A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: Pure 3 (9709/3)
Binomial series for any power อนุกรมทวินาม (กำลังตรรกยะ)
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
🪜Learn Never learnt this? Start from zero in Teach Modeเรียน ยังไม่เคยเรียนเรื่องนี้? เริ่มตั้งแต่ศูนย์ในโหมดสอนIt starts from something you already know and climbs one small step at a time — you answer, it moves.เริ่มจากของที่น้องทำเป็นอยู่แล้ว แล้วไต่ทีละขั้นเล็กๆ น้องตอบ แล้วค่อยไปต่อBinomial series for any powerอนุกรมทวินาม (กำลังตรรกยะ)
📐Know the pieces but stuck on a whole exam question?รู้ทีละส่วนแล้ว แต่ทำข้อสอบเต็มข้อไม่ได้?Each set takes one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill; question 10 is the exam question itself.แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แยกเป็นสเต็ปย่อย แล้วไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงBinomial series laddersชุดไต่ระดับ · อนุกรมทวินาม
Binomial series for any power · progressอนุกรมทวินาม (กำลังตรรกยะ) · ความคืบหน้า
Questionsคำถามที่พบบ่อย
Questionโจทย์
Step-by-step practice loads here. If it does not appear, everything you need is under Revision notes.
แบบฝึกทีละสเต็ปจะขึ้นตรงนี้ ถ้าไม่ขึ้น เนื้อหาทั้งหมดอยู่ในแท็บ สรุปเนื้อหา
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| "Expand $(1+ax)^n$ up to $x^3$", $n$ negative or fractional"กระจาย $(1+ax)^n$ ถึง $x^3$" เมื่อ $n$ ติดลบหรือเป็นเศษส่วน | $1+nu+\frac{n(n-1)}{2!}u^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}u^3$ with $u=ax$ใช้อนุกรมโดยแทน $u=ax$ | try → ลอง → |
| "State the range of validity""ระบุขอบเขตที่ใช้ได้" | $|ax|<1 \Rightarrow |x|<\tfrac1{|a|}$แปลงกลับเป็นช่วงของ $x$ | try → ลอง → |
| "Expand $(4+x)^{1/2}$""กระจาย $(4+x)^{1/2}$" | Pull out the 4: $2\left(1+\tfrac{x}{4}\right)^{1/2}$ดึง 4 ออกก่อน: $2\left(1+\tfrac{x}{4}\right)^{1/2}$ | try → ลอง → |
| "Use partial fractions to expand…""ใช้เศษส่วนย่อยช่วยกระจาย…" | Split first, expand each $\big(1+\cdot\big)^{-1}$ piece, addแยกก่อน กระจายทีละก้อน แล้วบวกรวม | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
The series ตัวอนุกรม$(1+u)^n=1+nu+\dfrac{n(n-1)}{2!}u^2+\cdots$
Validity ขอบเขตที่ใช้ได้$|u|<1$
Factor out ดึงตัวประกอบออก$(a+bx)^n=a^n\!\left(1+\tfrac{b}{a}x\right)^n$
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
Expand $(1-2x)^{-1/2}$ in ascending powers of $x$ up to $x^2$, stating the values of $x$ for which it is valid. (5 marks)
M1
$n=-\tfrac12$, $u=-2x$: $1+\left(-\tfrac12\right)(-2x)+\dfrac{\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{2!}(-2x)^2$
A1
$=1+x+\dfrac{3}{8}\cdot 4x^2$
A1
$=1+x+\dfrac{3}{2}x^2$
M1
Valid when $|-2x|<1$
A1
$|x|<\dfrac12$
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. Expand $(1+3x)^{-2}$ up to $x^3$, stating the validity.4 markssolution ▾
$1+(-2)(3x)+\dfrac{(-2)(-3)}{2}(3x)^2+\dfrac{(-2)(-3)(-4)}{6}(3x)^3$
$=\mathbf{1-6x+27x^2-108x^3}$, valid for $\mathbf{|x|<\tfrac13}$.
$=\mathbf{1-6x+27x^2-108x^3}$, valid for $\mathbf{|x|<\tfrac13}$.
P2. Expand $\sqrt{4+x}$ up to $x^2$, and use $x=0.2$ to estimate $\sqrt{4.2}$ to 4 d.p.5 markssolution ▾
$\sqrt{4+x}=2\left(1+\tfrac{x}{4}\right)^{1/2}=2\left[1+\tfrac{x}{8}-\tfrac{x^2}{128}\right]=\mathbf{2+\dfrac{x}{4}-\dfrac{x^2}{64}}$.
At $x=0.2$: $2+0.05-0.000625=\mathbf{2.0494}$ (true value $2.04939\ldots$).
At $x=0.2$: $2+0.05-0.000625=\mathbf{2.0494}$ (true value $2.04939\ldots$).
Vocab ศัพท์ต้องรู้
binomial series อนุกรมทวินาม · valid / validity ใช้ได้ / ขอบเขตที่ใช้ได้ · approximate / estimate ประมาณค่า · ascending powers เรียงกำลังขึ้น · rational index เลขชี้กำลังตรรกยะ
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗Bracket the whole term ใส่วงเล็บทั้งพจน์With $u=-2x$, the square is $(-2x)^2=4x^2$ — students who write $-2x^2$ lose the accuracy marks downstream.
✗Validity is part of the answer ขอบเขตคือส่วนหนึ่งของคำตอบ$|u|<1$ converted back into $x$. It's usually a standalone mark.
✗Factor out $a^n$, not $a$ ดึง $a^n$ ไม่ใช่ $a$$(a+bx)^n=a^n\left(1+\tfrac{b}{a}x\right)^n$ — the number that comes outside is $a$ raised to the power $n$.
✗Simplify every coefficient ลดรูปสัมประสิทธิ์ทุกตัวWrite each coefficient as a single simplified number or fraction — accuracy marks are for the simplified form, not the raw product.
✗Estimates must sit inside the validity range ค่าประมาณต้องอยู่ในขอบเขตBefore substituting a value to approximate, check it satisfies $|u|<1$ — outside that range the series says nothing.
Know the method? Here is what to do next.เข้าใจวิธีแล้ว? ขั้นต่อไปทำแบบนี้
TestสอบPure 4 paperข้อสอบ Pure 4
The pack is marked the way the examiner marks it, method marks included.ชุดฝึกตรวจแบบเดียวกับกรรมการ รวมคะแนนวิธีทำด้วย