Implicit differentiation & rates of changeอนุพันธ์อิมพลิซิต · อัตราการเปลี่ยนแปลง

A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: Pure 3 (9709/3) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

Chain rule and product rule, before $y$ appearsกฎลูกโซ่กับกฎผลคูณ ก่อนเจอ $y$

$\dfrac{d}{dx}(y^{2})=2y\dfrac{dy}{dx}$: panel 1 with $y$ inside the bracket.$\dfrac{d}{dx}(y^{2})=2y\dfrac{dy}{dx}$ · คือช่อง 1 ที่มี $y$ อยู่ในวงเล็บ

1. Differentiate $y=(x^{2}+1)^{3}$.ดิฟ $y=(x^{2}+1)^{3}$
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=6x(x^{2}+1)^{2}$Chain rule: remember this shape: $\frac{d}{dx}\big(u^{3}\big)=3u^{2}\times\frac{du}{dx}$   $u=x^{2}+1:\ \ 3(x^{2}+1)^{2}\times 2x=6x(x^{2}+1)^{2}$ In ten minutes you put $u=y$ into it, and that is the whole lesson.กฎลูกโซ่ · จำรูปนี้ไว้: $\frac{d}{dx}\big(u^{3}\big)=3u^{2}\times\frac{du}{dx}$   $u=x^{2}+1:\ \ 3(x^{2}+1)^{2}\times 2x=6x(x^{2}+1)^{2}$ อีกสิบนาทีจะเอา $u=y$ ใส่ลงไป · แค่นั้นแหละทั้งบทเรียน
2. $y=x^{2}(x+3)$.  Use the product rule to find the value of $\dfrac{dy}{dx}$ at $x=1$.$y=x^{2}(x+3)$  ใช้กฎผลคูณหาค่า $\dfrac{dy}{dx}$ ที่ $x=1$
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=x^{2}+2x(x+3)=3x^{2}+6x$,  so at $x=1$ it is $9$Product rule gives two terms: $x^{2}(1)+(x+3)(2x)=3x^{2}+6x$   $x=1:\ \ 3+6=9$ Later today the second factor is $y$, not $x+3$. Same rule, one extra symbol.กฎผลคูณ ได้สองพจน์: $x^{2}(1)+(x+3)(2x)=3x^{2}+6x$   $x=1:\ \ 3+6=9$ เดี๋ยววันนี้ ตัวประกอบที่สองจะเป็น $y$ ไม่ใช่ $x+3$ · กฎเดิม เพิ่มสัญลักษณ์เดียว

2. A curve you cannot splitเส้นโค้งที่ตัดเป็น y เดี่ยวไม่ได้

Find a gradient on $x^{2}+y^{2}=25$ without ever solving for $y$.หาความชันบน $x^{2}+y^{2}=25$ โดยไม่ต้องแก้หา $y$ เลย

One equation, two branchesสมการเดียว สองกิ่ง

No single $y=\dots$ covers both points, so there is no formula to differentiate yet.ไม่มี $y=\dots$ ตัวเดียวครอบคลุมทั้งสองจุด · จึงยังไม่มีสูตรให้ดิฟ

1. Make $y$ the subject of $x^{2}+y^{2}=25$.ทำ $y$ ให้เป็นตัวตั้งของ $x^{2}+y^{2}=25$
   Answer:เฉลย: $y=\pm\sqrt{25-x^{2}}$  — two branches, not one functionOne equation, two functions: $y=+\sqrt{25-x^{2}}\ \ \text{(top half)}$   $y=-\sqrt{25-x^{2}}\ \ \text{(bottom half)}$   $x^{3}+y^{3}=6xy\ \Rightarrow\ \text{cannot be rearranged at all}$ So we need a method that never rearranges first. That is this lesson.สมการเดียว สองฟังก์ชัน: $y=+\sqrt{25-x^{2}}\ \ \text{(top half)}$   $y=-\sqrt{25-x^{2}}\ \ \text{(bottom half)}$   $x^{3}+y^{3}=6xy\ \Rightarrow\ \text{cannot be rearranged at all}$ เลยต้องมีวิธีที่ไม่ต้องย้ายข้างก่อนเลย · นั่นคือบทนี้
2. Still Pure 2. The radius joins $(0,0)$ to $(3,4)$. Find the gradient of that radius.ยังอยู่ Pure 2 · รัศมีลากจาก $(0,0)$ ไป $(3,4)$ · หาความชันของรัศมีเส้นนี้
   Answer:เฉลย: $m=\dfrac{4-0}{3-0}=\dfrac{4}{3}$Rise over run: $m=\frac{4-0}{3-0}=\frac{4}{3}$   $\text{two points and a line — no circles yet}$ตั้งขึ้น หารด้วย วิ่งไป: $m=\frac{4-0}{3-0}=\frac{4}{3}$   $\text{two points and a line — no circles yet}$
3. Write down the gradient of the tangent to the circle at $(3,4)$.เขียนความชันของเส้นสัมผัสวงกลมที่ $(3,4)$
   Answer:เฉลย: $m_{\text{tangent}}=-\dfrac{1}{4/3}=-\dfrac{3}{4}$Flip it over and negate: $m_{\text{radius}}=\frac{4}{3}$   $m_{\text{tangent}}=-1\div\frac{4}{3}=-\frac{3}{4}$ Remember $-\frac34$. Level 2 gets the same number from two lines of algebra.กลับเศษส่วน แล้วติดลบ: $m_{\text{radius}}=\frac{4}{3}$   $m_{\text{tangent}}=-1\div\frac{4}{3}=-\frac{3}{4}$ จำ $-\frac34$ ไว้ · ขั้นที่ 2 จะได้เลขตัวเดิม จากพีชคณิตสองบรรทัด

3. Differentiating a y termดิฟพจน์ที่มี y

$\frac{d}{dx}(y^{3})=3y^{2}\frac{dy}{dx}$: the chain rule, because $y$ is a function of $x$.$\frac{d}{dx}(y^{3})=3y^{2}\frac{dy}{dx}$ · คือกฎลูกโซ่ เพราะ $y$ เป็นฟังก์ชันของ $x$

Same power rule, swap the inside for $y$กฎกำลังเดิม สลับข้างในเป็น $y$

Inside $y$ instead of $x^{2}+1$: the chain factor is $\frac{dy}{dx}$ instead of $2x$.ข้างในเป็น $y$ แทน $x^{2}+1$ · ตัวคูณ chain จึงเป็น $\frac{dy}{dx}$ แทน $2x$

Differentiate $y^{2}$ by the rule aboveดิฟ $y^{2}$ ด้วยกฎข้างบน

1. $\frac{d}{dx}\big(y^{2}\big)$Same shape as $(x^{2}+1)^{3}$ from the warm-up.รูปเดียวกับ $(x^{2}+1)^{3}$ จากวอร์มอัพ
2. $=2y\times\frac{dy}{dx}$Power down, drop the power by one.กำลังลงมาคูณ แล้วลดกำลังลงหนึ่ง
3. $=2y\frac{dy}{dx}$The chain factor, because the inside is $y$ itself.ตัวคูณ chain เพราะข้างในคือ $y$ เอง

1. We are about to differentiate $x^{2}+y^{2}=25$ with respect to $x$. Which terms pick up an extra $\frac{dy}{dx}$?กำลังจะดิฟ $x^{2}+y^{2}=25$ เทียบกับ $x$ · พจน์ไหนบ้างที่จะมี $\frac{dy}{dx}$ ติดออกมา?
   Answer:เฉลย: only $y^{2}$ — because only $y$ is a function of $x$เฉพาะ $y^{2}$ — เพราะมีแค่ $y$ ที่เป็นฟังก์ชันของ $x$Label every term first: $x^{2}\ \to\ \text{differentiate as usual}$   $y^{2}\ \to\ \text{extra }\times\frac{dy}{dx}$   $25\ \to\ 0$ Say the labels out loud. That is what stops the common lost mark.ติดป้ายทุกพจน์ก่อน: $x^{2}\ \to\ \text{differentiate as usual}$   $y^{2}\ \to\ \text{extra }\times\frac{dy}{dx}$   $25\ \to\ 0$ พูดป้ายออกมาดังๆ · แค่นี้ก็ไม่เสียคะแนนยอดฮิต
2. Now write the differentiated line. Which is correct for $x^{2}+y^{2}=25$?ทีนี้เขียนบรรทัดที่ดิฟแล้ว · ข้อไหนถูกสำหรับ $x^{2}+y^{2}=25$?
   Answer:เฉลย: $2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$Differentiate it as written: $x^{2}+y^{2}=25$   $2x+2y\frac{dy}{dx}=0$ No solving for $y$, no choosing a half. That is what implicit means.ดิฟตามที่เขียนไว้เลย: $x^{2}+y^{2}=25$   $2x+2y\frac{dy}{dx}=0$ ไม่แก้หา $y$ ไม่เลือกครึ่งไหน · นั่นแหละคำว่า implicit
3. The point $(3,4)$ lies on $x^{2}+y^{2}=25$. Put $x=3$ and $y=4$ into $2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$ and find the value of $\dfrac{dy}{dx}$ there.จุด $(3,4)$ อยู่บน $x^{2}+y^{2}=25$ · แทน $x=3$ และ $y=4$ ลงใน $2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$ แล้วหาค่า $\dfrac{dy}{dx}$ ที่จุดนั้น
   Answer:เฉลย: $6+8\dfrac{dy}{dx}=0 \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{6}{8}=-\dfrac{3}{4}$Same $-\frac34$, two lines: $6+8\frac{dy}{dx}=0$   $\frac{dy}{dx}=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}$ No radius or perpendicular rule is needed, so this works on curves with no centre.$-\frac34$ ตัวเดิม แค่สองบรรทัด: $6+8\frac{dy}{dx}=0$   $\frac{dy}{dx}=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}$ ไม่ใช้รัศมี ไม่ใช้กฎตั้งฉาก · เลยใช้ได้กับเส้นโค้งที่ไม่มีจุดศูนย์กลาง

4. The xy term needs two rulesพจน์ xy ต้องใช้สองกฎ

$\frac{d}{dx}(xy)=x\frac{dy}{dx}+y$: the product rule and the new move together.$\frac{d}{dx}(xy)=x\frac{dy}{dx}+y$ · กฎผลคูณรวมกับท่าใหม่ ทำพร้อมกัน

$xy$ is a product of two functions of $x$$xy$ คือผลคูณของฟังก์ชันของ $x$ สองตัว

Product rule first, then the $\frac{dy}{dx}$ step from the last level.กฎผลคูณก่อน · แล้วต่อด้วยท่า $\frac{dy}{dx}$ จากขั้นที่แล้ว

Apply the rule to $xy$ itselfใช้กฎกับ $xy$ ตรงๆ

1. $u=x$LABEL. The two pieces.ติดป้าย · สองชิ้นส่วน
2. $v=y$
3. $\frac{du}{dx}=1$
4. $\frac{dv}{dx}=\frac{dy}{dx}$$y$ is a function of $x$. This is the move from the last step.$y$ เป็นฟังก์ชันของ $x$ — ท่าจากขั้นก่อนหน้า
5. $\frac{d}{dx}(xy)=x\frac{dy}{dx}+y\times1$SUBSTITUTE the four pieces into the formula.แทนสี่ชิ้นลงในสูตร
6. $=x\frac{dy}{dx}+y$EVALUATE. Simplify the $\times1$.คิด · จัด $\times1$ ให้เรียบ

1. Product rule on $xy$ with $u=x$ and $v=y$. What are $\dfrac{du}{dx}$ and $\dfrac{dv}{dx}$?ใช้กฎผลคูณกับ $xy$ โดยให้ $u=x$ และ $v=y$ · แล้ว $\dfrac{du}{dx}$ กับ $\dfrac{dv}{dx}$ คืออะไร?
   Answer:เฉลย: $\dfrac{du}{dx}=1$,  $\dfrac{dv}{dx}=\dfrac{dy}{dx}$Fill four boxes before writing: $u=x\qquad v=y$   $\frac{du}{dx}=1\qquad \frac{dv}{dx}=\frac{dy}{dx}$เติมสี่ช่องก่อนลงมือเขียน: $u=x\qquad v=y$   $\frac{du}{dx}=1\qquad \frac{dv}{dx}=\frac{dy}{dx}$
2. Differentiate $x^{2}+3xy+y^{2}=11$ with respect to $x$, term by term. Which line is right?ดิฟ $x^{2}+3xy+y^{2}=11$ เทียบกับ $x$ ทีละพจน์ · บรรทัดไหนถูก?
   Answer:เฉลย: $2x+3x\dfrac{dy}{dx}+3y+2y\dfrac{dy}{dx}=0$Bracket the product term: $x^{2}\ \to\ 2x$   $3xy\ \to\ 3\left(x\frac{dy}{dx}+y\right)$   $y^{2}\ \to\ 2y\frac{dy}{dx}\qquad 11\ \to\ 0$ Multiply the $3$ in afterwards, or it goes missing off the second half.ใส่วงเล็บให้พจน์ผลคูณ: $x^{2}\ \to\ 2x$   $3xy\ \to\ 3\left(x\frac{dy}{dx}+y\right)$   $y^{2}\ \to\ 2y\frac{dy}{dx}\qquad 11\ \to\ 0$ ค่อยคูณ $3$ เข้าไปทีหลัง · ไม่งั้น $3$ หายจากครึ่งหลัง
3. The curve $x^{2}+3xy+y^{2}=11$ passes through $(1,2)$. Substitute into the line above and find the value of $\dfrac{dy}{dx}$ at that point.เส้นโค้ง $x^{2}+3xy+y^{2}=11$ ผ่านจุด $(1,2)$ · แทนค่าลงในบรรทัดข้างบน แล้วหาค่า $\dfrac{dy}{dx}$ ที่จุดนั้น
   Answer:เฉลย: $2+3\dfrac{dy}{dx}+6+4\dfrac{dy}{dx}=0 \Rightarrow 8+7\dfrac{dy}{dx}=0 \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{8}{7}$Substitute before rearranging: $2+3\frac{dy}{dx}+6+4\frac{dy}{dx}=0$   $8+7\frac{dy}{dx}=0$   $\frac{dy}{dx}=-\frac{8}{7}$ A page of algebra became one line of arithmetic. Do it whenever a point is given.แทนค่าก่อน ค่อยจัดรูป: $2+3\frac{dy}{dx}+6+4\frac{dy}{dx}=0$   $8+7\frac{dy}{dx}=0$   $\frac{dy}{dx}=-\frac{8}{7}$ พีชคณิตทั้งหน้า เหลือเลขคณิตบรรทัดเดียว · โจทย์ให้จุดมาเมื่อไหร่ ทำแบบนี้

5. Collect, factorise, divideรวมพจน์ แยกตัวประกอบ แล้วหาร

Every implicit question ends the same way: gather the $\frac{dy}{dx}$ terms, factorise, divide.ข้อ implicit ทุกข้อจบเหมือนกันหมด: รวมพจน์ที่มี $\frac{dy}{dx}$ · แยกตัวประกอบ · แล้วหาร

Making $\frac{dy}{dx}$ the subjectทำ $\frac{dy}{dx}$ ให้เป็นตัวตั้ง

Treat $\frac{dy}{dx}$ as one letter. An answer with both $x$ and $y$ is normal.มอง $\frac{dy}{dx}$ เป็นตัวอักษรตัวเดียว · คำตอบมีทั้ง $x$ และ $y$ เป็นเรื่องปกติ

Gradient of $x^{2}+y^{2}=25$ at $(3,4)$ความชันของ $x^{2}+y^{2}=25$ ที่จุด $(3,4)$

1. $x^{2}+y^{2}=25$You could solve for $y$ here, but on most implicit curves you cannot.ข้อนี้แก้หา $y$ ได้ แต่เส้นโค้งอิมพลิซิตส่วนใหญ่แก้ไม่ได้
2. $2x+2y\frac{dy}{dx}=0$Subtract $2x$ from both sides: write $-2x$ under both sides, strike the pair.$2x$ ย้ายข้าง เขียน $-2x$ ใต้ทั้งสองข้าง แล้วขีดฆ่า
3. $2y\frac{dy}{dx}=-2x$Divide both sides by $2y$.หาร $2y$ ทั้งสองข้าง
4. $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$Divide. The answer is allowed to contain both letters.หาร · คำตอบมีทั้งสองตัวอักษรได้ ไม่ผิด
5. $\frac{dy}{dx}=-\frac{3}{4}$Substitute last. Radius $(3,4)$ has gradient $\tfrac43$; $-\tfrac34$ is its negative reciprocal ✓.แทนจุดตอนท้ายสุด · รัศมี $(3,4)$ ชัน $\tfrac43$ และ $-\tfrac34$ คือส่วนกลับติดลบ ✓

1. From $2x+3y+3x\dfrac{dy}{dx}+2y\dfrac{dy}{dx}=0$, which is the correct factorised line?จาก $2x+3y+3x\dfrac{dy}{dx}+2y\dfrac{dy}{dx}=0$ · บรรทัดที่แยกตัวประกอบถูกต้องคือข้อไหน?
   Answer:เฉลย: $(3x+2y)\dfrac{dy}{dx}=-(2x+3y) \;\Rightarrow\; \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x+3y}{3x+2y}$Bracket what multiplies $\frac{dy}{dx}$: $(3x+2y)\frac{dy}{dx}=-(2x+3y)$   $\frac{dy}{dx}=-\frac{2x+3y}{3x+2y}$ The answer still contains $y$. On an implicit curve that is normal, not a mistake.เข้าวงเล็บ เฉพาะตัวที่คูณ $\frac{dy}{dx}$: $(3x+2y)\frac{dy}{dx}=-(2x+3y)$   $\frac{dy}{dx}=-\frac{2x+3y}{3x+2y}$ คำตอบยังมี $y$ อยู่ · บนเส้นโค้งอิมพลิซิต แบบนี้ปกติ ไม่ผิด
2. The curve $xy=8$. Differentiate implicitly, make $\dfrac{dy}{dx}$ the subject, then use $y=\dfrac{8}{x}$ to write your answer in terms of $x$ only.เส้นโค้ง $xy=8$ · ดิฟโดยปริยาย ทำ $\dfrac{dy}{dx}$ ให้เป็นตัวตั้ง แล้วใช้ $y=\dfrac{8}{x}$ เขียนคำตอบให้อยู่ในรูป $x$ ล้วน
   Answer:เฉลย: $x\dfrac{dy}{dx}+y=0 \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{y}{x}=-\dfrac{8}{x^{2}}$Check it by rearranging: $x\frac{dy}{dx}+y=0\ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}=-\frac{8}{x^{2}}$   $y=8x^{-1}\ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx}=-8x^{-2}\ \ \checkmark$ Same theory as always, done without rearranging first.ตรวจด้วยการย้ายข้าง: $x\frac{dy}{dx}+y=0\ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}=-\frac{8}{x^{2}}$   $y=8x^{-1}\ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx}=-8x^{-2}\ \ \checkmark$ ทฤษฎีเดิมทุกอย่าง · แค่ไม่ต้องย้ายข้างก่อน

6. Tangents, normals and flat spotsเส้นสัมผัส เส้นตั้งฉาก และจุดที่กราฟแบน

One number for $\frac{dy}{dx}$ gives the tangent, the normal, and the flat points.ค่า $\frac{dy}{dx}$ ตัวเดียว ให้ทั้งเส้นสัมผัส เส้นตั้งฉาก และจุดที่เส้นโค้งแบน

Once $\frac{dy}{dx}$ is a number, it is Pure 1 againพอ $\frac{dy}{dx}$ เป็นตัวเลขแล้ว ก็กลับไปเป็น Pure 1

Implicit differentiation gives the gradient only. Substitute the point straight after differentiating.ดิฟโดยปริยายให้แค่ความชัน · ดิฟเสร็จแทนจุดทันที

Gradient $-\frac{3}{4}$ at $P(4,2)$ on a circleความชัน $-\frac{3}{4}$ ที่ $P(4,2)$ บนวงกลม

1. $y-y_{1}=m(x-x_{1})$LABEL. Point-gradient form, from Pure 1.ติดป้าย · สมการจุด-ความชัน จาก Pure 1
2. $y-2=-\tfrac{3}{4}(x-4)$SUBSTITUTE, then clear the fraction.แทนค่า แล้วกำจัดเศษส่วน
3. $4y-8=-3(x-4)$
4. $4y-8=-3x+12$EVALUATE the bracket, then move $-3x$ across.คิดวงเล็บ แล้วย้าย $-3x$ ข้าง
5. $3x+4y-8=12$Move $-8$ across too.ย้าย $-8$ ข้างด้วย
6. $3x+4y=20$Simplified form. Check: $3(4)+4(2)=20$ ✓.จัดให้เรียบ · ตรวจ: $3(4)+4(2)=20$ ✓

1. The curve $x^{2}+xy+y^{2}=7$ passes through $P(1,2)$. Find the gradient of the normal to the curve at $P$.เส้นโค้ง $x^{2}+xy+y^{2}=7$ ผ่านจุด $P(1,2)$ · หาความชันของเส้นตั้งฉาก (normal) ที่ $P$
   Answer:เฉลย: tangent $-\dfrac45$,  so normal $=-1\div\left(-\dfrac45\right)=\dfrac{5}{4}$Tangent first, then normal: $2+\frac{dy}{dx}+2+4\frac{dy}{dx}=0$   $5\frac{dy}{dx}=-4\ \Rightarrow\ m_{\text{tangent}}=-\frac{4}{5}$   $m_{\text{normal}}=-1\div\left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{5}{4}$หาเส้นสัมผัสก่อน แล้วค่อยตั้งฉาก: $2+\frac{dy}{dx}+2+4\frac{dy}{dx}=0$   $5\frac{dy}{dx}=-4\ \Rightarrow\ m_{\text{tangent}}=-\frac{4}{5}$   $m_{\text{normal}}=-1\div\left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{5}{4}$
2. Same curve, same point $P(1,2)$, tangent gradient $-\dfrac{4}{5}$. Which is the equation of the tangent at $P$?เส้นโค้งเดิม จุดเดิม $P(1,2)$ ความชันเส้นสัมผัส $-\dfrac{4}{5}$ · สมการเส้นสัมผัสที่ $P$ คือข้อไหน?
   Answer:เฉลย: $y-2=-\dfrac45(x-1) \Rightarrow 5y-10=-4x+4 \Rightarrow 4x+5y=14$Put the point back in: $y-2=-\frac{4}{5}(x-1)$   $5y-10=-4x+4\ \Rightarrow\ 4x+5y=14$   $4(1)+5(2)=14\ \ \checkmark$ Ten seconds, and it catches the swapped-coordinate slip every time.เอาจุดแทนกลับเข้าไป: $y-2=-\frac{4}{5}(x-1)$   $5y-10=-4x+4\ \Rightarrow\ 4x+5y=14$   $4(1)+5(2)=14\ \ \checkmark$ สิบวินาที · จับพลาดสลับพิกัดได้ทุกครั้ง
3. For the curve $x^{2}+y^{2}-4x+6y=12$ you are given $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2-x}{y+3}$. The tangent is horizontal at two points. Find both $y$-coordinates.เส้นโค้ง $x^{2}+y^{2}-4x+6y=12$ มี $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2-x}{y+3}$ (โจทย์ให้มา) · เส้นสัมผัสเป็นแนวนอนที่สองจุด · หาพิกัด $y$ ทั้งสองค่า
   Answer:เฉลย: $x=2$, then $4+y^{2}-8+6y=12 \Rightarrow y^{2}+6y-16=0 \Rightarrow (y-2)(y+8)=0$, so $y=2$ or $y=-8$Numerator zero, then the curve: $2-x=0\ \Rightarrow\ x=2$   $4+y^{2}-8+6y=12$   $y^{2}+6y-16=0\ \Rightarrow\ (y-2)(y+8)=0$   $y=2\ \ \text{or}\ \ y=-8$ Setting the numerator to zero is half the work. Always go back for the other coordinate.ตัวเศษเป็นศูนย์ แล้วกลับไปที่เส้นโค้ง: $2-x=0\ \Rightarrow\ x=2$   $4+y^{2}-8+6y=12$   $y^{2}+6y-16=0\ \Rightarrow\ (y-2)(y+8)=0$   $y=2\ \ \text{or}\ \ y=-8$ ตั้งตัวเศษเป็นศูนย์ คือครึ่งเดียว · ต้องกลับไปหาอีกพิกัดเสมอ

7. Exam formรูปแบบข้อสอบ

The two P4 shapes: a flat tangent on an implicit curve, and connected rates of change.สองหน้าตาที่ P4 ชอบออก: เส้นสัมผัสแนวนอนบนเส้นโค้ง implicit และอัตราการเปลี่ยนแปลงที่เชื่อมกัน

Two shapes. The second is the chain rule again.สองหน้าตา · อันที่สองคือกฎลูกโซ่อีกครั้ง

In a rates question the letters must cancel like fractions. Use that to check the chain.ข้ออัตราการเปลี่ยนแปลง ตัวอักษรต้องตัดกันได้เหมือนเศษส่วน · ใช้ตรวจว่าต่อโซ่ถูกคู่

Sphere radius $r=3$, growing at $0.1$ cm/sทรงกลม $r=3$ โตด้วย $0.1$ cm/s

1. $\tfrac{dV}{dr}=4\pi r^{2}$Differentiate the volume formula.ดิฟสูตรปริมาตร
2. $=4\pi(3)^{2}$
3. $=36\pi$EVALUATE at $r=3$.คิดที่ $r=3$
4. $\tfrac{dV}{dt}=36\pi\times0.1$The chain rule again, with $r$ instead of $y$.กฎลูกโซ่อีกครั้ง — เปลี่ยน $y$ เป็น $r$
5. $=3.6\pi$Keep $\pi$ exact.เก็บ $\pi$ ไว้ ไม่ต้องทศนิยม

1. A spherical balloon has volume $V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$. Air is pumped in so the radius increases at $0.2$ cm s$^{-1}$. Which substitution gives $\dfrac{dV}{dt}$ at the instant when $r=5$?ลูกโป่งทรงกลมมีปริมาตร $V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$ · สูบลมเข้าไปจนรัศมีเพิ่มด้วยอัตรา $0.2$ cm s$^{-1}$ · การแทนค่าแบบไหนให้ $\dfrac{dV}{dt}$ ณ ขณะที่ $r=5$?
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dr}\times\dfrac{dr}{dt}=4\pi(5)^{2}\times0.2$Label both derivatives first: $\frac{dV}{dr}=4\pi r^{2}\quad\text{(from the formula)}$   $\frac{dr}{dt}=0.2\quad\text{(from the words)}$   $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\times\frac{dr}{dt}=4\pi(5)^{2}\times 0.2$ “The radius increases at …” is always a $\frac{d}{dt}$ statement.ติดป้ายอนุพันธ์ทั้งสองก่อน: $\frac{dV}{dr}=4\pi r^{2}\quad\text{(from the formula)}$   $\frac{dr}{dt}=0.2\quad\text{(from the words)}$   $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\times\frac{dr}{dt}=4\pi(5)^{2}\times 0.2$ “รัศมีเพิ่มขึ้นในอัตรา …” คือประโยคที่แปลว่า $\frac{d}{dt}$ เสมอ
2. Finish it: find the value of $\dfrac{dV}{dt}$ when $r=5$, leaving your answer in terms of $\pi$.ทำต่อให้จบ: หาค่า $\dfrac{dV}{dt}$ ตอน $r=5$ · ตอบในรูปของ $\pi$
   Answer:เฉลย: $4\pi(25)\times0.2=100\pi\times0.2=20\pi$  cm$^{3}$ s$^{-1}$$\pi$ and units are marks: $\frac{dV}{dt}=4\pi(5)^{2}\times 0.2$   $=100\pi\times 0.2=20\pi\ \text{cm}^{3}\,\text{s}^{-1}$ Leave $\pi$ in and write the units. Two marks live there.$\pi$ กับหน่วย คือคะแนน: $\frac{dV}{dt}=4\pi(5)^{2}\times 0.2$   $=100\pi\times 0.2=20\pi\ \text{cm}^{3}\,\text{s}^{-1}$ เก็บ $\pi$ ไว้ แล้วเขียนหน่วยด้วย · สองคะแนนอยู่ตรงนั้น
3. Exam: The curve $C$ has equation $x^{2}+xy+y^{2}=12$.  (a) Show that $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x+y}{x+2y}$.  (b) The tangent to $C$ is parallel to the $x$-axis at two points. Find both $x$-coordinates.  (5 marks)ข้อสอบ: เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $x^{2}+xy+y^{2}=12$  (a) แสดงว่า $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x+y}{x+2y}$  (b) เส้นสัมผัสของ $C$ ขนานแกน $x$ ที่สองจุด · หาพิกัด $x$ ทั้งสองค่า  (5 คะแนน)
   Answer:เฉลย: (a) $2x+x\dfrac{dy}{dx}+y+2y\dfrac{dy}{dx}=0$ · (b) numerator $=0$ gives $y=-2x$; then $x^{2}-2x^{2}+4x^{2}=12$, so $3x^{2}=12$ and $x=\pm2$  (the points are $(2,-4)$ and $(-2,4)$)5 marks: $\text{M1}\ \ \text{differentiate implicitly, product rule on }xy$   $\text{A1}\ \ 2x+y+(x+2y)\frac{dy}{dx}=0$   $\text{M1}\ \ \text{numerator}=0\ \Rightarrow\ y=-2x$   $\text{M1}\ \ x^{2}-2x^{2}+4x^{2}=3x^{2}=12$   $\text{A1}\ \ x=2\ \ \text{and}\ \ x=-2$ Students lose the last mark most often. “Points” means two, but many write one root.5 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{differentiate implicitly, product rule on }xy$   $\text{A1}\ \ 2x+y+(x+2y)\frac{dy}{dx}=0$   $\text{M1}\ \ \text{numerator}=0\ \Rightarrow\ y=-2x$   $\text{M1}\ \ x^{2}-2x^{2}+4x^{2}=3x^{2}=12$   $\text{A1}\ \ x=2\ \ \text{and}\ \ x=-2$ คะแนนสุดท้ายเสียบ่อยสุด · คำว่า “points” แปลว่าสองจุด แต่คนมักตอบรากเดียว
4. Exam: The curve $C$ has equation $x^{2}+4xy+y^{2}=13$, and the point $P(1,2)$ lies on $C$. A particle moves along $C$ so that the $x$-coordinate increases at a constant $3$ units per second. Find the rate at which the $y$-coordinate is changing as the particle passes through $P$.  (6 marks)ข้อสอบ: เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $x^{2}+4xy+y^{2}=13$ และจุด $P(1,2)$ อยู่บน $C$ · มีอนุภาควิ่งไปตาม $C$ โดยพิกัด $x$ เพิ่มขึ้นคงที่ $3$ หน่วยต่อวินาที · จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของพิกัด $y$ ตอนที่อนุภาคผ่านจุด $P$  (6 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $2x+4x\dfrac{dy}{dx}+4y+2y\dfrac{dy}{dx}=0$ gives $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac54$ at $P$  · $\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\times\dfrac{dx}{dt}=-\dfrac54\times3=-\dfrac{15}{4}$ units per second6 marks: $\text{M1}\ \ \text{implicit, product rule on the }4xy\text{ term}$   $\text{A1}\ \ 2x+4x\frac{dy}{dx}+4y+2y\frac{dy}{dx}=0$   $\text{M1}\ \ \text{substitute }x=1,\ y=2$   $\text{A1}\ \ \frac{dy}{dx}=-\frac{2+8}{4+4}=-\frac{5}{4}$   $\text{M1}\ \ \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\times\frac{dx}{dt}$   $\text{A1}\ \ -\frac{15}{4}\ \text{units per second}$ The gradient is not the answer here. It is the middle of the work.6 คะแนน: $\text{M1}\ \ \text{implicit, product rule on the }4xy\text{ term}$   $\text{A1}\ \ 2x+4x\frac{dy}{dx}+4y+2y\frac{dy}{dx}=0$   $\text{M1}\ \ \text{substitute }x=1,\ y=2$   $\text{A1}\ \ \frac{dy}{dx}=-\frac{2+8}{4+4}=-\frac{5}{4}$   $\text{M1}\ \ \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\times\frac{dx}{dt}$   $\text{A1}\ \ -\frac{15}{4}\ \text{units per second}$ ข้อนี้ความชันไม่ใช่คำตอบ · มันคือกลางทาง
5. The curve $C$ has equation $2x^{2}+xy-y^{2}=8$ and passes through $P(2,2)$.  Find the gradient of the line through $P$ that meets $C$ at right angles.เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $2x^{2}+xy-y^{2}=8$ และผ่านจุด $P(2,2)$  จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่าน $P$ และตัดกับ $C$ เป็นมุมฉาก
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4x+y}{2y-x}=5$ at $P$, so the line asked for is the normal: gradient $-\dfrac15$The words pick the gradient: $\text{“gradient / tangent / rate of change”}\ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx}$   $\text{“normal / perpendicular / at right angles”}\ \Rightarrow\ -1\div\frac{dy}{dx}$   $\frac{dy}{dx}=5\ \Rightarrow\ m=-\frac{1}{5}$ Take the negative reciprocal after substituting. By then it is a plain number.คำในโจทย์ เป็นตัวเลือกความชัน: $\text{“gradient / tangent / rate of change”}\ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx}$   $\text{“normal / perpendicular / at right angles”}\ \Rightarrow\ -1\div\frac{dy}{dx}$   $\frac{dy}{dx}=5\ \Rightarrow\ m=-\frac{1}{5}$ กลับเศษส่วนติดลบ หลังแทนค่าจุดแล้ว · ตอนนั้นมันเป็นตัวเลขล้วน

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. The curve $x^{2}+y^{2}=169$ passes through $(5,12)$. Find the value of $\dfrac{dy}{dx}$ at that point.
   Answer:เฉลย: $2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$, so $10+24\dfrac{dy}{dx}=0$ and $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{5}{12}$Same circle rule as the lesson. Only the numbers changed, so confidence first.กฎวงกลมเดิม เปลี่ยนแค่ตัวเลข · เอาความมั่นใจก่อน
2. Find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$ for the curve $3x^{2}-4xy+2y^{2}=9$.
   Answer:เฉลย: $6x-4x\dfrac{dy}{dx}-4y+4y\dfrac{dy}{dx}=0 \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4y-6x}{4y-4x}=\dfrac{2y-3x}{2y-2x}$Same three-term shape, but with coefficients on every term this time.รูปสามพจน์เดิม แต่มีตัวคูณติดอยู่ทุกพจน์รอบนี้
3. The folium $p^{3}+q^{3}=6pq$ defines $q$ as a function of $p$. Find $\dfrac{dq}{dp}$.
   Answer:เฉลย: $3p^{2}+3q^{2}\dfrac{dq}{dp}=6p\dfrac{dq}{dp}+6q \Rightarrow \dfrac{dq}{dp}=\dfrac{6q-3p^{2}}{3q^{2}-6p}=\dfrac{2q-p^{2}}{q^{2}-2p}$New letters, and the product term sits on the right side instead of the left.ตัวอักษรใหม่ แถมพจน์ผลคูณย้ายไปอยู่ฝั่งขวา
4. The curve $x^{2}+4y^{2}=25$ passes through $(3,2)$. Find the equation of the normal at that point, in the form $ax+by+c=0$.
   Answer:เฉลย: $2x+8y\dfrac{dy}{dx}=0 \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{8}$; normal gradient $\dfrac{8}{3}$;  $8x-3y-18=0$Implicit differentiation, then perpendicular gradient, then the Pure 1 line: three old moves.ดิฟโดยปริยาย ต่อกฎความชันตั้งฉาก ต่อสมการเส้นตรง Pure 1 · สามท่าเก่า
5. A curve satisfies $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x+3y}{3x+2y}$ everywhere. Exactly one of $x^{2}+3xy+y^{2}=11$ and $2x^{2}+3xy+2y^{2}=11$ is that curve. Which one, and how can you tell?
   Answer:เฉลย: $x^{2}+3xy+y^{2}=11$. Differentiating it gives $2x+3y+(3x+2y)\dfrac{dy}{dx}=0$, which rearranges to exactly that gradient. The other curve gives $-\dfrac{4x+3y}{3x+4y}$.The answer is given here; the curve is the question. Check where each term came from.ให้คำตอบมา ถามหาเส้นโค้ง · ตรวจว่าแต่ละพจน์มาจากไหน
6. The curve $C$ has equation $2x^{2}+5xy-3y^{2}=15$.  (2 marks) (a)(ก) Find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$. (4 marks) (b)(ข) Hence find the gradient of $C$ at the point $(2,1)$.
   Answer:เฉลย: (a) $4x+5x\dfrac{dy}{dx}+5y-6y\dfrac{dy}{dx}=0 \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{4x+5y}{5x-6y}$  (b) $-\dfrac{13}{4}$"Hence" is an instruction: substitute into part (a), do not differentiate again.คำว่า Hence คือคำสั่ง: แทนค่าลงในข้อ (a) ไม่ใช่ดิฟใหม่

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี