Lesson notes & every answer, in textสรุปบทเรียนและเฉลยทุกข้อ แบบข้อความ
Parametric equationsสมการพาราเมตริก
A-Level Pure 4 · Edexcel IAL WMA14 · CAIE: Pure 3 (9709/3) · free step-by-step lesson, every question with its answer and the reason behind itบทเรียนฟรีทีละขั้น ทุกข้อมีเฉลยและเหตุผลกำกับ
1. Warm-upเช็คก่อนเริ่ม
Feed $t$ in, and differentiate with respect to $t$ใส่ $t$ เข้าไป กับหาอนุพันธ์เทียบ $t$
Two equations, both driven by $t$. Later: divide one rate by the other.สองสมการ ขับด้วย $t$ ทั้งคู่ · ทีหลัง: หารอัตราหนึ่งด้วยอีกอัตรา
- $y=t^{2}-1$. Find $y$ when $t=4$.$y=t^{2}-1$ หา $y$ เมื่อ $t=4$
Answer:เฉลย: $y=4^{2}-1=15$Only substitute: $t=4$ $y=4^{2}-1=15$ $\text{later: }x\text{ and }y\text{ from the same }t$แทนค่า แค่นั้น: $t=4$ $y=4^{2}-1=15$ $\text{later: }x\text{ and }y\text{ from the same }t$
- Differentiate with respect to $t$: $x=3t^{2}-4t$.ดิฟเทียบกับ $t$: $x=3t^{2}-4t$
Answer:เฉลย: $\dfrac{dx}{dt}=6t-4$Same rule, new letter: $x=3t^{2}-4t$ $\dfrac{dx}{dt}=6t-4$ Every question here differentiates $x$ and $y$ separately, both with respect to $t$.กฎเดิม เปลี่ยนตัวอักษร: $x=3t^{2}-4t$ $\dfrac{dx}{dt}=6t-4$ ทุกข้อในบทนี้ดิฟ $x$ กับ $y$ แยกกัน โดยเทียบกับ $t$ ทั้งคู่
2. Where the point is at time tจุดอยู่ตรงไหน ณ เวลา t
One number $t$ decides both coordinates. Put in $t$ and one point comes out.เลขตัวเดียวคือ $t$ กำหนดพิกัดทั้งสอง · ใส่ $t$ เข้าไป ได้จุดออกมาหนึ่งจุด
A point that moves with time $t$จุดที่เคลื่อนที่ตามเวลา $t$
Each value of $t$ gives one point. The points make a curve.$t$ แต่ละค่าให้หนึ่งจุด · จุดต่อกันเป็นเส้นโค้ง
- Using $x=2t$, $y=t^{2}$: where is the point at $t=3$?ใช้ $x=2t$, $y=t^{2}$ · ที่ $t=3$ จุดอยู่ตรงไหน?
Answer:เฉลย: $(6,9)$One $t$, one point: $x=2(3)=6$ $y=3^{2}=9$ $(x,y)=(6,9)$$t$ หนึ่งค่า จุดหนึ่งจุด: $x=2(3)=6$ $y=3^{2}=9$ $(x,y)=(6,9)$
- Same curve $x=2t$, $y=t^{2}$. Find the $y$-coordinate at $t=-4$.เส้นโค้งเดิม $x=2t$, $y=t^{2}$ หาพิกัด $y$ ที่ $t=-4$
Answer:เฉลย: $y=(-4)^{2}=16$$t$ may be negative: $y=(-4)^{2}=16$ $x=2(-4)=-8$ $(-8,16)$ Sketch questions lose marks when only $t=0,1,2,3$ are tried.$t$ ติดลบได้: $y=(-4)^{2}=16$ $x=2(-4)=-8$ $(-8,16)$ ข้อวาดกราฟเสียคะแนนเพราะลองแค่ $t=0,1,2,3$
3. From a point back to tจากจุด ย้อนกลับไปหา t
Going backwards, from a point to $t$, often has a second answer.เดินย้อนจากจุดกลับไปหา $t$ มักมีคำตอบตัวที่สอง
Given the point, find the timeให้จุดมา แล้วหาเวลา
Backwards is solving: solve the easier equation for $t$, then check that $t$ in the other.ขากลับคือแก้สมการ · แก้หา $t$ จากสมการที่ง่ายกว่า แล้วตรวจ $t$ ในอีกสมการ
$x=3t-2,\ y=t^{2}+1$. Point $(4,5)$: which $t$?$x=3t-2,\ y=t^{2}+1$ จุด $(4,5)$ — $t$ เท่าไร?
- $3t-2=4$
- $3t=6$
- $3t=6$
- $t=2$Solve the EASIER equation first.แก้สมการที่ง่ายกว่าก่อน
- $y=2^{2}+1=5\ \checkmark$Then CHECK this $t$ in the other equation.แล้วตรวจ $t$ ตัวนี้ในอีกสมการ
- $x=2t$, $y=t^{2}$. Which value of $t$ puts the point at $(10,25)$?$x=2t$, $y=t^{2}$ ค่า $t$ ตัวไหนพาจุดไปอยู่ที่ $(10,25)$?
Answer:เฉลย: $t=5$Solve one, check the other: $2t=10\ \Rightarrow\ t=5$ $\text{check: }y=5^{2}=25\ \checkmark$ In a 'show that' the check is worth a mark on its own.แก้อันหนึ่ง ตรวจอีกอัน: $2t=10\ \Rightarrow\ t=5$ $\text{check: }y=5^{2}=25\ \checkmark$ ในข้อ show that การตรวจนี้ได้หนึ่งคะแนนของมันเอง
- $x=t^{2}-1$, $y=2t$. The curve crosses the $y$-axis. Find all values of $t$ where that happens.$x=t^{2}-1$, $y=2t$ เส้นโค้งตัดแกน $y$ · หาค่า $t$ ทุกค่าที่ทำให้เกิดเหตุการณ์นั้น
Answer:เฉลย: $t=\pm1$, giving the two points $(0,2)$ and $(0,-2)$$x=0$ gives two times: $t^{2}-1=0\ \Rightarrow\ t^{2}=1$ $t=\pm1$ $(0,2)\ \text{and}\ (0,-2)$ Missing the negative root loses one mark.$x=0$ ให้สองเวลา: $t^{2}-1=0\ \Rightarrow\ t^{2}=1$ $t=\pm1$ $(0,2)\ \text{and}\ (0,-2)$ ทำรากลบหล่น เสียหนึ่งคะแนน
- $x=t^{2}+1$, $y=t^{3}$. A student is told the point $(5,k)$ lies on the curve, writes $t=2$ and answers $k=8$. Is that everything?$x=t^{2}+1$, $y=t^{3}$ · มีนักเรียนได้โจทย์ว่าจุด $(5,k)$ อยู่บนเส้นโค้ง เขาเขียน $t=2$ แล้วตอบ $k=8$ · ครบแล้วหรือยัง?
Answer:เฉลย: $t=\pm2$, so $k=8$ or $k=-8$$t=\pm2$ ดังนั้น $k=8$ หรือ $k=-8$Quadratic in $x$ ⇒ two $t$: $t^{2}+1=5\ \Rightarrow\ t^{2}=4$ $t=\pm2$ $k=(\pm2)^{3}=\pm8$ Ask first: was the equation I solved linear or quadratic?สมการ $x$ กำลังสอง ⇒ $t$ สองค่า: $t^{2}+1=5\ \Rightarrow\ t^{2}=4$ $t=\pm2$ $k=(\pm2)^{3}=\pm8$ ถามก่อนว่า สมการที่เพิ่งแก้เป็นเส้นตรงหรือกำลังสอง
- $x=3t-1$, $y=t^{2}+t$. Show that $(8,12)$ lies on the curve. Find $t$ from the $x$-equation. Then find the $y$ that this $t$ gives. (2 marks)$x=3t-1$, $y=t^{2}+t$ แสดงว่า $(8,12)$ อยู่บนเส้นโค้ง · หา $t$ จากสมการ $x$ · แล้วหาค่า $y$ ที่ $t$ ตัวนั้นให้ (2 คะแนน)
Answer:เฉลย: $3t-1=8\Rightarrow t=3$, and then $y=3^{2}+3=12$ ✓2 marks: $\text{M1}\quad 3t-1=8\ \Rightarrow\ t=3$ $\text{A1}\quad y=3^{2}+3=12\ \checkmark$ If the second value disagrees, the point is not on the curve. Say so.2 คะแนน: $\text{M1}\quad 3t-1=8\ \Rightarrow\ t=3$ $\text{A1}\quad y=3^{2}+3=12\ \checkmark$ ถ้าค่าที่สองไม่ตรง จุดนั้นไม่ได้อยู่บนเส้นโค้ง · ต้องเขียนบอก
4. Get rid of tกำจัด t ทิ้ง
Remove the parameter and the pair becomes one equation in $x$ and $y$.กำจัดตัวแปรเสริมออก แล้วสมการคู่จะเหลือสมการเดียวใน $x$ กับ $y$
You plotted this curve, one $t$ at a timeคุณเพิ่งลากเส้นโค้งนี้ทีละ $t$
One substitution turns the pair into a single equation in $x$ and $y$.แทนค่าครั้งเดียว รวมสองสมการเป็นสมการเดียวในรูป $x$ กับ $y$
Two equations, one curve: can we say it in one line?สองสมการ เส้นโค้งเดียว · พูดให้จบในบรรทัดเดียวได้ไหม?
- $x=2t$Ring it ①: say "equation one".วง ① ไว้ · อ่านว่า "สมการหนึ่ง"
- $y=t^{2}$Two equations, so name them ① and ②.สองสมการ ตั้งชื่อ ① ②
- $t=\frac{x}{2}$Make $t$ the subject of the easier one.จับ $t$ เป็นตัวตั้งจากสมการที่ง่ายกว่า
- $y=\frac{x^{2}}{4}$Substitute. The $t$ vanishes. A parabola.แทนค่า · $t$ หายไป เหลือพาราโบลา
- $x=t+3$, $y=t^{2}$. Eliminating $t$ gives $y=(x-a)^{2}$. Find $a$.$x=t+3$, $y=t^{2}$ กำจัด $t$ แล้วได้ $y=(x-a)^{2}$ · หา $a$
Answer:เฉลย: $t=x-3$, so $y=(x-3)^{2}$: $a=3$Make $t$ the subject: $t=x-3$ $y=(x-3)^{2}$ $a=3$จับ $t$ เป็นตัวตั้ง: $t=x-3$ $y=(x-3)^{2}$ $a=3$
- $x=5\cos t$, $y=5\sin t$. The Cartesian equation has the form $x^{2}+y^{2}=k$. Find $k$.$x=5\cos t$, $y=5\sin t$ สมการคาร์ทีเซียนอยู่ในรูป $x^{2}+y^{2}=k$ · หา $k$
Answer:เฉลย: $x^{2}+y^{2}=25\cos^{2}t+25\sin^{2}t=25$: $k=25$, a circle of radius $5$Square both, then add: $\left(\dfrac{x}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{y}{5}\right)^{2}=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1$ $x^{2}+y^{2}=25$ You never solve for $t$. An inverse cosine would not simplify.ยกกำลังสอง แล้วบวก: $\left(\dfrac{x}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{y}{5}\right)^{2}=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1$ $x^{2}+y^{2}=25$ ไม่ได้แก้หา $t$ เลย · ถ้าใช้ arccos รูปนั้นไปต่อไม่ได้
- $x=4\sin t$, $y=3\cos t$. Which first step removes $t$?$x=4\sin t$, $y=3\cos t$ ท่าแรกท่าไหนกำจัด $t$ ได้จริง?
Answer:เฉลย: $\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$ — an ellipse$\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$ — วงรีTrig both sides ⇒ identity: $\sin t=\dfrac{x}{4},\quad \cos t=\dfrac{y}{3}$ $\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$ $16\ne 9\ \Rightarrow\ \text{ellipse}$ตรีโกณทั้งคู่ ⇒ ใช้เอกลักษณ์: $\sin t=\dfrac{x}{4},\quad \cos t=\dfrac{y}{3}$ $\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$ $16\ne 9\ \Rightarrow\ \text{ellipse}$
5. Gradient without eliminating tหาความชันโดยไม่ต้องกำจัด t
$\dfrac{dy}{dx}$ straight from the pair. No Cartesian equation is needed.ได้ $\dfrac{dy}{dx}$ จากสมการคู่ตรงๆ · ไม่ต้องแปลงเป็นคาร์ทีเซียนเลย
Rearrange the chain rule you already knowจัดกฎลูกโซ่ที่รู้อยู่แล้วใหม่
Nothing new: it is the chain rule, rearranged.ไม่มีของใหม่ · มันคือกฎลูกโซ่จัดใหม่
$x=2t^{2},\ y=t^{3}$ at $t=1$$x=2t^{2},\ y=t^{3}$ ที่ $t=1$
- $\dfrac{dx}{dt}=4t$LABEL. Differentiate $x$ with respect to $t$.ติดป้าย · ดิฟ $x$ เทียบ $t$
- $\dfrac{dy}{dt}=3t^{2}$Then $y$, the same way.แล้ว $y$ แบบเดียวกัน
- $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$SUBSTITUTE. Put both into the ratio.แทนค่า · เอาทั้งสองใส่สูตร
- $=\dfrac{3t^{2}}{4t}$
- $=\dfrac{3t}{4}$Simplify first, before $t$ goes in.ลดรูปก่อน แล้วค่อยแทน $t$
- $t=1:\ \dfrac{3}{4}$EVALUATE. Substitute $t$ last.หาค่า · แทน $t$ ตอนสุดท้าย
- $x=t^{3}$, $y=4t$, so $\dfrac{dx}{dt}=3t^{2}$ and $\dfrac{dy}{dt}=4$. Which of them goes on top when you build $\dfrac{dy}{dx}$?$x=t^{3}$, $y=4t$ ดังนั้น $\dfrac{dx}{dt}=3t^{2}$ และ $\dfrac{dy}{dt}=4$ เวลาประกอบ $\dfrac{dy}{dx}$ ตัวไหนอยู่ข้างบน?
Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4}{3t^{2}}$$dt$ cancels one way only: $\dfrac{dy}{dt}\div\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dy}{dt}\times\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{dy}{dx}$ $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4}{3t^{2}}$ Flip the fraction on line one and every later line is wrong.$dt$ ตัดกันได้ทางเดียว: $\dfrac{dy}{dt}\div\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dy}{dt}\times\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{dy}{dx}$ $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4}{3t^{2}}$ เขียนกลับหัวตั้งแต่บรรทัดแรก ที่เหลือทั้งข้อผิดหมด
- $x=t^{2}+1$, $y=t^{3}$. Which line is the correct substitution? Put the numbers in. Do not work anything out yet.$x=t^{2}+1$, $y=t^{3}$ บรรทัดไหนคือการแทนค่าที่ถูก · ใส่ของเข้าที่แล้ว ยังไม่ต้องคิดต่อ?
Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^{2}}{2t}=\dfrac{3t}{2}$Differentiate twice, divide once: $\dfrac{dy}{dt}=3t^{2},\quad \dfrac{dx}{dt}=2t$ $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^{2}}{2t}=\dfrac{3t}{2}$ An answer in terms of $t$ is normal here, and the mark scheme accepts it.ดิฟสองครั้ง หารหนึ่งครั้ง: $\dfrac{dy}{dt}=3t^{2},\quad \dfrac{dx}{dt}=2t$ $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^{2}}{2t}=\dfrac{3t}{2}$ คำตอบอยู่ในรูป $t$ เป็นเรื่องปกติ และเกณฑ์ให้คะแนนรับแบบนี้
- $x=t^{2}+1$, $y=t^{3}$. Find the gradient of the curve at $t=2$.$x=t^{2}+1$, $y=t^{3}$ หาความชันของเส้นโค้งที่ $t=2$
Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t}{2}$, so at $t=2$ the gradient is $3$Put $t$ in at the end: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t}{2}$ $t=2:\ \dfrac{3(2)}{2}=3$ $\text{other route: }y=(x-1)^{3/2}$แทน $t$ ตอนท้าย: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t}{2}$ $t=2:\ \dfrac{3(2)}{2}=3$ $\text{other route: }y=(x-1)^{3/2}$
6. Tangents and normalsเส้นสัมผัสและเส้นตั้งฉาก
Point and gradient from the same $t$. Then it is the P1 straight line you already do.จุดกับความชันมาจาก $t$ ตัวเดียวกัน · ที่เหลือคือสมการเส้นตรงของ P1 ที่ทำเป็นอยู่แล้ว
A tangent needs a point and a gradientเส้นสัมผัสต้องการจุดหนึ่งจุดกับความชันหนึ่งค่า
Point and gradient come from the same $t$. Horizontal tangent: $\dfrac{dy}{dt}=0$. Vertical: $\dfrac{dx}{dt}=0$.จุดกับความชันมาจาก $t$ ตัวเดียวกัน · เส้นสัมผัสแนวนอน: $\dfrac{dy}{dt}=0$ · แนวตั้ง: $\dfrac{dx}{dt}=0$
$x=t^{2}+3,\ y=2t^{3}$ at $t=1$$x=t^{2}+3,\ y=2t^{3}$ ที่ $t=1$
- $\dfrac{dx}{dt}=2t$Differentiate both, with respect to $t$.ดิฟทั้งคู่เทียบ $t$
- $\dfrac{dy}{dt}=6t^{2}$
- $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{6t^{2}}{2t}$
- $=3t$
- $t=1:\ m=3$EVALUATE the gradient at this $t$.หาค่าความชันที่ $t$ นี้
- $x=1^{2}+3=4$
- $y=2(1)^{3}=2$
- $y-2=3(x-4)$
- $=3x-10$
- $x=t^{2}$, $y=2t$. At $t=3$ the point is $(9,6)$ and $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{2t}=\dfrac{1}{3}$. Which line is the tangent there?$x=t^{2}$, $y=2t$ · ที่ $t=3$ จุดคือ $(9,6)$ และ $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{2t}=\dfrac{1}{3}$ เส้นไหนคือเส้นสัมผัสตรงนั้น?
Answer:เฉลย: $y-6=\tfrac{1}{3}(x-9)$, i.e. $y=\tfrac{1}{3}x+3$Point and gradient, same $t$: $(9,6),\quad m=\tfrac13$ $y-6=\tfrac13(x-9)$ $y=\tfrac13x+3$ $\text{check }x=9:\ 3+3=6\ \checkmark$จุดกับความชัน จาก $t$ เดียวกัน: $(9,6),\quad m=\tfrac13$ $y-6=\tfrac13(x-9)$ $y=\tfrac13x+3$ $\text{check }x=9:\ 3+3=6\ \checkmark$
- Same curve $x=t^{2}$, $y=2t$. Find the gradient of the normal at $t=3$.เส้นโค้งเดิม $x=t^{2}$, $y=2t$ หาความชันของเส้นตั้งฉากที่ $t=3$
Answer:เฉลย: tangent gradient $\tfrac13$, so the normal gradient is $-1\div\tfrac13=-3$Perpendicular: negative reciprocal: $m_{\text{tan}}=\tfrac13$ $m_{\text{norm}}=-1\div\tfrac13=-3$ $\tfrac13\times(-3)=-1\ \checkmark$ Do that product as a check. It catches the missing minus and the un-flipped fraction.ตั้งฉาก: ส่วนกลับติดลบ: $m_{\text{tan}}=\tfrac13$ $m_{\text{norm}}=-1\div\tfrac13=-3$ $\tfrac13\times(-3)=-1\ \checkmark$ คูณตรวจก่อนเขียน จับได้ทั้งลืมลบและลืมพลิกเศษส่วน
7. Exam formรูปแบบข้อสอบ
The area question, and the limit conversion that carries the mark.ข้อพื้นที่ · กับการแปลงขอบเขตที่มีคะแนน
Area under a parametric curveพื้นที่ใต้เส้นโค้งอิงตัวแปรเสริม
The same swap as P3 substitution. Leaving the $x$-limits in place is the mark most students drop.การสลับแบบเดียวกับ substitution ใน P3 · ทิ้งขอบเขต $x$ ไว้ คือคะแนนที่คนพลาดมากที่สุด
- The region under $x=t^{2}$, $y=t+1$ (with $t\ge0$) is wanted between $x=1$ and $x=9$. In $\displaystyle\int y\,\dfrac{dx}{dt}\,dt$, which limits?ต้องการพื้นที่ใต้ $x=t^{2}$, $y=t+1$ (โดย $t\ge0$) ระหว่าง $x=1$ ถึง $x=9$ ใน $\displaystyle\int y\,\dfrac{dx}{dt}\,dt$ ต้องใช้ขอบเขตไหน?
Answer:เฉลย: $t$ runs from $1$ to $3$$t$ เดินจาก $1$ ถึง $3$Convert both limits: $x=1\ \Rightarrow\ t=1$ $x=9\ \Rightarrow\ t=3$ $\displaystyle\int_{1}^{3}y\,\dfrac{dx}{dt}\,dt$ One mark for the conversion, before any integrating.แปลงขอบเขตทั้งสองข้าง: $x=1\ \Rightarrow\ t=1$ $x=9\ \Rightarrow\ t=3$ $\displaystyle\int_{1}^{3}y\,\dfrac{dx}{dt}\,dt$ ได้หนึ่งคะแนนจากการแปลงขอบเขต ก่อนอินทิเกรตด้วยซ้ำ
- Exam: The curve $C$ has parametric equations $x=t^{2}$, $y=t+1$, $t\ge0$. Find the exact area of the region under $C$ between $x=1$ and $x=9$. (6 marks)ข้อสอบ: เส้นโค้ง $C$ มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=t^{2}$, $y=t+1$, $t\ge0$ · จงหาพื้นที่แบบ exact ของบริเวณใต้ $C$ ระหว่าง $x=1$ ถึง $x=9$ (6 คะแนน)
Answer:เฉลย: $\displaystyle\int_{1}^{3}(t+1)(2t)\,dt=\Big[\tfrac{2t^{3}}{3}+t^{2}\Big]_{1}^{3}=27-\tfrac{5}{3}=\dfrac{76}{3}$6 marks: $\text{M1}\quad \dfrac{dx}{dt}=2t$ $\text{M1}\quad \int y\,\dfrac{dx}{dt}\,dt$ $\text{B1}\quad t=1\ \text{to}\ t=3$ $\text{M1}\quad (t+1)(2t)=2t^{2}+2t$ $\text{A1}\quad \tfrac{2t^{3}}{3}+t^{2}$ $\text{A1}\quad \dfrac{76}{3}$ Two of the six marks are not calculus: the $\dfrac{dx}{dt}$ factor and the limits.6 คะแนน: $\text{M1}\quad \dfrac{dx}{dt}=2t$ $\text{M1}\quad \int y\,\dfrac{dx}{dt}\,dt$ $\text{B1}\quad t=1\ \text{to}\ t=3$ $\text{M1}\quad (t+1)(2t)=2t^{2}+2t$ $\text{A1}\quad \tfrac{2t^{3}}{3}+t^{2}$ $\text{A1}\quad \dfrac{76}{3}$ สองในหกคะแนนไม่ใช่แคลคูลัส: ตัวคูณ $\dfrac{dx}{dt}$ กับการแปลงขอบเขต
- A student writes the area under $x=2t$, $y=t^{2}$ from $x=0$ to $x=4$ as $\displaystyle\int_{0}^{4}t^{2}\,dt$. What has gone wrong?มีนักเรียนเขียนพื้นที่ใต้ $x=2t$, $y=t^{2}$ จาก $x=0$ ถึง $x=4$ เป็น $\displaystyle\int_{0}^{4}t^{2}\,dt$ ผิดตรงไหน?
Answer:เฉลย: $\displaystyle\int_{0}^{2}t^{2}(2)\,dt=\Big[\tfrac{2t^{3}}{3}\Big]_{0}^{2}=\dfrac{16}{3}$$\displaystyle\int_{0}^{2}t^{2}(2)\,dt=\Big[\tfrac{2t^{3}}{3}\Big]_{0}^{2}=\dfrac{16}{3}$Two slips, two marks: $\text{missing }\dfrac{dx}{dt}=2$ $0\to4\ \text{are }x\text{-limits}$ $x=4\ \Rightarrow\ t=2$ $\displaystyle\int_{0}^{2}t^{2}(2)\,dt=\dfrac{16}{3}$ Write the formula in full every time. The factor and the limits then go in together.สองจุดพลาด สองคะแนน: $\text{missing }\dfrac{dx}{dt}=2$ $0\to4\ \text{are }x\text{-limits}$ $x=4\ \Rightarrow\ t=2$ $\displaystyle\int_{0}^{2}t^{2}(2)\,dt=\dfrac{16}{3}$ เขียนสูตรให้ครบทุกครั้ง ตัวคูณกับขอบเขตจะลงบรรทัดเดียวกัน
- Exam: The curve $C$ has parametric equations $x=t^{2}+2t$, $y=3t-t^{2}$, $t\ge0$. $C$ meets the $x$-axis at the origin and at one other point. Find the exact area of the region enclosed between $C$ and the $x$-axis. (6 marks)ข้อสอบ: เส้นโค้ง $C$ มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=t^{2}+2t$, $y=3t-t^{2}$, $t\ge0$ · $C$ ตัดแกน $x$ ที่จุดกำเนิดและอีกจุดหนึ่ง · จงหาพื้นที่แบบ exact ของบริเวณที่ปิดล้อมระหว่าง $C$ กับแกน $x$ (6 คะแนน)
Answer:เฉลย: $y=0$ at $t=0$ and $t=3$ · $\displaystyle\int_{0}^{3}(3t-t^{2})(2t+2)\,dt=\Big[-\tfrac{t^{4}}{2}+\tfrac{4t^{3}}{3}+3t^{2}\Big]_{0}^{3}=\dfrac{45}{2}$6 marks: $\text{B1}\quad y=0\ \Rightarrow\ t=0,\ t=3$ $\text{M1}\quad \dfrac{dx}{dt}=2t+2$ $\text{M1}\quad \displaystyle\int_{0}^{3}y\,\dfrac{dx}{dt}\,dt$ $\text{M1}\quad -2t^{3}+4t^{2}+6t$ $\text{A1}\quad -\dfrac{t^{4}}{2}+\dfrac{4t^{3}}{3}+3t^{2}$ $\text{A1}\quad \dfrac{45}{2}$ The question does not give the limits. Find them from $y=0$.6 คะแนน: $\text{B1}\quad y=0\ \Rightarrow\ t=0,\ t=3$ $\text{M1}\quad \dfrac{dx}{dt}=2t+2$ $\text{M1}\quad \displaystyle\int_{0}^{3}y\,\dfrac{dx}{dt}\,dt$ $\text{M1}\quad -2t^{3}+4t^{2}+6t$ $\text{A1}\quad -\dfrac{t^{4}}{2}+\dfrac{4t^{3}}{3}+3t^{2}$ $\text{A1}\quad \dfrac{45}{2}$ ข้อนี้ไม่ได้ให้ขอบเขตมา · ต้องหาเองจาก $y=0$
- The curve $C$ has parametric equations $x=t^{2}+2$, $y=t^{3}-6t$. Find the gradient of $C$ at the point $(6,4)$.เส้นโค้ง $C$ มีสมการอิงตัวแปรเสริม $x=t^{2}+2$, $y=t^{3}-6t$ จงหาความชันของ $C$ ที่จุด $(6,4)$
Answer:เฉลย: $x=6$ gives $t=\pm2$, and only $t=-2$ gives $y=4$ · $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^{2}-6}{2t}=\dfrac{6}{-4}=-\dfrac32$Solve easy, filter with the other: $x=6:\ t^{2}+2=6\ \Rightarrow\ t=\pm2$ $t=2:\ y=8-12=-4\ \times$ $t=-2:\ y=-8+12=4\ \checkmark$ $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^{2}-6}{2t}=\dfrac{6}{-4}=-\dfrac32$ Never solve the cubic; never trust the $x$-equation alone.แก้อันง่าย กรองด้วยอีกอัน: $x=6:\ t^{2}+2=6\ \Rightarrow\ t=\pm2$ $t=2:\ y=8-12=-4\ \times$ $t=-2:\ y=-8+12=4\ \checkmark$ $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^{2}-6}{2t}=\dfrac{6}{-4}=-\dfrac32$ อย่าแก้สมการกำลังสาม และอย่าเชื่อสมการ $x$ ตัวเดียวโดดๆ
8. Exercise setชุดโจทย์
The order is the lesson. Each question changes exactly one thing from the one before it.ลำดับของโจทย์คือบทเรียน แต่ละข้อเปลี่ยนจากข้อก่อนหน้าแค่อย่างเดียว
- The curve $C$ has parametric equations $x=t^{2}+3$, $y=t^{3}-t$. Find the gradient of $C$ at the point where $t=2$.
Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^{2}-1}{2t}$, so at $t=2$ the gradient is $\dfrac{11}{4}$Same as the worked example, with new numbers. If you know level 3, this takes one minute. Build confidence first.เหมือนตัวอย่างที่ทำไป เปลี่ยนแค่ตัวเลข · ถ้าขั้นที่ 3 แน่นแล้ว ข้อนี้จบในหนึ่งนาที · เอาความมั่นใจก่อน
- The curve $C$ has parametric equations $x=3t^{2}-2$, $y=t^{3}+4t$. Find $\dfrac{dy}{dx}$ at $t=\tfrac{1}{2}$.
Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^{2}+4}{6t}$, so at $t=\tfrac12$ it is $\dfrac{19/4}{3}=\dfrac{19}{12}$Same two derivatives, same division. A fractional $t$ gives a fraction inside a fraction.ดิฟสองตัวเหมือนเดิม หารเหมือนเดิม · $t$ เป็นเศษส่วน ทำให้มีเศษซ้อนเศษ
- A curve has parametric equations $x=2\cos\theta$, $y=3\sin\theta$. Find $\dfrac{dy}{dx}$ in terms of $\theta$.
Answer:เฉลย: $\dfrac{dy}{d\theta}=3\cos\theta$, $\dfrac{dx}{d\theta}=-2\sin\theta$, so $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3\cos\theta}{2\sin\theta}$New letter, trig instead of powers, and a minus sign from $\dfrac{d}{d\theta}(\cos\theta)=-\sin\theta$.ตัวแปรใหม่ เป็นตรีโกณแทนพหุนาม แถมมีลบจาก $\dfrac{d}{d\theta}(\cos\theta)=-\sin\theta$
- The curve $C$ has parametric equations $x=t^{2}$, $y=2t$. Find the equation of the normal to $C$ at the point where $t=3$.
Answer:เฉลย: Point $(9,6)$; $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{2t}=\dfrac13$, so the normal gradient is $-3$: $y-6=-3(x-9)$, i.e. $y=-3x+33$Three old moves in a row: parametric gradient, negative reciprocal, then the Pure 1 line.สามท่าเก่าต่อกัน: ความชันพารามิเตอร์ · ส่วนกลับติดลบ · สมการเส้นตรง Pure 1
- A student finds the area under $x=t^{2}$, $y=t+1$ between $x=1$ and $x=4$ by writing $\displaystyle\int_{1}^{4}(t+1)\,dt$. State the two errors and give the correct exact area.
Answer:เฉลย: $dx$ was never changed to $2t\,dt$, and the limits were never converted ($x:1\to4$ means $t:1\to2$). Correct: $\displaystyle\int_{1}^{2}(t+1)(2t)\,dt=\Big[\tfrac{2t^{3}}{3}+t^{2}\Big]_{1}^{2}=\dfrac{23}{3}$Both classic area slips sit in one line, and neither makes the answer look wrong.จุดพลาดคลาสสิกของข้อพื้นที่ทั้งสองอย่างอยู่บรรทัดเดียว ไม่มีอันไหนทำให้ดูผิด
- A curve has parametric equations $x=4\cos t$, $y=4\sin t$. (1 mark) (a)(ก) Show that the Cartesian equation of the curve is $x^{2}+y^{2}=16$. (2 marks) (b)(ข) Hence state the radius of the circle.
Answer:เฉลย: (a) $\cos t=\dfrac{x}{4}$, $\sin t=\dfrac{y}{4}$, so $\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{16}=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1$, giving $x^{2}+y^{2}=16$ (b) radius $4$"Show that" means the target is printed, so every line of working must be there.คำว่า show that แปลว่าคำตอบพิมพ์ไว้แล้ว บรรทัดการทำงานทุกบรรทัดต้องมีครบ
All free lessonsบทเรียนฟรีทั้งหมด · Free maths libraryคลังเรียนฟรี