A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: Pure 3 (9709/3)
Binomial series for any power อนุกรมทวินาม (กำลังตรรกยะ)
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| "Expand $(1+ax)^n$ up to $x^3$", $n$ negative or fractional"กระจาย $(1+ax)^n$ ถึง $x^3$" เมื่อ $n$ ติดลบหรือเป็นเศษส่วน | $1+nu+\frac{n(n-1)}{2!}u^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}u^3$ with $u=ax$ใช้อนุกรมโดยแทน $u=ax$ | try → ลอง → |
| "State the range of validity""ระบุขอบเขตที่ใช้ได้" | $|ax|<1 \Rightarrow |x|<\tfrac1{|a|}$แปลงกลับเป็นช่วงของ $x$ | try → ลอง → |
| "Expand $(4+x)^{1/2}$""กระจาย $(4+x)^{1/2}$" | Pull out the 4: $2\left(1+\tfrac{x}{4}\right)^{1/2}$ดึง 4 ออกก่อน: $2\left(1+\tfrac{x}{4}\right)^{1/2}$ | try → ลอง → |
| "Use partial fractions to expand…""ใช้เศษส่วนย่อยช่วยกระจาย…" | Split first, expand each $\big(1+\cdot\big)^{-1}$ piece, addแยกก่อน กระจายทีละก้อน แล้วบวกรวม | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
The series ตัวอนุกรม$(1+u)^n=1+nu+\dfrac{n(n-1)}{2!}u^2+\cdots$
Validity ขอบเขตที่ใช้ได้$|u|<1$
Factor out ดึงตัวประกอบออก$(a+bx)^n=a^n\!\left(1+\tfrac{b}{a}x\right)^n$
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
Expand $(1-2x)^{-1/2}$ in ascending powers of $x$ up to $x^2$, stating the values of $x$ for which it is valid. (5 marks)
M1
$n=-\tfrac12$, $u=-2x$: $1+\left(-\tfrac12\right)(-2x)+\dfrac{\left(-\frac12\right)\left(-\frac32\right)}{2!}(-2x)^2$
A1
$=1+x+\dfrac{3}{8}\cdot 4x^2$
A1
$=1+x+\dfrac{3}{2}x^2$
M1
Valid when $|-2x|<1$
A1
$|x|<\dfrac12$
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. Expand $(1+3x)^{-2}$ up to $x^3$, stating the validity.4 markssolution ▾
$1+(-2)(3x)+\dfrac{(-2)(-3)}{2}(3x)^2+\dfrac{(-2)(-3)(-4)}{6}(3x)^3$
$=\mathbf{1-6x+27x^2-108x^3}$, valid for $\mathbf{|x|<\tfrac13}$.
$=\mathbf{1-6x+27x^2-108x^3}$, valid for $\mathbf{|x|<\tfrac13}$.
P2. Expand $\sqrt{4+x}$ up to $x^2$, and use $x=0.2$ to estimate $\sqrt{4.2}$ to 4 d.p.5 markssolution ▾
$\sqrt{4+x}=2\left(1+\tfrac{x}{4}\right)^{1/2}=2\left[1+\tfrac{x}{8}-\tfrac{x^2}{128}\right]=\mathbf{2+\dfrac{x}{4}-\dfrac{x^2}{64}}$.
At $x=0.2$: $2+0.05-0.000625=\mathbf{2.0494}$ (true value $2.04939\ldots$).
At $x=0.2$: $2+0.05-0.000625=\mathbf{2.0494}$ (true value $2.04939\ldots$).
Vocab ศัพท์ต้องรู้
binomial series อนุกรมทวินาม · valid / validity ใช้ได้ / ขอบเขตที่ใช้ได้ · approximate / estimate ประมาณค่า · ascending powers เรียงกำลังขึ้น · rational index เลขชี้กำลังตรรกยะ
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗Bracket the whole term ใส่วงเล็บทั้งพจน์With $u=-2x$, the square is $(-2x)^2=4x^2$ — students who write $-2x^2$ lose the accuracy marks downstream.
✗Validity is part of the answer ขอบเขตคือส่วนหนึ่งของคำตอบ$|u|<1$ converted back into $x$. It's usually a standalone mark.
✗Factor out $a^n$, not $a$ ดึง $a^n$ ไม่ใช่ $a$$(a+bx)^n=a^n\left(1+\tfrac{b}{a}x\right)^n$ — the number that comes outside is $a$ raised to the power $n$.
✗Simplify every coefficient ลดรูปสัมประสิทธิ์ทุกตัวWrite each coefficient as a single simplified number or fraction — accuracy marks are for the simplified form, not the raw product.
✗Estimates must sit inside the validity range ค่าประมาณต้องอยู่ในขอบเขตBefore substituting a value to approximate, check it satisfies $|u|<1$ — outside that range the series says nothing.
Keep going, free ไปต่อ ฟรี
Nice work so far. Drop your email to unlock every level and the other topics. We'll tune them to your board. ทำได้ดีแล้ว ใส่อีเมลเพื่อปลดล็อกทุกระดับและหัวข้ออื่นๆ เราจะจัดให้ตรงกับ board ที่คุณสอบ