Parametric equationsสมการพาราเมตริก

A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: Pure 3 (9709/3) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ

1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม

Feed $t$ in, and differentiate with respect to $t$ใส่ $t$ เข้าไป กับหาอนุพันธ์เทียบ $t$

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ — two panel-2s divided.$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ — คือช่อง 2 สองอันหารกัน

1. $y=t^{2}-1$.  Find $y$ when $t=4$.$y=t^{2}-1$  หา $y$ เมื่อ $t=4$
   Answer:เฉลย: $y=4^{2}-1=15$Substitute — nothing more: $t=4$   $y=4^{2}-1=15$   $\text{later: }x\text{ and }y\text{ from the same }t$แทนค่า แค่นั้น: $t=4$   $y=4^{2}-1=15$   $\text{later: }x\text{ and }y\text{ from the same }t$
2. Differentiate with respect to $t$:  $x=3t^{2}-4t$.ดิฟเทียบกับ $t$:  $x=3t^{2}-4t$
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dx}{dt}=6t-4$Same rule, new letter: $x=3t^{2}-4t$   $\dfrac{dx}{dt}=6t-4$ Every question here differentiates $x$ and $y$ separately, both with respect to $t$.กฎเดิม เปลี่ยนตัวอักษร: $x=3t^{2}-4t$   $\dfrac{dx}{dt}=6t-4$ ทุกข้อในบทนี้ดิฟ $x$ กับ $y$ แยกกัน โดยเทียบกับ $t$ ทั้งคู่
3. $\cos^{2}t+\sin^{2}t$ simplifies to…$\cos^{2}t+\sin^{2}t$ ลดรูปได้เป็น…
   Answer:เฉลย: $\cos^{2}t+\sin^{2}t=1$The identity that removes $t$: $\cos^{2}t+\sin^{2}t=1$   $x=\cos t,\quad y=\sin t$   $x^{2}+y^{2}=1$ Square both, then add — the parameter is gone.เอกลักษณ์ที่กำจัด $t$: $\cos^{2}t+\sin^{2}t=1$   $x=\cos t,\quad y=\sin t$   $x^{2}+y^{2}=1$ ยกกำลังสองทั้งคู่ แล้วบวกกัน · ตัวแปรเสริมหายไป

2. Where the point is at time tจุดอยู่ตรงไหน ณ เวลา t

One number $t$ decides both coordinates — feed in $t$, out comes a point.เลขตัวเดียวคือ $t$ กำหนดพิกัดทั้งสอง — ใส่ $t$ เข้าไป ได้จุดออกมาหนึ่งจุด

A point that movesจุดที่เคลื่อนที่ได้

1. Using $x=2t$, $y=t^{2}$ — where is the point at $t=3$?ใช้ $x=2t$, $y=t^{2}$ — ที่ $t=3$ จุดอยู่ตรงไหน?
   Answer:เฉลย: $(6,9)$One $t$, one point: $x=2(3)=6$   $y=3^{2}=9$   $(x,y)=(6,9)$$t$ หนึ่งค่า จุดหนึ่งจุด: $x=2(3)=6$   $y=3^{2}=9$   $(x,y)=(6,9)$
2. Same curve $x=2t$, $y=t^{2}$.  Find the $y$-coordinate at $t=-4$.เส้นโค้งเดิม $x=2t$, $y=t^{2}$  หาพิกัด $y$ ที่ $t=-4$
   Answer:เฉลย: $y=(-4)^{2}=16$$t$ may be negative: $y=(-4)^{2}=16$   $x=2(-4)=-8$   $(-8,16)$ Sketch questions lose marks when only $t=0,1,2,3$ are tried.$t$ ติดลบได้: $y=(-4)^{2}=16$   $x=2(-4)=-8$   $(-8,16)$ ข้อวาดกราฟเสียคะแนนเพราะลองแค่ $t=0,1,2,3$

3. From a point back to tจากจุด ย้อนกลับไปหา t

Going backwards, from a point to $t$, often has a second answer.เดินย้อนจากจุดกลับไปหา $t$ มักมีคำตอบตัวที่สอง

Given the point, find the timeให้จุดมา แล้วหาเวลา

1. $x=2t$, $y=t^{2}$.  Which value of $t$ puts the point at $(10,25)$?$x=2t$, $y=t^{2}$  ค่า $t$ ตัวไหนพาจุดไปอยู่ที่ $(10,25)$?
   Answer:เฉลย: $t=5$Solve one, check the other: $2t=10\ \Rightarrow\ t=5$   $\text{check: }y=5^{2}=25\ \checkmark$ In a 'show that' the check is worth a mark on its own.แก้อันหนึ่ง เช็คอีกอัน: $2t=10\ \Rightarrow\ t=5$   $\text{check: }y=5^{2}=25\ \checkmark$ ในข้อ show that การตรวจนี้ได้หนึ่งคะแนนของมันเอง
2. $x=t^{2}-1$, $y=2t$.  The curve crosses the $y$-axis. Find all values of $t$ where that happens.$x=t^{2}-1$, $y=2t$  เส้นโค้งตัดแกน $y$ · หาค่า $t$ ทุกค่าที่ทำให้เกิดเหตุการณ์นั้น
   Answer:เฉลย: $t=\pm1$, giving the two points $(0,2)$ and $(0,-2)$$x=0$ gives two times: $t^{2}-1=0\ \Rightarrow\ t^{2}=1$   $t=\pm1$   $(0,2)\ \text{and}\ (0,-2)$ Missing the negative root loses one mark.$x=0$ ให้สองเวลา: $t^{2}-1=0\ \Rightarrow\ t^{2}=1$   $t=\pm1$   $(0,2)\ \text{and}\ (0,-2)$ ทำรากลบหล่น เสียหนึ่งคะแนน
3. $x=t^{2}+1$, $y=t^{3}$. A student is told the point $(5,k)$ lies on the curve, writes $t=2$ and answers $k=8$. Is that everything?$x=t^{2}+1$, $y=t^{3}$ · มีนักเรียนได้โจทย์ว่าจุด $(5,k)$ อยู่บนเส้นโค้ง เขาเขียน $t=2$ แล้วตอบ $k=8$ · ครบแล้วหรือยัง?
   Answer:เฉลย: $t=\pm2$, so $k=8$ or $k=-8$$t=\pm2$ ดังนั้น $k=8$ หรือ $k=-8$Quadratic in $x$ ⇒ two $t$: $t^{2}+1=5\ \Rightarrow\ t^{2}=4$   $t=\pm2$   $k=(\pm2)^{3}=\pm8$ Ask first: was the equation I solved linear or quadratic?สมการ $x$ กำลังสอง ⇒ $t$ สองค่า: $t^{2}+1=5\ \Rightarrow\ t^{2}=4$   $t=\pm2$   $k=(\pm2)^{3}=\pm8$ ถามก่อนว่า สมการที่เพิ่งแก้เป็นเส้นตรงหรือกำลังสอง
4. $x=3t-1$, $y=t^{2}+t$.  Show that $(8,12)$ lies on the curve: find $t$ from the $x$-equation, then give the value of $y$ that this $t$ produces.  (2 marks)$x=3t-1$, $y=t^{2}+t$  แสดงว่า $(8,12)$ อยู่บนเส้นโค้ง: หา $t$ จากสมการ $x$ แล้วบอกค่า $y$ ที่ $t$ ตัวนั้นให้  (2 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $3t-1=8\Rightarrow t=3$, and then $y=3^{2}+3=12$ ✓2 marks: $\text{M1}\quad 3t-1=8\ \Rightarrow\ t=3$   $\text{A1}\quad y=3^{2}+3=12\ \checkmark$ If the second value disagreed, the point is not on the curve — say so.2 คะแนน: $\text{M1}\quad 3t-1=8\ \Rightarrow\ t=3$   $\text{A1}\quad y=3^{2}+3=12\ \checkmark$ ถ้าค่าที่สองไม่ตรง จุดนั้นไม่ได้อยู่บนเส้นโค้ง · ต้องเขียนบอก

4. Get rid of tกำจัด t ทิ้ง

Remove the parameter and the pair becomes one equation in $x$ and $y$.กำจัดตัวแปรเสริมออก แล้วสมการคู่จะเหลือสมการเดียวใน $x$ กับ $y$

Two equations, one curve — can we say it in one line?สองสมการ เส้นโค้งเดียว — พูดให้จบในบรรทัดเดียวได้ไหม?

1. $x=2t$Ring it ① — "equation one". Two equations, so both get a number.วง ① ไว้ อ่านว่า "สมการหนึ่ง" มีสองสมการ ก็ใส่เลขทั้งคู่
2. $y=t^{2}$Two equations, so name them ① and ②.สองสมการ ตั้งชื่อ ① ②
3. $t=\frac{x}{2}$Make $t$ the subject of the easier one.จับ $t$ เป็นตัวตั้งจากสมการที่ง่ายกว่า
4. $y=\frac{x^{2}}{4}$Substitute — the $t$ vanishes. A parabola.แทนค่า — $t$ หายไป เหลือพาราโบลา

1. $x=t+3$, $y=t^{2}$.  Eliminating $t$ gives $y=(x-a)^{2}$. Find $a$.$x=t+3$, $y=t^{2}$  กำจัด $t$ แล้วได้ $y=(x-a)^{2}$ · หา $a$
   Answer:เฉลย: $t=x-3$, so $y=(x-3)^{2}$:  $a=3$Make $t$ the subject: $t=x-3$   $y=(x-3)^{2}$   $a=3$จับ $t$ เป็นตัวตั้ง: $t=x-3$   $y=(x-3)^{2}$   $a=3$
2. $x=5\cos t$, $y=5\sin t$.  The Cartesian equation has the form $x^{2}+y^{2}=k$. Find $k$.$x=5\cos t$, $y=5\sin t$  สมการคาร์ทีเซียนอยู่ในรูป $x^{2}+y^{2}=k$ · หา $k$
   Answer:เฉลย: $x^{2}+y^{2}=25\cos^{2}t+25\sin^{2}t=25$:  $k=25$, a circle of radius $5$Square both, then add: $\left(\dfrac{x}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{y}{5}\right)^{2}=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1$   $x^{2}+y^{2}=25$ You never solve for $t$ — an inverse cosine would not simplify.ยกกำลังสอง แล้วบวก: $\left(\dfrac{x}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{y}{5}\right)^{2}=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1$   $x^{2}+y^{2}=25$ ไม่ได้แก้หา $t$ เลย · ถ้าใช้ arccos รูปนั้นไปต่อไม่ได้
3. $x=4\sin t$, $y=3\cos t$.  Which first move actually gets rid of $t$?$x=4\sin t$, $y=3\cos t$  ท่าแรกท่าไหนกำจัด $t$ ได้จริง?
   Answer:เฉลย: $\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$ — an ellipse$\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$ — วงรีTrig both sides ⇒ identity: $\sin t=\dfrac{x}{4},\quad \cos t=\dfrac{y}{3}$   $\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$   $16\ne 9\ \Rightarrow\ \text{ellipse}$ตรีโกณทั้งคู่ ⇒ ใช้เอกลักษณ์: $\sin t=\dfrac{x}{4},\quad \cos t=\dfrac{y}{3}$   $\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$   $16\ne 9\ \Rightarrow\ \text{ellipse}$

5. Gradient without eliminating tหาความชันโดยไม่ต้องกำจัด t

$\dfrac{dy}{dx}$ straight from the pair — no Cartesian equation needed.ได้ $\dfrac{dy}{dx}$ จากสมการคู่ตรงๆ — ไม่ต้องแปลงเป็นคาร์ทีเซียนเลย

How do you differentiate a curve with no $y=f(x)$?จะดิฟเส้นโค้งที่ไม่มี $y=f(x)$ ได้ยังไง?

1. $x=t^{3}$, $y=4t$, so $\dfrac{dx}{dt}=3t^{2}$ and $\dfrac{dy}{dt}=4$.  Which of them goes on top when you build $\dfrac{dy}{dx}$?$x=t^{3}$, $y=4t$ ดังนั้น $\dfrac{dx}{dt}=3t^{2}$ และ $\dfrac{dy}{dt}=4$  เวลาประกอบ $\dfrac{dy}{dx}$ ตัวไหนอยู่ข้างบน?
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4}{3t^{2}}$$dt$ cancels one way only: $\dfrac{dy}{dt}\div\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dy}{dt}\times\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{dy}{dx}$   $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4}{3t^{2}}$ Flip the fraction on line one and every later line is wrong.$dt$ ตัดกันได้ทางเดียว: $\dfrac{dy}{dt}\div\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dy}{dt}\times\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{dy}{dx}$   $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4}{3t^{2}}$ เขียนกลับหัวตั้งแต่บรรทัดแรก ที่เหลือทั้งข้อผิดหมด
2. $x=t^{2}+1$, $y=t^{3}$.  Which line is the correct substitution — numbers in place, nothing worked out yet?$x=t^{2}+1$, $y=t^{3}$  บรรทัดไหนคือการแทนค่าที่ถูก — ใส่ของเข้าที่แล้ว ยังไม่ต้องคิดต่อ?
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^{2}}{2t}=\dfrac{3t}{2}$Differentiate twice, divide once: $\dfrac{dy}{dt}=3t^{2},\quad \dfrac{dx}{dt}=2t$   $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^{2}}{2t}=\dfrac{3t}{2}$ An answer in terms of $t$ is normal here, and the mark scheme accepts it.ดิฟสองครั้ง หารหนึ่งครั้ง: $\dfrac{dy}{dt}=3t^{2},\quad \dfrac{dx}{dt}=2t$   $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^{2}}{2t}=\dfrac{3t}{2}$ คำตอบอยู่ในรูป $t$ เป็นเรื่องปกติ และเกณฑ์ให้คะแนนรับแบบนี้
3. $x=t^{2}+1$, $y=t^{3}$.  Find the gradient of the curve at $t=2$.$x=t^{2}+1$, $y=t^{3}$  หาความชันของเส้นโค้งที่ $t=2$
   Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t}{2}$, so at $t=2$ the gradient is $3$Put $t$ in at the end: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t}{2}$   $t=2:\ \dfrac{3(2)}{2}=3$   $\text{other route: }y=(x-1)^{3/2}$แทน $t$ ตอนท้าย: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t}{2}$   $t=2:\ \dfrac{3(2)}{2}=3$   $\text{other route: }y=(x-1)^{3/2}$

6. Tangents and normalsเส้นสัมผัสและเส้นตั้งฉาก

Point and gradient from the same $t$ — then it is the P1 straight line you already do.จุดกับความชันมาจาก $t$ ตัวเดียวกัน — ที่เหลือคือสมการเส้นตรงของ P1 ที่ทำเป็นอยู่แล้ว

A tangent needs a point and a gradientเส้นสัมผัสต้องการจุดหนึ่งจุดกับความชันหนึ่งค่า

Horizontal tangent: $\dfrac{dy}{dt}=0$.  Vertical tangent: $\dfrac{dx}{dt}=0$.เส้นสัมผัสแนวนอน: $\dfrac{dy}{dt}=0$  เส้นสัมผัสแนวตั้ง: $\dfrac{dx}{dt}=0$

1. $x=t^{2}$, $y=2t$. At $t=3$ the point is $(9,6)$ and $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{2t}=\dfrac{1}{3}$.  Which line is the tangent there?$x=t^{2}$, $y=2t$ · ที่ $t=3$ จุดคือ $(9,6)$ และ $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{2t}=\dfrac{1}{3}$  เส้นไหนคือเส้นสัมผัสตรงนั้น?
   Answer:เฉลย: $y-6=\tfrac{1}{3}(x-9)$,  i.e. $y=\tfrac{1}{3}x+3$Point and gradient, same $t$: $(9,6),\quad m=\tfrac13$   $y-6=\tfrac13(x-9)$   $y=\tfrac13x+3$   $\text{check }x=9:\ 3+3=6\ \checkmark$จุดกับความชัน จาก $t$ เดียวกัน: $(9,6),\quad m=\tfrac13$   $y-6=\tfrac13(x-9)$   $y=\tfrac13x+3$   $\text{check }x=9:\ 3+3=6\ \checkmark$
2. Same curve $x=t^{2}$, $y=2t$.  Find the gradient of the normal at $t=3$.เส้นโค้งเดิม $x=t^{2}$, $y=2t$  หาความชันของเส้นตั้งฉากที่ $t=3$
   Answer:เฉลย: tangent gradient $\tfrac13$, so the normal gradient is $-1\div\tfrac13=-3$Perpendicular: negative reciprocal: $m_{\text{tan}}=\tfrac13$   $m_{\text{norm}}=-1\div\tfrac13=-3$   $\tfrac13\times(-3)=-1\ \checkmark$ Do that product as a check — it catches the missing minus and the un-flipped fraction.ตั้งฉาก: ส่วนกลับติดลบ: $m_{\text{tan}}=\tfrac13$   $m_{\text{norm}}=-1\div\tfrac13=-3$   $\tfrac13\times(-3)=-1\ \checkmark$ คูณเช็คก่อนเขียน จับได้ทั้งลืมลบและลืมพลิกเศษส่วน

7. Exam formรูปแบบข้อสอบ

The area question — and the limit conversion that carries the mark.ข้อพื้นที่ — กับการแปลงขอบเขตที่เป็นตัวกินคะแนน

Area under a parametric curveพื้นที่ใต้เส้นโค้งอิงตัวแปรเสริม

Integrating in $t$ means $t$-limits. Leaving the $x$-limits in place is the mark most students drop.อินทิเกรตด้วย $t$ ต้องใช้ขอบเขต $t$ · ทิ้งขอบเขต $x$ ไว้ คือคะแนนที่คนพลาดมากที่สุด

1. The region under $x=t^{2}$, $y=t+1$ (with $t\ge0$) is wanted between $x=1$ and $x=9$.  In $\displaystyle\int y\,\dfrac{dx}{dt}\,dt$, which limits?ต้องการพื้นที่ใต้ $x=t^{2}$, $y=t+1$ (โดย $t\ge0$) ระหว่าง $x=1$ ถึง $x=9$  ใน $\displaystyle\int y\,\dfrac{dx}{dt}\,dt$ ต้องใช้ขอบเขตไหน?
   Answer:เฉลย: $t$ runs from $1$ to $3$$t$ เดินจาก $1$ ถึง $3$Convert both limits: $x=1\ \Rightarrow\ t=1$   $x=9\ \Rightarrow\ t=3$   $\displaystyle\int_{1}^{3}y\,\dfrac{dx}{dt}\,dt$ One mark for the conversion, before any integrating.แปลงขอบเขตทั้งสองข้าง: $x=1\ \Rightarrow\ t=1$   $x=9\ \Rightarrow\ t=3$   $\displaystyle\int_{1}^{3}y\,\dfrac{dx}{dt}\,dt$ ได้หนึ่งคะแนนจากการแปลงขอบเขต ก่อนอินทิเกรตด้วยซ้ำ
2. Exam: The curve $C$ has parametric equations $x=t^{2}$, $y=t+1$, $t\ge0$. Find the exact area of the region under $C$ between $x=1$ and $x=9$.  (6 marks)ข้อสอบ: เส้นโค้ง $C$ มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=t^{2}$, $y=t+1$, $t\ge0$ · จงหาพื้นที่แบบ exact ของบริเวณใต้ $C$ ระหว่าง $x=1$ ถึง $x=9$  (6 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $\displaystyle\int_{1}^{3}(t+1)(2t)\,dt=\Big[\tfrac{2t^{3}}{3}+t^{2}\Big]_{1}^{3}=27-\tfrac{5}{3}=\dfrac{76}{3}$6 marks: $\text{M1}\quad \dfrac{dx}{dt}=2t$   $\text{M1}\quad \int y\,\dfrac{dx}{dt}\,dt$   $\text{B1}\quad t=1\ \text{to}\ t=3$   $\text{M1}\quad (t+1)(2t)=2t^{2}+2t$   $\text{A1}\quad \tfrac{2t^{3}}{3}+t^{2}$   $\text{A1}\quad \dfrac{76}{3}$ Two of the six marks are not calculus: the $\dfrac{dx}{dt}$ factor and the limits.6 คะแนน: $\text{M1}\quad \dfrac{dx}{dt}=2t$   $\text{M1}\quad \int y\,\dfrac{dx}{dt}\,dt$   $\text{B1}\quad t=1\ \text{to}\ t=3$   $\text{M1}\quad (t+1)(2t)=2t^{2}+2t$   $\text{A1}\quad \tfrac{2t^{3}}{3}+t^{2}$   $\text{A1}\quad \dfrac{76}{3}$ สองในหกคะแนนไม่ใช่แคลคูลัส: ตัวคูณ $\dfrac{dx}{dt}$ กับการแปลงขอบเขต
3. A student writes the area under $x=2t$, $y=t^{2}$ from $x=0$ to $x=4$ as $\displaystyle\int_{0}^{4}t^{2}\,dt$.  What has gone wrong?มีนักเรียนเขียนพื้นที่ใต้ $x=2t$, $y=t^{2}$ จาก $x=0$ ถึง $x=4$ เป็น $\displaystyle\int_{0}^{4}t^{2}\,dt$  ผิดตรงไหน?
   Answer:เฉลย: $\displaystyle\int_{0}^{2}t^{2}(2)\,dt=\Big[\tfrac{2t^{3}}{3}\Big]_{0}^{2}=\dfrac{16}{3}$$\displaystyle\int_{0}^{2}t^{2}(2)\,dt=\Big[\tfrac{2t^{3}}{3}\Big]_{0}^{2}=\dfrac{16}{3}$Two slips, two marks: $\text{missing }\dfrac{dx}{dt}=2$   $0\to4\ \text{are }x\text{-limits}$   $x=4\ \Rightarrow\ t=2$   $\displaystyle\int_{0}^{2}t^{2}(2)\,dt=\dfrac{16}{3}$ Write the formula in full every time — factor and limits then go in together.สองจุดพลาด สองคะแนน: $\text{missing }\dfrac{dx}{dt}=2$   $0\to4\ \text{are }x\text{-limits}$   $x=4\ \Rightarrow\ t=2$   $\displaystyle\int_{0}^{2}t^{2}(2)\,dt=\dfrac{16}{3}$ เขียนสูตรให้ครบทุกครั้ง ตัวคูณกับขอบเขตจะลงบรรทัดเดียวกัน
4. Exam: The curve $C$ has parametric equations $x=t^{2}+2t$, $y=3t-t^{2}$, $t\ge0$. $C$ meets the $x$-axis at the origin and at one other point. Find the exact area of the region enclosed between $C$ and the $x$-axis.  (6 marks)ข้อสอบ: เส้นโค้ง $C$ มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=t^{2}+2t$, $y=3t-t^{2}$, $t\ge0$ · $C$ ตัดแกน $x$ ที่จุดกำเนิดและอีกจุดหนึ่ง · จงหาพื้นที่แบบ exact ของบริเวณที่ปิดล้อมระหว่าง $C$ กับแกน $x$  (6 คะแนน)
   Answer:เฉลย: $y=0$ at $t=0$ and $t=3$  · $\displaystyle\int_{0}^{3}(3t-t^{2})(2t+2)\,dt=\Big[-\tfrac{t^{4}}{2}+\tfrac{4t^{3}}{3}+3t^{2}\Big]_{0}^{3}=\dfrac{45}{2}$6 marks: $\text{B1}\quad y=0\ \Rightarrow\ t=0,\ t=3$   $\text{M1}\quad \dfrac{dx}{dt}=2t+2$   $\text{M1}\quad \displaystyle\int_{0}^{3}y\,\dfrac{dx}{dt}\,dt$   $\text{M1}\quad -2t^{3}+4t^{2}+6t$   $\text{A1}\quad -\dfrac{t^{4}}{2}+\dfrac{4t^{3}}{3}+3t^{2}$   $\text{A1}\quad \dfrac{45}{2}$ Nobody hands you the limits here — dig them out of $y=0$.6 คะแนน: $\text{B1}\quad y=0\ \Rightarrow\ t=0,\ t=3$   $\text{M1}\quad \dfrac{dx}{dt}=2t+2$   $\text{M1}\quad \displaystyle\int_{0}^{3}y\,\dfrac{dx}{dt}\,dt$   $\text{M1}\quad -2t^{3}+4t^{2}+6t$   $\text{A1}\quad -\dfrac{t^{4}}{2}+\dfrac{4t^{3}}{3}+3t^{2}$   $\text{A1}\quad \dfrac{45}{2}$ ข้อนี้ไม่มีใครยกขอบเขตมาให้ · ต้องขุดออกมาจาก $y=0$ เอง
5. The curve $C$ has parametric equations $x=t^{2}+2$, $y=t^{3}-6t$.  Find the gradient of $C$ at the point $(6,4)$.  One of the two equations gives $t$ in one step but offers two answers; the other one settles which. Start with the right one.เส้นโค้ง $C$ มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=t^{2}+2$, $y=t^{3}-6t$  จงหาความชันของ $C$ ที่จุด $(6,4)$  สมการหนึ่งให้ $t$ ได้ในก้าวเดียวแต่ได้มาสองคำตอบ · อีกสมการเป็นตัวตัดสินว่าอันไหน · เริ่มจากอันที่ถูก
   Answer:เฉลย: $x=6$ gives $t=\pm2$, and only $t=-2$ gives $y=4$  · $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^{2}-6}{2t}=\dfrac{6}{-4}=-\dfrac32$Solve easy, filter with the other: $x=6:\ t^{2}+2=6\ \Rightarrow\ t=\pm2$   $t=2:\ y=8-12=-4\ \times$   $t=-2:\ y=-8+12=4\ \checkmark$   $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^{2}-6}{2t}=\dfrac{6}{-4}=-\dfrac32$ Never solve the cubic; never trust the $x$-equation alone.แก้อันง่าย กรองด้วยอีกอัน: $x=6:\ t^{2}+2=6\ \Rightarrow\ t=\pm2$   $t=2:\ y=8-12=-4\ \times$   $t=-2:\ y=-8+12=4\ \checkmark$   $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^{2}-6}{2t}=\dfrac{6}{-4}=-\dfrac32$ อย่าแก้สมการกำลังสาม และอย่าเชื่อสมการ $x$ ตัวเดียวโดดๆ

8. Exercise setชุดโจทย์

The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว

1. The curve $C$ has parametric equations $x=t^{2}+3$, $y=t^{3}-t$. Find the gradient of $C$ at the point where $t=2$.Identical to the worked example, numbers changed. If level 3 landed, this is one clean minute — confidence first.เหมือนตัวอย่างที่ทำไปเป๊ะ เปลี่ยนแค่ตัวเลข · ถ้าขั้นที่ 3แน่นจริง ข้อนี้จบในหนึ่งนาที — เอาความมั่นใจก่อน
2. The curve $C$ has parametric equations $x=3t^{2}-2$, $y=t^{3}+4t$. Find $\dfrac{dy}{dx}$ at $t=\tfrac{1}{2}$.Same two derivatives, same division. Only the arithmetic got harder: a fractional $t$ means a fraction inside a fraction, and that is where the slips happen.ดิฟสองตัวเหมือนเดิม หารเหมือนเดิม · โหดขึ้นแค่การคิดเลข: $t$ เป็นเศษส่วน ทำให้มีเศษส่วนซ้อนเศษส่วน และตรงนั้นแหละที่คนพลาด
3. A curve has parametric equations $x=2\cos\theta$, $y=3\sin\theta$. Find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $\theta$.New letter for the parameter, trig instead of powers, and a minus sign that appears from $\frac{d}{d\theta}(\cos\theta)=-\sin\theta$. Anyone who memorised '$t$ and polynomials' stalls here.ตัวแปรเสริมเปลี่ยนตัวอักษร เป็นตรีโกณแทนพหุนาม แถมมีเครื่องหมายลบโผล่จาก $\frac{d}{d\theta}(\cos\theta)=-\sin\theta$ · ใครท่องมาแค่ '$t$ กับพหุนาม' จะสะดุดตรงนี้
4. The curve $C$ has parametric equations $x=t^{2}$, $y=2t$. Find the equation of the normal to $C$ at the point where $t=3$.Three old moves in a row: parametric gradient, negative reciprocal, then the P1 straight line. No new technique at all — only the joins are new.ท่าเก่าสามท่าต่อกัน: หาความชันแบบพารามิเตอร์ · ส่วนกลับติดลบ · แล้วสมการเส้นตรงของ P1 · ไม่มีเทคนิคใหม่เลย ใหม่แค่รอยต่อ
5. A curve has parametric equations $x=4\cos t$, $y=4\sin t$.  (a) Show that the Cartesian equation of the curve is $x^{2}+y^{2}=16$. (2 marks)  (b) Hence state the radius of the circle. (1 mark)Full IAL wording with the mark split. 'Show that' means the target is printed, so every line of working has to be there — and 'hence' means read part (b) straight off part (a).ภาษาข้อสอบ IAL เต็มรูปแบบพร้อมแบ่งคะแนน · คำว่า show that แปลว่าคำตอบพิมพ์ไว้ให้แล้ว บรรทัดการทำงานทุกบรรทัดจึงต้องมีครบ · ส่วน hence คือให้อ่านข้อ (b) จากข้อ (a) ตรงๆ
6. A student finds the area under $x=t^{2}$, $y=t+1$ between $x=1$ and $x=4$ by writing $\displaystyle\int_{1}^{4}(t+1)\,dt$. State the two errors and give the correct exact area.Both of the classic area slips are in one line, and neither one makes the answer look wrong.
   Marking someone else's work is harder than doing your own.
   If you can find these two errors, you will not make them yourself.จุดพลาดคลาสสิกของข้อพื้นที่ทั้งสองอย่างอยู่ในบรรทัดเดียว และไม่มีอันไหนทำให้คำตอบดูผิด
   ตรวจงานคนอื่นยากกว่าทำเอง
   ถ้าหาสองจุดนี้เจอ ก็จะไม่ทำผิดแบบนี้เอง
7. The curve $C$ has parametric equations $x=t^{2}$, $y=t^{3}-3t$, $t\ge0$.  (a) Find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $t$. (2 marks)  (b) Find the coordinates of the point on $C$ where the tangent is parallel to the $x$-axis. (3 marks)  (c) Find the equation of the tangent to $C$ at the point where $t=2$. (3 marks)This question uses every step of the lesson.
   Differentiate the pair, then divide the right way up.
   Use $\frac{dy}{dt}=0$ to find the flat point.
   Then take a point and a gradient from the same $t$.
   Part (b) gives the restriction $t\ge0$, so you can reject $t=-1$.
   A restriction in a parametric question is always there to be used.ข้อนี้ใช้ทุกขั้นของบทนี้
   ดิฟสมการคู่ แล้วหารให้ถูกด้าน
   ใช้ $\frac{dy}{dt}=0$ หาจุดที่กราฟราบ
   แล้วดึงจุดกับความชันจาก $t$ ตัวเดียวกัน
   ข้อ (b) ให้เงื่อนไข $t\ge0$ มา จึงตัด $t=-1$ ทิ้งได้
   เงื่อนไขในข้อพารามิเตอร์มีมาเพื่อใช้เสมอ

All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี