Differential equationsสมการเชิงอนุพันธ์

A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: Pure 3 (9709/3) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

One integral and one derivative, both needed straight awayอินทิกรัลหนึ่ง อนุพันธ์หนึ่ง ใช้ทั้งคู่ตั้งแต่ต้น

That $+c$ becomes the initial condition, every single time.$+c$ ตัวนั้นจะกลายเป็นเงื่อนไขเริ่มต้น ทุกครั้งไป

1. Straight from P3: $\displaystyle\int\frac{1}{y}\,dy=\;?$จาก P3 ตรงๆ: $\displaystyle\int\frac{1}{y}\,dy=\;?$
   Answer:เฉลย: $\ln|y|+c$The letter never matters: $\int\frac{1}{y}\,dy=\ln|y|+c$   $\text{same as }\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+c$ Today the $+c$ is the slot the question's extra information drops into.ตัวอักษรไม่เคยสำคัญ: $\int\frac{1}{y}\,dy=\ln|y|+c$   $\text{same as }\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+c$ วันนี้ $+c$ คือช่องว่างที่ข้อมูลเพิ่มเติมในโจทย์จะหล่นลงไป
2. Differentiate $y=6e^{-2x}$.ดิฟ $y=6e^{-2x}$
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=-12e^{-2x}$$\frac{dy}{dx}$ is a multiple of $y$: $-12e^{-2x}=-2\times 6e^{-2x}$   $=-2y$ That one fact is half of this lesson.อนุพันธ์เป็นตัวคูณของ $y$ เอง: $-12e^{-2x}=-2\times 6e^{-2x}$   $=-2y$ ข้อสังเกตนี้คือครึ่งหนึ่งของบทนี้

2. What the equation saysสมการนี้บอกอะไร

A differential equation describes a rate — and its solution is a whole function, not a number.สมการเชิงอนุพันธ์อธิบายอัตราการเปลี่ยนแปลง — คำตอบของมันคือฟังก์ชันทั้งฟังก์ชัน ไม่ใช่ตัวเลข

An equation with a derivative inside itสมการที่มีอนุพันธ์อยู่ข้างใน

1. Which of these is a solution of $\dfrac{dy}{dx}=2x$?ข้อไหนคือคำตอบของ $\dfrac{dy}{dx}=2x$?
   Answer:เฉลย: $y=x^{2}+7$One equation, a whole family: $y=x^{2}+7\ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx}=2x\ \checkmark$   $y=x^{2},\ y=x^{2}-4\ \Rightarrow\ 2x\ \checkmark$   $\text{shifting up or down does not change the gradient}$ The $+c$ is there to show that family.สมการเดียว ได้คำตอบทั้งครอบครัว: $y=x^{2}+7\ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx}=2x\ \checkmark$   $y=x^{2},\ y=x^{2}-4\ \Rightarrow\ 2x\ \checkmark$   $\text{shifting up or down does not change the gradient}$ $+c$ มีไว้เพื่อแสดงครอบครัวนี้
2. You differentiated $y=6e^{-2x}$ in the warm-up and got $-12e^{-2x}$. Write $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $y$ — no $x$ allowed in your answer.ตอนวอร์มอัพดิฟ $y=6e^{-2x}$ ได้ $-12e^{-2x}$ · ทีนี้เขียน $\dfrac{dy}{dx}$ ในรูปของ $y$ — ห้ามมี $x$ ในคำตอบ
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=-2y$Rate proportional to the amount present: $y=6e^{-2x}\ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx}=-12e^{-2x}$   $-12e^{-2x}=-2y$   $\frac{dy}{dx}=-2y$ The same sentence models cooling tea, decaying isotopes and growing bacteria.อัตราการเปลี่ยนแปลงแปรผันกับปริมาณที่มีอยู่: $y=6e^{-2x}\ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx}=-12e^{-2x}$   $-12e^{-2x}=-2y$   $\frac{dy}{dx}=-2y$ ประโยคเดียวกันใช้กับชาที่เย็นลง ธาตุที่สลายตัว และแบคทีเรียที่เพิ่มจำนวน
3. A tank leaks. Its volume $V$ litres falls by $3$ litres every minute. Which line says exactly that?ถังน้ำรั่ว · ปริมาตร $V$ ลิตร ลดลงนาทีละ $3$ ลิตร · บรรทัดไหนพูดแบบนั้นเป๊ะ?
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dV}{dt}=-3$What changes goes on top: $\text{changing quantity}\to\text{top}:\ dV$   $\text{changes with respect to}\to\text{bottom}:\ dt$   $\text{falling}\ \Rightarrow\ \text{minus}:\ \frac{dV}{dt}=-3$สิ่งที่เปลี่ยนอยู่ข้างบน: $\text{changing quantity}\to\text{top}:\ dV$   $\text{changes with respect to}\to\text{bottom}:\ dt$   $\text{falling}\ \Rightarrow\ \text{minus}:\ \frac{dV}{dt}=-3$

3. Split the variablesแยกตัวแปร

Get every $y$ on one side and every $x$ on the other — then it is two ordinary integrals.ต้อน $y$ ไปข้างหนึ่ง $x$ ไปอีกข้างหนึ่ง — แล้วมันก็เหลือแค่อินทิกรัลธรรมดาสองก้อน

You cannot integrate the right-hand side of $\dfrac{dy}{dx}=xy$อินทิเกรตฝั่งขวาของ $\dfrac{dy}{dx}=xy$ ตรงๆ ไม่ได้

$\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}y^{2}$, and $y=1$ when $x=0$$\dfrac{dy}{dx}=3x^{2}y^{2}$ และ $y=1$ เมื่อ $x=0$

1. $\frac{dy}{dx}=3x^{2}y^{2}$$x$ and $y$ are multiplied, so they can be pulled apart.$x$ กับ $y$ คูณกันอยู่ ก็แยกออกจากกันได้
2. $\frac{1}{y^{2}}\,dy=3x^{2}\,dx$Every $y$ to the left, every $x$ to the right.$y$ ไปซ้ายให้หมด $x$ ไปขวาให้หมด
3. $-\frac{1}{y}=x^{3}+c$$\int y^{-2}dy=-y^{-1}$. The minus sign is easy to lose.$\int y^{-2}dy=-y^{-1}$ · เครื่องหมายลบหายง่ายมาก
4. $-1=0+c$Put the condition in NOW, while the equation is still simple.แทนเงื่อนไขตอนนี้ ตอนที่สมการยังง่ายอยู่
5. $c=-1$One line, one result.หนึ่งบรรทัด หนึ่งผลลัพธ์
6. $-\frac{1}{y}=x^{3}-1$One unknown left, and it is $y$.เหลือตัวไม่รู้ค่าตัวเดียวคือ $y$
7. $y=\frac{1}{1-x^{3}}$Flip both sides and tidy the signs. Check $x=0$: $y=1$ ✓พลิกสองข้างแล้วจัดเครื่องหมาย · ตรวจ $x=0$: $y=1$ ✓

1. Separate $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x^{2}}{y}$. Which line is correct?แยกตัวแปรของ $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x^{2}}{y}$ · บรรทัดไหนถูก?
   Answer:เฉลย: $y\,dy=x^{2}\,dx$One letter per side, $dy$ included: $\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{y}$   $y\,dy=x^{2}\,dx$   $\text{left}:\ y,\,dy\qquad\text{right}:\ x,\,dx\ \checkmark$ Treating $\frac{dy}{dx}$ as a fraction is allowed here — it is a proved result.ข้างละหนึ่งตัวอักษร รวม $dy$ ด้วย: $\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{y}$   $y\,dy=x^{2}\,dx$   $\text{left}:\ y,\,dy\qquad\text{right}:\ x,\,dx\ \checkmark$ ตรงนี้มอง $\frac{dy}{dx}$ เป็นเศษส่วนได้ · เป็นผลที่พิสูจน์แล้ว
2. One of these cannot be separated. Which one?มีข้อหนึ่งที่แยกตัวแปรไม่ได้ · ข้อไหน?
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=x+y$ — a sum, and a sum does not come apart.$\dfrac{dy}{dx}=x+y$ — เป็นผลบวก และผลบวกแยกออกจากกันไม่ได้Separable means a product: $\text{test}:\ \frac{dy}{dx}=f(x)\,g(y)\ ?$   $xy+x=x(y+1)\ \checkmark$   $x+y\ \times\ (\text{a sum, not a product})$ A sum needs an integrating factor, which comes later in the course.แยกตัวแปรได้ ต้องเป็นผลคูณ: $\text{test}:\ \frac{dy}{dx}=f(x)\,g(y)\ ?$   $xy+x=x(y+1)\ \checkmark$   $x+y\ \times\ (\text{a sum, not a product})$ ผลบวกต้องใช้ integrating factor ซึ่งอยู่ในบทหลัง

4. The constant and the conditionค่าคงที่กับเงื่อนไขเริ่มต้น

One extra fact turns the family of curves into the single curve you were asked for.ข้อมูลเพิ่มอีกอย่างเดียว เปลี่ยนครอบครัวเส้นโค้งให้เหลือเส้นเดียวที่โจทย์ต้องการ

1. A cup of tea starts at $80^{\circ}\text{C}$ and cools in a room kept at $20^{\circ}\text{C}$. Its temperature after $t$ minutes is $\theta$, and the general solution is $\theta=20+Ae^{-kt}$. Which numbers are the initial condition?ชาถ้วยหนึ่งเริ่มที่ $80^{\circ}\text{C}$ แล้วเย็นลงในห้องที่คุมอุณหภูมิไว้ $20^{\circ}\text{C}$ · อุณหภูมิหลังผ่านไป $t$ นาที คือ $\theta$ และผลเฉลยทั่วไปคือ $\theta=20+Ae^{-kt}$ · เงื่อนไขเริ่มต้นคือตัวเลขคู่ไหน?
   Answer:เฉลย: $t=0$, $\theta=80$$t=0$, $\theta=80$A worded condition holds two numbers: $\text{“starts at }80^{\circ}\text{”}\ \Rightarrow\ t=0,\ \theta=80$   $20:\ \text{part of the model, not the condition}$เงื่อนไขที่เป็นคำพูดมีตัวเลขสองตัว: $\text{“starts at }80^{\circ}\text{”}\ \Rightarrow\ t=0,\ \theta=80$   $20:\ \text{part of the model, not the condition}$
2. Now write those numbers into $\theta=20+Ae^{-kt}$. Which substitution is correct?ทีนี้เขียนตัวเลขคู่นั้นลงใน $\theta=20+Ae^{-kt}$ · การแทนค่าแบบไหนถูก?
   Answer:เฉลย: $80=20+Ae^{0}=20+A$Substitute, work nothing out: $80=20+Ae^{0}$   $e^{0}=1\ \Rightarrow\ 80=20+A$ This line alone scores M1, even if the arithmetic after it goes wrong.แทนค่า ยังไม่ต้องคิดต่อ: $80=20+Ae^{0}$   $e^{0}=1\ \Rightarrow\ 80=20+A$ บรรทัดนี้บรรทัดเดียวได้ M1 ถึงคิดเลขต่อผิดก็ยังได้
3. Finish it: find the value of $A$.ปิดจ๊อบ: หาค่าของ $A$
   Answer:เฉลย: $A=60$$A$ is the starting excess: $A=80-20=60$   $\theta=20+60e^{-kt}$   $\text{Newton cooling}:\ A=\text{start}-\text{room, always}$$A$ คือส่วนเกินตอนเริ่มต้น: $A=80-20=60$   $\theta=20+60e^{-kt}$   $\text{Newton cooling}:\ A=\text{start}-\text{room, always}$
4. A different equation gives the general solution $\ln y = 2\ln x + c$, and the curve passes through $(1,\,3)$. Find the exact value of $c$.อีกสมการหนึ่งให้ผลเฉลยทั่วไป $\ln y = 2\ln x + c$ และเส้นโค้งผ่านจุด $(1,\,3)$ · จงหาค่า exact ของ $c$
   Answer:เฉลย: $c=\ln 3$Two routes, one curve: $\text{use the point first}:\ c=\ln 3$   $\text{or simplify first}:\ y=Ax^{2},\ A=3$   $\text{both give }y=3x^{2}$   $y=x^{2}+c\ \times$ The exponential of a sum is a product, never a sum.สองทาง ได้เส้นโค้งเดียวกัน: $\text{use the point first}:\ c=\ln 3$   $\text{or simplify first}:\ y=Ax^{2},\ A=3$   $\text{both give }y=3x^{2}$   $y=x^{2}+c\ \times$ ยกกำลัง $e$ ของผลบวกได้ผลคูณ ไม่ใช่ผลบวก

5. From words to symbolsแปลจากคำพูดเป็นสมการ

Every English phrase in the question turns into exactly one symbol — and part (a) is worth two marks for one line.ทุกวลีในโจทย์แปลเป็นสัญลักษณ์ได้ตัวเดียวเป๊ะ — และข้อ (a) คือสองคะแนนสำหรับบรรทัดเดียว

Marks are lost forming the equation, not solving itคะแนนหายตอนตั้งสมการ ไม่ใช่ตอนแก้

$k$ is positive. The direction of change lives in the sign written in front of it.$k$ เป็นค่าคงที่บวก · ทิศทางการเปลี่ยนแปลงอยู่ที่เครื่องหมายหน้ามัน

1. The number of bacteria $N$ in a culture increases at a rate proportional to the number present. Which equation says that?จำนวนแบคทีเรีย $N$ ในอาหารเลี้ยงเชื้อเพิ่มขึ้นด้วยอัตราที่แปรผันตรงกับจำนวนที่มีอยู่ · สมการไหนพูดแบบนั้น?
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dN}{dt}=kN$Proportional means $k$ times: $\text{“proportional to }N\text{”}\ \Rightarrow\ \frac{dN}{dt}=kN$   $\frac{dN}{dt}=N\ \times\ (\text{no }k)$ Without $k$ the model has nothing you can fit to a measurement.แปรผันตรง แปลว่า $k$ เท่า ไม่ใช่เท่ากับ: $\text{“proportional to }N\text{”}\ \Rightarrow\ \frac{dN}{dt}=kN$   $\frac{dN}{dt}=N\ \times\ (\text{no }k)$ ไม่มี $k$ แบบจำลองจะไม่มีตัวเลขให้ปรับตามค่าที่วัดได้
2. Newton's law of cooling: a body cools at a rate proportional to $\theta$, the amount by which it is hotter than its surroundings. A student writes $\dfrac{d\theta}{dt}=k\theta$ with $k\gt0$, and the model predicts the coffee getting hotter and hotter. Which repair is right?กฎการเย็นตัวของนิวตัน: วัตถุเย็นลงด้วยอัตราที่แปรผันตรงกับ $\theta$ ซึ่งคือส่วนที่มันร้อนกว่าสิ่งแวดล้อม · นักเรียนคนหนึ่งเขียน $\dfrac{d\theta}{dt}=k\theta$ โดย $k\gt0$ แล้วแบบจำลองทำนายว่ากาแฟจะร้อนขึ้นเรื่อยๆ · ซ่อมแบบไหนถึงถูก?
   Answer:เฉลย: $\dfrac{d\theta}{dt}=-k\theta$, with $k\gt0$$\dfrac{d\theta}{dt}=-k\theta$ โดย $k\gt0$The sign is written, never hidden: $k>0\ \Rightarrow\ \frac{d\theta}{dt}=-k\theta$   $\text{check}:\ \theta\ \text{large positive}\ \Rightarrow\ \frac{d\theta}{dt}<0\ \checkmark$ If the check fails, your model says the coffee gets hotter.เครื่องหมายต้องเขียน ไม่ซ่อนใน $k$: $k>0\ \Rightarrow\ \frac{d\theta}{dt}=-k\theta$   $\text{check}:\ \theta\ \text{large positive}\ \Rightarrow\ \frac{d\theta}{dt}<0\ \checkmark$ ถ้าเช็คไม่ผ่าน แบบจำลองกำลังบอกว่ากาแฟร้อนขึ้น
3. Water flows into a tank at a constant rate of $8$ litres per minute. It leaks out at $0.4V$ litres per minute, where $V$ litres is the volume in the tank. So $\dfrac{dV}{dt}=8-0.4V$. Find the volume at which the water level stops changing.น้ำไหลเข้าถังด้วยอัตราคงที่ $8$ ลิตรต่อนาที · น้ำรั่วออกด้วยอัตรา $0.4V$ ลิตรต่อนาที เมื่อ $V$ ลิตรคือปริมาตรในถัง · ดังนั้น $\dfrac{dV}{dt}=8-0.4V$ · จงหาปริมาตรที่ระดับน้ำหยุดเปลี่ยนแปลง
   Answer:เฉลย: $V=20$ litresConstant level: the rate is zero: $\frac{dV}{dt}=0$   $8-0.4V=0\ \Rightarrow\ V=20$   $V<20:\ \text{in}>\text{out}\ \Rightarrow\ \text{rises}$   $V>20:\ \text{out}>\text{in}\ \Rightarrow\ \text{falls}$ This long-run limit comes straight from the equation, without solving it.ระดับคงที่ แปลว่าอัตราเป็นศูนย์: $\frac{dV}{dt}=0$   $8-0.4V=0\ \Rightarrow\ V=20$   $V<20:\ \text{in}>\text{out}\ \Rightarrow\ \text{rises}$   $V>20:\ \text{out}>\text{in}\ \Rightarrow\ \text{falls}$ ลิมิตระยะยาวนี้หาได้จากสมการตรงๆ โดยไม่ต้องแก้สมการ

6. Growth and decayการเติบโตและการสลายตัว

The equation $\dfrac{dy}{dt}=ky$ has one solved form, $y=Ae^{kt}$. From it you can find the half-life.สมการ $\dfrac{dy}{dt}=ky$ มีรูปคำตอบเดียวคือ $y=Ae^{kt}$ · จากรูปนี้หาครึ่งชีวิตได้

1. $\ln y = 0.3t + c$. Which is $y$?$\ln y = 0.3t + c$ · $y$ คือข้อไหน?
   Answer:เฉลย: $y=Ae^{0.3t}$ with $A=e^{c}$$e^{c}$ is just a new constant: $\ln y=0.3t+c$   $y=e^{0.3t+c}=e^{c}e^{0.3t}$   $A=e^{c}\ \Rightarrow\ y=Ae^{0.3t}$ So $\frac{dy}{dt}=ky$ always solves to $y=Ae^{kt}$; go straight there.$e^{c}$ ก็แค่ค่าคงที่ตัวใหม่: $\ln y=0.3t+c$   $y=e^{0.3t+c}=e^{c}e^{0.3t}$   $A=e^{c}\ \Rightarrow\ y=Ae^{0.3t}$ $\frac{dy}{dt}=ky$ จึงได้ $y=Ae^{kt}$ เสมอ · เขียนตรงนี้ได้เลย
2. A radioactive sample decays according to $m=200e^{-0.05t}$ grams, where $t$ is in days. Find the exact half-life.สารกัมมันตรังสีสลายตัวตาม $m=200e^{-0.05t}$ กรัม โดย $t$ เป็นวัน · จงหาครึ่งชีวิตแบบ exact
   Answer:เฉลย: $t=\dfrac{\ln 2}{0.05}=20\ln 2\approx 13.9$ daysThe starting amount cancels: $100=200e^{-0.05t}$   $e^{-0.05t}=\tfrac12$   $t=\frac{\ln 2}{0.05}=20\ln 2\approx 13.9\text{ days}$ Half-life and doubling time are the same formula: $\frac{\ln 2}{k}$.ปริมาณเริ่มต้นตัดทิ้ง: $100=200e^{-0.05t}$   $e^{-0.05t}=\tfrac12$   $t=\frac{\ln 2}{0.05}=20\ln 2\approx 13.9\text{ days}$ ครึ่งชีวิตกับเวลาเพิ่มสองเท่าใช้สูตรเดียวกัน: $\frac{\ln 2}{k}$

7. Exam formรูปแบบข้อสอบ

Form, separate, apply the condition, then interpret — the marks come in that order every time.ตั้งสมการ แยกตัวแปร ใช้เงื่อนไข แล้วตีความ — คะแนนมาตามลำดับนี้ทุกครั้ง

One situation, about ten marksสถานการณ์เดียว ประมาณสิบคะแนน

The last marks are for reading, not calculus. Answer in degrees, minutes or litres, with units.คะแนนช่วงท้ายให้กับการอ่าน ไม่ใช่แคลคูลัส · ตอบเป็นองศา นาที หรือลิตร พร้อมหน่วย

1. Exam, part (a): form a differential equation for $\theta$.  (2 marks)ข้อสอบ ข้อ (a): ตั้งสมการเชิงอนุพันธ์ของ $\theta$  (2 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\dfrac{d\theta}{dt}=-k(\theta-20)$,  $k\gt0$2 marks: $\text{M1}\ \frac{d\theta}{dt}=\pm k(\ldots)$   $\text{A1}\ \frac{d\theta}{dt}=-k(\theta-20),\ k>0$   $\int\frac{1}{\theta-20}\,d\theta=\int -k\,dt$   $\ln|\theta-20|=-kt+c\ \Rightarrow\ \theta=20+Ae^{-kt}$ The bracket must be $\theta-20$, with the minus in front of it.2 คะแนน: $\text{M1}\ \frac{d\theta}{dt}=\pm k(\ldots)$   $\text{A1}\ \frac{d\theta}{dt}=-k(\theta-20),\ k>0$   $\int\frac{1}{\theta-20}\,d\theta=\int -k\,dt$   $\ln|\theta-20|=-kt+c\ \Rightarrow\ \theta=20+Ae^{-kt}$ วงเล็บต้องเป็น $\theta-20$ และมีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้า
2. Part (b): the general solution is $\theta=20+Ae^{-kt}$. Given $\theta=100$ when $t=0$ and $\theta=60$ when $t=10$, find the exact value of $k$.  (4 marks)ข้อ (b): ผลเฉลยทั่วไปคือ $\theta=20+Ae^{-kt}$ · กำหนด $\theta=100$ เมื่อ $t=0$ และ $\theta=60$ เมื่อ $t=10$ · จงหาค่า exact ของ $k$  (4 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $A=80$, then $e^{-10k}=\tfrac12$, so $k=\dfrac{\ln 2}{10}\approx 0.0693$4 marks: $\text{M1}\ t=0,\ \theta=100:\ 100=20+A$   $\text{A1}\ A=80$   $\text{M1}\ t=10,\ \theta=60:\ e^{-10k}=\tfrac12$   $\text{A1}\ k=\frac{\ln 2}{10}\approx 0.0693$ Find $A$ first: at $t=0$ the exponential is $1$, so $k$ is absent.4 คะแนน: $\text{M1}\ t=0,\ \theta=100:\ 100=20+A$   $\text{A1}\ A=80$   $\text{M1}\ t=10,\ \theta=60:\ e^{-10k}=\tfrac12$   $\text{A1}\ k=\frac{\ln 2}{10}\approx 0.0693$ หา $A$ ก่อน · ที่ $t=0$ เอกซ์โพเนนเชียลเป็น $1$ สมการจึงไม่มี $k$
3. Part (c): hence find the temperature of the coffee after $20$ minutes, in degrees Celsius.  (3 marks)ข้อ (c): จากนั้นหาอุณหภูมิของกาแฟหลังผ่านไป $20$ นาที เป็นองศาเซลเซียส  (3 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\theta=20+80\times\left(\tfrac12\right)^{2}=20+20=40$3 marks: $\text{M1}\ \text{“hence”}:\ \text{reuse }e^{-10k}=\tfrac12$   $\text{M1}\ \theta=20+80\left(\tfrac12\right)^{2}$   $\text{A1}\ \theta=20+20=40^{\circ}\text{C}$   $\text{excess}:\ 80\to 40\to 20$ Reusing the exact value beats retyping a rounded $k$.3 คะแนน: $\text{M1}\ \text{“hence”}:\ \text{reuse }e^{-10k}=\tfrac12$   $\text{M1}\ \theta=20+80\left(\tfrac12\right)^{2}$   $\text{A1}\ \theta=20+20=40^{\circ}\text{C}$   $\text{excess}:\ 80\to 40\to 20$ ใช้ค่าเดิมแบบไม่ปัดเศษ ดีกว่าพิมพ์ $k$ ที่ปัดแล้วกลับเข้าไป
4. Part (d): interpret the model in the long run. What does it predict as $t$ becomes very large?  (2 marks)ข้อ (d): ตีความแบบจำลองในระยะยาว · เมื่อ $t$ โตมากๆ มันทำนายว่าอย่างไร?  (2 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\theta\to 20$: the coffee cools to room temperature$\theta\to 20$: กาแฟเย็นลงจนเท่าอุณหภูมิห้อง2 marks: $\text{M1}\ t\to\infty\ \Rightarrow\ 80e^{-kt}\to 0$   $\text{A1}\ \theta\to 20:\ \text{cools to room temperature}$ Constant plus exponential: the constant is the long-run limit. Say it in words.2 คะแนน: $\text{M1}\ t\to\infty\ \Rightarrow\ 80e^{-kt}\to 0$   $\text{A1}\ \theta\to 20:\ \text{cools to room temperature}$ ค่าคงที่บวกเอกซ์โพเนนเชียล · ค่าคงที่คือลิมิตระยะยาว · เขียนเป็นคำพูดด้วย
5. Exam: Water flows into a tank at a constant $12$ litres per minute and leaks out at $0.3V$ litres per minute, where $V$ litres is the volume in the tank after $t$ minutes. The tank starts with $10$ litres.
   (a) Show that $\dfrac{dV}{dt}=12-0.3V$.
   (b) Find the time taken for the tank to hold $30$ litres, in minutes to $3$ significant figures.  (6 marks)ข้อสอบ: น้ำไหลเข้าถังคงที่ $12$ ลิตรต่อนาที และรั่วออก $0.3V$ ลิตรต่อนาที เมื่อ $V$ ลิตรคือปริมาตรในถังหลังผ่านไป $t$ นาที · เริ่มต้นถังมีน้ำ $10$ ลิตร
   (a) จงแสดงว่า $\dfrac{dV}{dt}=12-0.3V$
   (b) จงหาเวลาที่ทำให้ถังมีน้ำ $30$ ลิตร เป็นนาที ทศนิยม $3$ ตัวเลขนัยสำคัญ  (6 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\ln(40-V)=\ln30-0.3t$, and $V=30$ gives $t=\dfrac{\ln3}{0.3}=\dfrac{10\ln3}{3}=3.66$ minutes (3 s.f.)6 marks: $\text{M1}\ \text{in}-\text{out}:\ \frac{dV}{dt}=12-0.3V$   $\text{M1}\ \text{separate}:\ \int\frac{dV}{40-V}=\int 0.3\,dt$   $\text{A1}\ -\ln|40-V|=0.3t+c$   $\text{M1}\ t=0,\ V=10\ \Rightarrow\ c=-\ln 30$   $\text{M1}\ V=30\ \Rightarrow\ \ln 3=0.3t$   $\text{A1}\ t=\frac{10\ln 3}{3}=3.66\text{ min (3 s.f.)}$ Nobody hands you the general solution here — the minus from $\frac{1}{a-V}$ is the mark.6 คะแนน: $\text{M1}\ \text{in}-\text{out}:\ \frac{dV}{dt}=12-0.3V$   $\text{M1}\ \text{separate}:\ \int\frac{dV}{40-V}=\int 0.3\,dt$   $\text{A1}\ -\ln|40-V|=0.3t+c$   $\text{M1}\ t=0,\ V=10\ \Rightarrow\ c=-\ln 30$   $\text{M1}\ V=30\ \Rightarrow\ \ln 3=0.3t$   $\text{A1}\ t=\frac{10\ln 3}{3}=3.66\text{ min (3 s.f.)}$ ข้อนี้ไม่มีใครยกผลเฉลยทั่วไปมาให้ · เครื่องหมายลบจาก $\frac{1}{a-V}$ คือคะแนน
6. A metal block at $90^{\circ}$C is left in a room kept at $15^{\circ}$C. It cools at a rate proportional to the amount by which it is hotter than the room. One student uses $\theta=Ae^{-kt}$, another uses $\theta=15+Ae^{-kt}$.  Decide which model that sentence describes, and find $A$ for it.ก้อนโลหะอุณหภูมิ $90^{\circ}$C วางไว้ในห้องที่คุมไว้ $15^{\circ}$C · มันเย็นลงด้วยอัตราที่แปรผันตามส่วนที่ร้อนกว่าห้องอยู่ · นักเรียนคนหนึ่งใช้ $\theta=Ae^{-kt}$ อีกคนใช้ $\theta=15+Ae^{-kt}$  จงตัดสินว่าประโยคนั้นหมายถึง model ไหน แล้วหา $A$ ของ model นั้น
   Answer:เฉลย: $\theta=15+Ae^{-kt}$ is the model, and $t=0$, $\theta=90$ gives $A=75$Proportional to $\theta-15$, not $\theta$: $\text{“hotter than the room”}\ \Rightarrow\ \frac{d\theta}{dt}=-k(\theta-15)$   $\theta=15+Ae^{-kt}$   $t=0,\ \theta=90:\ 90=15+A\ \Rightarrow\ A=75$   $\frac{d\theta}{dt}=-k\theta\ \Rightarrow\ \theta=Ae^{-kt}:\ \text{decay towards }0$ Check by letting $t\to\infty$: heading for $0^{\circ}$C in a $15^{\circ}$C room is wrong.แปรผันกับ $\theta-15$ ไม่ใช่ $\theta$: $\text{“hotter than the room”}\ \Rightarrow\ \frac{d\theta}{dt}=-k(\theta-15)$   $\theta=15+Ae^{-kt}$   $t=0,\ \theta=90:\ 90=15+A\ \Rightarrow\ A=75$   $\frac{d\theta}{dt}=-k\theta\ \Rightarrow\ \theta=Ae^{-kt}:\ \text{decay towards }0$ เช็คด้วย $t\to\infty$ · ถ้าวิ่งไป $0^{\circ}$C ในห้อง $15^{\circ}$C แปลว่าเลือกผิด

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. Solve $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x^{2}}{y}$, given that $y=2$ when $x=0$.This is the separation from level 1, with the constant found as in level 2.
   Separate, integrate both sides with one $+c$, then substitute.
   It uses every step of the method once.ข้อนี้คือการแยกตัวแปรจากขั้นที่ 1 แล้วหาค่าคงที่แบบขั้นที่ 2
   แยกตัวแปร อินทิเกรตสองข้างด้วย $+c$ ตัวเดียว แล้วแทนค่า
   ได้ใช้ทุกขั้นของวิธีนี้อย่างละครั้ง
2. Solve $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{x+1}$, given that $y=3$ when $x=1$.Same move, but both sides are logarithms now and the constant has to be turned into a multiplier before it is any use. Tidy to $y=A(x+1)^{2}$ first, then substitute — the route that avoids arithmetic with $\ln$.ท่าเดิม แต่ทั้งสองข้างเป็นลอการิทึมแล้ว และต้องเปลี่ยนค่าคงที่ให้เป็นตัวคูณก่อนถึงจะใช้งานได้ · จัดรูปเป็น $y=A(x+1)^{2}$ ก่อน แล้วค่อยแทนค่า — เส้นทางที่เลี่ยงการคิดเลขกับ $\ln$
3. A population satisfies $\dfrac{dP}{dt}=0.4P$, and $P=500$ when $t=0$. Find $P$ when $t=5$, giving your answer to 3 significant figures.New letters, a worded context and no fractions in sight — but underneath it is $\frac{dy}{dt}=ky$ again. Anyone who memorised the algebra instead of the shape stalls at the first line.เปลี่ยนตัวอักษร มีบริบทเป็นคำพูด และไม่มีเศษส่วนให้เห็นเลย — แต่ข้างใต้ก็คือ $\frac{dy}{dt}=ky$ อีกแล้ว · ใครท่องพีชคณิตมาแทนที่จะจำโครง จะติดตั้งแต่บรรทัดแรก
4. A tank empties so that $\dfrac{dV}{dt}=-k\sqrt{V}$. Initially $V=400$ and the volume is falling at $10$ units per minute. Find $V$ when $t=10$.Three known moves in a row: find $k$ from one measurement, separate with a fractional power, then fix $c$ from the starting volume. No new technique — just no gaps allowed.สามท่าที่รู้แล้วต่อกันเป็นแถว: หา $k$ จากข้อมูลวัดหนึ่งชุด แยกตัวแปรที่มีกำลังเศษส่วน แล้วตรึง $c$ จากปริมาตรเริ่มต้น · ไม่มีเทคนิคใหม่ — แค่ห้ามมีช่องโหว่
5. A student's particular solution to a cooling problem is $\theta=15+45e^{-0.2t}$. State the room temperature, the initial temperature of the object, and the differential equation the student must have solved.You are given the answer and asked to find the question.
   Every number in the solution means something: the constant that is added is the surroundings, the coefficient is the starting excess, the exponent is $-k$.
   You cannot do this one by memorising steps.โจทย์ให้คำตอบมา แล้วให้หาว่าคำถามคืออะไร
   ตัวเลขทุกตัวในคำตอบมีความหมาย: ค่าคงที่ที่บวกอยู่คือสิ่งแวดล้อม ตัวคูณคือส่วนเกินตอนเริ่มต้น เลขชี้กำลังคือ $-k$
   ข้อนี้ทำไม่ได้ด้วยการท่องขั้นตอน
6. The mass $m$ grams of a chemical in a vessel at time $t$ minutes decreases at a rate proportional to the mass present. (a) Write down a differential equation for $m$. (2 marks)  (b) Given that $m=60$ when $t=0$ and $m=45$ when $t=5$, show that $m=60e^{-kt}$ and find $k$ to 3 significant figures. (5 marks)  (c) Find, to the nearest minute, the time at which the mass has fallen to $30$ grams. (3 marks)Full Edexcel wording, with the marks split three ways: form the equation, solve it and find both constants, then answer a question about time.
   The words 'show that' mean part (b) already gives you $A=60$. If you are stuck, read the later parts first.ใช้ภาษาข้อสอบ Edexcel เต็มรูปแบบ แบ่งคะแนนสามส่วน: ตั้งสมการ · แก้สมการและหาค่าคงที่ทั้งสองตัว · ตอบคำถามเรื่องเวลา
   คำว่า show that แปลว่าข้อ (b) ให้ $A=60$ มาแล้ว · ถ้าติด ให้อ่านข้อถัดไปก่อน
7. A student solves $\dfrac{dy}{dx}=2xy$ with $y=5$ at $x=0$ and writes: $\ln y = x^{2}+c$, so $y=e^{x^{2}}+c$; then $5=1+c$ gives $c=4$ and $y=e^{x^{2}}+4$. Find the error and give the correct particular solution.Turning $e^{\,\text{sum}}$ into a sum is the most common lost mark in this topic.
   It is hard to see. Differentiate the student's answer and you get $2xe^{x^{2}}$, which is not $2xy$.
   Marking someone else's work shows you can find this mistake.การเปลี่ยน $e$ผลบวก ให้เป็นผลบวก คือจุดที่เสียคะแนนบ่อยที่สุดในบทนี้
   มันมองเห็นยาก · ลองดิฟคำตอบของนักเรียนคนนั้นกลับ จะได้ $2xe^{x^{2}}$ ซึ่งไม่ใช่ $2xy$
   การตรวจงานคนอื่นแสดงว่าเราหาจุดผิดนี้เจอ

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี