A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: Pure 3 (9709/3)
Implicit differentiation & rates of change อนุพันธ์อิมพลิซิต · อัตราการเปลี่ยนแปลง
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| Equation mixes $x$ and $y$: $x^2+4xy+y^2=13$สมการมีทั้ง $x$ และ $y$: $x^2+4xy+y^2=13$ | Differentiate term by term; every $y$-term picks up $\frac{dy}{dx}$หาอนุพันธ์ทีละพจน์ ทุกพจน์ที่มี $y$ ต้องคูณ $\frac{dy}{dx}$ | try → ลอง → |
| Product like $4xy$ผลคูณอย่าง $4xy$ | Product rule: $4y+4x\frac{dy}{dx}$กฎผลคูณ: $4y+4x\frac{dy}{dx}$ | try → ลอง → |
| "The radius increases at 2 cm/s, find $\frac{dV}{dt}$""รัศมีเพิ่มขึ้น 2 ซม./วินาที หา $\frac{dV}{dt}$" | Chain of rates: $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dr}\cdot\dfrac{dr}{dt}$โซ่ของอัตรา: $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dr}\cdot\dfrac{dr}{dt}$ | try → ลอง → |
| "Find where the tangent is parallel to the $x$-axis""หาจุดที่เส้นสัมผัสขนานกับแกน $x$" | Set the numerator of $\frac{dy}{dx}$ equal to zeroให้ตัวเศษของ $\frac{dy}{dx}$ เท่ากับศูนย์ | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
Implicit อิมพลิซิต$\dfrac{d}{dx}f(y)=f'(y)\dfrac{dy}{dx}$
Connected rates อัตราที่เชื่อมโยงกัน$\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dA}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}$
Sphere ทรงกลม$V=\tfrac43\pi r^3$ · $S=4\pi r^2$
Exponentials เอกซ์โพเนนเชียล$\dfrac{d}{dx}e^{kx}=ke^{kx}$ · $\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac1x$
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
The curve $C$ has equation $x^2+4xy+y^2=13$. Find $\dfrac{dy}{dx}$ at the point $(1,2)$. (5 marks)
M1
Differentiate: $2x+\underbrace{4y+4x\dfrac{dy}{dx}}_{\text{product rule}}+2y\dfrac{dy}{dx}=0$
A1
All four terms correct.
M1
Collect: $\dfrac{dy}{dx}(4x+2y)=-(2x+4y) \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x+4y}{4x+2y}$
M1
Substitute $(1,2)$: $-\dfrac{2+8}{4+4}$
A1
$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{5}{4}$
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. A spherical balloon is inflated so its radius grows at 2 cm s⁻¹. Find the rate of increase of its volume when $r=5$ cm.4 markssolution ▾
$\dfrac{dV}{dr}=4\pi r^2=100\pi$. $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dr}\cdot\dfrac{dr}{dt}=100\pi\times2=\mathbf{200\pi\approx628}$ cm³ s⁻¹.
P2. Find the gradient of $x^2+y^2-2x+6y=15$ at the point $(4,1)$.4 markssolution ▾
$2x+2y\frac{dy}{dx}-2+6\frac{dy}{dx}=0 \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\dfrac{2-2x}{2y+6}=\dfrac{2-8}{2+6}=\mathbf{-\dfrac34}$.
Vocab ศัพท์ต้องรู้
implicit อิมพลิซิต (เขียน $y$ แยกไม่ได้) · product rule กฎผลคูณ · rate of change อัตราการเปลี่ยนแปลง · with respect to เทียบกับ · connected rates อัตราที่เชื่อมโยงกัน
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗The $xy$ term is a product พจน์ $xy$ คือผลคูณ$\frac{d}{dx}(4xy)=4y+4x\frac{dy}{dx}$. Dropping the $4y$ is the single most common implicit-differentiation error.
✗Rates: write the chain first เขียนโซ่อัตราก่อนName the three derivatives, write $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$, then substitute — the setup line is a method mark.
✗$y$-terms need the chain factor พจน์ $y$ ต้องคูณ $\frac{dy}{dx}$$\frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}$, never just $2y$ — every function of $y$ carries a $\frac{dy}{dx}$.
✗Substituting the point too early แทนค่าเร็วเกินไปDifferentiate and collect $\frac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$ first, then substitute the point — the general expression is where the method marks live.
✗Rate answers need units อย่าลืมหน่วยA rate of change is not a bare number — finish with the units the question uses, e.g. cm³ s⁻¹.
Keep going, free ไปต่อ ฟรี
Nice work so far. Drop your email to unlock every level and the other topics. We'll tune them to your board. ทำได้ดีแล้ว ใส่อีเมลเพื่อปลดล็อกทุกระดับและหัวข้ออื่นๆ เราจะจัดให้ตรงกับ board ที่คุณสอบ