Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Binomial series for any powerอนุกรมทวินาม (กำลังตรรกยะ)

A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: Pure 3 (9709/3) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

Read a coefficient off, and write a short expansionอ่านสัมประสิทธิ์ออกมา กับกระจายกำลังสั้น ๆ

For $(1+x)^{-1}$ the list never ends — you take a few terms and say when it is valid.$(1+x)^{-1}$ ไม่มีวันจบ — เอาไม่กี่พจน์ แล้วบอกว่าใช้ได้เมื่อไร

  1. From the expansion above: what is the coefficient of $x^{2}$ in $(1+x)^{4}$?จากการกระจายข้างบน: สัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$ ใน $(1+x)^{4}$ คือเท่าไร?
    Answer:เฉลย: $6$Write it the second way: $\binom{4}{2}=6$   $\frac{4\times 3}{2!}=6$ This whole lesson is built on the second form.เขียนแบบที่สองไว้ให้ชิน: $\binom{4}{2}=6$   $\frac{4\times 3}{2!}=6$ บทนี้ทั้งบท สร้างจากรูปที่สอง
  2. Expand $(1+x)^{3}$.กระจาย $(1+x)^{3}$
    Answer:เฉลย: $1+3x+3x^{2}+x^{3}$Four terms, then it stops: $n=3\ \Rightarrow\ 3+1=4\text{ terms}$   $(1+x)^{3}=1+3x+3x^{2}+x^{3}$ Today that 'stops dead' is the thing that disappears.สี่พจน์ แล้วหยุดสนิท: $n=3\ \Rightarrow\ 3+1=4\text{ terms}$   $(1+x)^{3}=1+3x+3x^{2}+x^{3}$ วันนี้ 'หยุดสนิท' นี่แหละ คือสิ่งที่จะหายไป
  3. Index work: write out $(-2x)^{2}$.เรื่องกำลัง: กระจาย $(-2x)^{2}$ ออกมา
    Answer:เฉลย: $4x^{2}$The sign takes the power too: $(-2x)^{2}=(-2)^{2}x^{2}=4x^{2}$ This one habit is worth two marks on an IAL P4 paper.เครื่องหมายก็โดนยกกำลังด้วย: $(-2x)^{2}=(-2)^{2}x^{2}=4x^{2}$ นิสัยนี้อย่างเดียว มีค่าสองคะแนนในข้อสอบ IAL P4

2. Where the finite one stopsทวินามแบบจบ หยุดตรงไหน

For a positive whole $n$, $(1+x)^{n}$ has $n+1$ terms, then stops — exactly.ถ้า $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก $(1+x)^{n}$ มี $n+1$ พจน์ แล้วจบพอดี แบบไม่มีที่ผิด

The P1 binomial, one more lookทวินาม P1 ขอมองอีกรอบ

  1. How many terms does the expansion of $(1+x)^{7}$ have?การกระจาย $(1+x)^{7}$ มีกี่พจน์?
    Answer:เฉลย: $8$$n+1$ terms, then silence: $x^{0}\ \text{to}\ x^{7}$   $7+1=8$ In ten minutes we meet a power that produces terms forever.ได้ $n+1$ พจน์ แล้วเงียบ: $x^{0}\ \text{to}\ x^{7}$   $7+1=8$ อีกสิบนาที จะเจอกำลังที่ผลิตพจน์ไม่รู้จบ
  2. The $x^{2}$ coefficient of $(1+x)^{5}$ can be written $\dfrac{5\times4}{2!}$. Work it out.สัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$ ใน $(1+x)^{5}$ เขียนได้เป็น $\dfrac{5\times4}{2!}$ · คิดออกมาเลย
    Answer:เฉลย: $\dfrac{5\times4}{2!}=\dfrac{20}{2}=10$No factorial needed: $\frac{5\times 4}{2!}=\frac{20}{2}=10$   $\binom{5}{2}=10$   $\frac{n(n-1)}{2!}\ \text{uses no }n!$ $\frac{n(n-1)}{2!}$ still works at $n=-1$ or $n=\tfrac12$; the factorial does not.ไม่ต้องใช้แฟกทอเรียลเลย: $\frac{5\times 4}{2!}=\frac{20}{2}=10$   $\binom{5}{2}=10$   $\frac{n(n-1)}{2!}\ \text{uses no }n!$ $\frac{n(n-1)}{2!}$ ยังใช้ได้ตอน $n=-1$ หรือ $n=\tfrac12$ · แบบแฟกทอเรียลใช้ไม่ได้
  3. Push the P1 formula somewhere it does not belong. For $(1+x)^{-1}$ the $x^{2}$ coefficient would be $\binom{-1}{2}=\dfrac{(-1)!}{2!\,(-3)!}$. What goes wrong?ลองดันสูตร P1 ไปในที่ที่มันไม่ควรอยู่ · ถ้าเป็น $(1+x)^{-1}$ สัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$ จะเป็น $\binom{-1}{2}=\dfrac{(-1)!}{2!\,(-3)!}$ · มีอะไรพัง?
    Answer:เฉลย: $(-3)!$ does not exist — the $\binom{n}{r}$ form is stuck.$(-3)!$ ไม่มีอยู่จริง — รูป $\binom{n}{r}$ ไปต่อไม่ได้The factorial form is stuck: $\binom{-1}{2}=\frac{(-1)!}{2!\,(-3)!}\ \text{undefined}$   $\frac{n(n-1)}{2!}=\frac{(-1)(-2)}{2}=1$ Counting $n$ downwards works for $-1,-2,-3$ — that is the whole P4 topic.รูปแฟกทอเรียลไปต่อไม่ได้: $\binom{-1}{2}=\frac{(-1)!}{2!\,(-3)!}\ \text{undefined}$   $\frac{n(n-1)}{2!}=\frac{(-1)(-2)}{2}=1$ นับ $n$ ถอยลงมาใช้ได้กับ $-1,-2,-3$ · นี่คือทั้งบท P4 ทวินาม

3. The series for any powerอนุกรมสำหรับกำลังทุกแบบ

$(1+x)^{n}$ now works for $n=-1$, $n=\tfrac12$, anything — at the price that it never stops.$(1+x)^{n}$ ใช้ได้กับ $n=-1$, $n=\tfrac12$ หรืออะไรก็ได้ — แลกกับการที่มันไม่มีวันจบ

Throw the factorials away, keep the counting downทิ้งแฟกทอเรียล เก็บการนับถอยไว้

  1. Label the parts before writing anything else. In $(1-2x)^{\frac12}$, what is $n$ and what plays the part of $x$?ติดป้ายให้ครบก่อนเขียนอย่างอื่น · ใน $(1-2x)^{\frac12}$ อะไรคือ $n$ และอะไรมารับบทเป็น $x$?
    Answer:เฉลย: $n=\tfrac12$ and the "$x$" is $-2x$$n=\tfrac12$ และ "$x$" คือ $-2x$Label $n$ and the lump: $n=\tfrac12$   $\text{“}x\text{”}=-2x$ Write both labels first — most marks in this topic go at this step.ตั้งชื่อ $n$ กับก้อนข้างใน: $n=\tfrac12$   $\text{“}x\text{”}=-2x$ เขียนชื่อทั้งสองก่อน · คะแนนบทนี้หายที่ขั้นนี้มากที่สุด
  2. Substitution only, nothing worked out yet. Which is the $x^{2}$ term of $(1-2x)^{\frac12}$?แทนค่าอย่างเดียว ยังไม่ต้องคิดเลข · พจน์ $x^{2}$ ของ $(1-2x)^{\frac12}$ คือข้อไหน?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{\frac12\left(\frac12-1\right)}{2!}(-2x)^{2}$Substitute the lump, brackets and all: $\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)}{2!}(-2x)^{2}$ Write the brackets now and the sign takes care of itself later.แทนทั้งก้อน พร้อมวงเล็บ: $\frac{\frac12\left(\frac12-1\right)}{2!}(-2x)^{2}$ ใส่วงเล็บตั้งแต่ตอนนี้ · เครื่องหมายจะถูกเอง
  3. Now evaluate it: find the coefficient of $x^{2}$ in the expansion of $(1-2x)^{\frac12}$.ทีนี้คิดออกมาเป็นตัวเลข: หาสัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$ ในการกระจาย $(1-2x)^{\frac12}$
    Answer:เฉลย: $-\dfrac12$  (from $-\tfrac18\times(-2)^{2}=-\tfrac18\times4$)$\dfrac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}(-2x)^{2}=-\tfrac18\cdot4x^{2}=-\tfrac{x^{2}}{2}$, so $(1-2x)^{1/2}=1-x-\tfrac{x^{2}}{2}-\cdots$. Label, substitute, evaluate — in that order, every single time.$\dfrac{\frac12\left(-\frac12\right)}{2}(-2x)^{2}=-\tfrac18\cdot4x^{2}=-\tfrac{x^{2}}{2}$ ดังนั้น $(1-2x)^{1/2}=1-x-\tfrac{x^{2}}{2}-\cdots$ · ติดป้าย แทนค่า คิดเลข — เรียงลำดับนี้ ทุกครั้ง
  4. The term that decides the mark: write down the term in $x^{3}$ of $(1-2x)^{\frac12}$.พจน์ที่ตัดสินคะแนน: เขียนพจน์ $x^{3}$ ของ $(1-2x)^{\frac12}$
    Answer:เฉลย: $-\dfrac{x^{3}}{2}$  (from $\tfrac{1}{16}\times(-8x^{3})$)Cubes expose a lost sign: $\tfrac{1}{16}\times(-8x^{3})=-\tfrac{x^{3}}{2}$ That is why the mark scheme always asks you to go as far as $x^{3}$.กำลังสามเผยเครื่องหมายที่หาย: $\tfrac{1}{16}\times(-8x^{3})=-\tfrac{x^{3}}{2}$ เพราะแบบนี้ เฉลยถึงให้กระจายไปถึง $x^{3}$ เสมอ

4. How small must x bex ต้องเล็กแค่ไหน

The series only equals the function while $|x|\lt1$ — and "$x$" means the whole bracket contents.อนุกรมเท่ากับฟังก์ชันเฉพาะตอน $|x|\lt1$ — และ "$x$" หมายถึงของทั้งก้อนในวงเล็บ

An endless sum must get smaller and smallerผลบวกที่ไม่มีวันจบ ต้องเล็กลงเรื่อยๆ

  1. For which values of $x$ is the expansion of $(1+x)^{-3}$ valid?การกระจาย $(1+x)^{-3}$ ใช้ได้กับ $x$ ค่าไหนบ้าง?
    Answer:เฉลย: $|x|\lt1$The bound is on the lump: $(1+x)^{-3}:\ \ \text{lump}=x$   $|x|\lt 1$ Everything in this level is that one sentence, on a different bracket.ขอบเขตอยู่ที่ก้อนข้างใน: $(1+x)^{-3}:\ \ \text{lump}=x$   $|x|\lt 1$ ทั้งขั้นนี้คือประโยคเดียวนี้ · เอาไปใช้กับวงเล็บอื่น
  2. The expansion of $(1-2x)^{\frac12}$ is valid for $|x|\lt k$.  Find $k$.การกระจาย $(1-2x)^{\frac12}$ ใช้ได้เมื่อ $|x|\lt k$  หา $k$
    Answer:เฉลย: $k=\dfrac12$  (from $|-2x|\lt1$)Bigger coefficient, smaller range: $|-2x|\lt 1$   $2|x|\lt 1$   $|x|\lt \tfrac12$ Quoting $|x|\lt1$ here is the commonest wrong answer in the topic.สัมประสิทธิ์ใหญ่ ช่วงยิ่งแคบ: $|-2x|\lt 1$   $2|x|\lt 1$   $|x|\lt \tfrac12$ ตอบ $|x|\lt1$ ตรงนี้ · คือคำตอบผิดที่เจอบ่อยที่สุดในบทนี้

5. Make the 1 appear firstทำให้เลข 1 โผล่มาก่อน

$(a+bx)^{n}$ is not ready for the series — take out $a^{n}$ and the $1$ appears.$(a+bx)^{n}$ ยังใช้สูตรไม่ได้ — ดึง $a^{n}$ ออกมา แล้วเลข $1$ จะโผล่เอง

$(4+x)^{\frac12}$ — the series refuses to start$(4+x)^{\frac12}$ — อนุกรมไม่ยอมเริ่ม

  1. $(4+x)^{\frac12}$The series needs a bracket starting with 1.อนุกรมต้องการวงเล็บที่ขึ้นต้นด้วย $1$
  2. $=\Big[4\Big(1+\tfrac{x}{4}\Big)\Big]^{\frac12}$Take a factor of 4 out of both terms.ดึงตัวประกอบ $4$ ออกจากทั้งสองพจน์
  3. $=4^{\frac12}\Big(1+\tfrac{x}{4}\Big)^{\frac12}$Apply the power to each part.ยกกำลังแยกทีละส่วน
  4. $=2\Big(1+\tfrac{x}{4}\Big)^{\frac12}$$4^{1/2}=2$. Now the series can start.$4^{1/2}=2$ — อนุกรมเริ่มได้แล้ว
  1. Which first line is right for $(9+x)^{-\frac12}$?บรรทัดแรกของ $(9+x)^{-\frac12}$ ข้อไหนถูก?
    Answer:เฉลย: $\dfrac13\left(1+\dfrac{x}{9}\right)^{-\frac12}$The $a$ leaves wearing the power: $(9+x)^{-\frac12}=\Big(9\big(1+\tfrac{x}{9}\big)\Big)^{-\frac12}$   $=9^{-\frac12}\left(1+\tfrac{x}{9}\right)^{-\frac12}$   $=\tfrac13\left(1+\tfrac{x}{9}\right)^{-\frac12}$ Two free checks: multiply the bracket back out, and test $x=0$.$a$ ออกมาพร้อมกำลังของมัน: $(9+x)^{-\frac12}=\Big(9\big(1+\tfrac{x}{9}\big)\Big)^{-\frac12}$   $=9^{-\frac12}\left(1+\tfrac{x}{9}\right)^{-\frac12}$   $=\tfrac13\left(1+\tfrac{x}{9}\right)^{-\frac12}$ เช็คฟรีสองอย่าง: คูณวงเล็บกลับ · แล้วลอง $x=0$
  2. Finish the front number: $9^{-\frac12}=\;?$เก็บตัวเลขข้างหน้าให้จบ: $9^{-\frac12}=\;?$
    Answer:เฉลย: $9^{-\frac12}=\dfrac{1}{\sqrt9}=\dfrac13$Front number, both index laws: $9^{-\frac12}=\frac{1}{9^{\frac12}}=\frac{1}{\sqrt9}=\frac13$ That front number multiplies every coefficient, so it costs the whole question.เลขหน้า ใช้กฎเลขยกกำลังสองข้อ: $9^{-\frac12}=\frac{1}{9^{\frac12}}=\frac{1}{\sqrt9}=\frac13$ เลขหน้าคูณสัมประสิทธิ์ทุกตัว · ผิดตัวเดียวเสียทั้งข้อ
  3. Find the coefficient of $x$ in the expansion of $(4+x)^{\frac12}$.หาสัมประสิทธิ์ของ $x$ ในการกระจาย $(4+x)^{\frac12}$
    Answer:เฉลย: $\dfrac14$  (from $2\times\tfrac12\times\tfrac{x}{4}=\tfrac{x}{4}$)Divide the $x$ as well: $(4+x)^{\frac12}=2\left(1+\tfrac{x}{4}\right)^{\frac12}$   $=2\left(1+\tfrac{x}{8}-\cdots\right)=2+\tfrac{x}{4}-\cdots$   $\left|\tfrac{x}{4}\right|\lt 1\ \Rightarrow\ |x|\lt 4$ The bound changes with the bracket too, not only the coefficients.ต้องหาร $x$ ด้วย: $(4+x)^{\frac12}=2\left(1+\tfrac{x}{4}\right)^{\frac12}$   $=2\left(1+\tfrac{x}{8}-\cdots\right)=2+\tfrac{x}{4}-\cdots$   $\left|\tfrac{x}{4}\right|\lt 1\ \Rightarrow\ |x|\lt 4$ ขอบเขตก็เปลี่ยนตามวงเล็บ ไม่ใช่แค่สัมประสิทธิ์

6. Turn it into a numberเปลี่ยนอนุกรมเป็นตัวเลข

Three terms and a small $x$ give a square root to four decimal places — provided that $x$ is inside the range.สามพจน์กับ $x$ เล็กๆ ให้ค่ารากที่สองถึงทศนิยมสี่ตำแหน่ง — ถ้า $x$ อยู่ในช่วงที่ใช้ได้

$\sqrt{0.96}$ without a calculatorหา $\sqrt{0.96}$ โดยไม่ใช้เครื่องคิดเลข

  1. You want $\sqrt{0.96}$ out of $(1-2x)^{\frac12}$. Which value of $x$ do you use?อยากได้ $\sqrt{0.96}$ จาก $(1-2x)^{\frac12}$ · ต้องใช้ $x$ เท่าไร?
    Answer:เฉลย: $1-2x=0.96 \Rightarrow x=0.02$Check $x$ against the bound: $1-2x=0.96$   $x=0.02$   $|0.02|\lt \tfrac12\ \checkmark$เช็ค $x$ กับขอบเขต: $1-2x=0.96$   $x=0.02$   $|0.02|\lt \tfrac12\ \checkmark$
  2. Use $1-x-\dfrac{x^{2}}{2}$ with $x=0.02$ to estimate $\sqrt{0.96}$, to 4 decimal places.ใช้ $1-x-\dfrac{x^{2}}{2}$ กับ $x=0.02$ ประมาณค่า $\sqrt{0.96}$ ตอบเป็นทศนิยม 4 ตำแหน่ง
    Answer:เฉลย: $1-0.02-0.0002=0.9798$  (true value $0.979796\ldots$)Small $x$, few terms needed: $1-0.02-0.0002=0.9798$   $x^{3}\text{ term}\approx 0.000004$   $\text{true value}=0.979796\ldots$$x$ เล็ก ใช้พจน์น้อย: $1-0.02-0.0002=0.9798$   $x^{3}\text{ term}\approx 0.000004$   $\text{true value}=0.979796\ldots$
  3. A student wants $\sqrt{3}$ from the same expansion, sets $1-2x=3$ to get $x=-1$, and starts adding terms. What actually happens?มีนักเรียนอยากได้ $\sqrt{3}$ จากการกระจายเดิม เลยตั้ง $1-2x=3$ ได้ $x=-1$ แล้วลงมือบวกพจน์ · จริงๆ แล้วเกิดอะไรขึ้น?
    Answer:เฉลย: $x=-1$ is outside $|x|\lt\tfrac12$, so this expansion cannot be used for $\sqrt3$.$x=-1$ อยู่นอก $|x|\lt\tfrac12$ · การกระจายนี้จึงใช้หา $\sqrt3$ ไม่ได้The range is the licence: $1-2x=3\ \Rightarrow\ x=-1$   $|-1|\gt \tfrac12$   $\text{series does not apply}$ IAL P4 hands out a mark for checking your $x$ against the bound.ช่วงที่ใช้ได้ คือใบอนุญาต: $1-2x=3\ \Rightarrow\ x=-1$   $|-1|\gt \tfrac12$   $\text{series does not apply}$ IAL P4 ให้คะแนนกับการเช็ค $x$ กับขอบเขต

7. Exam form: split, expand, addรูปแบบข้อสอบ: แยก กระจาย บวก

Partial fractions first, then a binomial series for each piece — the standard IAL P4 long question.แยกเศษส่วนย่อยก่อน แล้วกระจายทีละก้อน — ข้อยาวมาตรฐานของ IAL P4

$f(x)=\dfrac{3x+5}{(1+x)(1+2x)}$$f(x)=\dfrac{3x+5}{(1+x)(1+2x)}$

  1. (a) $\dfrac{3x+5}{(1+x)(1+2x)}\equiv\dfrac{A}{1+x}+\dfrac{B}{1+2x}$.  Find $A$.  (2 marks)(a) $\dfrac{3x+5}{(1+x)(1+2x)}\equiv\dfrac{A}{1+x}+\dfrac{B}{1+2x}$  หา $A$  (2 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $A=-2$  (and $B=7$)2 marks: $\text{M1}\ \ x=-1:\ \ 2=A(-1)$   $\text{A1}\ \ A=-2,\ \ B=7$   $\text{check }x=0:\ \ -2+7=5=f(0)$ That check takes five seconds and it protects the whole question.2 คะแนน: $\text{M1}\ \ x=-1:\ \ 2=A(-1)$   $\text{A1}\ \ A=-2,\ \ B=7$   $\text{check }x=0:\ \ -2+7=5=f(0)$ เช็คนี้ใช้ห้าวินาที · แต่กันพังทั้งข้อ
  2. (b) Hence find the coefficient of $x^{2}$ in the expansion of $f(x)=\dfrac{-2}{1+x}+\dfrac{7}{1+2x}$.  (5 marks)(b) Hence — หาสัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$ ในการกระจาย $f(x)=\dfrac{-2}{1+x}+\dfrac{7}{1+2x}$  (5 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $-2(1)+7(4)=-2+28=26$5 marks: $\text{M1}\ \ -2(1+x)^{-1}=-2+2x-2x^{2}$   $\text{M2}\ \ 7(1+2x)^{-1}=7-14x+28x^{2}$   $\text{A1}\ \ f(x)=5-12x+26x^{2}+\cdots$   $\text{check }f(0)=5\ \checkmark$ Partial fractions first, so each piece becomes a $(1+\text{something})^{n}$.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ -2(1+x)^{-1}=-2+2x-2x^{2}$   $\text{M2}\ \ 7(1+2x)^{-1}=7-14x+28x^{2}$   $\text{A1}\ \ f(x)=5-12x+26x^{2}+\cdots$   $\text{check }f(0)=5\ \checkmark$ แยกเศษส่วนย่อยก่อน · แต่ละก้อนจะกลายเป็น $(1+\text{อะไรสักอย่าง})^{n}$
  3. (c) State the values of $x$ for which the expansion in (b) is valid.  (1 mark)(c) บอกค่าของ $x$ ที่ทำให้การกระจายในข้อ (b) ใช้ได้  (1 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $|x|\lt\tfrac12$1 mark: $\frac{-2}{1+x}:\ \ |x|\lt 1$   $\frac{7}{1+2x}:\ \ |x|\lt \tfrac12$   $\text{both must hold}\ \Rightarrow\ |x|\lt \tfrac12$ One mark, and the one students lose most — always take the smaller range.1 คะแนน: $\frac{-2}{1+x}:\ \ |x|\lt 1$   $\frac{7}{1+2x}:\ \ |x|\lt \tfrac12$   $\text{both must hold}\ \Rightarrow\ |x|\lt \tfrac12$ คะแนนเดียว แต่เสียบ่อยที่สุด · เอาช่วงที่แคบกว่าเสมอ
  4. Exam: $f(x)=\dfrac{x+5}{(1+3x)(2-x)}$.  (6 marks)ข้อสอบ: $f(x)=\dfrac{x+5}{(1+3x)(2-x)}$  (6 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $f(x)=\dfrac{2}{1+3x}+\dfrac{1}{2-x}$  · coefficient $=2(9)+\dfrac12\times\dfrac14=\dfrac{145}{8}$6 marks: $\text{M1}\ \ \frac{A}{1+3x}+\frac{B}{2-x}$   $\text{A1}\ \ A=2,\ \ B=1$   $\text{M2}\ \ \frac{1}{2-x}=\tfrac12\left(1-\tfrac{x}{2}\right)^{-1}$   $\text{M3}\ \ \text{expand both as far as }x^{2}$   $\text{A2}\ \ 18x^{2}\ \text{and}\ \tfrac{x^{2}}{8}$   $\text{A3}\ \ \tfrac{145}{8}$ Until the $2$ is out of $(2-x)$, the series does not apply at all.6 คะแนน: $\text{M1}\ \ \frac{A}{1+3x}+\frac{B}{2-x}$   $\text{A1}\ \ A=2,\ \ B=1$   $\text{M2}\ \ \frac{1}{2-x}=\tfrac12\left(1-\tfrac{x}{2}\right)^{-1}$   $\text{M3}\ \ \text{expand both as far as }x^{2}$   $\text{A2}\ \ 18x^{2}\ \text{and}\ \tfrac{x^{2}}{8}$   $\text{A3}\ \ \tfrac{145}{8}$ ถ้ายังไม่ดึง $2$ ออกจาก $(2-x)$ · อนุกรมใช้ไม่ได้เลย
  5. Two expansions: $(1+4x)^{5}$ and $(1+4x)^{-5}$.  Exactly one of them is only valid for some values of $x$. Decide which one, and state that range.มีสองการกระจาย: $(1+4x)^{5}$ กับ $(1+4x)^{-5}$  มีอันเดียวที่ใช้ได้เฉพาะบางค่าของ $x$ · เลือกให้ถูกว่าอันไหน แล้วบอก range มาด้วย
    Answer:เฉลย: $(1+4x)^{-5}$ is the one, and it is valid for $|x|\lt\dfrac14$Look at $n$, not numbers: $n=5:\ \ 6\text{ terms, exact for all }x$   $n=-5:\ \ \text{never stops}$   $|4x|\lt 1$   $|x|\lt \tfrac14$ Both start $1\pm20x$, so the first terms tell you nothing. The power does.ดูที่ $n$ ไม่ใช่ตัวเลข: $n=5:\ \ 6\text{ terms, exact for all }x$   $n=-5:\ \ \text{never stops}$   $|4x|\lt 1$   $|x|\lt \tfrac14$ ทั้งคู่ขึ้นต้น $1\pm20x$ · พจน์แรกบอกอะไรไม่ได้ · กำลังต่างหากที่บอก

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. Expand $(1+4x)^{\frac12}$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^{2}$.Identical to the worked example, numbers changed and the sign inside made friendly. Label $n=\tfrac12$ and "$x$" $=4x$, substitute, evaluate — one clean minute.เหมือนตัวอย่างที่ทำไปเป๊ะ เปลี่ยนแค่ตัวเลข และเครื่องหมายข้างในใจดีขึ้น · ติดป้าย $n=\tfrac12$ กับ "$x$" $=4x$ แทนค่า คิดเลข — จบในหนึ่งนาที
  2. Expand $(1-3x)^{-2}$ up to and including the term in $x^{3}$, and state the range of values of $x$ for which the expansion is valid.Negative power and a negative inside: the $x^{3}$ term needs $(-3x)^{3}=-27x^{3}$, and the chain $(-2)(-3)(-4)$ is negative too. Two minuses meeting is where the sign discipline pays.กำลังติดลบ ข้างในก็ติดลบ: พจน์ $x^{3}$ ต้องใช้ $(-3x)^{3}=-27x^{3}$ และโซ่ $(-2)(-3)(-4)$ ก็ติดลบ · ลบเจอลบตรงนี้แหละที่วินัยเรื่องเครื่องหมายได้ใช้
  3. Expand $\dfrac{1}{\sqrt{1+2t}}$ in ascending powers of $t$, up to and including the term in $t^{2}$.New letter, and the power is hidden inside a root and a reciprocal. Rewriting it as $(1+2t)^{-1/2}$ is the whole difficulty — after that it is exercise 1 again.เปลี่ยนตัวอักษร แถมกำลังซ่อนอยู่ในรากและเศษส่วนกลับ · ความยากทั้งหมดคือการเขียนใหม่เป็น $(1+2t)^{-1/2}$ · หลังจากนั้นก็คือข้อ 1 ซ้ำ
  4. Expand $(9-x)^{\frac12}$ up to and including the term in $x^{2}$, and state the range of validity.Factor out $9^{1/2}=3$, divide the $x$ by $9$, then expand — the index laws and the series in one question. The bound stretches to $9$ because the inside is only $\tfrac{x}{9}$.ดึง $9^{1/2}=3$ ออกมา หาร $x$ ด้วย $9$ แล้วค่อยกระจาย — กฎเลขยกกำลังกับอนุกรมมาในข้อเดียว · ขอบเขตกว้างถึง $9$ เพราะข้างในเป็นแค่ $\tfrac{x}{9}$
  5. The expansion of $(1+ax)^{n}$ begins $1-6x+27x^{2}+\cdots$. Find the values of $a$ and $n$.You are given the expansion and asked to find the bracket.
    You cannot do this by memorising steps. You have to know what each coefficient is made of.
    Check: $(1+3x)^{-2}=1-6x+27x^{2}$ ✓    โจทย์ให้การกระจายมา แล้วให้หาวงเล็บ
    ทำด้วยการท่องขั้นตอนไม่ได้ · ต้องรู้ว่าสัมประสิทธิ์แต่ละตัวประกอบขึ้นจากอะไร
    เช็ค: $(1+3x)^{-2}=1-6x+27x^{2}$ ✓
  6. $f(x)=\dfrac{5x+3}{(1+3x)(1-x)}$.  (a) Express $f(x)$ in partial fractions. (3 marks)  (b) Hence find the series expansion of $f(x)$ in ascending powers of $x$, up to and including the term in $x^{2}$. (5 marks)  (c) State the range of values of $x$ for which the expansion is valid. (1 mark)Full IAL wording with the mark split. Part (c) is one mark for comparing two bounds and keeping the tighter — the cheapest mark on the paper and the one most often dropped.ภาษาข้อสอบ IAL เต็มรูปแบบพร้อมแบ่งคะแนน · ข้อ (c) หนึ่งคะแนน แค่เทียบขอบเขตสองตัวแล้วเก็บตัวที่แคบกว่า — คะแนนที่ถูกที่สุดในกระดาษ และหลุดบ่อยที่สุด
  7. A student writes: $(4+x)^{\frac12}=4^{\frac12}(1+x)^{\frac12}=2\left(1+\tfrac12x-\tfrac18x^{2}+\cdots\right)=2+x-\tfrac14x^{2}$, valid for $|x|\lt1$. Find the two errors, and give the correct expansion and range.This one line of another student's work contains both mistakes this lesson warns about.
    The $x$ was not divided by $a$. The bound was given for $x$ instead of for what is inside the bracket.
    Marking someone else's work shows you can find these mistakes.    งานของนักเรียนคนอื่นบรรทัดเดียวนี้ มีจุดผิดครบทั้งสองอย่างที่บทนี้เตือนไว้
    $x$ ไม่ได้ถูกหารด้วย $a$ · และขอบเขตถูกเขียนให้ $x$ แทนที่จะเป็นของข้างในวงเล็บ
    การตรวจงานคนอื่นแสดงว่าเราหาจุดผิดเหล่านี้เจอ

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี