A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: Pure 3 (9709/3)
Integration techniques & volumes เทคนิคการหาปริพันธ์ · ปริมาตรทรงหมุน
Work each problem step by step. Every step is a choice, and every answer opens a full mini-lesson: the method, the working, the mark to secure, and the exam tip. ทำทีละขั้น ทุกขั้นคือการเลือก และทุกคำตอบเปิดบทเรียนย่อย: วิธี วิธีทำ คะแนนที่ต้องเก็บ และทริคข้อสอบ
See this → use this เห็นแบบนี้ → ใช้แบบนี้
| The question says… | You reach for… | |
|---|---|---|
| Product of unrelated pieces: $\int x e^{2x}dx$ผลคูณของสองส่วนที่ไม่เกี่ยวกัน: $\int x e^{2x}dx$ | By parts: $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ปริพันธ์ทีละส่วน: $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ | try → ลอง → |
| A function and (almost) its derivative: $\int x\sqrt{x^2+1}\,dx$ฟังก์ชันกับ (เกือบ) อนุพันธ์ของมัน: $\int x\sqrt{x^2+1}\,dx$ | Substitution $u=x^2+1$แทนตัวแปร $u=x^2+1$ | try → ลอง → |
| Rational function with factorable bottomเศษส่วนที่ตัวส่วนแยกตัวประกอบได้ | Partial fractions → $\ln$ answersเศษส่วนย่อย → คำตอบรูป $\ln$ | try → ลอง → |
| "Region rotated $360^\circ$ about the $x$-axis""พื้นที่หมุนรอบแกน $x$ ครบ $360^\circ$" | $V=\pi\displaystyle\int_a^b y^2\,dx$สูตรปริมาตรทรงหมุน $V=\pi\displaystyle\int_a^b y^2\,dx$ | try → ลอง → |
Toolkit กล่องเครื่องมือ
Standard results to know สูตรมาตรฐานที่ต้องจำ
By parts ทีละส่วน$\int u\,\dfrac{dv}{dx}dx=uv-\int v\,\dfrac{du}{dx}dx$
Standard สูตรมาตรฐาน$\int e^{kx}dx=\tfrac1k e^{kx}$ · $\int\tfrac1x dx=\ln|x|$
Log form รูปลอการิทึม$\int\dfrac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|+c$
Volume ปริมาตร$V=\pi\displaystyle\int_a^b y^2\,dx$
Worked example ตัวอย่างพร้อมคะแนน
Find $\displaystyle\int x e^{2x}\,dx$. (4 marks)
M1
By parts with $u=x$ (polynomial dies first), $\dfrac{dv}{dx}=e^{2x}$: so $\dfrac{du}{dx}=1$, $v=\tfrac12e^{2x}$
A1
$\int xe^{2x}dx=\dfrac{x}{2}e^{2x}-\int \dfrac12 e^{2x}dx$
M1
$=\dfrac{x}{2}e^{2x}-\dfrac14 e^{2x}$
A1
$=\dfrac{e^{2x}}{4}(2x-1)+c$ (check by differentiating)
Practice ฝึกทำ
Try first, then open the solution. ลองทำเองก่อน แล้วค่อยเปิดเฉลย
P1. Use the substitution $u=x^2+1$ to find $\displaystyle\int_0^2 x\sqrt{x^2+1}\,dx$.5 markssolution ▾
$du=2x\,dx$; limits $u:1\to5$. Integral $=\tfrac12\int_1^5 u^{1/2}du=\tfrac12\cdot\tfrac23\left[u^{3/2}\right]_1^5=\mathbf{\dfrac{5\sqrt5-1}{3}}\approx 3.39$.
P2. Use partial fractions to find $\displaystyle\int \dfrac{5x+1}{(x-1)(x+2)}\,dx$.4 markssolution ▾
From Topic 2: $\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{3}{x+2}$. Integral $=\mathbf{2\ln|x-1|+3\ln|x+2|+c}$.
P3. The region under $y=\dfrac{2}{\sqrt{x}}$ between $x=1$ and $x=4$ is rotated $360^\circ$ about the $x$-axis. Find the exact volume.4 markssolution ▾
$V=\pi\int_1^4 \dfrac{4}{x}dx=4\pi\big[\ln x\big]_1^4=\mathbf{4\pi\ln 4}$ (≈ 17.4).
Vocab ศัพท์ต้องรู้
substitution การแทนตัวแปร · integration by parts ปริพันธ์ทีละส่วน · limits ขอบเขตล่าง-บน · volume of revolution ปริมาตรทรงหมุน · rotated about the x-axis หมุนรอบแกน x · exact ค่าแม่นตรง (ห้ามทศนิยม)
Lock in the marks เก็บคะแนนให้ครบ
5 marks to lock in 5 คะแนนที่เก็บเพิ่มได้
✗Substitution changes the limits เปลี่ยนขอบเขตด้วยSwitch to $u$-limits at the same time you switch variables — or convert back before substituting numbers. Mixing the two loses the final answer.
✗Volumes square the whole of $y$ ยกกำลังสองทั้ง $y$$y=\frac{2}{\sqrt x}$ gives $y^2=\frac{4}{x}$, not $\frac{2}{x}$. Square first, then integrate.
✗Choose $u$ so it simplifies เลือก $u$ ให้ง่ายลงIn by parts, take $u$ as the part that gets simpler when differentiated — the polynomial before the exponential.
✗Missing $+c$ ลืม $+c$Every indefinite integral ends with $+c$ — leaving it off costs the accuracy mark on the final line.
✗"Exact" bans the calculator ค่าแม่นตรงห้ามทศนิยมLeave the answer in terms of $\pi$, $\ln$ or surds — a rounded decimal does not score the "exact value" mark.
Keep going, free ไปต่อ ฟรี
Nice work so far. Drop your email to unlock every level and the other topics. We'll tune them to your board. ทำได้ดีแล้ว ใส่อีเมลเพื่อปลดล็อกทุกระดับและหัวข้ออื่นๆ เราจะจัดให้ตรงกับ board ที่คุณสอบ