A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: Pure 3 (9709/3)
Differential equations สมการเชิงอนุพันธ์
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| $\dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y)$รูปที่แยกตัวแปรได้ $\dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y)$ | Separate: $\displaystyle\int\dfrac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,dx$แยกตัวแปร: $\displaystyle\int\dfrac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,dx$ | try → ลอง → |
| "The rate of growth is proportional to $N$""อัตราการเติบโตแปรผันตรงกับ $N$" | Translate: $\dfrac{dN}{dt}=kN$แปลเป็นสมการ: $\dfrac{dN}{dt}=kN$ | try → ลอง → |
| "Given $y=2$ when $x=0$""กำหนด $y=2$ เมื่อ $x=0$" | Use the condition to find $c$ — a particular solutionใช้เงื่อนไขหา $c$ — ผลเฉลยเฉพาะ | try → ลอง → |
| "Express $y$ in terms of $x$""เขียน $y$ ในรูปของ $x$" | Rearrange after integrating; exponentiate to clear $\ln$จัดรูปหลังหาปริพันธ์ ใส่ $e$ เพื่อกำจัด $\ln$ | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
Separation การแยกตัวแปร$\displaystyle\int\dfrac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx$
Growth/decay การเติบโต/การสลาย$\dfrac{dN}{dt}=kN \Rightarrow N=Ae^{kt}$
Clearing ln กำจัด ln$\ln y=X+c \Rightarrow y=Ae^{X}$
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
Solve $\dfrac{dy}{dx}=xy$, given $y=2$ when $x=0$. Express $y$ in terms of $x$. (5 marks)
M1
Separate: $\displaystyle\int\dfrac{1}{y}\,dy=\int x\,dx$
A1
$\ln|y|=\dfrac{x^2}{2}+c$
M1
Exponentiate: $y=Ae^{x^2/2}$ where $A=e^c$
M1
$y(0)=2 \Rightarrow A=2$
A1
$y=2e^{x^2/2}$
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. A population grows so that $\dfrac{dN}{dt}=0.04N$, with $N=1500$ at $t=0$ (years). Find $N(t)$ and the time for the population to double (3 s.f.).5 markssolution ▾
$N=1500e^{0.04t}$. Double: $e^{0.04t}=2 \Rightarrow t=\dfrac{\ln 2}{0.04}=\mathbf{17.3}$ years.
P2. Solve $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y+1}{x}$, $x>0$, given $y=1$ when $x=1$.5 markssolution ▾
$\int\dfrac{dy}{y+1}=\int\dfrac{dx}{x} \Rightarrow \ln|y+1|=\ln x+c$.
$y+1=Ax$; condition: $2=A$. $\mathbf{y=2x-1}$.
$y+1=Ax$; condition: $2=A$. $\mathbf{y=2x-1}$.
Vocab ศัพท์ต้องรู้
differential equation สมการเชิงอนุพันธ์ · separate the variables แยกตัวแปร · general / particular solution ผลเฉลยทั่วไป / เฉพาะ · proportional to แปรผันตรงกับ · initial condition เงื่อนไขเริ่มต้น
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗One constant, added once ค่าคงที่ตัวเดียว ใส่ทันทีIntegrate both sides and write a single $+c$ immediately — inserting it after exponentiating is too late and wrong.
✗"Proportional to" is a translation mark แปลคำเป็นสมการได้คะแนนWriting $\frac{dN}{dt}=kN$ from the words earns a mark before any calculus happens.
✗Separate fully before integrating แยกตัวแปรให้ขาดก่อนAll $y$'s (with $dy$) on one side, all $x$'s (with $dx$) on the other — integrating a mixed line earns nothing.
✗Stopping at the implicit form ตอบไม่จบรูป $y=\ldots$"Express $y$ in terms of $x$" means finish with $y=\ldots$ — leaving $\ln|y|=\ldots$ unrearranged drops the final mark.
✗Answer in context, with units ตอบตามบริบท พร้อมหน่วยIn growth/decay models, state the final value with its units (years, grams, …) and to the accuracy the question asks for.
Keep going, free ไปต่อ ฟรี
Nice work so far. Drop your email to unlock every level and the other topics. We'll tune them to your board. ทำได้ดีแล้ว ใส่อีเมลเพื่อปลดล็อกทุกระดับและหัวข้ออื่นๆ เราจะจัดให้ตรงกับ board ที่คุณสอบ