A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: Pure 3 (9709/3)
Implicit differentiation & rates of change อนุพันธ์อิมพลิซิต · อัตราการเปลี่ยนแปลง
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
🪜Learn Never learnt this? Start from zero in Teach Modeเรียน ยังไม่เคยเรียนเรื่องนี้? เริ่มตั้งแต่ศูนย์ในโหมดสอนIt starts from something you already know and climbs one small step at a time — you answer, it moves.เริ่มจากของที่น้องทำเป็นอยู่แล้ว แล้วไต่ทีละขั้นเล็กๆ น้องตอบ แล้วค่อยไปต่อImplicit differentiation & rates of changeอนุพันธ์อิมพลิซิต · อัตราการเปลี่ยนแปลง
📐Know the pieces but stuck on a whole exam question?รู้ทีละส่วนแล้ว แต่ทำข้อสอบเต็มข้อไม่ได้?Each set takes one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill; question 10 is the exam question itself.แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แยกเป็นสเต็ปย่อย แล้วไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงImplicit differentiation laddersชุดไต่ระดับ · อนุพันธ์โดยปริยาย
Implicit differentiation & rates of change · progressอนุพันธ์อิมพลิซิต · อัตราการเปลี่ยนแปลง · ความคืบหน้า
Questionsคำถามที่พบบ่อย
Questionโจทย์
Step-by-step practice loads here. If it does not appear, everything you need is under Revision notes.
แบบฝึกทีละสเต็ปจะขึ้นตรงนี้ ถ้าไม่ขึ้น เนื้อหาทั้งหมดอยู่ในแท็บ สรุปเนื้อหา
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| Equation mixes $x$ and $y$: $x^2+4xy+y^2=13$สมการมีทั้ง $x$ และ $y$: $x^2+4xy+y^2=13$ | Differentiate term by term; every $y$-term picks up $\frac{dy}{dx}$หาอนุพันธ์ทีละพจน์ ทุกพจน์ที่มี $y$ ต้องคูณ $\frac{dy}{dx}$ | try → ลอง → |
| Product like $4xy$ผลคูณอย่าง $4xy$ | Product rule: $4y+4x\frac{dy}{dx}$กฎผลคูณ: $4y+4x\frac{dy}{dx}$ | try → ลอง → |
| "The radius increases at 2 cm/s, find $\frac{dV}{dt}$""รัศมีเพิ่มขึ้น 2 ซม./วินาที หา $\frac{dV}{dt}$" | Chain of rates: $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dr}\cdot\dfrac{dr}{dt}$โซ่ของอัตรา: $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dr}\cdot\dfrac{dr}{dt}$ | try → ลอง → |
| "Find where the tangent is parallel to the $x$-axis""หาจุดที่เส้นสัมผัสขนานกับแกน $x$" | Set the numerator of $\frac{dy}{dx}$ equal to zeroให้ตัวเศษของ $\frac{dy}{dx}$ เท่ากับศูนย์ | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
Implicit อิมพลิซิต$\dfrac{d}{dx}f(y)=f'(y)\dfrac{dy}{dx}$
Connected rates อัตราที่เชื่อมโยงกัน$\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dA}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}$
Sphere ทรงกลม$V=\tfrac43\pi r^3$ · $S=4\pi r^2$
Exponentials เอกซ์โพเนนเชียล$\dfrac{d}{dx}e^{kx}=ke^{kx}$ · $\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac1x$
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
The curve $C$ has equation $x^2+4xy+y^2=13$. Find $\dfrac{dy}{dx}$ at the point $(1,2)$. (5 marks)
M1
Differentiate: $2x+\underbrace{4y+4x\dfrac{dy}{dx}}_{\text{product rule}}+2y\dfrac{dy}{dx}=0$
A1
All four terms correct.
M1
Collect: $\dfrac{dy}{dx}(4x+2y)=-(2x+4y) \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2x+4y}{4x+2y}$
M1
Substitute $(1,2)$: $-\dfrac{2+8}{4+4}$
A1
$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{5}{4}$
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. A spherical balloon is inflated so its radius grows at 2 cm s⁻¹. Find the rate of increase of its volume when $r=5$ cm.4 markssolution ▾
$\dfrac{dV}{dr}=4\pi r^2=100\pi$. $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac{dV}{dr}\cdot\dfrac{dr}{dt}=100\pi\times2=\mathbf{200\pi\approx628}$ cm³ s⁻¹.
P2. Find the gradient of $x^2+y^2-2x+6y=15$ at the point $(4,1)$.4 markssolution ▾
$2x+2y\frac{dy}{dx}-2+6\frac{dy}{dx}=0 \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\dfrac{2-2x}{2y+6}=\dfrac{2-8}{2+6}=\mathbf{-\dfrac34}$.
Vocab ศัพท์ต้องรู้
implicit อิมพลิซิต (เขียน $y$ แยกไม่ได้) · product rule กฎผลคูณ · rate of change อัตราการเปลี่ยนแปลง · with respect to เทียบกับ · connected rates อัตราที่เชื่อมโยงกัน
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗The $xy$ term is a product พจน์ $xy$ คือผลคูณ$\frac{d}{dx}(4xy)=4y+4x\frac{dy}{dx}$. Dropping the $4y$ is the single most common implicit-differentiation error.
✗Rates: write the chain first เขียนโซ่อัตราก่อนName the three derivatives, write $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$, then substitute — the setup line is a method mark.
✗$y$-terms need the chain factor พจน์ $y$ ต้องคูณ $\frac{dy}{dx}$$\frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}$, never just $2y$ — every function of $y$ carries a $\frac{dy}{dx}$.
✗Substituting the point too early แทนค่าเร็วเกินไปDifferentiate and collect $\frac{dy}{dx}$ in terms of $x$ and $y$ first, then substitute the point — the general expression is where the method marks live.
✗Rate answers need units อย่าลืมหน่วยA rate of change is not a bare number — finish with the units the question uses, e.g. cm³ s⁻¹.
Know the method? Here is what to do next.เข้าใจวิธีแล้ว? ขั้นต่อไปทำแบบนี้
TestสอบPure 4 paperข้อสอบ Pure 4
The pack is marked the way the examiner marks it, method marks included.ชุดฝึกตรวจแบบเดียวกับกรรมการ รวมคะแนนวิธีทำด้วย