A-Level Pure 2 · Edexcel IAL WMA12 · CAIE: Pure 1 (9709/1)
Trig identities & equations เอกลักษณ์และสมการตรีโกณ
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| "$2\sin^2\theta+3\cos\theta=3$""$2\sin^2\theta+3\cos\theta=3$" | Swap $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ → quadratic in $\cos\theta$แทน $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ → สมการกำลังสองใน $\cos\theta$ | try → ลอง → |
| "$3\sin\theta=2\cos\theta$""$3\sin\theta=2\cos\theta$" | Divide by $\cos\theta$: $\tan\theta=\tfrac23$หารด้วย $\cos\theta$: $\tan\theta=\tfrac23$ | try → ลอง → |
| "Solve for $0\le x<360^\circ$ ... $\sin 2x=0.5$""แก้สมการในช่วง $0\le x<360^\circ$ ... $\sin 2x=0.5$" | Substitute $u=2x$, widen the interval to $0\le u<720^\circ$, solve, then halveแทน $u=2x$ ขยายช่วงเป็น $0\le u<720^\circ$ แก้แล้วหารสอง | try → ลอง → |
| "Show that…" (identity)"Show that…" (เอกลักษณ์) | Start from one side, use $\sin^2+\cos^2=1$ and $\tan=\frac{\sin}{\cos}$เริ่มจากด้านเดียว ใช้ $\sin^2+\cos^2=1$ และ $\tan=\frac{\sin}{\cos}$ | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
Pythagorean เอกลักษณ์พีทาโกรัส$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$
Quotient เอกลักษณ์ผลหาร$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$
Second solutions คำตอบตัวที่สอง$\sin: 180^\circ-\alpha$ · $\cos: 360^\circ-\alpha$ · $\tan: \alpha+180^\circ$
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
Solve $2\sin^2\theta+3\cos\theta=3$ for $0\le\theta\le 360^\circ$. (6 marks)
M1
Replace $\sin^2\theta$: $2(1-\cos^2\theta)+3\cos\theta=3$
A1
$2\cos^2\theta-3\cos\theta+1=0$
M1
Factorise: $(2\cos\theta-1)(\cos\theta-1)=0$
A1
$\cos\theta=\tfrac12$ or $\cos\theta=1$
M1
$\cos\theta=\tfrac12: \theta=60^\circ, 300^\circ$; $\;\cos\theta=1: \theta=0^\circ, 360^\circ$
A1
$\theta=0^\circ,\ 60^\circ,\ 300^\circ,\ 360^\circ$
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. Solve $3\sin x=2\cos x$ for $0\le x\le 360^\circ$ (1 d.p.).3 markssolution ▾
$\tan x=\tfrac23 \Rightarrow x=33.7^\circ$ and $x=33.7^\circ+180^\circ=\mathbf{213.7^\circ}$. So $x=\mathbf{33.7^\circ, 213.7^\circ}$.
P2. Solve $\sin 2x=\dfrac{\sqrt3}{2}$ for $0\le x<180^\circ$.4 markssolution ▾
Let $u=2x\in[0,360^\circ)$: $u=60^\circ, 120^\circ$.
$x=\mathbf{30^\circ, 60^\circ}$.
$x=\mathbf{30^\circ, 60^\circ}$.
P3. Show that $\dfrac{\sin^2\theta}{1-\cos\theta}\equiv 1+\cos\theta$.3 markssolution ▾
LHS $=\dfrac{1-\cos^2\theta}{1-\cos\theta}=\dfrac{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}{1-\cos\theta}=1+\cos\theta=$ RHS. ∎
Vocab ศัพท์ต้องรู้
identity เอกลักษณ์ (จริงทุกค่า ≠ สมการ) · solve แก้สมการ · solutions/roots คำตอบ/ราก · interval ช่วง · satisfy สอดคล้องกับ
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗Never divide by $\sin\theta$ or $\cos\theta$ อย่าหารด้วยตัวที่อาจเป็นศูนย์If it could be zero, you lose solutions — factorise instead.
✗Count the interval นับช่วงให้ครบFor $\sin 2x$ on $0\le x<360^\circ$, the $u=2x$ interval is $0\le u<720^\circ$ — expect up to 4 answers, not 2.
✗Don't stop at the calculator value คำตอบมีมากกว่าหนึ่งตัวThe calculator gives one angle. Use a CAST diagram or a quick graph sketch to find every solution in the interval.
✗Identity ≠ equation เอกลักษณ์ ≠ สมการIn a "show that", work from one side to the other — don't move terms across the ≡ sign as if you were solving.
✗Read $\le$ vs $<$ เช็คขอบช่วงAn endpoint solution counts in $0\le\theta\le 360^\circ$ but is rejected in $0\le\theta<360^\circ$ — re-read the interval before the final line.
Keep going, free ไปต่อ ฟรี
Nice work so far. Drop your email to unlock every level and the other topics. We'll tune them to your board. ทำได้ดีแล้ว ใส่อีเมลเพื่อปลดล็อกทุกระดับและหัวข้ออื่นๆ เราจะจัดให้ตรงกับ board ที่คุณสอบ