Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Differential equationsสมการเชิงอนุพันธ์

A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: Pure 3 (9709/3) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

One integral and one derivative, both needed straight awayอินทิกรัลหนึ่ง อนุพันธ์หนึ่ง ใช้ทั้งคู่ตั้งแต่ต้น

Separating ends in panel 1, and its $+c$ becomes the initial condition. Panel 2 checks the answer.การแยกตัวแปรจบที่ช่อง 1 · $+c$ ตรงนั้นกลายเป็นเงื่อนไขเริ่มต้น · ช่อง 2 ใช้ตรวจคำตอบ

  1. Straight from P3: $\displaystyle\int\frac{1}{y}\,dy=\;?$จาก P3 ตรงๆ: $\displaystyle\int\frac{1}{y}\,dy=\;?$
    Answer:เฉลย: $\ln|y|+c$The letter never matters: $\int\frac{1}{y}\,dy=\ln|y|+c$   $\text{same as }\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+c$ Today the $+c$ is the slot the question's extra information drops into.ตัวอักษรไม่เคยสำคัญ: $\int\frac{1}{y}\,dy=\ln|y|+c$   $\text{same as }\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+c$ วันนี้ $+c$ คือช่องว่างที่ข้อมูลเพิ่มเติมในโจทย์จะหล่นลงไป
  2. Differentiate $y=6e^{-2x}$.ดิฟ $y=6e^{-2x}$
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=-12e^{-2x}$$\frac{dy}{dx}$ is a multiple of $y$: $-12e^{-2x}=-2\times 6e^{-2x}$   $=-2y$ That one fact is half of this lesson.อนุพันธ์เป็นตัวคูณของ $y$ เอง: $-12e^{-2x}=-2\times 6e^{-2x}$   $=-2y$ ข้อสังเกตนี้คือครึ่งหนึ่งของบทนี้

2. What the equation saysสมการนี้บอกอะไร

A differential equation describes a rate. Its solution is a whole function, not a number.สมการเชิงอนุพันธ์อธิบายอัตราการเปลี่ยนแปลง · คำตอบของมันคือฟังก์ชันทั้งฟังก์ชัน ไม่ใช่ตัวเลข

An equation with a derivative inside itสมการที่มีอนุพันธ์อยู่ข้างใน

Gradient $=2\times$ the $x$-coordinate, at every point. The answer is a whole curve: a function.ความชัน $=2\times$ พิกัด $x$ ทุกจุด · คำตอบจึงเป็นเส้นโค้งทั้งเส้น คือฟังก์ชัน

  1. Which of these is a solution of $\dfrac{dy}{dx}=2x$?ข้อไหนคือคำตอบของ $\dfrac{dy}{dx}=2x$?
    Answer:เฉลย: $y=x^{2}+7$One equation, a whole family: $y=x^{2}+7\ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx}=2x\ \checkmark$   $y=x^{2},\ y=x^{2}-4\ \Rightarrow\ 2x\ \checkmark$   $\text{shifting up or down does not change the gradient}$ The $+c$ is there to show that family.สมการเดียว ได้คำตอบทั้งครอบครัว: $y=x^{2}+7\ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx}=2x\ \checkmark$   $y=x^{2},\ y=x^{2}-4\ \Rightarrow\ 2x\ \checkmark$   $\text{shifting up or down does not change the gradient}$ $+c$ มีไว้เพื่อแสดงครอบครัวนี้
  2. You differentiated $y=6e^{-2x}$ in the warm-up and got $-12e^{-2x}$. Write $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $y$. Do not use $x$ in your answer.ตอนวอร์มอัพดิฟ $y=6e^{-2x}$ ได้ $-12e^{-2x}$ · ทีนี้เขียน $\dfrac{dy}{dx}$ ในรูปของ $y$ · ห้ามมี $x$ ในคำตอบ
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=-2y$Rate proportional to the amount present: $y=6e^{-2x}\ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx}=-12e^{-2x}$   $-12e^{-2x}=-2y$   $\frac{dy}{dx}=-2y$ The same sentence models cooling tea, decaying isotopes and growing bacteria.อัตราการเปลี่ยนแปลงแปรผันกับปริมาณที่มีอยู่: $y=6e^{-2x}\ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx}=-12e^{-2x}$   $-12e^{-2x}=-2y$   $\frac{dy}{dx}=-2y$ ประโยคเดียวกันใช้กับชาที่เย็นลง ธาตุที่สลายตัว และแบคทีเรียที่เพิ่มจำนวน
  3. A tank leaks. Its volume $V$ litres falls by $3$ litres every minute. Which line says this?ถังน้ำรั่ว · ปริมาตร $V$ ลิตร ลดลงนาทีละ $3$ ลิตร · บรรทัดไหนพูดแบบนั้น?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dV}{dt}=-3$What changes goes on top: $\text{changing quantity}\to\text{top}:\ dV$   $\text{changes with respect to}\to\text{bottom}:\ dt$   $\text{falling}\ \Rightarrow\ \text{minus}:\ \frac{dV}{dt}=-3$สิ่งที่เปลี่ยนอยู่ข้างบน: $\text{changing quantity}\to\text{top}:\ dV$   $\text{changes with respect to}\to\text{bottom}:\ dt$   $\text{falling}\ \Rightarrow\ \text{minus}:\ \frac{dV}{dt}=-3$

3. Separate the variablesแยกตัวแปร

Prove the split is legal, then separate for real: every $y$ left, every $x$ right.พิสูจน์ว่าแยกได้จริง แล้วแยกตัวแปรจริงๆ — $y$ ไปซ้าย $x$ ไปขวาให้หมด

Why "y left, x right" is legalทำไม "y ซ้าย x ขวา" ถึงทำได้จริง ไม่ใช่มายากล

A proved result lets you treat $\frac{dy}{dx}$ as a fraction here.ผลที่พิสูจน์แล้วทำให้มอง $\frac{dy}{dx}$ เป็นเศษส่วนได้ตรงนี้

$\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}y^{2}$, and $y=1$ when $x=0$$\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}y^{2}$ และ $y=1$ เมื่อ $x=0$

  1. $\frac{dy}{dx}=3x^{2}y^{2}$$x$ and $y$ are multiplied, so they can be pulled apart.$x$ กับ $y$ คูณกันอยู่ ก็แยกออกจากกันได้
  2. $\frac{1}{y^{2}}\,dy=3x^{2}\,dx$Every $y$ to the left, every $x$ to the right.$y$ ไปซ้ายให้หมด $x$ ไปขวาให้หมด
  3. $-\frac{1}{y}=x^{3}+c$$\int y^{-2}dy=-y^{-1}$. The minus sign is easy to lose.$\int y^{-2}dy=-y^{-1}$ · เครื่องหมายลบหายง่ายมาก
  4. $-1=0+c$Put the condition in NOW, while the equation is still simple.แทนเงื่อนไขตอนนี้ ตอนที่สมการยังง่ายอยู่
  5. $c=-1$One line, one result.หนึ่งบรรทัด หนึ่งผลลัพธ์
  6. $-\frac{1}{y}=x^{3}-1$One unknown left, and it is $y$.เหลือตัวไม่รู้ค่าตัวเดียวคือ $y$
  7. $y=\frac{1}{1-x^{3}}$Flip both sides and simplify the signs. Check $x=0$: $y=1$ ✓พลิกสองข้างแล้วจัดรูปเครื่องหมาย · ตรวจ $x=0$: $y=1$ ✓
  1. Separate $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x^{2}}{y}$. Which line is correct?แยกตัวแปรของ $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x^{2}}{y}$ · บรรทัดไหนถูก?
    Answer:เฉลย: $y\,dy=x^{2}\,dx$One letter per side, $dy$ included: $\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{y}$   $y\,dy=x^{2}\,dx$   $\text{left}:\ y,\,dy\qquad\text{right}:\ x,\,dx\ \checkmark$ You may treat $\frac{dy}{dx}$ as a fraction here. It is a proved result.ข้างละหนึ่งตัวอักษร รวม $dy$ ด้วย: $\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{y}$   $y\,dy=x^{2}\,dx$   $\text{left}:\ y,\,dy\qquad\text{right}:\ x,\,dx\ \checkmark$ ตรงนี้มอง $\frac{dy}{dx}$ เป็นเศษส่วนได้ · เป็นผลที่พิสูจน์แล้ว
  2. One of these cannot be separated. Which one?มีข้อหนึ่งที่แยกตัวแปรไม่ได้ · ข้อไหน?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=x+y$ — a sum, and a sum does not come apart.$\dfrac{dy}{dx}=x+y$ — เป็นผลบวก และผลบวกแยกออกจากกันไม่ได้Separable means a product: $\text{test}:\ \frac{dy}{dx}=f(x)\,g(y)\ ?$   $xy+x=x(y+1)\ \checkmark$   $x+y\ \times\ (\text{a sum, not a product})$ A sum needs an integrating factor, which comes later in the course.แยกตัวแปรได้ ต้องเป็นผลคูณ: $\text{test}:\ \frac{dy}{dx}=f(x)\,g(y)\ ?$   $xy+x=x(y+1)\ \checkmark$   $x+y\ \times\ (\text{a sum, not a product})$ ผลบวกต้องใช้ integrating factor ซึ่งอยู่ในบทหลัง

4. General and particular solutionsผลเฉลยทั่วไปกับผลเฉลยเฉพาะ

With $c$: a whole family of curves. With one point: exactly one of them.มี $c$: ได้ทั้งครอบครัวเส้นโค้ง · มีจุดด้วย: เหลือเส้นเดียว

The same gradient rule, drawn three timesกฎความชันเดียวกัน วาดสามครั้ง

Every curve solves $\dfrac{dy}{dx}=2x$. The $+c$ only slides it up or down.ทุกเส้นแก้ $\dfrac{dy}{dx}=2x$ เหมือนกัน · $+c$ แค่เลื่อนขึ้นลง

$\ln|y|=\tfrac12x^{2}+c$, through $(2,\,5)$$\ln|y|=\tfrac12x^{2}+c$ ผ่าน $(2,\,5)$

  1. $\ln|y|=\tfrac12x^{2}+c$Start from the general solution.เริ่มจากผลเฉลยทั่วไป
  2. $\ln5=\tfrac12(2)^{2}+c$Put the point in. Work nothing out yet.แทนจุดลงไป ยังไม่ต้องคิดเลข
  3. $\ln5=2+c$
  4. $\ln5=2+c$
  5. $c=\ln5-2$
  6. $\ln|y|=\tfrac12x^{2}+\ln5-2$Write the particular solution: swap $c$ back in.เขียนผลเฉลยเฉพาะ — แทน $c$ กลับเข้าไป
  1. A cup of tea starts at $80^{\circ}\text{C}$ and cools in a room kept at $20^{\circ}\text{C}$. Its temperature after $t$ minutes is $\theta$, and the general solution is $\theta=20+Ae^{-kt}$. Which numbers are the initial condition?ชาถ้วยหนึ่งเริ่มที่ $80^{\circ}\text{C}$ แล้วเย็นลงในห้องที่คุมอุณหภูมิไว้ $20^{\circ}\text{C}$ · อุณหภูมิหลังผ่านไป $t$ นาที คือ $\theta$ และผลเฉลยทั่วไปคือ $\theta=20+Ae^{-kt}$ · เงื่อนไขเริ่มต้นคือตัวเลขคู่ไหน?
    Answer:เฉลย: $t=0$, $\theta=80$$t=0$, $\theta=80$A worded condition holds two numbers: $\text{“starts at }80^{\circ}\text{”}\ \Rightarrow\ t=0,\ \theta=80$   $20:\ \text{part of the model, not the condition}$เงื่อนไขที่เป็นคำพูดมีตัวเลขสองตัว: $\text{“starts at }80^{\circ}\text{”}\ \Rightarrow\ t=0,\ \theta=80$   $20:\ \text{part of the model, not the condition}$
  2. Now write those numbers into $\theta=20+Ae^{-kt}$. Which substitution is correct?ทีนี้เขียนตัวเลขคู่นั้นลงใน $\theta=20+Ae^{-kt}$ · การแทนค่าแบบไหนถูก?
    Answer:เฉลย: $80=20+Ae^{0}=20+A$Substitute, work nothing out: $80=20+Ae^{0}$   $e^{0}=1\ \Rightarrow\ 80=20+A$ This line alone scores M1, even if the arithmetic after it goes wrong.แทนค่า ยังไม่ต้องคิดต่อ: $80=20+Ae^{0}$   $e^{0}=1\ \Rightarrow\ 80=20+A$ บรรทัดนี้บรรทัดเดียวได้ M1 ถึงคิดเลขต่อผิดก็ยังได้
  3. Finish it: find the value of $A$.ปิดจ๊อบ: หาค่าของ $A$
    Answer:เฉลย: $A=60$$A$ is the starting excess: $A=80-20=60$   $\theta=20+60e^{-kt}$   $\text{Newton cooling}:\ A=\text{start}-\text{room, always}$$A$ คือส่วนเกินตอนเริ่มต้น: $A=80-20=60$   $\theta=20+60e^{-kt}$   $\text{Newton cooling}:\ A=\text{start}-\text{room, always}$
  4. A different equation gives the general solution $\ln y = 2\ln x + c$, and the curve passes through $(1,\,3)$. Find the exact value of $c$.อีกสมการหนึ่งให้ผลเฉลยทั่วไป $\ln y = 2\ln x + c$ และเส้นโค้งผ่านจุด $(1,\,3)$ · จงหาค่า exact ของ $c$
    Answer:เฉลย: $c=\ln 3$Two routes, one curve: $\text{use the point first}:\ c=\ln 3$   $\text{or simplify first}:\ y=Ax^{2},\ A=3$   $\text{both give }y=3x^{2}$   $y=x^{2}+c\ \times$ The exponential of a sum is a product, never a sum.สองทาง ได้เส้นโค้งเดียวกัน: $\text{use the point first}:\ c=\ln 3$   $\text{or simplify first}:\ y=Ax^{2},\ A=3$   $\text{both give }y=3x^{2}$   $y=x^{2}+c\ \times$ ยกกำลัง $e$ ของผลบวกได้ผลคูณ ไม่ใช่ผลบวก

5. From words to symbolsแปลจากคำพูดเป็นสมการ

Every English phrase in the question becomes one symbol. Part (a) is worth two marks for one line.ทุกวลีในโจทย์แปลเป็นสัญลักษณ์ได้ตัวเดียว · และข้อ (a) คือสองคะแนนสำหรับบรรทัดเดียว

Part (a): two marks for translating one sentenceข้อ (a): สองคะแนน จากการแปลประโยคเดียว

$k$ is positive. The direction of change lives in the sign written in front of it.$k$ เป็นค่าคงที่บวก · ทิศทางการเปลี่ยนแปลงอยู่ที่เครื่องหมายหน้ามัน

A population $P$ decreases at a rate proportional to $P^{2}$ประชากร $P$ ลดลงด้วยอัตราที่แปรผันตรงกับ $P^{2}$

  1. $\dfrac{dP}{dt}$What changes, over what it changes with.สิ่งที่เปลี่ยน หารด้วยสิ่งที่เทียบด้วย
  2. $\dfrac{dP}{dt}=kP^{2}$"Proportional to $P^{2}$" means $\times$ an unknown constant."แปรผันตรงกับ $P^{2}$" แปลว่าคูณด้วยค่าคงที่ที่ไม่รู้ค่า
  3. $\dfrac{dP}{dt}=-kP^{2}$"Decreases" forces the minus. Write it; never hide it in $k$."ลดลง" บังคับเครื่องหมายลบ — ต้องเขียน ไม่ซ่อนใน $k$
  1. The number of bacteria $N$ in a culture increases at a rate proportional to the number present. Which equation says that?จำนวนแบคทีเรีย $N$ ในอาหารเลี้ยงเชื้อเพิ่มขึ้นด้วยอัตราที่แปรผันตรงกับจำนวนที่มีอยู่ · สมการไหนพูดแบบนั้น?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dN}{dt}=kN$Proportional means $k$ times: $\text{“proportional to }N\text{”}\ \Rightarrow\ \frac{dN}{dt}=kN$   $\frac{dN}{dt}=N\ \times\ (\text{no }k)$ Without $k$ the model has nothing you can fit to a measurement.แปรผันตรง แปลว่า $k$ เท่า ไม่ใช่เท่ากับ: $\text{“proportional to }N\text{”}\ \Rightarrow\ \frac{dN}{dt}=kN$   $\frac{dN}{dt}=N\ \times\ (\text{no }k)$ ไม่มี $k$ แบบจำลองจะไม่มีตัวเลขให้ปรับตามค่าที่วัดได้
  2. Newton's law of cooling: a body cools at a rate proportional to $\theta$, the amount by which it is hotter than its surroundings. A student writes $\dfrac{d\theta}{dt}=k\theta$ with $k\gt0$, and the model predicts the coffee getting hotter and hotter. Which repair is right?กฎการเย็นตัวของนิวตัน: วัตถุเย็นลงด้วยอัตราที่แปรผันตรงกับ $\theta$ ซึ่งคือส่วนที่มันร้อนกว่าสิ่งแวดล้อม · นักเรียนคนหนึ่งเขียน $\dfrac{d\theta}{dt}=k\theta$ โดย $k\gt0$ แล้วแบบจำลองทำนายว่ากาแฟจะร้อนขึ้นเรื่อยๆ · ซ่อมแบบไหนถึงถูก?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{d\theta}{dt}=-k\theta$, with $k\gt0$$\dfrac{d\theta}{dt}=-k\theta$ โดย $k\gt0$The sign is written, never hidden: $k>0\ \Rightarrow\ \frac{d\theta}{dt}=-k\theta$   $\text{check}:\ \theta\ \text{large positive}\ \Rightarrow\ \frac{d\theta}{dt}<0\ \checkmark$ If the check fails, your model says the coffee gets hotter.เครื่องหมายต้องเขียน ไม่ซ่อนใน $k$: $k>0\ \Rightarrow\ \frac{d\theta}{dt}=-k\theta$   $\text{check}:\ \theta\ \text{large positive}\ \Rightarrow\ \frac{d\theta}{dt}<0\ \checkmark$ ถ้าตรวจไม่ผ่าน แบบจำลองกำลังบอกว่ากาแฟร้อนขึ้น
  3. Water flows into a tank at a constant rate of $8$ litres per minute. It leaks out at $0.4V$ litres per minute, where $V$ litres is the volume in the tank. So $\dfrac{dV}{dt}=8-0.4V$. Find the volume at which the water level stops changing.น้ำไหลเข้าถังด้วยอัตราคงที่ $8$ ลิตรต่อนาที · น้ำรั่วออกด้วยอัตรา $0.4V$ ลิตรต่อนาที เมื่อ $V$ ลิตรคือปริมาตรในถัง · ดังนั้น $\dfrac{dV}{dt}=8-0.4V$ · จงหาปริมาตรที่ระดับน้ำหยุดเปลี่ยนแปลง
    Answer:เฉลย: $V=20$ litresConstant level: the rate is zero: $\frac{dV}{dt}=0$   $8-0.4V=0\ \Rightarrow\ V=20$   $V<20:\ \text{in}>\text{out}\ \Rightarrow\ \text{rises}$   $V>20:\ \text{out}>\text{in}\ \Rightarrow\ \text{falls}$ This long-run limit comes straight from the equation, without solving it.ระดับคงที่ แปลว่าอัตราเป็นศูนย์: $\frac{dV}{dt}=0$   $8-0.4V=0\ \Rightarrow\ V=20$   $V<20:\ \text{in}>\text{out}\ \Rightarrow\ \text{rises}$   $V>20:\ \text{out}>\text{in}\ \Rightarrow\ \text{falls}$ ลิมิตระยะยาวนี้หาได้จากสมการตรงๆ โดยไม่ต้องแก้สมการ

6. Growth and decayการเติบโตและการสลายตัว

Derive $y=Ae^{kt}$ once, then read $A$ and $k$ straight off any growth or decay story.พิสูจน์ $y=Ae^{kt}$ ครั้งเดียว แล้วอ่านค่า $A$ กับ $k$ จากโจทย์เติบโต/สลายตัวได้ทันที

A curve that remembers where it startedเส้นโค้งที่จำจุดเริ่มต้นได้

The number in front of $e^{-kt}$ is always the starting value above the limit.ตัวเลขหน้า $e^{-kt}$ คือค่าเริ่มต้นเหนือเส้นจำกัดเสมอ

$\dfrac{dy}{dt}=ky$$\dfrac{dy}{dt}=ky$

  1. $\frac{dy}{dt}=ky$The split is already proved, so do it.ขั้นแยกตัวแปรพิสูจน์แล้ว ทำได้เลย
  2. $\frac{1}{y}\,dy=k\,dt$
  3. $\ln|y|=kt+c$Integrate both sides.อินทิเกรตสองข้าง
  4. $y=e^{kt+c}=e^{c}e^{kt}$Exponentiate, then split the sum in the power.ยกกำลัง $e$ แล้วแยกผลบวกในเลขชี้กำลัง
  5. $y=Ae^{kt}$Rename $e^{c}$ as $A$; it is always the starting value.เปลี่ยนชื่อ $e^{c}$ เป็น $A$ — คือค่าเริ่มต้นเสมอ
  1. $\ln y = 0.3t + c$. Which is $y$?$\ln y = 0.3t + c$ · $y$ คือข้อไหน?
    Answer:เฉลย: $y=Ae^{0.3t}$ with $A=e^{c}$$e^{c}$ is a new constant: $\ln y=0.3t+c$   $y=e^{0.3t+c}=e^{c}e^{0.3t}$   $A=e^{c}\ \Rightarrow\ y=Ae^{0.3t}$ So $\frac{dy}{dt}=ky$ always solves to $y=Ae^{kt}$; go straight there.$e^{c}$ คือค่าคงที่ตัวใหม่: $\ln y=0.3t+c$   $y=e^{0.3t+c}=e^{c}e^{0.3t}$   $A=e^{c}\ \Rightarrow\ y=Ae^{0.3t}$ $\frac{dy}{dt}=ky$ จึงได้ $y=Ae^{kt}$ เสมอ · เขียนตรงนี้ได้เลย
  2. A radioactive sample decays according to $m=200e^{-0.05t}$ grams, where $t$ is in days. Find the exact half-life.สารกัมมันตรังสีสลายตัวตาม $m=200e^{-0.05t}$ กรัม โดย $t$ เป็นวัน · จงหาครึ่งชีวิตแบบ exact
    Answer:เฉลย: $t=\dfrac{\ln 2}{0.05}=20\ln 2\approx 13.9$ daysThe starting amount cancels: $100=200e^{-0.05t}$   $e^{-0.05t}=\tfrac12$   $t=\frac{\ln 2}{0.05}=20\ln 2\approx 13.9\text{ days}$ Half-life and doubling time are the same formula: $\frac{\ln 2}{k}$.ปริมาณเริ่มต้นตัดทิ้ง: $100=200e^{-0.05t}$   $e^{-0.05t}=\tfrac12$   $t=\frac{\ln 2}{0.05}=20\ln 2\approx 13.9\text{ days}$ ครึ่งชีวิตกับเวลาเพิ่มสองเท่าใช้สูตรเดียวกัน: $\frac{\ln 2}{k}$

7. Model it end to endตั้งโจทย์ แล้วแก้หาค่าคงที่

The same four moves, on a real exam scenario: form it, separate it, apply the condition.สี่ขั้นตอนเดิม บนสถานการณ์ข้อสอบจริง: ตั้งสมการ แยกตัวแปร ใช้เงื่อนไข

Cooling coffee: one situation, about ten marksกาแฟเย็นลง: สถานการณ์เดียว ประมาณสิบคะแนน

The last marks are for reading, not calculus.คะแนนช่วงท้ายให้กับการอ่าน ไม่ใช่แคลคูลัส

$50\,$g decays to $30\,$g in $4$ hours: find the mass at $t=10$เริ่ม $50\,$g หลัง $4$ ชม. เหลือ $30\,$g — หามวลที่ $t=10$

  1. $\dfrac{dm}{dt}=-km$Form it: decaying means a minus.ตั้งสมการ: สลายตัวต้องมีลบ
  2. $\dfrac{1}{m}\,dm=-k\,dt$
  3. $\ln m=-kt+c$Integrate both sides.อินทิเกรตสองข้าง
  4. $\ln50=c$Fix $c$ first, at $t=0$, $m=50$.หา $c$ ก่อน ที่ $t=0$, $m=50$
  5. $\ln30=-4k+\ln50$Then fix $k$, at $t=4$, $m=30$.แล้วหา $k$ ที่ $t=4$, $m=30$
  6. $k=\tfrac14\ln\tfrac{5}{3}$
  7. $m=50e^{-kt}$Write the particular solution.เขียนผลเฉลยเฉพาะ
  8. $m(10)\approx13.9\text{ g (3 s.f.)}$Only now substitute the number the question asked for.ค่อยแทนตัวเลขที่โจทย์ถามจริงตอนนี้
  1. Exam, part (a): form a differential equation for $\theta$.  (2 marks)ข้อสอบ ข้อ (a): ตั้งสมการเชิงอนุพันธ์ของ $\theta$  (2 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\dfrac{d\theta}{dt}=-k(\theta-20)$,  $k\gt0$2 marks: $\text{M1}\ \frac{d\theta}{dt}=\pm k(\ldots)$   $\text{A1}\ \frac{d\theta}{dt}=-k(\theta-20),\ k>0$   $\int\frac{1}{\theta-20}\,d\theta=\int -k\,dt$   $\ln|\theta-20|=-kt+c\ \Rightarrow\ \theta=20+Ae^{-kt}$ The bracket must be $\theta-20$, with the minus in front of it.2 คะแนน: $\text{M1}\ \frac{d\theta}{dt}=\pm k(\ldots)$   $\text{A1}\ \frac{d\theta}{dt}=-k(\theta-20),\ k>0$   $\int\frac{1}{\theta-20}\,d\theta=\int -k\,dt$   $\ln|\theta-20|=-kt+c\ \Rightarrow\ \theta=20+Ae^{-kt}$ วงเล็บต้องเป็น $\theta-20$ และมีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้า
  2. Part (b): the general solution is $\theta=20+Ae^{-kt}$. Given $\theta=100$ when $t=0$ and $\theta=60$ when $t=10$, find the exact value of $k$.  (4 marks)ข้อ (b): ผลเฉลยทั่วไปคือ $\theta=20+Ae^{-kt}$ · กำหนด $\theta=100$ เมื่อ $t=0$ และ $\theta=60$ เมื่อ $t=10$ · จงหาค่า exact ของ $k$  (4 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $A=80$, then $e^{-10k}=\tfrac12$, so $k=\dfrac{\ln 2}{10}\approx 0.0693$4 marks: $\text{M1}\ t=0,\ \theta=100:\ 100=20+A$   $\text{A1}\ A=80$   $\text{M1}\ t=10,\ \theta=60:\ e^{-10k}=\tfrac12$   $\text{A1}\ k=\frac{\ln 2}{10}\approx 0.0693$ Find $A$ first: at $t=0$ the exponential is $1$, so $k$ is absent.4 คะแนน: $\text{M1}\ t=0,\ \theta=100:\ 100=20+A$   $\text{A1}\ A=80$   $\text{M1}\ t=10,\ \theta=60:\ e^{-10k}=\tfrac12$   $\text{A1}\ k=\frac{\ln 2}{10}\approx 0.0693$ หา $A$ ก่อน · ที่ $t=0$ เอกซ์โพเนนเชียลเป็น $1$ สมการจึงไม่มี $k$
  3. Part (c): hence find the temperature of the coffee after $20$ minutes, in degrees Celsius.  (3 marks)ข้อ (c): จากนั้นหาอุณหภูมิของกาแฟหลังผ่านไป $20$ นาที เป็นองศาเซลเซียส  (3 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\theta=20+80\times\left(\tfrac12\right)^{2}=20+20=40$3 marks: $\text{M1}\ \text{“hence”}:\ \text{reuse }e^{-10k}=\tfrac12$   $\text{M1}\ \theta=20+80\left(\tfrac12\right)^{2}$   $\text{A1}\ \theta=20+20=40^{\circ}\text{C}$   $\text{excess}:\ 80\to 40\to 20$ Reusing the exact value beats retyping a rounded $k$.3 คะแนน: $\text{M1}\ \text{“hence”}:\ \text{reuse }e^{-10k}=\tfrac12$   $\text{M1}\ \theta=20+80\left(\tfrac12\right)^{2}$   $\text{A1}\ \theta=20+20=40^{\circ}\text{C}$   $\text{excess}:\ 80\to 40\to 20$ ใช้ค่าเดิมแบบไม่ปัดเศษ ดีกว่าพิมพ์ $k$ ที่ปัดแล้วกลับเข้าไป

8. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Real board wording, marks stated, written the way the mark scheme reads.ภาษาข้อสอบจริง บอกคะแนน เขียนแบบที่เฉลยอ่านแล้วให้คะแนน

Command words carry their own instructionคำสั่งในข้อสอบบอกวิธีเขียนคำตอบ

Each phrase in the question earns one specific line in your answer.แต่ละวลีในโจทย์ตรงกับหนึ่งบรรทัดในคำตอบของเรา

  1. Part (d): interpret the model in the long run. What does it predict as $t$ becomes very large?  (2 marks)ข้อ (d): ตีความแบบจำลองในระยะยาว · เมื่อ $t$ โตมากๆ มันทำนายว่าอย่างไร?  (2 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\theta\to 20$: the coffee cools to room temperature$\theta\to 20$: กาแฟเย็นลงจนเท่าอุณหภูมิห้อง2 marks: $\text{M1}\ t\to\infty\ \Rightarrow\ 80e^{-kt}\to 0$   $\text{A1}\ \theta\to 20:\ \text{cools to room temperature}$ Constant plus exponential: the constant is the long-run limit. Say it in words.2 คะแนน: $\text{M1}\ t\to\infty\ \Rightarrow\ 80e^{-kt}\to 0$   $\text{A1}\ \theta\to 20:\ \text{cools to room temperature}$ ค่าคงที่บวกเอกซ์โพเนนเชียล · ค่าคงที่คือลิมิตระยะยาว · เขียนเป็นคำพูดด้วย
  2. Exam: Water flows into a tank at a constant $12$ litres per minute and leaks out at $0.3V$ litres per minute, where $V$ litres is the volume in the tank after $t$ minutes. The tank starts with $10$ litres.
    (a) Show that $\dfrac{dV}{dt}=12-0.3V$.
    (b) Find the time taken for the tank to hold $30$ litres, in minutes to $3$ significant figures.  (6 marks)    ข้อสอบ: น้ำไหลเข้าถังคงที่ $12$ ลิตรต่อนาที และรั่วออก $0.3V$ ลิตรต่อนาที เมื่อ $V$ ลิตรคือปริมาตรในถังหลังผ่านไป $t$ นาที · เริ่มต้นถังมีน้ำ $10$ ลิตร
    (a) จงแสดงว่า $\dfrac{dV}{dt}=12-0.3V$
    (b) จงหาเวลาที่ทำให้ถังมีน้ำ $30$ ลิตร เป็นนาที ทศนิยม $3$ ตัวเลขนัยสำคัญ  (6 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\ln(40-V)=\ln30-0.3t$, and $V=30$ gives $t=\dfrac{\ln3}{0.3}=\dfrac{10\ln3}{3}=3.66$ minutes (3 s.f.)6 marks: $\text{M1}\ \text{in}-\text{out}:\ \frac{dV}{dt}=12-0.3V$   $\text{M1}\ \text{separate}:\ \int\frac{dV}{40-V}=\int 0.3\,dt$   $\text{A1}\ -\ln|40-V|=0.3t+c$   $\text{M1}\ t=0,\ V=10\ \Rightarrow\ c=-\ln 30$   $\text{M1}\ V=30\ \Rightarrow\ \ln 3=0.3t$   $\text{A1}\ t=\frac{10\ln 3}{3}=3.66\text{ min (3 s.f.)}$ The general solution is not given here. The minus from $\frac{1}{a-V}$ is the mark.6 คะแนน: $\text{M1}\ \text{in}-\text{out}:\ \frac{dV}{dt}=12-0.3V$   $\text{M1}\ \text{separate}:\ \int\frac{dV}{40-V}=\int 0.3\,dt$   $\text{A1}\ -\ln|40-V|=0.3t+c$   $\text{M1}\ t=0,\ V=10\ \Rightarrow\ c=-\ln 30$   $\text{M1}\ V=30\ \Rightarrow\ \ln 3=0.3t$   $\text{A1}\ t=\frac{10\ln 3}{3}=3.66\text{ min (3 s.f.)}$ ข้อนี้ไม่ได้ให้ผลเฉลยทั่วไปมา · เครื่องหมายลบจาก $\frac{1}{a-V}$ คือคะแนน
  3. A metal block at $90^{\circ}$C is left in a room kept at $15^{\circ}$C. It cools at a rate proportional to the amount by which it is hotter than the room. One student uses $\theta=Ae^{-kt}$, another uses $\theta=15+Ae^{-kt}$.  Decide which model that sentence describes, and find $A$ for it.ก้อนโลหะอุณหภูมิ $90^{\circ}$C วางไว้ในห้องที่คุมไว้ $15^{\circ}$C · มันเย็นลงด้วยอัตราที่แปรผันตามส่วนที่ร้อนกว่าห้องอยู่ · นักเรียนคนหนึ่งใช้ $\theta=Ae^{-kt}$ อีกคนใช้ $\theta=15+Ae^{-kt}$  จงตัดสินว่าประโยคนั้นหมายถึง model ไหน แล้วหา $A$ ของ model นั้น
    Answer:เฉลย: $\theta=15+Ae^{-kt}$ is the model, and $t=0$, $\theta=90$ gives $A=75$Proportional to $\theta-15$, not $\theta$: $\text{“hotter than the room”}\ \Rightarrow\ \frac{d\theta}{dt}=-k(\theta-15)$   $\theta=15+Ae^{-kt}$   $t=0,\ \theta=90:\ 90=15+A\ \Rightarrow\ A=75$   $\frac{d\theta}{dt}=-k\theta\ \Rightarrow\ \theta=Ae^{-kt}:\ \text{decay towards }0$ Check by letting $t\to\infty$: heading for $0^{\circ}$C in a $15^{\circ}$C room is wrong.แปรผันกับ $\theta-15$ ไม่ใช่ $\theta$: $\text{“hotter than the room”}\ \Rightarrow\ \frac{d\theta}{dt}=-k(\theta-15)$   $\theta=15+Ae^{-kt}$   $t=0,\ \theta=90:\ 90=15+A\ \Rightarrow\ A=75$   $\frac{d\theta}{dt}=-k\theta\ \Rightarrow\ \theta=Ae^{-kt}:\ \text{decay towards }0$ ตรวจด้วย $t\to\infty$ · ถ้าวิ่งไป $0^{\circ}$C ในห้อง $15^{\circ}$C แปลว่าเลือกผิด

9. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. Solve $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x^{2}}{y}$, given that $y=2$ when $x=0$.
    Answer:เฉลย: $\dfrac{y^{2}}{2}=\dfrac{x^{3}}{3}+c$ with $c=2$, so $y^{2}=\dfrac{2x^{3}}{3}+4$This is the separation from level 1, with the constant found as in level 2.ข้อนี้คือการแยกตัวแปรจากขั้นที่ 1 แล้วหาค่าคงที่แบบขั้นที่ 2
  2. Solve $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{x+1}$, given that $y=3$ when $x=1$.
    Answer:เฉลย: $\ln y = 2\ln(x+1)+c$, so $y=A(x+1)^{2}$; then $3=4A$ gives $A=\tfrac{3}{4}$ and $y=\tfrac{3}{4}(x+1)^{2}$Same move, but both sides are logarithms now. Turn the constant into a multiplier before using it.ท่าเดิม แต่ทั้งสองข้างเป็นลอการิทึมแล้ว · เปลี่ยนค่าคงที่ให้เป็นตัวคูณก่อนใช้งาน
  3. A population satisfies $\dfrac{dP}{dt}=0.4P$, and $P=500$ when $t=0$. Find $P$ when $t=5$, giving your answer to 3 significant figures.
    Answer:เฉลย: $P=500e^{0.4t}$, so $P=500e^{2}=3694.5\ldots\approx 3690$New letters and a worded context, but underneath it is still $\frac{dy}{dt}=ky$.เปลี่ยนตัวอักษร มีบริบทเป็นคำพูด แต่ข้างใต้ก็คือ $\frac{dy}{dt}=ky$ เหมือนเดิม
  4. A tank empties so that $\dfrac{dV}{dt}=-k\sqrt{V}$. Initially $V=400$ and the volume is falling at $10$ units per minute. Find $V$ when $t=10$.
    Answer:เฉลย: $-10=-k\sqrt{400}$ gives $k=\tfrac12$; then $2\sqrt{V}=40-\tfrac{1}{2}t$, so at $t=10$, $\sqrt{V}=17.5$ and $V=306.25$Three known moves in a row: find $k$, separate, then fix $c$. No new technique.สามท่าที่รู้แล้วต่อกัน: หา $k$ แยกตัวแปร แล้วหา $c$ · ไม่มีเทคนิคใหม่
  5. A student's particular solution to a cooling problem is $\theta=15+45e^{-0.2t}$. State the room temperature, the initial temperature of the object, and the differential equation the student must have solved.
    Answer:เฉลย: Room $15$; initial $\theta=15+45=60$; and $\dfrac{d\theta}{dt}=-0.2(\theta-15)$You are given the answer and asked to find the question. Every number means something.โจทย์ให้คำตอบมา แล้วให้หาคำถาม · ตัวเลขทุกตัวมีความหมาย
  6. The mass $m$ grams of a chemical in a vessel at time $t$ minutes decreases at a rate proportional to the mass present.  (3 marks) (a)(ก) Write down a differential equation for $m$. (2 marks) (b)(ข) Given that $m=60$ when $t=0$ and $m=45$ when $t=5$, show that $m=60e^{-kt}$ and find $k$ to 3 significant figures. (5 marks) (c)(ค) Find, to the nearest minute, the time at which the mass has fallen to $30$ grams.
    Answer:เฉลย: (a) $\dfrac{dm}{dt}=-km$, $k\gt0$  (b) $m=Ae^{-kt}$ with $A=60$; $45=60e^{-5k}$ gives $k=\tfrac{1}{5}\ln\tfrac{4}{3}=0.0575$ (3 s.f.)  (c) $30=60e^{-kt}$ gives $t=\dfrac{\ln 2}{k}\approx 12$ minutesFull Edexcel wording, marks split three ways. 'Show that' means part (b) already gives $A=60$.ใช้ภาษาข้อสอบ Edexcel เต็มรูปแบบ แบ่งคะแนนสามส่วน · show that แปลว่าข้อ (b) ให้ $A=60$ มาแล้ว

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี