Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Integration techniques & volumesเทคนิคการหาปริพันธ์ · ปริมาตรทรงหมุน
A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: Pure 3 (9709/3) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upอุ่นเครื่อง
Two derivatives you will spend the lesson reading backwardsอนุพันธ์สองอัน ที่วันนี้จะอ่านย้อนกลับทั้งคาบ
Read panel 1 backwards and you get $\int\frac{f'}{f}dx$. Panel 2 backwards is parts.อ่านช่อง 1 ย้อนกลับได้ $\int\frac{f'}{f}dx$ · ช่อง 2 ย้อนกลับคือ parts
- Differentiate $y=\ln(x^{2}+5)$.ดิฟ $y=\ln(x^{2}+5)$
Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x}{x^{2}+5}$Read it backwards: $\int\frac{f'}{f}$: $f(x)=x^{2}+5\ \Rightarrow\ f'(x)=2x$ $\frac{d}{dx}\ln f(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}$ $\Rightarrow\ \int\frac{2x}{x^{2}+5}\,dx=\ln|x^{2}+5|+c$อ่านย้อนกลับ ได้ $\int\frac{f'}{f}$: $f(x)=x^{2}+5\ \Rightarrow\ f'(x)=2x$ $\frac{d}{dx}\ln f(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}$ $\Rightarrow\ \int\frac{2x}{x^{2}+5}\,dx=\ln|x^{2}+5|+c$
- Differentiate $y=x^{2}e^{x}$.ดิฟ $y=x^{2}e^{x}$
Answer:เฉลย: $\dfrac{d}{dx}\big(x^{2}e^{x}\big)=2xe^{x}+x^{2}e^{x}$Product rule gives two terms: $u=x^{2},\quad v=e^{x}$ $u'v+uv'=2xe^{x}+x^{2}e^{x}$ Level 4 runs this line backwards. It does parts twice.กฎผลคูณ ได้สองพจน์: $u=x^{2},\quad v=e^{x}$ $u'v+uv'=2xe^{x}+x^{2}e^{x}$ ระดับ 4 ใช้บรรทัดนี้ย้อนกลับ · ทำ parts สองรอบ
2. Spot the standard formจับรูปมาตรฐานให้ออก
Recognise $\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx$ and $\int f'(x)[f(x)]^{n}dx$ on sight.มองปุ๊บรู้ปั๊บว่าเป็น $\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx$ หรือ $\int f'(x)[f(x)]^{n}dx$
Two shapes worth memorising by eyeสองหน้าตาที่ควรจำด้วยตา
Both forms are the chain rule backwards.ทั้งสองรูปคือกฎลูกโซ่อ่านย้อนกลับ
$\displaystyle\int\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx$$\displaystyle\int\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx$
- $\int\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx$
- $f(x)=x^{2}+1$The top is the derivative of the bottom.ตัวเศษคือดิฟของตัวส่วนพอดี
- $f'(x)=2x$
- $\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+c$
- $=\ln(x^{2}+1)+c$Differentiate back to check.ดิฟกลับเพื่อตรวจ
- Label the pieces first. In $\displaystyle\int\frac{2x}{x^{2}+5}\,dx$, which part plays $f(x)$ and which plays $f'(x)$?ติดป้ายชิ้นส่วนก่อน · ใน $\displaystyle\int\frac{2x}{x^{2}+5}\,dx$ ก้อนไหนเป็น $f(x)$ และก้อนไหนเป็น $f'(x)$?
Answer:เฉลย: $f(x)=x^{2}+5$ and $f'(x)=2x$ — the top is exactly the derivative of the bottom.$f(x)=x^{2}+5$ และ $f'(x)=2x$ — ตัวเศษคืออนุพันธ์ของตัวส่วนพอดีDifferentiate the bottom, check the top: $\frac{d}{dx}(x^{2}+5)=2x$ $\text{top}=2x\ \checkmark$ $\Rightarrow\ \int\frac{f'}{f}\,dx=\ln|\text{bottom}|+c$ดิฟตัวส่วน แล้วดูตัวเศษ: $\frac{d}{dx}(x^{2}+5)=2x$ $\text{top}=2x\ \checkmark$ $\Rightarrow\ \int\frac{f'}{f}\,dx=\ln|\text{bottom}|+c$
- Now write the answer. $\displaystyle\int\frac{2x}{x^{2}+5}\,dx=\;?$ (indefinite, so include $+c$)ทีนี้เขียนคำตอบเลย · $\displaystyle\int\frac{2x}{x^{2}+5}\,dx=\;?$ (ไม่มีขอบเขต · ใส่ $+c$ ด้วย)
Answer:เฉลย: $\ln|x^{2}+5|+c \;=\; \ln(x^{2}+5)+c$Check by differentiating: $\frac{d}{dx}\ln(x^{2}+5)=\frac{2x}{x^{2}+5}\ \checkmark$ $x^{2}+5>0\ \Rightarrow\ \ln(x^{2}+5)+c\ \text{scores too}$ Write the modulus by habit. It costs nothing when the inside is positive.ตรวจด้วยการดิฟกลับ: $\frac{d}{dx}\ln(x^{2}+5)=\frac{2x}{x^{2}+5}\ \checkmark$ $x^{2}+5>0\ \Rightarrow\ \ln(x^{2}+5)+c\ \text{scores too}$ เขียนค่าสัมบูรณ์เป็นนิสัย · ถ้าข้างในเป็นบวกก็ไม่เสียหาย
- Choose the technique before any working. One of these three cannot use a standard form: it needs integration by parts. Which one?เลือกเทคนิคก่อนลงมือคำนวณ · ในสามข้อนี้มีข้อเดียวที่ใช้รูปมาตรฐานไม่ได้ ต้องใช้ integration by parts · ข้อไหน?
Answer:เฉลย: $\displaystyle\int x\cos x\,dx$ — the $x$ is not the derivative of anything inside the $\cos$, so parts it is.$\displaystyle\int x\cos x\,dx$ — ตัว $x$ ไม่ได้เป็นอนุพันธ์ของอะไรที่อยู่ข้างใน $\cos$ เลย จึงต้องใช้ partsIs $x$ the derivative inside?: $\int x\cos(x^{2})dx:\ \tfrac{d}{dx}(x^{2})=2x\ \checkmark\ \Rightarrow\ \text{standard form}$ $\int\frac{\cos x}{2+\sin x}dx:\ \tfrac{d}{dx}(2+\sin x)=\cos x\ \checkmark\ \Rightarrow\ \tfrac{f'}{f}$ $\int x\cos x\,dx:\ \tfrac{d}{dx}(x)=1\ \times\ \Rightarrow\ \text{parts}$ตัว $x$ เป็นอนุพันธ์ของข้างในไหม: $\int x\cos(x^{2})dx:\ \tfrac{d}{dx}(x^{2})=2x\ \checkmark\ \Rightarrow\ \text{standard form}$ $\int\frac{\cos x}{2+\sin x}dx:\ \tfrac{d}{dx}(2+\sin x)=\cos x\ \checkmark\ \Rightarrow\ \tfrac{f'}{f}$ $\int x\cos x\,dx:\ \tfrac{d}{dx}(x)=1\ \times\ \Rightarrow\ \text{parts}$
3. Substitution, limits and allเปลี่ยนตัวแปร ต้องเปลี่ยนขอบเขตด้วย
Substitute when the inside's derivative is there but messy, and move the limits too.ใช้การแทนค่าเมื่อดิฟข้างในมีอยู่แต่ยุ่ง · และย้ายขอบเขตไปด้วย
The same integral, missing its $2$อินทิกรัลเดิม แต่หาย $2$ ไป
The second one is off by a constant. Substitution is how you fix that safely.อันที่สองต่างกันแค่ค่าคงที่ · แทนตัวแปรคือวิธีจัดการที่ปลอดภัย
$\displaystyle\int_{0}^{1}2x(x^{2}+1)^{3}dx$$\displaystyle\int_{0}^{1}2x(x^{2}+1)^{3}dx$
- $u=x^{2}+1$Choose the inside as $u$.เลือกก้อนข้างในเป็น $u$
- $\frac{du}{dx}=2x$
- $du=2x\,dx$
- $u:1\to 2$Both limits go through $u=x^{2}+1$ before anything else.ขอบเขตทั้งสองวิ่งผ่าน $u=x^{2}+1$ ก่อนทำอย่างอื่น
- $=\int_{1}^{2}u^{3}\,du$
- $=\Big[\frac{u^{4}}{4}\Big]_{1}^{2}$
- $=\frac{16-1}{4}=\frac{15}{4}$No $x$ is left, so there is nothing to change back.ไม่เหลือ $x$ แล้ว จึงไม่ต้องเปลี่ยนกลับ
- For $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,(1+\sin x)^{3}\,dx$ we take $u=1+\sin x$. What do the limits become?โจทย์ $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,(1+\sin x)^{3}\,dx$ ใช้ $u=1+\sin x$ · ขอบเขตจะกลายเป็นอะไร?
Answer:เฉลย: $\displaystyle\int_{1}^{2}u^{3}\,du$ — the $\cos x\,dx$ became $du$ and the limits became $1$ and $2$.$\displaystyle\int_{1}^{2}u^{3}\,du$ — $\cos x\,dx$ กลายเป็น $du$ และขอบเขตกลายเป็น $1$ กับ $2$Convert the limits with $u$: $u=1+\sin x\ \Rightarrow\ du=\cos x\,dx$ $x=0:\ u=1+0=1$ $x=\tfrac{\pi}{2}:\ u=1+1=2$ $\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,(1+\sin x)^{3}dx=\int_{1}^{2}u^{3}du$เปลี่ยนขอบเขตไปพร้อม $u$: $u=1+\sin x\ \Rightarrow\ du=\cos x\,dx$ $x=0:\ u=1+0=1$ $x=\tfrac{\pi}{2}:\ u=1+1=2$ $\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,(1+\sin x)^{3}dx=\int_{1}^{2}u^{3}du$
- Finish it: $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,(1+\sin x)^{3}\,dx=\;?$ Give the exact value.ทำต่อให้จบ: $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,(1+\sin x)^{3}\,dx=\;?$ ตอบค่า exact
Answer:เฉลย: $\Big[\dfrac{u^{4}}{4}\Big]_{1}^{2}=\dfrac{16-1}{4}=\dfrac{15}{4}$No $x$ left, no going back: $\Big[\frac{u^{4}}{4}\Big]_{1}^{2}=\frac{16-1}{4}=\frac{15}{4}$ Converted limits save the rewrite back to $x$, and the mark.ไม่เหลือ $x$ ไม่ต้องแปลงกลับ: $\Big[\frac{u^{4}}{4}\Big]_{1}^{2}=\frac{16-1}{4}=\frac{15}{4}$ เปลี่ยนขอบเขตแล้ว ไม่ต้องเขียนกลับเป็น $x$ · ได้คะแนนด้วย
- Mark this work. A student writes:
$\displaystyle\int_{0}^{2}x(x^{2}+1)^{2}dx \;\overset{u=x^{2}+1}{=}\; \tfrac12\Big[\tfrac{u^{3}}{3}\Big]_{0}^{2}=\tfrac{4}{3}$.
Give the correct exact value.ตรวจงานชิ้นนี้ · นักเรียนคนหนึ่งเขียนว่า
$\displaystyle\int_{0}^{2}x(x^{2}+1)^{2}dx \;\overset{u=x^{2}+1}{=}\; \tfrac12\Big[\tfrac{u^{3}}{3}\Big]_{0}^{2}=\tfrac{4}{3}$
จงหาค่า exact ที่ถูกต้อง
Answer:เฉลย: $u:1\to5$, so $\tfrac12\Big[\tfrac{u^{3}}{3}\Big]_{1}^{5}=\dfrac{125-1}{6}=\dfrac{62}{3}$Limits forgotten, answer fifteen times small: $u=x^{2}+1\ \Rightarrow\ u:1\to 5$ $\tfrac12\Big[\tfrac{u^{3}}{3}\Big]_{1}^{5}=\frac{125-1}{6}=\frac{62}{3}$ $\text{student}:\ \tfrac12\Big[\tfrac{u^{3}}{3}\Big]_{0}^{2}=\frac{4}{3}\ \times$ Write $u:1\to5$ the moment you choose $u$.ลืมเปลี่ยนขอบเขต คำตอบเล็กไป 15 เท่า: $u=x^{2}+1\ \Rightarrow\ u:1\to 5$ $\tfrac12\Big[\tfrac{u^{3}}{3}\Big]_{1}^{5}=\frac{125-1}{6}=\frac{62}{3}$ $\text{student}:\ \tfrac12\Big[\tfrac{u^{3}}{3}\Big]_{0}^{2}=\frac{4}{3}\ \times$ เลือก $u$ ปุ๊บ เขียน $u:1\to5$ ต่อทันที
4. By parts, from the product ruleparts ที่มาจากกฎผลคูณ
Label, substitute, evaluate: in that order, every time.ติดป้าย · แทนค่า · คิด — เรียงแบบนี้ทุกครั้ง
Integrate the product rule you used in the warm-upอินทิเกรตกฎผลคูณที่เพิ่งใช้ตอนอุ่นเครื่อง
Nothing new was invented: it is the product rule, rearranged.ไม่ได้มีของใหม่ · มันคือกฎผลคูณที่ย้ายข้างแล้ว
$\displaystyle\int x\cos x\,dx$$\displaystyle\int x\cos x\,dx$
- $u=x$LABEL. $u$ is the factor that gets simpler.ติดป้าย · $u$ คือตัวที่ดิฟแล้วง่ายลง
- $\frac{dv}{dx}=\cos x$
- $\frac{du}{dx}=1$
- $v=\sin x$
- $\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int \sin x\cdot 1\,dx$SUBSTITUTE. Copy the formula with the four pieces in, and stop.แทนค่า · ลอกสูตรใส่ทั้งสี่ชิ้นแล้วหยุด
- $=x\sin x+\cos x+c$EVALUATE. Only now do the integral that is left.คิด · ค่อยทำอินทิกรัลที่เหลือตอนนี้
- Label. For $\displaystyle\int_{0}^{1}xe^{2x}\,dx$, which labelling should you use?ติดป้าย · สำหรับ $\displaystyle\int_{0}^{1}xe^{2x}\,dx$ ควรติดป้ายแบบไหน?
Answer:เฉลย: $u=x$, $\dfrac{dv}{dx}=e^{2x}$ — so $\dfrac{du}{dx}=1$ and $v=\dfrac{e^{2x}}{2}$.$u=x$, $\dfrac{dv}{dx}=e^{2x}$ — ได้ $\dfrac{du}{dx}=1$ และ $v=\dfrac{e^{2x}}{2}$$u$ is the part that dies: $u=x\ \Rightarrow\ \frac{du}{dx}=1$ $\frac{dv}{dx}=e^{2x}\ \Rightarrow\ v=\frac{e^{2x}}{2}$ $x\to 1\to 0\quad\text{but}\quad e^{2x}\to e^{2x}\to e^{2x}$$u$ คือตัวที่ดิฟแล้วหายไป: $u=x\ \Rightarrow\ \frac{du}{dx}=1$ $\frac{dv}{dx}=e^{2x}\ \Rightarrow\ v=\frac{e^{2x}}{2}$ $x\to 1\to 0\quad\text{but}\quad e^{2x}\to e^{2x}\to e^{2x}$
- Substitute. With $u=x$, $\frac{du}{dx}=1$, $\frac{dv}{dx}=e^{2x}$, $v=\frac{e^{2x}}{2}$. Which line is the formula filled in correctly? (Do not work anything out yet. Ignore the limits for now.)แทนค่า · เมื่อ $u=x$, $\frac{du}{dx}=1$, $\frac{dv}{dx}=e^{2x}$, $v=\frac{e^{2x}}{2}$ · บรรทัดไหนคือการแทนค่าลงสูตรที่ถูกต้อง? (ยังไม่ต้องคิดอะไร ขอพักขอบเขตไว้ก่อน)
Answer:เฉลย: $\displaystyle\int xe^{2x}dx=\dfrac{xe^{2x}}{2}-\int\dfrac{e^{2x}}{2}\,dx$Four pieces, four slots: $\int u\frac{dv}{dx}dx=uv-\int v\frac{du}{dx}dx$ $=\frac{xe^{2x}}{2}-\int\frac{e^{2x}}{2}\cdot 1\,dx$ That copied line is the M1. Write it even when the answer is obvious.สี่ชิ้น สี่ช่อง: $\int u\frac{dv}{dx}dx=uv-\int v\frac{du}{dx}dx$ $=\frac{xe^{2x}}{2}-\int\frac{e^{2x}}{2}\cdot 1\,dx$ บรรทัดที่ลอกมานี่คือ M1 · เห็นคำตอบแล้วก็ต้องเขียน
- Evaluate. Now finish the definite integral: $\displaystyle\int_{0}^{1}xe^{2x}\,dx=\;?$ Exact value.คิดออกมา · ทีนี้ปิดจ๊อบอินทิกรัลจำกัดเขต: $\displaystyle\int_{0}^{1}xe^{2x}\,dx=\;?$ ตอบค่า exact
Answer:เฉลย: $\Big[\dfrac{xe^{2x}}{2}-\dfrac{e^{2x}}{4}\Big]_{0}^{1}=\Big(\dfrac{e^{2}}{2}-\dfrac{e^{2}}{4}\Big)-\Big(0-\dfrac14\Big)=\dfrac{e^{2}+1}{4}$Limits into both terms: $\Big[\frac{xe^{2x}}{2}-\frac{e^{2x}}{4}\Big]_{0}^{1}$ $=\Big(\frac{e^{2}}{2}-\frac{e^{2}}{4}\Big)-\Big(0-\frac14\Big)$ $=\frac{e^{2}+1}{4}$ Keep $e^{2}$ exact; $7.389$ drops the accuracy mark.ใส่ขอบเขตทั้งสองพจน์: $\Big[\frac{xe^{2x}}{2}-\frac{e^{2x}}{4}\Big]_{0}^{1}$ $=\Big(\frac{e^{2}}{2}-\frac{e^{2}}{4}\Big)-\Big(0-\frac14\Big)$ $=\frac{e^{2}+1}{4}$ เก็บ $e^{2}$ ไว้เป็นค่าตรง · ใส่ $7.389$ เสียคะแนน
- $\displaystyle\int_{1}^{2}\ln x\,dx$. There is no product until you write $\ln x=1\cdot\ln x$ and take $u=\ln x$, $\frac{dv}{dx}=1$. Find the exact value.$\displaystyle\int_{1}^{2}\ln x\,dx$ · มันไม่มีผลคูณ... จนกว่าจะเขียน $\ln x=1\cdot\ln x$ แล้วให้ $u=\ln x$, $\frac{dv}{dx}=1$ · จงหาค่า exact
Answer:เฉลย: $\big[x\ln x-x\big]_{1}^{2}=(2\ln2-2)-(0-1)=2\ln2-1$$\ln x$ cannot be integrated directly: $\ln x=1\cdot\ln x$ $u=\ln x\ \Rightarrow\ \frac{du}{dx}=\frac1x$ $\frac{dv}{dx}=1\ \Rightarrow\ v=x$ $\big[x\ln x-x\big]_{1}^{2}=(2\ln2-2)-(0-1)=2\ln2-1$ $\frac{dv}{dx}$ must be integrable, and that outranks “$u$ is the polynomial”.$\ln x$ อินทิเกรตตรงๆ ไม่ได้: $\ln x=1\cdot\ln x$ $u=\ln x\ \Rightarrow\ \frac{du}{dx}=\frac1x$ $\frac{dv}{dx}=1\ \Rightarrow\ v=x$ $\big[x\ln x-x\big]_{1}^{2}=(2\ln2-2)-(0-1)=2\ln2-1$ $\frac{dv}{dx}$ ต้องอินทิเกรตได้ · กฎนี้สำคัญกว่า “$u$ คือพหุนาม”
5. Parts twice, and the loopทำ parts สองรอบ กับอินทิกรัลที่วนกลับ
One round is not always enough, and sometimes the integral walks back in.รอบเดียวไม่พอเสมอไป · บางทีอินทิกรัลเดิมก็เดินกลับเข้ามา
When the leftover still needs partsเมื่อเศษที่เหลือยังต้องใช้ parts อีก
$x^{n}$ needs $n$ rounds. Keep $u$ as the polynomial every round.$x^{n}$ ต้องทำ $n$ รอบ · ให้ $u$ เป็นพหุนามทุกรอบ
$I=\displaystyle\int e^{x}\sin x\,dx$$I=\displaystyle\int e^{x}\sin x\,dx$
- $I=e^{x}\sin x-J$Round 1, with $u=e^{x}$. Call the leftover $J$.รอบที่ 1 · ให้ $u=e^{x}$ · ตั้งเศษที่เหลือเป็น $J$
- $J=\int e^{x}\cos x\,dx$
- $J=e^{x}\cos x+I$Round 2 on $J$. The original integral is back.รอบที่ 2 กับ $J$ · อินทิกรัลเดิมกลับมาแล้ว
- $I=e^{x}\sin x-e^{x}\cos x-I$
- $2I=e^{x}(\sin x-\cos x)$
- $I=\frac{e^{x}(\sin x-\cos x)}{2}+c$
- Finish the two rounds: $\displaystyle\int x^{2}e^{x}\,dx=\;?$ (indefinite, so include $+c$)ทำสองรอบให้จบ: $\displaystyle\int x^{2}e^{x}\,dx=\;?$ (ไม่มีขอบเขต · ใส่ $+c$ ด้วย)
Answer:เฉลย: $x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}+c \;=\; e^{x}(x^{2}-2x+2)+c$The power walks down to zero: $\int x^{2}e^{x}dx=x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}dx$ $\int xe^{x}dx=xe^{x}-e^{x}$ $=x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}+c=e^{x}(x^{2}-2x+2)+c$ The $-2$ multiplies both terms of round two, and that is the dropped mark.เลขชี้กำลังลดลงจนถึงศูนย์: $\int x^{2}e^{x}dx=x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}dx$ $\int xe^{x}dx=xe^{x}-e^{x}$ $=x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}+c=e^{x}(x^{2}-2x+2)+c$ $-2$ ต้องคูณทั้งสองพจน์ของรอบสอง · ตรงนี้แหละที่เสียคะแนน
- Let $I=\displaystyle\int e^{x}\sin x\,dx$. Two rounds of parts give $\;I=e^{x}\sin x-e^{x}\cos x-I$. What is the right next move?ให้ $I=\displaystyle\int e^{x}\sin x\,dx$ · ทำ parts สองรอบได้ $\;I=e^{x}\sin x-e^{x}\cos x-I$ · ก้าวต่อไปที่ถูกต้องคืออะไร?
Answer:เฉลย: $2I=e^{x}(\sin x-\cos x)$, so $I=\dfrac{e^{x}(\sin x-\cos x)}{2}+c$.$2I=e^{x}(\sin x-\cos x)$ ดังนั้น $I=\dfrac{e^{x}(\sin x-\cos x)}{2}+c$Solve for $I$ like an unknown: $I=e^{x}\sin x-e^{x}\cos x-I$ $2I=e^{x}(\sin x-\cos x)$ $I=\frac{e^{x}(\sin x-\cos x)}{2}+c$ Dividing by $2$ does not remove the $+c$.แก้หา $I$ เหมือนตัวแปรหนึ่งตัว: $I=e^{x}\sin x-e^{x}\cos x-I$ $2I=e^{x}(\sin x-\cos x)$ $I=\frac{e^{x}(\sin x-\cos x)}{2}+c$ หารด้วย $2$ ไม่ได้ทำให้ $+c$ หายไป
- Same loop, your turn: $\displaystyle\int e^{x}\cos x\,dx=\;?$ (indefinite, so include $+c$)ลูปเดียวกัน ถึงตาเราแล้ว: $\displaystyle\int e^{x}\cos x\,dx=\;?$ (ไม่มีขอบเขต · ใส่ $+c$ ด้วย)
Answer:เฉลย: $\dfrac{e^{x}(\sin x+\cos x)}{2}+c$Same loop, one sign different: $2I=e^{x}(\cos x+\sin x)$ $I=\frac{e^{x}(\sin x+\cos x)}{2}+c$ $\int e^{x}\sin x\,dx:\ \sin x-\cos x$ $\int e^{x}\cos x\,dx:\ \sin x+\cos x$ Four lines of the loop beats memorising the pair.วนแบบเดิม ต่างกันแค่เครื่องหมาย: $2I=e^{x}(\cos x+\sin x)$ $I=\frac{e^{x}(\sin x+\cos x)}{2}+c$ $\int e^{x}\sin x\,dx:\ \sin x-\cos x$ $\int e^{x}\cos x\,dx:\ \sin x+\cos x$ วนสี่บรรทัด ดีกว่าท่องจำสองสูตร
6. Partial fractions firstแยกเศษส่วนย่อยก่อน
A factorised bottom is not an integration problem yet. Split it into $\ln$ rows.ตัวส่วนที่แยกตัวประกอบแล้วยังไม่ใช่โจทย์อินทิเกรต · แยกให้เป็นบรรทัด $\ln$ ก่อน
No standard form fits $\dfrac{3x+5}{(x+1)(x+3)}$ไม่มีรูปมาตรฐานไหนเข้ากับ $\dfrac{3x+5}{(x+1)(x+3)}$
No $\ln$ form fits. Split it first, then integrate two easy rows.ไม่มีรูป $\ln$ ไหนพอดี · แยกก่อน แล้วค่อยอินทิเกรตสองบรรทัดง่ายๆ
$\displaystyle\int\frac{5}{(x-1)(x+4)}dx$$\displaystyle\int\frac{5}{(x-1)(x+4)}dx$
- $\frac{5}{(x-1)(x+4)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+4}$Cover up one bracket at a time.ปิดวงเล็บทีละอัน
- $A=\frac{5}{1+4}$
- $=1$
- $B=\frac{5}{-4-1}$
- $=-1$
- $=\int\Big(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+4}\Big)dx$
- $=\ln|x-1|-\ln|x+4|+c$Each row is $\frac{f'}{f}$ with $f'=1$.แต่ละบรรทัดคือ $\frac{f'}{f}$ ที่ $f'=1$
- Which split is correct for $\dfrac{3x+5}{(x+1)(x+3)}$?การแยกแบบไหนถูกต้องสำหรับ $\dfrac{3x+5}{(x+1)(x+3)}$?
Answer:เฉลย: $\dfrac{3x+5}{(x+1)(x+3)}=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x+3}$Recombine to check: $\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x+3}=\frac{(x+3)+2(x+1)}{(x+1)(x+3)}$ $=\frac{3x+5}{(x+1)(x+3)}\ \checkmark$ An integral built on a wrong split scores nothing after it.รวมกลับเพื่อตรวจ: $\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x+3}=\frac{(x+3)+2(x+1)}{(x+1)(x+3)}$ $=\frac{3x+5}{(x+1)(x+3)}\ \checkmark$ แยกเศษส่วนผิด · ทุกคะแนนหลังจากนั้นหายหมด
- Exam: Hence find the exact value of $\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{3x+5}{(x+1)(x+3)}\,dx$, as a single logarithm. (4 marks)ข้อสอบ: จากข้อที่แล้ว จงหาค่า exact ของ $\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{3x+5}{(x+1)(x+3)}\,dx$ ในรูป logarithm ก้อนเดียว (4 คะแนน)
Answer:เฉลย: $\big[\ln|x+1|+2\ln|x+3|\big]_{0}^{1}=(\ln2+2\ln4)-(0+2\ln3)=\ln\dfrac{32}{9}$4 marks: $\text{M1}\quad \text{integrate the split to two}\ \ln\ \text{terms}$ $\text{A1}\quad \ln|x+1|+2\ln|x+3|$ $\text{M1}\quad \text{both limits, upper}-\text{lower}$ $\text{A1}\quad (\ln2+2\ln4)-2\ln3=\ln\frac{32}{9}$ “As a single logarithm” is an instruction; stopping early drops the last A1.4 คะแนน: $\text{M1}\quad \text{integrate the split to two}\ \ln\ \text{terms}$ $\text{A1}\quad \ln|x+1|+2\ln|x+3|$ $\text{M1}\quad \text{both limits, upper}-\text{lower}$ $\text{A1}\quad (\ln2+2\ln4)-2\ln3=\ln\frac{32}{9}$ “ตอบเป็นล็อกเดียว” คือคำสั่ง · หยุดก่อนเสีย A1 ตัวสุดท้าย
7. Volumes of revolutionปริมาตรทรงตันจากการหมุน
$V=\pi\int y^{2}dx$: square $y$ first, then pick the technique it needs.$V=\pi\int y^{2}dx$ — ยกกำลังสอง $y$ ก่อน แล้วค่อยเลือกเทคนิค
Slice the solid into discsหั่นทรงตันเป็นแผ่นกลม
$y$ is a radius, so it gets squared: $V=\pi\int y^{2}dx$.$y$ คือรัศมี จึงต้องยกกำลังสอง: $V=\pi\int y^{2}dx$
$y=x+1$ from $x=0$ to $x=2$, spun about the $x$-axis$y=x+1$ จาก $x=0$ ถึง $x=2$ หมุนรอบแกน $x$
- $V=\pi\int_{a}^{b}y^{2}\,dx$Write the formula before the curve goes in.เขียนสูตรก่อนแทนสมการเส้นโค้ง
- $y=x+1$
- $y^{2}=(x+1)^{2}$
- $=\pi\int_{0}^{2}(x+1)^{2}dx$
- $=\pi\Big[\frac{(x+1)^{3}}{3}\Big]_{0}^{2}$
- $=\pi\Big(\frac{27}{3}-\frac{1}{3}\Big)=\frac{26\pi}{3}$Keep $\pi$ as a factor the whole way down.ยก $\pi$ เป็นตัวคูณไว้ตลอดทาง
- The region under $y=2x+1$ from $x=0$ to $x=1$ is rotated through $2\pi$ about the $x$-axis. Which integral gives the volume?บริเวณใต้เส้น $y=2x+1$ จาก $x=0$ ถึง $x=1$ ถูกหมุนรอบแกน $x$ ครบ $2\pi$ · อินทิกรัลไหนให้ปริมาตร?
Answer:เฉลย: $V=\pi\displaystyle\int_{0}^{1}(2x+1)^{2}\,dx$Square the whole of $y$: $V=\pi\int_{a}^{b}y^{2}\,dx$ $y=2x+1\ \Rightarrow\ y^{2}=(2x+1)^{2}$ $V=\pi\int_{0}^{1}(2x+1)^{2}dx$ยกกำลังสอง $y$ ทั้งก้อน: $V=\pi\int_{a}^{b}y^{2}\,dx$ $y=2x+1\ \Rightarrow\ y^{2}=(2x+1)^{2}$ $V=\pi\int_{0}^{1}(2x+1)^{2}dx$
- Evaluate it: the volume when $y=2x+1$, $x$ from $0$ to $1$, is rotated about the $x$-axis. Give the exact value in terms of $\pi$.หาค่าออกมา: ปริมาตรเมื่อ $y=2x+1$ จาก $x=0$ ถึง $x=1$ หมุนรอบแกน $x$ · ตอบค่า exact ในรูป $\pi$
Answer:เฉลย: $\pi\Big[\dfrac{(2x+1)^{3}}{6}\Big]_{0}^{1}=\pi\Big(\dfrac{27}{6}-\dfrac{1}{6}\Big)=\dfrac{13\pi}{3}$Keep $\pi$ as a factor: $\pi\Big[\frac{(2x+1)^{3}}{6}\Big]_{0}^{1}=\pi\Big(\frac{27}{6}-\frac16\Big)=\frac{13\pi}{3}$ $\text{or expand}:\ (2x+1)^{2}=4x^{2}+4x+1\ \Rightarrow\ \frac{13\pi}{3}$ A decimal such as $13.6$ loses the exact-answer mark.เก็บ $\pi$ ไว้เป็นตัวประกอบ: $\pi\Big[\frac{(2x+1)^{3}}{6}\Big]_{0}^{1}=\pi\Big(\frac{27}{6}-\frac16\Big)=\frac{13\pi}{3}$ $\text{or expand}:\ (2x+1)^{2}=4x^{2}+4x+1\ \Rightarrow\ \frac{13\pi}{3}$ ตอบเป็นทศนิยม $13.6$ เสียคะแนนค่าตรง
8. Exam formรูปแบบข้อสอบ
Real paper wording, marks stated, written the way the mark scheme reads.ภาษาข้อสอบจริง · บอกคะแนน · เขียนแบบที่เฉลยอ่านแล้วให้คะแนน
Three sentences, then one instructionสามประโยค แล้วค่อยสั่งหนึ่งอย่าง
Square $y$ first. What it turns into tells you the technique.ยกกำลังสอง $y$ ก่อน · หน้าตาหลังยกกำลังจะบอกเองว่าใช้เทคนิคไหน
- Exam: The region $R$ is bounded by the curve $y=xe^{x}$, the $x$-axis and the line $x=1$. $R$ is rotated through $2\pi$ about the $x$-axis. Find the exact volume of the solid formed. (6 marks)ข้อสอบ: บริเวณ $R$ ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง $y=xe^{x}$ แกน $x$ และเส้น $x=1$ · หมุน $R$ รอบแกน $x$ ครบ $2\pi$ · จงหาปริมาตร exact ของทรงตันที่ได้ (6 คะแนน)
Answer:เฉลย: $V=\pi\displaystyle\int_{0}^{1}x^{2}e^{2x}dx=\pi\Big[\dfrac{x^{2}e^{2x}}{2}-\dfrac{xe^{2x}}{2}+\dfrac{e^{2x}}{4}\Big]_{0}^{1}=\dfrac{\pi(e^{2}-1)}{4}$6 marks: $\text{M1}\quad V=\pi\int_{0}^{1}y^{2}dx,\ \ y^{2}=x^{2}e^{2x}$ $\text{M1 A1}\quad \frac{x^{2}e^{2x}}{2}-\int xe^{2x}dx$ $\text{M1 A1}\quad \int_{0}^{1}xe^{2x}dx=\frac{e^{2}+1}{4}$ $\text{A1}\quad V=\frac{\pi(e^{2}-1)}{4}$ Squaring $y$ first is what tells you which technique to use.6 คะแนน: $\text{M1}\quad V=\pi\int_{0}^{1}y^{2}dx,\ \ y^{2}=x^{2}e^{2x}$ $\text{M1 A1}\quad \frac{x^{2}e^{2x}}{2}-\int xe^{2x}dx$ $\text{M1 A1}\quad \int_{0}^{1}xe^{2x}dx=\frac{e^{2}+1}{4}$ $\text{A1}\quad V=\frac{\pi(e^{2}-1)}{4}$ ยกกำลังสอง $y$ ก่อน · แล้วจะรู้ว่าต้องใช้วิธีไหน
- Exam: The curve $C$ has equation $y=\dfrac{2}{\sqrt{(x+2)(x+4)}}$. The region $R$ is bounded by $C$, the $x$-axis and the lines $x=0$ and $x=2$. $R$ is rotated through $2\pi$ about the $x$-axis. The volume of the solid formed is $\pi\ln k$. Find the value of $k$. (6 marks)ข้อสอบ: เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=\dfrac{2}{\sqrt{(x+2)(x+4)}}$ · บริเวณ $R$ ล้อมรอบด้วย $C$ แกน $x$ และเส้น $x=0$ กับ $x=2$ · หมุน $R$ รอบแกน $x$ ครบ $2\pi$ · ปริมาตรของทรงตันที่ได้คือ $\pi\ln k$ จงหาค่า $k$ (6 คะแนน)
Answer:เฉลย: $y^{2}=\dfrac{4}{(x+2)(x+4)}=\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{2}{x+4}$, and $\pi\big[2\ln(x+2)-2\ln(x+4)\big]_{0}^{2}=\pi\ln\dfrac{16}{9}$, so $k=\dfrac{16}{9}$6 marks: $\text{M1}\quad V=\pi\int_{0}^{2}y^{2}dx,\ \ y^{2}=\frac{4}{(x+2)(x+4)}$ $\text{M1}\quad \text{split into partial fractions}$ $\text{A1}\quad \frac{2}{x+2}-\frac{2}{x+4}$ $\text{M1}\quad 2\ln(x+2)-2\ln(x+4)$ $\text{M1}\quad (2\ln4-2\ln6)-(2\ln2-2\ln4)$ $\text{A1}\quad 2\ln\tfrac43=\ln\tfrac{16}{9}\ \Rightarrow\ k=\tfrac{16}{9}$ The last mark is a log law, not calculus.6 คะแนน: $\text{M1}\quad V=\pi\int_{0}^{2}y^{2}dx,\ \ y^{2}=\frac{4}{(x+2)(x+4)}$ $\text{M1}\quad \text{split into partial fractions}$ $\text{A1}\quad \frac{2}{x+2}-\frac{2}{x+4}$ $\text{M1}\quad 2\ln(x+2)-2\ln(x+4)$ $\text{M1}\quad (2\ln4-2\ln6)-(2\ln2-2\ln4)$ $\text{A1}\quad 2\ln\tfrac43=\ln\tfrac{16}{9}\ \Rightarrow\ k=\tfrac{16}{9}$ คะแนนสุดท้ายคือกฎล็อก ไม่ใช่แคลคูลัส
- $\displaystyle\int_{1}^{e}\ln x\,dx$ and $\displaystyle\int_{1}^{e}\dfrac{\ln x}{x}\,dx$. One of them needs integration by parts, the other is a standard form. Find the exact value of the one that does not need parts.$\displaystyle\int_{1}^{e}\ln x\,dx$ กับ $\displaystyle\int_{1}^{e}\dfrac{\ln x}{x}\,dx$ อันหนึ่งต้องใช้ by parts อีกอันเป็น standard form · จงหาค่า exact ของอันที่ไม่ต้องใช้ parts
Answer:เฉลย: $\displaystyle\int_{1}^{e}\dfrac{\ln x}{x}dx=\Big[\dfrac{(\ln x)^{2}}{2}\Big]_{1}^{e}=\dfrac12$Look for $f'$ beside $f$: $\frac{\ln x}{x}:\ \tfrac{d}{dx}(\ln x)=\tfrac1x\ \checkmark\ \Rightarrow\ u=\ln x$ $\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x}dx=\Big[\frac{(\ln x)^{2}}{2}\Big]_{1}^{e}=\frac12$ $\ln x:\ \text{nothing to pair}\ \Rightarrow\ \ln x=1\times\ln x\ \Rightarrow\ \text{parts}$ $\frac{\ln x}{x}=f'f \qquad \frac{1}{x\ln x}=\frac{f'}{f}\ \Rightarrow\ \ln|\ln x|$ Being a fraction is not the test; decide before writing a line.มองหา $f'$ ที่อยู่ข้าง $f$: $\frac{\ln x}{x}:\ \tfrac{d}{dx}(\ln x)=\tfrac1x\ \checkmark\ \Rightarrow\ u=\ln x$ $\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x}dx=\Big[\frac{(\ln x)^{2}}{2}\Big]_{1}^{e}=\frac12$ $\ln x:\ \text{nothing to pair}\ \Rightarrow\ \ln x=1\times\ln x\ \Rightarrow\ \text{parts}$ $\frac{\ln x}{x}=f'f \qquad \frac{1}{x\ln x}=\frac{f'}{f}\ \Rightarrow\ \ln|\ln x|$ เป็นเศษส่วนไม่ใช่ตัวชี้วัด · ตัดสินใจก่อนลงมือเขียน
9. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
- Find the exact value of $\displaystyle\int_{0}^{1}xe^{3x}\,dx$.
Answer:เฉลย: By parts, $u=x$, $v=\dfrac{e^{3x}}{3}$: $\dfrac{e^{3}}{3}-\dfrac{e^{3}-1}{9}=\dfrac{2e^{3}+1}{9}$Same as the level 3 example, with a 3 for the 2. One minute if you know the steps.เหมือนตัวอย่างระดับ 3 ทุกอย่าง เปลี่ยนแค่เลข 2 เป็น 3 · ถ้าจับขั้นตอนได้แน่น ข้อนี้จบในนาทีเดียว
- Find the exact value of $\displaystyle\int_{0}^{1}x(4-x^{2})^{3}\,dx$.
Answer:เฉลย: $u=4-x^{2}$, $du=-2x\,dx$, $u:4\to3$: $-\tfrac12\Big[\tfrac{u^{4}}{4}\Big]_{4}^{3}=\dfrac{256-81}{8}=\dfrac{175}{8}$Same substitution, but the negative coefficient flips the limits and drags a minus through every line.substitution ท่าเดิม แต่สัมประสิทธิ์ติดลบทำให้ขอบเขตสลับและลากเครื่องหมายลบไปทุกบรรทัด
- Find $\displaystyle\int\frac{\sin t}{2+\cos t}\,dt$.
Answer:เฉลย: $-\ln|2+\cos t|+c$New letter, trig inside. The bottom's derivative is $-\sin t$, so the answer carries a minus.เปลี่ยนตัวอักษร ข้างในเป็นตรีโกณ · อนุพันธ์ของตัวส่วนคือ $-\sin t$ คำตอบจึงติดลบ
- Find the exact value of $\displaystyle\int_{0}^{\pi}x^{2}\sin x\,dx$.
Answer:เฉลย: Parts twice: $\big[-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x\big]_{0}^{\pi}=(\pi^{2}-2)-2=\pi^{2}-4$Parts twice with trig instead of $e^{x}$, so the signs move more. Power $2$ means two rounds.ทำ parts สองรอบ แต่เป็นตรีโกณแทน $e^{x}$ เครื่องหมายเลยเดินมากกว่า · กำลัง $2$ บอกว่าต้องสองรอบ
- A student computes the volume when the region under $y=x+2$ from $x=0$ to $x=2$ is rotated about the $x$-axis, and writes $V=\pi\displaystyle\int_{0}^{2}(x+2)\,dx=6\pi$. Find the error and give the correct exact volume.
Answer:เฉลย: $y$ was integrated instead of $y^{2}$. Correct: $\pi\displaystyle\int_{0}^{2}(x+2)^{2}dx=\pi\Big[\tfrac{(x+2)^{3}}{3}\Big]_{0}^{2}=\dfrac{56\pi}{3}$The working looks neat, so this mistake is easy to miss. Spotting it means you will not make it.งานเขียนดูสะอาด ความผิดนี้เลยมองข้ามง่าย · หาเจอได้ แปลว่าเราจะไม่ทำผิดแบบนี้เอง
- The curve $C$ has equation $y=\dfrac{2}{\sqrt{2x+1}}$. The region $R$ is bounded by $C$, the $x$-axis and the lines $x=0$ and $x=4$. $R$ is rotated through $2\pi$ radians about the $x$-axis. Find the exact volume of the solid generated. (5 marks)
Answer:เฉลย: $V=\pi\displaystyle\int_{0}^{4}\frac{4}{2x+1}dx=4\pi\Big[\tfrac12\ln(2x+1)\Big]_{0}^{4}=2\pi\ln 9=4\pi\ln 3$A full exam sentence, marks stated. Squaring $y$ removes the root and gives a $\ln$ integral.ประโยคข้อสอบเต็มรูปแบบ มีคะแนนกำกับ · ยกกำลังสอง $y$ ทำให้รากหายและได้อินทิกรัลรูป $\ln$
All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี