty=50$. Find $r$ and $S_4$.4 markssolution ▾
$50=\dfrac{40}{1-r}\Rightarrow 1-r=\dfrac45 \Rightarrow r=\dfrac15$.
$S_4=\dfrac{40\left(1-(1/5)^4\right)}{1-\frac15}=50\left(1-\dfrac{1}{625}\right)=\mathbf{49.92}$.
$S_4=\dfrac{40\left(1-(1/5)^4\right)}{1-\frac15}=50\left(1-\dfrac{1}{625}\right)=\mathbf{49.92}$.
P3. Kanya saves 1,000 baht in month 1, and each month saves 2% more than the month before. Show the total saved after $n$ months is $50000(1.02^n-1)$ baht, and find the first month the total exceeds 30,000 baht.5 markssolution ▾
$S_n=\dfrac{1000(1.02^n-1)}{1.02-1}=50000(1.02^n-1)$. ∎
$50000(1.02^n-1)>30000 \Rightarrow 1.02^n>1.6 \Rightarrow n>\dfrac{\ln 1.6}{\ln 1.02}=23.7\ldots$
First month: $\mathbf{n=24}$.
$50000(1.02^n-1)>30000 \Rightarrow 1.02^n>1.6 \Rightarrow n>\dfrac{\ln 1.6}{\ln 1.02}=23.7\ldots$
First month: $\mathbf{n=24}$.
Vocab ศัพท์ต้องรู้
geometric series อนุกรมเรขาคณิต · common ratio อัตราส่วนร่วม · sum to infinity ผลบวกอนันต์ · coefficient สัมประสิทธิ์ · expansion การกระจาย · ascending powers เรียงกำลังจากน้อยไปมาก
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗State $|r|<1$ ต้องระบุ $|r|<1$Whenever you use $S_\infty$, quote the condition — there is often a mark just for it.
✗Whole term, then coefficient เขียนทั้งพจน์ก่อนค่อยลดรูปWrite $\binom{7}{3}2^4(3x)^3$ before simplifying. Forgetting the $2^4$ or cubing only $x$ (not the 3) are the classic slips.
✗Coefficient ≠ term สัมประสิทธิ์ ≠ พจน์"Coefficient" wants the number only; "term" includes the power of $x$. Re-read which one the question asks before boxing the answer.
✗Off-by-one power เลขชี้กำลังคลาดหนึ่งThe $n$th term is $ar^{n-1}$, not $ar^n$ — check by putting $n=1$: it must give $a$.
✗Answer in context ตอบตามบริบทโจทย์"First year/month the total exceeds…" needs a whole number — round the log result up and answer with the year or month, not the raw decimal.
Keep going, free ไปต่อ ฟรี
Nice work so far. Drop your email to unlock every level and the other topics. We'll tune them to your board. ทำได้ดีแล้ว ใส่อีเมลเพื่อปลดล็อกทุกระดับและหัวข้ออื่นๆ เราจะจัดให้ตรงกับ board ที่คุณสอบ