A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: Pure 3 (9709/3)
Integration techniques & volumes เทคนิคการหาปริพันธ์ · ปริมาตรทรงหมุน
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
🪜Learn Never learnt this? Start from zero in Teach Modeเรียน ยังไม่เคยเรียนเรื่องนี้? เริ่มตั้งแต่ศูนย์ในโหมดสอนIt starts from something you already know and climbs one small step at a time — you answer, it moves.เริ่มจากของที่น้องทำเป็นอยู่แล้ว แล้วไต่ทีละขั้นเล็กๆ น้องตอบ แล้วค่อยไปต่อIntegration techniques & volumesเทคนิคการหาปริพันธ์ · ปริมาตรทรงหมุน
📐Know the pieces but stuck on a whole exam question?รู้ทีละส่วนแล้ว แต่ทำข้อสอบเต็มข้อไม่ได้?Each set takes one real exam question, breaks it into the steps it is made of, and climbs back up. Question 1 is one small skill; question 10 is the exam question itself.แต่ละชุดเริ่มจากข้อสอบจริงหนึ่งข้อ แยกเป็นสเต็ปย่อย แล้วไต่กลับขึ้นไป · ข้อ 1 คือทักษะเล็กๆ ส่วนข้อ 10 คือข้อสอบจริงIntegration laddersชุดไต่ระดับ · ปริพันธ์
Integration techniques & volumes · progressเทคนิคการหาปริพันธ์ · ปริมาตรทรงหมุน · ความคืบหน้า
Questionsคำถามที่พบบ่อย
Questionโจทย์
Step-by-step practice loads here. If it does not appear, everything you need is under Revision notes.
แบบฝึกทีละสเต็ปจะขึ้นตรงนี้ ถ้าไม่ขึ้น เนื้อหาทั้งหมดอยู่ในแท็บ สรุปเนื้อหา
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| Product of unrelated pieces: $\int x e^{2x}dx$ผลคูณของสองส่วนที่ไม่เกี่ยวกัน: $\int x e^{2x}dx$ | By parts: $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ปริพันธ์ทีละส่วน: $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ | try → ลอง → |
| A function and (almost) its derivative: $\int x\sqrt{x^2+1}\,dx$ฟังก์ชันกับ (เกือบ) อนุพันธ์ของมัน: $\int x\sqrt{x^2+1}\,dx$ | Substitution $u=x^2+1$แทนตัวแปร $u=x^2+1$ | try → ลอง → |
| Rational function with factorable bottomเศษส่วนที่ตัวส่วนแยกตัวประกอบได้ | Partial fractions → $\ln$ answersเศษส่วนย่อย → คำตอบรูป $\ln$ | try → ลอง → |
| "Region rotated $360^\circ$ about the $x$-axis""พื้นที่หมุนรอบแกน $x$ ครบ $360^\circ$" | $V=\pi\displaystyle\int_a^b y^2\,dx$สูตรปริมาตรทรงหมุน $V=\pi\displaystyle\int_a^b y^2\,dx$ | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
By parts ทีละส่วน$\int u\,\dfrac{dv}{dx}dx=uv-\int v\,\dfrac{du}{dx}dx$
Standard สูตรมาตรฐาน$\int e^{kx}dx=\tfrac1k e^{kx}$ · $\int\tfrac1x dx=\ln|x|$
Log form รูปลอการิทึม$\int\dfrac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|+c$
Volume ปริมาตร$V=\pi\displaystyle\int_a^b y^2\,dx$
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
Find $\displaystyle\int x e^{2x}\,dx$. (4 marks)
M1
By parts with $u=x$ (polynomial dies first), $\dfrac{dv}{dx}=e^{2x}$: so $\dfrac{du}{dx}=1$, $v=\tfrac12e^{2x}$
A1
$\int xe^{2x}dx=\dfrac{x}{2}e^{2x}-\int \dfrac12 e^{2x}dx$
M1
$=\dfrac{x}{2}e^{2x}-\dfrac14 e^{2x}$
A1
$=\dfrac{e^{2x}}{4}(2x-1)+c$ (check by differentiating)
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. Use the substitution $u=x^2+1$ to find $\displaystyle\int_0^2 x\sqrt{x^2+1}\,dx$.5 markssolution ▾
$du=2x\,dx$; limits $u:1\to5$. Integral $=\tfrac12\int_1^5 u^{1/2}du=\tfrac12\cdot\tfrac23\left[u^{3/2}\right]_1^5=\mathbf{\dfrac{5\sqrt5-1}{3}}\approx 3.39$.
P2. Use partial fractions to find $\displaystyle\int \dfrac{5x+1}{(x-1)(x+2)}\,dx$.4 markssolution ▾
From Topic 2: $\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{3}{x+2}$. Integral $=\mathbf{2\ln|x-1|+3\ln|x+2|+c}$.
P3. The region under $y=\dfrac{2}{\sqrt{x}}$ between $x=1$ and $x=4$ is rotated $360^\circ$ about the $x$-axis. Find the exact volume.4 markssolution ▾
$V=\pi\int_1^4 \dfrac{4}{x}dx=4\pi\big[\ln x\big]_1^4=\mathbf{4\pi\ln 4}$ (≈ 17.4).
Vocab ศัพท์ต้องรู้
substitution การแทนตัวแปร · integration by parts ปริพันธ์ทีละส่วน · limits ขอบเขตล่าง-บน · volume of revolution ปริมาตรทรงหมุน · rotated about the x-axis หมุนรอบแกน x · exact ค่าแม่นตรง (ห้ามทศนิยม)
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗Substitution changes the limits เปลี่ยนขอบเขตด้วยSwitch to $u$-limits at the same time you switch variables — or convert back before substituting numbers. Mixing the two loses the final answer.
✗Volumes square the whole of $y$ ยกกำลังสองทั้ง $y$$y=\frac{2}{\sqrt x}$ gives $y^2=\frac{4}{x}$, not $\frac{2}{x}$. Square first, then integrate.
✗Choose $u$ so it simplifies เลือก $u$ ให้ง่ายลงIn by parts, take $u$ as the part that gets simpler when differentiated — the polynomial before the exponential.
✗Missing $+c$ ลืม $+c$Every indefinite integral ends with $+c$ — leaving it off costs the accuracy mark on the final line.
✗"Exact" bans the calculator ค่าแม่นตรงห้ามทศนิยมLeave the answer in terms of $\pi$, $\ln$ or surds — a rounded decimal does not score the "exact value" mark.
Know the method? Here is what to do next.เข้าใจวิธีแล้ว? ขั้นต่อไปทำแบบนี้
TestสอบPure 4 paperข้อสอบ Pure 4
The pack is marked the way the examiner marks it, method marks included.ชุดฝึกตรวจแบบเดียวกับกรรมการ รวมคะแนนวิธีทำด้วย