Pure Math Lab · Teach Modeโหมดสอน
← All Teach Mode topics← ทุกหัวข้อโหมดสอนNotes & practice for this topic →สรุป + โจทย์ของหัวข้อนี้ →Free libraryคลังเรียนฟรี
Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ

Integration techniques & volumesเทคนิคการหาปริพันธ์ · ปริมาตรทรงหมุน

A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: Pure 3 (9709/3) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

Two derivatives you will spend the lesson reading backwardsอนุพันธ์สองอัน ที่วันนี้จะอ่านย้อนกลับทั้งคาบ

Spotting which derivative you are undoing is the whole skill.ดูออกว่ากำลังแก้อนุพันธ์อันไหน คือทักษะทั้งหมด

  1. Differentiate $y=\ln(x^{2}+5)$.ดิฟ $y=\ln(x^{2}+5)$
    Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2x}{x^{2}+5}$Read it backwards: $\int\frac{f'}{f}$: $f(x)=x^{2}+5\ \Rightarrow\ f'(x)=2x$   $\frac{d}{dx}\ln f(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}$   $\Rightarrow\ \int\frac{2x}{x^{2}+5}\,dx=\ln|x^{2}+5|+c$อ่านย้อนกลับ ได้ $\int\frac{f'}{f}$: $f(x)=x^{2}+5\ \Rightarrow\ f'(x)=2x$   $\frac{d}{dx}\ln f(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}$   $\Rightarrow\ \int\frac{2x}{x^{2}+5}\,dx=\ln|x^{2}+5|+c$
  2. Differentiate $y=x^{2}e^{x}$.ดิฟ $y=x^{2}e^{x}$
    Answer:เฉลย: $\dfrac{d}{dx}\big(x^{2}e^{x}\big)=2xe^{x}+x^{2}e^{x}$Product rule gives two terms: $u=x^{2},\quad v=e^{x}$   $u'v+uv'=2xe^{x}+x^{2}e^{x}$ Level 4 runs this line backwards — parts, twice.กฎผลคูณ ได้สองพจน์: $u=x^{2},\quad v=e^{x}$   $u'v+uv'=2xe^{x}+x^{2}e^{x}$ ระดับ 4 ใช้บรรทัดนี้ย้อนกลับ · ทำ parts สองรอบ

2. Spot the standard formจับรูปมาตรฐานให้ออก

Recognise $\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx$ and $\int f'(x)[f(x)]^{n}dx$ on sight — and decide the technique before you write anything.มองปุ๊บรู้ปั๊บว่าเป็น $\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx$ หรือ $\int f'(x)[f(x)]^{n}dx$ — และเลือกเทคนิคให้ได้ก่อนลงมือเขียน

Two shapes worth memorising by eyeสองหน้าตาที่ควรจำด้วยตา

Both forms are the chain rule backwards: the inside's derivative must already be in the question.ทั้งสองรูปคือกฎลูกโซ่อ่านย้อนกลับ · อนุพันธ์ของข้างในต้องอยู่ในโจทย์อยู่แล้ว

$\displaystyle\int\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx$$\displaystyle\int\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx$

  1. $\int\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx$Before reaching for substitution, look at the top and the bottom together.ก่อนจะรีบแทนค่า ลองมองเศษกับส่วนพร้อมกัน
  2. $f(x)=x^{2}+1$The top is exactly the derivative of the bottom.ตัวเศษคือดิฟของตัวส่วนพอดี
  3. $f'(x)=2x$Its derivative on the next line — that is the top of the fraction.อนุพันธ์อยู่บรรทัดถัดไป ซึ่งคือตัวเศษพอดี
  4. $\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+c$That shape is a standard form. Spot it and you skip all the work.รูปแบบนี้เป็นสูตรมาตรฐาน · มองออกแล้วข้ามงานทั้งหมดได้เลย
  5. $=\ln(x^{2}+1)+c$$x^{2}+1$ is always positive, so the modulus can go. Differentiate back to check.$x^{2}+1$ เป็นบวกเสมอ ตัดค่าสัมบูรณ์ทิ้งได้ · ดิฟกลับเพื่อตรวจ
  1. Label the pieces first. In $\displaystyle\int\frac{2x}{x^{2}+5}\,dx$, which part plays $f(x)$ and which plays $f'(x)$?ติดป้ายชิ้นส่วนก่อน · ใน $\displaystyle\int\frac{2x}{x^{2}+5}\,dx$ ก้อนไหนเป็น $f(x)$ และก้อนไหนเป็น $f'(x)$?
    Answer:เฉลย: $f(x)=x^{2}+5$ and $f'(x)=2x$ — the top is exactly the derivative of the bottom.$f(x)=x^{2}+5$ และ $f'(x)=2x$ — ตัวเศษคืออนุพันธ์ของตัวส่วนพอดีDifferentiate the bottom, check the top: $\frac{d}{dx}(x^{2}+5)=2x$   $\text{top}=2x\ \checkmark$   $\Rightarrow\ \int\frac{f'}{f}\,dx=\ln|\text{bottom}|+c$ดิฟตัวส่วน แล้วดูตัวเศษ: $\frac{d}{dx}(x^{2}+5)=2x$   $\text{top}=2x\ \checkmark$   $\Rightarrow\ \int\frac{f'}{f}\,dx=\ln|\text{bottom}|+c$
  2. Now write the answer. $\displaystyle\int\frac{2x}{x^{2}+5}\,dx=\;?$  (indefinite — include $+c$)ทีนี้เขียนคำตอบเลย · $\displaystyle\int\frac{2x}{x^{2}+5}\,dx=\;?$  (ไม่มีขอบเขต — ใส่ $+c$ ด้วย)
    Answer:เฉลย: $\ln|x^{2}+5|+c \;=\; \ln(x^{2}+5)+c$Check by differentiating: $\frac{d}{dx}\ln(x^{2}+5)=\frac{2x}{x^{2}+5}\ \checkmark$   $x^{2}+5>0\ \Rightarrow\ \ln(x^{2}+5)+c\ \text{scores too}$ Write the modulus by habit; it costs nothing when the inside is positive.เช็คด้วยการดิฟกลับ: $\frac{d}{dx}\ln(x^{2}+5)=\frac{2x}{x^{2}+5}\ \checkmark$   $x^{2}+5>0\ \Rightarrow\ \ln(x^{2}+5)+c\ \text{scores too}$ ใส่ค่าสัมบูรณ์ติดมือไว้ · ถ้าข้างในเป็นบวกก็ไม่เสียหาย
  3. Technique triage — before any working. Exactly one of these three cannot be done by a standard form and needs integration by parts. Which one?คัดเทคนิคก่อน — ก่อนลงมือคำนวณ · ในสามข้อนี้มีข้อเดียวที่ใช้รูปมาตรฐานไม่ได้ ต้องใช้ integration by parts · ข้อไหน?
    Answer:เฉลย: $\displaystyle\int x\cos x\,dx$ — the $x$ is not the derivative of anything inside the $\cos$, so parts it is.$\displaystyle\int x\cos x\,dx$ — ตัว $x$ ไม่ได้เป็นอนุพันธ์ของอะไรที่อยู่ข้างใน $\cos$ เลย จึงต้องใช้ partsIs $x$ the derivative inside?: $\int x\cos(x^{2})dx:\ \tfrac{d}{dx}(x^{2})=2x\ \checkmark\ \Rightarrow\ \text{standard form}$   $\int\frac{\cos x}{2+\sin x}dx:\ \tfrac{d}{dx}(2+\sin x)=\cos x\ \checkmark\ \Rightarrow\ \tfrac{f'}{f}$   $\int x\cos x\,dx:\ \tfrac{d}{dx}(x)=1\ \times\ \Rightarrow\ \text{parts}$ตัว $x$ เป็นอนุพันธ์ของข้างในไหม: $\int x\cos(x^{2})dx:\ \tfrac{d}{dx}(x^{2})=2x\ \checkmark\ \Rightarrow\ \text{standard form}$   $\int\frac{\cos x}{2+\sin x}dx:\ \tfrac{d}{dx}(2+\sin x)=\cos x\ \checkmark\ \Rightarrow\ \tfrac{f'}{f}$   $\int x\cos x\,dx:\ \tfrac{d}{dx}(x)=1\ \times\ \Rightarrow\ \text{parts}$

3. Substitution, limits and allเปลี่ยนตัวแปร ต้องเปลี่ยนขอบเขตด้วย

When the derivative of the inside is there but messy, substitute — and if the integral is definite, the limits travel too.เมื่ออนุพันธ์ของข้างในมีอยู่แต่รกๆ ให้เปลี่ยนตัวแปร — และถ้าเป็นอินทิกรัลจำกัดเขต ขอบเขตต้องย้ายตามไปด้วย

  1. For $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,(1+\sin x)^{3}\,dx$ we take $u=1+\sin x$. What do the limits become?โจทย์ $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,(1+\sin x)^{3}\,dx$ ใช้ $u=1+\sin x$ · ขอบเขตจะกลายเป็นอะไร?
    Answer:เฉลย: $\displaystyle\int_{1}^{2}u^{3}\,du$ — the $\cos x\,dx$ became $du$ and the limits became $1$ and $2$.$\displaystyle\int_{1}^{2}u^{3}\,du$ — $\cos x\,dx$ กลายเป็น $du$ และขอบเขตกลายเป็น $1$ กับ $2$Convert the limits with $u$: $u=1+\sin x\ \Rightarrow\ du=\cos x\,dx$   $x=0:\ u=1+0=1$   $x=\tfrac{\pi}{2}:\ u=1+1=2$   $\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,(1+\sin x)^{3}dx=\int_{1}^{2}u^{3}du$เปลี่ยนขอบเขตไปพร้อม $u$: $u=1+\sin x\ \Rightarrow\ du=\cos x\,dx$   $x=0:\ u=1+0=1$   $x=\tfrac{\pi}{2}:\ u=1+1=2$   $\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,(1+\sin x)^{3}dx=\int_{1}^{2}u^{3}du$
  2. Finish it: $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,(1+\sin x)^{3}\,dx=\;?$  Give the exact value.ทำต่อให้จบ: $\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,(1+\sin x)^{3}\,dx=\;?$  ตอบค่า exact
    Answer:เฉลย: $\Big[\dfrac{u^{4}}{4}\Big]_{1}^{2}=\dfrac{16-1}{4}=\dfrac{15}{4}$No $x$ left, no going back: $\Big[\frac{u^{4}}{4}\Big]_{1}^{2}=\frac{16-1}{4}=\frac{15}{4}$ Converted limits save the rewrite back to $x$, and the mark.ไม่เหลือ $x$ ไม่ต้องแปลงกลับ: $\Big[\frac{u^{4}}{4}\Big]_{1}^{2}=\frac{16-1}{4}=\frac{15}{4}$ เปลี่ยนขอบเขตแล้ว ไม่ต้องเขียนกลับเป็น $x$ · ได้คะแนนด้วย
  3. Mark this work. A student writes:
    $\displaystyle\int_{0}^{2}x(x^{2}+1)^{2}dx \;\overset{u=x^{2}+1}{=}\; \tfrac12\Big[\tfrac{u^{3}}{3}\Big]_{0}^{2}=\tfrac{4}{3}$.
    Give the correct exact value.    ตรวจงานชิ้นนี้ · นักเรียนคนหนึ่งเขียนว่า
    $\displaystyle\int_{0}^{2}x(x^{2}+1)^{2}dx \;\overset{u=x^{2}+1}{=}\; \tfrac12\Big[\tfrac{u^{3}}{3}\Big]_{0}^{2}=\tfrac{4}{3}$
    จงหาค่า exact ที่ถูกต้อง
    Answer:เฉลย: $u:1\to5$, so $\tfrac12\Big[\tfrac{u^{3}}{3}\Big]_{1}^{5}=\dfrac{125-1}{6}=\dfrac{62}{3}$Limits forgotten, answer fifteen times small: $u=x^{2}+1\ \Rightarrow\ u:1\to 5$   $\tfrac12\Big[\tfrac{u^{3}}{3}\Big]_{1}^{5}=\frac{125-1}{6}=\frac{62}{3}$   $\text{student}:\ \tfrac12\Big[\tfrac{u^{3}}{3}\Big]_{0}^{2}=\frac{4}{3}\ \times$ Write $u:1\to5$ the moment you choose $u$.ลืมเปลี่ยนขอบเขต คำตอบเล็กไป 15 เท่า: $u=x^{2}+1\ \Rightarrow\ u:1\to 5$   $\tfrac12\Big[\tfrac{u^{3}}{3}\Big]_{1}^{5}=\frac{125-1}{6}=\frac{62}{3}$   $\text{student}:\ \tfrac12\Big[\tfrac{u^{3}}{3}\Big]_{0}^{2}=\frac{4}{3}\ \times$ เลือก $u$ ปุ๊บ เขียน $u:1\to5$ ต่อทันที

4. By parts and the choice of uอินทิเกรตทีละส่วน กับการเลือก u

$\int u\frac{dv}{dx}dx=uv-\int v\frac{du}{dx}dx$ — label, substitute, evaluate, in that order.$\int u\frac{dv}{dx}dx=uv-\int v\frac{du}{dx}dx$ — ติดป้าย · แทนค่า · คิดออกมา ตามลำดับนี้

  1. Label. For $\displaystyle\int_{0}^{1}xe^{2x}\,dx$, which labelling should you use?ติดป้าย · สำหรับ $\displaystyle\int_{0}^{1}xe^{2x}\,dx$ ควรติดป้ายแบบไหน?
    Answer:เฉลย: $u=x$, $\dfrac{dv}{dx}=e^{2x}$ — so $\dfrac{du}{dx}=1$ and $v=\dfrac{e^{2x}}{2}$.$u=x$, $\dfrac{dv}{dx}=e^{2x}$ — ได้ $\dfrac{du}{dx}=1$ และ $v=\dfrac{e^{2x}}{2}$$u$ is the part that dies: $u=x\ \Rightarrow\ \frac{du}{dx}=1$   $\frac{dv}{dx}=e^{2x}\ \Rightarrow\ v=\frac{e^{2x}}{2}$   $x\to 1\to 0\quad\text{but}\quad e^{2x}\to e^{2x}\to e^{2x}$$u$ คือตัวที่ดิฟแล้วหายไป: $u=x\ \Rightarrow\ \frac{du}{dx}=1$   $\frac{dv}{dx}=e^{2x}\ \Rightarrow\ v=\frac{e^{2x}}{2}$   $x\to 1\to 0\quad\text{but}\quad e^{2x}\to e^{2x}\to e^{2x}$
  2. Substitute. With $u=x$, $\frac{du}{dx}=1$, $\frac{dv}{dx}=e^{2x}$, $v=\frac{e^{2x}}{2}$ — which line is the formula filled in correctly? (Nothing worked out yet, limits dropped for now.)แทนค่า · เมื่อ $u=x$, $\frac{du}{dx}=1$, $\frac{dv}{dx}=e^{2x}$, $v=\frac{e^{2x}}{2}$ — บรรทัดไหนคือการแทนค่าลงสูตรที่ถูกต้อง? (ยังไม่ต้องคิดอะไร ขอพักขอบเขตไว้ก่อน)
    Answer:เฉลย: $\displaystyle\int xe^{2x}dx=\dfrac{xe^{2x}}{2}-\int\dfrac{e^{2x}}{2}\,dx$Four pieces, four slots: $\int u\frac{dv}{dx}dx=uv-\int v\frac{du}{dx}dx$   $=\frac{xe^{2x}}{2}-\int\frac{e^{2x}}{2}\cdot 1\,dx$ That copied line is the M1 — write it even when the answer is obvious.สี่ชิ้น สี่ช่อง: $\int u\frac{dv}{dx}dx=uv-\int v\frac{du}{dx}dx$   $=\frac{xe^{2x}}{2}-\int\frac{e^{2x}}{2}\cdot 1\,dx$ บรรทัดที่ลอกมานี่คือ M1 · เห็นคำตอบแล้วก็ต้องเขียน
  3. Evaluate. Now finish the definite integral: $\displaystyle\int_{0}^{1}xe^{2x}\,dx=\;?$  Exact value.คิดออกมา · ทีนี้ปิดจ๊อบอินทิกรัลจำกัดเขต: $\displaystyle\int_{0}^{1}xe^{2x}\,dx=\;?$  ตอบค่า exact
    Answer:เฉลย: $\Big[\dfrac{xe^{2x}}{2}-\dfrac{e^{2x}}{4}\Big]_{0}^{1}=\Big(\dfrac{e^{2}}{2}-\dfrac{e^{2}}{4}\Big)-\Big(0-\dfrac14\Big)=\dfrac{e^{2}+1}{4}$Limits into both terms: $\Big[\frac{xe^{2x}}{2}-\frac{e^{2x}}{4}\Big]_{0}^{1}$   $=\Big(\frac{e^{2}}{2}-\frac{e^{2}}{4}\Big)-\Big(0-\frac14\Big)$   $=\frac{e^{2}+1}{4}$ Keep $e^{2}$ exact; $7.389$ drops the accuracy mark.ใส่ขอบเขตทั้งสองพจน์: $\Big[\frac{xe^{2x}}{2}-\frac{e^{2x}}{4}\Big]_{0}^{1}$   $=\Big(\frac{e^{2}}{2}-\frac{e^{2}}{4}\Big)-\Big(0-\frac14\Big)$   $=\frac{e^{2}+1}{4}$ เก็บ $e^{2}$ ไว้เป็นค่าตรง · ใส่ $7.389$ เสียคะแนน
  4. The case that breaks the rule: $\displaystyle\int_{1}^{2}\ln x\,dx$. There is no product — until you write $\ln x=1\cdot\ln x$ and take $u=\ln x$, $\frac{dv}{dx}=1$. Find the exact value.ข้อที่แหกกฎ: $\displaystyle\int_{1}^{2}\ln x\,dx$ · มันไม่มีผลคูณ... จนกว่าจะเขียน $\ln x=1\cdot\ln x$ แล้วให้ $u=\ln x$, $\frac{dv}{dx}=1$ · จงหาค่า exact
    Answer:เฉลย: $\big[x\ln x-x\big]_{1}^{2}=(2\ln2-2)-(0-1)=2\ln2-1$$\ln x$ cannot be integrated directly: $\ln x=1\cdot\ln x$   $u=\ln x\ \Rightarrow\ \frac{du}{dx}=\frac1x$   $\frac{dv}{dx}=1\ \Rightarrow\ v=x$   $\big[x\ln x-x\big]_{1}^{2}=(2\ln2-2)-(0-1)=2\ln2-1$ $\frac{dv}{dx}$ must be integrable, and that outranks “$u$ is the polynomial”.$\ln x$ อินทิเกรตตรงๆ ไม่ได้: $\ln x=1\cdot\ln x$   $u=\ln x\ \Rightarrow\ \frac{du}{dx}=\frac1x$   $\frac{dv}{dx}=1\ \Rightarrow\ v=x$   $\big[x\ln x-x\big]_{1}^{2}=(2\ln2-2)-(0-1)=2\ln2-1$ $\frac{dv}{dx}$ ต้องอินทิเกรตได้ · กฎนี้สำคัญกว่า “$u$ คือพหุนาม”

5. Parts twice, and the loopทำ parts สองรอบ กับอินทิกรัลที่วนกลับ

One round is not always enough — and sometimes the original integral walks back in, which is good news.หนึ่งรอบไม่พอเสมอไป — และบางทีอินทิกรัลตัวเดิมจะเดินกลับเข้ามา ซึ่งเป็นข่าวดี

When the leftover still needs partsเมื่อเศษที่เหลือยังต้องใช้ parts อีก

$x^{n}$ needs $n$ rounds of parts. The power is a countdown, not a surprise.$x^{n}$ ต้องทำ parts $n$ รอบ · กำลังคือตัวนับถอยหลัง ไม่ใช่เรื่องเซอร์ไพรส์

  1. Finish the two rounds: $\displaystyle\int x^{2}e^{x}\,dx=\;?$  (indefinite — include $+c$)ทำสองรอบให้จบ: $\displaystyle\int x^{2}e^{x}\,dx=\;?$  (ไม่มีขอบเขต — ใส่ $+c$ ด้วย)
    Answer:เฉลย: $x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}+c \;=\; e^{x}(x^{2}-2x+2)+c$The power walks down to zero: $\int x^{2}e^{x}dx=x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}dx$   $\int xe^{x}dx=xe^{x}-e^{x}$   $=x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}+c=e^{x}(x^{2}-2x+2)+c$ The $-2$ multiplies both terms of round two, and that is the dropped mark.เลขชี้กำลังลดลงจนถึงศูนย์: $\int x^{2}e^{x}dx=x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}dx$   $\int xe^{x}dx=xe^{x}-e^{x}$   $=x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}+c=e^{x}(x^{2}-2x+2)+c$ $-2$ ต้องคูณทั้งสองพจน์ของรอบสอง · ตรงนี้แหละที่เสียคะแนน
  2. Let $I=\displaystyle\int e^{x}\sin x\,dx$. Two rounds of parts give $\;I=e^{x}\sin x-e^{x}\cos x-I$. What is the right next move?ให้ $I=\displaystyle\int e^{x}\sin x\,dx$ · ทำ parts สองรอบได้ $\;I=e^{x}\sin x-e^{x}\cos x-I$ · ก้าวต่อไปที่ถูกต้องคืออะไร?
    Answer:เฉลย: $2I=e^{x}(\sin x-\cos x)$, so $I=\dfrac{e^{x}(\sin x-\cos x)}{2}+c$.$2I=e^{x}(\sin x-\cos x)$ ดังนั้น $I=\dfrac{e^{x}(\sin x-\cos x)}{2}+c$Solve for $I$ like an unknown: $I=e^{x}\sin x-e^{x}\cos x-I$   $2I=e^{x}(\sin x-\cos x)$   $I=\frac{e^{x}(\sin x-\cos x)}{2}+c$ Dividing by $2$ does not remove the $+c$.แก้หา $I$ เหมือนตัวแปรหนึ่งตัว: $I=e^{x}\sin x-e^{x}\cos x-I$   $2I=e^{x}(\sin x-\cos x)$   $I=\frac{e^{x}(\sin x-\cos x)}{2}+c$ หารด้วย $2$ ไม่ได้ทำให้ $+c$ หายไป
  3. Same loop, your turn: $\displaystyle\int e^{x}\cos x\,dx=\;?$  (indefinite — include $+c$)ลูปเดียวกัน ตาน้องบ้าง: $\displaystyle\int e^{x}\cos x\,dx=\;?$  (ไม่มีขอบเขต — ใส่ $+c$ ด้วย)
    Answer:เฉลย: $\dfrac{e^{x}(\sin x+\cos x)}{2}+c$Same loop, one sign different: $2I=e^{x}(\cos x+\sin x)$   $I=\frac{e^{x}(\sin x+\cos x)}{2}+c$   $\int e^{x}\sin x\,dx:\ \sin x-\cos x$   $\int e^{x}\cos x\,dx:\ \sin x+\cos x$ Four lines of the loop beats memorising the pair.วนแบบเดิม ต่างกันแค่เครื่องหมาย: $2I=e^{x}(\cos x+\sin x)$   $I=\frac{e^{x}(\sin x+\cos x)}{2}+c$   $\int e^{x}\sin x\,dx:\ \sin x-\cos x$   $\int e^{x}\cos x\,dx:\ \sin x+\cos x$ วนสี่บรรทัด ดีกว่าท่องจำสองสูตร

6. Partial fractions firstแยกเศษส่วนย่อยก่อน

A rational function with a factorised bottom is not an integration problem yet — split it, and it becomes two $\ln$ rows.เศษส่วนที่ตัวส่วนแยกตัวประกอบได้ ยังไม่ใช่โจทย์อินทิเกรต — แยกมันก่อน แล้วมันจะกลายเป็นแถว $\ln$ สองแถว

No standard form fits $\dfrac{3x+5}{(x+1)(x+3)}$ไม่มีรูปมาตรฐานไหนเข้ากับ $\dfrac{3x+5}{(x+1)(x+3)}$

The top is not the derivative of the bottom, so this is a partial fractions question wearing an integral sign.ตัวเศษไม่ได้เป็นอนุพันธ์ของตัวส่วน ข้อนี้จึงเป็นโจทย์เศษส่วนย่อยที่ใส่เครื่องหมายอินทิกรัลมาหลอก

  1. Which split is correct for $\dfrac{3x+5}{(x+1)(x+3)}$?การแยกแบบไหนถูกต้องสำหรับ $\dfrac{3x+5}{(x+1)(x+3)}$?
    Answer:เฉลย: $\dfrac{3x+5}{(x+1)(x+3)}=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x+3}$Recombine to check: $\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x+3}=\frac{(x+3)+2(x+1)}{(x+1)(x+3)}$   $=\frac{3x+5}{(x+1)(x+3)}\ \checkmark$ An integral built on a wrong split scores nothing after it.รวมกลับเพื่อเช็ค: $\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x+3}=\frac{(x+3)+2(x+1)}{(x+1)(x+3)}$   $=\frac{3x+5}{(x+1)(x+3)}\ \checkmark$ แยกเศษส่วนผิด · ทุกคะแนนหลังจากนั้นหายหมด
  2. Exam: Hence find the exact value of $\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{3x+5}{(x+1)(x+3)}\,dx$, as a single logarithm.  (4 marks)ข้อสอบ: จากข้อที่แล้ว จงหาค่า exact ของ $\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{3x+5}{(x+1)(x+3)}\,dx$ ในรูป logarithm ก้อนเดียว  (4 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $\big[\ln|x+1|+2\ln|x+3|\big]_{0}^{1}=(\ln2+2\ln4)-(0+2\ln3)=\ln\dfrac{32}{9}$4 marks: $\text{M1}\quad \text{integrate the split to two}\ \ln\ \text{terms}$   $\text{A1}\quad \ln|x+1|+2\ln|x+3|$   $\text{M1}\quad \text{both limits, upper}-\text{lower}$   $\text{A1}\quad (\ln2+2\ln4)-2\ln3=\ln\frac{32}{9}$ “As a single logarithm” is an instruction; stopping early drops the last A1.4 คะแนน: $\text{M1}\quad \text{integrate the split to two}\ \ln\ \text{terms}$   $\text{A1}\quad \ln|x+1|+2\ln|x+3|$   $\text{M1}\quad \text{both limits, upper}-\text{lower}$   $\text{A1}\quad (\ln2+2\ln4)-2\ln3=\ln\frac{32}{9}$ “ตอบเป็นล็อกเดียว” คือคำสั่ง · หยุดก่อนเสีย A1 ตัวสุดท้าย

7. Volumes of revolutionปริมาตรทรงตันจากการหมุน

$V=\pi\int y^{2}dx$ — square the $y$ first, then reach for whichever technique the squared thing needs.$V=\pi\int y^{2}dx$ — ยกกำลังสอง $y$ ก่อน แล้วค่อยหยิบเทคนิคที่ก้อนหลังยกกำลังสองต้องการ

The last question on the paper, most of the timeข้อท้ายกระดาษ ในเกือบทุกชุด

The $y$ is a radius, and a circle's area needs radius squared. Square $y$ before you integrate anything.เจ้า $y$ คือรัศมี และพื้นที่วงกลมต้องใช้รัศมียกกำลังสอง · ยกกำลังสอง $y$ ก่อน แล้วค่อยอินทิเกรต

  1. The region under $y=2x+1$ from $x=0$ to $x=1$ is rotated through $2\pi$ about the $x$-axis. Which integral gives the volume?บริเวณใต้เส้น $y=2x+1$ จาก $x=0$ ถึง $x=1$ ถูกหมุนรอบแกน $x$ ครบ $2\pi$ · อินทิกรัลไหนให้ปริมาตร?
    Answer:เฉลย: $V=\pi\displaystyle\int_{0}^{1}(2x+1)^{2}\,dx$Square the whole of $y$: $V=\pi\int_{a}^{b}y^{2}\,dx$   $y=2x+1\ \Rightarrow\ y^{2}=(2x+1)^{2}$   $V=\pi\int_{0}^{1}(2x+1)^{2}dx$ยกกำลังสอง $y$ ทั้งก้อน: $V=\pi\int_{a}^{b}y^{2}\,dx$   $y=2x+1\ \Rightarrow\ y^{2}=(2x+1)^{2}$   $V=\pi\int_{0}^{1}(2x+1)^{2}dx$
  2. Evaluate it: the volume when $y=2x+1$, $x$ from $0$ to $1$, is rotated about the $x$-axis. Give the exact value in terms of $\pi$.หาค่าออกมา: ปริมาตรเมื่อ $y=2x+1$ จาก $x=0$ ถึง $x=1$ หมุนรอบแกน $x$ · ตอบค่า exact ในรูป $\pi$
    Answer:เฉลย: $\pi\Big[\dfrac{(2x+1)^{3}}{6}\Big]_{0}^{1}=\pi\Big(\dfrac{27}{6}-\dfrac{1}{6}\Big)=\dfrac{13\pi}{3}$Keep $\pi$ as a factor: $\pi\Big[\frac{(2x+1)^{3}}{6}\Big]_{0}^{1}=\pi\Big(\frac{27}{6}-\frac16\Big)=\frac{13\pi}{3}$   $\text{or expand}:\ (2x+1)^{2}=4x^{2}+4x+1\ \Rightarrow\ \frac{13\pi}{3}$ A decimal such as $13.6$ loses the exact-answer mark.เก็บ $\pi$ ไว้เป็นตัวประกอบ: $\pi\Big[\frac{(2x+1)^{3}}{6}\Big]_{0}^{1}=\pi\Big(\frac{27}{6}-\frac16\Big)=\frac{13\pi}{3}$   $\text{or expand}:\ (2x+1)^{2}=4x^{2}+4x+1\ \Rightarrow\ \frac{13\pi}{3}$ ตอบเป็นทศนิยม $13.6$ เสียคะแนนค่าตรง
  3. Exam: The region $R$ is bounded by the curve $y=xe^{x}$, the $x$-axis and the line $x=1$. $R$ is rotated through $2\pi$ about the $x$-axis. Find the exact volume of the solid formed.  (6 marks)ข้อสอบ: บริเวณ $R$ ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง $y=xe^{x}$ แกน $x$ และเส้น $x=1$ · หมุน $R$ รอบแกน $x$ ครบ $2\pi$ · จงหาปริมาตร exact ของทรงตันที่ได้  (6 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $V=\pi\displaystyle\int_{0}^{1}x^{2}e^{2x}dx=\pi\Big[\dfrac{x^{2}e^{2x}}{2}-\dfrac{xe^{2x}}{2}+\dfrac{e^{2x}}{4}\Big]_{0}^{1}=\dfrac{\pi(e^{2}-1)}{4}$6 marks: $\text{M1}\quad V=\pi\int_{0}^{1}y^{2}dx,\ \ y^{2}=x^{2}e^{2x}$   $\text{M1 A1}\quad \frac{x^{2}e^{2x}}{2}-\int xe^{2x}dx$   $\text{M1 A1}\quad \int_{0}^{1}xe^{2x}dx=\frac{e^{2}+1}{4}$   $\text{A1}\quad V=\frac{\pi(e^{2}-1)}{4}$ Squaring $y$ first is what tells you which technique to use.6 คะแนน: $\text{M1}\quad V=\pi\int_{0}^{1}y^{2}dx,\ \ y^{2}=x^{2}e^{2x}$   $\text{M1 A1}\quad \frac{x^{2}e^{2x}}{2}-\int xe^{2x}dx$   $\text{M1 A1}\quad \int_{0}^{1}xe^{2x}dx=\frac{e^{2}+1}{4}$   $\text{A1}\quad V=\frac{\pi(e^{2}-1)}{4}$ ยกกำลังสอง $y$ ก่อน · แล้วจะรู้ว่าต้องใช้วิธีไหน
  4. Exam: The curve $C$ has equation $y=\dfrac{2}{\sqrt{(x+2)(x+4)}}$. The region $R$ is bounded by $C$, the $x$-axis and the lines $x=0$ and $x=2$. $R$ is rotated through $2\pi$ about the $x$-axis. The volume of the solid formed is $\pi\ln k$.  Find the value of $k$.  (6 marks)ข้อสอบ: เส้นโค้ง $C$ มีสมการ $y=\dfrac{2}{\sqrt{(x+2)(x+4)}}$ · บริเวณ $R$ ล้อมรอบด้วย $C$ แกน $x$ และเส้น $x=0$ กับ $x=2$ · หมุน $R$ รอบแกน $x$ ครบ $2\pi$ · ปริมาตรของทรงตันที่ได้คือ $\pi\ln k$  จงหาค่า $k$  (6 คะแนน)
    Answer:เฉลย: $y^{2}=\dfrac{4}{(x+2)(x+4)}=\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{2}{x+4}$, and $\pi\big[2\ln(x+2)-2\ln(x+4)\big]_{0}^{2}=\pi\ln\dfrac{16}{9}$, so $k=\dfrac{16}{9}$6 marks: $\text{M1}\quad V=\pi\int_{0}^{2}y^{2}dx,\ \ y^{2}=\frac{4}{(x+2)(x+4)}$   $\text{M1}\quad \text{split into partial fractions}$   $\text{A1}\quad \frac{2}{x+2}-\frac{2}{x+4}$   $\text{M1}\quad 2\ln(x+2)-2\ln(x+4)$   $\text{M1}\quad (2\ln4-2\ln6)-(2\ln2-2\ln4)$   $\text{A1}\quad 2\ln\tfrac43=\ln\tfrac{16}{9}\ \Rightarrow\ k=\tfrac{16}{9}$ The last mark is a log law, not calculus.6 คะแนน: $\text{M1}\quad V=\pi\int_{0}^{2}y^{2}dx,\ \ y^{2}=\frac{4}{(x+2)(x+4)}$   $\text{M1}\quad \text{split into partial fractions}$   $\text{A1}\quad \frac{2}{x+2}-\frac{2}{x+4}$   $\text{M1}\quad 2\ln(x+2)-2\ln(x+4)$   $\text{M1}\quad (2\ln4-2\ln6)-(2\ln2-2\ln4)$   $\text{A1}\quad 2\ln\tfrac43=\ln\tfrac{16}{9}\ \Rightarrow\ k=\tfrac{16}{9}$ คะแนนสุดท้ายคือกฎล็อก ไม่ใช่แคลคูลัส
  5. $\displaystyle\int_{1}^{e}\ln x\,dx$  and  $\displaystyle\int_{1}^{e}\dfrac{\ln x}{x}\,dx$.  One of them needs integration by parts, the other is a standard form. Find the exact value of the one that does not need parts.$\displaystyle\int_{1}^{e}\ln x\,dx$  กับ  $\displaystyle\int_{1}^{e}\dfrac{\ln x}{x}\,dx$  อันหนึ่งต้องใช้ by parts อีกอันเป็น standard form · จงหาค่า exact ของอันที่ไม่ต้องใช้ parts
    Answer:เฉลย: $\displaystyle\int_{1}^{e}\dfrac{\ln x}{x}dx=\Big[\dfrac{(\ln x)^{2}}{2}\Big]_{1}^{e}=\dfrac12$Look for $f'$ beside $f$: $\frac{\ln x}{x}:\ \tfrac{d}{dx}(\ln x)=\tfrac1x\ \checkmark\ \Rightarrow\ u=\ln x$   $\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x}dx=\Big[\frac{(\ln x)^{2}}{2}\Big]_{1}^{e}=\frac12$   $\ln x:\ \text{nothing to pair}\ \Rightarrow\ \ln x=1\times\ln x\ \Rightarrow\ \text{parts}$   $\frac{\ln x}{x}=f'f \qquad \frac{1}{x\ln x}=\frac{f'}{f}\ \Rightarrow\ \ln|\ln x|$ Being a fraction is not the test; decide before writing a line.มองหา $f'$ ที่อยู่ข้าง $f$: $\frac{\ln x}{x}:\ \tfrac{d}{dx}(\ln x)=\tfrac1x\ \checkmark\ \Rightarrow\ u=\ln x$   $\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x}dx=\Big[\frac{(\ln x)^{2}}{2}\Big]_{1}^{e}=\frac12$   $\ln x:\ \text{nothing to pair}\ \Rightarrow\ \ln x=1\times\ln x\ \Rightarrow\ \text{parts}$   $\frac{\ln x}{x}=f'f \qquad \frac{1}{x\ln x}=\frac{f'}{f}\ \Rightarrow\ \ln|\ln x|$ เป็นเศษส่วนไม่ใช่ตัวชี้วัด · ตัดสินใจก่อนลงมือเขียน

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

  1. Find the exact value of $\displaystyle\int_{0}^{1}xe^{3x}\,dx$.Identical to the level 3 worked example with a $3$ in place of the $2$. If label–substitute–evaluate landed, this is one clean minute.เหมือนตัวอย่างขั้นที่ 3 เป๊ะ แค่เปลี่ยน $2$ เป็น $3$ · ถ้าท่าติดป้าย–แทนค่า–คิดออกมาแน่นแล้ว ข้อนี้จบในนาทีเดียว
  2. Find the exact value of $\displaystyle\int_{0}^{1}x(4-x^{2})^{3}\,dx$.Same substitution, but the negative coefficient flips the limits round and drags a minus through every line. Careless signs give $-\frac{175}{8}$; a volume-style sanity check (the integrand is positive) catches it.substitution ท่าเดิม แต่สัมประสิทธิ์ติดลบทำให้ขอบเขตสลับด้าน และลากเครื่องหมายลบไปทุกบรรทัด · ถ้าเผลอจะได้ $-\frac{175}{8}$ · เช็คสามัญสำนึกว่าตัวถูกอินทิเกรตเป็นบวก ก็จับผิดได้
  3. Find $\displaystyle\int\frac{\sin t}{2+\cos t}\,dt$.New letter, trig inside, and the derivative of the bottom is $-\sin t$ — so the answer carries a minus. Anyone who memorised the $\ln$ form as a shape rather than as $\frac{f'}{f}$ loses that sign here.เปลี่ยนตัวอักษร ข้างในเป็นตรีโกณ และอนุพันธ์ของตัวส่วนคือ $-\sin t$ — คำตอบจึงติดลบ · ใครท่องรูป $\ln$ เป็นหน้าตา แทนที่จะจำว่ามันคือ $\frac{f'}{f}$ จะทำเครื่องหมายหลุดตรงนี้
  4. Find the exact value of $\displaystyle\int_{0}^{\pi}x^{2}\sin x\,dx$.Parts twice with trig instead of $e^{x}$, so the signs move around more. The power $2$ tells you in advance that two rounds are coming.ทำ parts สองรอบ แต่เป็นตรีโกณแทน $e^{x}$ เครื่องหมายจึงเดินไปมามากกว่า · กำลัง $2$ บอกล่วงหน้าอยู่แล้วว่าต้องสองรอบ
  5. The curve $C$ has equation $y=\dfrac{2}{\sqrt{2x+1}}$. The region $R$ is bounded by $C$, the $x$-axis and the lines $x=0$ and $x=4$. $R$ is rotated through $2\pi$ radians about the $x$-axis. Find the exact volume of the solid generated. (5 marks)A full exam sentence, with the marks stated.
    Squaring $y$ removes the square root and gives a $\ln$ integral.
    The technique is chosen by $y^{2}$, not by $y$.    ประโยคข้อสอบเต็มรูปแบบ มีคะแนนกำกับ
    การยกกำลังสอง $y$ ทำให้รากหายไป และได้อินทิกรัลรูป $\ln$
    เทคนิคถูกเลือกจาก $y^{2}$ ไม่ใช่จาก $y$
  6. A student computes the volume when the region under $y=x+2$ from $x=0$ to $x=2$ is rotated about the $x$-axis, and writes $V=\pi\displaystyle\int_{0}^{2}(x+2)\,dx=6\pi$. Find the error and give the correct exact volume.The working is neat, and every line after the first one is correct.
    That is why this mistake is easy to miss when you check your work.
    Finding someone else's mistake shows that you will not make it yourself.    งานเขียนสะอาด และทุกบรรทัดหลังบรรทัดแรกก็ถูกหมด
    เพราะแบบนี้ ความผิดนี้จึงมองข้ามได้ง่ายตอนอ่านทวน
    การหาความผิดพลาดของคนอื่นได้ แสดงว่าเราจะไม่ทำผิดแบบนั้นเอง
  7. (a) Use integration by parts to show that $\displaystyle\int x\cos 2x\,dx=\frac{x\sin 2x}{2}+\frac{\cos 2x}{4}+c$. (4 marks)  (b) Hence find the exact value of $\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}x\cos 2x\,dx$. (3 marks)Two parts, with the marks stated: 'show that', then 'hence'.
    Part (a) is a proof, so write out every line.
    Part (b) only needs the limits put in. Starting again there wastes time.    สองข้อย่อย มีคะแนนกำกับ: 'show that' แล้วต่อด้วย 'hence'
    ข้อ (a) คือการพิสูจน์ ต้องเขียนครบทุกบรรทัด
    ข้อ (b) แค่แทนขอบเขตลงไป · ถ้าเริ่มทำใหม่ตรงนั้นจะเสียเวลา

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี