Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Trig identities & equationsเอกลักษณ์และสมการตรีโกณ

A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: Pure 1 (9709/1) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

Two ratios off one right-angled triangleสองอัตราส่วนจากสามเหลี่ยมมุมฉากอันเดียว

Identities are the ratio facts that survive after the triangle is taken away.เอกลักษณ์คือข้อเท็จจริงเรื่องอัตราส่วน ที่ยังอยู่แม้เอาสามเหลี่ยมออกไปแล้ว

  1. A right-angled triangle has the side opposite $\theta$ equal to $3$ and hypotenuse $5$. Write down $\sin\theta$.สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุม $\theta$ ยาว $3$ และด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $5$ · เขียน $\sin\theta$
    Answer:เฉลย: $\sin\theta=\dfrac{3}{5}=0.6$Sine is never above 1: $\sin\theta=\dfrac{3}{5}=0.6$   $\text{hypotenuse is the longest side}\ \Rightarrow\ \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}<1$ Later this lets you reject an answer with no working.ค่า sin ไม่มีทางเกิน 1: $\sin\theta=\dfrac{3}{5}=0.6$   $\text{hypotenuse is the longest side}\ \Rightarrow\ \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}<1$ ตอนหลังจะใช้ตัดคำตอบทิ้งได้เลย ไม่ต้องคิด
  2. Same triangle: the third side is $4$. Which one is $\tan\theta$?สามเหลี่ยมเดิม: ด้านที่สามยาว $4$ · ตัวไหนคือ $\tan\theta$?
    Answer:เฉลย: $\tan\theta=\dfrac{3}{4}$$\tan\theta$ is $\sin\theta$ over $\cos\theta$: $\tan\theta=\dfrac{3}{4}$   $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{3/5}{4/5}=\dfrac{3}{4}$   $\text{same answer — not a coincidence}$$\tan$ คือ $\sin$ หารด้วย $\cos$: $\tan\theta=\dfrac{3}{4}$   $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{3/5}{4/5}=\dfrac{3}{4}$   $\text{same answer — not a coincidence}$
  3. A right-angled triangle has both short sides equal to $1$. Find the hypotenuse, exactly.สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านสั้นทั้งสองยาว $1$ เท่ากัน · หาด้านตรงข้ามมุมฉากแบบ exact
    Answer:เฉลย: $\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$Exact values come from this triangle: $\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$   $\sin 45^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt2}$ Nothing today is memorised for its own sake.ค่าตรงเป๊ะ มาจากสามเหลี่ยมรูปนี้: $\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$   $\sin 45^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt2}$ วันนี้ไม่มีอะไรต้องท่องลอยๆ

2. The unit circle and exact valuesวงกลมหนึ่งหน่วยกับค่า exact

A point on the circle of radius $1$ has coordinates $(\cos\theta,\ \sin\theta)$ — that one line replaces every triangle.จุดบนวงกลมรัศมี $1$ มีพิกัด $(\cos\theta,\ \sin\theta)$ — บรรทัดเดียวนี้แทนสามเหลี่ยมได้ทั้งหมด

The unit circle, from Pure 1วงกลมหนึ่งหน่วย จาก Pure 1

  1. On the unit circle the point at $\theta=60^{\circ}$ (degrees) is $\left(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{\sqrt3}{2}\right)$. Which number is $\cos 60^{\circ}$?บนวงกลมหนึ่งหน่วย จุดที่ $\theta=60^{\circ}$ (องศา) คือ $\left(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{\sqrt3}{2}\right)$ · ตัวเลขไหนคือ $\cos 60^{\circ}$?
    Answer:เฉลย: $\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}$  (the $x$-coordinate)cos across, sin up: $(\cos\theta,\ \sin\theta)=(x,\ y)$   $\cos 60^{\circ}=\tfrac12,\qquad \sin 60^{\circ}=\tfrac{\sqrt3}{2}$   $\tan\theta=\dfrac{y}{x}$ Mixing up cos and sin is the most common lost mark here.cos คือแนวนอน · sin คือแนวตั้ง: $(\cos\theta,\ \sin\theta)=(x,\ y)$   $\cos 60^{\circ}=\tfrac12,\qquad \sin 60^{\circ}=\tfrac{\sqrt3}{2}$   $\tan\theta=\dfrac{y}{x}$ สลับ cos กับ sin คือจุดเสียคะแนนอันดับหนึ่ง
  2. Write down the exact value of $\sin 30^{\circ}$ (degrees).เขียนค่า exact ของ $\sin 30^{\circ}$ (องศา)
    Answer:เฉลย: $\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$Ask how high the point sits: $30^{\circ}\ \Rightarrow\ y=\tfrac12$   $\sin 30^{\circ}=\tfrac12$ถามว่าจุดนั้นสูงเท่าไร: $30^{\circ}\ \Rightarrow\ y=\tfrac12$   $\sin 30^{\circ}=\tfrac12$

3. The three graphsกราฟทั้งสามตัว

Period, range and sign — read straight off the picture, before any algebra.คาบ · พิสัย · เครื่องหมาย — อ่านจากรูปได้เลย ก่อนจะแตะพีชคณิต

Three graphs, one pageสามกราฟ จบในหน้าเดียว

  1. One of these equations has no solution at all, for any angle in degrees. Which one?มีสมการหนึ่งข้อที่ไม่มีคำตอบเลย ไม่ว่ามุมจะเป็นกี่องศา · ข้อไหน?
    Answer:เฉลย: $\sin\theta=1.2$ has no solution — $\sin$ never leaves $-1$ to $1$.$\sin\theta=1.2$ ไม่มีคำตอบ — $\sin$ ไม่เคยออกนอกช่วง $-1$ ถึง $1$Radius 1 caps sin and cos: $-1\le\sin\theta\le 1$   $-1\le\cos\theta\le 1$   $1.2>1\ \Rightarrow\ \text{no solution}$   $\tan\theta:\ \text{no limit}$ Later a quadratic gives $\sin\theta=2$ — reject it in one line.รัศมี 1 คุมค่า sin กับ cos: $-1\le\sin\theta\le 1$   $-1\le\cos\theta\le 1$   $1.2>1\ \Rightarrow\ \text{no solution}$   $\tan\theta:\ \text{no limit}$ เดี๋ยวจะมีสมการกำลังสองให้ $\sin\theta=2$ — ตัดทิ้งได้ในบรรทัดเดียว
  2. $y=\sin\theta$ repeats every $360^{\circ}$. Given that $\sin 20^{\circ}=0.342$ (degrees), write down $\sin 380^{\circ}$.$y=\sin\theta$ ซ้ำทุก $360^{\circ}$ · ถ้า $\sin 20^{\circ}=0.342$ (องศา) จงเขียนค่า $\sin 380^{\circ}$
    Answer:เฉลย: $\sin 380^{\circ}=\sin 20^{\circ}=0.342$One full lap changes nothing: $\sin(\theta+360^{\circ})=\sin\theta$   $\sin 380^{\circ}=\sin 20^{\circ}=0.342$ That is why every exam question pins you to an interval.หมุนครบรอบ ค่าไม่เปลี่ยน: $\sin(\theta+360^{\circ})=\sin\theta$   $\sin 380^{\circ}=\sin 20^{\circ}=0.342$ เพราะงี้ทุกข้อสอบถึงต้องกำหนดช่วงมาให้
  3. For $0^{\circ}\lt\theta\lt360^{\circ}$ (degrees), for which angles is $\cos\theta$ negative?เมื่อ $0^{\circ}\lt\theta\lt360^{\circ}$ (องศา) · $\cos\theta$ ติดลบ ที่มุมช่วงไหน?
    Answer:เฉลย: $90^{\circ}\lt\theta\lt270^{\circ}$ — the whole left half of the circle$90^{\circ}\lt\theta\lt270^{\circ}$ — ครึ่งซ้ายของวงกลมทั้งหมด$\cos\theta=x$, negative on the left: $\cos\theta=x<0\ \text{on the left half}$   $90^{\circ}<\theta<270^{\circ}$   $\sin\theta=y<0\ \text{on the bottom half}$ Which functions are positive in each quarter is the CAST diagram.$\cos\theta=x$ · ติดลบครึ่งซ้าย: $\cos\theta=x<0\ \text{on the left half}$   $90^{\circ}<\theta<270^{\circ}$   $\sin\theta=y<0\ \text{on the bottom half}$ ฟังก์ชันไหนบวกในแต่ละควอดรันต์ ก็คือ CAST นั่นแหละ

4. Swapping sin, cos and tanสลับ sin cos tan

Two identities turn any one function into another — the only rewriting tools P2 gives you.เอกลักษณ์สองตัวเปลี่ยนฟังก์ชันหนึ่งเป็นอีกฟังก์ชันได้ — เครื่องมือจัดรูปทั้งหมดที่ P2 ให้มา

  1. $\theta$ is acute (degrees), with $\sin\theta=\dfrac{3}{5}$ and $\cos\theta=\dfrac{4}{5}$. Which substitution into $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ is correct?$\theta$ เป็นมุมแหลม (องศา) โดย $\sin\theta=\dfrac{3}{5}$ และ $\cos\theta=\dfrac{4}{5}$ · แทนค่าลงใน $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ แบบไหนถูก?
    Answer:เฉลย: $\tan\theta=\dfrac{3/5}{4/5}=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{5}{4}=\dfrac{3}{4}$The hypotenuses cancel: $\tan\theta=\dfrac{3/5}{4/5}=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{5}{4}=\dfrac{3}{4}$   $\text{same }\tan\theta\text{, with no triangle in sight}$ The $5$s cancel for every angle, which is why the identity always holds.ด้านตรงข้ามมุมฉาก ตัดกันทิ้ง: $\tan\theta=\dfrac{3/5}{4/5}=\dfrac{3}{5}\times\dfrac{5}{4}=\dfrac{3}{4}$   $\text{same }\tan\theta\text{, with no triangle in sight}$ เลข $5$ ตัดกันทุกมุม เอกลักษณ์นี้เลยจริงเสมอ
  2. $\theta$ is acute (degrees) and $\cos\theta=\dfrac{5}{13}$. Find $\sin\theta$ as an exact fraction.$\theta$ เป็นมุมแหลม (องศา) และ $\cos\theta=\dfrac{5}{13}$ · หา $\sin\theta$ เป็นเศษส่วนแบบ exact
    Answer:เฉลย: $\sin^{2}\theta=1-\left(\tfrac{5}{13}\right)^{2}=\tfrac{144}{169}$, so $\sin\theta=\dfrac{12}{13}$Rearrange before you substitute: $\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$   $=1-\left(\tfrac{5}{13}\right)^{2}=\tfrac{144}{169}$   $\sin\theta=\tfrac{12}{13}$   $\theta\text{ acute}\ \Rightarrow\ \text{take}+$ The interval decides the sign at the end.จัดรูปก่อน แล้วค่อยแทนค่า: $\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$   $=1-\left(\tfrac{5}{13}\right)^{2}=\tfrac{144}{169}$   $\sin\theta=\tfrac{12}{13}$   $\theta\text{ acute}\ \Rightarrow\ \text{take}+$ ช่วงที่โจทย์ให้ เป็นตัวตัดสินเครื่องหมายตอนท้าย

5. Every solution in the intervalเก็บคำตอบให้ครบทั้งช่วง

The calculator gives one angle.
The interval usually contains two. The second one is worth a mark.เครื่องคิดเลขให้มุมมาตัวเดียว
แต่ในช่วงมักมีสองตัว · ตัวที่สองมีค่าหนึ่งคะแนน

$\sin\theta=\tfrac12$ has two answers between $0^{\circ}$ and $360^{\circ}$$\sin\theta=\tfrac12$ มีคำตอบสองตัวระหว่าง $0^{\circ}$ ถึง $360^{\circ}$

One answer to an $\sin\theta=k$ question over a full turn is almost always an unfinished answerตอบข้อ $\sin\theta=k$ ที่ให้ช่วงเต็มรอบมาแค่ค่าเดียว มักแปลว่ายังทำไม่จบ

  1. For $\sin\theta=\tfrac12$ the calculator gives $\theta=30^{\circ}$. Where is the second solution in $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (degrees)?สำหรับ $\sin\theta=\tfrac12$ เครื่องคิดเลขให้ $\theta=30^{\circ}$ · คำตอบตัวที่สองในช่วง $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (องศา) อยู่ที่ไหน?
    Answer:เฉลย: $\theta=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$For $\sin$ the partner is $180^{\circ}-\alpha$: $\sin 30^{\circ}=\tfrac12$   $180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$   $\sin 150^{\circ}=\tfrac12\ \checkmark$ของ $\sin$ คู่หูคือ $180^{\circ}-\alpha$: $\sin 30^{\circ}=\tfrac12$   $180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$   $\sin 150^{\circ}=\tfrac12\ \checkmark$
  2. Solve $\cos\theta=\tfrac12$ for $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (degrees). Give both roots, separated by a comma.แก้ $\cos\theta=\tfrac12$ เมื่อ $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (องศา) · ตอบทั้งสองราก คั่นด้วยจุลภาค
    Answer:เฉลย: $\theta=60^{\circ},\ 300^{\circ}$Each function has its own line: $\cos:\ 360^{\circ}-\alpha\ \Rightarrow\ \theta=60^{\circ},\ 300^{\circ}$   $\sin:\ 180^{\circ}-\alpha$   $\tan:\ 180^{\circ}+\alpha$แต่ละฟังก์ชัน สะท้อนคนละเส้น: $\cos:\ 360^{\circ}-\alpha\ \Rightarrow\ \theta=60^{\circ},\ 300^{\circ}$   $\sin:\ 180^{\circ}-\alpha$   $\tan:\ 180^{\circ}+\alpha$

6. Change the interval firstแปลงช่วงก่อนแก้

If the bracket is not just $\theta$, solve for the bracket — and move its interval before you touch the equation.ถ้าในวงเล็บไม่ใช่ $\theta$ เปล่าๆ ให้แก้หาค่าของทั้งก้อน — และย้ายช่วงของมันก่อนแตะสมการ

$\sin 2\theta=\tfrac12$ is not a question about $\theta$$\sin 2\theta=\tfrac12$ ไม่ใช่คำถามเกี่ยวกับ $\theta$

Transform the interval before you solve, never afterแปลงช่วงก่อนแก้สมการ ห้ามแปลงทีหลัง

Solve $\sin2\theta=0.5$ for $0\le\theta\le360^{\circ}$แก้ $\sin2\theta=0.5$ เมื่อ $0\le\theta\le360^{\circ}$

  1. $\sin2\theta=0.5$The bracket is $2\theta$, not $\theta$. Solve for the bracket first.ในวงเล็บคือ $2\theta$ ไม่ใช่ $\theta$ · แก้หาค่าในวงเล็บก่อน
  2. $0\le\theta\le360^{\circ}$The range is given, so write it down before solving.โจทย์ให้ช่วงมา เขียนลงไปก่อนจะแก้
  3. $0\le 2\theta\le720^{\circ}$Double the interval too. Miss this and you lose half your answers.ช่วงก็ต้องคูณสองด้วย · ลืมตรงนี้คำตอบหายไปครึ่งหนึ่ง
  4. $2\theta=30^{\circ},\,150^{\circ}$The two you would give in $0$ to $360$.สองค่าที่จะตอบถ้าช่วงเป็น $0$ ถึง $360$
  5. $2\theta=390^{\circ},\,510^{\circ}$Add $360^{\circ}$ to each — both still fit inside $720^{\circ}$.บวก $360^{\circ}$ เข้าไปทั้งคู่ — ยังอยู่ใน $720^{\circ}$ ทั้งสองค่า
  6. $\theta=15^{\circ},\,75^{\circ},\,195^{\circ},\,255^{\circ}$Divide every one by $2$ at the very end. Four answers, not two.หาร $2$ ทุกค่าตอนท้ายสุด · ได้สี่คำตอบ ไม่ใช่สอง
  1. $\theta$ satisfies $0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ}$ (degrees). What interval does $2\theta$ run over?$\theta$ อยู่ในช่วง $0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ}$ (องศา) · แล้ว $2\theta$ วิ่งอยู่ในช่วงไหน?
    Answer:เฉลย: $0^{\circ}\le 2\theta\le 360^{\circ}$Double the angle, double the interval: $0^{\circ}\le\theta\le 180^{\circ}$   $\times 2:\ 0^{\circ}\le 2\theta\le 360^{\circ}$ Examiners give this line a mark of its own.คูณสองที่มุม ก็ต้องคูณสองที่ช่วง: $0^{\circ}\le\theta\le 180^{\circ}$   $\times 2:\ 0^{\circ}\le 2\theta\le 360^{\circ}$ บรรทัดนี้มีคะแนนของมันเอง
  2. With $A=2\theta$ the problem is $\sin A=\tfrac12$ for $0^{\circ}\le A\le360^{\circ}$ (degrees). Which values of $A$ are in that interval?ให้ $A=2\theta$ โจทย์จะกลายเป็น $\sin A=\tfrac12$ เมื่อ $0^{\circ}\le A\le360^{\circ}$ (องศา) · ค่า $A$ ตัวไหนบ้างที่อยู่ในช่วงนี้?
    Answer:เฉลย: $A=30^{\circ},\ 150^{\circ}$$A$ is not the answer yet: $\sin A=\tfrac12,\quad 0^{\circ}\le A\le 360^{\circ}$   $A=30^{\circ},\ 150^{\circ}$   $\text{the question asked for }\theta$$A$ ยังไม่ใช่คำตอบ: $\sin A=\tfrac12,\quad 0^{\circ}\le A\le 360^{\circ}$   $A=30^{\circ},\ 150^{\circ}$   $\text{the question asked for }\theta$
  3. Finish it: solve $\sin 2\theta=\tfrac12$ for $0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ}$ (degrees). Give both roots, separated by a comma.ทำต่อให้จบ: แก้ $\sin 2\theta=\tfrac12$ เมื่อ $0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ}$ (องศา) · ตอบสองราก คั่นด้วยจุลภาค
    Answer:เฉลย: $2\theta=30^{\circ},150^{\circ}\Rightarrow\theta=15^{\circ},\ 75^{\circ}$Change interval, solve, undo: $2\theta=30^{\circ},\ 150^{\circ}$   $\div 2:\ \theta=15^{\circ},\ 75^{\circ}$ You halve at the end because you doubled at the start.เปลี่ยนช่วง · แก้ · แล้วย้อนกลับ: $2\theta=30^{\circ},\ 150^{\circ}$   $\div 2:\ \theta=15^{\circ},\ 75^{\circ}$ หารสองตอนท้าย เพราะคูณสองไว้ตอนต้น
  4. New shape: $\sin(\theta-30^{\circ})=\tfrac12$ for $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (degrees). Before solving anything: the bracket $\theta-30^{\circ}$ runs from one end value to another. Give those two end values in degrees, separated by a comma.หน้าตาใหม่: $\sin(\theta-30^{\circ})=\tfrac12$ เมื่อ $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (องศา) · ก่อนแก้อะไรทั้งนั้น: ก้อน $\theta-30^{\circ}$ วิ่งจากค่าปลายหนึ่งไปอีกค่าปลายหนึ่ง · ตอบค่าปลายสองค่านั้นเป็นองศา คั่นด้วยจุลภาค
    Answer:เฉลย: $-30^{\circ}\le\theta-30^{\circ}\le330^{\circ}$A shift moves, never stretches: $0^{\circ}\le\theta\le 360^{\circ}$   $-30^{\circ}:\ -30^{\circ}\le\theta-30^{\circ}\le 330^{\circ}$ The negative end matters — a root at $-10^{\circ}$ is now allowed.การเลื่อน แค่ขยับ ไม่ได้ยืด: $0^{\circ}\le\theta\le 360^{\circ}$   $-30^{\circ}:\ -30^{\circ}\le\theta-30^{\circ}\le 330^{\circ}$ ปลายที่ติดลบสำคัญ — รากที่ $-10^{\circ}$ ใช้ได้แล้ว
  5. Exam: Solve $\sin(\theta-30^{\circ})=\tfrac12$ for $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (degrees). Give both roots, separated by a comma.  (4 marks)ข้อสอบ: แก้ $\sin(\theta-30^{\circ})=\tfrac12$ เมื่อ $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (องศา) · ตอบสองราก คั่นด้วยจุลภาค  (4 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\theta-30^{\circ}=30^{\circ},150^{\circ}\Rightarrow\theta=60^{\circ},\ 180^{\circ}$4 marks: $\text{M1}\quad -30^{\circ}\le\theta-30^{\circ}\le 330^{\circ}$   $\text{A1}\quad \theta-30^{\circ}=30^{\circ}$   $\text{A1}\quad \theta-30^{\circ}=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$   $\text{A1}\quad \theta=60^{\circ},\ 180^{\circ}$ Same three steps as $\sin 2\theta$ — sliding instead of stretching.4 คะแนน: $\text{M1}\quad -30^{\circ}\le\theta-30^{\circ}\le 330^{\circ}$   $\text{A1}\quad \theta-30^{\circ}=30^{\circ}$   $\text{A1}\quad \theta-30^{\circ}=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}$   $\text{A1}\quad \theta=60^{\circ},\ 180^{\circ}$ สามสเต็ปเดิมกับ $\sin 2\theta$ — แค่เลื่อนแทนยืด

7. Quadratics in disguiseสมการกำลังสองที่แฝงตัวมา

Factorise in $\sin\theta$. Then use the interval steps on each root.
Reject the root that is impossible.แยกตัวประกอบในตัวแปร $\sin\theta$ · แล้วใช้ขั้นตอนเรื่องช่วงกับรากแต่ละตัว
ตัดรากที่เป็นไปไม่ได้ทิ้ง

$2\sin^{2}\theta-\sin\theta-1=0$ is $2s^{2}-s-1=0$$2\sin^{2}\theta-\sin\theta-1=0$ ก็คือ $2s^{2}-s-1=0$

  1. From $(2s+1)(s-1)=0$ with $s=\sin\theta$, what does $2\sin^{2}\theta-\sin\theta-1=0$ give you?จาก $(2s+1)(s-1)=0$ โดย $s=\sin\theta$ · แล้ว $2\sin^{2}\theta-\sin\theta-1=0$ ให้อะไรออกมา?
    Answer:เฉลย: $\sin\theta=-\dfrac{1}{2}$  or  $\sin\theta=1$Solve for $\sin\theta$, not $\theta$: $(2s+1)(s-1)=0,\quad s=\sin\theta$   $\sin\theta=-\tfrac12\quad\text{or}\quad \sin\theta=1$   $\text{two trig equations, each needs the interval}$ Writing $\theta=$ instead of $\sin\theta=$ is the expensive slip.แก้หาค่า $\sin\theta$ ไม่ใช่ $\theta$: $(2s+1)(s-1)=0,\quad s=\sin\theta$   $\sin\theta=-\tfrac12\quad\text{or}\quad \sin\theta=1$   $\text{two trig equations, each needs the interval}$ เขียน $\theta=$ แทน $\sin\theta=$ คือพลาดที่แพงที่สุด
  2. Hence solve $2\sin^{2}\theta-\sin\theta-1=0$ for $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (degrees). Give all three roots, separated by commas.จากนั้นแก้ $2\sin^{2}\theta-\sin\theta-1=0$ เมื่อ $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (องศา) · ตอบให้ครบทั้งสามราก คั่นด้วยจุลภาค
    Answer:เฉลย: $\sin\theta=-\tfrac12\Rightarrow\theta=210^{\circ},330^{\circ}$;  $\sin\theta=1\Rightarrow\theta=90^{\circ}$Count the roots on the graph: $\sin\theta=-\tfrac12\ \Rightarrow\ \theta=210^{\circ},\ 330^{\circ}$   $\sin\theta=1\ \Rightarrow\ \theta=90^{\circ}$   $\theta=90^{\circ},\ 210^{\circ},\ 330^{\circ}$ $1$ sits at the very top of the curve, so it gives one angle.นับรากจากกราฟ: $\sin\theta=-\tfrac12\ \Rightarrow\ \theta=210^{\circ},\ 330^{\circ}$   $\sin\theta=1\ \Rightarrow\ \theta=90^{\circ}$   $\theta=90^{\circ},\ 210^{\circ},\ 330^{\circ}$ $1$ อยู่ยอดกราฟพอดี เลยได้มุมเดียว
  3. Exam: Solve $2\cos^{2}\theta-3\sin\theta=0$ for $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (degrees). Give all roots, separated by a comma.  (5 marks)ข้อสอบ: แก้ $2\cos^{2}\theta-3\sin\theta=0$ เมื่อ $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (องศา) · ตอบรากให้ครบ คั่นด้วยจุลภาค  (5 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $2(1-\sin^{2}\theta)-3\sin\theta=0\Rightarrow 2\sin^{2}\theta+3\sin\theta-2=0\Rightarrow(2\sin\theta-1)(\sin\theta+2)=0$.  $\sin\theta=-2$ is impossible, so $\sin\theta=\tfrac12$ and $\theta=30^{\circ},\ 150^{\circ}$5 marks: $\text{M1}\quad \cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta$   $\text{A1}\quad 2\sin^{2}\theta+3\sin\theta-2=0$   $\text{M1}\quad (2\sin\theta-1)(\sin\theta+2)=0$   $\text{A1}\quad \sin\theta=\tfrac12;\quad \sin\theta=-2\ \text{rejected}$   $\text{A1}\quad \theta=30^{\circ},\ 150^{\circ}$ Write “no solutions since $-1\le\sin\theta\le1$” — dropping it silently earns nothing.5 คะแนน: $\text{M1}\quad \cos^{2}\theta=1-\sin^{2}\theta$   $\text{A1}\quad 2\sin^{2}\theta+3\sin\theta-2=0$   $\text{M1}\quad (2\sin\theta-1)(\sin\theta+2)=0$   $\text{A1}\quad \sin\theta=\tfrac12;\quad \sin\theta=-2\ \text{rejected}$   $\text{A1}\quad \theta=30^{\circ},\ 150^{\circ}$ ต้องเขียน “no solutions since $-1\le\sin\theta\le1$” ตัดทิ้งเฉยๆ ไม่ได้คะแนน
  4. Exam: Solve $3\sin(2\theta-40^{\circ})=2$ for $0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ}$ (degrees), giving your answers to 1 decimal place. Give both roots, separated by a comma.  (6 marks)ข้อสอบ: แก้สมการ $3\sin(2\theta-40^{\circ})=2$ ในช่วง $0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ}$ (องศา) · ตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง · ตอบทั้งสองราก คั่นด้วยลูกน้ำ  (6 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $2\theta-40^{\circ}=41.8^{\circ},\,138.2^{\circ} \Rightarrow \theta=40.9^{\circ},\,89.1^{\circ}$6 marks: $\text{M1}\quad \sin(2\theta-40^{\circ})=\tfrac23$   $\text{M1}\quad -40^{\circ}\le 2\theta-40^{\circ}\le 320^{\circ}$   $\text{A1}\quad 2\theta-40^{\circ}=41.8^{\circ}$   $\text{A1}\quad 180^{\circ}-41.8^{\circ}=138.2^{\circ}$   $\text{A1}\quad \theta=\dfrac{41.8+40}{2}=40.9^{\circ}$   $\text{A1}\quad \theta=\dfrac{138.2+40}{2}=89.1^{\circ}$ $401.8^{\circ}$ and $-221.8^{\circ}$ fall outside the shifted interval.6 คะแนน: $\text{M1}\quad \sin(2\theta-40^{\circ})=\tfrac23$   $\text{M1}\quad -40^{\circ}\le 2\theta-40^{\circ}\le 320^{\circ}$   $\text{A1}\quad 2\theta-40^{\circ}=41.8^{\circ}$   $\text{A1}\quad 180^{\circ}-41.8^{\circ}=138.2^{\circ}$   $\text{A1}\quad \theta=\dfrac{41.8+40}{2}=40.9^{\circ}$   $\text{A1}\quad \theta=\dfrac{138.2+40}{2}=89.1^{\circ}$ $401.8^{\circ}$ กับ $-221.8^{\circ}$ หลุดช่วงที่เลื่อนแล้ว
  5. Solve $5\sin\theta=2\cos\theta$ for $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (degrees), giving your answers to 1 decimal place. Give both roots, separated by a comma.แก้สมการ $5\sin\theta=2\cos\theta$ ในช่วง $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (องศา) · ตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง · ตอบทั้งสองราก คั่นด้วยลูกน้ำ
    Answer:เฉลย: $\tan\theta=\tfrac25 \Rightarrow \theta=21.8^{\circ},\,201.8^{\circ}$Count the powers first: $\text{all first powers}\ \Rightarrow\ \div\cos\theta$   $5\tan\theta=2\ \Rightarrow\ \tan\theta=\tfrac{2}{5}$   $\theta=21.8^{\circ}$   $\tan\text{ repeats every }180^{\circ}\ \Rightarrow\ 21.8+180=201.8^{\circ}$   $\text{a squared term}\ \Rightarrow\ \text{use }\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1\ \text{instead}$ Never $180-21.8$ — that partner rule belongs to $\sin$.นับกำลังก่อน: $\text{all first powers}\ \Rightarrow\ \div\cos\theta$   $5\tan\theta=2\ \Rightarrow\ \tan\theta=\tfrac{2}{5}$   $\theta=21.8^{\circ}$   $\tan\text{ repeats every }180^{\circ}\ \Rightarrow\ 21.8+180=201.8^{\circ}$   $\text{a squared term}\ \Rightarrow\ \text{use }\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1\ \text{instead}$ ห้ามใช้ $180-21.8$ — กฎคู่หูอันนั้นของ $\sin$

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. Solve $2\sin\theta=1$ for $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (degrees).Same as level 3, with one tidying step first.
    Divide by $2$, then use the partner rule $180^{\circ}-\alpha$.
    It is a short question. Build confidence before the harder ones.    เหมือนขั้นที่ 3 มีขั้นจัดรูปนำหน้าหนึ่งขั้น
    หารด้วยสองก่อน แล้วใช้กฎมุมคู่ $180^{\circ}-\alpha$
    ข้อนี้สั้น · สร้างความมั่นใจก่อนไปข้อที่ยากกว่า
  2. Solve $\tan\theta=-\sqrt{3}$ for $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ (degrees).Same method, but the value is negative and the calculator returns $-60^{\circ}$, which is outside the interval. Take $\alpha=60^{\circ}$ as the size, then place the roots using the sign — that habit is what keeps negatives harmless.วิธีเดิม แต่ค่าติดลบ เครื่องคิดเลขคาย $-60^{\circ}$ ซึ่งอยู่นอกช่วง · ให้ใช้ $\alpha=60^{\circ}$ เป็นขนาด แล้ววางรากตามเครื่องหมาย — นิสัยนี้ทำให้เลขติดลบไม่อันตราย
  3. Solve $\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ for $0\le x\le 2\pi$ (radians).New letter, and radians instead of degrees.
    The circle is the same. The reference angle is $\frac{\pi}{4}$.
    cos is negative on the left half, so both roots are there: $\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$ and $\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$.
    The other way round: the calculator gives $\frac{3\pi}{4}$, and its cos partner is $2\pi-\frac{3\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$.
    If you learned '$360$' instead of 'one full turn', this question is hard.    เปลี่ยนตัวอักษร และเปลี่ยนเป็นเรเดียน
    วงกลมยังเหมือนเดิม · มุมอ้างอิงคือ $\frac{\pi}{4}$
    cos ติดลบที่ครึ่งซ้าย รากทั้งสองจึงอยู่ที่นั่น: $\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$ และ $\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$
    อีกทางหนึ่ง: เครื่องคิดเลขให้ $\frac{3\pi}{4}$ คู่ของ cos คือ $2\pi-\frac{3\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$
    ถ้าจำมาว่า '$360$' แทนที่จะจำว่า 'ครบหนึ่งรอบ' ข้อนี้จะยาก
  4. Solve $\sin 2\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}$ for $0^{\circ}\le\theta\le180^{\circ}$ (degrees).Here the interval change is joined to the solving steps.
    Double the interval, find both roots for $2\theta$, then halve them.
    Two steps you already know. There is no new mathematics.    ข้อนี้เอาการแปลงช่วงมาต่อกับขั้นตอนแก้สมการ
    คูณสองที่ช่วง · หารากของ $2\theta$ ให้ครบ · แล้วหารสอง
    สองขั้นที่รู้แล้วมาต่อกัน · ไม่มีคณิตศาสตร์ใหม่
  5. (a) Show that $2\sin^{2}\theta+3\cos\theta-3=0$ can be written as $2\cos^{2}\theta-3\cos\theta+1=0$. (2 marks)  (b) Hence solve $2\sin^{2}\theta+3\cos\theta-3=0$ for $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$. (4 marks)Full exam shape: 'show that' does the identity work for you in part (a), and 'hence' means part (b) must start from the line you just proved. Note $\cos\theta=1$ gives both endpoints — a closed interval includes them, and dropping either loses a mark.หน้าตาข้อสอบเต็มรูปแบบ: 'show that' บังคับให้ใช้เอกลักษณ์ในข้อ (a) ส่วน 'hence' แปลว่าข้อ (b) ต้องเริ่มจากบรรทัดที่เพิ่งพิสูจน์ · สังเกตว่า $\cos\theta=1$ ให้ปลายช่วงทั้งสองข้าง — ช่วงปิดนับปลายด้วย ตกไปข้างหนึ่งก็เสียคะแนน
  6. A student solves $\sin 2\theta=\tfrac12$ for $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$ and writes: "$2\theta=30^{\circ}$ or $150^{\circ}$, so $\theta=15^{\circ}$ or $75^{\circ}$." Find the error and give the full solution.Every line the student wrote is correct. The missing line comes before all of them.
    Two roots should be four roots. The two that are missing are worth two marks.
    Finding someone else's mistake shows that you will not make it yourself.    ทุกบรรทัดที่นักเรียนเขียนถูกหมด · บรรทัดที่หายไปคือบรรทัดที่ต้องมาก่อนทั้งหมดนั้น
    สองรากควรเป็นสี่ราก · สองตัวที่หายไปมีค่าสองคะแนน
    การหาความผิดพลาดของคนอื่นได้ แสดงว่าเราจะไม่ทำผิดแบบนั้นเอง
  7. (a) Show that $3\sin^{2}\theta=2+2\cos\theta$ can be written as $3\cos^{2}\theta+2\cos\theta-1=0$. (2 marks)  (b) Hence solve $3\sin^{2}\theta=2+2\cos\theta$ for $0^{\circ}\le\theta\le360^{\circ}$, giving your answers to $1$ decimal place where appropriate. (5 marks)This question uses everything: an identity, a quadratic, both roots of the factor that gives answers, the single root from $\cos\theta=-1$, and a rounding instruction.
    Note that $\cos\theta=-1$ is not rejected. It is at the edge of the range, so it is allowed, unlike $\sin\theta=-2$.
    Always check whether a value that looks impossible really is impossible.    ข้อนี้ใช้ทุกอย่าง: เอกลักษณ์ · สมการกำลังสอง · รากทั้งสองจากตัวประกอบที่ให้คำตอบ · รากเดี่ยวจาก $\cos\theta=-1$ · และคำสั่งเรื่องการปัดเศษ
    สังเกตว่า $\cos\theta=-1$ ไม่ถูกตัดทิ้ง · มันอยู่ริมพิสัยพอดี จึงใช้ได้ ต่างจาก $\sin\theta=-2$
    ให้ตรวจเสมอว่าค่าที่ดูเป็นไปไม่ได้ เป็นไปไม่ได้จริงหรือไม่

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี