A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: Pure 1 (9709/1)
Trig identities & equations เอกลักษณ์และสมการตรีโกณ
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
🪜Learn Never learnt this? Start from zero in Teach Modeเรียน ยังไม่เคยเรียนเรื่องนี้? เริ่มตั้งแต่ศูนย์ในโหมดสอนIt starts from something you already know and climbs one small step at a time — you answer, it moves.เริ่มจากของที่น้องทำเป็นอยู่แล้ว แล้วไต่ทีละขั้นเล็กๆ น้องตอบ แล้วค่อยไปต่อTrig identities & equationsเอกลักษณ์และสมการตรีโกณ
📐Know the pieces but stuck on a whole exam question?รู้ทีละส่วนแล้ว แต่ทำข้อสอบเต็มข้อไม่ได้?Each set takes one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill; question 10 is the exam question itself.แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แยกเป็นสเต็ปย่อย แล้วไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงTrig identities laddersชุดไต่ระดับ · เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
Trig identities & equations · progressเอกลักษณ์และสมการตรีโกณ · ความคืบหน้า
Questionsคำถามที่พบบ่อย
Questionโจทย์
Step-by-step practice loads here. If it does not appear, everything you need is under Revision notes.
แบบฝึกทีละสเต็ปจะขึ้นตรงนี้ ถ้าไม่ขึ้น เนื้อหาทั้งหมดอยู่ในแท็บ สรุปเนื้อหา
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| "$2\sin^2\theta+3\cos\theta=3$""$2\sin^2\theta+3\cos\theta=3$" | Swap $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ → quadratic in $\cos\theta$แทน $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ → สมการกำลังสองใน $\cos\theta$ | try → ลอง → |
| "$3\sin\theta=2\cos\theta$""$3\sin\theta=2\cos\theta$" | Divide by $\cos\theta$: $\tan\theta=\tfrac23$หารด้วย $\cos\theta$: $\tan\theta=\tfrac23$ | try → ลอง → |
| "Solve for $0\le x<360^\circ$ ... $\sin 2x=0.5$""แก้สมการในช่วง $0\le x<360^\circ$ ... $\sin 2x=0.5$" | Substitute $u=2x$, widen the interval to $0\le u<720^\circ$, solve, then halveแทน $u=2x$ ขยายช่วงเป็น $0\le u<720^\circ$ แก้แล้วหารสอง | try → ลอง → |
| "Show that…" (identity)"Show that…" (เอกลักษณ์) | Start from one side, use $\sin^2+\cos^2=1$ and $\tan=\frac{\sin}{\cos}$เริ่มจากด้านเดียว ใช้ $\sin^2+\cos^2=1$ และ $\tan=\frac{\sin}{\cos}$ | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
Pythagorean เอกลักษณ์พีทาโกรัส$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$
Quotient เอกลักษณ์ผลหาร$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$
Second solutions คำตอบตัวที่สอง$\sin: 180^\circ-\alpha$ · $\cos: 360^\circ-\alpha$ · $\tan: \alpha+180^\circ$
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
Solve $2\sin^2\theta+3\cos\theta=3$ for $0\le\theta\le 360^\circ$. (6 marks)
M1
Replace $\sin^2\theta$: $2(1-\cos^2\theta)+3\cos\theta=3$
A1
$2\cos^2\theta-3\cos\theta+1=0$
M1
Factorise: $(2\cos\theta-1)(\cos\theta-1)=0$
A1
$\cos\theta=\tfrac12$ or $\cos\theta=1$
M1
$\cos\theta=\tfrac12: \theta=60^\circ, 300^\circ$; $\;\cos\theta=1: \theta=0^\circ, 360^\circ$
A1
$\theta=0^\circ,\ 60^\circ,\ 300^\circ,\ 360^\circ$
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. Solve $3\sin x=2\cos x$ for $0\le x\le 360^\circ$ (1 d.p.).3 markssolution ▾
$\tan x=\tfrac23 \Rightarrow x=33.7^\circ$ and $x=33.7^\circ+180^\circ=\mathbf{213.7^\circ}$. So $x=\mathbf{33.7^\circ, 213.7^\circ}$.
P2. Solve $\sin 2x=\dfrac{\sqrt3}{2}$ for $0\le x<180^\circ$.4 markssolution ▾
Let $u=2x\in[0,360^\circ)$: $u=60^\circ, 120^\circ$.
$x=\mathbf{30^\circ, 60^\circ}$.
$x=\mathbf{30^\circ, 60^\circ}$.
P3. Show that $\dfrac{\sin^2\theta}{1-\cos\theta}\equiv 1+\cos\theta$.3 markssolution ▾
LHS $=\dfrac{1-\cos^2\theta}{1-\cos\theta}=\dfrac{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}{1-\cos\theta}=1+\cos\theta=$ RHS. ∎
Vocab ศัพท์ต้องรู้
identity เอกลักษณ์ (จริงทุกค่า ≠ สมการ) · solve แก้สมการ · solutions/roots คำตอบ/ราก · interval ช่วง · satisfy สอดคล้องกับ
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗Never divide by $\sin\theta$ or $\cos\theta$ อย่าหารด้วยตัวที่อาจเป็นศูนย์If it could be zero, you lose solutions — factorise instead.
✗Count the interval นับช่วงให้ครบFor $\sin 2x$ on $0\le x<360^\circ$, the $u=2x$ interval is $0\le u<720^\circ$ — expect up to 4 answers, not 2.
✗Don't stop at the calculator value คำตอบมีมากกว่าหนึ่งตัวThe calculator gives one angle. Use a CAST diagram or a quick graph sketch to find every solution in the interval.
✗Identity ≠ equation เอกลักษณ์ ≠ สมการIn a "show that", work from one side to the other — don't move terms across the ≡ sign as if you were solving.
✗Read $\le$ vs $<$ เช็คขอบช่วงAn endpoint solution counts in $0\le\theta\le 360^\circ$ but is rejected in $0\le\theta<360^\circ$ — re-read the interval before the final line.
Know the method? Here is what to do next.เข้าใจวิธีแล้ว? ขั้นต่อไปทำแบบนี้
TestสอบPure 2 paperข้อสอบ Pure 2
The pack is marked the way the examiner marks it, method marks included.ชุดฝึกตรวจแบบเดียวกับกรรมการ รวมคะแนนวิธีทำด้วย